Oznaka momenta. Statika

U ovoj lekciji, čija je tema „Moment sile“, govorićemo o sili kojom treba da delujete na telo da biste promenili njegovu brzinu, kao io tački primene ove sile. Razmotrimo primjere rotacije različitih tijela, na primjer, zamah: u kojoj točki treba primijeniti silu da bi se zamah počeo kretati ili ostao u ravnoteži.

Zamislite da ste fudbaler i da je ispred vas fudbalska lopta. Da bi poleteo, treba ga pogoditi. Jednostavno je: što jače udarate, to će brže i dalje letjeti, a najvjerovatnije ćete pogoditi u centar lopte (vidi sliku 1).

A da bi se lopta rotirala i letela po zakrivljenoj putanji u letu, nećete udarati u centar lopte, već sa strane, što fudbaleri rade da bi prevarili protivnika (vidi sliku 2).

Rice. 2. Zakrivljena putanja leta lopte

Ovdje je već bitno koju tačku pogoditi.

Još jedno jednostavno pitanje: gdje trebate uzeti štap da se ne bi prevrnuo kada se podigne? Ako je štap ujednačen po debljini i gustoći, onda ćemo ga uzeti u sredini. A ako je s jedne strane masivniji? Zatim ćemo ga približiti masivnoj ivici, inače će nadjačati (vidi sliku 3).

Rice. 3. Tačka podizanja

Zamislite: tata je sjedio na balansu za ljuljanje (vidi sliku 4).

Rice. 4. Swing-balancer

Da biste ga nadmašili, sjednete na ljuljačku bliže suprotnom kraju.

U svim navedenim primjerima bilo nam je važno ne samo da djelujemo na tijelo nekom silom, već i na kojem mjestu, na kojoj tački tijela da djelujemo. Odabrali smo ovu tačku nasumično, koristeći životno iskustvo. Šta ako su na štapu tri različite težine? A ako ga podignete zajedno? A ako govorimo o dizalici ili mostu sa kablovima (vidi sliku 5)?

Rice. 5. Primjeri iz života

Intuicija i iskustvo nisu dovoljni za rješavanje ovakvih problema. Bez jasne teorije, oni se više ne mogu riješiti. O rješenju takvih problema danas će se razgovarati.

Obično u problemima imamo tijelo na koje se primjenjuju sile i rješavamo ih, kao i uvijek do sada, ne razmišljajući o mjestu primjene sile. Dovoljno je znati da se sila primjenjuje jednostavno na tijelo. Takvi zadaci se često susreću, znamo kako ih riješiti, ali dešava se da nije dovoljno samo primijeniti silu na tijelo – postaje bitno u kom trenutku.

Primjer problema u kojem veličina tijela nije važna

Na primjer, na stolu se nalazi mala gvozdena kugla na koju djeluje sila gravitacije od 1 N. Kojom silom se mora primijeniti da bi se podigla? Loptu privlači Zemlja, mi ćemo na nju djelovati prema gore primjenom određene sile.

Sile koje djeluju na loptu usmjerene su u suprotnim smjerovima, a da biste podigli loptu, morate na nju djelovati silom većom po modulu od gravitacije (vidi sliku 6).

Rice. 6. Sile koje djeluju na loptu

Sila gravitacije je jednaka , što znači da se lopta mora podići sa silom:

Nismo razmišljali kako tačno da uzmemo loptu, samo je uzmemo i podignemo. Kada pokažemo kako smo podigli loptu, možemo nacrtati tačku i pokazati: djelovali smo na loptu (vidi sliku 7).

Rice. 7. Akcija na loptu

Kada to možemo učiniti s tijelom, prikazati ga na slici u obliku tačke i ne obraćajući pažnju na njegovu veličinu i oblik, smatramo ga materijalnom tačkom. Ovo je model. U stvarnosti, lopta ima oblik i dimenzije, ali mi nismo obraćali pažnju na njih u ovom problemu. Ako istu loptu treba natjerati da se rotira, onda jednostavno reći da djelujemo na loptu više nije moguće. Ovdje je bitno da smo gurnuli loptu sa ivice, a ne do centra, zbog čega se ona rotirala. U ovom zadatku, ista lopta se više ne može smatrati bodom.

Već znamo primjere zadataka u kojima je potrebno uzeti u obzir tačku primjene sile: problem sa fudbalskom loptom, sa neujednačenim štapom, sa zamahom.

Tačka primjene sile je također važna u slučaju poluge. Lopatom djelujemo na kraj drške. Tada je dovoljno primijeniti malu silu (vidi sliku 8).

Rice. 8. Djelovanje male sile na dršku lopate

Šta je zajedničko između razmatranih primjera, gdje nam je važno da uzmemo u obzir veličinu tijela? I lopta, i štap, i zamah, i lopata - u svim tim slučajevima radilo se o rotaciji ovih tijela oko neke ose. Lopta se rotirala oko svoje ose, zamah oko nosača, štap oko mesta gde smo je držali, lopata oko uporišta (vidi sl. 9).

Rice. 9. Primjeri rotirajućih tijela

Razmotrimo rotaciju tijela oko fiksne ose i vidimo šta čini da se tijelo okreće. Razmotrićemo rotaciju u jednoj ravni, onda možemo pretpostaviti da se telo rotira oko jedne tačke O (vidi sliku 10).

Rice. 10. Pivot point

Ako želimo da izbalansiramo ljuljašku, u kojoj je greda staklena i tanka, onda se ona može jednostavno slomiti, a ako je greda napravljena od mekog metala i takođe tanka, onda se može saviti (vidi sliku 11).

Nećemo razmatrati takve slučajeve; razmotrićemo rotaciju jakih krutih tela.

Bilo bi pogrešno reći da je rotacijsko kretanje određeno samo silom. Zaista, na zamahu, ista sila može uzrokovati njihovu rotaciju, a možda i ne, ovisno o tome gdje sjedimo. Ne radi se samo o snazi, već i o lokaciji tačke na kojoj djelujemo. Svi znaju koliko je teško podizati i držati teret na udaljenosti od ruke. Da bi se odredila tačka primene sile, uvodi se pojam ramena sile (po analogiji sa ramenom ruke koja podiže teret).

Krak sile je minimalna udaljenost od date tačke do prave linije duž koje sila djeluje.

Iz geometrije, vjerovatno već znate da je ovo okomito spušteno iz tačke O na pravu liniju duž koje djeluje sila (vidi sliku 12).

Rice. 12. Grafički prikaz ramena sile

Zašto je krak sile minimalno rastojanje od tačke O do prave linije duž koje sila deluje

Može izgledati čudno da se rame sile mjeri od tačke O ne do tačke primjene sile, već do prave linije duž koje ova sila djeluje.

Uradimo ovaj eksperiment: vežemo konac za polugu. Delujmo na polugu malom silom na mestu gde je konac vezan (vidi sliku 13).

Rice. 13. Konac je vezan za polugu

Ako se stvori trenutak sile dovoljan da se poluga okrene, ona će se okrenuti. Navoj će pokazati pravu liniju duž koje je sila usmjerena (vidi sliku 14).

Pokušajmo povući polugu istom silom, ali sada držeći konac. Ništa se neće promijeniti u djelovanju na polugu, iako će se promijeniti tačka primjene sile. Ali sila će djelovati duž iste prave linije, njena udaljenost do ose rotacije, odnosno kraka sile, ostat će ista. Pokušajmo djelovati na polugu pod uglom (vidi sliku 15).

Rice. 15. Djelovanje na polugu pod uglom

Sada se sila primjenjuje na istu tačku, ali djeluje duž druge linije. Njegova udaljenost do osi rotacije postala je mala, moment sile se smanjio, a poluga se više ne može okretati.

Na tijelo utječe rotacija, rotacija tijela. Ovaj uticaj zavisi od snage i od njenog ramena. Količina koja karakterizira rotacijski učinak sile na tijelo naziva se momenta moći, koji se ponekad naziva i obrtni moment ili obrtni moment.

Značenje riječi "trenutak"

Navikli smo da koristimo riječ "trenutak" u značenju vrlo kratkog vremenskog perioda, kao sinonim za riječ "trenutak" ili "trenutak". Tada nije sasvim jasno kakve veze ima trenutak sa silom. Pogledajmo porijeklo riječi "trenutak".

Riječ potiče od latinskog momentum, što znači "pokretačka sila, guranje". Latinski glagol movēre znači "kretati se" (kao i engleska riječ move, a pokret znači "kretanje"). Sada nam je jasno da je obrtni moment ono što tera telo da se okreće.

Moment sile je proizvod sile na njenom ramenu.

Jedinica mjere je njutn pomnožen sa metrom: .

Ako povećate rame sile, možete smanjiti silu i moment sile će ostati isti. Ovo vrlo često koristimo u svakodnevnom životu: kada otvaramo vrata, kada koristimo kliješta ili ključ.

Ostaje posljednja tačka našeg modela - moramo shvatiti što učiniti ako na tijelo djeluje nekoliko sila. Možemo izračunati moment svake sile. Jasno je da ako sile rotiraju tijelo u jednom smjeru, onda će se njihovo djelovanje zbrajati (vidi sliku 16).

Rice. 16. Dodaje se djelovanje sila

Ako su u različitim smjerovima - momenti sila će se međusobno uravnotežiti i logično je da će ih trebati oduzeti. Stoga će se momenti sila koje rotiraju tijelo u različitim smjerovima pisati različitim predznacima. Na primjer, zapišimo da li sila navodno rotira tijelo oko ose u smjeru kazaljke na satu, a - ako je protiv (vidi sliku 17).

Rice. 17. Definicija znakova

Tada možemo zapisati jednu važnu stvar: Da bi tijelo bilo u ravnoteži, zbir momenata sila koje na njega djeluju mora biti jednak nuli.

Formula poluge

Već znamo princip poluge: na polugu djeluju dvije sile, a koliko je puta krak poluge veći, toliko je i sila manja:

Razmotrimo momente sila koje djeluju na polugu.

Odaberimo pozitivan smjer rotacije poluge, na primjer, u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (vidi sliku 18).

Rice. 18. Odabir smjera rotacije

Tada će moment sile biti sa znakom plus, a moment sile sa predznakom minus. Da bi poluga bila u ravnoteži, zbir momenata sila mora biti jednak nuli. napišimo:

Matematički, ova jednakost i gore napisani odnos za polugu su jedno te isto, a ono što smo eksperimentalno dobili je potvrđeno.

Na primjer, odrediti da li će poluga prikazana na slici biti u ravnoteži. Na njega djeluju tri sile.(vidi sliku 19) . , i. Ramena snaga su jednaka, i.

Rice. 19. Crtež za uslov zadatka 1

Da bi poluga bila u ravnoteži, zbir momenata sila koje na nju djeluju mora biti jednak nuli.

Prema uvjetu, tri sile djeluju na polugu: , i . Njihova ramena su, odnosno jednaka , i .

Smjer rotacije poluge u smjeru kazaljke na satu smatrat će se pozitivnim. U tom smjeru poluga se rotira silom, njen moment je jednak:

Sile i rotirajte polugu u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, njihove trenutke zapisujemo sa znakom minus:

Ostaje izračunati zbir momenata sila:

Ukupni moment nije jednak nuli, što znači da tijelo neće biti u ravnoteži. Ukupni moment je pozitivan, što znači da će se poluga rotirati u smjeru kazaljke na satu (u našem problemu to je pozitivan smjer).

Riješili smo problem i dobili rezultat: ukupan moment sila koje djeluju na polugu jednak je . Poluga će početi da se okreće. A kada se okrene, ako sile ne promijene smjer, promijenit će se i ramena sila. Oni će se smanjivati ​​dok ne postanu nula kada se poluga okrene okomito (vidi sliku 20).

Rice. 20. Ramena sila su jednaka nuli

A s daljnjom rotacijom, sile će postati usmjerene tako da ga rotiraju u suprotnom smjeru. Stoga smo, nakon što smo riješili problem, odredili u kojem smjeru će se poluga početi okretati, a da ne spominjemo šta će se dalje dogoditi.

Sada ste naučili odrediti ne samo silu kojom trebate djelovati na tijelo da biste promijenili njegovu brzinu, već i tačku primjene ove sile tako da se ne okreće (ili okreće, kako nam je potrebno).

Kako gurnuti ormarić da se ne prevrne?

Znamo da kada gurnemo ormarić sa silom na vrhu, on se prevrće, a da se to ne dogodi, guramo ga niže. Sada možemo objasniti ovaj fenomen. Os njegove rotacije nalazi se na njegovoj ivici na kojoj stoji, dok su ramena svih sila, osim sile, ili mala ili jednaka nuli, stoga pod djelovanjem sile ormar pada (vidi sl. 21).

Rice. 21. Radnja na vrhu ormarića

Primjenjujući silu ispod, smanjujemo njeno rame, a time i moment ove sile i nema prevrtanja (vidi sl. 22).

Rice. 22. Sila primijenjena ispod

Ormar kao tijelo, čije dimenzije uzimamo u obzir, pokorava se istom zakonu kao ključ, kvaka, mostovi na nosačima itd.

Ovim je naša lekcija završena. Hvala vam na pažnji!

Bibliografija

1. Sokolovich Yu.A., Bogdanova GS Fizika: Priručnik sa primerima rešavanja problema. - 2. redistribucija izdanja. - X.: Vesta: Izdavačka kuća "Ranok", 2005. - 464 str.
2. Peryshkin A.V. fizika. 7. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje institucije - 10. izd., dop. - M.: Drfa, 2006. - 192 str.: ilustr.

1. abitura.com ().
2. Solverbook.com().

Zadaća

Pravilo poluge, koje je otkrio Arhimed u trećem veku pre nove ere, postojalo je skoro dve hiljade godina, dok nije dobilo opštiji oblik u sedamnaestom veku uz laku ruku francuskog naučnika Varignona.

Vladavina momenta sile

Uveden je koncept momenta sila. Moment sile je fizička veličina jednaka umnošku sile i njenog ramena:

gdje je M moment sile,
F - snaga,
l - snaga ramena.

Iz pravila balansiranja poluge direktno pravilo momenata sila slijedi:

F1 / F2 = l2 / l1 ili, po svojstvu proporcije F1 * l1= F2 * l2, tj. M1 = M2

U verbalnom izrazu, pravilo momenata sila je sljedeće: poluga je u ravnoteži pod djelovanjem dvije sile ako je moment sile koja je rotira u smjeru kazaljke na satu jednak momentu sile koja je rotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Pravilo momenata sila vrijedi za svako tijelo fiksirano oko fiksne ose. U praksi se moment sile nalazi na sljedeći način: u smjeru sile povlači se linija djelovanja sile. Zatim se iz tačke u kojoj se nalazi os rotacije povlači okomica na liniju djelovanja sile. Dužina ove okomice bit će jednaka kraku sile. Množenjem vrijednosti modula sile njegovim ramenom dobijamo vrijednost momenta sile u odnosu na os rotacije. To jest, vidimo da moment sile karakteriše rotaciono djelovanje sile. Djelovanje sile zavisi i od same sile i od njenog ramena.

Primjena pravila momenata sila u raznim situacijama

To podrazumijeva primjenu pravila momenata sila u raznim situacijama. Na primjer, ako otvorimo vrata, onda ćemo ih gurnuti u predjelu ručke, odnosno dalje od šarki. Možete napraviti elementarni eksperiment i uvjeriti se da je lakše gurnuti vrata, što dalje primjenjujemo silu od ose rotacije. Praktični eksperiment u ovom slučaju direktno je potvrđen formulom. Pošto, da bi momenti sila na različitim ramenima bili jednaki, potrebno je da manja sila odgovara većem ramenu i obrnuto, veća odgovara manjem ramenu. Što bliže osi rotacije primjenjujemo silu, ona bi trebala biti veća. Što dalje od ose djelujemo polugom, rotirajući tijelo, to ćemo manje sile trebati primijeniti. Brojčane vrijednosti se lako pronalaze iz formule za pravilo trenutka.

Na osnovu pravila momenata sila uzimamo pajser ili dugačak štap ako treba da podignemo nešto teško i, stavljajući jedan kraj pod teret, povlačimo polugu blizu drugog kraja. Iz istog razloga, vijke uvrnemo odvijačem sa dugom ručkom, a matice zategnemo dugim ključem.

Moment sile U odnosu na proizvoljni centar u ravni djelovanja sile, proizvod modula sile i kraka naziva se.

Rame- najkraća udaljenost od centra O do linije dejstva sile, ali ne i do tačke primene sile, jer vektor klizanja sile.

Znak trenutka:

U smjeru kazaljke na satu-minus, suprotno od kazaljke na satu-plus;

Moment sile se može izraziti kao vektor. Ovo je okomita na ravan prema Gimletovom pravilu.

Ako se nekoliko sila ili sistem sila nalazi u ravni, onda će nam algebarski zbir njihovih momenata dati glavna tačka sistemi sila.

Razmotrite moment sile oko ose, izračunajte moment sile oko Z ose;

Projekt F na XY;

F xy =F cosα= ab

m 0 (F xy)=m z (F), tj. m z =F xy * h= F cosα* h

Moment sile oko ose jednak je momentu njene projekcije na ravan okomitu na osu, uzetu na presjeku osi i ravni

Ako je sila paralelna sa osom ili je prelazi, tada je m z (F)=0

Izraz momenta sile kao vektorski izraz

Nacrtajte r a u tačku A. Razmotrite OA x F.

Ovo je treći vektor m o okomit na ravan. Modul unakrsnog proizvoda može se izračunati korištenjem dvostruke površine osjenčanog trokuta.

Analitički izraz sile u odnosu na koordinatne ose.

Pretpostavimo da su ose Y i Z, X povezane sa tačkom O sa jediničnim vektorima i, j, k Uzimajući u obzir da:

r x = X * Fx ; r y = Y * F y ; r z =Z * F y dobijamo: m o (F)=x =

Proširite determinantu i dobijete:

m x = YF z - ZF y

m y =ZF x - XF z

m z =XF y - YF x

Ove formule omogućavaju izračunavanje projekcije vektora momenta na osu, a zatim i samog vektora momenta.

Varignonova teorema o momentu rezultante

Ako sistem sila ima rezultantu, tada je njen moment u odnosu na bilo koje središte jednak algebarskom zbiru momenata svih sila u odnosu na ovu tačku

Ako primijenimo Q= -R, tada će sistem (Q,F 1 ... F n) biti jednako uravnotežen.

Zbir momenata oko bilo kojeg centra bit će jednak nuli.

Uslov analitičke ravnoteže za ravan sistem sila

Ovo je ravan sistem sila čije se linije djelovanja nalaze u istoj ravni.

Svrha proračuna problema ovog tipa je određivanje reakcija vanjskih veza. Za to se koriste osnovne jednačine u ravnom sistemu sila.

Mogu se koristiti jednadžbe za 2 ili 3 momenta.

Primjer

Napravimo jednačinu za zbir svih sila na X i Y osi:

Zbir momenata svih sila oko tačke A:

Paralelne sile

Jednadžba za tačku A:

Jednačina za tačku B:

Zbir projekcija sila na Y os.

Moment sile oko ose ili jednostavno moment sile je projekcija sile na pravu liniju koja je okomita na poluprečnik i povučena u tački primene sile pomnožena sa rastojanjem od ove tačke do ose. Ili proizvod sile na ramenu njene primjene. Rame u ovom slučaju je rastojanje od ose do tačke primene sile. Moment sile karakterizira rotacijsko djelovanje sile na tijelo. Osa je u ovom slučaju mjesto gdje je tijelo pričvršćeno, u odnosu na koje se može rotirati. Ako tijelo nije fiksirano, tada se centar mase može smatrati osom rotacije.

Formula 1 - Moment sile.

F - Sila koja djeluje na tijelo.

r - Snaga ramena.

Slika 1 - Moment sile.

Kao što se vidi sa slike, rame sile je rastojanje od ose do tačke primene sile. Ali to je slučaj ako je ugao između njih 90 stepeni. Ako to nije slučaj, onda je potrebno povući liniju duž djelovanja sile i na nju spustiti okomicu s ose. Dužina ove okomice bit će jednaka kraku sile. A pomeranje tačke primene sile duž pravca sile ne menja njen impuls.

Uobičajeno je smatrati pozitivnim takav moment sile, koji uzrokuje da se tijelo rotira u smjeru kazaljke na satu u odnosu na točku promatranja. I negativan, respektivno, uzrokujući rotaciju prema njemu. Moment sile se mjeri u Njutnima po metru. Jedan njutonometar je sila od 1 njutna koja djeluje na krak od 1 metar.

Ako sila koja djeluje na tijelo prolazi duž linije koja prolazi kroz os rotacije tijela, odnosno centar mase, ako tijelo nema os rotacije. Tada će moment sile u ovom slučaju biti jednak nuli. Budući da ova sila neće uzrokovati rotaciju tijela, već će ga jednostavno pomjeriti naprijed duž linije primjene.

Slika 2 - Moment sile je nula.

Ako na tijelo djeluje više sila, tada će moment sile biti određen njihovom rezultantom. Na primjer, na tijelo mogu djelovati dvije sile jednake po veličini i suprotno usmjerene. U ovom slučaju, ukupan moment sile će biti jednak nuli. Pošto će se ove sile međusobno kompenzirati. Jednostavno rečeno, zamislite dječji vrtuljak. Ako ga jedan dječak gurne u smjeru kazaljke na satu, a drugi istom silom prema njemu, vrtuljak će ostati nepomičan.

Definicija

Vektorski proizvod radijusa - vektora (), koji je povučen iz tačke O (slika 1) do tačke na koju se sila primenjuje na sam vektor naziva se moment sile () u odnosu na tačku O :

Na slici 1, tačka O i vektor sile () i radijus - vektor su u ravnini slike. U ovom slučaju, vektor momenta sile () je okomit na ravan figure i ima smjer od nas. Vektor momenta sile je aksijalan. Smjer vektora momenta sile bira se na način da rotacija oko tačke O u smjeru sile i vektora stvaraju sistem desnog zavrtnja. Smjer momenta sila i ugaono ubrzanje su isti.

Vrijednost vektora je:

gdje je ugao između smjerova vektora radijusa i vektora sile, je krak sile u odnosu na tačku O.

Moment sile oko ose

Moment sile u odnosu na osu je fizička veličina jednaka projekciji vektora momenta sile u odnosu na tačku izabrane ose na datu osu. U ovom slučaju, izbor tačke nije bitan.

Glavni moment sila

Glavni moment ukupnosti sila u odnosu na tačku O naziva se vektor (moment sile), koji je jednak zbiru momenata svih sila koje djeluju u sistemu u odnosu na istu tačku:

U ovom slučaju, tačka O se naziva središte redukcije sistema sila.

Ako postoje dva glavna momenta ( i ) za jedan sistem sila za različita dva centra redukcije sila (O i O'), onda su oni povezani izrazom:

gdje je radijus vektor, koji je povučen od tačke O do tačke O’, glavni vektor sistema sila.

U opštem slučaju, rezultat dejstva proizvoljnog sistema sila na kruto telo je isti kao i dejstvo na telo glavnog momenta sistema sila i glavnog vektora sistema sila, tj. primijenjen u centru redukcije (tačka O).

Osnovni zakon dinamike rotacionog kretanja

gdje je ugaoni moment rotacionog tijela.

Za kruto tijelo, ovaj zakon se može predstaviti kao:

gdje je I moment inercije tijela, je ugaono ubrzanje.

Jedinice momenta sile

Osnovna jedinica mjerenja momenta sile u SI sistemu je: [M]=N m

Za CGS: [M]=din cm

Primjeri rješavanja problema

Primjer

Vježba. Na slici 1 prikazano je tijelo koje ima os rotacije OO". Moment sile primijenjene na tijelo oko date ose će biti jednak nuli? Osa i vektor sile nalaze se u ravnini slike.

Odluka. Kao osnovu za rješavanje problema uzimamo formulu koja određuje moment sile:

U vektorskom proizvodu (vidi se sa slike). Ugao između vektora sile i vektora radijusa će se takođe razlikovati od nule (ili ), stoga vektorski proizvod (1.1) nije jednak nuli. To znači da je moment sile različit od nule.

Odgovori.

Primjer

Vježba. Ugaona brzina rotirajućeg krutog tijela mijenja se u skladu sa grafikom, koji je prikazan na sl.2. U kojoj je od tačaka prikazanih na grafikonu moment sila primijenjenih na tijelo jednak nuli?