Kvadratni izrazi. Kvadratne jednadžbe

U ovoj lekciji ćemo proučavati osnovnu osobinu razlomka, saznati koji su razlomci međusobno jednaki. Naučit ćemo kako smanjiti razlomke, odrediti je li razlomak smanjen ili ne, vježbati reduciranje razlomaka i saznati kada koristiti redukciju, a kada ne.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias acceptnda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Ove informacije su dostupne registrovanim korisnicima

Osnovno svojstvo razlomka

Zamislite takvu situaciju.

Na stolu 3 ljudski i 5 jabuke. Podijelite 5 tri jabuke. Svaki dobija \(\mathbf(\frac(5)(3))\) jabuke.

I za susednim stolom 3 osoba i takođe 5 jabuke. Svaki opet \(\mathbf(\frac(5)(3))\)

Istovremeno, sve 10 jabuke 6 Čovjek. Svaki \(\mathbf(\frac(10)(6))\)

Ali to je isto.

\(\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))\)

Ovi razlomci su ekvivalentni.

Možete udvostručiti broj ljudi i udvostručiti broj jabuka. Rezultat će biti isti.

U matematici se to formuliše na sljedeći način:

Ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože ili podijele istim brojem (nije jednak 0), tada će novi razlomak biti jednak originalnom.

Ovo svojstvo se ponekad naziva " osnovno svojstvo razlomka ».

$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$

Na primjer, put od grada do sela- 14 km.

Hodamo cestom i kilometrskim stupovima određujemo pređenu udaljenost. Nakon što smo prošli šest kolona, ​​šest kilometara, razumijemo da smo prošli \(\mathbf(\frac(6)(14))\) staze.

Ali ako ne vidimo stubove (možda nisu postavljeni), možemo prebrojati stazu duž električnih stubova uz cestu. Njih 40 komada po kilometru. Odnosno, sve 560 do kraja. Šest kilometara - \(\mathbf(6\cdot40 = 240)\) stubovi. Odnosno, prošli smo 240 od 560 stupci- \(\mathbf(\frac(240)(560))\)

\(\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))\)

Primjer 1

Označite tačku sa koordinatama ( 5; 7 ) na koordinatnu ravan XOY. To će odgovarati razlomku \(\mathbf(\frac(5)(7))\)

Povežite ishodište sa rezultujućom tačkom. Konstruirajte drugu tačku koja ima koordinate dvostruko više od prethodnih. Koji si razlomak dobio? Hoće li biti jednaki?

Odluka

Razlomak na koordinatnoj ravni može se označiti tačkom. Da nacrtate razlomak \(\mathbf(\frac(5)(7))\), označite tačku koordinatom 5 duž ose Y i 7 duž ose X. Povucimo pravu liniju od ishodišta kroz našu tačku.

Tačka koja odgovara razlomku \(\mathbf(\frac(10)(14))\)

Oni su ekvivalentni: \(\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))\)

Razlomci i njihovo smanjenje je još jedna tema koja počinje u 5. razredu. Ovdje se formira osnova ove akcije, a zatim se te vještine uvlače višu matematiku. Ako učenik nije naučio, onda može imati problema u algebri. Stoga je bolje jednom zauvijek razumjeti nekoliko pravila. I zapamtite jednu zabranu i nikada je ne prekršite.

Razlomak i njegovo smanjenje

Šta je to, zna svaki student. Bilo koje dvije cifre koje se nalaze između horizontalne trake odmah se percipiraju kao razlomak. Međutim, ne razumiju svi da bilo koji broj to može postati. Ako je cijeli broj, onda se uvijek može podijeliti sa jedan, tada ćete dobiti nepravilan razlomak. Ali više o tome kasnije.

Početak je uvijek jednostavan. Prvo morate shvatiti kako smanjiti ispravan razlomak. To jest, onaj čiji je brojilac manji od nazivnika. Da biste to učinili, morate zapamtiti glavno svojstvo razlomka. Navodi da kada se množe (kao i dijele) i brojnik i imenilac sa isti broj ispada da je isti kao originalni razlomak.

Radnje podjele koje se izvode na ovom svojstvu rezultiraju smanjenjem. Odnosno, njegovo maksimalno pojednostavljenje. Razlomak se može smanjiti sve dok postoje zajednički faktori iznad i ispod linije. Kada više ne postoje, smanjenje je nemoguće. I kažu da je ovaj razlomak nesvodljiv.

dva načina

1.Korak po korak smanjenje. Koristi se metodom pogađanja, kada su oba broja podijeljena minimalnim zajedničkim faktorom koji je učenik primijetio. Ako je nakon prvog smanjenja jasno da ovo nije kraj, onda se podjela nastavlja. Sve dok razlomak ne postane nesvodljiv.

2. Pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja brojnika i nazivnika. Ovo je najracionalniji način smanjenja razlomaka. To znači razlaganje brojioca i nazivnika na primarni faktori. Među njima, onda morate izabrati sve iste. Njihov proizvod će dati najveći zajednički faktor za koji se udio smanjuje.

Obje ove metode su ekvivalentne. Učenik je pozvan da ih savlada i iskoristi onu koja mu se najviše dopala.

Šta ako postoje slova i operacije sabiranja i oduzimanja?

Sa prvim dijelom pitanja sve je manje-više jasno. Slova mogu biti skraćena baš kao i brojevi. Glavna stvar je da djeluju kao multiplikatori. Ali sa drugim, mnogi imaju problema.

Važno je zapamtiti! Možete smanjiti samo brojeve koji su faktori. Ako su to uslovi, to je nemoguće.

Da bismo razumjeli kako smanjiti razlomke koji izgledaju kao algebarski izraz, morate naučiti pravilo. Prvo izrazite brojilac i nazivnik kao proizvod. Tada možete smanjiti ako postoje uobičajeni faktori. Za predstavljanje kao množitelji, korisni su sljedeći trikovi:

• grupisanje;
• bracketing;
• primjena skraćenih identiteta množenja.

Štaviše, ova druga metoda omogućava da se odmah dobiju termini u obliku faktora. Stoga se mora uvijek koristiti ako je vidljiv obrazac.

Ali to još nije strašno, tada se pojavljuju zadaci sa stupnjevima i korijenima. Tada morate skupiti hrabrost i naučiti nekoliko novih pravila.

Izraz moći

Razlomak. Proizvod u brojniku i nazivniku. Ima slova i brojeva. I oni su takođe podignuti na moć, koja se takođe sastoji od pojmova ili faktora. Ima čega da se plašite.

Da biste shvatili kako smanjiti razlomke potencijama, morate naučiti dvije točke:

• ako postoji zbir u eksponentu, onda se može razložiti na faktore, čiji će moći biti originalni članovi;
• ako je razlika, onda u dividendu i djelitelj, prvi u stepenu će se smanjiti, drugi - oduzeti.

Nakon završetka ovih koraka, zajednički množitelji postaju vidljivi. U takvim primjerima nije potrebno izračunati sve snage. Dovoljno je jednostavno smanjiti stepene sa istim indikatorima i bazama.

Da biste konačno savladali kako reducirati razlomke potencijama, potrebno vam je dosta vježbe. Nakon nekoliko primjera istog tipa, radnje će se izvršiti automatski.

Šta ako izraz sadrži korijen?

Može se i skratiti. Opet, samo slijedite pravila. Štaviše, sve gore opisano je tačno. Općenito, ako je pitanje kako smanjiti razlomak s korijenima, onda morate podijeliti.

Na iracionalni izrazi takođe se mogu podeliti. To jest, ako su brojnik i imenilac isti množitelji zatvorene pod znakom korijena, onda se mogu sigurno reducirati. Ovo će pojednostaviti izraz i obaviti posao.

Ako nakon smanjenja, iracionalnost ostane ispod linije razlomka, onda je se morate riješiti. Drugim riječima, pomnožite brojilac i imenilac s tim. Ako su se nakon ove operacije pojavili uobičajeni faktori, onda će ih trebati ponovo smanjiti.

To je, možda, sve o tome kako smanjiti razlomke. Malo pravila, ali jedna zabrana. Nikad ne skraćujte termine!

Kalkulator na mreži radi redukcija algebarskih razlomaka prema pravilu redukcije razlomaka: zamjena izvornog razlomka jednak razlomak, ali sa manjim brojnikom i nazivnikom, tj. istovremeno dijeljenje brojnika i nazivnika razlomka njihovim zajedničkim najvećim zajednički djelitelj(GCD). Prikazuje se i kalkulator detaljno rješenje, što će vam pomoći da shvatite redoslijed izvršenja redukcije.

Dato:

Odluka:

Radite redukciju frakcija

provjera mogućnosti izvođenja redukcije algebarski razlomak

1) Određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) brojnika i nazivnika razlomka

određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja (gcd) brojnika i nazivnika algebarskog razlomka

2) Smanjenje brojioca i imenioca razlomka

redukcija brojnika i nazivnika algebarskog razlomka

3) Odabir cjelobrojnog dijela razlomka

izdvajanje celog dela algebarskog razlomka

4) Pretvaranje algebarskog razlomka u decimalni razlomak

pretvaranje algebarskog razlomka u decimalni

Pomoć za razvoj projekta sajta

Poštovani posjetitelju stranice.
Ako niste uspjeli pronaći ono što ste tražili - svakako napišite o tome u komentarima, šta sada nedostaje stranici. To će nam pomoći da shvatimo u kojem smjeru trebamo dalje, a i ostali posjetitelji će uskoro moći dobiti potreban materijal.
Ako vam se stranica pokaže korisnom, donirajte je projektu samo 2 ₽ i znaćemo da se krećemo u pravom smeru.

Hvala vam što niste prošli!

I. Postupak za smanjenje algebarskog razlomka s online kalkulatorom:

1. Da biste smanjili algebarski razlomak, unesite vrijednosti brojnika i nazivnika razlomka u odgovarajuća polja. Ako je razlomak pomiješan, popunite i polje koje odgovara cijelom dijelu razlomka. Ako je razlomak jednostavan, ostavite polje za cijeli broj praznim.
2. Za postavljanje negativan razlomak, stavite znak minus u cijeli dio razlomka.
3. Ovisno o datom algebarskom razlomku, automatski se izvodi sljedeći niz radnji:

• određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) brojnika i nazivnika razlomka;
• smanjenje brojnika i nazivnika razlomka za gcd;
• izdvajanje celog dela razlomka ako je brojnik konačnog razlomka veći od nazivnika.
• pretvarajući konačni algebarski razlomak u decimalni razlomak zaokruženo na stotinke.

Rezultat smanjenja može biti nepravilan razlomak. U ovom slučaju, finale pravilan razlomakće biti dodijeljeno cijeli dio a rezultujući razlomak će se pretvoriti u pravi razlomak.

II. Za referenciju:

Razlomak je broj koji se sastoji od jednog ili više dijelova (razlomaka) jedinice. Obični razlomak (prosti razlomak) piše se kao dva broja (brojilac razlomka i nazivnik razlomka), razdvojena horizontalnom crtom (razlomkom), koja označava znak dijeljenja. Brojač razlomka je broj iznad linije razlomka. Brojilac pokazuje koliko je dijelova uzeto iz cjeline. Imenilac razlomka je broj ispod razlomka. Imenilac pokazuje na koliko jednakih delova je podeljena celina. Jednostavan razlomak je razlomak koji nema cijeli broj. Jednostavan razlomak može biti ispravan ili pogrešan. Pravi razlomak je razlomak čiji brojnik manji od imenioca, pa je pravi razlomak uvijek manji od jedan. Primjer tačnih razlomaka: 8/7, 11/19, 16/17. Nepravilan razlomak je razlomak čiji je brojilac veći ili jednak nazivniku, tako da je nepravilan razlomak uvijek veći ili jednak jedan. Primjer nepravilni razlomci: 7/6, 8/7, 13/13. mješoviti razlomak - broj koji uključuje cijeli broj i pravi razlomak, a označava zbir ovog cijelog broja i pravilnog razlomka. Bilo koji mješoviti razlomak može se pretvoriti u nepravilan prosti razlomak. Primjer miješane frakcije: 1¼, 2½, 4¾.

III. Bilješka:

1. Blok izvornih podataka je označen žuta , istaknut blok međukalkulacija plava boja , blok rješenja označen zelenom bojom.
2. Za sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje običnih ili mješovitih razlomaka koristite online kalkulator razlomaka s detaljnim rješenjem.

Razumjet ćemo što je redukcija razlomaka, zašto i kako smanjiti razlomke, dat ćemo pravilo za smanjenje razlomaka i primjere njegove upotrebe.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Šta je "smanjenje frakcija"

Smanjite frakciju

Smanjiti razlomak znači podijeliti njegov brojilac i imenilac zajedničkim djeliteljem, pozitivnim i različitim od jedinice.

Kao rezultat takve radnje, dobit će se razlomak s novim brojnikom i nazivnikom, jednak izvornom razlomku.

Na primjer, uzmimo običan razlomak 6 24 i skratiti ga. Podijelite brojilac i nazivnik sa 2, što rezultira 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 . U ovom primjeru, smanjili smo originalni razlomak za 2.

Redukcija razlomaka u nesvodljivi oblik

U prethodnom primjeru smanjili smo razlomak 6 24 za 2 , što je rezultiralo razlomkom 3 12 . Lako je vidjeti da se ovaj dio može dodatno smanjiti. Općenito, cilj smanjenja razlomaka je da se dobije nesmanjivi razlomak. Kako pretvoriti razlomak u nesvodljivi oblik?

To se može postići smanjenjem brojnika i nazivnika za njihov najveći zajednički djelitelj (GCD). Tada će, po svojstvu najvećeg zajedničkog djelitelja, u brojniku i u nazivniku biti međusobno primarni brojevi, a razlomak je nesvodljiv.

a b = a ÷ N O D (a, b) b ÷ N O D (a, b)

Redukcija razlomka u nesvodljivi oblik

Da biste razlomak sveli u nesvodljivi oblik, trebate podijeliti njegov brojnik i nazivnik s njihovim gcd.

Vratimo se na razlomak 6 24 iz prvog primjera i svedemo ga na nesvodljivi oblik. Najveći zajednički djelitelj brojeva 6 i 24 je 6. Smanjimo razlomak:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Smanjenje razlomaka je pogodno za korištenje kako ne bi radili s velikim brojevima. Općenito, u matematici postoji neizgovoreno pravilo: ako možete pojednostaviti bilo koji izraz, onda to trebate učiniti. Pod smanjenjem razlomka najčešće podrazumijevaju njegovo svođenje na nesvodljiv oblik, a ne samo svođenje zajedničkim djeliteljem brojnika i nazivnika.

Pravilo redukcije razlomaka

Da biste smanjili razlomke, dovoljno je zapamtiti pravilo koje se sastoji od dva koraka.

Pravilo redukcije razlomaka

Da smanjite razlomak:

1. Pronađite gcd brojnika i nazivnika.
2. Podijelite brojilac i nazivnik sa njihovim gcd.

Razmotrite praktične primjere.

Primjer 1. Smanjimo razlomak.

Dat je razlomak 182 195 . Hajde da ga skratimo.

Pronađite GCD brojnika i nazivnika. Za ovo u ovaj slučaj Najbolji način je korištenje Euklidovog algoritma.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13

Podijelite brojilac i imenilac sa 13. Dobijamo:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Spreman. Dobili smo nesvodljivi razlomak, koji je jednak originalnom razlomku.

Kako drugačije možete smanjiti razlomke? U nekim slučajevima je zgodno rastaviti brojilac i nazivnik na jednostavne faktore, a zatim iz gornjeg i donji delovi razlomci da se uklone svi zajednički faktori.

Primjer 2. Smanjite razlomak

Dat je razlomak 360 2940 . Hajde da ga skratimo.

Da bismo to učinili, predstavljamo originalni razlomak u obliku:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

Oslobodimo se zajedničkih faktora u brojniku i nazivniku, kao rezultat toga dobijamo:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

Konačno, razmotrite još jedan način smanjenja razlomaka. Ovo je takozvana sekvencijalna redukcija. Koristeći ovu metodu, redukcija se provodi u nekoliko faza, u svakoj od kojih se razlomak smanjuje za neki očiti zajednički djelitelj.

Primjer 3. Smanjite razlomak

Smanjimo razlomak 2000 4400 .

Odmah je jasno da brojilac i imenilac imaju zajednički faktor 100. Smanjujemo razlomak za 100 i dobijamo:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Rezultirajući rezultat se opet smanjuje za 2 i dobivamo nesmanjivi razlomak:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter