Pronalaženje korijena nelinearne jednadžbe pomoću tangentne metode u Excelu. Rješavanje sistema nelinearnih jednadžbi iteracijskim metodama

n Primjer 2.3. Pronađite korijene jednadžbe

x- tg (x)= 0. (2.18)

Prva faza rješenja (faza odvajanje korena) implementiran je u Odjeljku 2.1 (Primjer 2.2). Željeni korijen jednačine nalazi se na segmentu x O, što se može vidjeti na grafikonu (sl. 2.9).

Sl.2.9. Korak odvajanja korijena

Faza rafiniranja korijena implementirati koristeći Excel. Pokažimo to na primjeru metoda pola divizije . Šeme proračuna za tangentne metode i akord malo drugačiji od dijagrama ispod.

Slijed:

1. Pripremite tabelu kao što je prikazano na slici 2.10 i unesite vrijednosti a, b, ε u ćelije V3, V4, V5, respektivno.

2. Popunite prvi red tabele:

D4=0 broj iteracije;

E4=B3, F4=B4, izračunati f(a): G4=E4-TAN(E4),

Slično tome, u ćelije H4, I4, J4 uvest ćemo formule za izračunavanje, odnosno f(b), x n=(a+b)/2 i f(x n);

U ćeliji K4 izračunajte dužinu segmenta [ a, b]: K4=ABS(E4-F4).

3. D5=D4+1, da se formira broj iteracije.

4. U ćelije E5, F5 uvodimo formule za formiranje krajeva ugniježđenih segmenata u skladu s algoritmom opisanim u Odjeljku 2.2.1:

E5=IF(J4*H4<0;I4;E4);

F5=IF(J4*H4>0;I4;F4).

5. Odaberite ćelije G4:K4 i kopirajte ih jedan red.

6. Odaberite ćelije D5:K5 i kopirajte ih na kraj tabele.

Sl.2.10. Shema rješenja nelinearna jednačina metoda bisekcije

Nastavljamo dijeljenje odsječaka sve dok dužina potonjeg ne postane manja od datog ε, tj. dok se ne ispuni uslov.

Za vizualizaciju kraja iterativnog procesa koristimo se uslovno formatiranje

Uvjetno formatiranje - ovo je formatiranje odabranih ćelija na osnovu nekog kriterijuma, usled čega će biti obojene ćelije čiji sadržaj zadovoljava zadati uslov (u našem slučaju, ).

Da biste to učinili, izvršite sljedeće korake:

Odaberimo ćelije poslednje kolone (K) računske šeme (slika 2.10), gde će biti postavljen kriterijum za kraj iterativnog procesa;

Izvršite naredbu

Home\Styles\ Conditional Formatting;

Sl.2.11. Prozor u formatiranje riječi

U prozoru koji se pojavi (slika 2.11) odaberite liniju:

Pravila odabira ćelije \ Manje od;

Na lijevoj strani dijaloškog okvira koji se pojavljuje Manje (Sl. 2.12) postavite vrijednost koja će se koristiti kao kriterij (u našem primjeru, ovo je adresa ćelije B5, gdje se nalazi vrijednost ε ).

Sl.2.12. Prozor dijaloga Manje

Na desnoj strani prozora Manje odaberite boju koja će se koristiti za bojenje ćelija koje ispunjavaju navedeni uvjet; i pritisnite dugme UREDU.

Kao rezultat ovog oblikovanja, ćelije kolone K , čije vrednosti manje od 0,1, tonirana, sl.2.10.

Dakle, za približnu vrijednost korijena jednadžbe x- tg (x)= 0 sa tačnošću e=0,1, prihvata se 3. iteracija, tj. x*" 4.46875. Za e=0,01 - x * » 4.49609(6. iteracija).

Rješavanje nelinearnih jednačina pomoću dodatka za odabir parametara

Rješenje nelinearnih jednačina može se implementirati u MS aplikaciji excel koristeći dodaci Odabir parametara, gdje se implementira neki iterativni proces.

Nađimo korijene gornje jednadžbe (2.18).

Za nultu aproksimaciju rješenja jednačine, kao što se može vidjeti sa slike 2.13, možemo uzeti X 0 =4 ili X 0 =4,5.

Sekvenciranje

1. Pripremite tabelu, kao što je prikazano na slici 2.13. Na ćeliju A2 unesite neku vrijednost x 0 (na primjer X 0 =4) iz ODZ funkcije y=f(x). Ovo će biti početna aproksimacija za iterativni proces koji implementira aplikacija Odabir parametara.

2. Cell U 2 je promenljiva ćelija dok je dodatak pokrenut. Stavimo ovu vrijednost u to. x 0 , i u ćeliji C3 izračunati vrijednost funkcije f(xn) za ovu aproksimaciju.

3. Odaberite naredbu:

Podaci \ Rad s podacima \ Analiza "šta ako" \ Izbor parametra.

4. U prozoru "Izbor parametara" izvršite podešavanja kao što je prikazano na slici 2.13 i pritisnite dugme OK.

Sl.2.13. Rješavanje nelinearne jednačine pomoću dodatka za traženje parametara

Ako je sve urađeno ispravno, tada će se u ćeliji B2 (slika 2.13) dobiti približna vrijednost korijena naše jednadžbe.

Na primjer, ponovite sve ove operacije s drugom vrijednošću početne aproksimacije x 0 \u003d 4.5.

test pitanja

1. Koja se jednačina naziva nelinearnom. Koje je rješenje nelinearne jednačine.

2. Geometrijska interpretacija rješenja nelinearne jednačine.

3. Metode rješavanja nelinearne jednačine (direktne i iterativne), u čemu je razlika.

4. Dvije faze numeričko rešenje nelinearna jednačina. Koji su zadaci u prvoj i drugoj fazi.

5. Prva faza rješavanja nelinearne jednačine. Kako se bira nulta aproksimacija (nulta iteracija).

6. Konstrukcija iterativnog niza. Koncept konvergencije iterativnog niza. Pronalaženje približne vrijednosti korijena nelinearne jednadžbe s točnošću ε.

7. Geometrijska interpretacija numeričkih metoda za rješavanje nelinearne jednadžbe: polupodjela, Njutn (tangenta), tetive.

Poglavlje 3

Mučeni u školi oko rješavanja jednačina na časovima matematike, mnogi učenici su često sigurni da gube vrijeme, a ipak će takva vještina biti korisna u životu ne samo onima koji odluče krenuti stopama Dekarta, Ojlera ili Lobačevskog.

U praksi, na primjer, u medicini ili ekonomiji, vrlo se često dešavaju situacije kada specijalista treba da sazna kada je koncentracija aktivna supstanca određenog lijeka će dostići potrebnu razinu u krvi pacijenta, ili morate izračunati vrijeme potrebno da određeni posao postane profitabilan.

Najčešće mi pričamo o rješavanju nelinearnih jednačina razne vrste. Da se to uradi što je brže moguće, posebno uz upotrebu računara, numeričke metode dozvoljavaju. Dobro su proučeni i odavno su dokazali svoju efikasnost. Među njima je i Newtonova tangentna metoda, koja je predmet ovog članka.

Formulacija problema

AT ovaj slučaj postoji funkcija g koja je definirana na segmentu (a, b) i preuzima ga određene vrijednosti, tj. svaki x koji pripada (a, b) može biti pridružen određeni broj g(x).

Potrebno je uspostaviti sve korijene jednadžbe iz intervala između tačaka a i b (uključujući krajeve), za koje je funkcija postavljena na nulu. Očigledno, to će biti tačke preseka y = g(x) sa OX.

U nekim slučajevima je zgodnije zamijeniti g(x)=0 sličnim, g 1 (x) = g 2 (x). U ovom slučaju, apscise (vrijednost x) presječnih tačaka grafova g 1 (x) i g 2 (x) djeluju kao korijeni.

Rješenje nelinearne jednačine važno je i za optimizacijske probleme za koje je uvjet lokalni ekstrem- konverzija u 0 derivacije funkcije. Drugim riječima, takav problem se može svesti na pronalaženje korijena jednadžbe p(x) = 0, gdje je p(x) identičan g"(x).

Metode rješenja

Za neke vrste nelinearnih jednadžbi, kao što su kvadratne ili jednostavne trigonometrijske jednadžbe, korijeni se mogu pronaći na prilično jednostavne načine. Konkretno, svaki učenik zna formule, pomoću kojih možete lako pronaći vrijednosti argumenta tačaka u kojima je kvadratni trinom nula.

Metode za vađenje korijena nelinearnih jednačina obično se dijele na analitičke (direktne) i iterativne. U prvom slučaju, željeno rješenje ima oblik formule, pomoću koje, za određeni broj aritmetičkih operacija, možete pronaći vrijednost željenih korijena. Slične metode su razvijene za eksponencijalne, trigonometrijske, logaritamske i jednostavne algebarske jednačine. Za ostalo treba koristiti posebne numeričke metode. Lako ih je implementirati uz pomoć računara, koji vam omogućavaju da pronađete korijene sa potrebnom preciznošću.

Među njima je i takozvana numerička metoda tangenta, koju je predložio veliki naučnik Isaac Newton in krajem XVII veka. U narednim vekovima, metoda je više puta unapređivana.

Lokalizacija

Numerička rješenja složene jednačine, koji nemaju analitička rješenja, uobičajeno je da se izvode u 2 etape. Prvo ih morate lokalizirati. Ova operacija se sastoji u pronalaženju takvih segmenata na OX na kojima postoji jedan korijen jednačine koja se rješava.

Razmotrimo segment. Ako g(x) na njemu nema diskontinuiteta i uzima vrijednosti različitih predznaka na krajnjim tačkama, tada između a i b ili samih po sebi postoji najmanje 1 korijen jednadžbe g(x) = 0. Da bi biti jedinstven, potrebno je da je g(x) monoton. Kao što je poznato, imaće takvo svojstvo pod uslovom da je g’(x) konstantnog predznaka.

Drugim riječima, ako g(x) nema diskontinuiteta i monotono raste ili opada, a njegove vrijednosti na krajnjim tačkama nemaju identični znaci, tada postoji 1 i samo 1 korijen g(x).

U ovom slučaju, trebate znati da ovaj kriterij neće raditi za korijene jednadžbi koje su višestruke.

Rješavanje jednačine dijeljenjem na pola

Prije nego što razmotrimo složenije numeričke tangente i njegove varijante), vrijedi se upoznati s najviše na jednostavan način identifikovanje korena. Zove se dihotomija i odnosi se na intuitivno pronalaženje korijena na temelju teoreme da ako je za g (x), kontinuirano, zadovoljen uvjet različitih predznaka, tada na segmentu koji se razmatra postoji najmanje 1 korijen g ( x) = 0.

Da biste ga pronašli, trebate podijeliti segment na pola i odrediti sredinu kao x 2. Tada su moguće dvije opcije: g (x 0) * g (x 2) ili g (x 2) * g (x 1) jednaki su ili manji od 0. Biramo onu za koju je jedna od ovih nejednakosti tačna. Ponavljamo gore opisani postupak sve dok dužina ne postane manja od određene, unaprijed odabrane vrijednosti koja određuje tačnost određivanja korijena jednadžbe na .

Prednosti metode uključuju njenu pouzdanost i jednostavnost, a nedostatak je potreba da se na početku identifikuju tačke u kojima g(x) uzima različiti znakovi, tako da se ne može koristiti za korijene s čak i višestrukim brojem. Osim toga, ne generalizira se na slučaj sistema jednačina ili kada su u pitanju kompleksni korijeni.

Primjer 1

Neka želimo da riješimo jednačinu g(x) = 2x 5 + x - 1 = 0. Da ne bismo dugo tražili odgovarajući segment, gradimo graf koristeći, na primjer, poznati Excel program . Vidimo da je bolje uzeti vrijednosti iz intervala kao segment za lokalizaciju korijena. Možemo biti sigurni da na njemu postoji barem jedan korijen željene jednačine.

g "(x) \u003d 10x 4 + 1, tj. ovo je monotono rastuća funkcija, stoga postoji samo 1 korijen na odabranom segmentu.

Zamijenite krajnje tačke u jednadžbu. Imamo 0 i 1 respektivno. U prvom koraku kao rješenje uzimamo tačku 0,5. Tada je g(0,5) = -0,4375. Dakle, sljedeći segment za dijeljenje na pola bit će. Njegova sredina je 0,75. U njemu je vrijednost funkcije 0,226. Uzimamo u obzir segment i njegovu sredinu, koja se nalazi u tački 0,625. Izračunajte vrijednost g(x) do 0,625. Jednako je sa -0,11, odnosno negativno. Na osnovu ovog rezultata biramo segment . Dobijamo x = 0,6875. Tada je g(x) = -0,00532. Ako je tačnost rješenja 0,01, onda možemo pretpostaviti da je željeni rezultat 0,6875.

Teorijska osnova

Ova metoda pronalaženja korijena korištenjem Newtonove tangentne metode je popularna zbog svoje vrlo brze konvergencije.

Zasniva se na dokazanoj činjenici da ako je x n aproksimacija korijenu f(x)=0 tako da je f" C 1 , tada će sljedeća aproksimacija biti u tački gdje jednačina tangente na f(x) nestaje , tj.

Zamijenite x = x n+1 i postavite y na nulu.

Tada tangenta izgleda ovako:

Primjer 2

Pokušajmo koristiti klasičnu Newtonovu tangentnu metodu i pronaći rješenje neke nelinearne jednačine koje je teško ili nemoguće analitički pronaći.

Neka je potrebno otkriti korijene za x 3 + 4x - 3 = 0 sa određenom preciznošću, na primjer 0,001. Kao što znate, graf bilo koje funkcije u obliku polinoma neparnog stepena mora barem jednom prijeći osu OX, tj. nema razloga sumnjati u postojanje korijena.

Prije rješavanja našeg primjera metodom tangente, crtamo f (x) = x 3 + 4x - 3 tačku po tačku. To je vrlo lako učiniti, na primjer, koristeći Excel tabelu. Iz rezultirajućeg grafa vidjet će se da se siječe s OX osi i funkcija y = x 3 + 4x - 3 monotono raste. Možemo biti sigurni da jednačina x 3 + 4x - 3 = 0 ima rješenje i da je jedinstvena.

Algoritam

Svako rješenje jednadžbi tangentnom metodom počinje izračunavanjem f "(x). Imamo:

Tada će drugi izvod izgledati kao x * 6.

Koristeći ove izraze, možemo napisati formulu za identifikaciju korijena jednadžbe koristeći tangentnu metodu u obliku:

Zatim, potrebno je odabrati početnu aproksimaciju, tj. odrediti koju tačku smatrati početnom (rev. x 0) za iterativni proces. Razmatramo krajeve segmenta. Za nas je pogodan onaj za koji je tačan uslov funkcije i njenog 2. izvoda na x 0. Kao što vidite, kada se zamjenjuje x 0 = 0, to se krši, ali je x 0 = 1 sasvim prikladno.

onda ako nas zanima rješenje metodom tangenta sa tačnošću e, onda se za vrijednost x n može smatrati da zadovoljava zahtjeve problema, pod uslovom da je nejednakost |f(x n) / f’(x n)|< e.

Na prvom koraku tangente imamo:

x 1 = x 0 - (x 0 3 + 4x 0 - 3) / (3x 0 2 + 4) = 1- 0,2857 = 0,71429;
pošto uslov nije ispunjen, idemo dalje;
dobijamo novu vrijednost za x 2, koja je jednaka 0,674;
primijetimo da je omjer vrijednosti funkcije i njenog izvoda u x 2 manji od 0,0063, zaustavljamo proces.

Metoda tangente u Excelu

Rješavanje prethodnog primjera može biti puno lakše i brže ako ne računate ručno (na kalkulatoru), već iskoristite mogućnosti procesor tabela od Microsofta.

Da biste to učinili, u Excelu morate kreirati nova stranica i ispunite njegove ćelije sljedećim formulama:

u C7 pišemo "= POWER (B7; 3) + 4 * B7 - 3";
u D7 unosimo "= 4 + 3 * STEPEN (B7; 2)";
u E7 pišemo "= (NAPAJANJE (B7; 3) - 3 + 4 * B7) / (3 * SNAGA (B7; 2) + 4)";
u D7 unosimo izraz "= B7 - E7";
u B8 unosimo formulu-uslov “= IF (E7< 0,001;"Завершение итераций"; D7)».

U određenom zadatku, već u ćeliji B10, pojavit će se natpis "Završetak iteracija", a za rješavanje problema morat ćete uzeti broj napisan u ćeliji koja se nalazi jedan red iznad. Za njega možete odabrati i zaseban stupac koji se može rastegnuti tako da tamo unesete uvjetnu formulu, prema kojoj će rezultat biti upisan tamo ako sadržaj u jednoj ili drugoj ćeliji stupca B poprimi oblik "Završetak iteracija".

Implementacija u Pascal-u

Pokušajmo dobiti rješenje nelinearne jednačine y = x 4 - 4 - 2 * x koristeći tangentnu metodu u Pascalu.

Koristimo pomoćnu funkciju koja će pomoći da se izvrši približno izračunavanje f "(x) \u003d (f (x + delta) - f (x)) / delta. Kao uslov za završetak iterativnog procesa, izabraćemo ispunjenje nejednakosti |x 0 -x 1 |< некого малого числа. В Паскале его запишем, как abs(x0 - x1)<= epsilon.

Program je izvanredan po tome što ne zahtijeva ručno izračunavanje izvedenice.

metoda akorda

Razmotrite još jedan način za identifikaciju korijena nelinearnih jednačina. Proces iteracije se sastoji u tome da se kao sukcesivne aproksimacije željenom korijenu za f(x)=0 uzimaju vrijednosti točaka presjeka tetive sa apscisama krajnjih tačaka a i b sa OX , označeno kao x 1 , ..., x n . Imamo:

Za tačku u kojoj tetiva seče sa OX osom, izraz će biti zapisan kao:

Neka je drugi izvod pozitivan za x £ (suprotan slučaj se svodi na onaj koji se razmatra ako zapišemo f(x) = 0). U ovom slučaju, graf y \u003d f (x) je kriva konveksna na dnu i nalazi se ispod tetive AB. Mogu postojati 2 slučaja: kada je funkcija pozitivna u tački a ili negativna u tački b.

U prvom slučaju biramo kraj a kao fiksni, a za x 0 uzimamo tačku b. Tada uzastopne aproksimacije prema gornjoj formuli formiraju niz koji se monotono smanjuje.

U drugom slučaju, kraj b je fiksiran na x 0 = a. Vrijednosti x dobivene u svakom koraku iteracije formiraju niz koji se monotono povećava.

Dakle, možemo konstatovati da:

fiksiran u metodi tetiva je onaj kraj segmenta gdje se znaci funkcije i njenog drugog izvoda ne poklapaju;
aproksimacije za korijen x - x m - leže od njega na strani gdje f (x) ima predznak koji se ne poklapa sa predznakom f "" (x).

Iteracije se mogu nastaviti sve dok se ne zadovolje uslovi za blizinu korijena u ovom i prethodnom koraku iteracije po modulu abs(x m - x m - 1)< e.

Modifikovana metoda

Kombinirana metoda tetiva i tangenta omogućava vam da uspostavite korijene jednadžbe, približavajući im se s različitih strana. Takva vrijednost, pri kojoj f(x) graf siječe OX, omogućava vam da precizirate rješenje mnogo brže nego da koristite svaku od metoda zasebno.

Pretpostavimo da trebamo pronaći korijene f(x)=0 ako postoje na . Možete koristiti bilo koju od gore opisanih metoda. Međutim, bolje je isprobati njihovu kombinaciju, što će značajno povećati točnost korijena.

Razmatramo slučaj sa početnom aproksimacijom koja odgovara uslovu da prvi i drugi izvod imaju različite predznake u određenoj tački x.

Pod takvim uvjetima, rješenje nelinearnih jednadžbi tangentnom metodom omogućava vam da pronađete korijen s viškom ako je x 0 =b, a metoda koja koristi tetive na fiksnom kraju b dovodi do pronalaženja približnog korijena s nedostatkom.

Korišćene formule:

Sada se u intervalu mora tražiti željeni korijen x. U sljedećem koraku morate primijeniti kombiniranu metodu već na ovaj segment. Postupajući ovako, dobijamo formule oblika:

Ako postoji razlika u predznaku između prve i druge derivacije, onda, argumentirajući na sličan način, da preciziramo korijen, dobijamo sljedeće rekurzivne formule:

Kao uslov, procijenjena nejednakost | b n +1 - a n +1 |< e. Иными словами, на практике приходится находить решение при помощи двух методов, но на каждом шаге требуется выяснять, насколько полученные результаты близки друг другу.

Ako je gornja nejednakost tačna, tada se kao korijen nelinearne jednadžbe na datom intervalu uzima tačka, koja je tačno u sredini između rješenja pronađenih u određenom koraku iteracije.

Kombinovani metod se lako implementira u TURBO PASCAL okruženju. Uz veliku želju, možete pokušati izvršiti sve proračune pomoću tabelarne metode u programu Excel.

U potonjem slučaju odabire se nekoliko stupaca za rješavanje problema pomoću akorda i odvojeno za metodu koju je predložio Isaac Newton.

U ovom slučaju, svaki red se koristi za snimanje proračuna u određenom iterativnom koraku za dvije metode. Zatim, u lijevom dijelu područja rješenja, na aktivnoj radnoj stranici, istaknut je stupac u koji se unosi rezultat izračunavanja modula razlike vrijednosti sljedećeg koraka iteracije za svaku od metoda. Drugi se može koristiti za unos rezultata proračuna prema formuli proračuna logičke konstrukcije "IF", kojom se utvrđuje da li je uslov ispunjen ili ne.

Sada znate kako riješiti složene jednadžbe. Metoda tangente, kao što ste već vidjeli, implementirana je prilično jednostavno, kako u Pascalu tako iu Excelu. Stoga uvijek možete uspostaviti korijene jednadžbe koju je teško ili nemoguće riješiti pomoću formula.

„Za razliku od metode tetiva, u metodi tangenta, umjesto tetive, na svakom koraku se povlači tangenta na krivu y=F(x) at x=x n i traži se točka presjeka tangente sa osom apscisa:

Formula za (n+1) aproksimaciju je:

Ako a F(a)*F"(a)>0, x 0 =a, inače x 0 =b.

Iterativni proces se nastavlja sve dok se ne utvrdi da:

primjer:

Neka se zada sljedeći zadatak: Pročistite korijene jednadžbe cos(2x)+x-5=0 tangentna metoda sa tačnošću od 0,00001.

U početku morate odlučiti čemu je x0 jednako: ili a ili b. Da biste to učinili, morate izvršiti sljedeće korake:

Pronađite izvod prvog reda funkcije f(x)=cos(2x)+x-5. To će izgledati ovako: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Pronađite izvod drugog reda funkcije f(x)=cos(2x)+x-5. To će izgledati ovako: f2(x)=-4cos(2x).

Rezultat je sljedeći:

Pošto je x0=b, potrebno je da uradite sledeće:

Popunite ćelije na sledeći način (obratite pažnju na nazive i brojeve kolona prilikom popunjavanja - moraju biti isti kao na slici):

U ćeliju A6 unesite formulu =D5.

Odaberite raspon ćelija B5:E5 i popunite raspon ćelija B6:E6 prevlačenjem.

Odaberite raspon ćelija A6:E5 i popunite raspon ćelija niže ležećih povlačenjem dok se ne dobije rezultat u jednoj od ćelija kolone E (opseg ćelija A6:E9).

Kao rezultat, dobijamo sljedeće:

4. Kombinirana metoda tetiva i tangenta

Da bi se postigla što preciznija greška, potrebno je istovremeno koristiti metode tetiva i tangente. „Prema formuli akorda, nalaze x n+1, a prema tangentnoj formuli - z n+1. Proces pronalaženja približnog korijena se zaustavlja čim:

Kao približni korijen, uzmite vrijednost jednaku (11) :"[2 ]

Neka je potrebno precizirati korijene jednadžbe cos(2x)+x-5=0 kombinovanom metodom sa tačnošću od 0,00001.

Da biste riješili takav problem koristeći Excel, morate izvršiti sljedeće korake:

Budući da je u kombinovanoj metodi potrebno koristiti jednu od formula tetiva i formulu tangenti, radi jednostavnosti treba uvesti sljedeću notaciju:

Za formule akorda, označite:

Varijabla c će igrati ulogu a ili b ovisno o situaciji.

Preostale oznake su slične onima koje su date u formulama akorda, samo uzimajući u obzir varijable uvedene gore.

Za tangentnu formulu, označite:

Preostale oznake su slične onima datim u formuli tangente, samo uzimajući u obzir varijable koje su uvedene iznad.

Pronađite izvod prvog reda funkcije f(x)=cos(2x)+x-5. To će izgledati ovako: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Pronađite izvod drugog reda funkcije f(x)=cos(2x)+x-5. To će izgledati ovako: f2(x)=-4cos(2x).

Popunite ćelije na sledeći način (obratite pažnju na nazive i brojeve kolona prilikom popunjavanja - moraju biti isti kao na slici):

Rezultat je sljedeći:

U ćeliju G1 unesite e, au G2 unesite broj 0,00001.

U ćeliju H1 unesite c, au H2 unesite broj 6, pošto je c=b (pogledajte ćeliju F2).

U ćeliju I1 unesite f(c), au I2 unesite formulu =COS(2*H2)+H2-5.

Popunite ćelije redom na sledeći način (obratite pažnju na nazive i brojeve kolona prilikom popunjavanja - moraju biti isti kao na slici):

U ćeliju A6 unesite formulu =E5.

U ćeliju F6 unesite formulu =I5.

Odaberite raspon ćelija B5:E5 i koristite marker za automatsko popunjavanje da popunite raspon ćelija B6:E6.

Odaberite raspon ćelija G5:K5 i popunite raspon ćelija G6:K6 markerom za automatsko popunjavanje.

Odaberite raspon ćelija A6:K6 i popunite sve donje ćelije prevlačenjem dok se ne dobije odgovor u jednoj od ćelija kolone K (opseg ćelija A6:K9).

Kao rezultat, dobijamo sljedeće:

Odgovor: Koren jednačine cos(2x)+x-5=0 je 5,32976.

Zadata je jednadžba F(x)=0. To - opšti oblik nelinearna jednačina sa jednom nepoznatom. U pravilu, algoritam za pronalaženje korijena sastoji se od dvije faze:

1. Pronalaženje približne vrijednosti korijena ili segmenta na x-osi koja ga sadrži.

2. Rafiniranje približne vrijednosti korijena do određene preciznosti.

U prvoj fazi se primenjuje korak metoda razdvajanja korena, u drugoj - jedna od metoda rafiniranja (metoda poludeljenja, Njutnova metoda, metoda akorda ili metoda jednostavne iteracije).

korak metoda

Kao primjer, razmotrite jednačinu x 2 - 11x + 30 = 0. Interval pretrage, korak h = 0,3. Rešimo to koristeći posebne sposobnosti Excel paket. Redoslijed radnji (vidi sliku 1):

1. Stilizirajte zaglavlje na liniji 1 " Numeričke metode rješenja nelinearnih jednačina”.

2. Dizajnirajte naslov u liniji 3 "Metoda koraka".

3. U ćelije A6 i C6 i B6 upišite podatke o zadatku.

4. U ćelije B9 i C9 upišite naslove redova - respektivno x i F(x).

5. U ćelije B10 i B11 unesite prve dvije vrijednosti argumenta - 3 i 3.3.

6. Odaberite ćelije B5-B6 i povucite niz podataka do konačne vrijednosti (3.3), pazeći da je aritmetička progresija ispravno poravnata.

7. Unesite formulu u ćeliju C10"=B10*B10-11*B10+30".

8. Kopirajte formulu u ostatak reda koristeći povlačenje i ispuštanje. U intervalu C10:C18 dobija se niz rezultata izračunavanja funkcije F(x). Može se vidjeti da funkcija jednom mijenja predznak. Korijen jednadžbe nalazi se u intervalu.

9. Za izgradnju grafa zavisnosti F(x) koristite Insert - Diagram (tip "Spot", markeri su povezani glatkim krivinama).

Metoda bisekcije

Kao primjer, razmotrite jednačinu x 2 - 11x + 30 = 0. Interval pretraživanja, sa tačnošću ε=0,01. Hajde da to riješimo koristeći posebne mogućnosti Excel paketa.

1. Unesite u ćeliju B21 naslov "Način podjele segmenata na pola."

2. Unesite podatke zadatka u ćeliju A23, C23, E23.

3. U području B25:H25 nacrtajte naslov tabele (red B - lijeva ivica segmenta "a", red C - sredina segmenta "x", red D - desna ivica segmenta "b" ", red E - vrijednost funkcije na lijevoj ivici segmenta "F(a)", serija F - vrijednost funkcije u sredini segmenta "F(x)", serija G - proizvod "F(a) * F(x)", serija H - provjera postizanja tačnosti "ê F(x)ê<е».

4. Unesite početne vrijednosti krajeva segmenta: u ćeliju B26 "4.8", u ćeliju D26 "5.1".

5. Unesite formulu "=(B26+D26)/2" u ćeliju C26.

6. Unesite formulu u ćeliju E26"=B26*B26-11*B26+30".

7. Unesite formulu u ćeliju F26"=C26*C26-11*C26+30".

8. Unesite formulu "=E26*F26" u ćeliju G26.

9. Unesite u ćeliju H26 formulu "=IF(ABS(F26)<0.01; ² korijen² )".

1 0. Odaberite područje B21:H21 i povucite ga okomito dok se u redu H ne pojavi poruka “root” (ćelija H29, H30).

Metoda tangente (njutn)

1. U ćeliju J23 upisati naslov "Metoda tangente (njutn)".

2. Unesite tekst “e=” u ćeliju L23, a vrijednost tačnosti “0,00001” u ćeliju M23.

3. U području K25:N25 nacrtajte naslov tabele (red K - vrijednost argumenta "x", red L - vrijednost funkcije "F (x)", red M - izvod funkcije " F¢ (x)", serija N - provjera postizanja tačnosti "ê F(x)ê<е».

4. Unesite početnu vrijednost argumenta u ćeliju K26"-2".

5. Unesite formulu "=K26*K26*K26+2*K26*K26+3*K26+5" u ćeliju L26.

6. Unesite formulu "=3*K26*K26+4*K26+3" u ćeliju M26.

7. Unesite u ćeliju N26 formulu "=IF(ABS(L26)<$M$23;"корень")».

8. Unesite formulu u ćeliju K27"=K26-L26/M26".

9. Odaberite područje L27:N27 i povucite ga okomito dok se u redu N (ćelija N30) ne pojavi poruka “root”.

metoda akorda

Kao primjer, razmotrite jednačinu x 3 +2x 2 +3x+5= 0. Tačnost ε=0,01. Hajde da to riješimo koristeći posebne mogućnosti Excel paketa.

1. Unesite naslov “Metoda akorda” u ćeliju B32.

2. Unesite tekst "e=" u ćeliju C34, a vrijednost "0,00001" u ćeliju E34.

3. U području B36:D36 nacrtajte naslov tabele (red B - vrijednost argumenta "x", red C - vrijednost funkcije "F (x)", red D - provjera postizanja tačnosti "ê F(x)ê<е».

4. U ćelije B37 i B38 unesite početnu vrijednost argumenta"-2" i. "-jedan"

5. Unesite u ćeliju C37 formulu "=B37*B37*B37+2*B37*B37+3*B37+5".

6. Unesite formulu u ćeliju D37"=IF(ABS(B38-B37)<$D$34;"корень")».

7. Unesite formulu u ćeliju B39"=B38-C38*(B38-B37)/(C38-C37)".

8. Odaberite područje C39:D39 i povucite ga okomito dok se u redu D (ćelija D43) ne pojavi poruka “root”.

Jednostavna metoda iteracije

Kao primjer, razmotrite jednačinu x 2 - 11x + 30 = 0. Interval pretrage je , s preciznošću od e = 0,05.

1. Unesite u ćeliju K32 naslov "Metoda jednostavne iteracije"

2. Unesite tekst “e =” u ćeliju N34, a vrijednost tačnosti “0,05” u ćeliju O34.

3. Odaberite funkciju j (x) koja zadovoljava uvjet konvergencije. U našem slučaju, takva funkcija je funkcija S(x)=(x*x+30)/11.

4. U području K38:N38 nacrtajte zaglavlje tablice (red K - vrijednost argumenta "x", red L - vrijednost funkcije "F (x)", red M - vrijednost pomoćne funkcije " S (x)", red N - provjera postizanja tačnosti"ê F(x)ê<е».

5. U ćeliju K39 unesite početnu vrijednost argumenta "4.8".

6. Unesite formulu u ćeliju L39"=K39*K39-11*K39+30".

7. Unesite formulu "=(K39*K39+30)/11" u ćeliju M39.

8. Unesite u ćeliju N39 formulu "=IF(ABS(L39)<$O$34;"корень")».

9. Unesite formulu "=M39" u ćeliju K40.

1 0. Kopirajte ćelije L39:N39 u ćelije L40:N40.

jedanaest . Odaberite područje L40:N40 i povucite ga okomito dok se u redu N (ćelija N53) ne pojavi poruka “root”.

Sl.1 Rješavanje nelinearnih jednačina u Excelu