Pretpostavimo da treba da pronađemo jednačinu ravni koja prolazi kroz tri date tačke koje ne leže na istoj pravoj. Označavajući njihove radijus vektore sa, a trenutni radijus vektor sa , lako možemo dobiti traženu jednačinu u vektorskom obliku. U stvari, vektori moraju biti komplanarni (svi leže u željenoj ravni). Dakle, vektorsko-skalarni proizvod ovih vektora mora biti jednak nuli:

Ovo je jednadžba ravni koja prolazi kroz tri date tačke, u vektorskom obliku.

Prelazeći na koordinate, dobijamo jednačinu u koordinatama:

Ako tri date tačke leže na istoj pravoj, tada bi vektori bili kolinearni. Stoga bi odgovarajući elementi zadnja dva reda determinante u jednačini (18) bili proporcionalni i determinanta bi bila identično jednaka nuli. Prema tome, jednadžba (18) bi postala identična za bilo koje vrijednosti x, y i z. Geometrijski, to znači da kroz svaku tačku u prostoru prolazi ravan u kojoj leže tri date tačke.

Napomena 1. Isti problem se može riješiti bez upotrebe vektora.

Označavajući koordinate tri date tačke, respektivno, napisaćemo jednačinu bilo koje ravni koja prolazi kroz prvu tačku:

Da bi se dobila jednačina željene ravni, potrebno je zahtijevati da jednačina (17) bude zadovoljena koordinatama još dvije tačke:

Iz jednadžbi (19) potrebno je odrediti omjer dva koeficijenta prema trećem i pronađene vrijednosti unijeti u jednačinu (17).

Primjer 1. Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačke.

Jednačina ravnine koja prolazi kroz prvu od ovih tačaka bit će:

Uslovi da ravan (17) prođe kroz dve druge tačke i prvu tačku su:

Dodajući drugu jednačinu prvoj, nalazimo:

Zamjenom u drugu jednačinu dobijamo:

Zamjenom u jednačinu (17) umjesto A, B, C, redom, 1, 5, -4 (brojevi proporcionalni njima), dobijamo:

Primjer 2. Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačke (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Jednačina bilo koje ravni koja prolazi kroz tačku (0, 0, 0) bit će]

Uslovi za prolazak ove ravni kroz tačke (1, 1, 1) i (2, 2, 2) su:

Smanjujući drugu jednačinu za 2, vidimo da za određivanje dvije nepoznate postoji jedna jednačina sa

Odavde dobijamo . Sada zamjenjujući vrijednost ravnine u jednačinu, nalazimo:

Ovo je jednadžba željene ravni; zavisi od proizvoljnog

količine B, C (naime, iz odnosa, tj. postoji bezbroj ravni koje prolaze kroz tri date tačke (tri date tačke leže na istoj pravoj liniji).

Napomena 2. Problem povlačenja ravni kroz tri date tačke koje ne leže na istoj pravoj lako se rješava u opšti pogled, ako koristimo determinante. Zaista, pošto u jednačinama (17) i (19) koeficijenti A, B, C ne mogu istovremeno biti jednaki nuli, onda, smatrajući ove jednačine kao homogeni sistem sa tri nepoznate A, B, C upiši potrebne i dovoljno stanje postojanje rješenja za ovaj sistem različitog od nule (Dio 1, Poglavlje VI, § 6):

Proširujući ovu determinantu na elemente prvog reda, dobijamo jednačinu prvog stepena u odnosu na trenutne koordinate, kojoj će posebno odgovarati koordinate tri date tačke.

Ovo posljednje također možete provjeriti direktno zamjenom koordinata bilo koje od ovih tačaka umjesto . Na lijevoj strani dobijamo determinantu u kojoj su ili elementi prvog reda nule ili postoje dva identična reda. Dakle, konstruisana jednačina predstavlja ravan koja prolazi kroz tri date tačke.

Jednačina ravni. Kako napisati jednačinu ravni?
Međusobni dogovor avioni. Zadaci

Prostorna geometrija nije mnogo složenija od „ravne“ geometrije, a naši letovi u svemiru počinju ovim člankom. Da biste savladali temu, morate je dobro razumjeti vektori, osim toga, preporučljivo je biti upoznat s geometrijom ravnine - bit će mnogo sličnosti, mnogo analogija, pa će se informacije mnogo bolje probaviti. U nizu mojih lekcija, 2D svijet otvara članak Jednačina prave linije na ravni. Ali sada je Batman napustio TV ekran i lansirao se sa kosmodroma Bajkonur.

Počnimo sa crtežima i simbolima. Šematski, ravan se može nacrtati u obliku paralelograma, što stvara utisak prostora:

Avion je beskonačan, ali imamo priliku da prikažemo samo njegov deo. U praksi se pored paralelograma crta i oval ili čak oblak. Iz tehničkih razloga, meni je zgodnije da prikažem avion upravo na ovaj način i upravo u ovoj poziciji. Pravi avioni u kojima ćemo razmatrati praktični primjeri, može se pozicionirati na bilo koji način - mentalno uzmite crtež u ruke i rotirajte ga u prostoru, dajući avionu bilo koji nagib, bilo koji ugao.

Oznake: avioni se obično označavaju malim grčkim slovima, očigledno da ih ne bi pobrkali sa prava linija na ravni ili sa prava linija u prostoru. Navikao sam da koristim pismo. Na crtežu je to slovo "sigma", a ne rupa uopšte. Mada, rupa avion je svakako prilično zabavan.

U nekim slučajevima, zgodno je koristiti ista grčka slova s ​​nižim indeksima za označavanje ravnina, na primjer, .

Očigledno je da je ravan jednoznačno definisana sa tri različite tačke koje ne leže na istoj pravoj. Stoga su troslovne oznake ravnina prilično popularne - po tačkama koje im pripadaju, na primjer, itd. Često se slova stavljaju u zagrade: , kako ne bi pobrkali ravan s drugom geometrijskom figurom.

Za iskusne čitaoce daću meni za brzi pristup:

• Kako napraviti jednadžbu ravni koristeći tačku i dva vektora?
• Kako napraviti jednadžbu ravni koristeći tačku i normalni vektor?

i nećemo venuti duga čekanja:

Opća jednačina u ravnini

Opća jednačina ravnine ima oblik , gdje koeficijenti nisu u isto vrijeme jednaki nuli.

Brojni teorijski proračuni i praktični problemi vrijede i za uobičajenu ortonormalnu bazu i za afine osnove prostor (ako je ulje ulje, vratite se na lekciju Linearna (ne)ovisnost vektora. Osnova vektora). Radi jednostavnosti, pretpostavićemo da se svi događaji dešavaju u ortonormalnoj bazi i Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu.

Ajmo sada malo da vežbamo prostorna imaginacija. U redu je ako je vaš loš, sada ćemo ga malo razviti. Čak i igranje na živce zahteva obuku.

U samom opšti slučaj, kada brojevi nisu nula, ravan siječe sve tri koordinatne ose. Na primjer, ovako:

Ponavljam još jednom da se avion kreće u nedogled u svim pravcima, a mi imamo priliku prikazati samo njegov dio.

Razmotrimo najjednostavnije jednadžbe ravnina:

Kako razumjeti ovu jednačinu? Razmislite o tome: “Z” je UVIJEK jednako nuli, za bilo koje vrijednosti “X” i “Y”. Ova jednadžba je "nativna" koordinatna ravan. Zaista, formalno se jednačina može prepisati na sljedeći način: , odakle se jasno vidi da nas nije briga koje vrijednosti zauzimaju “x” i “y”, važno je da je “z” jednako nuli.

Isto tako:
– jednačina koordinatne ravni;
– jednačina koordinatne ravni.

Hajde da malo zakomplikujemo problem, razmotrimo ravan (ovde i dalje u paragrafu pretpostavljamo da numerički koeficijenti nisu jednaki nuli). Prepišimo jednačinu u obliku: . Kako to razumjeti? “X” je UVIJEK, za bilo koje vrijednosti “Y” i “Z”, jednako određenom broju. Ova ravan je paralelna sa koordinatnom ravninom. Na primjer, ravan je paralelna s ravninom i prolazi kroz tačku.

Isto tako:
– jednačina ravnine koja je paralelna sa koordinatnom ravninom;
– jednačina ravnine koja je paralelna sa koordinatnom ravninom.

Dodajmo članove: . Jednačina se može prepisati na sljedeći način: , odnosno “zet” može biti bilo šta. Šta to znači? “X” i “Y” su povezani relacijom koja povlači određenu pravu liniju u ravni (saznaćete jednačina prave u ravni?). Pošto "z" može biti bilo šta, ova ravna linija se "replicira" na bilo kojoj visini. Dakle, jednačina definira ravan paralelnu koordinatnoj osi

Isto tako:
– jednačina ravnine koja je paralelna sa koordinatnom osom;
– jednačina ravnine koja je paralelna sa koordinatnom osom.

Ako su slobodni članovi jednaki nuli, tada će ravni direktno proći kroz odgovarajuće ose. Na primjer, klasična “direktna proporcionalnost”: . Nacrtajte pravu liniju u ravni i mentalno je pomnožite gore-dolje (pošto je "Z" bilo koji). Zaključak: avion, dato jednačinom, prolazi kroz koordinatnu osu.

Završavamo pregled: jednačina ravnine prolazi kroz ishodište. Pa, ovdje je sasvim očigledno da tačka zadovoljava ovu jednačinu.

I na kraju, slučaj prikazan na crtežu: - Avion je prijatelj sa svima koordinatne ose, dok uvijek “odsiječe” trougao koji se može nalaziti u bilo kojem od osam oktanata.

Linearne nejednakosti u prostoru

Da biste razumjeli informacije, morate dobro proučiti linearne nejednačine u ravni, jer će mnoge stvari biti slične. Paragraf će biti kratkog preglednog karaktera sa nekoliko primjera, budući da je materijal u praksi prilično rijedak.

Ako jednačina definira ravan, onda su nejednačine
pitaj poluprostori. Ako nejednakost nije stroga (posljednje dvije na listi), tada rješenje nejednakosti, pored poluprostora, uključuje i samu ravan.

Primjer 5

Pronađite vektor jedinične normale ravnine .

Rješenje: Jedinični vektor je vektor čija je dužina jedan. Označimo dati vektor kroz . Potpuno je jasno da su vektori kolinearni:

Prvo uklanjamo vektor normale iz jednadžbe ravnine: .

Kako pronaći jedinični vektor? Da biste pronašli jedinični vektor, trebate svaki podijelimo vektorsku koordinatu dužinom vektora.

Prepišimo normalni vektor u formu i pronađemo njegovu dužinu:

prema gore navedenom:

Odgovori:

Provjera: ono što je trebalo provjeriti.

Čitaoci koji su pažljivo proučili posljednji pasus lekcije vjerovatno su to primijetili koordinate jediničnog vektora su tačno kosinus smjera vektora:

Odmorimo se od problema koji je prisutan: kada vam je dat proizvoljan vektor koji nije nula, a prema uvjetu potrebno je pronaći njegove kosinuse smjera (vidi posljednje zadatke lekcije Tačkasti proizvod vektora), tada ćete, u stvari, pronaći jedinični vektor kolinearan ovom. Zapravo dva zadatka u jednoj boci.

Potreba za pronalaženjem vektora jedinične normale javlja se u nekim problemima matematičke analize.

Shvatili smo kako izvući normalni vektor, a sada odgovorimo na suprotno pitanje:

Kako napraviti jednadžbu ravni koristeći tačku i normalni vektor?

Ova kruta konstrukcija normalnog vektora i tačke je dobro poznata na dasci. Ispružite ruku naprijed i mentalno odaberite proizvoljnu tačku u prostoru, na primjer, malu mačku u kredencu. Očigledno, kroz ovu tačku možete nacrtati jednu ravan okomitu na vašu ruku.

Jednačina ravnine koja prolazi kroz tačku okomitu na vektor izražava se formulom:

U ovom materijalu ćemo pogledati kako pronaći jednadžbu ravni ako znamo koordinate tri različite tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji. Da bismo to uradili, moramo zapamtiti šta pravougaoni sistem koordinate u trodimenzionalni prostor. Za početak ćemo predstaviti osnovni princip zadata jednačina i pokazati vam kako da ga koristite za rješavanje određenih problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prvo, moramo zapamtiti jedan aksiom, koji zvuči ovako:

Definicija 1

Ako se tri tačke ne poklapaju jedna s drugom i ne leže na istoj pravoj, tada u trodimenzionalnom prostoru kroz njih prolazi samo jedna ravan.

Drugim riječima, ako imamo tri različite tačke, čije se koordinate ne poklapaju i koje se ne mogu povezati ravnom linijom, onda možemo odrediti ravan koja prolazi kroz nju.

Recimo da imamo pravougaoni koordinatni sistem. Označimo ga O x y z. Sadrži tri tačke M sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), koje se ne mogu povezati duž. Na osnovu ovih uslova možemo zapisati jednačinu ravnine koja nam je potrebna. Postoje dva pristupa rješavanju ovog problema.

1. Prvi pristup koristi opštu ravninu jednačinu. U obliku slova, piše se kao A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Uz njegovu pomoć možete definirati u pravokutnom koordinatnom sistemu određenu alfa ravan koja prolazi kroz prvu datu tačku M 1 (x 1, y 1, z 1). Ispada da će normalni vektor ravni α imati koordinate A, B, C.

Definicija N

Poznavajući koordinate vektora normale i koordinate tačke kroz koju ravan prolazi, možemo zapisati opštu jednačinu ove ravni.

To je ono od čega ćemo polaziti u budućnosti.

Dakle, prema uslovima problema, imamo koordinate željenu tačku(čak tri) kroz koje avion prolazi. Da biste pronašli jednačinu, morate izračunati koordinate njenog vektora normale. Označimo ga n → .

Setimo se pravila: svaki vektor koji nije nula date ravni je okomit na vektor normale iste ravni. Tada imamo da će n → biti okomito na vektore sastavljene od originalnih tačaka M 1 M 2 → i M 1 M 3 → . Tada možemo označiti n → kao vektorski proizvod oblika M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Pošto M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) i M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (dokazi ovih jednakosti dati su u članku posvećenom izračunavanju koordinata vektora iz koordinata tačaka), tada se ispostavlja da:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Ako izračunamo determinantu, dobićemo koordinate vektora normale n → koje su nam potrebne. Sada možemo da zapišemo jednačinu koja nam je potrebna za ravan koja prolazi kroz tri date tačke.

2. Drugi pristup pronalaženju jednačine koja prolazi kroz M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), zasniva se na konceptu kao što je koplanarnost vektora.

Ako imamo skup tačaka M (x, y, z), onda u pravougaonom koordinatnom sistemu one definišu ravan za date tačke M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) samo u slučaju kada su vektori M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) i M 1 M 3  → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) bit će komplanarni .

Na dijagramu će to izgledati ovako:

To će značiti da će mješoviti proizvod vektora M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → biti jednak nuli: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , pošto je ovo glavni uslov komplanarnosti: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) i M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Zapišimo rezultirajuću jednačinu u koordinatnom obliku:

Nakon što izračunamo determinantu, možemo dobiti jednadžbu ravnine koja nam je potrebna za tri tačke koje ne leže na istoj pravoj M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

Iz rezultirajuće jednačine može se ići na jednadžbu ravnine u segmentima ili na normalna jednačina avion, ako uslovi problema to zahtevaju.

U narednom paragrafu daćemo primere kako se pristupi koje smo naveli provode u praksi.

Primjeri zadataka za sastavljanje jednačine ravnine koja prolazi kroz 3 tačke

Prethodno smo identificirali dva pristupa koja se mogu koristiti za pronalaženje željene jednačine. Pogledajmo kako se koriste za rješavanje problema i kada treba izabrati svaki od njih.

Primjer 1

Postoje tri tačke koje ne leže na istoj pravoj, sa koordinatama M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz njih.

Rješenje

Koristimo obje metode naizmjenično.

1. Pronađite koordinate dva vektora koja su nam potrebna M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Sada izračunajmo njihov vektorski proizvod. Nećemo opisivati ​​proračune determinante:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Imamo vektor normale ravni koji prolazi kroz tri tražene tačke: n → = (- 5, 30, 2) . Zatim trebamo uzeti jednu od tačaka, na primjer, M 1 (- 3, 2, - 1), i zapisati jednačinu za ravan sa vektorom n → = (- 5, 30, 2). Dobijamo da: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Ovo je jednačina koja nam je potrebna za ravan koja prolazi kroz tri tačke.

2. Zauzmimo drugačiji pristup. Napišimo jednačinu za ravan sa tri tačke M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) u sljedeći obrazac:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Ovdje možete zamijeniti podatke iz iskaza problema. Kako je x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, kao rezultat dobijamo:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Dobili smo potrebnu jednačinu.

odgovor:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

Ali šta ako date tačke i dalje leže na istoj pravoj i za njih treba da napravimo jednadžbu u ravni? Ovdje se mora odmah reći da ovo stanje neće biti sasvim ispravno. Kroz takve tačke može proći beskonačan broj ravnina, tako da je nemoguće izračunati jedan odgovor. Razmotrimo takav problem da bismo dokazali netačnost takve formulacije pitanja.

Primjer 2

Imamo pravougaoni koordinatni sistem u trodimenzionalnom prostoru, u kojem su postavljene tri tačke sa koordinatama M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1 , 1) . Potrebno je napisati jednačinu za ravan koja prolazi kroz nju.

Rješenje

Koristimo prvu metodu i počnimo s izračunavanjem koordinata dva vektora M 1 M 2 → i M 1 M 3 →. Izračunajmo njihove koordinate: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Unakrsni proizvod će biti jednak:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Pošto je M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, tada će naši vektori biti kolinearni (ponovo pročitajte članak o njima ako ste zaboravili definiciju ovog koncepta). Dakle, početne tačke M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) su na istoj pravoj, a naš problem ima beskonačno mnogo opcije odgovora.

Ako koristimo drugu metodu, dobićemo:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Iz rezultirajuće jednakosti proizilazi i da su date tačke M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) na istoj pravoj.

Ako želite pronaći barem jedan odgovor na ovaj problem od beskonačan broj njegove opcije, potrebno je izvršiti sljedeće korake:

1. Zapišite jednačinu prave M 1 M 2, M 1 M 3 ili M 2 M 3 (ako je potrebno, pogledajte materijal o ovoj radnji).

2. Uzmite tačku M 4 (x 4, y 4, z 4), koja ne leži na pravoj M 1 M 2.

3. Zapišite jednačinu ravni koja prolazi kroz tri razne tačke M 1, M 2 i M 4, ne leže na istoj pravoj liniji.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Možete postaviti Različiti putevi(jedna tačka i vektor, dve tačke i vektor, tri tačke itd.). Imajući to na umu jednačina ravni može imati različite vrste. Takođe, pod određenim uslovima, ravni mogu biti paralelne, okomite, ukrštane, itd. O tome ćemo razgovarati u ovom članku. Naučit ćemo kako napraviti opštu jednadžbu ravnine i još mnogo toga.

Normalan oblik jednačine

Recimo da postoji prostor R 3 koji ima pravougaoni XYZ koordinatni sistem. Definirajmo vektor α, koji će biti oslobođen iz početne tačke O. Kroz kraj vektora α povlačimo ravan P, koja će biti okomita na nju.

Označimo proizvoljnu tačku na P kao Q = (x, y, z). Označimo radijus vektor tačke Q slovom p. U ovom slučaju, dužina vektora α je jednaka r=IαI i Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Ovo je jedinični vektor koji je usmjeren u stranu, poput vektora α. α, β i γ su uglovi koji se formiraju između vektora Ʋ i pozitivnih pravaca prostornih osa x, y, z, redom. Projekcija bilo koje tačke QϵP na vektor Ʋ je konstantna vrijednost, što je jednako p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Gornja jednadžba ima smisla kada je p=0. Jedino što će ravan P u ovom slučaju preseći tačku O (α=0), koja je ishodište koordinata, a jedinični vektor Ʋ oslobođen iz tačke O će biti okomit na P, uprkos svom pravcu, koji znači da je vektor Ʋ određen s točnošću predznaka. Prethodna jednačina je jednačina naše ravni P, izražena u vektorskom obliku. Ali u koordinatama to će izgledati ovako:

P je ovdje veće ili jednako 0. Pronašli smo jednadžbu ravnine u prostoru u normalnom obliku.

Opšta jednačina

Ako pomnožimo jednačinu u koordinatama bilo kojim brojem koji nije jednak nuli, dobićemo jednačinu koja je ekvivalentna ovoj, koja definira upravo tu ravan. To će izgledati ovako:

Ovdje su A, B, C brojevi koji su istovremeno različiti od nule. Ova jednačina se zove opšta ravan jednačina.

Jednačine ravnina. Posebni slučajevi

Jednačina u opštem obliku može se modifikovati u prisustvu dodatnih uslova. Pogledajmo neke od njih.

Pretpostavimo da je koeficijent A 0. To znači da je ova ravan paralelna sa datom Ox osom. U ovom slučaju, oblik jednačine će se promijeniti: Vu+Cz+D=0.

Slično, oblik jednačine će se promijeniti pod sljedećim uvjetima:

• Prvo, ako je B = 0, tada će se jednadžba promijeniti u Ax + Cz + D = 0, što će ukazati na paralelizam s Oy osom.
• Drugo, ako je C=0, tada će jednačina biti transformisana u Ax+By+D=0, što će ukazati na paralelizam sa datom Oz osom.
• Treće, ako je D=0, jednačina će izgledati kao Ax+By+Cz=0, što će značiti da ravan seče O (početak).
• Četvrto, ako je A=B=0, tada će se jednačina promijeniti u Cz+D=0, što će se pokazati paralelnim sa Oxy.
• Peto, ako je B=C=0, onda jednačina postaje Ax+D=0, što znači da je ravan na Oyz paralelna.
• Šesto, ako je A=C=0, tada će jednadžba dobiti oblik Vu+D=0, to jest, ona će izvesti paralelizam Oxz.

Tip jednadžbe u segmentima

U slučaju kada su brojevi A, B, C, D različiti od nule, oblik jednačine (0) može biti sljedeći:

x/a + y/b + z/c = 1,

u kojoj je a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Dobijamo kao rezultat.Vrijedi napomenuti da će ova ravan presjeći osu Ox u tački s koordinatama (a,0,0), Oy - (0,b,0) i Oz - (0,0,c ).

Uzimajući u obzir jednačinu x/a + y/b + z/c = 1, nije teško vizuelno zamisliti položaj ravni u odnosu na dati koordinatni sistem.

Normalne vektorske koordinate

Vektor normale n na ravan P ima koordinate koje su koeficijenti opšta jednačina date ravni, odnosno n (A, B, C).

Da bi se odredile koordinate normale n, dovoljno je poznavati opštu jednačinu date ravni.

Kada koristite jednadžbu u segmentima, koja ima oblik x/a + y/b + z/c = 1, kao i kada koristite opštu jednačinu, možete napisati koordinate bilo kojeg vektora normale date ravni: (1 /a + 1/b + 1/ sa).

Vrijedi napomenuti da normalni vektor pomaže u rješavanju raznih problema. Najčešći su problemi koji uključuju dokazivanje okomitosti ili paralelnosti ravnina, problemi nalaženja uglova između ravnina ili uglova između ravnina i pravih.

Vrsta ravnine jednadžbe prema koordinatama tačke i vektora normale

Vektor različit od nule n okomit na datu ravan naziva se normalan za datu ravan.

Pretpostavimo da su u koordinatnom prostoru (pravougaoni koordinatni sistem) Oxyz dati:

• tačka Mₒ sa koordinatama (xₒ,yₒ,zₒ);
• nulti vektor n=A*i+B*j+C*k.

Potrebno je napraviti jednačinu za ravan koja će prolaziti kroz tačku Mₒ okomito na normalu n.

Biramo bilo koju proizvoljnu tačku u prostoru i označavamo je M (x y, z). Neka je vektor radijusa bilo koje tačke M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k, a vektor radijusa tačke Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Tačka M će pripadati datoj ravni ako je vektor MₒM okomit na vektor n. Zapišimo uvjet ortogonalnosti koristeći skalarni proizvod:

[MₒM, n] = 0.

Kako je MₒM = r-rₒ, vektorska jednadžba ravni će izgledati ovako:

Ova jednačina može imati i drugi oblik. Za to se koriste svojstva skalarnog proizvoda, a transformacija je lijevoj strani jednačine = - . Ako ga označimo sa c, dobijamo sljedeću jednačinu: - c = 0 ili = c, koja izražava konstantnost projekcija na vektor normale vektora radijusa datih tačaka koje pripadaju ravni.

Sada možete dobiti koordinatni pogled zapisivanje vektorske jednadžbe naše ravni = 0. Pošto je r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, i n = A*i+B*j+ C* k, imamo:

Ispada da imamo jednadžbu za ravan koja prolazi kroz tačku okomitu na normalu n:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Tip ravnine jednadžbe prema koordinatama dvije tačke i vektora kolinearnog ravni

Definirajmo dvije proizvoljne tačke M′ (x′,y′,z′) i M″ (x″,y″,z″), kao i vektor a (a′,a″,a‴).

Sada možemo kreirati jednačinu za datu ravan, koja će prolaziti kroz postojeće tačke M′ i M″, kao i bilo koju tačku M sa koordinatama (x,y,z) paralelno dati vektor A.

U ovom slučaju, vektori M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) i M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) moraju biti komplanarni sa vektorom a=(a′,a″,a‴), što znači da je (M′M, M″M, a)=0.

Dakle, naša jednačina ravnine u prostoru će izgledati ovako:

Vrsta jednačine ravnine koja seče tri tačke

Recimo da imamo tri tačke: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), koje ne pripadaju istoj pravoj. Potrebno je napisati jednačinu ravni koja prolazi kroz date tri tačke. Teorija geometrije tvrdi da ova vrsta ravni zaista postoji, ali je jedina i jedinstvena. Pošto ova ravan siječe tačku (x′,y′,z′), oblik njene jednadžbe će biti sljedeći:

Ovdje se A, B, C razlikuju od nule u isto vrijeme. Takođe, data ravan seče još dve tačke: (x″,y″,z″) i (x‴,y‴,z‴). U tom smislu moraju biti ispunjeni sljedeći uslovi:

Sada možemo kreirati homogeni sistem sa nepoznatim u, v, w:

U našem slučaj x,y ili z strši proizvoljna tačka, što zadovoljava jednačinu (1). S obzirom na jednačinu (1) i sistem jednačina (2) i (3), sistem jednačina prikazan na gornjoj slici zadovoljava vektor N (A,B,C), koji nije trivijalan. Zbog toga je determinanta ovog sistema jednaka nuli.

Jednačina (1) koju smo dobili je jednačina ravnine. Prolazi tačno kroz 3 tačke i to je lako provjeriti. Da bismo to učinili, moramo proširiti našu determinantu na elemente u prvom redu. Iz postojećih svojstava determinante proizilazi da naša ravan istovremeno siječe tri početno date tačke (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Odnosno, riješili smo zadatak koji nam je dodijeljen.

Diedarski ugao između ravnina

Diedarski ugao predstavlja prostorni geometrijska figura, formiran od dvije poluravnine koje izlaze iz jedne prave linije. Drugim riječima, ovo je dio prostora koji je ograničen ovim poluravnima.

Recimo da imamo dvije ravni sa sljedećim jednadžbama:

Znamo da su vektori N=(A,B,C) i N¹=(A¹,B¹,C¹) okomiti prema dati avioni. U tom smislu, ugao φ između vektora N i N¹ jednak je uglu (diedralu) koji se nalazi između ovih ravni. Skalarni proizvod ima oblik:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

upravo zato

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Dovoljno je uzeti u obzir da je 0≤φ≤π.

Zapravo, dvije ravni koje se seku formiraju dva ugla (diedral): φ 1 i φ 2. Njihov zbir je jednak π (φ 1 + φ 2 = π). Što se tiče njihovih kosinusa, njihove apsolutne vrijednosti su jednake, ali se razlikuju po predznaku, odnosno cos φ 1 = -cos φ 2. Ako u jednačini (0) zamijenimo A, B i C brojevima -A, -B i -C, redom, tada će jednačina koju dobijemo odrediti istu ravan, jedinu, ugao φ u cos jednadžbaφ=NN 1 /|N||N 1 | će biti zamijenjen sa π-φ.

Jednadžba okomite ravni

Ravnine između kojih je ugao od 90 stepeni nazivaju se okomite. Koristeći gore predstavljeni materijal, možemo pronaći jednadžbu ravnine koja je okomita na drugu. Recimo da imamo dvije ravni: Ax+By+Cz+D=0 i A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Možemo reći da će biti okomite ako je cosφ=0. To znači da je NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Jednačina paralelne ravni

Dvije ravni koje ne sadrže zajedničke tačke nazivaju se paralelne.

Uslov (njihove jednačine su iste kao u prethodnom paragrafu) je da su vektori N i N¹, koji su okomiti na njih, kolinearni. A to znači da su ispunjeni sledećim uslovima proporcionalnost:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Ako su uslovi proporcionalnosti prošireni - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

ovo ukazuje da se ove ravni poklapaju. To znači da jednačine Ax+By+Cz+D=0 i A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 opisuju jednu ravan.

Udaljenost do ravnine od tačke

Recimo da imamo ravan P, koja je data jednačinom (0). Potrebno je pronaći udaljenost do nje od tačke sa koordinatama (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Da biste to učinili, trebate dovesti jednadžbu ravnine P u normalan oblik:

(ρ,v)=r (r≥0).

IN u ovom slučajuρ (x,y,z) je radijus vektor naše tačke Q koja se nalazi na P, p je dužina okomice P koja je oslobođena od nulte tačke, v je jedinični vektor, koji se nalazi u pravcu a.

Vektor radijusa razlike ρ-ρº neke tačke Q = (x, y, z), koja pripada P, kao i vektor radijusa date tačke Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) je takav vektor, apsolutna vrijednostčija je projekcija na v jednaka udaljenosti d, koju treba naći od Q 0 = (xₒ,uₒ,zₒ) do P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ali

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =r-(ρ 0 ,v).

Tako se ispostavilo

d=|(ρ 0 ,v)-r|.

Pa ćemo naći apsolutna vrijednost rezultirajući izraz, odnosno željeni d.

Koristeći jezik parametara, dobijamo očigledno:

d=|Ahₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+V²+S²).

Ako set lopta Q 0 je na drugoj strani ravni P, kao i ishodište koordinata, tada se između vektora ρ-ρ 0 i v nalazi:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-r>0.

U slučaju kada se tačka Q 0, zajedno sa ishodištem koordinata, nalazi na istoj strani od P, tada je stvoreni ugao oštar, odnosno:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=r - (ρ 0 , v)>0.

Kao rezultat toga, ispada da je u prvom slučaju (ρ 0 ,v)>r, u drugom (ρ 0 ,v)<р.

Tangentna ravan i njena jednadžba

Tangentna ravan na površinu u tački kontakta Mº je ravan koja sadrži sve moguće tangente na krivulje povučene kroz ovu tačku na površini.

Sa ovom vrstom površinske jednačine F(x,y,z)=0, jednačina tangentne ravni u tački tangente Mº(xº,yº,zº) će izgledati ovako:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Ako zadate površinu u eksplicitnom obliku z=f (x,y), tada će tangentna ravan biti opisana jednadžbom:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Presjek dvije ravni

U koordinatnom sistemu (pravougaonom) nalazi se Oxyz, date su dve ravni P′ i P″ koje se seku i ne poklapaju. Pošto je bilo koja ravan koja se nalazi u pravougaonom koordinatnom sistemu određena opštom jednačinom, pretpostavićemo da su P′ i P″ date jednačinama A′x+B′y+C′z+D′=0 i A″x +B″y+ S″z+D″=0. U ovom slučaju imamo normalu n′ (A′,B′,C′) ravni P′ i normalu n″ (A″,B″,C″) ravni P″. Pošto naše ravni nisu paralelne i ne poklapaju se, ovi vektori nisu kolinearni. Koristeći jezik matematike, ovaj uslov možemo napisati na sljedeći način: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Neka prava linija koja leži na raskrsnici P′ i P″ bude označena slovom a, u ovom slučaju a = P′ ∩ P″.

a je prava linija koja se sastoji od skupa svih tačaka (zajedničkih) ravni P′ i P″. To znači da koordinate bilo koje tačke koja pripada pravoj a moraju istovremeno zadovoljiti jednačine A′x+B′y+C′z+D′=0 i A″x+B″y+C″z+D″=0 . To znači da će koordinate tačke biti djelomično rješenje sljedećeg sistema jednačina:

Kao rezultat toga, ispada da će (opće) rješenje ovog sistema jednadžbi odrediti koordinate svake od tačaka prave, koja će djelovati kao presječna tačka P′ i P″, i odrediti pravu liniju a u Oxyz (pravougaonom) koordinatnom sistemu u prostoru.