Prolazak čestice kroz područje u koje, prema zakonima klasične mehanike, ne može prodrijeti, može se objasniti relacijom neizvjesnosti. Neizvjesnost momenta Ar na segmentu Ah = je Ar > -. Povezano s ovim širenjem u vrijednostima momenta, kinetike

302

Češka energija može biti

dovoljno da se završi

ispostavilo se da je energija čestice veća od potencijalne energije.

Osnove teorije tunelskih spojeva postavljeni su u radovima L.I.

Tuneliranje kroz potencijalnu barijeru leži u osnovi mnogih fenomena u fizici čvrstog stanja (na primjer, fenomeni u kontaktnom sloju na granici između dva poluvodiča), atomskoj i nuklearnoj fizici (na primjer, raspad, termonuklearne reakcije).

§ 222. Linearni harmonijski oscilator

U kvantnoj mehanici

Linearni harmonijski oscilator- sistem koji vrši jednodimenzionalno kretanje pod dejstvom kvazielastične sile je model koji se koristi u mnogim problemima klasične i kvantne teorije (videti § 142). Opružna, fizička i matematička klatna su primjeri klasičnih harmonijskih oscilatora.

Potencijalna energija harmonijskog oscilatora [vidi. (141.5)] je

Gdje je prirodna frekvencija oscilatora; t - masa čestica.

Zavisnost (222.1) ima oblik parabole (slika 303), tj. "Potencijalni bunar" u ovom slučaju je paraboličan.

Amplituda malih oscilacija klasičnog oscilatora određena je njegovom ukupnom energijom E(vidi sliku 17).

Dinger, uzimajući u obzir izraz (222.1) za potencijalnu energiju. Tada su stacionarna stanja kvantnog oscilatora određena Schrödingerovom jednačinom oblika

= 0, (222.2)

gdje E - ukupna energija oscilatora. U teoriji diferencijalnih jednadžbi

Dokazano je da je jednadžba (222.2) riješena samo za vlastite vrijednosti energije

(222.3)

Formula (222.3) pokazuje da energija kvantnog oscilatora može

imati samo diskretne vrijednosti, tj. je kvantizovan. Energija je odozdo ograničena vrijednošću različitom od nule, kao za pravokutnu "jamu" sa beskonačno visokim "zidovima" (vidi § 220), minimalnom vrijednošću energije = su-

postojanje minimalne energije – tzv energija nulte tačke - tipičan je za kvantne sisteme i direktna je posljedica relacije nesigurnosti.

Prisustvo nultih oscilacija znači da čestica ne može biti na dnu “potencijalne bušotine” (bez obzira na oblik bunara). Zaista, "padanje na dno jame" povezano je sa nestajanjem impulsa čestice, a istovremeno i njenom nesigurnošću. Tada nesigurnost koordinate postaje proizvoljno velika, što je, zauzvrat, u suprotnosti sa prisustvom čestice u

"potencijalnu rupu".

Zaključak o prisutnosti energije oscilacija nulte tačke kvantnog oscilatora je u suprotnosti sa zaključcima klasične teorije, prema kojoj je najmanja energija koju oscilator može imati jednaka nuli (što odgovara čestici koja miruje u ravnotežnom položaju) . Na primjer, prema zaključcima klasične fizike na T= 0, energija vibracionog kretanja atoma kristala je trebala nestati. Posljedično, rasipanje svjetlosti uslijed vibracija atoma također bi trebalo nestati. Međutim, eksperiment pokazuje da intenzitet raspršivanja svjetlosti sa padom temperature nije jednak nuli, već teži određenoj graničnoj vrijednosti, što ukazuje da je pri T 0 vibracije atoma u kristalu ne prestaju. Ovo je potvrda prisustva nultih fluktuacija.

Iz formule (222.3) također slijedi da se energetski nivoi linearnog harmonijskog oscilatora nalaze na jednakoj udaljenosti jedan od drugog (vidi sliku 303), naime, udaljenost između susjednih energetskih nivoa je jednaka i minimalnoj vrijednosti energije =

Rigorozno rješenje problema kvantnog oscilatora dovodi do još jedne značajne razlike od klasičnog.

Oblik talasne jednačine fizičkog sistema određen je njegovim Hamiltonijanom, koji zbog toga dobija fundamentalni značaj u celokupnom matematičkom aparatu kvantne mehanike.

Forma Hamiltonijana slobodne čestice je već utvrđena općim zahtjevima povezanim s homogenošću i izotropijom prostora i Galileovim principom relativnosti. U klasičnoj mehanici, ovi zahtjevi dovode do kvadratne zavisnosti energije čestice od njenog impulsa: gdje se konstanta naziva masa čestice (vidi I, § 4). U kvantnoj mehanici isti zahtjevi dovode do istog odnosa za vlastite vrijednosti energije i impulsa - istovremeno mjerljive očuvane (za slobodnu česticu) količine.

Ali da bi relacija vrijedila za sve vlastite vrijednosti energije i momenta, ona mora vrijediti i za njihove operatore:

Zamjenom (15.2) ovdje dobijamo Hamiltonijan čestice koja se slobodno kreće u obliku

gdje je Laplaceov operator.

Hamiltonijan sistema čestica koje nisu u interakciji jednak je zbiru hamiltonijana svake od njih:

gdje indeks a broji čestice; je Laplaceov operator, u kojem se diferencijacija vrši u odnosu na koordinate čestice.

U klasičnoj (nerelativističkoj) mehanici interakcija čestica se opisuje aditivnim pojmom u Hamiltonovoj funkciji – potencijalnom energijom interakcije, koja je funkcija koordinata čestice.

Dodavanjem iste funkcije Hamiltonijanu sistema, opisana je i interakcija čestica u kvantnoj mehanici:

prvi član se može posmatrati kao operator kinetičke energije, a drugi kao operator potencijalne energije. Konkretno, Hamiltonijan za jednu česticu u vanjskom polju je

gdje je U(x, y, z) potencijalna energija čestice u vanjskom polju.

Zamjena izraza (17.2)-(17.5) u opštu jednačinu (8.1) daje talasne jednačine za odgovarajuće sisteme. Ovdje pišemo talasnu jednačinu za česticu u vanjskom polju

Jednačina (10.2), koja određuje stacionarna stanja, poprima oblik

Jednačine (17.6) i (17.7) je uspostavio Schrödinger 1926. godine i nazivaju se Schrödingerove jednačine.

Za slobodnu česticu, jednačina (17.7) ima oblik

Ova jednadžba ima rješenja konačna u cijelom prostoru za bilo koju pozitivnu vrijednost energije E. Za stanja s određenim smjerovima kretanja, ova rješenja su vlastite funkcije operatora momenta i . Ukupne (vremenski zavisne) valne funkcije takvih stacionarnih stanja imaju oblik

(17,9)

Svaka takva funkcija - ravan val - opisuje stanje u kojem čestica ima određenu energiju E i impuls. Frekvencija ovog talasa je i njegov talasni vektor koji odgovara talasnoj dužini naziva se de Broljeva talasna dužina čestice.

Energetski spektar čestice koja se slobodno kreće tako se ispostavlja da je kontinuiran, proteže se od nule do svake od ovih svojstvenih vrijednosti (s izuzetkom samo vrijednosti je degenerisana, a degeneracija je beskonačne višestrukosti. Doista, za svaku vrijednost različitu od nule od E odgovara beskonačan skup vlastitih funkcija (17, 9), koje se razlikuju u smjerovima vektora za istu apsolutnu vrijednost.

Pratimo kako se granični prijelaz na klasičnu mehaniku događa u Schrödingerovoj jednačini, uzimajući u obzir radi jednostavnosti samo jednu česticu u vanjskom polju. Zamjenom u Schrödingerovu jednačinu (17.6) granični izraz (6.1) valne funkcije dobijamo, nakon diferenciranja,

Ova jednačina ima čisto realne i čisto imaginarne članove (sjetite se da su S i a realni); izjednačavajući oba odvojeno sa nulom, dobijamo dve jednačine:

Zanemarujući član koji se nalazi u prvoj od ovih jednačina, dobijamo

(17,10)

tj. kako bi trebalo biti, klasična Hamilton-Jacobijeva jednačina za djelovanje S čestice. Usput, vidimo da za , klasična mehanika vrijedi do vrijednosti prvog (a ne nultog) reda do uključujući.

Druga jednačina dobijena nakon množenja sa 2a može se prepisati u obliku

Ova jednadžba ima jasno fizičko značenje: postoji gustina vjerovatnoće da se čestica nađe na jednom ili drugom mjestu u prostoru, postoji klasična brzina v čestice. Prema tome, jednačina (17.11) nije ništa drugo nego jednačina kontinuiteta koja pokazuje da se gustina vjerovatnoće "kreće" prema zakonima klasične mehanike sa klasičnom brzinom v u svakoj tački.

Zadatak

Naći zakon transformacije valne funkcije pod Galilejevom transformacijom.

Rješenje. Izvršimo transformaciju nad valnom funkcijom slobodnog kretanja čestice (ravni val). Kako se bilo koja funkcija može proširiti u terminima ravnih valova, zakon transformacije će se naći i za proizvoljnu valnu funkciju.

Ravni talasi u referentnim okvirima K i K" (K" se kreće u odnosu na K brzinom V):

a momenti i energije čestice u oba sistema su međusobno povezani formulama

(vidi I, § 8), Zamjenom ovih izraza dobijamo

U ovom obliku, ova formula više ne sadrži količine koje karakteriziraju slobodno kretanje čestice i uspostavlja željeni opći zakon za transformaciju valne funkcije proizvoljnog stanja čestice. Za sistem čestica, eksponent u (1) treba da uključuje zbir preko čestica.

Opća Schrödingerova jednačina. Schrödingerova jednadžba za stacionarna stanja

Statistička interpretacija de Broljevih talasa (vidi § 216) i Heisenbergova relacija nesigurnosti (vidi 5 215) dovela je do zaključka da bi jednačina kretanja u kvantnoj mehanici, koja opisuje kretanje mikročestica u različitim poljima sile, trebala biti jednačina iz na kojima posmatrači doživljavaju valna svojstva čestica. Osnovna jednačina mora biti jednačina za talasnu funkciju Ψ (x, y, z, t), jer je upravo to, tačnije, veličina |Ψ| 2 , određuje vjerovatnoću da će čestica ostati u trenutku t u zapremini dV, odnosno u području sa koordinatama x i x+dx, y i y+dy, z i z+dz. Pošto željena jednačina mora uzeti u obzir valna svojstva čestica, ona mora biti valna jednačina, slična jednadžbi koja opisuje elektromagnetne valove.

Osnovnu jednačinu nerelativističke kvantne mehanike formulisao je 1926. E. Schrödinger. Schrödingerova jednadžba, kao i sve osnovne jednadžbe fizike (na primjer, Newtonove jednadžbe u klasičnoj mehanici i Maxwellove jednadžbe za elektromagnetno polje), nije izvedena, već postulirana. Ispravnost ove jednadžbe potvrđuje slaganje s iskustvom rezultata dobivenih uz njenu pomoć, što joj, pak, daje karakter zakona prirode. Schrödingerova jednadžba ima oblik

gdje je h=h/(2π), m je masa čestice, ∆ je Laplaceov operator ( ),

i - imaginarna jedinica, U (x, y, z, t) - potencijalna funkcija čestice u polju sila u kojem se kreće, Ψ (x, y, z, t ) - željena valna funkcija čestice.

Jednačina (217.1) važi za svaku česticu (sa spinom jednakim 0; videti § 225) koja se kreće malom (u poređenju sa brzinom svetlosti) brzinom, tj. brzinom υ<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные

mora biti kontinuirana; 3) funkcija |Ψ| 2 mora biti integrabilan; ovaj uslov se u najjednostavnijim slučajevima svodi na uslov normalizacije verovatnoća (216.3).

Da bismo došli do Schrödingerove jednačine, razmotrimo česticu koja se slobodno kreće, a koja je, prema de Broljovoj ideji, povezana sa ravnim talasom. Radi jednostavnosti, razmatramo jednodimenzionalni slučaj. Jednačina za ravan talas koji se širi duž x-ose je (vidi § 154)

Ili u složenoj notaciji . Dakle, de Broglie ravan talas ima oblik

(217.2)

(uzimajući u obzir da je ω = E/h, k=p/h). U kvantnoj mehanici, eksponent se uzima sa predznakom minus, ali pošto samo |Ψ| 2 , onda je ovo (vidi (217.2)) nebitno. Onda

,

; (217.3)

Koristeći odnos između energije E i impulsa p (E = p 2 /(2m)) i zamjenom izraza (217.3), dobijamo diferencijalnu jednačinu

što se poklapa sa jednačinom (217.1) za slučaj U = 0 (smatrali smo slobodnu česticu).

Ako se čestica kreće u polju sile koje karakterizira potencijalna energija U, tada je ukupna energija E zbir kinetičke i potencijalne energije. Provodeći slično razmišljanje koristeći odnos između E i p (za ovaj slučaj, p 2 / (2m) = E - U), okrećemo se do diferencijalne jednačine koja se poklapa sa (217.1).

Gornje rezonovanje ne treba uzeti kao derivaciju Schrödingerove jednačine. Oni samo objašnjavaju kako se može doći do ove jednačine. Dokaz ispravnosti Schrödingerove jednadžbe je slaganje sa iskustvom zaključaka do kojih ona vodi.

Jednačina (217.1) je opća Schrödingerova jednačina. Naziva se i vremenski zavisna Schrödingerova jednačina. Za mnoge fizičke pojave koje se dešavaju u mikrokosmosu, jednadžba (217.1) se može pojednostaviti eliminacijom zavisnosti Ψ o vremenu, drugim riječima, pronaći Schrödingerovu jednačinu za stacionarna stanja – stanje sa fiksnim vrijednostima energije. Ovo je moguće ako je polje sile u kojem se čestica kreće stacionarno, tj. funkcija U = U(x, y, z ) ne zavisi eksplicitno od vremena i ima značenje potencijalne energije. U ovom slučaju, rješenje Schrödingerove jednadžbe može se predstaviti kao proizvod dvije funkcije, od kojih je jedna funkcija samo koordinata, druga je samo funkcija vremena, a ovisnost o vremenu izražena je faktorom

,

gdje je E - ukupna energija čestice, koja je konstantna u slučaju stacionarnog polja. Zamjenom (217.4) u (217.1) dobijamo

odakle, nakon dijeljenja sa zajedničkim faktorom e – i (E/ h) t i odgovarajućim transformacijama, dolazimo do jednačine koja definira funkciju ψ:

(217.5)

Jednačina (217.5) se zove Schrödingerova jednačina za stacionarna stanja.

Ova jednačina uključuje ukupnu energiju E čestice kao parametar. U teoriji diferencijalnih jednadžbi dokazano je da takve jednačine imaju beskonačan broj rješenja, od kojih se nametanjem graničnih uslova biraju rješenja koja imaju fizičko značenje. Za Schrödingerovu jednačinu takvi uvjeti su uvjeti pravilnosti valnih funkcija: valne funkcije moraju biti konačne, jednovrijedne i kontinuirane zajedno sa svojim prvim derivatima. Dakle, samo rješenja koja su izražena regularnim funkcijama ψ . Ali regularna rješenja se ne odvijaju ni za jednu vrijednost parametra E, već samo za određeni skup njih, što je karakteristično za dati problem. Ove energetske vrijednosti nazivaju se intrinzičnimi. Rješenja koja odgovaraju vlastitim vrijednostima energije nazivaju se vlastitim funkcijama. Svojstvene vrijednosti E mogu formirati ili kontinuirani ili diskretni niz. U prvom slučaju se govori o kontinuiranom, ili kontinuiranom, spektru, u drugom o diskretnom spektru.

1. Uvod

Kvantna teorija je rođena 1900. godine, kada je Max Planck predložio teorijski zaključak o odnosu između temperature tijela i zračenja koje ovo tijelo emituje - zaključak koji je dugo izmicao drugim naučnicima. Kao i njegovi prethodnici, Planck je sugerirao da atomska oscilatori emituju zračenje, ali je u isto vrijeme vjerovao da energija oscilatora (i, posljedično, zračenje koje emituju) postoji u obliku malih diskretnih dijelova, koje je Ajnštajn nazvao kvantima. Energija svakog kvanta je proporcionalna frekvenciji zračenja. Iako je Planckova formula bila naširoko cijenjena, pretpostavke koje je iznio ostale su neshvatljive, jer su bile u suprotnosti s klasičnom fizikom.

Godine 1905. Ajnštajn je koristio kvantnu teoriju da objasni neke aspekte fotoelektričnog efekta – emisije elektrona sa metalne površine koja je izložena ultraljubičastom zračenju. Usput je Ajnštajn primetio naizgled paradoks: svetlost, za koju se dva veka znalo da putuje u neprekidnim talasima, mogla bi se pod određenim okolnostima ponašati kao mlaz čestica.

Otprilike osam godina kasnije, Niels Bohr je proširio kvantnu teoriju na atom i objasnio frekvencije talasa koje emituju atomi pobuđeni u plamenu ili u električnom naboju. Ernest Rutherford je pokazao da je masa atoma gotovo u potpunosti koncentrisana u centralnom jezgru, koje nosi pozitivan električni naboj i da je na relativno velikim udaljenostima okruženo elektronima koji nose negativan naboj, uslijed čega je atom u cjelini električno neutralan. Bohr je sugerirao da elektroni mogu biti samo u određenim diskretnim orbitama koje odgovaraju različitim energetskim nivoima, te da je "skok" elektrona s jedne orbite na drugu, s nižom energijom, praćen emisijom fotona, čija je energija jednaka na energetsku razliku između dvije orbite. Frekvencija je, prema Planckovoj teoriji, proporcionalna energiji fotona. Tako je Bohrov model atoma uspostavio vezu između različitih spektralnih linija karakterističnih za supstancu koja emituje zračenje i atomske strukture. Unatoč početnom uspjehu, Bohrov model atoma ubrzo je zahtijevao modifikacije kako bi se eliminisala neslaganja između teorije i eksperimenta. Osim toga, kvantna teorija u toj fazi još nije pružila sistematski postupak za rješavanje mnogih kvantnih problema.

Nova suštinska karakteristika kvantne teorije pojavila se 1924. godine, kada je de Broglie izneo radikalnu hipotezu o talasnoj prirodi materije: ako se elektromagnetski talasi, kao što je svetlost, ponekad ponašaju kao čestice (kao što je Ajnštajn pokazao), onda čestice, kao što je elektron, pod određenim okolnostima, može da se ponaša kao talas. U de Broglieovoj formulaciji, frekvencija koja odgovara čestici povezana je s njenom energijom, kao u slučaju fotona (čestice svjetlosti), ali je de Broglieov matematički izraz bio ekvivalentan odnos između talasne dužine, mase čestice i njene brzina (moment). Postojanje elektronskih talasa eksperimentalno su dokazali 1927. Clinton Davisson i Lester Germer u Sjedinjenim Državama i John Paget Thomson u Engleskoj.

Impresioniran Ajnštajnovim komentarima na de Broljove ideje, Schrödinger je pokušao da primeni talasni opis elektrona na konstrukciju konzistentne kvantne teorije, nepovezane sa Borovim neadekvatnim modelom atoma. U određenom smislu, namjeravao je približiti kvantnu teoriju klasičnoj fizici, koja je akumulirala mnoge primjere matematičkog opisa valova. Prvi pokušaj, koji je napravio Schrödinger 1925. godine, završio se neuspjehom.

Brzine elektrona u Schrödingerovoj II teoriji bile su bliske brzini svjetlosti, što je zahtijevalo uključivanje Ajnštajnove specijalne teorije relativnosti u nju i uzimanje u obzir značajnog povećanja mase elektrona koje je ona predvidela pri vrlo velikim brzinama.

Jedan od razloga za Schrödingerov neuspjeh bio je taj što nije uzeo u obzir prisustvo specifičnog svojstva elektrona, sada poznatog kao spin (rotacija elektrona oko vlastite ose, poput vrha), koje je u to vrijeme bilo malo poznato.

Sljedeći pokušaj napravio je Schrödinger 1926. Ovog puta, brzine elektrona su bile tako male da je potreba za uključivanjem teorije relativnosti nestala sama od sebe.

Drugi pokušaj krunisan je izvođenjem Schrödingerove talasne jednačine, koja daje matematički opis materije u terminima talasne funkcije. Schrödinger je svoju teoriju nazvao talasnom mehanikom. Rješenja valne jednačine bila su u skladu s eksperimentalnim zapažanjima i imala su dubok utjecaj na kasniji razvoj kvantne teorije.

Nedugo prije toga, Werner Heisenberg, Max Born i Pascual Jordan objavili su drugu verziju kvantne teorije, nazvanu matrična mehanika, koja opisuje kvantne fenomene pomoću tablica vidljivih. Ove tablice su matematički skupovi uređeni na određeni način, zvani matrice, na kojima se, prema poznatim pravilima, mogu izvoditi različite matematičke operacije. Matrična mehanika je također omogućila postizanje saglasnosti s promatranim eksperimentalnim podacima, ali za razliku od valne mehanike, nije sadržavala nikakve posebne reference na prostorne koordinate ili vrijeme. Heisenberg je posebno insistirao na napuštanju bilo kakvih jednostavnih vizualnih reprezentacija ili modela u korist samo onih svojstava koja se mogu odrediti eksperimentom.

Schrödinger je pokazao da su valna mehanika i matrična mehanika matematički ekvivalentne. Danas zajedno poznate kao kvantna mehanika, ove dvije teorije dale su dugo očekivanu zajedničku osnovu za opisivanje kvantnih fenomena. Mnogi fizičari preferirali su mehaniku valova, jer im je njen matematički aparat bio poznatiji, a njeni koncepti su se činili više "fizičkim"; operacije na matricama su glomaznije.

Funkcija Ψ. Normalizacija vjerovatnoće.

Otkriće valnih svojstava mikročestica pokazalo je da klasična mehanika ne može dati ispravan opis ponašanja takvih čestica. Pojavila se potreba za stvaranjem mehanike mikročestica, koja bi uzela u obzir i njihova valna svojstva. Nova mehanika koju su stvorili Schrödinger, Heisenberg, Dirac i drugi nazvana je valna ili kvantna mehanika.

De Broljev avionski talas

je vrlo posebna valna formacija koja odgovara slobodnom ravnomjernom kretanju čestice u određenom smjeru i s određenim impulsom. Ali čestica, čak i u slobodnom prostoru, a posebno u poljima sile, može izvoditi druga kretanja opisana složenijim valnim funkcijama. U tim slučajevima, potpuni opis stanja čestice u kvantnoj mehanici nije dat ravnim de Broljevim valom, već nekom složenijom složenijom funkcijom

Preko talasne funkcije se određuje relativna verovatnoća detekcije čestice na različitim mestima u prostoru. U ovoj fazi, kada se raspravlja samo o omjerima vjerovatnoće, valna funkcija je fundamentalno definirana do proizvoljnog konstantnog faktora. Ako se u svim točkama u prostoru valna funkcija pomnoži sa istim konstantnim (općenito govoreći, kompleksnim) brojem koji je različit od nule, tada će se dobiti nova valna funkcija koja opisuje potpuno isto stanje. Nema smisla reći da je Ψ nula u svim tačkama u prostoru, jer takva "talasna funkcija" nikada ne dozvoljava da se zaključi o relativnoj vjerovatnoći pronalaska čestice na različitim mjestima u prostoru. Ali nesigurnost u definiciji Ψ može se značajno suziti prelaskom sa relativne na apsolutnu vjerovatnoću. Upravljajmo neodređenim faktorom u funkciji Ψ tako da vrijednost |Ψ|2dV daje apsolutnu vjerovatnoću pronalaženja čestice u elementu prostornog volumena dV. Tada će |Ψ|2 = Ψ*Ψ (Ψ* je kompleksni konjugat Ψ) imati značenje gustine vjerovatnoće koju treba očekivati ​​pri pokušaju detekcije čestice u svemiru. U ovom slučaju, Ψ će se i dalje odrediti do proizvoljnog konstantnog kompleksnog faktora, čiji je modul, međutim, jednak jedan. Sa ovom definicijom, uslov normalizacije mora biti zadovoljen:

gdje se integral preuzima na cijelom beskonačnom prostoru. To znači da će u cijelom prostoru čestica biti detektirana sa sigurnošću. Ako se integral od |Ψ|2 uzme za određeni volumen V1, izračunavamo vjerovatnoću pronalaska čestice u prostoru zapremine V1.

Normalizacija (2) može biti nemoguća ako integral (2) divergira. To će biti slučaj, na primjer, u slučaju ravnog de Broljevog vala, kada je vjerovatnoća detekcije čestice ista u svim tačkama u prostoru. Ali takve slučajeve treba smatrati idealizacijom stvarne situacije u kojoj čestica ne ide u beskonačnost, već je prisiljena ostati u ograničenom području prostora. Tada normalizacija nije teška.

Dakle, neposredno fizičko značenje nije povezano sa samom funkcijom Ψ, već sa njenim modulom Ψ*Ψ. Zašto onda u kvantnoj teoriji oni operišu s valnim funkcijama Ψ, a ne direktno s eksperimentalno promatranim veličinama Ψ*Ψ? Ovo je neophodno za tumačenje valnih svojstava materije - interferencije i difrakcije. Ovdje je situacija potpuno ista kao u bilo kojoj teoriji valova. Njime (barem u linearnoj aproksimaciji) prihvata valjanost principa superpozicije samih talasnih polja, a ne njihovih intenziteta, i na taj način postiže uključivanje u teoriju fenomena talasne interferencije i difrakcije. Tako je u kvantnoj mehanici princip superpozicije valnih funkcija prihvaćen kao jedan od glavnih postulata, koji se sastoji u sljedećem.