U više složene strukture možda će biti potrebno više puta primjenjivati ​​teoremu dekompozicije. Dakle, slika 2.2 prikazuje ekspanziju u odnosu na element 7 (gornji red), a zatim u odnosu na element 8 (donji red). Rezultirajuće četiri podmreže imaju serijski paralelne strukture i više ne zahtijevaju proširenja. Lako je vidjeti da se u svakom koraku broj elemenata u rezultirajućim podmrežama smanjuje za jedan, a broj podmreža koje zahtijevaju dalje razmatranje dubl. Dakle, opisani proces je u svakom slučaju konačan, a broj rezultirajućih serijsko-paralelnih struktura će biti 2 m , gdje je t - broj elemenata preko kojih je trebalo izvršiti dekompoziciju. Složenost ove metode može se procijeniti na 2 m , što je manje od složenosti iscrpnog nabrajanja, ali je ipak neprihvatljivo za proračun pouzdanosti stvarnih komutacijskih mreža.

Slika.2.2 Sekvencijalna dekompozicija mreže

Metoda sekcija ili skupova putanja

Razmotrimo drugu metodu za izračunavanje strukturalne pouzdanosti mreža. Pretpostavimo, kao i ranije, da je potrebno odrediti vjerovatnoću mrežne povezanosti između dati par čvorovi A,B. Kriterijum za ispravan rad mreže u ovaj slučaj je prisustvo barem jednog načina prijenosa informacija između razmatranih čvorova. Pretpostavimo da imamo listu mogući načini u obliku liste elemenata (čvorova i komunikacijskih pravaca) uključenih u svaku putanju. AT opšti slučaj putanje će biti zavisne, jer bilo koji element može biti uključen u nekoliko putanja. Pouzdanost R s bilo koja s-ro putanja može se izračunati korištenjem formule serijske veze R s =p 1s p 2s …p ts , gdje je p - pouzdanost i-th s-ro element putanje.

Željena pouzdanost H AB zavisi od pouzdanosti svake staze i mogućnosti njihovog ukrštanja zajedničkim elementima. Označite pouzdanost koju daje prvi r staze, kroz H r. Dodavanje sljedeće (r+1)-te staze sa pouzdanošću R r+1 očito će dovesti do povećanja pouzdanosti konstrukcije, koja će sada biti određena udruživanjem dva događaja: barem jedan od prvih r je upotrebljiv staze ili uslužni (r+1) - th put. Vjerovatnoća da se ovaj kombinovani događaj dogodi, uzimajući u obzir moguća zavisnost. kvarovi (r+1) - th i drugi putevi

H r+i =H r +R r+i -R r+1 H r/(r+1), (2.10)

gdje je H r/ (r+1) vjerovatnoća upotrebljivosti najmanje jednog od prvih r puteva, pod uslovom da je (r+1) -ta putanja upotrebljiva.

Iz definicije uslovna verovatnoća H r/ (r+1) slijedi da se prilikom izračunavanja mora uzeti u obzir vjerovatnoća ispravnog rada svih elemenata uključenih u (r+1) -tu putanju jednako jedan. Radi pogodnosti daljih proračuna, zadnji član izraza (2.10) predstavljamo u sljedećem obliku:

R r+1 H r/ (r+1) = R r+1 ¤ H r (2.11)

pri čemu simbol (¤) znači da se prilikom množenja indikatori pouzdanosti svih elemenata uključenih u prvi r put i zajednički sa (r+l) -tom putanjom zamjenjuju jednim. Uzimajući u obzir (2.11), možemo prepisati (2.10):

?H r+1 = R r+1 ¤ Q r (2.12)

gdje?H r+1 =H r+1 -H r - povećanje pouzdanosti konstrukcije uvođenjem (r+1) -tog puta; Q r =1 - H r je vjerovatnoća da će prvih r putanja propasti istovremeno.

S obzirom da je povećanje pouzdanosti?H r+1 numerički jednako smanjenju nepouzdanosti?Q r+1, dobijamo sljedeću jednačinu u konačnim razlikama:

?Q r+1 =R r+1 ¤ Q r (2.13)

Lako je provjeriti da je rješenje jednadžbe (2.13) funkcija

Q r = (1-R 1) ¤ (1-R 2) ¤…¤ (1-R r) ( 2.14)

U slučaju nezavisnih putanja, operacija simboličkog množenja se poklapa sa običnim množenjem, a izraz (2.14) slično kao (2.4) daje faktor vremena mirovanja sistema koji se sastoji od elemenata povezanih paralelno. U opštem slučaju, potreba da se uzmu u obzir zajednički elementi putanja tera nas da izvršimo množenje prema (2.14) u algebarski oblik. U ovom slučaju, broj članova u rezultirajućoj formuli s množenjem svakim sljedećim binomom se udvostručuje i konačni rezultat imaće 2 r člana, što je ekvivalentno iscrpnom nabrajanju ukupnosti svih r puteva. Na primjer, pri r=10, broj pojmova u konačnoj formuli će premašiti 1000, što je već izvan opsega ručnog brojanja. Sa daljim povećanjem broja puteva, mogućnosti modernih računara se brzo iscrpljuju.

Međutim, svojstva simboličke operacije množenja koja su uvedena iznad omogućavaju drastično smanjenje složenosti proračuna. Razmotrimo ova svojstva detaljnije. Prema operaciji simboličkog množenja, za indikator pouzdanosti p i bilo kojeg elementa vrijedi sljedeće pravilo:

str i ¤ str i =p i . (2.15)

Podsjetimo da drugi faktor (2.15) ima značenje vjerovatnoće ispravnog rada i-tog elementa pod uslovom njegove upotrebljivosti, koja je, očigledno, jednaka jedan.

Da bismo skratili dalje proračune, uvodimo sljedeću notaciju za nepouzdanost i-tog elementa:

=1-p i (2.16)

Uzimajući u obzir (2.15) i (2.16), možemo napisati sljedeće jednostavna pravila transformacije izraza koji sadrže p i p :

p i ¤p i =p i (2.17)

p i p j ¤ =p i p j -p i p s

Za primjer upotrebe ovih pravila u izračunavanju pouzdanosti, razmotrite najjednostavniju komunikacijsku mrežu prikazanu na Sl. Sl.2.3 Slova na ivicama grafikona označavaju indikatore pouzdanosti odgovarajućih komunikacionih linija.

Radi jednostavnosti, smatrat ćemo čvorove idealno pouzdanim. Pretpostavimo da je za komunikaciju između čvorova A i B moguće koristiti sve staze koje se sastoje od tri ili manje povezanih linija, tj. razmotrimo podskup puteva (m) = (ab, cdf, cgb, ahf). Odredimo prirast pouzdanosti koji daje svaki naredni put, prema formuli (2.12) uzimajući u obzir (2.14):

Zr+1=Rr+1¤ (¤1¤…¤) (2.18),

Slika.2.3 - Primjer računske mreže na ograničenom podskupu putanja

Slika 2.4 - Primjer mreže za izračunavanje pouzdanosti punog skupa puteva, gdje je Ri=1-R1 sličan (2.16).

Primenjujući sukcesivno formulu (2.18) i pravila simboličkog množenja (2.17). na mrežu koja se razmatra, dobijamo

Z 2 =cdf¤ () =cdf*;

Z 3 =cgb¤ (¤) =cgb**;

Z 4 =ahf¤ (¤¤) =ahf**.

Prilikom izračunavanja posljednjeg prirasta koristili smo pravilo 4, koje se može nazvati pravilom apsorpcije dugih lanaca kratkim; u ovom slučaju, njegova primjena daje b¤cgb=b . Ako su druge putanje dozvoljene, kao što je cdhb staza , onda nije teško izračunati inkrement pouzdanosti koji on obezbeđuje?H 5 =cdhb¤ (a¤ f¤ g¤ af) = =cdfb*a*f*g. Rezultirajuća pouzdanost mreže sada se može izračunati kao zbir priraštaja svake od razmatranih putanja:

H R =?H i (2.19)

Dakle, za razmatrani primjer, pod pretpostavkom da je pouzdanost. svi elementi mreže su isti, tj. a=b=c=d=f=h=g=p, dobijamo H 5 =p 2 +p 3 (1-p 2) + +2p 3 (1-p) (1-p 2) +p 4 (1-p) 3 . U mašinskoj implementaciji proračun se takođe može zasnivati ​​na formuli (2.13), uzimajući u obzir činjenicu da

Q r =?Q i (2.20)

Prema (2.13) imamo sljedeće relacija recidiva

Q r+i =Q r -R r+1 ¤ Q r . (2.21)

At početno stanje Q 0 \u003d l u svakom sljedećem koraku, od prethodno dobijenog izraza za Q r, treba oduzeti proizvod pouzdanosti sljedeće (r + 1) -te putanje istim izrazom, u kojem su samo pokazatelji pouzdanosti svi elementi uključeni u (r + 1)-tu putanju moraju biti jednaki jedan.

Kao primjer, izračunajmo pouzdanost mreže prikazane na slici 2.4 u odnosu na čvorove A i B , između kojih postoji 11 mogućih načina prenosa informacija. Svi proračuni su sažeti u tabeli 2.1: lista elemenata uključenih u svaku putanju, rezultat množenja pouzdanosti ove putanje sa vrednošću Q r dobijenog razmatranjem svih prethodnih putanja, i rezultat pojednostavljenja sadržaja treće kolone prema pravilima (2.17). Konačna formula za q AB nalazi se u posljednjoj koloni, čitanoj od vrha do dna. U tabeli su u potpunosti prikazani svi proračuni potrebni za proračun pouzdanosti konstrukcije razmatrane mreže.

Tabela 2.1 Rezultati proračuna pouzdanosti mreže prikazani na slici 2.4

Da biste smanjili količinu izračunavanja, zagrade ne treba nepotrebno otvarati; ako srednji rezultat dozvoljava pojednostavljenja (dovođenje sličnih pojmova, stavljanje u zagrade zajedničkog faktora, itd.), treba ih izvršiti.

Objasnimo nekoliko koraka proračuna. Pošto je Q 0 = 1 (ako nema puteva, mreža je prekinuta), onda je za Q 1 iz (2.21) Q 1 =1 - ab=ab. Poduzimamo sljedeći korak (6.21) za Q 2 =ab-fghab==ab*fgh i tako dalje.

Razmotrimo detaljnije korak u kojem se uzima u obzir doprinos puta 9. Proizvod pokazatelja pouzdanosti njegovih sastavnih elemenata, zapisanih u drugoj koloni tabele 2.1, prenosi se u treću. Sljedeći u uglaste zagrade upisuje se vjerovatnoća prekida svih prethodnih osam putanja, akumulirana u četvrtoj koloni (počevši od prvog reda), uzimajući u obzir pravilo (2.15), prema kojem se indikatori pouzdanosti svih elemenata uključenih u putanju 9 zamjenjuju jedinicama . Pokazalo se da je doprinos četvrtog, šestog i sedmog reda jednak nuli prema pravilu 1. Dalje, izraz u uglastim zagradama se pojednostavljuje prema pravilima (2.17) na sljedeći način: b =b (fhc-hfc-fhc ) =bc (h-fh) =bchf . Slično, proračun se vrši za sve ostale putanje.

Upotreba metode koja se razmatra omogućava dobijanje opšta formula pouzdanost konstrukcije, koja u razmatranom slučaju sadrži samo 15 članova umjesto maksimalnog broja 2 11 =2048, dobijenu direktnim množenjem vjerovatnoća kvara ovih putanja. U mašinskoj implementaciji metode, zgodno je sve elemente mreže predstaviti u pozicijskom kodu kao niz bitova i koristiti ugrađene Booleove funkcije za implementaciju logičkih elemenata transformacija (2.17).

Do sada smo razmatrali indikatore strukturalne pouzdanosti mreže u odnosu na namenski par čvorova. Ukupnost takvih indikatora za sve ili neke podskupove parova može sasvim u potpunosti okarakterizirati strukturnu pouzdanost mreže u cjelini. Ponekad se koristi drugi, integralni, kriterij pouzdanosti konstrukcije. Prema ovom kriteriju, mreža se smatra ispravnom ako postoji veza između svih njenih čvorova i postavljen je zahtjev za vjerovatnoću takvog događaja.

Da bi se izračunala pouzdanost konstrukcije prema ovom kriteriju, dovoljno je uvesti generalizaciju koncepta puta u obliku stabla koje povezuje sve date mrežne čvorove. Tada će se mreža povezati ako postoji barem jedno stablo povezivanja, a proračun se svodi na množenje vjerovatnoće kvara svih razmatranih stabala, uzimajući u obzir prisustvo zajedničkih elemenata. Vjerovatnoća. Q s neuspjeh s-tog stabla definira se slično kao vjerovatnoća kvara putanje

gdje je p - i-ro indikator pouzdanosti elementa uključenog u s-e drvo; n s broj elemenata u s-tom stablu.

Razmotrimo, na primjer, najjednostavniju mrežu u obliku trokuta, stranice. koji su ponderisani pokazateljima pouzdanosti a, b, c odgovarajuće grane. Za povezanost takve mreže dovoljno je postojanje barem jednog od stabala ab, bc, ca. . Koristeći rekurentnu relaciju (2.12) određujemo vjerovatnoću da je ova mreža povezana H . cb=ab+bca+cab. Ako je a=b=c=p , dobijamo sljedeća vrijednost vjerovatnoća veze, koju je lako provjeriti nabrajanjem: H . cb \u003d 3r 2 -2r 3.

Za izračunavanje vjerovatnoće povezivanja dovoljno razgranatih mreža, umjesto liste stabala povezivanja, po pravilu je pogodnije koristiti listu sekcija (y) koje dovode do gubitka mrežne povezanosti prema kriteriju koji se razmatra. Lako je pokazati da sva gore uvedena pravila simboličkog množenja vrijede za odsječak, ali umjesto indikatora pouzdanosti elemenata mreže, kao početne podatke treba koristiti indikatore nepouzdanosti q=1-p . Zaista, ako se sve staze ili stabla mogu smatrati uključenim "paralelno", uzimajući u obzir njihovu međuzavisnost, onda su svi dijelovi uključeni u ovom smislu "uzastopno". Označimo vjerovatnoću da ne postoji niti jedan uslužni element u nekom dijelu s sa r s . Onda se može pisati

R s =q 1s q 2s …q gospođa , (2.22)

gdje je q - indeks nepouzdanosti i-ro elementa uključenog u s-e dio.

Vjerovatnoća H cb mrežne povezanosti se tada može predstaviti slično kao (2.14) u simboličkom obliku

H cb = (1-str 1 ) ¤ ( 1st 2 ) ¤…¤ ( 1st r) (2.23)

gdje je r - broj razmatranih sekcija. Drugim riječima, da bi mreža bila povezana, potrebno je da barem jedan element u svakoj dionici bude istovremeno u funkciji, uzimajući u obzir međusobnu ovisnost dionica o zajedničkim elementima. Formula (2.23) je u izvesnom smislu dualna formuli (2.14) i dobija se iz ove druge zamene putanja sa rezovima i verovatnoćama dobrog rada sa verovatnoćom da budu u stanju kvara. Slično dualna u odnosu na formulu (2.21) je rekurzivna relacija

H r+1 =H r - R r+1 ¤ H r (2.24)

Na primjer, izračunajmo vjerovatnoću povezivanja trouglaste mreže koja je gore razmatrana sa skupom sekcija ab, bc, ca. Prema (2.23) pod početnim uslovom H 0 =1 imamo H cd =ab-bca-cab. Sa istim pokazateljima nepouzdanosti elemenata mreže a=b=c=q, dobijamo H cb =1-q 2 -2q 2 (1 - q). Ovaj rezultat je isti kao onaj dobiven ranije korištenjem metode nabrajanja stabla.

Metoda sekcija se, naravno, može koristiti i za izračunavanje verovatnoće mrežne povezanosti u odnosu na izabrani par čvorova, posebno u slučajevima kada je broj sekcija u mreži koja se razmatra značajan. manje od broja nule. Međutim, najveći učinak u smislu smanjenja složenosti proračuna daje istovremena primjena obje metode, što će se dalje razmatrati.

Pronalaženje neodređenog integrala (skupa antiderivata ili "anti-izvoda") znači vraćanje funkcije iz poznatog izvoda ove funkcije. Obnovljeni set antiderivata F(x) + OD za funkciju f(x) uzima u obzir integracijsku konstantu C. Po brzini putovanja materijalna tačka(derivacija) zakon kretanja ove tačke (primitivni) može se obnoviti; prema ubrzanju kretanja tačke – njenoj brzini i zakonu kretanja. Kao što vidite, integracija je široko polje za aktivnost Šerloka Holmsa iz fizike. Da, iu ekonomiji su mnogi koncepti predstavljeni kroz funkcije i njihove derivate, pa je, na primjer, moguće obnoviti obim proizvodnje proizvedene u odgovarajuće vrijeme produktivnošću rada u određenom trenutku (derivat).

Da bi se pronašao neodređeni integral, potreban je prilično mali broj osnovnih integracionih formula. Ali proces pronalaženja je mnogo teži od puke primjene ovih formula. Sva složenost se ne odnosi na integraciju, već na dovođenje integrabilnog izraza u takav oblik koji omogućava pronalaženje neodređenog integrala koristeći osnovne formule navedene gore. To znači da da biste započeli praksu integracije, morate aktivirati rezultate dobijene u srednja škola veštine transformacije izraza.

Naučit ćemo pronaći integrale koristeći svojstva i tablicu neodređenih integrala iz lekcije o osnovnim pojmovima ove teme (otvara se u novom prozoru).

Postoji nekoliko metoda za pronalaženje integrala, od kojih varijabilna metoda zamjene i metoda integracije po dijelovima- obavezan džentlmenski set za sve koji su uspješno položili višu matematiku. Međutim, korisnije je i ugodnije započeti učenje integracije pomoću metode ekspanzije na osnovu sljedeće dvije teoreme o svojstvima neodređenog integrala, koje ćemo ovdje ponoviti radi pogodnosti.

Teorema 3. Konstantni faktor u integrandu može se izvaditi iz predznaka neodređenog integrala, tj.

Teorema 4. Neodređeni integral algebarskog zbira konačan broj funkcije je algebarski zbir neodređeni integrali ovih funkcija, tj.

(2)

Osim toga, sljedeće pravilo može biti korisno u integraciji: ako izraz integranda sadrži konstantni faktor, tada se izraz antiderivata množi recipročnim iznosom konstantnog faktora, tj.

(3)

Budući da je ova lekcija uvod u rješavanje problema integracije, važno je napomenuti dvije stvari koje su ili već početna faza, ili malo kasnije može vas iznenaditi. Iznenađenje je zbog činjenice da je integracija inverzna operacija diferencijacije i da se neodređeni integral s pravom može nazvati "anti-derivativnim".

Prva stvar koja ne treba biti iznenađena prilikom integracije. U tabeli integrala postoje formule koje nemaju analoga među formulama tabele izvedenica . Ovo su sljedeće formule:

Međutim, može se provjeriti da se derivacije izraza na desnim stranama ovih formula poklapaju s odgovarajućim integrandima.

Druga stvar koju ne treba čuditi prilikom integracije. Iako je derivacija bilo koje elementarne funkcije također elementarna funkcija, neodređeni integrali nekih elementarnih funkcija više nisu elementarne funkcije . Primjeri takvih integrala su:

Sljedeće vještine će biti korisne za razvoj tehnike integracije: smanjivanje razlomaka, dijeljenje polinoma u brojiocu razlomka monomom u nazivniku (da se dobije zbir neodređenih integrala), pretvaranje korijena u stepen, množenje monoma sa polinom, podizanje na stepen. Ove vještine su potrebne za transformaciju integranda, koji bi trebao rezultirati zbirom integrala prisutnih u tabeli integrala.

Zajedno pronalaženje neodređenih integrala

Primjer 1 Pronađite neodređeni integral

.

Rješenje. U nazivniku integrala vidimo polinom u kojem je x na kvadrat. Ovo je gotovo siguran znak da se tablični integral 21 (sa tangentom luka rezultata) može primijeniti. Faktor dva vadimo iz nazivnika (postoji takvo svojstvo integrala - konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala, gore je spomenuto kao teorema 3). Rezultat svega ovoga:

Sada je nazivnik zbir kvadrata, što znači da možemo primijeniti spomenuti tablični integral. Konačno dobijamo odgovor:

.

Primjer 2 Pronađite neodređeni integral

Rješenje. Ponovo primjenjujemo teoremu 3 - svojstvo integrala, na osnovu koje se konstantni faktor može izvaditi iz predznaka integrala:

Na integrand primjenjujemo formulu 7 iz tabele integrala (promjenjivog u stepenu):

.

Smanjujemo rezultirajuće razlomke i imamo konačni odgovor:

Primjer 3 Pronađite neodređeni integral

Rješenje. Primjenjujući prvo teoremu 4, a zatim teoremu 3 na svojstva, nalazimo ovaj integral kao zbir tri integrala:

Sva tri dobijena integrala su tabelarno. Koristimo formulu (7) iz tabele integrala za n = 1/2, n= 2 i n= 1/5, a zatim

kombinuje sve tri proizvoljne konstante koje su uvedene kada nalaz tri integrali. Stoga u sličnim situacijama treba uvesti samo jednu proizvoljnu konstantu (konstantu) integracije.

Primjer 4 Pronađite neodređeni integral

Rješenje. Kada postoji monom u nazivniku integrala, možemo podijeliti brojilac sa nazivnikom član po član. Originalni integral se pretvorio u zbir dvaju integrala:

.

Da bismo primijenili integral tablice, pretvaramo korijene u stepene i evo konačnog odgovora:

Nastavljamo zajedno da pronalazimo neodređene integrale

Primjer 7 Pronađite neodređeni integral

Rješenje. Ako transformiramo integrand kvadriranjem binoma i dijeljenjem brojnika sa nazivnikom član po član, tada originalni integral postaje zbir tri integrala.

Ova mala lekcija će vam omogućiti ne samo savladavanje tipičan zadatak, što je prilično uobičajeno u praksi, ali i za objedinjavanje materijala članka Proširenje funkcija u nizove stepena. Trebaće nam tablica proširenja funkcija u power series , koji se može dobiti na stranici Matematičke formule i tabele. Osim toga, čitalac mora razumjeti geometrijskog smisla definitivni integral i posjeduju elementarne vještine integracije.

Takođe treba napomenuti da je tačnost do tri decimale najpopularnija. U upotrebi je i druga tačnost proračuna, obično 0,01 ili 0,0001.

Sada druga faza rješenja:
Prvo, mijenjamo integrand u rezultirajući niz stepena:

Zašto se to uopšte može uraditi? Ova činjenica objasnio u razredu o proširenje funkcija u nizove stepena je beskonačan polinomski graf tačno se poklapa sa grafikom funkcije ! Štaviše, u ovom slučaju, izjava je tačna za bilo koju vrijednost "x", a ne samo za interval integracije.

U sljedećem koraku pojednostavljujemo svaki pojam što je više moguće:

Bolje je to učiniti odmah kako se ne biste zbunili s nepotrebnim proračunima u sljedećem koraku.

Tehnika izračunavanja je standardna: prvo u svaki član zamjenjujemo 0,3, a zatim nulu. Za proračune koristimo kalkulator:

Koliko članova serije treba uzeti za konačne proračune? Ako je konvergentni niz znak naizmjenično, onda apsolutna greška modul ne prelazi zadnji odbačeni član serije. U našem slučaju već treći član serije je manji od tražene tačnosti od 0,001, i stoga ako ga odbacimo, onda ćemo sigurno napraviti grešku od najviše 0,000972 (shvatite zašto!). Dakle, za konačni proračun dovoljna su prva dva člana: .

Odgovori: , tačno do 0,001

Odakle je došao ovaj broj geometrijska tačka viziju? je približna površina osenčene figure (vidi sliku iznad).

Primjer 2

Izračunajte približno definitivni integral, nakon što je prethodno proširio integrand u niz stepena, sa tačnošću od 0,001

Ovo je primjer za nezavisno rešenje. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Nekako sam, nezasluženo, zaobišao arktangens, nikad ga ne stavljajući u red. Ispravimo grešku.

Primjer 3

Izračunajte definitivni integral sa tačnošću od 0,01 koristeći serijsko proširenje integrala.

Rješenje: Postoji jaka sumnja da je ovaj integral uzet, međutim, rješenje nije najjednostavnije.

Proširimo integrand u Maclaurinovu seriju. Koristimo dekompoziciju:

U ovom slučaju


Ovdje je bila sreća da su na kraju stepeni ipak ostali netaknuti, razlomke bilo bi teže integrisati.

Na ovaj način:

Takođe se dešava. Članovi sa kolicima - studentu je lakše.

Odgovori: sa tačnošću od 0,01.

Opet, imajte na umu da je preciznost od 0,01 zagarantovana samo ovdje zbog konvergentnog niza znak naizmjenično. Za red sa pozitivnih članova, na primjer, serija takva procjena se ne može napraviti, jer zbir odbačenog "repa" lako može premašiti 0,00089. Šta učiniti u takvim slučajevima? Reći ću vam na kraju lekcije. U međuvremenu ću otkriti tajnu da se u svim današnjim primjerima redovi izmjenjuju.

I, naravno, treba ih kontrolisati raspon konvergencije niza. U razmatranom primjeru, usput rečeno, to je "sječeno": (zahvaljujući kvadratni korijen) , ali naš segment integracije u potpunosti leži u ovoj regiji.

Šta se događa ako pokušate riješiti neki nezakonit slučaj kao ? Funkcija će se također savršeno proširiti u seriju, članovi serije će također biti izuzetno integrirani. Ali kada počnemo zamjenjivati ​​vrijednost gornja granica prema Newton-Leibnizovoj formuli, to ćemo vidjeti brojevi će rasti u nedogled, odnosno svaki sljedeći brojće biti veći od prethodnog. Serija konvergira samo na segmentu . Ovo nije paranoja, u praksi se to dešava s vremena na vreme. Razlog je greška u kucanju u zbirci zadataka ili priručniku za obuku, kada su autori previdjeli da interval integracije „ispuzi“ izvan područja konvergencije serije.

Neću razmatrati integral sa arksinom, jer je naveden u Crvenoj knjizi. Bolje je dodatno razmotriti nešto "budžetsko":

Primjer 4

Izračunajte definitivni integral sa tačnošću od 0,001 proširenjem integranda u niz i integracijom ovog niza po član.

Ovo je "uradi sam" primjer. Što se tiče nule, ona ovdje nije prepreka - trpi samo integrand popravljiv jaz u tački i stoga nepravilan integral nije ležao ovde i u blizini, tj. i dalje se radi o definitivni integral. U toku rješenja, vidjet ćete da se rezultirajući niz lijepo konvergira na nulu.

U zaključku, pogledajmo još nekoliko primjera koji su nešto složeniji.

Primjer 5

Izračunajte definitivni integral sa tačnošću od 0,001 proširenjem integranda u niz i integracijom ovog niza po član.

Rješenje: Analizirajući integrand, dolazimo do zaključka da trebamo koristiti binomnu ekspanziju. Ali prvo, funkcija mora biti predstavljena u odgovarajućem obliku:

Nažalost, nijedan poseban slučaj binomna ekspanzija nije prikladna i morat ćemo koristiti glomaznu opću formulu:

U ovom slučaju: ,

Bolje je pojednostaviti razlaganje već u ovoj fazi što je više moguće. Takođe napominjemo da nam očito nije potreban četvrti član niza, jer se i prije integracije u njemu pojavio razlomak, koji je očito manji od tražene tačnosti od 0,001.

Na ovu lekciju naučit ćemo kako pronaći integrale nekih vrsta razlomaka. Za uspješnu asimilaciju materijala potrebno je dobro razumjeti proračune članaka.

Kao što je već napomenuto, u integralni račun ne postoji pogodna formula za integraciju razlomka:

I stoga, postoji tužan trend: što je razlomak "fantastičniji", to je teže pronaći integral iz njega. U tom smislu, moramo pribjeći raznim trikovima, o kojima ćemo sada razgovarati.

Metoda dekompozicije numeratora

Primjer 1

Pronađite neodređeni integral

Provjeri.

Na lekciji Neodređeni integral. Primjeri rješenja oslobodili smo se proizvoda funkcija u integrandu, pretvarajući ga u zbroj pogodan za integraciju. Ispada da se ponekad i razlomak može pretvoriti u zbir (razliku)!

Analizirajući integrand, uočavamo da i u brojiocu i u nazivniku imamo polinome prvog stepena: x i ( x+3). Kada brojnik i nazivnik sadrže polinome isto stepena, pomaže sljedeća umjetna tehnika: u brojiocu moramo samostalno organizirati isti izraz kao u nazivniku:

.

Obrazloženje može biti sljedeće: „U brojiocu je potrebno organizirati ( x+ 3) da se integral dovede u tabelarne, ali ako dodam trojku na “x”, onda, da se izraz ne bi promijenio, moram oduzeti istu trojku.

Sada možemo podijeliti brojilac sa nazivnikom, član po član:

Kao rezultat toga, postigli smo ono što smo željeli. Koristimo prva dva pravila integracije:

Spreman. Provjerite sami ako želite. Zapiši to

u drugom integralu je "jednostavan" složena funkcija. U lekciji se raspravljalo o karakteristikama njegove integracije Metoda promjenljive promjene u neodređenom integralu.

Inače, razmatrani integral se može riješiti i promjenom metode varijable, označavajući , ali će rješenje biti mnogo duže.

Primjer 2

Pronađite neodređeni integral

Provjeri

Ovo je "uradi sam" primjer. Treba napomenuti da ovdje metoda zamjene varijable više neće raditi.

Pažnja važna! Primjeri br. 1, 2 su tipični i uobičajeni.

Konkretno, takvi integrali često nastaju u toku rješavanja drugih integrala, posebno kada integracija iracionalne funkcije (korijeni).

Gornja metoda također funkcionira u ovom slučaju ako je najveći stepen brojnika veći od najvećeg stepena nazivnika.

Primjer 3

Pronađite neodređeni integral

Provjeri.

Počnimo sa brojicom. Algoritam odabira brojača je otprilike ovako:

1) U brojiocu trebamo organizirati 2 x-1 ali tamo x 2. sta da radim? zaključujem 2 x-1 u zagradama i pomnožite sa x, kako: x(2x-1).

2) Sada pokušavamo da otvorimo ove zagrade, šta se dešava? Uzmi: (2 x 2 -x). Već bolje, ali bez dvojke x 2 u početku nije u brojiocu. sta da radim? Moramo pomnožiti sa (1/2), dobićemo:

3) Ponovo otvorimo zagrade, dobijamo:

Ispostavilo se pravo x 2! Ali problem je što se pojavio dodatni termin (-1/2) x. sta da radim? Kako se izraz ne bi promijenio, našoj konstrukciji moramo dodati isto (1/2) x:

. Život je postao lakši. Da li je moguće ponovo organizirati u brojiocu (2 x-1)?

4) Možete. pokušavamo: . Proširite zagrade drugog člana:

. Žao nam je, ali imali smo u prethodnom koraku (+1/2) x, ne (+ x). sta da radim? Morate pomnožiti drugi član sa (+1/2):

.

5) Opet, za verifikaciju, otvorite zagrade u drugom terminu:

. Sada je u redu: primljeno (+1/2) x od konačne konstrukcije stava 3! Ali opet postoji malo "ali", pojavio se dodatni izraz (-1/4), što znači da moramo dodati (1/4) našem izrazu:

.

Ako je sve urađeno ispravno, onda kada otvaramo sve zagrade, treba da dobijemo originalni brojnik integranda. Provjeravamo:

Ispostavilo se.

Na ovaj način:

Spreman. U posljednjem terminu primijenili smo metodu dovođenja funkcije pod diferencijal.

Ako pronađemo derivaciju odgovora i dovedemo izraz do zajednički imenilac, tada dobijamo tačno originalni integrand

Razmatrana metoda dekompozicije x 2 u zbroju nije ništa drugo do obrnuta radnja da se izraz dovede do zajedničkog nazivnika.

Algoritam za odabir brojioca u slični primjeri Najbolje je to učiniti u obliku nacrta. Uz neke vještine, funkcionirat će i mentalno.

Osim algoritma selekcije, možete koristiti i podjelu polinoma polinomom po stupcu, ali, bojim se, objašnjenja će zauzeti još više prostora, pa neki drugi put.

Primjer 4

Pronađite neodređeni integral

Provjeri.

Ovo je "uradi sam" primjer.