Pravilo kaže da ako funkcije f(x) i g(x) imaju sljedeći skup uslova:

onda postoji . Štaviše, teorema vrijedi i za druge baze (dokaz će biti dat za navedenu).

Priča

Metodu za otkrivanje ove vrste neizvjesnosti objavio je Lopital u svom radu "Analiza infinitezimalnih", objavljenom godine. U predgovoru ovom djelu Lopital ističe da je otkrića Leibniza i braće Bernoulli koristio bez ikakvog oklijevanja i da „nema ništa protiv da svoja autorska prava pokažu na šta god žele“. Johann Bernoulli je polagao pravo na cjelokupni L'Hospitalov rad, a posebno je, nakon L'Hospitalove smrti, objavio djelo pod izvanrednim naslovom "Poboljšanje moje metode objavljeno u Infinitezimalnoj analizi za određivanje vrijednosti razlomka, brojioca i nazivnika od kojih ponekad nestaju", .

Dokaz

Omjer infinitezimala

Dokažimo teoremu za slučaj kada su granice funkcija jednake nuli (tzv. nesigurnost oblika ).

Pošto gledamo funkcije f i g samo u desnom probušenom poluokrugu tačke a, možemo ih kontinuirano redefinirati u ovom trenutku: neka f(a) = g(a) = 0 . Uzmimo malo x iz polususedstva koje se razmatra i primeni Cauchyjevu teoremu na segment. Po ovoj teoremi dobijamo:

,

ali f(a) = g(a) = 0 , zbog toga .

src="/pictures/wiki/files/56/85e2b8bb13d6fb1ddcf88e22a4bb6ef2.png" border="0"> za krajnje ograničenje i src="/pictures/wiki/files/101/e8b2f2b8861947c8728d"3db2f2b8861947c8728d"3d"6d1428d"3d"d" ,

što je definicija granice omjera funkcija.

Omjer beskonačno veliki

Dokažimo teoremu za nesigurnosti oblika .

Neka je, za početak, granica omjera derivacija konačna i jednaka A. Zatim, dok se trudite x to a na desnoj strani, ova relacija se može napisati kao A+ α , gdje je α - (1). Napišimo ovaj uslov:

.

Hajde da popravimo t iz segmenta i primijeniti Cauchyjevu teoremu na sve x iz segmenta:

, što može dovesti do sledeća vrsta: .

Za x, dovoljno blizu a, izraz ima smisla; granica prvog faktora desne strane jednako jedan(jer f(t) i g(t) su konstante , i f(x) i g(x) teže beskonačnosti). Dakle, ovaj faktor je jednak 1 + β, gdje je β infinitezimalna funkcija kao x to a desno. Zapisujemo definiciju ove činjenice, koristeći istu vrijednost kao u definiciji za α :

.

Otkrili smo da se omjer funkcija može predstaviti u obliku (1 + β)( A+ α) , i . Za bilo koju datu, može se pronaći takav da je modul razlike između omjera funkcija i A bio manji, što znači da je granica omjera funkcija zaista jednaka A .

Ako je granica A je beskonačan (recimo da je jednako plus beskonačnost), onda

(x))(g"(x))>2M)" src="/pictures/wiki/files/101/e46c5113c49712376d1c357b5b202a65.png" border="0">.

U definiciji β uzet ćemo ; prvi faktor desne strane će biti veći od 1/2 kada x, dovoljno blizu a, a zatim src="/pictures/wiki/files/50/2f7ced4a9b4b06f7b9085e982250dbcf.png" border="0">.

Za druge osnove, dokazi su slični onima datim.

Primjeri

(Samo ako brojnik i nazivnik OBA teže ili 0 ; ili ; ili .)

Wikimedia Foundation. 2010 .

Pogledajte šta je "L'Hopital pravilo" u drugim rječnicima:

Istorijski netačan naziv za jedno od osnovnih pravila za otkrivanje neizvjesnosti. L. p. je pronašao I. Bernoulli i prijavio ga G. L'Hopitalu (Vidi L'Hopital), koji je ovo pravilo objavio 1696. Vidi Neodređeni izrazi... Velika sovjetska enciklopedija

Otkrivanje nesigurnosti oblika svođenjem granice omjera funkcija na granicu odnosa derivacija razmatranih funkcija. Dakle, za slučaj kada stvarne funkcije f i g su definisani u probušenoj desnoj okolini numeričke tačke ... ... Mathematical Encyclopedia

Bernoulli L'Hospitalovo pravilo je metoda za pronalaženje granica funkcija, otkrivajući nesigurnosti oblika u. Teorema koja opravdava metodu kaže da je pod određenim uslovima granica odnosa funkcija jednaka granici odnosa njihovih derivacija. ... ... Wikipedia.

U matematičkoj analizi, L'Hopitalovo pravilo je metoda za pronalaženje granica funkcija, otkrivajući nesigurnosti oblika 0/0 i. Teorema koja opravdava metodu kaže da je pod određenim uslovima granica omjera funkcija jednaka granici ... ... Wikipedia

U matematičkoj analizi, L'Hopitalovo pravilo je metoda za pronalaženje granica funkcija, otkrivajući nesigurnosti oblika 0/0 i. Teorema koja opravdava metodu kaže da je pod određenim uslovima granica omjera funkcija jednaka granici ... ... Wikipedia

Zavisnosti koordinata o vremenu pri kretanju materijalna tačka u avionu

Odredite brzinu modula (

A. Modul brzine materijalne tačke iz vremena se izražava formulom:

B. . Modul ubrzanja materijalne tačke od vremena izražava se formulom:

Ove jednadžbe opisuju kretanje materijalne tačke sa konstantnim ubrzanjem

Satelit se okreće oko Zemlje po kružnoj orbiti na visini

Satelit koji se kreće po kružnoj orbiti podložan je sili gravitacije

Ova formula se može pojednostaviti na sljedeći način. Na tjelesnoj težini

Na ovaj način, linijska brzina satelit je

i ugaonu brzinu

Obje lopte razmatrane u zadatku čine zatvoreni sistem iu slučaju elastični udar i zamah sistema i mehanička (kinetička) energija su očuvani. Zapišimo oba zakona održanja (uzimajući u obzir nepokretnost druge lopte prije udara):

Tako je upadnuta (prva) lopta usled udarca smanjila svoju brzinu sa 1,05 m/s na 0,45 m/s, iako je nastavila da se kreće u istom smeru, a prethodno nepokretna (druga) lopta je postigla brzinu jednaku do 1,5 m/s i sada se obje lopte kreću u istoj pravoj liniji iu istom smjeru.

Pošto se masa gasa u cilindru menja, početno i konačno stanje gasa u cilindru ne mogu se povezati ni Boyle-Mariotteovim ni Charlesovim zakonom.Ako se gas u cilindru menja izjednačavanjem, tada početno i konačno stanje gasa u cilindru ne može se povezati Boyle-Mariotteovim zakonom.Svako stanje napiše Mendeljejev-Klapejronovu jednačinu

Kako pronaći granicu funkcije bez korištenja lopitalnog pravila

Verzija sistema:
7.47 (16.04.2018)

Opće vijesti:
13.04.2018, 10:33

posljednje pitanje:
26.07.2018, 15:23

Zadnji odgovor:
27.07.2018, 13:48

SEKCIJA Matematika

Konsultacije i rješavanje problema iz algebre, geometrije, analize, diskretne matematike.

Najbolji stručnjaci u ovoj sekciji

Zdravo! Imam problema sa ovim pitanjem:

Pronađite granicu funkcije bez korištenja L'Hopitalovog pravila

lim (2x+3) [ ln (x+2) - ln x ] (ispod lim piše "x teži beskonačnosti")

Bilo je nekoliko primjera ograničenja u zadatku, ali ovaj je zbunio. Ne znam kako da to riješim. Možda nekako iskoristiti drugu divnu granicu, ali kako (samo ova misao pada na pamet)?

Dozvolite mi samo da pitam u istom pitanju da li se takva izjava problema događa (ako se dogodi, objavit ću je kasnije kao plaćeno pitanje): Primjenom Taylorove formule sa članom ostatka u Lagrangeovom obliku na funkciju, izračunajte vrijednost sa tačnošću od 0,001; a = 0,29.
Ovdje ne razumijem koja funkcija? Nije postavljen (?), zadatak zvuči tačno onako kako sam ga zapisao. Možda i sami možete preuzeti funkciju, ali koju?

Status: Konsultacije zatvorene

Zdravo Aleksandrkib!
To je 2. koju trebate koristiti! Za početak, pojednostavimo:
lim (2x+3) [ ln (x+2) - ln x ] = lim (2x+3) ln ((x+2)/x) = lim (2x+3) ln (1+2/x) = lim ln ((1+2/x)^(2x+3)) = lim ln ((1+2/x)^2x)+lim ln ((1+2/x)^3) [druga granica je nula, jer 2/x teži nuli i ln 1 = 0]
Napravimo promjenu y = x/2, tada je lim ln ((1+2/x)^2x) = 4 lim ln ((1+1/y)^y) = 4 * ln e =4. Odgovor: 4.

Mora postojati neka funkcija.

Pošaljite poruke
moderatori mogu
samo članovi portala.
PRIJAVITE SE NA PORTAL »
registracija "

L'Hopitalovo pravilo: teorija i primjeri rješenja

L'Hopitalovo pravilo i otkrivanje neizvjesnosti

Otkrivanje nesigurnosti oblika 0/0 ili ∞/∞ i nekih drugih nesigurnosti koje nastaju prilikom izračunavanja granice omjera dvije beskonačno male ili beskonačno velike funkcije uvelike je pojednostavljeno korištenjem L'Hopitalovog pravila (zapravo dva pravila i komentara na njih ).

esencija pravila L'Hospitala je da u slučaju kada izračunavanje granice omjera dvije beskonačno male ili beskonačno velike funkcije daje nesigurnosti oblika 0/0 ili ∞/∞, granica omjera dvije funkcije može se zamijeniti granicom od omjer njihovih derivata i time se može dobiti određeni rezultat.

Pređimo na formulaciju L'Hopitalovih pravila.

L'Hopitalovo pravilo za slučaj granice dvije beskonačno male vrijednosti. Ako funkcije f(x) i g(x a a, iu ovom naselju g‘(x a jednaki jedni drugima i jednaki nuli

(),

tada je granica odnosa ovih funkcija jednaka granici odnosa njihovih derivacija

().

L'Hôpitalovo pravilo za slučaj granice dvije beskonačno velike količine. Ako funkcije f(x) i g(x) su diferencijabilni u nekoj okolini tačke a, sa mogućim izuzetkom tačke a, iu ovom naselju g‘(x)≠0 i ako i ako granice ovih funkcija kao x teže vrijednosti funkcije u tački a jednaki jedno drugom i jednaki beskonačnosti

(),

Drugim riječima, za nesigurnosti oblika 0/0 ili ∞/∞, granica omjera dviju funkcija jednaka je granici omjera njihovih derivacija, ako ova druga postoji (konačna ili beskonačna).

Napomene.

1. L'Hopitalova pravila su također primjenjiva kada su funkcije f(x) i g(x) nisu definirani na x = a.

2. Ako se pri izračunavanju granice omjera derivacija funkcija f(x) i g(x) ponovo dolazimo do nesigurnosti oblika 0/0 ili ∞/∞, tada L'Hopitalova pravila treba primjenjivati ​​više puta (najmanje dva puta).

3. L'Hopitalova pravila su također primjenjiva kada argument funkcija (x) ne teži konačan broj a, i do beskonačnosti ( x → ∞).

Neizvjesnosti drugih tipova se također mogu svesti na nesigurnosti tipa 0/0 i ∞/∞.

Otkrivanje nesigurnosti tipa "nula podijeljena nulom" i "beskonačnost podijeljena beskonačnošću"

Primjer 1

x=2 dovodi do neodređenosti oblika 0/0. Dakle, derivacija svake funkcije i dobijamo

U brojiocu je izračunat izvod polinoma, a u nazivniku izvod kompleksa logaritamska funkcija. Prije posljednjeg znaka jednakosti izračunava se uobičajena granica, zamjenjujući dvojku umjesto x.

Primjer 2 Izračunajte granicu omjera dvije funkcije koristeći L'Hospitalovo pravilo:

Primjer 3 Izračunajte granicu omjera dvije funkcije koristeći L'Hospitalovo pravilo:

Rješenje. Zamjena u datu funkciju vrijednosti x=0 dovodi do neodređenosti oblika 0/0. Stoga izračunavamo izvode funkcija u brojniku i nazivniku i dobijamo:

Primjer 4 Izračunati

Rješenje. Zamjena vrijednosti x jednake plus beskonačnost u datu funkciju dovodi do neodređenosti oblika ∞/∞. Stoga primjenjujemo L'Hopitalovo pravilo:

Komentar. Prijeđimo na primjere u kojima se L'Hopitalovo pravilo mora primijeniti dva puta, odnosno doći do granice omjera drugih izvoda, jer je granica omjera prvih izvoda neizvjesnost oblika 0/0 ili ∞/∞.

Primjer 5 Izračunajte granicu omjera dvije funkcije koristeći L'Hospitalovo pravilo:

Ovdje se L'Hospitalovo pravilo primjenjuje dva puta, budući da i granica omjera funkcija i granica omjera derivacija daju nesigurnost oblika ∞/∞.

Primjer 6 Izračunati

Ovdje se L'Hospitalovo pravilo primjenjuje dva puta, budući da i granica omjera funkcija i granica omjera derivacija daju nesigurnost oblika 0/0.

Primjer 7 Izračunati

Ovdje se L'Hopitalovo pravilo primjenjuje dva puta, jer i granica omjera funkcija i granica omjera derivacija prvo daju nesigurnost oblika - ∞/∞, a zatim nesigurnost oblika 0/0.

Primjer 8 Izračunati

Ovdje se L'Hospitalovo pravilo primjenjuje dva puta, jer i granica omjera funkcija i granica omjera izvoda prvo daju nesigurnost oblika ∞/∞, a zatim nesigurnost oblika 0/0.

Primijenite L'Hopitalovo pravilo sami i tada vidite rješenje

Primjer 9 Izračunati

Clue. Ovdje morate malo više nego obično naduvati transformaciju izraza pod znakom granice.

Primjer 10 Izračunati

.

Clue. Ovdje će se L'Hopitalovo pravilo morati primijeniti tri puta.

Otkrivanje nesigurnosti oblika "nula pomnožena beskonačnošću"

Primjer 11. Izračunati

(ovdje smo transformirali nesigurnost oblika 0∙∞ u oblik ∞/∞, pošto

a zatim primijenio L'Hopitalova pravila).

Primjer 12. Izračunati

.

Ovaj primjer koristi trigonometrijski identitet.

Otkrivanje nesigurnosti tipa "nula na stepen nule", "beskonačnost na stepen nule" i "jedan na stepen beskonačnosti"

Nesigurnosti oblika ili se obično svode na oblik 0/0 ili ∞/∞ korištenjem logaritma funkcije oblika

Za izračunavanje granice izraza treba koristiti logaritamski identitet, čiji je poseban slučaj također svojstvo logaritma .

Koristeći logaritamski identitet i svojstvo kontinuiteta funkcije (da ide dalje od predznaka granice), granicu treba izračunati na sljedeći način:

Odvojeno, treba pronaći granicu izraza u eksponentu i izgraditi e do pronađenog stepena.

Primjer 13

.

.

Primjer 14 Izračunajte koristeći L'Hopitalovo pravilo

.

.

Primjer 15 Izračunajte koristeći L'Hopitalovo pravilo

Izračunajte granicu izraza u eksponentu

.

Otkrivanje nesigurnosti oblika "beskonačnost minus beskonačnost"

To su slučajevi u kojima izračunavanje granice razlike funkcija dovodi do nesigurnosti "beskonačnost minus beskonačnost": .

Izračun takve granice prema L'Hopitalovom pravilu u opšti pogled kao što slijedi:

Ove transformacije često rezultiraju složeni izrazi, stoga je preporučljivo koristiti takve transformacije razlike funkcija kao što je redukcija na zajednički imenilac, množenje i dijeljenje istim brojem, upotreba trigonometrijski identiteti itd.

Primjer 16 Izračunajte koristeći L'Hopitalovo pravilo

.

Primjer 17. Izračunajte koristeći L'Hopitalovo pravilo

.

Izračunajte granice koristeći lopitalno pravilo

Neizvjesnost također ne odoleva da se pretvori u ili:

Pravila L'Hospitala

Nastavljamo da razvijamo temu, koju nam je bacio član Pariške akademije nauka, markiz Guillaume Francois de Lopital. Članak dobiva naglašenu praktičnu boju i u prilično uobičajenom zadatku potrebno je:

Kako se ne bismo smanjili, posebno izračunavamo granicu indikatora:

Još jedan Papuanac također odustaje prije formule. U ovom slučaju:

L'Hopitalova pravila su veoma moćna metoda koja vam omogućava da brzo i efikasno eliminišete ove nesigurnosti, nije slučajno da se u zbirkama problema, u testovima, testovima često nalazi stabilan pečat: "izračunajte granicu, bez upotrebe L'Hopitalovog pravila". Posvećeno podebljano zahtjev je moguć sa čista savest dodijeliti i na bilo koju granicu lekcije Ograničenja. Primjeri rješenja, Izvanredne granice. Metode rješavanja ograničenja, Izvanredne ekvivalencije, gdje se javlja nesigurnost "nula do nule" ili "beskonačnost do beskonačnosti". Čak i ako je zadatak kratko formuliran - "izračunajte granice", onda se implicitno podrazumijeva da ćete koristiti sve što želite, ali ne i pravila L'Hospitala.

Metamorfoze se nastavljaju, sada je neizvjesnost “nula na nulu” izašla na vidjelo. U principu, možete se riješiti kosinusa tako što ćete naznačiti da teži jedinstvu. Ali mudra strategija je osigurati da niko ničemu ne dođe do dna. Stoga odmah primjenjujemo L'Hopitalovo pravilo, kako to zahtijeva uvjet problema:

Sličan zadatak za samostalno rješenje:

Kao što vidite, diferencijacija brojnika i nazivnika dovela nas je do odgovora sa pola okreta: pronašli smo dva jednostavna izvoda, u njih zamenili „dvojku“ i ispostavilo se da je neizvesnost netragom nestala!

Izračunajte granicu funkcije koristeći L'Hopitalovo pravilo

Zauzvrat, drugovi koji piju i egzotičniji drugovi izvučeni su na svjetlo. Metoda transformacije je jednostavna i standardna:

Razmatrani primjer je uništen i skroz divne granice , sličan slučaj je razmatran na kraju članka Kompleksne granice.

Odmah ću rezervirati da će pravila biti data u sažetom „praktičnom“ obliku, a ako morate položiti teoriju, preporučujem da se obratite udžbeniku za rigoroznije proračune.

6) Primjenjivo poslednje pravilo informacije do druge divne granice

Objavljivanje neizvjesnosti svodi se na prethodno razmatrane nesigurnosti. Ako i na, onda primijeniti transformaciju

beskonačnost ili nula po nula je primjena L'Hopitalovog pravila: granica omjera dva

U slučaju posljednje tri neizvjesnosti, transformacije se moraju primijeniti

5) Postoji neodređenost oblika od beskonačnosti do beskonačnosti.

beskonačno mala ili dvije beskonačno velike funkcije jednaka je granici omjera njihovih derivacija,

3) S obzirom na neizvjesnost, primijeniti prethodno pravilo

Izračunavanje granica prema L'Hopitalovom pravilu

Efikasan način za izračunavanje granica funkcija koje imaju singularnosti tipa beskonačnost

Rješenje. 1) Zamjenom utvrđujemo da imamo nesigurnost oblika nula po nula. Riješiti se

Opet smo dobili nesigurnost forme i ponovo primijenili L'Hospitalovo pravilo

2) Kao iu prethodnom primjeru, imamo neizvjesnost. Prema L'Hopitalovom pravilu, nalazimo

Primjena L'Hopitalovog pravila pokazala je sve mogućnosti u otkrivanju neizvjesnosti.

Broj se bira na način da je zadovoljena jednakost (1) i, prema tome, . Dakle, za funkciju na intervalu

U blizini tačke x 0 , tj. na (x 0 ,x), uslovi Cauchy teoreme su zadovoljeni za funkcije f(x) i g(x). Dakle, postoji tačka sO(x 0 , x) takva da je

L'Hopitalovo pravilo

Međutim, moguća je situacija kada će funkcija imati ekstrem u tački x 0 u slučaju kada izvod ne postoji.

Neka je funkcija n puta diferencibilna u susjedstvu tačke x 0. Nađimo polinom stepena koji nije veći od n-1, tako da

Neka su funkcije f(x) i g(x) neprekidne i diferencibilne u nekoj okolini tačke x0, osim za samu tačku x0. Neka, . Tada ako postoji granica omjera derivacija funkcija, onda postoji granica omjera samih funkcija, a one su jedna drugoj jednake, tj. .

zaključak: eksponencijalna funkcija(y=a n) uvijek raste brže od zakona stepena (y=x n).

Kao primjer primjene Maclaurin formule, određujemo broj članova u proširenju funkcije u terminima formula izračunati njegovu vrijednost sa tačnošću od 0,001 za bilo koji x iz intervala [-1,1].

definicija: Funkcija se poziva neopadajući (ne rastući) do (a;b) ako za bilo koji x 1 Objavljeno u Korisni članci

Pronalaženje granice funkcije u tački prema L'Hopitalovom pravilu

Pronalaženje granice funkcije, prema L'Hopitalovom pravilu, otkriva nesigurnosti oblika 0/0 i ∞/∞.

Kalkulator ispod pronalazi granicu funkcije prema L'Hospitalovom pravilu (preko izvoda brojnika i nazivnika). Pogledajte opis pravila u nastavku.

Granica funkcije u tački - L'Hopitalovo pravilo

Važeće operacije: + - / * ^ Konstante: pi Funkcije: sin cosec cos tg ctg sech sec arcsin arccosec arccos arctg arcctg arcsec exp lb lg ln versin vercos hasrsin exsec excsc sqrt sh ch th cth csch

L'Hopitalovo pravilo

Ako su ispunjeni sljedeći uslovi:

• granice funkcija f(x) i g(x) jednake su jedna drugoj i jednake nuli ili beskonačnosti:
  ili;
• funkcije g(x) i f(x) su diferencibilne u probijenoj okolini a;
• derivacija funkcije g(x) nije jednaka nuli u probijenoj okolini a
• i postoji ograničenje omjera derivacije f(x) i izvoda g(x):

Tada postoji granica omjera funkcija f(x) i g(x):
,

I jednaka je granici omjera derivacije funkcije f(x) i derivacije funkcije g(x):

Formula dozvoljava upotrebu broja pi (pi), eksponenta (e), sljedećih matematičkih operatora:

+ - dodatak
— - oduzimanje
* - množenje
/ - divizija
^ - eksponencijaliranje

i sljedeće karakteristike:

sqrt - kvadratni korijen

root str- korijen stepena str, na primjer root3(x) je kubni korijen

exp - e na specificiranu snagu

lb - logaritam osnove 2

lg - logaritam sa bazom 10

u- prirodni logaritam(na osnovu e)

log str- osnovni logaritam str, na primjer log7(x) - logaritam sa bazom 7

grijeh - sinus

cos - kosinus

tg - tangenta

ctg - kotangens

sec - secant

cosec - kosekans

arcsin - arcsin

arccos - arc kosinus

arctg - arc tangenta

arcctg - arc tangenta

arcsec - arcsecant

arccosec - arccosecant

versin - versinus

vercos - coversine

hasrsin - hasrsinus

exsec - exsecant

excsc - ekskosekant

sh - hiperbolički sinus

ch - hiperbolički kosinus

th - hiperbolički tangent

cth - hiperbolički kotangens

sech - hiperbolički sekans

csch - hiperbolički kosekans

trbušnjaci- apsolutna vrijednost(modul)

sgn - signum (znak)

• Iznajmite kombi Gazela ili Sable bez vozača Gazela-Business, 1 vozač + 2 putnika. Tijelo: 3 m dužina, 2 m visina, butka. Zapremina kocke 10.5. Motor: UMZ-4216 (benzin), euro-4, 106,8 […]
• Podaci za plaćanje poreza i doprinosa u 2017-2018 Podaci za plaćanje poreza u 2017-2018 su sastavni dio svake uplate. Ispravno popunite nalog za plaćanje […]
• Usvojen je postupak za razmatranje od strane Vijeća Federacije Državna Duma savezni zakon(Članovi 103–110) Član 103. Donošenje saveznog zakona na razmatranje […]
• Kriminalno pravo. Opšti dio Krivičnopravno pravilo Krivičnopravno pravilo je pravilo ponašanja koje utvrđuje država koja obezbjeđuje učesnike javni odnosi […]
• Visina kazne za kašnjenje hipoteke je ograničena. 24. jula stupa na snagu zakon koji ograničava visinu kazne za neispunjenje ili neuredno ispunjenje […]
• Kazna za ubistvo uz otežane okolnosti U skladu sa važećim krivičnim zakonom, jednostavno ubistvo (član 1. člana 105. Krivičnog zakona Ruske Federacije) „kažnjivo je kaznom zatvora za […]

Objavljivanje nesigurnosti oblika 0/0 ili ∞/∞ i nekih drugih neizvjesnosti koje nastaju u proračunu limit odnos dviju infinitezimalnih ili beskonačno velikih funkcija uvelike je pojednostavljen uz pomoć L'Hospitalovog pravila (zapravo dva pravila i primjedbe na njih).

esencija pravila L'Hospitala je da u slučaju kada izračunavanje granice omjera dvije beskonačno male ili beskonačno velike funkcije daje nesigurnosti oblika 0/0 ili ∞/∞, granica omjera dvije funkcije može se zamijeniti granicom od odnos njihovih derivati i na taj način dobiti određeni rezultat.

Pređimo na formulaciju L'Hopitalovih pravila.

L'Hopitalovo pravilo za slučaj granice dvije beskonačno male vrijednosti. Ako funkcije f(x) i g(x aa, iu ovom naselju g"(x a jednaki jedni drugima i jednaki nuli

().

L'Hôpitalovo pravilo za slučaj granice dvije beskonačno velike količine. Ako funkcije f(x) i g(x) su diferencijabilni u nekoj okolini tačke a, sa mogućim izuzetkom tačke a, iu ovom naselju g"(x)≠0 i ako i ako granice ovih funkcija kao x teže vrijednosti funkcije u tački a jednaki jedno drugom i jednaki beskonačnosti

(),

tada je granica odnosa ovih funkcija jednaka granici odnosa njihovih derivacija

().

Drugim riječima, za nesigurnosti oblika 0/0 ili ∞/∞, granica omjera dviju funkcija jednaka je granici omjera njihovih derivacija, ako ova druga postoji (konačna ili beskonačna).

Napomene.

1. L'Hopitalova pravila su također primjenjiva kada su funkcije f(x) i g(x) nisu definirani na x = a.

2. Ako se pri izračunavanju granice omjera derivacija funkcija f(x) i g(x) ponovo dolazimo do nesigurnosti oblika 0/0 ili ∞/∞, tada L'Hopitalova pravila treba primjenjivati ​​više puta (najmanje dva puta).

3. L'Hopitalova pravila su također primjenjiva kada argument funkcije (x) teži nekonačnom broju a, i do beskonačnosti ( x → ∞).

Neizvjesnosti drugih tipova se također mogu svesti na nesigurnosti tipa 0/0 i ∞/∞.

Otkrivanje nesigurnosti tipa "nula podijeljena nulom" i "beskonačnost podijeljena beskonačnošću"

Primjer 1

x=2 dovodi do neodređenosti oblika 0/0. Dakle, derivacija svake funkcije i dobijamo

U brojiocu je izračunat izvod polinoma, a u nazivniku - izvod kompleksne logaritamske funkcije. Prije posljednjeg znaka jednakosti, uobičajeno limit, zamjenjujući dvojku umjesto x.

Primjer 2 Izračunajte granicu omjera dvije funkcije koristeći L'Hospitalovo pravilo:

Rješenje. Zamjena u datu funkciju vrijednosti x

Primjer 3 Izračunajte granicu omjera dvije funkcije koristeći L'Hospitalovo pravilo:

Rješenje. Zamjena u datu funkciju vrijednosti x=0 dovodi do neodređenosti oblika 0/0. Stoga izračunavamo izvode funkcija u brojniku i nazivniku i dobijamo:

Primjer 4 Izračunati

Rješenje. Zamjena vrijednosti x jednake plus beskonačnost u datu funkciju dovodi do neodređenosti oblika ∞/∞. Stoga primjenjujemo L'Hopitalovo pravilo:

Komentar. Prijeđimo na primjere u kojima se L'Hopitalovo pravilo mora primijeniti dva puta, odnosno doći do granice omjera drugih izvoda, jer je granica omjera prvih izvoda neizvjesnost oblika 0/0 ili ∞/∞.

Primijenite L'Hopitalovo pravilo sami i tada vidite rješenje

Otkrivanje nesigurnosti oblika "nula pomnožena beskonačnošću"

Primjer 12. Izračunati

.

Rješenje. Dobijamo

Ovaj primjer koristi trigonometrijski identitet.

Otkrivanje nesigurnosti tipa "nula na stepen nule", "beskonačnost na stepen nule" i "jedan na stepen beskonačnosti"

Nesigurnosti oblika ili se obično svode na oblik 0/0 ili ∞/∞ korištenjem logaritma funkcije oblika

Za izračunavanje granice izraza treba koristiti logaritamski identitet, čiji je poseban slučaj svojstvo logaritma .

Koristeći logaritamski identitet i svojstvo kontinuiteta funkcije (da ide dalje od predznaka granice), granicu treba izračunati na sljedeći način:

Odvojeno, treba pronaći granicu izraza u eksponentu i izgraditi e do pronađenog stepena.

Primjer 13

Rješenje. Dobijamo

.

.

Primjer 14 Izračunajte koristeći L'Hopitalovo pravilo

Rješenje. Dobijamo

Izračunajte granicu izraza u eksponentu

.

.

Primjer 15 Izračunajte koristeći L'Hopitalovo pravilo

Ovo matematički kalkulator online će vam pomoći ako je potrebno izračunaj ograničenje funkcije. Program granična rješenja ne samo da daje odgovor na problem, već i vodi detaljno rješenje sa objašnjenjima, tj. prikazuje napredak izračunavanja ograničenja.

Ovaj program može biti koristan za srednjoškolce opšteobrazovne škole u pripremi za kontrolni rad i ispite, prilikom provjere znanja prije ispita, roditelji kontroliraju rješavanje mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da to završite što je prije moguće? zadaća matematika ili algebra? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjem.

Dakle, možete izvršiti svoje vlastitu obuku i/ili obučavanje njihovih mlađa braća ili sestre, dok se nivo obrazovanja iz oblasti zadataka koji se rješavaju povećava.

Unesite izraz funkcije

Calculate Limit

Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog zadatka nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

U vašem pretraživaču je onemogućen JavaScript.
JavaScript mora biti omogućen da bi se rješenje pojavilo.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.

Jer Ima puno ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Sačekaj molim te sec...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Granica funkcije na x-> x 0

Neka funkcija f(x) bude definirana na nekom skupu X i neka tačka \(x_0 \u X \) ili \(x_0 \bez X \)

Uzmite od X niz tačaka različitih od x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
konvergirajući na x*. Vrijednosti funkcije u tačkama ovog niza također formiraju numerički niz
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
i može se postaviti pitanje postojanja njegove granice.

Definicija. Broj A naziva se granica funkcije f (x) u tački x = x 0 (ili u x -> x 0), ako je za bilo koji niz (1) vrijednosti argumenta x koji konvergira na x 0, različit od x 0, odgovarajući niz (2) funkcije vrijednosti konvergira na broj A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Funkcija f(x) može imati samo jednu granicu u tački x 0. Ovo proizilazi iz činjenice da je sekvenca
(f(x n)) ima samo jedno ograničenje.

Postoji još jedna definicija granice funkcije.

Definicija Broj A naziva se granica funkcije f(x) u tački x = x 0 ako za bilo koji broj \(\varepsilon > 0 \) postoji broj \(\delta > 0 \) takav da za sve \ (x \in X, \; x \neq x_0 \) koji zadovoljava nejednakost \(|x-x_0| Koristeći logičke simbole, ova definicija se može napisati kao
\((\forall \varepsilon > 0) (\postoji \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Imajte na umu da su nejednakosti \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Prva definicija je zasnovana na pojmu granice numerički niz, zbog čega se često naziva definicijom "jezika sekvenci". Druga definicija se zove definicija "jezika \(\varepsilon - \delta \)".
Ove dvije definicije granice funkcije su ekvivalentne i možete koristiti bilo koju od njih, koja god je pogodnija za rješavanje određenog problema.

Imajte na umu da se definicija granice funkcije "na jeziku nizova" naziva i definicija granice funkcije prema Heineu, a definicija granice funkcije "na jeziku \(\varepsilon - \delta \)" se također naziva definicijom granice funkcije prema Cauchyju.

Granica funkcije na x->x 0 - i na x->x 0 +

U nastavku ćemo koristiti koncepte jednostranih granica funkcije, koji su definirani na sljedeći način.

Definicija Broj A naziva se desna (lijeva) granica funkcije f (x) u tački x 0 ako za bilo koji niz (1) koji konvergira na x 0, čiji su elementi x n veći (manji) od x 0 , odgovarajući niz (2) konvergira sa A.

Simbolično je napisano ovako:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \levo(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \desno) $$

Može se dati ekvivalentna definicija jednostranih granica funkcije "na jeziku \(\varepsilon - \delta \)":

Definicija broj A naziva se desna (lijeva) granica funkcije f(x) u točki x 0 ako za bilo koji \(\varepsilon > 0 \) postoji \(\delta > 0 \) takav da za sve x zadovoljava nejednakosti \(x_0 Simbolički unosi:

\((\forall \varepsilon > 0) (\postoji \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Već smo počeli da se bavimo granicama i njihovim rešenjem. Nastavimo u vrućoj potjeri i bavimo se rješavanjem granica prema L'Hopitalovom pravilu. Ovo jednostavno pravilo može vam pomoći da izađete iz podmuklih i teških zamki koje nastavnici tako vole koristiti u primjerima na kontrolnom softveru višu matematiku i matematičke analize. Rješenje prema L'Hopitalovom pravilu je jednostavno i brzo. Glavna stvar je biti u stanju razlikovati.

L'Hopitalovo pravilo: istorija i definicija

Zapravo, ovo nije baš L'Hopitalovo pravilo, već pravilo L'Hospital-Bernoulli. Formulisao švajcarski matematičar Johann Bernoulli i Francuzi Guillaume Lopital prvi put objavio u svom udžbeniku beskonačno male u slavnom 1696 godine. Možete li zamisliti kako su ljudi morali riješiti granice otkrivanjem neizvjesnosti prije nego što se to dogodilo? Mi nismo.

Prije nego što nastavite s analizom L'Hopitalovog pravila, preporučujemo da pročitate uvodni članak o i metodama za njihovo rješavanje. Često u zadacima postoji formulacija: pronađite granicu bez korištenja L'Hopitalovog pravila. Također možete pročitati o tehnikama koje će vam pomoći u tome u našem članku.

Ako imate posla s granicama djelića dvije funkcije, budite spremni: uskoro ćete se susresti s neizvjesnošću oblika 0/0 ili beskonačnost/beskonačnost. Šta to znači? U brojniku i nazivniku, izrazi teže nuli ili beskonačnosti. Šta učiniti s takvim ograničenjem, na prvi pogled, potpuno je neshvatljivo. Međutim, ako primijenite L'Hopitalovo pravilo i malo razmislite, sve dolazi na svoje mjesto.

Ali hajde da formulišemo L'Hospital-Bernoullijevo pravilo. Da budemo savršeno precizni, to je izraženo teoremom. L'Hopitalovo pravilo, definicija:

Ako su dvije funkcije diferencibilne u susjedstvu točke x=a nestaju u ovoj tački, a postoji granica za omjer derivacija ovih funkcija, tada za X aspiring to a postoji ograničenje omjera samih funkcija, koje je jednako granici omjera derivacija.

Zapišimo formulu i sve će odmah postati lakše. L'Hopitalovo pravilo, formula:

Pošto nas zanima praktična strana pitanja, nećemo ovdje iznositi dokaz ove teoreme. Morat ćete nam ili vjerovati na riječ, ili ga pronaći u bilo kojem udžbeniku matematike i uvjeriti se da je teorema tačna.

Između ostalog! Za naše čitaoce sada postoji popust od 10%.

Otkrivanje neizvjesnosti prema L'Hopitalovom pravilu

Koje nesigurnosti L'Hospitalovo pravilo može pomoći u otkrivanju? Ranije smo uglavnom govorili o neizvjesnosti 0/0 . Međutim, ovo je daleko od jedine neizvjesnosti na koju se može susresti. Evo drugih vrsta neizvjesnosti:

Razmotrimo transformacije koje se mogu koristiti da se ove nesigurnosti dovedu u oblik 0/0 ili beskonačnost/beskonačnost. Nakon transformacije, bit će moguće primijeniti L'Hospital-Bernoullijevo pravilo i kliknuti primjere poput oraha.

Species Uncertainty beskonačnost/beskonačnost svodi na neodređenost forme 0/0 jednostavna transformacija:

Neka postoji proizvod dvije funkcije, od kojih jedna teži nuli, a druga - beskonačnosti. Primjenjujemo transformaciju, a proizvod nule i beskonačnosti pretvara se u neodređenost 0/0 :

Za pronalaženje granica sa nesigurnostima tipa beskonačnost minus beskonačnost koristimo sljedeću transformaciju koja vodi do neizvjesnosti 0/0 :

Da biste koristili L'Hopitalovo pravilo, morate biti u stanju uzeti derivate. Ispod je tabela derivata elementarne funkcije, koje možete koristiti prilikom rješavanja primjera, kao i pravila za izračunavanje izvoda složenih funkcija:

Pređimo sada na primjere.

Primjer 1

Pronađite granicu prema L'Hospitalovom pravilu:

Primjer 2

Izračunajte koristeći L'Hopitalovo pravilo:

Važna tačka! Ako granica drugog i sljedećih izvoda funkcija postoji za X aspiring to a , onda se L'Hopitalovo pravilo može primijeniti nekoliko puta.

Hajde da pronađemo granicu ( n – prirodni broj). Da biste to učinili, primijenite L'Hospitalovo pravilo n jednom:

Želimo vam puno sreće u učenju matematička analiza. A ako trebate pronaći granicu koristeći L'Hopitalovo pravilo, napišite sažetak prema L'Hopitalovom pravilu, izračunajte korijene diferencijalna jednadžba ili čak izračunajte tenzor inercije tijela, obratite se našim autorima. Oni će vam rado pomoći da shvatite zamršenost rješenja.