Svojstvene vrijednosti i vlastite funkcije projekcije ugaonog momenta.

Neka masa tijela m za neki mali vremenski interval Δ t sila koja je delovala Pod uticajem ove sile brzina tela se menja za Dakle, tokom vremena Δ t tijelo se kreće ubrzano

Iz osnovnog zakona dinamike ( Njutnov drugi zakon) slijedi:

fizička količina, jednak proizvodu masa tijela na njegovu brzinu naziva se zamah tijela(ili količina kretanja). Zamah tijela je vektorska veličina. SI jedinica za impuls je kilogram-metar u sekundi (kg m/s).

Fizička veličina jednaka proizvodu sile i vremena njenog djelovanja naziva se zamah sile . Moment sile je takođe vektorska veličina.

U novim terminima Njutnov drugi zakon može se formulisati na sljedeći način:

Ipromjena količine gibanja tijela (momenta) jednaka je impulsu sile.

Označavanje količine kretanja tijela slovom Njutnov drugi zakon može se napisati kao

U takvim je opšti pogled Njutn je sam formulisao drugi zakon. Sila u ovom izrazu je rezultanta svih sila primijenjenih na tijelo. Ova vektorska jednakost se može napisati u projekcijama na koordinatne ose:

Dakle, promjena projekcije količine gibanja tijela na bilo koju od tri međusobno okomite ose jednaka je projekciji količine gibanja sile na istu osu. Razmotrite kao primjer jednodimenzionalni kretanje, tj. kretanje tijela duž jedne od koordinatne ose(npr. sjekire OY). Pustite da tijelo slobodno pada početna brzinaυ 0 pod dejstvom gravitacije; vrijeme jeseni je t. Usmjerimo osu OY vertikalno dole. Zamah gravitacije F t = mg tokom t jednaki mgt. Ovaj impuls jednak je promjeni impulsa tijela

Ovaj jednostavan rezultat poklapa se s kinematikomformulaza brzinu ravnomerno ubrzano kretanje . U ovom primjeru sila je ostala nepromijenjena u apsolutnoj vrijednosti tokom cijelog vremenskog intervala t. Ako se veličina sile promijeni, tada se prosječna vrijednost sile mora zamijeniti izrazom za impuls sile F cf o vremenskom intervalu njegovog djelovanja. Rice. 1.16.1 ilustruje metodu za određivanje impulsa vremenski zavisne sile.

Odaberimo mali interval Δ na vremenskoj osi t, tokom kojeg sila F (t) ostaje praktično nepromijenjen. Impuls sile F (t) Δ t u vremenu Δ tće jednaka površini osenčenu kolonu. Ako je cijela vremenska os na intervalu od 0 do t podijeliti na male intervale Δ ti, a zatim zbrojimo impulse sile na svim intervalima Δ ti, tada će ukupni impuls sile biti jednak površini koju formira krivulja koraka sa vremenskom osom. U granici (Δ ti→ 0) ova površina je jednaka površini ograničenoj grafom F (t) i osi t. Ova metoda za određivanje momenta sile iz grafa F (t) je opšte i primjenjivo na sve zakone sile koji se mijenjaju s vremenom. Matematički, problem se svodi na integracija funkcije F (t) na intervalu .

Impuls sile, čiji je graf prikazan na sl. 1.16.1, na intervalu od t 1 = 0 s do t 2 = 10 s je jednako:

U ovom jednostavnom primjeru

U nekim slučajevima, prosječna sila F cp se može odrediti ako su poznati vrijeme njegovog djelovanja i impuls koji se daje tijelu. Na primjer, jak udar fudbalera na loptu tešku 0,415 kg može mu dati brzinu υ = 30 m/s. Vrijeme udara je približno jednako 8·10 -3 s.

Puls str koju je lopta stekla kao rezultat udarca je:

shodno tome, prosječne snage F cf, kojim je noga fudbalera delovala na loptu tokom udarca je:

Ovo je veoma velika moć. Približno je jednaka težini tijela teškog 160 kg.

Ako je po nekima došlo do kretanja tijela za vrijeme djelovanja sile krivolinijska putanja, tada se početni i konačni impulsi tijela mogu razlikovati ne samo po apsolutnoj vrijednosti, već i po smjeru. U ovom slučaju, za određivanje promjene momenta, zgodno je koristiti pulsni dijagram , koji prikazuje vektore i , kao i vektor konstruisan po pravilu paralelograma. Kao primjer, na sl. 1.16.2 prikazuje impulsni dijagram za loptu koja se odbija od grubog zida. loptasta masa m udari u zid brzinom pod uglom α u odnosu na normalu (os OX) i odbio se od njega brzinom pod uglom β. Prilikom kontakta sa zidom na loptu je djelovala određena sila čiji se smjer poklapa sa smjerom vektora

Sa normalnim padom lopte sa masom m na elasticnom zidu sa brzinom , nakon odskoka lopta ce imati brzinu . Dakle, promjena momenta loptice za vrijeme odbijanja je

U projekcijama na osi OX ovaj rezultat se može zapisati u skalarnom obliku Δ strx = -2mυ x. Osa OX usmjereno od zida (kao na slici 1.16.2), pa υ x < 0 и Δstrx> 0. Dakle, modul Δ str promjena momenta je povezana sa modulom υ brzine lopte relacijom Δ str = 2mυ.

Moment čestice L u odnosu na porijeklo O u klasičnoj mehanici određen je vektorskim proizvodom [g,p, one.

Takva definicija u kvantna mehanika nema smisla, jer ne postoji stanje u kojem oba vektora G i R imao određena značenja.

Razmotrimo ugaoni moment kvantne čestice. U kvantnoj mehanici, vektorski proizvod [r,r] operator podudaranja [g, str]. Proširujući ovaj vektorski proizvod, nalaze se operatori projekcija ugaonog momenta na koordinatne ose X, Y, Z, na primjer na Z osi:

Kroz ove projekcije, operator vektora ugaonog momenta se izražava kao

U budućnosti ćemo koristiti operator projekcije ugaonog momenta na Z osi, ali ne u Dekartovom, već u sfernom koordinatnom sistemu (G, 0, sr):

Operator ugaonog momenta ovisi samo o smjeru koordinatnih osa. Stoga se i zove operater ugaoni moment. Svojstvene vrijednosti Operatori projekcije ugaonog momenta takođe ne zavise od izbora ishodišta.

Može se provjeriti i potvrditi da su operatori projekcije ugaonog momenta L x , L y i Lz nemojte putovati jedno s drugim. L x L y y>^ L y L x y). Dakle, ne postoji stanje u kojem su sve tri, pa čak i bilo koje dvije od tri projekcije L x , L v , L, imaju određene vrijednosti osim nule. Imajte na umu da, za razliku od ugaonog momenta, impuls ima tri komponente koje su istovremeno mjerljive: p x, p y, p,.

Dakle, ne postoji takvo stanje kvantne čestice u kojem bi vektor ugaonog momenta imao određenu vrijednost, tj. bio bi potpuno definisan i po veličini i po pravcu. Jedini izuzetak je kada L- 0 i sve tri projekcije su jednake nuli u isto vrijeme: L x = L v = L, = 0.

Modul ugaonog momenta. Da bi se odredio kvadrat ugaonog momenta čestice u stanju φ, potrebno je riješiti jednačinu oblika (27.5):

gdje je kvadratni operator ugaonog momenta L = L x + L y + L z . Može za sada-

navesti da za svojstvene vrijednosti operatora L fer

gdje / - orbitalni (azimut) kvantni broj. Dakle, modul ugaonog momenta pokretne mikročestice

Može se vidjeti da je ova veličina diskretna (kvantizirana).

Operateri L x , L y i Lz(27.10) putuju na posao sa L. shodno tome,

možete istovremeno odrediti veličinu ugaonog momenta L(ili njegov kvadrat L 2) i jedna od njegovih projekcija ( L x , L y ili L,). Obično se razmatra projekcija na Z-osu, budući da je u ovom slučaju operator Lz je data jednostavnijom formulom (27.10).

Projekcija ugaonog momenta L z . Za definiranje vlastitih vrijednosti i vlastite funkcije operator ugaonog momenta čestice, potrebno je prema izrazu (27.5) riješiti L-ph jednadžba= 1.f, tj.

gdje valna funkcija je funkcija sfernih koordinata: φ = φ(/*, 0, φ). Zamjena φ \u003d Ce af (C \u003d C (/% 0)) vodi nakon smanjenja za zajednički faktor More f na jednačine

Dakle, rješenje jednačine (27.12) je:

Zbog tražene jedinstvenosti φ, pri rotaciji oko Z ose za azimutalni ugao cp jednak 2n, valna funkcija se ne bi trebala mijenjati: φ(φ + 2π) = φ(φ). Od funkcije u je periodična sa periodom od 2n, onda prema (27.13) ova jednakost može biti zadovoljena samo pod uslovom

gdje broj t pozvao magnetni kvantni broj. Dakle, Plankova konstanta Pi može se smatrati prirodnom jedinicom za ugaoni moment. Imajte na umu da jednačina (27.13) definira spektar dozvoljenih vrijednosti projekcije ugaonog momenta na odabrani ocbZ

Rice. 27.1. Moguća orijentacija vektor ugaonog momenta, kao što je elektron, u stanju sa kvantnim brojem 1 = 2

Jednakost (27.13) znači da se, budući da je pravac Z ose bira proizvoljno, projekcija ugaonog momenta na bilo koji pravac kvantizira (Slika 27.1). Naravno, shematski prikaz ne treba shvatiti doslovno, budući da je "vektor" L u osnovi nema određene smjerove u prostoru. Pri određenoj vrijednosti modula ugaonog momenta i određenoj vrijednosti projekcije L projekcije L x i L y Dont Have određene vrijednosti(osim u slučaju kada su sve tri komponente ugaonog momenta istovremeno jednake nuli). Vrijednosti L i L v različito od (27.11a) i (27.13) ne može se posmatrati ni pod kojim uslovima.

Projekcija bilo kojeg vektora ne može biti veća od modula ovog vektora, tj. | L z Dakle, u skladu sa formulama (27.11a) i (27.13), uslov

shodno tome, maksimalna vrijednost t jednako / i to možemo napisati

Dato / broj t prihvata (21 + 1) vrijednosti:

formiranje projekcijskog spektra Lz = mb na bilo koju namjensku Z-osu (slika 27.1).

Dakle, kvantni broj / postavlja i modul ugaonog momenta i sve moguće vrijednosti njegove projekcije na osu Z. Tako, na primjer, ako je orbitalni kvantni broj / \u003d 2 (slika 27.1), onda

Dobijeni rezultati koji definišu moguće vrijednosti L i L v zove se prostorna kvantizacija. Radi jasnoće, prostorna kvantizacija se obično prikazuje grafički (slika 27.1): duž ose Z moguće odlaganje vrijednosti mb, smatrajući ih projekcijama na Z-os vektora L dužina d L //(/ + 1).

Zadatak 1

Telo mase se kreće duž x-osem=1 kg sa brzinomV 0 \u003d 2 m / s. Radi duž smjera vožnjesilaF = 4 N neko vrijemet = 2 s. Odredite brzinu tijela nakon završetka ove sile.

Da biste riješili ovaj problem, prije svega je važno zapamtiti šta je impuls tijela.

Rice. 1. Izbor referentnog sistema

Sećam se toga zamah sile je promjena u impulsu tijela, pišemo sledeći izraz: .

Sada ćemo usaglasiti jednačinu sa odabranim referentnim sistemom. Sila F kada se projektuje na osu X bit će s pozitivnim predznakom, što znači: .

Zatim, transformirajući ovu jednačinu, izdvajajući iz nje brzinu koju treba odrediti, pišemo sljedeći izraz: .

Odgovor: 10 m/s.

Zadatak 2

Kolica sa osobom kreću se po pravoj liniji brzinom od 2 m/s. Osoba skače s kolica u horizontalnom smjeru suprotnom smjeru kolica brzinom od 1 m/s. Odredite brzinu kolica nakon što je čovjek skočio s njih. Masa osobe je 1,5 puta veća od mase kolica.

Rice. 2. Projekcije količine gibanja tijela na osu X

U prvom slučaju obratite pažnju, i kolica i osoba putuju zajedno, što znači da imaju istu brzinu, možemo napisati sljedeći izraz za dati referentni sistem povezan sa osom Ox: .

Zatim, kada osoba skoči sa kolica, ova dva tijela se mogu napisati na sljedeći način: .

Znak minus označava da je brzina osobe usmjerena prema Suprotna strana, a brzina kolica sa znakom plus će biti usmjerena u istom smjeru kao i početna brzina, tj. duž x-ose.

Pisanjem ovih izraza za početno stanje i stanja nakon interakcije, koristimo zakon održanja impulsa.

By zakon održanja impulsa impuls u prvom slučaju će biti jednak impulsu u drugom slučaju: P 0x = P x. .

Nakon što smo napisali ovaj omjer, prepisujemo, otvaramo zagrade izraza: (m1+m2) .V 1 =-m2.V2+m1.V¢1.

Brzina V¢ 1 i mora se odrediti. Masu osobe izražavamo kroz masu kolica, ali na način da se masa izražava u istim jedinicama: (m1 +1,5m1) .V 1 \u003d -1,5m1.V2+m1.V¢1.

Masu m 1 možemo izvaditi iz zagrade i smanjiti: 2,5 m1.V 1 \u003d -1,5m1.V2+m1.V¢1. Kada zamenimo vrednosti za brzine, dobijamo odgovor: .

M Ovaj zadatak dobro ilustruje mlazni pogon. Osoba koja je skočila s kolica u suprotnom smjeru povećala je brzinu same kolica. Nije li istina da se ovo dobro slaže sa načinom na koji gasovi izlaze iz rakete određenom brzinom i daju dodatnu brzinu školjki, tj. sama raketa.

Zadatak 3

Loptasta masa m 1 = 1 kg. klizi po savršeno glatkoj površini velikom brzinom v 1 = 4 gospođa i sudara se apsolutno elastično sa masom kuglice iste veličine m 2 = 3 kg. Odredite brzinu loptica nakon udara?
Odluka:
Prema zakonu održanja impulsa za savršeno neelastičan udar.

OH:

Odgovor: 1 gospođa

Zadatak 4

Lopta mase 70 G. pada na pod pod uglom od 60 0 u odnosu na normalu i odskače pod istim uglom bez gubitka brzine. Odredite količinu gibanja ukupne sile koja djeluje na loptu za vrijeme udara ako je njena brzina 30 gospođa.
Odluka:
Pokažimo na slici promjene brzine lopte tokom udarca:
Zapišimo 2. Newtonov zakon
Konstrukcijom utvrđujemo da . Veličina impulsa ukupne sile koja deluje na lopticu tokom udarca je jednaka
odgovor:

Zadatak 5

Dečak od 40 kg, stojeći na klizaljkama, baca kamen mase 1 kg pri brzini 8 gospođa. pod uglom od 60° u odnosu na horizontalu. Odredite brzinu kojom će se dječak početi kretati po ledu kao rezultat bacanja?

Odluka:
Na sistem dječak-kamen ne djeluju horizontalne sile. AT inercijski sistem izvještaj povezan sa zemljom, projekcija ukupnog impulsa sistema na horizontalnu os mora ostati nepromijenjena:
Brzina dječaka nakon bacanja
Odgovor: 0.1 gospođa

Zadatak 6 0,04 m/s

Zadatak 7

Projektil na vrhu svoje putanje eksplodirao je u dva fragmenta sa masamam 1 =3 kg i m 2 =5 kg. Brzina projektila neposredno prije eksplozije bila jev 0 =600 m/s, brzina većeg fragmenta neposredno nakon loma bila jev 2 =800 m/s, a njegov smjer se poklopio sa smjerom kretanja projektila prije razmaka. Odredite brzinu malog fragmenta odmah nakon loma.

Odluka:
Biramo za pozitivan smjer brzine projektilav 0 i zapišite zakon održanja impulsa.




To znači da je manji fragment letio u istom pravcu.
odgovor:

Zakon održanja impulsa je posljedica Newtonovih zakona i koristi se za određivanje trenutnih brzina tijela nakon njihove interakcije.

Zamah tijela (materijalne tačke) naziva se vektor fizička količina jednako umnošku mase tijela i njegove brzine p -> = mϑ -> , gdje je m masa tijela, ϑ -> – trenutnu brzinu. Impuls sistema tijela je vektorski zbir impulsa tijela p c -> = p 1 -> + p 2 -> + p 3 -> + ... + p n -> .

Prema prvom Newtonovom zakonu, ako tijela nisu u interakciji, količina gibanja svakog tijela i količina gibanja nekoliko tijela uključenih u sistem se zadržavaju. Prilikom interakcije unutar sistema, parovi sila nastaju između tijela jednakih po veličini i suprotnog smjera, prema trećem Newtonovom zakonu.

Vektorska fizička veličina, koja je mjera djelovanja sile u određenom vremenskom periodu, naziva se impuls sile i označava se sa F -> Δt. Iz drugog Newtonovog zakona u slučaju djelovanja jedne sile i definicije ubrzanja slijedi F -> = ma -> , a -> = ( ϑ -> - ϑ 0 ->)/Δt =>

F -> = m( ϑ -> – ϑ 0 ->)/Δt => F -> Δt = m ϑ -> -m ϑ 0 -> => … F -> Δt = p -> – p 0 ->

Ova jednadžba je zakon održanja impulsa u obliku impulsa. Impuls sile (rezultant) jednak je promjeni impulsa tijela (materijalne tačke). U zatvorenom sistemu interakcije se odvijaju u parovima, a impuls jednog tijela mijenja se za F 21 -> Δt, impuls drugog za F 12 -> Δt, gdje je F 12 -> sila koja djeluje od prvog tijela na drugi i F 21 -> - sila koja djeluje iz drugog tijela na prvo.

Zatvoreni sistem je sistem tijela koja međusobno djeluju samo jedno na drugo.

Zamah prvog tijela mijenja se za F 21 -> Δt, p 1 -> = p 01 -> + F 21 -> Δt, impuls drugog tijela mijenja se za F 12 -> Δt, p 2 -> = p 02 -> + F 12 -> Δt. Ali zamah sistema tijela ostaje konstantan

p 01 -> + p 02 -> = p 1 -> + p2 -> , budući da je F 21 -> Δt + F 12 -> Δt = 0, budući da je F 12 -> = -F 21 -> .

Sa bilo kojom interakcijom dva tijela unutar zatvorenog sistema, impuls cijelog sistema se ne mijenja. Hajde da formulišemo zakon održanja impulsa.

Vektorski zbir impulsa tijela u interakciji koja čine zatvoreni sistem ostaje nepromijenjena.

Kada koristimo zakon održanja impulsa u zadatku, radimo dva šematski crtež, koji prikazuje stanje sistema tijela prije i nakon interakcije. Za rješavanje vektorskih jednačina biramo iste koordinatne sisteme.

Problem 1. Neelastični udar.

Automobil mase 30 tona kreće se brzinom od 4 m/s i sudara se sa fiksnom platformom mase 10 tona. Pronađite brzinu automobila i platforme nakon što se aktivira automatska spojnica.

Odluka.

p 01 -> + p 02 -> = p 1 -> + p 2 ->

M1 ϑ 1 -> = (M1 + M2) ϑ ->

OH: M 1 ϑ 1 = (M1 + M2) ϑ

Odavde: ϑ =M1 ϑ 1 /(M 1 + M 2);

ϑ = (30 103 4) / (30 103 + 10 103) = 0,75 m/s

[ϑ] = (kg m/s)/kg = m/s

Odgovori. 0,75 m/s

Zakon održanja količine gibanja može se primijeniti i na nezatvorene sisteme ako se interakcija tijela događa trenutno i brzine tijela se određuju neposredno nakon interakcije.

Zadatak 2. Razdvajanje na dijelove.

Granata koja leti brzinom od 20 m/s razbija se na dva fragmenta mase 1,2 kg i 1,8 kg. Veći fragment nastavlja da se kreće u istom smjeru brzinom od 50 m/s. Pronađite brzinu manjeg komada.

Odluka.

Sistem nije zatvoren na tijelu i na njegove dijelove utječe gravitacija, ali s obzirom da se jaz javlja trenutno, promjena momenta kretanja svakog dijela gravitacijom može se zanemariti. Primjenjujemo zakon održanja impulsa u vektorskom obliku.

M ϑ -> = M 1 ϑ -> 1 + M2 ϑ -> 2

OH: M ϑ =M1 ϑ 1+M2 ϑ 2

Odavde: ϑ 2x = (M ϑ -M1 ϑ 1)/M2

ϑ 2x = (3 20 - 1,8 50) / 1,2 = -25 m / s

[ϑ] = (kg m/s)/kg = m/s

Odgovori.

Zakon održanja impulsa može se primijeniti u projekcijama na osu ako je projekcija rezultante spoljne sile na ovoj osi je jednako O. p x = 0; p 01x + p 02x = p 1x + p 2x.

Zadatak 3. Pucanje pod uglom.

Iz pištolja postavljenog na platformu mase M ispaljuje se projektil mase m pod uglom a prema horizontu i brzinom V u odnosu na tlo, odredite brzinu platforme nakon metka.

Odluka.

Sistem nije zatvoren, dodatna sila reakcije oslonca djeluje na tijelo tokom udarca, što projektilu daje zamah duž vertikalna osa OY, njegova projekcija na horizontalnu osu OX jednaka je 0, nema drugih sila koje djeluju duž ose OX, što znači da se može primijeniti zakon održanja količine gibanja u projekcijama na osu OX.

p x \u003d p 1x + p 2x

OH: 0 = MU x + m ϑ x

0 = MU x + m ϑ cosα

U x = m ϑcosα/M

[U] = (kg m/s)/kg = m/s

Imate bilo kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti problem o zakonu održanja impulsa?
Za pomoć od tutora -.
Prva lekcija je besplatna!

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.