The metodički materijal je u referentne svrhe i pokriva širok spektar tema. Članak daje pregled grafova glavnih elementarnih funkcija i razmatra najvažnije pitanje – kako pravilno i BRZO napraviti grafikon. Tokom studija višu matematiku bez poznavanja osnovnih grafikona elementarne funkcije bit će teško, pa je vrlo važno zapamtiti kako izgledaju grafovi parabole, hiperbole, sinusa, kosinusa itd., zapamtite neke vrijednosti funkcije. Također razgovaraćemo o nekim svojstvima osnovnih funkcija.

Ne pretendujem na potpunost i naučnu temeljitost materijala, akcenat će biti stavljen, prije svega, na praksu – one stvari s kojima mora se suočiti bukvalno na svakom koraku, u bilo kojoj temi više matematike. Tabele za lutke? Može se reći.

Po popularnom zahtjevu čitalaca sadržaj koji se može kliknuti:

Osim toga, postoji ultra-kratak sažetak na tu temu
– savladajte 16 vrsta grafikona proučavajući ŠEST stranica!

Ozbiljno, šest, čak sam i sam bio iznenađen. Ovaj sažetak sadrži poboljšanu grafiku i dostupan je uz nominalnu naknadu, može se pogledati demo verzija. Pogodno je ispisati datoteku tako da su grafikoni uvijek pri ruci. Hvala na podršci projektu!

I krećemo odmah:

Kako pravilno izgraditi koordinatne ose?

U praksi, testove učenici gotovo uvijek sastavljaju u odvojenim sveskama, poredanim u kavez. Zašto su vam potrebne karirane oznake? Uostalom, posao se u principu može obaviti na listovima A4. A kavez je neophodan samo za kvalitetan i precizan dizajn crteža.

Svaki crtež funkcionalnog grafa počinje sa koordinatnim osa.

Crteži su dvodimenzionalni i trodimenzionalni.

Razmotrimo prvo dvodimenzionalni slučaj Kartezijanski pravougaoni sistem koordinate:

1) Crtamo koordinatne ose. Osa se zove x-osa , i osa y-osa . Uvijek pokušavamo da ih nacrtamo uredan i ne iskrivljen. Strelice takođe ne bi trebalo da liče na bradu Pape Karla.

2) Osovine potpisujemo velikim slovima "x" i "y". Ne zaboravite potpisati sjekire.

3) Postavite skalu duž osi: nacrtaj nulu i dva jedinica. Prilikom izrade crteža najpogodnija i najčešća skala je: 1 jedinica = 2 ćelije (crtež lijevo) - pridržavajte se toga ako je moguće. Međutim, s vremena na vrijeme se dogodi da crtež ne stane na list bilježnice - tada smanjujemo razmjer: 1 jedinica = 1 ćelija (crtež desno). Rijetko, ali se dešava da se skala crteža još više smanji (ili poveća).

NEMOJTE žvrljati iz mitraljeza ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Za koordinatna ravan nije spomenik Descartesu, a student nije golub. Mi smo stavili nula i dvije jedinice duž osi. Ponekad umjesto jedinicama, zgodno je "otkriti" druge vrijednosti, na primjer, "dva" na osi apscise i "tri" na osi ordinata - i ovaj sistem (0, 2 i 3) će također jedinstveno postaviti koordinantnu mrežu.

Bolje je procijeniti procijenjene dimenzije crteža PRIJE crtanja crteža.. Tako, na primjer, ako zadatak zahtijeva crtanje trokuta s vrhovima , , , onda je sasvim jasno da popularna skala 1 jedinica = 2 ćelije neće raditi. Zašto? Pogledajmo stvar - ovdje morate izmjeriti petnaest centimetara dolje, i, očito, crtež neće stati (ili jedva stati) na list bilježnice. Stoga odmah biramo manju skalu 1 jedinica = 1 ćelija.

Usput, o centimetrima i ćelijama bilježnice. Da li je tačno da u 30 ćelija sveske ima 15 centimetara? Izmjerite u bilježnici za kamate 15 centimetara pomoću ravnala. U SSSR-u je to možda bila istina... Zanimljivo je primijetiti da ako mjerite te iste centimetre horizontalno i okomito, onda će rezultati (u ćelijama) biti drugačiji! Strogo govoreći, moderne bilježnice nisu karirane, već pravokutne. Možda se čini kao besmislica, ali crtanje, na primjer, kruga s šestarom u takvim situacijama je vrlo nezgodno. Iskreno govoreći, u takvim trenucima počinjete razmišljati o ispravnosti druga Staljina, koji je poslat u logore zbog hakerskog rada u proizvodnji, a da ne spominjemo domaću automobilsku industriju, padajuće avione ili eksplodirajuće elektrane.

Kad smo već kod kvaliteta, ili kratka preporuka za kancelarijski materijal. Do danas je većina bilježnica u prodaji, bez izgovaranja loših riječi, potpuni goblin. Iz razloga što se smoče, i to ne samo od gel olovaka, već i od hemijskih olovaka! Uštedite na papiru. Za odobrenje kontrolni radovi Preporučujem korištenje bilježnica Arhangelske fabrike celuloze i papira (18 listova, kavez) ili Pyaterochka, iako je skuplje. Preporučljivo je odabrati gel olovku, čak i najjeftiniji kineski gel za punjenje je mnogo bolji od hemijske olovke koja ili razmazuje ili trga papir. Jedina "konkurentska" hemijska olovka u mom sećanju je Erich Krause. Piše jasno, lijepo i stabilno - bilo s punim, bilo sa skoro praznim.

Dodatno: u članku je obrađena vizija pravokutnog koordinatnog sistema očima analitičke geometrije Linearna (ne)zavisnost vektora. Vektorska osnova, detaljne informacije o koordinatne četvrti može se naći u drugom pasusu lekcije Linearne nejednakosti.

3D kućište

Ovdje je skoro isto.

1) Crtamo koordinatne ose. standardno: aplicirana osovina – usmjereno prema gore, os – usmjereno desno, os – dolje lijevo strogo pod uglom od 45 stepeni.

2) Potpisujemo sjekire.

3) Postavite skalu duž osi. Razmjer duž ose - dva puta manji od razmjera duž ostalih osa. Također imajte na umu da sam na desnom crtežu koristio nestandardni "serif" duž ose (ova mogućnost je već spomenuta gore). Sa moje tačke gledišta, to je preciznije, brže i estetski ugodnije - ne morate tražiti sredinu ćelije pod mikroskopom i "klesati" jedinicu sve do početka.

Kada ponovo radite 3D crtež - dajte prednost mjerilu
1 jedinica = 2 ćelije (crtež lijevo).

Čemu služe sva ova pravila? Pravila su tu da se krše. Šta ću sad. Činjenica je da ću naknadne crteže članka napraviti u Excelu, a koordinatne osi će izgledati netočne u smislu pravilnog dizajna. Mogao bih sve grafikone nacrtati rukom, ali ih je stvarno strašno nacrtati, jer Excel nerado ih crta mnogo preciznije.

Grafovi i osnovna svojstva elementarnih funkcija

Linearna funkcija je dato jednačinom. Grafikon linearne funkcije je direktno. Da bi se konstruisala prava, dovoljno je poznavati dve tačke.

Primjer 1

Iscrtajte funkciju. Hajde da nađemo dve tačke. Povoljno je odabrati nulu kao jednu od tačaka.

Ako onda

Uzimamo neku drugu tačku, na primjer, 1.

Ako onda

Prilikom pripreme zadataka, koordinate tačaka se obično sumiraju u tabeli:

I same vrijednosti se izračunavaju usmeno ili na nacrtu, kalkulatoru.

Pronađene su dvije tačke, nacrtajmo:

Prilikom izrade crteža uvijek potpisujemo grafiku.

Neće biti suvišno prisjetiti se posebnih slučajeva linearne funkcije:

Obratite pažnju kako sam postavio natpise, potpisi ne bi trebali biti dvosmisleni prilikom proučavanja crteža. AT ovaj slučaj bilo je krajnje nepoželjno stavljati potpis pored tačke preseka linija, ili dole desno između grafikona.

1) Linearna funkcija oblika () naziva se direktna proporcionalnost. Na primjer, . Graf direktne proporcionalnosti uvijek prolazi kroz ishodište. Dakle, konstrukcija prave linije je pojednostavljena - dovoljno je pronaći samo jednu tačku.

2) Jednačina oblika definira pravu liniju paralelnu osi, a posebno, sama osa je data jednačinom. Graf funkcije se gradi odmah, bez pronalaženja ikakvih tačaka. To jest, unos treba shvatiti na sljedeći način: "y je uvijek jednako -4, za bilo koju vrijednost x."

3) Jednačina oblika definira pravu liniju paralelnu sa osom, posebno, sama osa je data jednačinom. Graf funkcije se također gradi odmah. Unos treba shvatiti na sljedeći način: "x je uvijek, za bilo koju vrijednost y, jednako 1."

Neki će se zapitati, pa zašto pamtiti 6. razred?! Tako je, možda i jeste, samo sam tokom godina prakse sreo desetak učenika koji su bili zbunjeni zadatkom da konstruišu graf poput ili .

Crtanje prave linije je najčešća radnja prilikom izrade crteža.

Prava linija je detaljno obrađena u toku analitičke geometrije, a oni koji žele mogu pogledati članak Jednačina prave linije na ravni.

Graf kvadratne funkcije, graf kubične funkcije, graf polinoma

Parabola. Raspored kvadratna funkcija () je parabola. Razmislite poznati slučaj:

Prisjetimo se nekih svojstava funkcije.

Dakle, rješenje naše jednačine: - u ovoj tački se nalazi vrh parabole. Zašto je to tako može se naučiti iz teorijskog članka o derivaciji i lekcije o ekstremima funkcije. U međuvremenu izračunavamo odgovarajuću vrijednost "y":

Dakle, vrh je u tački

Sada nalazimo druge tačke, dok drsko koristimo simetriju parabole. Treba napomenuti da je funkcija – nije čak, ali, ipak, niko nije poništio simetriju parabole.

Kojim redosledom pronaći preostale bodove, mislim da će biti jasno iz konačne tabele:

Ovaj algoritam konstrukcija se može figurativno nazvati "šatlom" ili principom "nazad-nazad" sa Anfisom Čehovom.

Napravimo crtež:

Iz razmotrenih grafikona, na pamet mi pada još jedna korisna karakteristika:

Za kvadratnu funkciju () istina je sljedeće:

Ako je , tada su grane parabole usmjerene prema gore.

Ako je , tada su grane parabole usmjerene prema dolje.

Detaljno znanje o krivulji može se steći u lekciji Hiperbola i parabola.

Kubična parabola je data funkcijom . Evo crteža poznatog iz škole:

Hajde da navedemo osnovna svojstva funkcije

Funkcija Graf

Predstavlja jednu od grana parabole. Napravimo crtež:

Glavna svojstva funkcije:

U ovom slučaju, os je vertikalna asimptota za graf hiperbole na .

Bice LOŠA greška, ako, prilikom crtanja, iz nemara dopustimo da se graf siječe sa asimptotom .

Također jednostrane granice, recite nam da je to hiperbola nije ograničeno odozgo i nije ograničeno odozdo.

Istražimo funkciju u beskonačnosti: , to jest, ako se počnemo kretati duž ose lijevo (ili desno) do beskonačnosti, tada će "igre" biti vitki korak beskonačno blizu približavaju se nuli i, shodno tome, grane hiperbole beskonačno blizu približiti osi.

Dakle, os je horizontalna asimptota za graf funkcije, ako "x" teži plus ili minus beskonačnost.

Funkcija je odd, što znači da je hiperbola simetrična u odnosu na ishodište. Ova činjenica je očigledno iz crteža, štaviše, lako se može analitički provjeriti: .

Graf funkcije oblika () predstavlja dvije grane hiperbole.

Ako je , tada se hiperbola nalazi u prvom i trećem koordinatnom kvadrantu(vidi sliku iznad).

Ako je , tada se hiperbola nalazi u drugom i četvrtom koordinatnom kvadrantu.

Nije teško analizirati specificiranu pravilnost mjesta stanovanja hiperbole sa stanovišta geometrijskih transformacija grafova.

Primjer 3

Konstruirajte desnu granu hiperbole

Koristimo metodu konstrukcije po tačkama, dok je povoljno odabrati vrijednosti tako da se potpuno dijele:

Napravimo crtež:

Neće biti teško konstruirati lijevu granu hiperbole, ovdje će neparnost funkcije samo pomoći. Grubo govoreći, u tabeli konstrukcije po tačkama, mentalno dodajte minus svakom broju, stavite odgovarajuće tačke i nacrtajte drugu granu.

Detaljne geometrijske informacije o razmatranoj liniji možete pronaći u članku Hiperbola i parabola.

Graf eksponencijalne funkcije

U ovom pasusu ću odmah razmotriti eksponencijalnu funkciju, jer se u zadacima više matematike u 95% slučajeva javlja eksponent.

Podsjećam vas da je to iracionalan broj: , to će biti potrebno prilikom izrade grafa, koji ću, zapravo, izgraditi bez ceremonije. Tri boda vjerovatno dovoljno:

Ostavimo graf funkcije za sada na miru, o tome kasnije.

Glavna svojstva funkcije:

U osnovi, grafovi funkcija izgledaju isto, itd.

Moram reći da je drugi slučaj rjeđi u praksi, ali se dešava, pa sam smatrao potrebnim da ga uključim u ovaj članak.

Grafikon logaritamske funkcije

Razmotrite funkciju sa prirodni logaritam.
Hajde da nacrtamo linijski crtež:

Ako ste zaboravili šta je logaritam, pogledajte školske udžbenike.

Glavna svojstva funkcije:

Domain:

Raspon vrijednosti: .

Funkcija nije ograničena odozgo: , doduše polako, ali grana logaritma ide do beskonačnosti.
Hajde da ispitamo ponašanje funkcije blizu nule na desnoj strani: . Dakle, os je vertikalna asimptota za graf funkcije sa "x" koja teži nuli na desnoj strani.

Budite sigurni da znate i zapamtite tipičnu vrijednost logaritma: .

U osnovi, graf logaritma na bazi izgleda isto: , , ( decimalni logaritam u bazi 10) itd. Istovremeno, što je veća baza, to će grafikon biti ravniji.

Nećemo razmatrati slučaj, nešto čega se ne sjećam kada sam zadnji put napravio graf sa takvom osnovom. Da, i čini se da je logaritam vrlo rijedak gost u problemima više matematike.

U zaključku paragrafa, reći ću još jednu činjenicu: Eksponencijalna funkcija i logaritamska funkcija su dve uzajamne inverzne funkcije . Ako pažljivo pogledate graf logaritma, možete vidjeti da je ovo isti eksponent, samo što se nalazi malo drugačije.

Grafovi trigonometrijskih funkcija

Kako počinje trigonometrijska muka u školi? Ispravno. Od sinusa

Nacrtajmo funkciju

Ova linija se zove sinusoida.

Podsjećam da je "pi" iracionalan broj:, a u trigonometriji zasljepljuje u očima.

Glavna svojstva funkcije:

Ova funkcija je periodični sa tačkom. Šta to znači? Pogledajmo rez. Lijevo i desno od njega, potpuno isti dio grafa ponavlja se beskonačno.

Domain: , to jest, za bilo koju vrijednost "x" postoji vrijednost sinusa.

Raspon vrijednosti: . Funkcija je ograničeno: , odnosno sve "igre" sjede striktno u segmentu .
To se ne dešava: ili, tačnije, dešava se, ali navedene jednačine nemam rešenje.

Opseg i opseg funkcije. U osnovnoj matematici, funkcije se proučavaju samo na skupu realni brojevi R.To znači da argument funkcije može poprimiti samo one realne vrijednosti za koje je funkcija definirana, tj. takođe prihvata samo stvarne vrednosti. Mnogo X sve važeće važeće vrijednosti argumenta x, za koji je funkcija y= f(x) je definiran, pozvan opseg funkcije. Mnogo Y sve stvarne vrednosti y koju funkcija prihvata se poziva opseg funkcija. Sada možete dati više precizna definicija karakteristike: pravilo(zakon) korespondencije između skupova X i Y, po kojem za svaki element iz skupaX može pronaći jedan i samo jedan element iz skupa Y, naziva se funkcija.

Iz ove definicije slijedi da se funkcija smatra datom ako:

Opseg funkcije je podešen X ;

Opseg funkcije je podešen Y ;

Poznato je pravilo (zakon) korespondencije, i to takvo da za svaku

Za vrijednost argumenta može se pronaći samo jedna vrijednost funkcije.

Ovaj zahtjev jedinstvenosti funkcije je obavezan.

monotonska funkcija. Ako za bilo koje dvije vrijednosti argumenta x 1 i x 2 uslova x 2 > x 1 slijedi f(x 2) > f(x 1), zatim funkciju f(x) se zove povećanje; ako za bilo koji x 1 i x 2 uslova x 2 > x 1 slijedi f(x 2) < f(x 1), zatim funkciju f(x) se zove opadanje. Poziva se funkcija koja se samo povećava ili smanjuje monotono.

Ograničene i neograničene funkcije. Funkcija se poziva ograničeno ako postoji takav pozitivan broj Mšta | f(x) | M za sve vrednosti x . Ako takav broj ne postoji, onda funkcija postoji neograničeno.

PRIMJERI.

Funkcija prikazana na slici 3 je ograničena, ali nije monotona. Funkcija na slici 4 je upravo suprotna, monotona, ali neograničena. (Objasnite ovo molim vas!)

Kontinuirane i diskontinuirane funkcije. Funkcija y = f (x) se zove kontinuirano u tačkix = a, ako:

1) funkcija je definirana za x = a, tj. f (a) postoji;

2) postoji konačan limit lim f (x) ;

x→a

(Pogledajte "Ograničenja funkcija")

3) f (a) = lim f (x) .

x→a

Ako barem jedan od ovih uvjeta nije ispunjen, funkcija se poziva diskontinuirano u tački x = a.

Ako je funkcija kontinuirana in sve tačke njegovog domena definicije, onda se zove kontinuirana funkcija.

Parne i neparne funkcije. Ako za bilo koji x f(- x) = f (x), tada se poziva funkcija čak; ako radi: f(- x) = - f (x), tada se poziva funkcija odd. Raspored ravnomjerna funkcijasimetrično oko Y ose(Sl.5), grafikon neparna funkcija Simmetrika o porijeklu(Sl. 6).

Periodična funkcija. Funkcija f (x) - periodični ako postoji takav ne-nula broj T zašto bilo koji x iz opsega definicije funkcije odvija se: f (x + T) = f (x). Takve najmanje broj je pozvan period funkcije. Sve trigonometrijske funkcije su periodični.

PRIMJER 1. Dokaži taj grijeh x ima period od 2.

RJEŠENJE Znamo da je grijeh ( x+ 2n) = grijeh x, gdje n= 0, ± 1, ± 2, …

Stoga, dodavanjem 2 n na sinusni argument

Mijenja svoju vrijednost. Postoji li drugi broj sa ovim?

Ista nekretnina?

Pretvarajmo se to P- takav broj, tj. jednakost:

grijeh ( x+ P) = grijeh x,

Vrijedi za bilo koju vrijednost x. Ali onda jeste

Lokacija i x= / 2 , tj.

sin(/2 + P) = sin / 2 = 1.

Ali prema formuli redukcije sin ( / 2 + P) = cos P. Onda

Iz posljednje dvije jednakosti slijedi da je cos P= 1, ali mi

Znamo da je to istina samo kada P = 2n. Od najmanjih

Broj koji nije nula od 2 n je 2, onda je ovaj broj

I postoji period greha x. Slično se dokazuje da 2 od n je , pa je ovo period sin 2 x.

Null funkcije. Poziva se vrijednost argumenta za koji je funkcija jednaka 0 nula (root) funkcije. Funkcija može imati više nula, na primjer, funkcija y = x (x + 1) (x-3) ima tri nule: x= 0, x= -1, x= 3. Geometrijski funkcija null - je apscisa točke presjeka grafa funkcije sa osom X .

Slika 7 prikazuje grafik funkcije sa nulama: x= a, x = b i x= c.

Asimptota. Ako se graf funkcije približava određenoj pravoj liniji na neodređeno vrijeme dok se udaljava od početka, tada se ta prava linija naziva asimptota.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i komunikacije.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudski nalog, u sudskim postupcima, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo prakse privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Ruska gimnazija

SAŽETAK

Ispunjeno

učenik 10"F" razreda Burmistrov Sergej

Supervizor

nastavnik matematike

Yulina O.A.

Nižnji Novgorod

Funkcija i njena svojstva

Funkcija- varijabilna zavisnost at iz varijable x , ako je svaka vrijednost X odgovara jednoj vrijednosti at .

Varijabla x- nezavisna varijabla ili argument.

Varijabla y- zavisna varijabla

Vrijednost funkcije- značenje at odgovarajući postavljena vrijednost X .

Opseg funkcije- sve vrijednosti koje nezavisna varijabla uzima.

Raspon funkcija (skup vrijednosti) - sve vrijednosti koje funkcija preuzima.

Funkcija je ravnomjerna- ako za bilo koji X f(x)=f(-x)

Funkcija je čudna- ako za bilo koji X iz opsega funkcije, jednakost f(-x)=-f(x)

Povećanje funkcije- ako za bilo koji x 1 i x 2, takav da x 1 < x 2, nejednakost f( x 1 ) x 2 )

Smanjenje funkcije- ako za bilo koji x 1 i x 2, takav da x 1 < x 2, nejednakost f( x 1 )>f( x 2 )

Načini postavljanja funkcije

¨ Da biste definirali funkciju, morate odrediti način na koji za svaku vrijednost argumenta možete pronaći odgovarajuću vrijednost funkcije. Najčešći je način definiranja funkcije pomoću formule at =f(x), gdje f(x)- neki izraz sa promenljivom X. U ovom slučaju kažemo da je funkcija data formulom ili da je funkcija data pomoću analitički.

¨ U praksi se često koristi tabelarni način na koji je funkcija definirana. Uz ovu metodu, pruža se tablica koja pokazuje vrijednosti funkcije za vrijednosti argumenta prisutnih u tablici. Primeri definicije tabelarne funkcije su tabela kvadrata, tabela kocki.

Vrste funkcija i njihova svojstva

1) Stalna funkcija- funkcija, dato formulom y= b , gdje b- neki broj. raspored stalna funkcija y \u003d b je prava linija paralelna s x-osi i koja prolazi kroz tačku (0; b) na y-osi

2) Direktna proporcionalnost- funkcija data formulom y= kx , gdje je k¹0. Broj k pozvao koeficijent proporcionalnosti .

Svojstva funkcije y=kx :

1. Domen definicije funkcije - set svi realni brojevi

2. y=kx- neparna funkcija

3. Za k>0, funkcija raste, a za k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Linearna funkcija- funkcija koja je data formulom y=kx+b, gdje k i b - realni brojevi. Ako, posebno, k=0, tada dobijamo konstantnu funkciju y=b; ako b=0, tada dobijamo direktnu proporcionalnost y=kx .

Svojstva funkcije y=kx+b :

1. Domen definicije - skup svih realnih brojeva

2. Funkcija y=kx+b opšti pogled, tj. ni paran ni neparan.

3. Za k>0, funkcija raste, a za k<0 убывает на всей числовой прямой

Grafikon funkcije je ravno .

4)Inverzna proporcionalnost- funkcija data formulom y=k /X, gdje je k¹0 Broj k pozvao faktor inverzne proporcionalnosti.

Svojstva funkcije y=k / x:

1. Domen definicije - skup svih realnih brojeva osim nule

2. y=k / x - neparna funkcija

3. Ako je k>0, tada funkcija opada na intervalu (0;+¥) i na intervalu (-¥;0). Ako je k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).

Grafikon funkcije je hiperbola .

5)Funkcija y=x2

Svojstva funkcije y=x2:

2. y=x2 - ravnomjerna funkcija

3. Funkcija se smanjuje na intervalu

Grafikon funkcije je parabola .

6)Funkcija y=x 3

Svojstva funkcije y=x3:

1. Područje definicije je cijela brojevna prava

2. y=x 3 - neparna funkcija

3. Funkcija raste na cijeloj brojevnoj pravoj

Grafikon funkcije je kubna parabola

7)Funkcija snage sa prirodnim eksponentom- funkcija data formulom y=xn, gdje n- prirodni broj. Za n=1 dobijamo funkciju y=x, njena svojstva se razmatraju u odjeljku 2. Za n=2;3 dobijamo funkcije y=x 2 ; y=x 3 . Njihova svojstva su razmotrena gore.

Neka je n proizvoljan paran broj veći od dva: 4,6,8... U ovom slučaju, funkcija y=xn ima ista svojstva kao i funkcija y=x 2 . Grafikon funkcije liči na parabolu y=x 2 , samo grane grafa za |x|>1 idu strmije što je n veće, a za |x|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

Neka je n proizvoljan neparni broj veći od tri: 5,7,9... U ovom slučaju, funkcija y=xn ima ista svojstva kao i funkcija y=x 3 . Grafikon funkcije podsjeća na kubnu parabolu.

8)Funkcija snage s cijelim negativnim eksponentom - funkcija data formulom y=x-n , gdje n- prirodni broj. Za n=1 dobijamo y=1/x, svojstva ove funkcije razmatraju se u odjeljku 4.

Neka je n neparan broj veći od jedan: 3,5,7... U ovom slučaju, funkcija y=x-n ima u osnovi ista svojstva kao i funkcija y=1/x.

Neka je n paran broj, na primjer n=2.

Svojstva funkcije y=x -2 :

1. Funkcija je definirana za sve x¹0

2. y=x -2 - ravnomjerna funkcija

3. Funkcija se smanjuje za (0;+¥) i povećava za (-¥;0).

Svaka funkcija s parnim n većim od dva ima ista svojstva.

9)Funkcija y= Ö X

Svojstva funkcije y= Ö X :

1. Domen definicije je zrak i raste na intervalu )