Pronalaženje površine ograničene figure. Kako izračunati površinu ravne figure koristeći dvostruki integral? Završetak rješenja može izgledati ovako

Figura ograničena grafikom neprekidne nenegativne funkcije $f(x)$ na intervalu $$ i linijama $y=0, \ x=a$ i $x=b$ naziva se krivolinijski trapez.

Područje odgovarajućeg krivolinijski trapez izračunato po formuli:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Probleme pronalaženja površine krivolinijskog trapeza uslovno ćemo podijeliti na tipove od 4$. Razmotrimo svaku vrstu detaljnije.

Tip I: krivolinijski trapez je dat eksplicitno. Zatim odmah primijenite formulu (*).

Na primjer, pronađite površinu krivolinijskog trapeza ograničenu grafikom funkcije $y=4-(x-2)^(2)$ i linijama $y=0, \ x=1$ i $x =3$.

Nacrtajmo ovaj krivolinijski trapez.

Primjenom formule (*) nalazimo površinu ovog krivolinijskog trapeza.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 - \frac (1)(3)\levo((1)^(3)-(-1)^(3)\desno) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (jedinica$^(2)$).

Tip II: krivolinijski trapez je specificiran implicitno. U ovom slučaju, prave linije $x=a, \ x=b$ obično nisu specificirane ili su djelimično specificirane. U ovom slučaju, morate pronaći točke presjeka funkcija $y=f(x)$ i $y=0$. Ove tačke će biti tačke $a$ i $b$.

Na primjer, pronađite područje figure ograničeno grafovima funkcija $y=1-x^(2)$ i $y=0$.

Hajde da pronađemo tačke preseka. Da bismo to učinili, izjednačavamo prave dijelove funkcija.

Dakle, $a=-1$ i $b=1$. Nacrtajmo ovaj krivolinijski trapez.

Pronađite površinu ovog krivolinijskog trapeza.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \levo.\frac(x^(3))(3)\desno|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \levo(1+1\desno) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (jedinica$^(2)$).

Tip III: površina figure ograničena presjekom dviju neprekidnih nenegativnih funkcija. Ova brojka neće biti krivolinijski trapez, što znači da pomoću formule (*) ne možete izračunati njegovu površinu. Kako biti? Ispostavilo se da se površina ove figure može naći kao razlika između površina krivolinijskih trapeza ograničenih gornjom funkcijom i $y=0$ ($S_(uf)$) i donjom funkcijom i $y= 0$ ($S_(lf)$), pri čemu ulogu $x=a, \ x=b$ imaju $x$ koordinate presječnih tačaka ovih funkcija, tj.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Najvažnija stvar pri izračunavanju takvih površina je da ne “promašite” sa izborom gornje i donje funkcije.

Na primjer, pronađite površinu figure ograničenu funkcijama $y=x^(2)$ i $y=x+6$.

Nađimo tačke preseka ovih grafova:

Prema Vietovoj teoremi,

$x_(1)=-2, \ x_(2)=3.$

To jest, $a=-2, \ b=3$. Nacrtajmo oblik:

Dakle, gornja funkcija je $y=x+6$, a donja je $y=x^(2)$. Zatim pronađite $S_(uf)$ i $S_(lf)$ koristeći formulu (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\levo.\frac(x^(2))(2)\desno|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 ,5$ (jedinica $^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\levo.\frac(x^(3))(3)\desno|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (jedinica$^(2)$).

Zamjena pronađena u (**) i dobijete:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (jedinica $^(2)$).

IV tip: površina figure, ograničena funkcija(-s) koji ne zadovoljava uslov nenegativnosti. Da biste pronašli površinu takve figure, morate biti simetrični oko ose $Ox$ ( drugim riječima, stavite "minuse" ispred funkcija) prikažite područje i, koristeći metode opisane u tipovima I - III, pronađite područje prikazanog područja. Ovo područje će biti potrebno područje. Prvo, možda ćete morati pronaći točke presjeka grafova funkcija.

Na primjer, pronađite površinu figure ograničenu grafovima funkcija $y=x^(2)-1$ i $y=0$.

Nađimo točke presjeka grafova funkcija:

one. $a=-1$ i $b=1$. Nacrtajmo područje.

Prikažimo područje simetrično:

$y=0 \ \Strelica desno \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Strelica desno \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Dobijate krivolinijski trapez omeđen grafikom funkcije $y=1-x^(2)$ i $y=0$. Ovo je problem nalaženja krivolinijskog trapeza drugog tipa. Već smo to riješili. Odgovor je bio: $S= 1\frac(1)(3)$ (jedinice $^(2)$). Dakle, površina željenog krivolinijskog trapeza jednaka je:

$S=1\frac(1)(3)$ (jedinica$^(2)$).

Počinjemo razmatrati stvarni proces izračunavanja dvostrukog integrala i upoznati se s njegovim geometrijskim značenjem.

Dvostruki integral numerički jednaka površini ravna figura(domeni integracije). to najjednostavniji oblik dvostruki integral kada je funkcija dvije varijable jednaka jednoj: .

Hajde da prvo razmotrimo problem u opšti pogled. Sada ćete se iznenaditi koliko je to zaista jednostavno! Izračunajte površinu ravne figure, omeđen linijama. Radi određenosti, pretpostavljamo da je na intervalu . Površina ove figure je brojčano jednaka:

Opišimo područje na crtežu:

Odaberimo prvi način da zaobiđemo područje:

Na ovaj način:

I odmah važan tehnički trik: iterirani integrali se mogu razmatrati odvojeno. Prvo unutrašnji integral, pa spoljni integral. Ova metoda Topla preporuka za početnike u temi čajnici.

1) Izračunajte interni integral, dok se integracija vrši preko varijable "y":

Neodređeni integral je ovdje najjednostavniji, a zatim se koristi banalna Newton-Leibnizova formula, s jedinom razlikom da granice integracije nisu brojevi, već funkcije. Prvo zamijenjeno u "y" ( antiderivativna funkcija) gornja granica, zatim donju granicu

2) Rezultat dobijen u prvom paragrafu mora se zamijeniti eksternim integralom:

Kompaktnija notacija za cijelo rješenje izgleda ovako:

Rezultirajuća formula - to je upravo radna formula za izračunavanje površine ravne figure pomoću "običnog" određenog integrala! Vidi lekciju Izračunavanje površine pomoću određenog integrala, tu je na svakom koraku!

To je, problem izračunavanja površine pomoću dvostrukog integrala malo drugačije iz problema pronalaženja površine pomoću određenog integrala! U stvari, oni su jedno te isto!

Shodno tome, ne bi trebalo biti nikakvih poteškoća! Neću razmatrati mnogo primjera, jer ste se vi, zapravo, više puta susreli s ovim problemom.

Primjer 9

Rješenje: Opišimo područje na crtežu:

Odaberimo sljedeći redoslijed obilaska regije:

Ovdje i ispod, neću ulaziti u to kako preći područje jer je prvi paragraf bio vrlo detaljan.

Na ovaj način:

Kao što sam već napomenuo, za početnike je bolje da izračunaju iterirane integrale odvojeno, ja ću se pridržavati iste metode:

1) Prvo, koristeći Newton-Leibniz formulu, bavimo se unutrašnjim integralom:

2) Rezultat dobiven u prvom koraku zamjenjuje se vanjskim integralom:

Tačka 2 je zapravo pronalaženje površine ravne figure pomoću određenog integrala.

odgovor:

Evo tako glupog i naivnog zadatka.

Zanimljiv primjer za nezavisna odluka:

Primjer 10

Koristeći dvostruki integral, izračunajte površinu ravne figure ograničene linijama , ,

Primjer konačnog rješenja na kraju lekcije.

U primjerima 9-10, mnogo je isplativije koristiti prvi način zaobilaženja područja, radoznali čitatelji, inače, mogu promijeniti redoslijed zaobilaženja i izračunati površine na drugi način. Ako ne pogriješite, tada se, naravno, dobivaju iste vrijednosti površine.

Ali u nekim slučajevima, drugi način da se zaobiđe područje je efikasniji, a na kraju kursa za mlade štrebere, pogledajmo još nekoliko primjera na ovu temu:

Primjer 11

Koristeći dvostruki integral, izračunajte površinu ravne figure ograničene linijama.

Rješenje: radujemo se dvije parabole s povjetarcem koje leže na njihovoj strani. Nema potrebe za osmijehom, često se susreću slične stvari u više integrala.

Kako je najlakše napraviti crtež?

Predstavimo parabolu kao dvije funkcije:
- gornja grana i - donja grana.

Slično, zamislite parabolu kao gornju i donju grane.

Zatim, pokreću se crtanje tačku po tačku, što rezultira tako bizarnom figurom:

Površina figure se izračunava pomoću dvostrukog integrala prema formuli:

Šta će se dogoditi ako odaberemo prvi način da zaobiđemo područje? Prvo, ovo područje će se morati podijeliti na dva dijela. I drugo, posmatraćemo ovu tužnu sliku: . Integrali, naravno, nisu na superkompleksnom nivou, ali ... postoji stara matematička izreka: ko se sprijatelji s korijenima, ne treba mu prebijanje.

Stoga, iz nesporazuma koji je dat u uslovu, izražavamo inverzne funkcije:

Inverzne funkcije in ovaj primjer imaju prednost što odmah postavljaju cijelu parabolu bez ikakvih listova, žira, grana i korijena.

Prema drugoj metodi, obilazak područja će biti sljedeći:

Na ovaj način:

Kako kažu, osjetite razliku.

1) Bavimo se unutrašnjim integralom:

Zamjenjujemo rezultat u vanjski integral:

Integracija preko varijable "y" ne bi trebala biti neugodna, da postoji slovo "zyu" - bilo bi sjajno integrirati preko njega. Mada ko je pročitao drugi pasus lekcije Kako izračunati zapreminu obrtnog tela, on više ne doživljava ni najmanju neugodnost sa integracijom preko "y".

Obratite pažnju i na prvi korak: integrand je paran, a segment integracije je simetričan oko nule. Dakle, segment se može prepoloviti, a rezultat se može udvostručiti. Ova tehnika je detaljno komentarisana u lekciji. Efikasne metode izračunavanje određenog integrala.

Šta dodati…. Sve!

odgovor:

Da biste testirali svoju tehniku ​​integracije, možete pokušati izračunati . Odgovor bi trebao biti potpuno isti.

Primjer 12

Koristeći dvostruki integral, izračunajte površinu ravne figure ograničene linijama

Ovo je "uradi sam" primjer. Zanimljivo je napomenuti da ako pokušate upotrijebiti prvi način da zaobiđete područje, tada figura više neće biti podijeljena na dva, već na tri dijela! I, shodno tome, dobijamo tri para iteriranih integrala. Ponekad se to desi.

Majstorska klasa je privedena kraju i vrijeme je da pređemo na velemajstorski nivo - Kako izračunati dvostruki integral? Primjeri rješenja. Pokušaću da ne budem toliko maničan u drugom članku =)

Želim vam uspjeh!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2:Rješenje: Nacrtajte područje na crtežu:

Odaberimo sljedeći redoslijed obilaska regije:

Na ovaj način:
Pređimo na inverzne funkcije:


Na ovaj način:
odgovor:

Primjer 4:Rješenje: Pređimo na direktne funkcije:


Izradimo crtež:

Promijenimo redoslijed obilaženja područja:

odgovor:

Zapravo, da biste pronašli površinu figure, nije vam potrebno toliko znanja o neodređenom i određenom integralu. Zadatak "izračunaj površinu pomoću određenog integrala" uvijek uključuje izradu crteža, tako da će vaše znanje i vještine crtanja biti mnogo relevantnije pitanje. U tom smislu, korisno je osvježiti grafiku glavnog elementarne funkcije, i, barem, biti u stanju izgraditi pravu liniju i hiperbolu.

Krivolinijski trapez je ravna figura omeđena osom, pravim linijama i grafikom neprekidne funkcije na segmentu koji ne mijenja predznak na ovom intervalu. Neka se ova figura nalazi ne manje apscisa:

Onda površina krivolinijskog trapeza numerički je jednaka određenom integralu. Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje.

U smislu geometrije, definitivni integral je POVRŠINA.

To je, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini neke figure. Na primjer, razmotrite definitivni integral . Integrand definira krivulju na ravni koja se nalazi iznad ose (oni koji žele mogu dovršiti crtež), a sam definitivni integral je numerički jednak površini odgovarajućeg krivolinijskog trapeza.

Primjer 1

Ovo je tipična izjava zadatka. Prvi i najvažniji momenat odluke je izrada crteža. Štaviše, crtež mora biti izgrađen PRAVO.

Prilikom izrade nacrta preporučujem sljedeći redoslijed: prvo bolje je konstruisati sve linije (ako ih ima) i samo poslije- parabole, hiperbole, grafovi drugih funkcija. Grafove funkcija je isplativije izgraditi tačkasto.

U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.
Napravimo crtež (imajte na umu da jednačina definira os):

Na segmentu se nalazi graf funkcije preko ose, zbog toga:

odgovor:

Nakon što je zadatak završen, uvijek je korisno pogledati crtež i shvatiti je li odgovor stvaran. AT ovaj slučaj"Na oko" brojimo broj ćelija na crtežu - pa, oko 9 će biti otkucano, čini se da je tačno. Sasvim je jasno da kada bismo imali, recimo, odgovor: 20 kvadratne jedinice, onda je, očito, negdje napravljena greška - 20 ćelija se očito ne uklapa u dotičnu cifru, najviše desetak. Ako je odgovor bio negativan, onda je i zadatak riješen pogrešno.

Primjer 3

Izračunajte površinu figure ograničenu linijama i koordinatnim osa.

Rješenje: Napravimo crtež:

Ako je krivolinijski trapez lociran ispod osovine(ili barem ne viši datu os), tada se njegova površina može naći po formuli:

U ovom slučaju:

Pažnja! Nemojte brkati ove dvije vrste zadataka:

1) Ako se od vas traži da riješite samo određeni integral bez ikakvog geometrijskog smisla, onda može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure pomoću određenog integrala, tada je površina uvijek pozitivna! Zbog toga se minus pojavljuje u upravo razmatranoj formuli.

U praksi se najčešće figura nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravni, pa se stoga od najjednostavnijih školskih zadataka prelazi na sadržajnije primjere.

Primjer 4

Pronađite površinu ravne figure ograničene linijama , .

Rješenje: Prvo morate završiti crtež. Uopšteno govoreći, kada konstruišemo crtež u problemima oblasti, najviše nas zanimaju tačke preseka linija. Nađimo tačke preseka parabole i prave. Ovo se može uraditi na dva načina. Prvi način je analitički. Rješavamo jednačinu:

Dakle, donja granica integracije, gornja granica integracije.

Najbolje je ne koristiti ovu metodu ako je moguće..

Mnogo je isplativije i brže graditi linije tačku po tačku, dok se granice integracije otkrivaju kao „sama po sebi“. Ipak, analitička metoda pronalaženja granica se ipak ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili konstrukcija s navojem nije otkrila granice integracije (mogu biti razlomke ili iracionalne). I mi ćemo također razmotriti takav primjer.

Vraćamo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati pravu liniju pa tek onda parabolu. Napravimo crtež:

A sada radna formula: Ako postoji neka kontinuirana funkcija na intervalu veći ili jednak neki kontinuirana funkcija, tada se površina figure ograničena grafovima ovih funkcija i pravih linija , , može naći po formuli:

Ovdje više nije potrebno razmišljati gdje se figura nalazi - iznad ose ili ispod ose, i, grubo rečeno, bitno je koji je grafikon IZNAD(u odnosu na drugi grafikon), a koji je ISPOD.

U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad prave linije, te je stoga potrebno oduzeti od

Završetak rješenja može izgledati ovako:

Željena figura je ograničena parabolom odozgo i ravnom linijom odozdo.
Na segmentu, prema odgovarajućoj formuli:

odgovor:

Primjer 4

Izračunajte površinu figure ograničene linijama , , , .

Rješenje: Hajde da prvo napravimo crtež:

Figura čiju oblast treba da pronađemo je zasenčena plavom bojom.(pažljivo pogledajte stanje - koliko je brojka ograničena!). Ali u praksi, zbog nepažnje, često se javlja "kvar", da morate pronaći područje figure koja je zasjenjena u zelenoj boji!

Ovaj primjer je koristan i po tome što se u njemu površina figure izračunava pomoću dva određeni integrali.

Zaista:

1) Na segmentu iznad ose nalazi se pravolinijski grafik;

2) Na segmentu iznad ose je graf hiperbole.

Sasvim je očigledno da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:

Primjer1 . Izračunajte površinu figure ograničene linijama: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 i x = 2

Izgradimo lik (vidi sliku) Gradimo pravu liniju x + 2y - 4 = 0 duž dvije tačke A (4; 0) i B (0; 2). Izražavajući y u terminima x, dobijamo y = -0,5x + 2. Prema formuli (1), gdje je f (x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, mi nađi

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 sq. jedinice

Primjer 2 Izračunajte površinu figure ograničene linijama: x - 2y + 4 = 0, x + y - 5 = 0 i y = 0.

Rješenje. Hajde da napravimo figuru.

Napravimo pravu liniju x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Konstruirajmo pravu liniju x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, S(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Nađite tačku preseka pravih rešavanjem sistema jednačina:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Da bismo izračunali potrebnu površinu, AMC trokut podijelimo na dva trokuta AMN i NMC, jer kada se x promijeni iz A u N, površina je ograničena pravom linijom, a kada se x promijeni iz N u C, to je prava linija

Za trougao AMN imamo: ; y = 0,5x + 2, tj. f (x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

Za NMC trougao imamo: y = - x + 5, tj. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Izračunavajući površinu svakog od trokuta i zbrajajući rezultate, nalazimo:

sq. jedinice

sq. jedinice

9 + 4, 5 = 13,5 kvadratnih metara. jedinice Provjerite: = 0,5AC = 0,5 sq. jedinice

Primjer 3 Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

U ovom slučaju potrebno je izračunati površinu krivolinijskog trapeza ograničenog parabolom y = x 2 , prave linije x = 2 i x = 3 i osa Ox (vidi sliku) Prema formuli (1), nalazimo površinu krivolinijskog trapeza

= = 6kv. jedinice

Primjer 4 Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y = - x 2 + 4 i y = 0

Hajde da napravimo figuru. Željeno područje je zatvoreno između parabole y \u003d - x 2 + 4 i osovina Oh.

Pronađite tačke preseka parabole sa x-osom. Uz pretpostavku y = 0, nalazimo x = Budući da je ova figura simetrična oko ose Oy, izračunavamo površinu figure koja se nalazi desno od ose Oy i udvostručujemo rezultat: \u003d + 4x] sq. jedinice 2 = 2 sq. jedinice

Primjer 5 Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Ovdje je potrebno izračunati površinu krivolinijskog trapeza ograničenog gornjom granom parabole y 2 \u003d x, osa Ox i prave linije x = 1x = 4 (vidi sliku)

Prema formuli (1), gdje je f(x) = a = 1 i b = 4, imamo = (= kv. jedinica

Primjer 6 . Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Željena oblast je ograničena polutalasnom sinusoidom i Ox osom (vidi sliku).

Imamo - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 kvadratna metra. jedinice

Primjer 7 Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y = - 6x, y = 0 i x = 4.

Slika se nalazi ispod ose Ox (vidi sliku).

Stoga se njegova površina nalazi po formuli (3)

= =

Primjer 8 Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y = i x = 2. Napravit ćemo krivu y = po točkama (vidi sliku). Dakle, površina figure se nalazi po formuli (4)

Primjer 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Ovdje trebate izračunati površinu ograničenu krugom x 2 + y 2 = r 2 , tj. površina kruga poluprečnika r sa središtem u ishodištu. Nađimo četvrti dio ove oblasti, uzimajući granice integracije od 0

dor; imamo: 1 = = [

shodno tome, 1 =

Primjer 10 Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y \u003d x 2 i y = 2x

Ova brojka je ograničena parabolom y = x 2 i ravna linija y \u003d 2x (vidi sliku) Za određivanje tačaka presjeka date linije riješiti sistem jednačina: x 2 – 2x = 0 x = 0 i x = 2

Koristeći formulu (5) za pronalaženje površine, dobijamo

= graf funkcije y = x 2+2 nalazi se preko oseOX, zbog toga:

odgovor: .

Koji ima poteškoća s izračunavanjem definitivnog integrala i primjenom Newton-Leibnizove formule

,

pogledajte predavanje Definitivni integral. Primjeri rješenja. Nakon što je zadatak završen, uvijek je korisno pogledati crtež i shvatiti je li odgovor stvaran. U ovom slučaju, "na oko" brojimo broj ćelija na crtežu - pa, oko 9 će biti otkucano, čini se da je istina. Sasvim je jasno da ako bismo imali, recimo, odgovor: 20 kvadratnih jedinica, onda je, očito, negdje napravljena greška - 20 ćelija očito ne stane u dotičnu cifru, najviše desetak. Ako je odgovor bio negativan, onda je i zadatak riješen pogrešno.

Primjer 2

Izračunajte površinu figure ograničene linijama xy = 4, x = 2, x= 4 i os OX.

Ovo je "uradi sam" primjer. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Šta učiniti ako se nalazi krivolinijski trapez ispod osovineOX?

Primjer 3

Izračunajte površinu figure ograničene linijama y = e-x, x= 1 i koordinatne ose.

Rješenje: Napravimo crtež:

Ako je krivolinijski trapez potpuno ispod osovine OX , tada se njegova površina može naći po formuli:

U ovom slučaju:

.

Pažnja! Ne treba brkati dvije vrste zadataka:

1) Ako se od vas traži da riješite samo određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, onda on može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure pomoću određenog integrala, tada je površina uvijek pozitivna! Zbog toga se minus pojavljuje u upravo razmatranoj formuli.

U praksi se najčešće figura nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravni, pa se stoga od najjednostavnijih školskih zadataka prelazi na sadržajnije primjere.

Primjer 4

Pronađite površinu ravne figure ograničene linijama y = 2x – x 2 , y = -x.

Rješenje: Prvo morate napraviti crtež. Prilikom konstruisanja crteža u problemima površine, najviše nas zanimaju tačke preseka linija. Nađite tačke preseka parabole y = 2x – x 2 i ravno y = -x. Ovo se može uraditi na dva načina. Prvi način je analitički. Rješavamo jednačinu:

Dakle, donja granica integracije a= 0, gornja granica integracije b= 3. Često je isplativije i brže graditi linije tačku po tačku, dok se granice integracije otkrivaju kao „sama po sebi“. Ipak, analitička metoda pronalaženja granica se ipak ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili konstrukcija s navojem nije otkrila granice integracije (mogu biti razlomke ili iracionalne). Vraćamo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati pravu liniju pa tek onda parabolu. Napravimo crtež:

Ponavljamo da se u poentičnoj konstrukciji granice integracije najčešće otkrivaju „automatski“.

A sada radna formula:

Ako na segmentu [ a; b] neka kontinuirana funkcija f(x) veći ili jednak neka kontinuirana funkcija g(x), tada se površina odgovarajuće figure može pronaći po formuli:

Ovdje više nije potrebno razmišljati gdje se figura nalazi - iznad ose ili ispod ose, već bitno je koji je grafikon IZNAD(u odnosu na drugi grafikon), a koji je ISPOD.

U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad prave linije, dakle od 2 x – x 2 se mora oduzeti - x.

Završetak rješenja može izgledati ovako:

Željena figura ograničena je parabolom y = 2x – x 2 gornje i ravno y = -x odozdo.

Na segmentu 2 x – x 2 ≥ -x. Prema odgovarajućoj formuli:

odgovor: .

Zapravo, školska formula za površinu krivolinijskog trapeza u donjoj poluravni (vidi primjer br. 3) je poseban slučaj formule

.

Od ose OX je dato jednačinom y= 0, i graf funkcije g(x) se nalazi ispod ose OX, onda

.

A sada par primjera za samostalno rješenje

Primjer 5

Primjer 6

Pronađite površinu figure ograničenu linijama

U toku rješavanja zadataka za izračunavanje površine pomoću određenog integrala, ponekad se dogodi smiješan incident. Crtež je urađen korektno, proračuni su bili tačni, ali, zbog nepažnje, ... pronašao površinu pogrešne figure.

Primjer 7

Hajde da prvo nacrtamo:

Figura čiju oblast treba da pronađemo je zasenčena plavom bojom.(pažljivo pogledajte stanje - koliko je brojka ograničena!). Ali u praksi, zbog nepažnje, često odluče da moraju pronaći područje figure koje je zasjenjeno zelenom bojom!

Ovaj primjer je koristan i po tome što se u njemu površina figure izračunava pomoću dva određena integrala. stvarno:

1) Na segmentu [-1; 1] iznad osovine OX graf je ravan y = x+1;

2) Na segmentu iznad ose OX nalazi se graf hiperbole y = (2/x).

Sasvim je očigledno da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:

odgovor:

Primjer 8

Izračunajte površinu figure ograničene linijama

Predstavimo jednačine u "školskom" obliku

i nacrtaj liniju:

Iz crteža se vidi da je naša gornja granica „dobra“: b = 1.

Ali koja je donja granica? Jasno je da ovo nije cijeli broj, ali šta?

Možda, a=(-1/3)? Ali gdje je garancija da je crtež napravljen sa savršenom preciznošću, može se ispostaviti da je tako a=(-1/4). Šta ako uopće nismo dobili grafik?

U takvim slučajevima potrebno je potrošiti dodatno vrijeme i analitički precizirati granice integracije.

Pronađite presečne tačke grafova

Da bismo to uradili, rešavamo jednačinu:

.

shodno tome, a=(-1/3).

Dalje rješenje je trivijalno. Glavna stvar je da se ne zbunite u zamjenama i znakovima. Izračuni ovdje nisu najlakši. Na segmentu

, ,

prema odgovarajućoj formuli:

odgovor:

U zaključku lekcije razmotrićemo dva teža zadatka.

Primjer 9

Izračunajte površinu figure ograničene linijama

Rješenje: Nacrtajte ovu figuru na crtežu.

Za crtanje tačku po tačku, morate znati izgled sinusoidi. Općenito, korisno je znati grafove svih elementarnih funkcija, kao i neke vrijednosti sinusa. Mogu se naći u tabeli vrednosti trigonometrijske funkcije . U nekim slučajevima (na primjer, u ovom slučaju), dopušteno je izraditi šematski crtež, na kojem se grafovi i granice integracije moraju u principu ispravno prikazati.

Ovdje nema problema s granicama integracije, one slijede direktno iz uslova:

- "x" se mijenja od nule do "pi". Donosimo dalju odluku:

Na segmentu, graf funkcije y= greh 3 x nalazi se iznad ose OX, zbog toga:

(1) Možete vidjeti kako su sinusi i kosinusi integrirani u neparne potencije u lekciji Integrali trigonometrijskih funkcija. Otkidamo jedan sinus.

(2) Osnovni trigonometrijski identitet koristimo u obliku

(3) Promijenimo varijablu t= cos x, zatim: nalazi se iznad ose , dakle:

.

.

Bilješka: primijetite kako se uzima integral tangente u kocki, ovdje posljedica glavnog trigonometrijski identitet

.