Koji je treći znak jednakosti trouglova. Drugi znak jednakosti trouglova

>>Geometrija: Treći znak jednakosti trouglova. Kompletne lekcije

TEMA ČASA: Treći znak jednakosti trouglova.

Ciljevi lekcije:

Obrazovno – ponavljanje, generalizacija i provjera znanja na temu: “Znaci jednakosti trouglova”; razvoj osnovnih vještina.
Razvijanje - razvijati pažnju učenika, upornost, upornost, logičko razmišljanje, matematički govor.
Edukativni - kroz lekciju, njegovati pažljiv odnos jedni prema drugima, usaditi sposobnost slušanja drugova, uzajamne pomoći, nezavisnosti.

Ciljevi lekcije:

Formirati vještine građenja trokuta korištenjem ravnala, kutomjera i trokuta za crtanje.
Provjerite sposobnost učenika da rješavaju probleme.

Plan lekcije:

Iz istorije matematike.
Znakovi jednakosti trouglova.
Ažuriranje osnovnih znanja.
Pravokutni trokuti.

Iz istorije matematike.
Pravougli trokut zauzima počasno mjesto u babilonskoj geometriji i često se spominje u Ahmesovom papirusu.

Izraz hipotenuza dolazi od grčkog hypoteinsa, što znači istezanje ispod nečega, zatezanje. Riječ potiče od slike drevnih egipatskih harfi, na kojima su žice bile nategnute na krajevima dva međusobno okomita stalka.

Izraz katet potiče od grčka riječ"katetos", što je značilo visak, okomito. U srednjem vijeku riječ catet je značila visinu pravougaonog trougla, dok su njegove druge strane nazvane hipotenuza, odnosno baza. U 17. veku reč katet se počela koristiti u modernom smislu i bila je široko rasprostranjena počev od 18. veka.

Euklid koristi izraze:

“strane koje čine pravi ugao” - za noge;

"strana koja savija pravi ugao" - za hipotenuzu.

Za početak, moramo osvježiti sjećanje na prethodne znakove jednakosti trokuta. I zato počnimo s prvim.

1. znak jednakosti trouglova.

Predmeti > Matematika > Matematika 7. razred

Među veliki iznos poligona, koji su u suštini zatvorena polilinija koja se ne siječe, trokut je figura s najmanje uglova. Drugim riječima, ovo je najjednostavniji poligon. Ali, uprkos svoj svojoj jednostavnosti, ova figura je puna mnogih misterija i zanimljiva otkrića koji su osvetljeni posebna sekcija matematika - geometrija. Ova disciplina u školama počinje da se predaje od sedmog razreda, a tema "Trougao" je data ovde Posebna pažnja. Djeca ne samo da uče pravila o samoj figuri, već ih i upoređuju, proučavajući 1, 2 i 3 znak jednakosti trokuta.

Prvi sastanak

Jedno od prvih pravila koje učenici uče je otprilike ovo: zbir vrijednosti svih uglova trougla je 180 stepeni. Da biste to potvrdili, dovoljno je izmjeriti svaki vrh uz pomoć kutomjera i sabrati sve rezultirajuće vrijednosti. Na osnovu toga, sa dvije poznate vrijednosti, lako je odrediti treću. Na primjer: U trouglu, jedan od uglova je 70°, a drugi 85°, kolika je vrednost trećeg ugla?

180 - 85 - 70 = 25.

Odgovor: 25°.

Zadaci mogu biti još složeniji ako se naznači samo jedna vrijednost ugla, a druga vrijednost se kaže samo po tome koliko je ili koliko puta je veći ili manji.

U trokutu, za određivanje jedne ili druge njegove karakteristike, mogu se nacrtati posebne linije, od kojih svaka ima svoje ime:

visina - okomita linija povučena od vrha do suprotne strane;
sve tri nacrtane visine istovremeno se sijeku u središtu figure, formirajući ortocentar, koji, ovisno o vrsti trokuta, može biti i iznutra i izvana;
medijan - linija koja povezuje vrh sa sredinom suprotne strane;
presjek medijana je tačka njegove gravitacije, smještena unutar figure;
simetrala - prava koja prolazi od vrha do tačke preseka sa suprotnom stranom, tačka preseka tri simetrale je centar upisane kružnice.

Jednostavne istine o trouglovima

Trokuti, kao i svi oblici, imaju svoje karakteristike i svojstva. Kao što je već spomenuto, ova figura je najjednostavniji poligon, ali sa svojim karakterističnim karakteristikama:

nasuprot najdužoj strani uvijek postoji ugao veće vrijednosti, i obrnuto;
protiv jednake strane jednaki uglovi leže, primjer za to je jednakokraki trokut;
suma unutrašnji uglovi uvijek jednako 180°, što je već pokazano na primjeru;
kada se jedna strana trougla produži izvan njegovih granica, formira se vanjski ugao, koji će uvijek biti jednak je zbiru uglovi koji nisu uz njega;
svaka strana je uvijek manja od zbira druge dvije strane, ali veća od njihove razlike.

Vrste trouglova

Sljedeća faza upoznavanja je određivanje grupe kojoj pripada predstavljeni trokut. Pripadnost određenoj vrsti zavisi od veličine uglova trokuta.

Jednakokraki - sa dvije jednake strane, koje se nazivaju bočnim, treća u ovom slučaju djeluje kao osnova figure. Uglovi u osnovi takvog trougla su isti, a medijana povučena iz vrha je simetrala i visina.
ispravno, ili jednakostranični trougao, je onaj u kojem su sve njegove strane jednake.
Pravougaoni: jedan od njegovih uglova je 90°. U ovom slučaju, strana suprotna ovom kutu naziva se hipotenuza, a druge dvije su katete.
Oštri trougao - svi uglovi su manji od 90°.
Tup - jedan od uglova je veći od 90°.

Jednakost i sličnost trokuta

U procesu učenja oni ne samo da razmatraju jednu figuru, već i upoređuju dva trougla. A ovo, čini se, jednostavna tema ima puno pravila i teorema pomoću kojih možete dokazati da su figure koje se razmatraju jednake trokute. Trokuti su jednaki ako su im odgovarajuće stranice i uglovi isti. Sa ovom jednakošću, ako ove dvije figure stavite jednu na drugu, sve njihove linije će se konvergirati. Takođe, brojke mogu biti slične, posebno to važi u praksi identične figure, koji se razlikuje samo po veličini. Da bi se doneo takav zaključak o predstavljenim trouglovima, mora biti ispunjen jedan od sledećih uslova:

dva ugla jedne figure jednaka su dva ugla druge;
dvije stranice jednog su proporcionalne dvjema stranicama drugog trougla, a uglovi formirani od strane su jednaki;
tri strane druge figure su iste kao one prve.

Naravno, za neospornu jednakost, koja neće izazvati ni najmanju sumnju, potrebno je imati iste vrijednosti svih elemenata obje figure, međutim, korištenjem teorema, zadatak je uvelike pojednostavljen, a samo nekoliko uslova je dozvoljeno da se dokaže jednakost trouglova.

Prvi znak jednakosti trouglova

Zadaci na ovu temu rješavaju se na osnovu dokaza teoreme, koji zvuči ovako: „Ako su dvije stranice trokuta i ugao koji formiraju jednaki dvjema stranicama i kutu drugog trougla, tada su figure jednake takođe jednaki jedni drugima."

Kako zvuči dokaz teoreme o prvom kriteriju jednakosti trouglova? Svi znaju da su dva segmenta jednaka ako imaju istu dužinu, ili da su kružnice jednake ako imaju isti polumjer. A u slučaju trokuta postoji nekoliko znakova, s kojima možemo pretpostaviti da su figure identične, što je vrlo zgodno za korištenje pri rješavanju različitih geometrijskih problema.

Kako zvuči teorema "Prvi znak jednakosti trokuta" gore je opisano, ali evo i njenog dokaza:

Pretpostavimo da trouglovi ABC i A 1 B 1 C 1 imaju iste stranice AB i A 1 B 1 i, shodno tome, BC i B 1 C 1, a uglovi koje formiraju ove stranice imaju istu vrijednost, tj. jednaka. Zatim, superponiranjem △ ABC na △ A 1 B 1 C 1, dobijamo podudarnost svih pravih i vrhova. Iz ovoga slijedi da su ovi trouglovi apsolutno identični, što znači da su međusobno jednaki.

Teorema "Prvi kriterij jednakosti trouglova" naziva se i "Po dvije strane i ugao". Zapravo, ovo je njegova suština.

Teorema o drugoj osobini

Drugi znak jednakosti se dokazuje na sličan način, dokaz se zasniva na činjenici da se figure, kada se nalažu jedna na drugu, potpuno poklapaju u svim vrhovima i stranama. A teorema zvuči ovako: "Ako jedna stranica i dva ugla u čijem formiranju sudjeluje odgovaraju strani i dva ugla drugog trougla, onda su ove figure identične, odnosno jednake."

Treći znak i dokaz

Ako se i 2 i 1 znak jednakosti trokuta odnose i na stranice i na uglove figure, onda se 3. odnosi samo na stranice. Dakle, teorema ima sljedeću formulaciju: "Ako su sve strane jednog trougla jednake trima stranicama drugog trougla, onda su figure identične."

Da bismo dokazali ovu teoremu, potrebno je detaljnije ući u samu definiciju jednakosti. U stvari, šta znači izraz "trouglovi su jednaki"? Identitet kaže da će se, ako jednu figuru preklopi na drugu, svi elementi poklopiti, a to može biti samo kada su njihove stranice i uglovi jednaki. Istovremeno, ugao nasuprot jedne od strana, koji je isti kao i kod drugog trougla, biće jednak odgovarajućem vrhu druge figure. Treba napomenuti da se u ovom trenutku dokaz može lako prevesti na 1 kriterij jednakosti trokuta. U slučaju da se takav niz ne poštuje, jednakost trokuta je jednostavno nemoguća, osim u slučajevima kada je figura odraz ogledala prvo.

pravokutnih trouglova

U strukturi takvih trouglova uvijek postoje vrhovi sa uglom od 90°. Stoga su tačne sljedeće tvrdnje:

trokuti sa pravim uglom su jednaki ako su katete jednog identične katetama drugog;
figure su jednake ako su im hipotenuze i jedan od kateta jednaki;
takvi trokuti su podudarni ako su im noge i oštri ugao su identične.

Ovaj znak se odnosi na Da bi se dokazala teorema, figure se primjenjuju jedna na drugu, zbog čega se trokuti presavijaju s kracima tako da izlaze dvije ravne linije sa stranicama CA i CA 1.

Praktična upotreba

U većini slučajeva u praksi se koristi prvi znak jednakosti trokuta. U stvari, tako naizgled jednostavna tema za 7. razred iz geometrije i planimetrije se koristi i za izračunavanje dužine, na primjer, telefonskog kabla bez mjerenja terena duž kojeg će proći. Koristeći ovu teoremu, lako je napraviti potrebne proračune za određivanje dužine ostrva usred rijeke bez preplivavanja. Ili ojačajte ogradu postavljanjem šipke u raspon tako da je dijeli na dva jednaka trokuta ili izračunajte složeni elementi rad u stolariji, ili prilikom proračuna krovnog rešetkastog sistema tokom izgradnje.

Prvi znak jednakosti trokuta naširoko se koristi u stvarnom "odraslom" životu. Iako u školske godine Upravo ova tema mnogima se čini dosadnom i potpuno nepotrebnom.

Video lekcija "Treći znak jednakosti trokuta" sadrži dokaz teoreme, koja je znak jednakosti dva trokuta na tri strane. Ova teorema je važan deo geometrija. Često se koristi za rješavanje praktičnih problema. Njegov dokaz se zasniva na znacima jednakosti trouglova koji su učenicima već poznati.

Dokaz ove teoreme je složen, stoga je u cilju poboljšanja kvaliteta obrazovanja, formiranja sposobnosti dokazivanja geometrijskih iskaza preporučljivo koristiti ovu vizualnu pomoć, koja će pomoći da se pažnja učenika usmjeri na gradivo koje se proučava. . Takođe, uz pomoć animacije, vizuelne demonstracije konstrukcija i dokaza, omogućava se unapređenje kvaliteta obrazovanja.

Na početku lekcije demonstrira se naslov teme i formuliše teorema da su trouglovi jednaki ako su sve strane jednog trougla parno jednake svim stranicama drugog trougla. Tekst teoreme se prikazuje na ekranu i učenici ga mogu zapisati u svesku. Zatim ćemo razmotriti dokaz ove teoreme.

Da bi se dokazao teorem, konstruisani su trouglovi ΔABC i ΔA 1 B 1 C 1. Iz uslova teoreme slijedi da su strane u paru jednake, odnosno AB = A 1 B 1, BC = B 1 C 1 i AC = A 1 C 1. Na početku dokaza demonstrirano je nametanje trougla ΔAVS na ΔA 1 V 1 S 1 tako da su vrhovi A i A 1 , kao i B i B 1 ovih trouglova poravnati. U ovom slučaju, vrhovi C i C 1 trebaju biti smješteni duž različite strane od preklapanih stranica AB i A 1 B 1 . At date konstrukcije Postoji nekoliko opcija za raspored elemenata trokuta:

Greda C 1 C leži unutar ugla ∠A 1 C 1 B 1 .
Greda C 1 C poklapa se sa jednom od stranica ugla ∠A 1 C 1 B 1.
Zraka C 1 C leži izvan ugla ∠A 1 C 1 B 1.

Svaki slučaj se mora razmatrati posebno, jer dokaz ne može biti isti za sve date slučajeve. U prvom slučaju razmatraju se dva trokuta nastala kao rezultat konstrukcije. Budući da su, prema uvjetu, u ovim trokutovima stranice AC = A 1 C 1, i BC = B 1 C 1, tada su rezultirajući trokuti ΔB 1 C 1 C i ΔA 1 C 1 jednakostranični. Korištenje naučenog svojstva jednakokraki trouglovi, možemo tvrditi da su uglovi ∠1 i ∠2 međusobno jednaki, kao i da su ∠3 i ∠4 jednaki. Pošto su ovi uglovi jednaki, zbir ∠1 i ∠3, kao i ∠2 i ∠4 će takođe dati jednake uglove. Dakle, uglovi ∠S i ∠S 1 su jednaki. Dokazivanje data činjenica, možemo ponovo razmotriti trokute ΔABC i ΔA 1 B 1 C 1, u kojima su stranice BC = B 1 C 1 i AC = A 1 C 1 prema uvjetu teoreme, a dokazano je da su uglovi između oni su ∠C i ∠C 1 takođe jednaki. Shodno tome, ovi trouglovi će biti jednaki prema prvom kriterijumu jednakosti trouglova, koji je učenicima već poznat.

U drugom slučaju, kada su trouglovi superponirani, tačke C i C 1 leže na jednoj pravoj liniji koja prolazi kroz tačku B (B 1). U zbiru dva trokuta ΔABC i ΔA 1 B 1 C 1, dobije se trokut ΔCAC 1, u kojem su dvije stranice AC \u003d A 1 C 1, prema uvjetu teoreme, jednake. Prema tome, ovaj trougao je jednakokraki. U jednakokračnom trouglu sa jednakim stranicama postoje jednaki uglovi, pa se može tvrditi da su uglovi ∠S=∠S 1. Iz uslova teoreme također slijedi da su stranice BC i B 1 C 1 međusobno jednake, pa su ΔABC i ΔA 1 B 1 C 1, uzimajući u obzir navedene činjenice, jednake jedna drugoj prema prvi znak jednakosti trouglova.

Dokaz u trećem slučaju, slično kao u prva dva, koristi prvi kriterij jednakosti trokuta. Geometrijska figura konstruisana impozantnim trouglovima, kada je povezana segmentom vrhova C i C 1, transformiše se u trougao ΔB 1 C 1 C. Ovaj trougao je jednakokračan, jer su njegove stranice B 1 C 1 i B 1 C jednake sa stanje. A sa jednakim stranicama u jednakokračnom trouglu, uglovi ∠S i ∠S 1 su takođe jednaki. Budući da su, prema uvjetu teoreme, stranice AC \u003d A 1 C 1 jednake, tada su uglovi kod njih u jednakokračnom trokutu ΔACS 1 također jednaki. Uzimajući u obzir činjenicu da su uglovi ∠S i ∠S 1 jednaki, a uglovi ∠DCA i ∠DC 1 A međusobno jednaki, onda su i uglovi ∠ACB i ∠AC 1 B jednaki. S obzirom na ovu činjenicu, da biste dokazali jednakost trokuta ΔABC i ΔA 1 B 1 C 1, možete koristiti prvi znak jednakosti trokuta, jer su dvije stranice ovih trokuta jednake po uslovima, a jednakost trokuta uglovi između njih dokazuju se tokom rasuđivanja.

Na kraju video tutorijala prikazana je važna primjena trećeg kriterija za jednakost trokuta - krutost datog geometrijska figura. Primjer objašnjava šta ova izjava znači. Kao primjer fleksibilnog dizajna date su dvije letvice spojene ekserom. Ove letvice se mogu razdvojiti i pomicati pod bilo kojim uglom. Ako na šine pričvrstimo još jednu, spojenu krajevima na postojeće šine, onda ćemo dobiti krutu konstrukciju u kojoj je nemoguće promijeniti kut između šina. Dobivanje trougla sa datim stranicama i drugim uglovima nije moguće. Ova posljedica teoreme ima važnu praktična vrijednost. Na ekranu se prikazuju inženjerske strukture u kojima datoj imovini trouglovi.

Video lekcija "Treći znak jednakosti trouglova" olakšava nastavniku da predstavi novi materijal na času geometrije na ovu temu. Također, video tutorijal se može uspješno koristiti za učenje na daljinu matematike, pomoći će učenicima da sami razumiju složenost dokaza.

>>Matematika 7. razred. Cijele lekcije >>Geometrija: Drugi znak jednakosti trouglova. Kompletne lekcije

TEMA ČASA: Drugi znak jednakosti trouglova.

Ciljevi lekcije:

Proučiti drugi znak jednakosti trokuta;
Biti u stanju primijeniti funkciju na rješavanje jednostavnih problema;
Nastavite razvijati vještine za rasuđivanje i dokazivanje, za izvođenje najjednostavnijih geometrijskih konstrukcija.

Ciljevi lekcije:

Usvajanje gradiva kroz praktičan rad i teoriju;
Formiranje logičkog mišljenja;
Naučite da vidite razliku i sličnost u dokazima znakova;
Pokušaj razvijanja sposobnosti učenika za samoobrazovanje;
Formiranje vještina samoregulacije edukativnim i kognitivnim aktivnosti.

Moto lekcije:
Ni trenutka mira
Ni sekunde gubitka
Vlastito znanje
Pažljivo provjerite.

Plan lekcije:

Uvodni govor;
Ponavljanje;
Primjeri rješavanja problema;
Provjera vlastitog znanja;
Dodatni kreativni zadatak;
Rješavanje problema praktičnim sadržajem.

Uvodni govor.

GREŠKA se mora poštovati ako nije rezultat našeg neznanja, nije proizvod naše lijenosti, nije plod nenaučene lekcije, ali samo ponekad pratilac naših napora u savladavanju geometrijskog znanja

Ponavljanje.
Pitanja.

Šta je trougao?
Koji se trouglovi nazivaju jednaki?
Kako razumete šta je "znak jednakih trouglova"?
Koji je prvi kriterij jednakosti trouglova?
Čemu služe znakovi?
Da li je potrebno svaki put porediti trouglove koji se međusobno preklapaju?

Ako su trokuti jednaki, tada su im odgovarajući elementi jednaki. (jer su bili kombinovani kada su trouglovi bili superponirani, a samim tim i jednaki (def. Jednake figure)). Rezultat: u jednakim trouglovima:

Nasuprotne odnosno jednake stranice su jednaki uglovi
Protiv respektivno jednakih uglova su jednake strane

Prijavite se matematika- isto kao dovoljno stanje. U manje rigoroznim naukama, riječ "znak" se koristi kao opis činjenica koje dozvoljavaju (prema postojeća teorija itd.) da se izvede zaključak o prisutnosti fenomena od interesa.

Koji je znak jednakosti trouglova i koliko ima znakova? Neki uslovi pod kojima su dva data trougla jednaka nazivaju se kriterijumi jednakosti trougla. Možemo reći da je znak znak po kojem se mogu saznati određena svojstva figura.

Ponekad nije moguće kombinovati trouglove. sta da radim? Dovoljno je uporediti samo tri elementa jednog trougla sa tri elementa drugog trougla. Tu će nam u pomoć priskočiti znaci jednakosti trouglova, koji će nam tačno reći koje elemente treba uporediti.

Primjeri rješavanja problema.

Teorema, drugi kriterij za jednakost trokuta

Datoteka:T.gif Ako su stranica i uglovi uz nju jednog trougla jednaki strani i uglovi susedni drugom trouglu, onda su takvi trouglovi podudarni.

Dokaz.

Neka trouglovi ABC i A1B1C1 imaju ∠ A = ∠ A1, ∠ B = ∠ B1, AB = A1B1.

Neka je A1B2C2 trougao jednak trougao ABC. Tem B2 se nalazi na zraku A1B1, a vrh C2 je u istoj poluravni u odnosu na pravu A1B1, gde leži vrh C1. Kako je A1B2 = A1B1, onda se vrh B2 poklapa sa vrhom B1. Kako je ∠ B1A1C2 = ∠ B1A1C1 i ∠ A1B1C2 = ∠ A1B1C1, onda se zraka A1C2 poklapa sa zrakom A1C1, a zraka B1C2 sa zrakom B1C1. Iz toga slijedi da se vrh C2 poklapa sa vrhom C1. Trougao A1B1C1 poklapa se sa trouglom A1B2C2, što znači da jednako trouglu ABC. Teorema je dokazana.

Provjera vlastitog znanja.

oralne vježbe.

Koliko vrsta trouglova poznajete? (3)
Imenujte ove vrste (oštri kut, pravokutni, tupokutni)
Definirajte svaki tip.
Koji instrument se koristi za mjerenje stepen mera uglovi? (uglomjer)
Koji se oblik naziva ugao? (formirano od dvije grede)

2913 ≈ 2900 (o)
Pronađi 1/3 od 36 (12) (g)
Pronađite broj ako je 1/5 ovog broja = 10 (50) (e)
4/9 2 = 8 (g)
16/17: 2 = 8/17 (10) (o)
7/8: 2 = 7/16 (in)

Dakle, pročulo se - OZHOGOV.
Ožegov Sergej Ivanovič- jedan od autora eksplanatorni rječnik Ruski jezik. Ovaj rečnik sadrži značenje 80.000 reči ruskog jezika i frazeoloških izraza.

Možete li nacrtati trougao sa dva tupa ugla?
Možete li nacrtati trokut sa jednim pravim i jednim tupim uglom?

pitanja:

Koji je drugi znak jednakosti trougla?
Šta ona kaže?
Čemu služe znakovi?
Šta je "znak jednakog trougla"?

Spisak korištenih izvora:

Lekcija na temu "Vizuelna geometrija"
geometrija: Radna sveska za 7 razred obrazovne institucije
Časovi geometrije Ćirila i Metodija. 7. razred (2005.)
Geometrija. 7. razred. Sveobuhvatna radna sveska. Stadnik L. G.

Radili na lekciji:

Samylina M.V.

Poturnak S.A.

Postavite pitanje o savremeno obrazovanje, možete izraziti ideju ili riješiti hitan problem Obrazovni forum, gdje dalje međunarodnom nivou ide prosvetno veće svježe misli i akcije. Nakon što je stvorio