Određivanje udaljenosti između paralelnih ravnina. Udaljenost između dvije paralelne ravni: definicija i primjeri nalaženja

Udaljenost između dvoje paralelne ravni izražava se formulom:

Koordinate tačaka ne znamo, a ni ne moramo ih znati, jer se okomica između ravnina može produžiti bilo gdje.

Nađimo udaljenost između paralelnih ravni primjera br. 8:

Primjer 10

.

Rješenje: Koristite formulu:

Odgovori:

Mnogi vjerovatno imaju pitanje: za ove ravni - prva tri koeficijenta su ista, ali to nije uvijek slučaj! Da, ne uvek.

Primjer 11

Pronađite razmak između paralelnih ravnina

Provjerimo proporcionalnost koeficijenata: , ali , dakle, ravni su zaista paralelne. Prva tri koeficijenta su proporcionalna, ali nisu ista. Ali formula predviđeno za koincidentne koeficijente!

Postoje dva rješenja:

1) Pronađite neku tačku koja pripada nekoj od ravnina. Na primjer, uzmite u obzir avion. Da biste pronašli tačku, najlakši način je postaviti dvije koordinate na nulu. Resetujmo "X" i "Z", zatim: .

Dakle, tačka pripada datoj ravni. Sada možete koristiti formulu udaljenosti od tačke do prave, o kojoj smo govorili u prethodnom odeljku.

2) Drugi način se odnosi na mali trik koji je potrebno primijeniti da bi se formula i dalje koristila ! Ovo je "uradi sam" primjer.

Ukrštanje ravni

Treći, najčešći slučaj, kada se dvije ravni seku duž neke prave:

Dvije ravni se sijeku ako i samo ako su njihovi koeficijenti sa varijablama NIJE proporcionalno, odnosno NE postoji takva vrijednost "lambda" da su jednakosti ispunjene

Odmah ću primetiti važna činjenica: Ako se ravnine seku, onda sistem linearne jednačine definira jednačinu prave u prostoru. Ali o svemirskoj liniji kasnije.

Kao primjer, razmotrite avione . Napravimo sistem za odgovarajuće koeficijente:

Iz prve dvije jednadžbe slijedi da , ali iz treće jednačine slijedi da je, dakle, sistem je nedosledan, a ravnine se seku.

Provjera se može obaviti "šaljivo" u jednom redu:

Već smo analizirali paralelne ravni, a sada razgovarajmo o okomitim ravnima. Očigledno je da se beskonačno mnogo može povući u bilo koju ravan. okomite ravni, a da biste fiksirali određenu okomitu ravan, morate znati dvije točke:

Primjer 12

Dao avion . Konstruisati ravan okomitu na datu i koja prolazi kroz tačke .

Rješenje: Počinjemo analizirati stanje. Šta znamo o avionu? Poznate su dvije tačke. Možete pronaći vektor paralelan datoj ravni. Nije dovoljno. Bilo bi lijepo negdje iskopati drugi odgovarajući vektor. Budući da ravni moraju biti okomite, normalni vektor ravnine će odgovarati.

Šematski crtež pomaže u provedbi takvog zaključivanja:

Za bolje razumijevanje zadaci izdvajaju vektor normale iz tačke u ravni.

Treba napomenuti da se dvije proizvoljne točke mogu locirati u prostoru kako želite, a okomita ravan se može okrenuti prema nama iz potpuno drugog ugla. Inače, sada možete jasno vidjeti zašto jedna tačka ne definira okomitu ravan - beskonačan broj okomitih ravni će se "rotirati" oko jedne tačke. Također, jedan vektor (bez ikakvih bodova) nam neće odgovarati. Vektor je slobodan i "utisnut će" nas beskonačnim brojem okomitih ravni (koje će, usput rečeno, sve biti paralelne). U tom smislu, dvije tačke daju minimalnu krutu strukturu.

Algoritam je rastavljen, rješavamo problem:

1) Pronađite vektor .

2) Iz jednačine ukloniti normalni vektor: .

3) Sastavljamo jednadžbu ravnine po tački (moguće je uzeti i ) i dva nekolinearna vektora:

Materijal ovog članka omogućava vam da steknete vještinu određivanja udaljenosti između dvije paralelne ravnine pomoću metode koordinata. Hajde da damo definiciju udaljenosti između paralelnih ravnina, dobijemo formulu za njeno izračunavanje i razmotrimo teoriju na praktičnim primerima.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Udaljenost između paralelnih ravnina je udaljenost od proizvoljna tačka jedna od razmatranih paralelnih ravni u odnosu na drugu ravan.

Neka su date dvije paralelne ravni ϒ 1 i ϒ 2. Iz proizvoljne tačke M 1 ravni ϒ 1 spuštamo okomicu M 1 H 1 u drugu ravan ϒ 2. Dužina okomice M 1 H 1 će biti rastojanje između datih ravnina.

Ova definicija udaljenosti između paralelnih ravni povezana je sa sljedećom teoremom.

Teorema

Ako su dvije ravni paralelne, onda su sve tačke jedne od paralelnih ravni na istoj udaljenosti od druge ravni.

Dokaz

Pretpostavimo da su date dvije paralelne ravni ϒ 1 i ϒ 2. Da bi se dobio dokaz teoreme, potrebno je dokazati da su okomite ispuštene iz različitih proizvoljnih tačaka jedne ravni u drugu ravninu jednake. Neka su date neke proizvoljne tačke M 1 i M 2 na ravni ϒ 1, a iz njih se spuštaju okomite M 1 H 1 i M 2 H 2 na ravan ϒ 2. Dakle, moramo dokazati da je M 1 H 1 \u003d M 2 H 2.

Prave M 1 H 1 i M 2 H 2 su paralelne, jer su okomite na jednu ravan. Zasnovano na aksiomu jedne ravni koja prolazi kroz tri razne tačke, koje ne leže na jednoj pravoj, možemo tvrditi da postoji samo jedna ravan koja prolazi kroz dvije paralelne prave. Pretpostavićemo da postoji neka ravan ϒ 3 koja prolazi kroz dve paralelne prave M 1 H 1 i M 2 H 2 . Očigledna činjenica je da ravan ϒ 3 seče ravnine ϒ 1 i ϒ 2 duž pravih M 1 M 2 i H 1 H 2 , koje se ne seku, pa su stoga paralelne (u suprotnom bi date ravni imale zajednička tačka, što je nemoguće zbog njihove paralelnosti uslovom zadatka). Dakle, posmatramo četvorougao M 1 M 2 H 1 H 2, u kojem suprotne strane su parno paralelne, tj. M 1 M 2 H 1 H 2 je paralelogram (u ovom slučaju pravougaonik). Dakle, suprotne strane ovog paralelograma su jednake, što znači | M 1 H 1 | = | M 2 H 2 | . Q.E.D.

Imajte na umu da je udaljenost između paralelnih ravni najmanja od udaljenosti između proizvoljnih tačaka ovih ravnina.

Pronalaženje udaljenosti između paralelnih ravnina

Prema programu 10 - 11 razreda, rastojanje između paralelnih ravni se određuje konstruisanjem okomice iz bilo koje tačke jedne ravni, spuštene u drugu ravan; nakon čega se nalazi dužina ove okomice (pomoću Pitagorine teoreme, znakova jednakosti ili sličnosti trokuta, ili definicije sinusa, kosinusa, tangenta ugla).

U slučaju kada je pravougaoni koordinatni sistem već postavljen ili ga je moguće postaviti, tada imamo mogućnost da odredimo rastojanje između paralelnih ravni koordinatnom metodom.

Neka dano trodimenzionalni prostor, a u njemu - pravougaoni koordinatni sistem i dve paralelne ravni ϒ 1 i ϒ 2 . Pronađimo udaljenost između ovih ravnina, oslanjajući se, između ostalog, na definiciju udaljenosti između gore datih ravnina.

U početnim podacima - ravni ϒ 1 i ϒ 2, a možemo odrediti koordinate (x 1, y 1, z 1) određene tačke M 1 koja pripada jednoj od dati avioni: neka je to ravan ϒ 1 . Dobijamo i normalnu jednačinu ravni ϒ 2: cos α · x + cos β · y + cos λ · z - p = 0 . U ovom slučaju, potrebna udaljenost | M 1 H 1 | biće jednaka udaljenosti od tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) do ravni ϒ 2 (odgovara normali cos jednadžbaα x + cos β y + cos γ z - p = 0). Zatim izračunavamo traženu udaljenost po formuli: M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. Izvođenje ove formule može se proučavati u temi izračunavanja udaljenosti od tačke do ravni.

Hajde da sumiramo. Za određivanje udaljenosti između dvije paralelne ravni potrebno je:

Definicija 2

Naći koordinate (x 1 , y 1 , z 1) određene tačke M 1 koja pripada jednoj od prvobitnih ravni;

Definirajte normalnu jednačinu druge ravni u obliku cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 ;

Izračunajte potrebnu udaljenost koristeći formulu: M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p .

Ako je u pravougaonom koordinatnom sistemu ravan ϒ 1 data opštom jednačinom ravni A x + B y + C z + D 1 = 0, a ravan ϒ 2 data je opštom jednačinom A x + B y + C z + D 2 = 0 , tada se udaljenost između paralelnih ravnina mora izračunati pomoću formule:

M 1 H 1 = D 2 - D 1 A 2 + B 2 + C 2

Hajde da pokažemo kako datu formulu primljeno.

Neka tačka M 1 (x 1, y 1, z 1) pripada ravni ϒ 1 . U ovom slučaju, koordinate ove tačke će odgovarati jednadžbi ravnine A x + B y + C z + D 1 = 0, ili će jednakost biti tačna: A x 1 + B y 1 + C z 1 + D 1 = 0 . Odavde dobijamo: A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 + D 1 = 0. Rezultirajuća jednakost će nam i dalje biti korisna.

Ravan ϒ 2 će biti opisana normalna jednačina ravan A x + B y + C z + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = 0 ili - A x + B y + C z + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = 0 (u zavisnosti od predznaka broja D 2). Međutim, za bilo koju vrijednost D 2 udaljenost | M 1 H 1 | može se izračunati pomoću formule:

M 1 H 1 = A x 1 + B y 1 + C z 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = A x 1 + B y 1 + C z 1 + D 2 A 2 + B2 + C2

Sada koristimo prethodno dobijenu jednakost A x 1 + B y 1 + C z 1 = - D 1 i transformiramo formulu:

M 1 H 1 = - D 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = D 2 - D 1 A 2 + B 2 + C 2

Primjer 1

Date su dvije paralelne ravni ϒ 1 i ϒ 2, opisane jednadžbama x 1 6 + y - 1 4 + z 1 4 3 = 1 i 3 x - 2 y + 2 3 z - 20 = 0, respektivno. Potrebno je odrediti rastojanje između datih ravnina.

Rješenje

Rešimo problem na dva načina.

1. Jednačina ravnine u segmentima, koja je navedena u uslovu zadatka, omogućava da se odrede koordinate tačke M 1 koja pripada ravni opisanoj ovom jednačinom. Kao tačku M 1 koristimo tačku preseka ravni ϒ 1 i ose O x . Dakle, imamo: M 1 1 6 , 0 , 0 .

Transformirajmo opštu jednačinu ravni ϒ 2 u normalni oblik:

3 x - 2 y + 2 3 z - 20 = 0 ⇔ 3 x - 2 y + 2 3 z - 20 3 2 + (- 2) 2 + 2 3 2 = 0 ⇔ ⇔ 3 5 x - 2 5 y + 2 3 5 z - 4 = 0

Izračunajte udaljenost | M 1 H 1 | iz tačke M 1 1 6 , 0 , 0 do ravni 3 5 x - 2 5 y + 2 3 5 z - 4 = 0:

M 1 H 1 = 3 5 1 6 - 2 5 0 + 2 3 5 0 - 4 \u003d 1 10 - 4 = 3 9 10

Tako smo dobili željenu udaljenost između originalnih paralelnih ravnina.

1. Jednačinu ravnine u segmentima transformiramo u opću jednačinu ravnine:

x 1 6 + y - 1 4 + z 1 4 3 = 1 ⇔ 6 x - 4 y + 4 3 z - 1 = 0

Izjednačavamo koeficijente za varijable x, y, z u opštim jednačinama ravnina; U tu svrhu množimo obje strane ekstremne jednakosti sa 2:

3 x - 2 y + 2 3 z - 20 = 0 ⇔ 6 x - 4 y + 4 3 z - 40 = 0

Koristimo formulu da pronađemo udaljenost između paralelnih ravnina:

M 1 H 1 = D 2 - D 1 A 2 + B 2 + C 2 = - 40 - (- 1) 6 2 + (- 4) 2 + (4 3) 2 = 39 100 \u003d 3 9 10.

odgovor: 3 9 10 .

Primjer 2

Date su dvije paralelne ravni opisane jednadžbama: 6 x + 4 y - 12 z + 3 = 0 i 3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 . Potrebno je pronaći rastojanje između ovih ravnina.

Rješenje

Biće prikladnije koristiti drugi način za rješavanje takvih problema. Pomnožite obje strane druge jednadžbe sa 2 i koeficijenti u jednadžbama ravnina će postati jednaki: 6 x + 4 y - 12 z + 3 = 0 i 6 x + 4 y - 12 z - 4 = 0. Sada možete koristiti formulu:

M 1 H 1 = - 4 - 3 6 2 + 4 2 + (- 12) 2 = 7 196 \u003d 1 2

Međutim, pokušajmo pronaći odgovor na prvi način: recimo da tačka M 1 (x 1 , y 1 , z 1) pripada ravni 6 x + 4 y - 12 z + 3 = 0 . Prema tome, koordinate ove tačke odgovaraju jednadžbi ravnine, a jednakost će biti tačna:

6 x 1 + 4 y 1 - 12 z 1 + 3 = 0

Neka je y 1 = 0, z 1 = 0, zatim x 1: 6 x 1 + 4 0 - 12 0 + 3 = 0 ⇔ x 1 = - 1 2

Dakle, poenta je došla tačne koordinate: M 1 - 1 2 , 0 , 0 .

Transformirajmo opštu jednačinu ravni 3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 u normalan oblik:

3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 3 2 + 2 2 + - 6 = 0 ⇔ 3 7 x + 2 7 y - 6 7 z - 2 7 = 0

U ovom slučaju, tražena udaljenost između ravnina je: 3 7 - 1 2 + 2 7 0 - 6 7 0 - 6 7 0 - 2 7 = - 1 2 = 1 2

odgovor: 1 2 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Pomoću ovog online kalkulatora možete pronaći udaljenost između aviona. dato detaljno rješenje sa objašnjenjima. Da biste pronašli razmak između ravnina, unesite elemente jednačine ravnine u ćelije i kliknite na dugme "Riješi".

×

Upozorenje

Obrisati sve ćelije?

Zatvori Clear

Uputstvo za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjeri: 487, 5, -7623, itd.), decimalni brojevi (npr. 67., 102.54, itd.) ili razlomci. Razlomak se mora upisati u obliku a/b, gdje su a i b (b>0) cijeli brojevi ili decimalni brojevi. Primjeri 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, itd.

Udaljenost između ravnina - teorija

Algoritam za izračunavanje udaljenosti između ravnina sadrži sljedeće korake:

1. Provjera kolinearnosti normalni vektori avioni.
2. Pronalaženje neke tačke M 0 na prvom planu.
3. Izračunavanje udaljenosti između tačke M 0 i druga ravan.

Normalni vektor jednačine (2") ima sljedeći oblik:

pripada ravni (1):

Opća jednačina ravnine ima oblik:

Zamijenite vrijednosti A B C D 1 , D 2 in (9):

Hajde da pojednostavimo i rešimo.

Definicija. Nazvat ćemo udaljenost od tačke do ravni minimalno rastojanje od date tačke do tačaka u m-ravni.

Jer minimalno rastojanje od date tačke do tačaka bilo koje prave koja leži na m-ravni je rastojanje od date tačke do osnove okomice spuštene sa nje na pravu. Udaljenost od tačke do m-ravnine jednaka je udaljenosti od ove tačke do osnove okomice spuštene iz nje na m-ravninu.

Odrediti udaljenost od tačke do ravnine koju daje jednačina
(4) . Jednačina okomice spuštene iz tačke
u avionu izgleda ovako:
(12) . Zamena (12) in (4) :.
(13) . Jer razdaljina sa tačke
na proizvoljnu tačku ravni je jednako
(14) . Konkretno, udaljenost do ravni od početka sistema je
(15) . Kada je vektor normale jedinica, formula (14) može se napisati kao
(14’) , a (15) :
(15’) . U slučaju kada je vektor normale jedinica, apsolutna vrijednost slobodnog člana u (4) jednaka udaljenosti do ravni.

Izjava. Zato što paralelne ravni mogu imati iste vektore pravca , tada su normalni vektori paralelnih ravni kolinearni. Udaljenosti od svih tačaka jedne od dvije paralelne ravni do druge od ovih ravni su jednake. Zaista, udaljenost od proizvoljne tačke
na ravan kroz tačku
paralelno sa datom ravninom (4) sa vektorima pravca , zahvaljujući (14) jednaki
. One. jednaka udaljenosti sa tačke
u istu ravan.

Definicija. Nazvat ćemo broj jednak ovim udaljenostima, rastojanje između dve paralelne ravni.

Ako se jednačine dvije ravni zapisuju kao: (17) , tada je udaljenost između njih jednaka udaljenosti od tačke
leži na drugoj ravni prije prve. Zbog omjera (14) , ova udaljenost je
, ali zato dot
leži na drugoj ravni, a zatim vektor zadovoljava jednačinu ove ravni, tj. dobijamo:
(18) .

23. Svođenje jednadžbe krivulje drugog reda na kanonski oblik sa klasifikacijom mogućih tipova u slučaju δ≠0

Fiksiramo pravougaoni koordinatni sistem na ravan i razmatramo opštu jednačinu drugog stepena. (1)

Def: Skup tačaka čije koordinate zadovoljavaju jednačinu 1 se zove kriva drugog reda. grupa starijih članova (2) može se posmatrati kao kvadratni oblik u koordinatama (x, y) vektora x. Pošto je matrica A-simetrična, onda je  ortonormalna baza
od sopstveni vektori a, u kojoj je matrica kvadratni oblik dijagonalno i realno. Neka je matrica P= prijelazna matrica od baze e do baze . Onda
. Onda (5)
. Uzimajući u obzir 5, pišemo kvadratni oblik 2. (6) I
(lako se izvodi množenjem P T AP). Dakle, u osnovi kvadratni oblik se može napisati kao
. Pošto je P T P=I, matrica R je ortogonalna i geometrijski prelaz sa baze na bazu odgovara rotaciji za neki y
gol u suprotnom smeru kazaljke na satu.
. S obzirom na valjanost 5.6, prepisujemo jednačinu 1 u novim koordinatama. (10)

Hajde da stavimo (11)
. Tada je λ 1 λ 2 =detD=det(P T AP)=detP T detA detP=detA.

Sredstva

Podijelimo slučajeve:

1)

(13)
. i:
,
,
.

ALI) Pretpostavimo da su svi λ istog znaka, tada je lokus tačaka čije koordinate zadovoljavaju uvjet 13:

Elipsa ako je znak c suprotan predznaku λ

"Imaginarna elipsa" ako je znak c=znak λ

tačka ako je c=0

AT) Neka
, tj. λ 1 i λ 2 različitih predznaka. Onda će biti 13

a. jednadžba hiperbole:
, ifc≠0

b. I parovi linija koje se seku ako je c=0

Svođenje jednadžbe krivulje drugog reda na kanonski oblik s klasifikacijom mogućih tipova u slučaju δ =0

Invarijante krivulje drugog reda. Definicija kanonska jednačina kriva drugog reda u invarijantama.

Def: krivulja invarijantna nazivaju se funkcije koeficijenata jednadžbe krive, koje se ne mijenjaju pri prelasku iz jedne pravougaoni sistem koordinate na drugu.

Teorema. Za krivulju drugog reda
,
,
su invarijante. U dokazu se razmatraju 2 slučaja: 1) paralelno prevođenje (promenljive se menjaju, otvaraju se zagrade, grupišu) 2) rotacija pomoću R.

Elliptical Curve		- Elipsa
		- Elipsa
Kriva hiperboličkog tipa		Hiperbola
		Par linija koje se seku
		Parabola
		Par paralelnih linija

Svođenje jednadžbe površine drugog reda na kanonski oblik sa klasifikacijom tipa u slučaju kada su svi λ i razlikuju se od nule.

U slučaju kada su svi λ i različiti od nule. Površina se transformacijom kvadratnog oblika koristeći prijelaznu matricu P (kao u krivuljama samo za matricu 3x3), a zatim transformacijom koordinata i dovođenjem u kanonski oblik, transformira u sljedeći oblik:. Zatim imamo sljedeće.

			Elipsoid
			Hiperboloid sa jednim listom
			Hiperboloid sa dva lista
			Imaginarni elipsoid
	 λi istog znaka		imaginarni konus

Svođenje površinske jednadžbe drugog reda na kanonski oblik sa klasifikacijom tipa u slučaju kada je jedan od λ i ­ jednako nuli.

Neka je, radi određenosti, λ 3 =0. Tada će jednadžba površine poprimiti oblik:
(4). Ako u 4
, tada jednačina postaje jednačina cilindrične površine.
(5). Opet, pretpostavljamo da je c≤0, inače množimo 5 sa -1.

			Eliptični cilindar
			hiperbolički cilindar
			Zamišljeni eliptični cilindar
	λi jednog znaka		Dvije imaginarne ravnine koje se ukrštaju	Pravo x=0, y=0
	λi različiti znakovi
	Ako je λi istog predznaka		Eliptični paraboloid
	Ako su različiti znakovi		Hiperbolički paraboloid

Svođenje jednadžbe površine drugog reda na kanonski oblik s klasifikacijom tipova u slučaju kada su dvije od λ i jednake su nuli.

Neka
, tada će jednadžba površine poprimiti oblik: (7) . To je par paralelne ravni, različito kada je λ 1 C<0, совпадающих, когда C=0, мнимых, если λ 1 C>0.

Ako je 2 ≠ 0 ili 3 ≠ 0, vršimo zamjenu, pod pretpostavkom:
,
. Zamjenom u 7 dobijamo:
, gdje
. Da li je to kriva drugog reda u ravni ili parabolični cilindar.

Teorema 1: Prostor R se može dekomponovati u direktan zbir invarijantnih podprostora N 0 (p) i M (p). U ovom slučaju, podprostor N 0 (p) se sastoji samo od njihovih vlastitih i pridruženih vektora koji odgovaraju svojstvenoj vrijednosti λ=0, au podprostoru M (p) transformacija je reverzibilna (tj. λ=0 nije svojstvena vrijednost transformacije A u podprostoru M ( p).

dokaz: da bi se dokazala prva tvrdnja, dovoljno je pokazati da je presek podprostora N 0 (p) i M 0 (p) jednak nuli. Pretpostavimo suprotno, tj. neka postoji vektor y≠0 takav da su yM (p) i yN 0 (p) . Pošto je yM (p) , onda je y=A p x.

Ali iz jednakosti (8) i (9) slijedi da postoji vektor x za koji je A p x≠0 i istovremeno A 2 p x = A p y = 0

To znači da je x pridruženi transformacijski vektor A sa svojstvenom vrijednošću λ=0 koji ne pripada podprostoru N 0 (p) , što je nemoguće, jer se N 0 (p) sastoji od svih takvih vektora.

Tako smo dokazali da je presjek N 0 (p) i M 0 (p) jednak nuli. Pošto je zbroj dimenzija ovih podprostora jednak n (ovo je jezgro i slika transformacije A p), slijedi da se prostor R razlaže u direktan zbir ovih podprostora:

R=M(p) N 0 (p)

Dokažimo sada drugu tvrdnju teoreme, tj. da u podprostoru M (p) transformacija A nema nultu svojstvenu vrijednost. Zaista, da to nije slučaj, tada bi u M (p) postojao vektor x≠0 takav da je A p x=0

Ali ova jednakost znači da je xN 0 (p) , tj. je zajednički vektor M (p) i N 0 (p) , a dokazali smo da samo nula može biti takav vektor.

Teorema 2: Neka transformacija A prostora R ima k različitih sopstvene vrijednostiλ 1 ,….,λ k . Tada se R može razložiti na direktan zbir k invarijantnih podprostora N λ 1 (p 1) ,….,N λk (pk) :

R = N λ 1 (p 1) ….N λk (pk)

Svaki od podprostora N λi (pi) sastoji se samo od svojstvenih vektora i pridruženih vektora koji odgovaraju svojstvenoj vrijednosti λ i

Drugim riječima, za svako i postoji takav broj p i da za sve xN λ i (pi) .

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili za kontaktiranje s njom.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Prikupljeno od nas lična informacija omogućava nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudski nalog, u sudskim postupcima, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.