Svojstva množenja prirodnih brojeva. Množenje zbroja prirodnim brojem i obrnuto

U ovoj lekciji ćete naučiti o različitim svojstvima množenja i konceptima kao što su proizvod i faktori.

Razmotrimo sljedeći problem: kolačići su u prodavnicu doneseni u tri kutije od po 15 pakovanja. Koliko pakovanja kolačića je trgovina ukupno donijela?

Rješenje: pronaći ukupno pakovanja kolačića u tri kutije, dodajte 15 prema 15 i ponovo dodajte 15, 15 + 15 + 15 = 45. Odgovor: 45 pakovanja keksa je doneto ukupno u prodavnicu.

Zbir u kojem su svi članovi međusobno jednaki može se napisati kraće: umjesto 15 + 15 + 15, pišu 15 puta 3, što znači 15 * 3 = 45. Broj 45 naziva se umnožak brojeva 15 i 3, a brojevi 15 i 3 se nazivaju faktori.

Dakle, dobijamo: množenje broja M prirodnim brojem N znači pronalaženje sume N članova, od kojih je svaki jednak M.

Sam izraz M pomnožen sa N naziva se proizvod, a vrijednost ovog izraza naziva se i proizvod brojeva M i N.

Brojevi M i N nazivaju se faktori.

Radovi se čitaju, imenujući svaki faktor u genitivu.

Na primjer, proizvod 12 i 10 je 120, 12 je prvi faktor, 10 je drugi faktor, 120 je proizvod.

§ 2 Svojstva množenja prirodnih brojeva

Kao i kod sabiranja i oduzimanja, množenje prirodnih brojeva također ima neka svojstva.

Prvo svojstvo je da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora. Ovo svojstvo množenja naziva se komutativno, a uz pomoć slova zapisuje se na sljedeći način:

Na primjer, 7 puta 8 je 56, a 8 puta 7 je također 56, tako da je 7 x 8 = 8 x 7.

Drugo svojstvo je asocijativno svojstvo množenja. Da biste broj pomnožili umnoškom dva broja, prvo ga možete pomnožiti s prvim faktorom, a zatim pomnožiti rezultirajući proizvod s drugim faktorom.

Koristeći slova, ovo svojstvo se piše ovako:

Na primjer, proizvod 7 i 5 mora se pomnožiti sa 2, dobivamo 7x5 = 35, zatim 35 puta 2, bit će 70.

Ili možete izvršiti množenje koristeći svojstvo asocijativnosti, naime, prvo pomnožite 5 i 2, bit će 10, a zatim pomnožite 10 sa 7, dobit ćete 70.

Sljedeće svojstvo: ako se broj pomnoži sa 1, onda se neće promijeniti, tj. N pomnoženo sa jedan jednako je N. Pošto je zbir N članova, od kojih je svaki jedan, jednak N.

Inače, zbir N članova, od kojih je svaki nula, jednak je nuli, pa je jednakost tačna: N x 0 = 0. To jest, Još jedno svojstvo množenja, proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli.

Ponekad je prilikom pisanja određenog djela uobičajeno izostaviti znak množenja - tačku. Znak množenja se obično ne piše ispred doslovnih faktora i ispred zagrada. Na primjer, 10 puta x je jednostavno napisano 10x, ili 5 puta zbroj (y + 8) je napisan ovako:

Tako ste se u ovoj lekciji upoznali sa različitim svojstvima množenja, kao što su komutativno i asocijativno, kao i sa svojstvima nule i jedan.

Spisak korišćene literature:

Matematika 5. razred. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. i dr. 31. izdanje, ster. - M: 2013.
Didaktički materijali u 5 razredu matematike. Autor - Popov M.A. - 2013. godina
Računamo bez grešaka. Rad sa samoproverom u matematici 5-6 razred. Autor - Minaeva S.S. - 2014. godina
Didaktički materijali iz matematike 5. razred. Autori: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
Kontrola i samostalan rad u 5 razredu matematike. Autori - Popov M.A. - 2012. godina
Matematika. 5. razred: udžbenik. za učenike opšteg obrazovanja. institucije / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. izd., Sr. - M.: Mnemosyne, 2009

Obrazovni ciljevi časa:

poboljšati vještinu množenja prirodnih brojeva;
naučiti koristiti svojstva množenja u proračunima;
nastaviti raditi na problemima s riječima.

Razvojni ciljevi:

razvijati logičko razmišljanje;
aktivirati mentalna aktivnost uz pomoć informacionih tehnologija.

Obrazovni ciljevi:

razviti pamćenje, pažnju, vještinu samostalne i kreativne aktivnosti;
usaditi interesovanje za predmet, koristeći IKT u lekciji.

Oprema:

interaktivna tabla,
kompjuteri,
prezentacija lekcije,
Handout(ukrštenica)
karte" biljni svijet”,
signalne kartice.

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat. Refleksija. ( Prilog 1. slajd 1.)

Poruka o temi i svrsi lekcije. (Slajd 2.)

Uvodna reč nastavnika:

„Danas nećemo biti samo učenici 5. razreda, već članovi otvorenog akcionarskog društva. A ko od vas zna šta je otvoreno akcionarsko društvo?” Informacije o dd . (Slajd 3.)

Nastavnik zajedno sa učenicima formuliše svoje razumevanje ovog pojma. Otvoreno akcionarsko društvo (OJSC) je organizacija stvorena radi profita. Članovi ove organizacije udružuju svoja sredstva za sticanje određenog preduzeća, a zauzvrat dobijaju akcije - hartije od vrednosti koje ukazuju da njihovim vlasnicima pripada deo imovine preduzeća. Kada preduzeće počne da ostvaruje profit, vlasnik može da dobije deo ove dobiti (dividende). Svako DD ima svoj naziv. Kako će se zvati akcionarsko društvo, učenici će naučiti ispunjavajući sljedeći zadatak.

II. Frontalna usmena anketa pomoću interaktivne table.

Učenici verbalno pronalaze značenje izraza i popunjavaju tabelu odgovora. Naučite naziv akcionarskog društva koje će osnovati danas na lekciji. (Slajd 4.)

U sljedećoj fazi lekcije ispostavlja se ko može postati dioničar. Svako ko kupi udio u našoj kompaniji može joj se pridružiti. Završene križaljke se uzimaju kao plaćanje. Učenicima se daju ukrštenice. (Dodatak 3.)

III. Individualni rad. Učenici popunjavaju ukrštenicu. Međusobna provjera. (Slajd 5.)

IV. Istorijat. Nastavnik pravi izvještaj o stvaranju prvih akcionarskih društava. (Slajd 6.)

U sljedećoj fazi nastave učenici, da bi otvorili akcionarsko društvo, prije svega moraju kupiti sobu. Ispred njih su dvije kuće. Jedan je očigledno zauzet, a drugi je pod znakom pitanja. Potrebno je pažljivo razmotriti prvu kuću kako bi se riješilo pitanje nabavke druge kuće.

V. Rješenje primjera.(Slajd 7.)

Druga kuća je otkrila tajnu svog izdanja, što vam omogućava da započnete svoj posao u ovoj kući. Šta treba da uradimo za ovo?

Učenici predlažu plan akcije:

Učenicima se nude zadaci sa kojima se susreću svi koji će raditi popravke.

VI. Rješavanje problema na tabli. (Slajd 8-9.)

Problem sa popravkom je riješen pa čak i kupovinom namještaja. Biće prijatno u našem kafiću ako se u njemu pušta muzika.

VII. Muzička pauza. Učenici izvode pjesmice. (Slajd 10.)

Da li želite da gradite zgrade ili stvarate mašine,
Pokušajte bolje naučiti matematiku u školi.
Ako u školi na časovima provodiš izgubljeno vrijeme,
Nikada ne možete postati ozbiljan biznismen.
Da biste postali preduzetnik, morate znati
Morate biti veoma marljivi na časovima.
Da bi vam profit tekao u neprekidnom toku
Morate biti oprezni u učionici.
Mi smo devojke - smejem se zbogom tebi.
Pozivamo vas u tamošnji kafić i upoznamo se.

Sa muzičkim aranžmanom problem je riješen, a sada treba razmisliti šta će biti na meniju. Kafić se zove "Sweet Tooth", onda bi trebalo da ima slatku hranu. Za njihovu izradu potrebno je mnogo domišljatosti. Učenici vježbaju domišljatost na sljedećem matematičkom problemu.

VIII. Rad sa udžbenikom. (Slajd 11.)

br. 416 (str. 69): ponavljanje i konsolidacija svojstava množenja.
a ∙ b = b ∙ a
a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c

IX. Fizkultminutka.(Slajd 12.)

X. Test. Rad na kompjuterima. (Slajd 13.) Učenici polažu testove na računarima. (Dodatak 2.)

Rezultati testa se sumiraju i ocjene se daju u dnevnike.

XI. Dodatni zadatak. Pronađite grešku i popravite je:

76 + 24 = 90;
190 – 67 = 123;
2005 + 15 = 2020;
1313: 13 = 11;
50 6 13 = 390;
72 11 = 792;
8 8 125 = 800;
(200 + 67) – 100 = 167.

XII. Učenici od skupa riječi prave reklamu za svoj kafić.(Slajd 14.)

XIII. Sažetak lekcije.

Kako se zovu brojevi kada se množe?
Koja svojstva množenja se koriste za pogodnost izračunavanja?

XIV. Kreativni domaći zadatak. (Slajd 15.)

Karte "Iz svijeta biljaka."

XV. Refleksija. (Slajd 16.)

Razmotrimo primjer koji potvrđuje valjanost komutativnog svojstva množenja dva prirodna broja. Na osnovu značenja množenja dva prirodna broja izračunavamo umnožak brojeva 2 i 6, kao i umnožak brojeva 6 i 2 i provjeravamo jednakost rezultata množenja. Proizvod brojeva 6 i 2 jednak je zbiru 6+6, a iz tabele sabiranja nalazimo 6+6=12. A umnožak brojeva 2 i 6 jednak je zbroju 2+2+2+2+2+2, što je jednako 12 (ako je potrebno, pogledajte materijal članka koji dodaje tri ili više brojeva). Dakle, 6 2=2 6 .

Evo slike koja ilustruje komutativno svojstvo množenja dva prirodna broja.

Asocijativno svojstvo množenja prirodnih brojeva.

Recimo asocijativno svojstvo množenja prirodnih brojeva: pomnožimo dati broj sa ovo djelo dva broja je isto kao množenje datog broja sa prvim faktorom i množenje rezultata sa drugim faktorom. To je, a (b c)=(a b) c, pri čemu a, b i c mogu biti bilo koji prirodni brojevi (zagrade obuhvataju izraze čije se vrijednosti prvo procjenjuju).

Navedimo primjer koji potvrđuje asocijativno svojstvo množenja prirodnih brojeva. Izračunajte proizvod 4·(3·2) . U smislu množenja, imamo 3 2=3+3=6 , zatim 4 (3 2)=4 6=4+4+4+4+4+4=24 . Sada uradimo množenje (4 3) 2 . Kako je 4 3=4+4+4=12 , onda je (4 3) 2=12 2=12+12=24 . Dakle, jednakost 4·(3·2)=(4·3)·2 je tačna, što potvrđuje valjanost razmatranog svojstva.

Pokažimo sliku koja ilustruje asocijativnu osobinu množenja prirodnih brojeva.

U zaključku ovog paragrafa, napominjemo da nam asocijativno svojstvo množenja omogućava da jedinstveno odredimo množenje tri ili više prirodnih brojeva.

Distributivno svojstvo množenja u odnosu na sabiranje.

Sljedeće svojstvo odnosi se na zbrajanje i množenje. Formuliše se na sledeći način: množi ovaj iznos dva broja sa datim brojem je isto kao zbrajanje proizvoda prvog člana i dati broj sa umnoškom drugog člana i zadanog broja . Ovo je takozvano distributivno svojstvo množenja u odnosu na sabiranje.

Koristeći slova, distributivno svojstvo množenja u odnosu na sabiranje zapisuje se kao (a+b) c=a c+b c(u izrazu a c + b c prvo se vrši množenje, nakon čega se vrši sabiranje, više o tome piše u članku), gdje su a, b i c proizvoljni prirodni brojevi. Imajte na umu da se jačina komutativnog svojstva množenja, distributivna svojstva množenja može zapisati u sljedeći obrazac: a (b+c)=a b+a c.

Navedimo primjer koji potvrđuje distributivno svojstvo množenja prirodnih brojeva. Provjerimo jednakost (3+4) 2=3 2+4 2 . Imamo (3+4) 2=7 2=7+7=14 , i 3 2+4 2=(3+3)+(4+4)=6+8=14 , dakle jednakost ( 3+4 ) 2=3 2+4 2 je tačno.

Pokažimo sliku koja odgovara distributivnom svojstvu množenja u odnosu na sabiranje.

Distributivno svojstvo množenja u odnosu na oduzimanje.

Ako se pridržavamo značenja množenja, onda je proizvod 0 n, gdje je n proizvoljan prirodan broj veći od jedan, zbir n članova, od kojih je svaki jednak nuli. Na ovaj način, . Svojstva sabiranja nam omogućavaju da tvrdimo da je posljednji zbir nula.

Dakle, za bilo koji prirodni broj n vrijedi jednakost 0 n=0.

Da bi komutativno svojstvo množenja ostalo važeće, prihvatamo i valjanost jednakosti n·0=0 za bilo koji prirodni broj n.

dakle, proizvod nule i prirodnog broja je nula, to je 0 n=0 i n 0=0, gdje je n proizvoljan prirodan broj. Posljednja izjava je formulacija svojstva množenja prirodnog broja i nule.

U zaključku, dajemo nekoliko primjera vezanih za svojstvo množenja o kojem se govori u ovom pododjeljku. Umnožak brojeva 45 i 0 je nula. Ako pomnožimo 0 sa 45970, onda ćemo također dobiti nulu.

Sada možete sigurno početi proučavati pravila po kojima se vrši množenje prirodnih brojeva.

Bibliografija.

Matematika. Bilo koji udžbenici za 1, 2, 3, 4 razred obrazovnih institucija.
Matematika. Bilo koji udžbenici za 5 razreda obrazovnih institucija.

U kojoj su svi članovi međusobno jednaki, pišu kraće: umjesto 25 + 25 + 25 pišu 25 3.
Dakle, 25 3 = 75. Broj 75 naziva se proizvod brojeva 25 i 3, a brojevi 25 i 3 se nazivaju faktori.

415. Izvrši radnje primjenom asocijativnog svojstva množenja:

a) 50 (2.764); c) 125 (4 80);
b) (111 2) 35; d) (402 125) 8.

416. Izračunajte odabirom pogodnog postupka:

a) 483 2 5; c) 25 86 4;
b) 4 5 333; d) 250 3 40.

417. U prodavnicu je doneseno 5 kutija boja. Svaka kutija sadrži 144 kutije, a svaka kutija sadrži 12 tuba boje. Koliko tubica su doneli u radnju? Riješite problem na dva načina.

a) Izgradili smo 5 vikendica od 80 m2 stambenog prostora i 2 vikendice od 140 m2. Šta je životni prostor sve ove vikendice?

b) Masa posude sa četiri police za knjige je 3 c. Kolika je težina prazne posude ako je težina jednog ormarića 58 kg?

421. Donijeli su 12 sanduka jabuka po 30 kg i 8 sanduka krušaka po 40 kg. Šta znače sledeći izrazi:

a) 30 12; c) 40 8; e) 30 12 + 40 8;
b) 12 - 8; d) 40 - 30; e) 30 12 - 40 8?

422. Uradite sljedeće:

a) (527 - 393) 8; d) 54 23 35;
b) 38 65 - 36 63; e) (247 - 189) (69 + 127);
c) 127 15 + 138 32; f) (1203 + 2837 - 1981) 21.

423. Zapiši rad:

a) 8 i x; b) 12 + a i 16; c) 25 -m i 28 + n d) a + b i m.

424. Navedite množitelje u proizvodu:

a) Zt; c) 4ab; e) (m + n)(k - 3);
b) 6(x + p); d) (x - y) 14; f) 5k(m + a).

a) proizvod m i n;
b) utrostručiti zbir a i b;
c) zbir proizvoda brojeva 6 i x i brojeva 8 i y;
d) proizvod razlike između brojeva a i b i broja c.

426. Pročitaj izraz:

a) a (c + d); c) 3(m + n); e) ab + c;
b) (4 - a) 8; d) 2(m - n); e) m - cd.

427. Pronađite vrijednost izraza:

a) 8a + 250 sa a = 12; petnaest;

b) 14(6 + 12) za b = 13; osamnaest.

428. Biciklista je vozio sat vremena brzinom od 12 km/h i 2 sata brzinom od 8 km/h. Koliko je kilometara biciklista prešao za to vrijeme? Napravite izraz za rješavanje problema i nađite njegovu vrijednost na a = 1; 2; četiri.

429. Napravite izraz prema uslovu zadatka:

a) Od 6 police za knjige ugradjena garderoba. Visina svake police je x cm. Pronađite visinu ormarića. Pronađite vrijednost izraza na x = 28; 33.
b) Za jedno putovanje automobil MAZ-25 prevozi 25 tona tereta. Koliko će tereta ponijeti u k letova? Odrediti vrijednost izraza kada je k = 10; 5; 0.

430. Cijena jedne odbojkaške lopte je x p., a cijena košarkaške lopte y p. Šta znače izrazi: Zh; 4y; bx + 2y; 15x - 2g; 4(x + y)?

431. Napravite zadatak prema izrazu:

a) (80 + 60) -7; c) 28 4 + 35 5;
b) (65 - 40) -4; d) 96 5 - 82 3.

432. Pet staza vodi do vrha brda. Koliko postoji načina da se ide uzbrdo i nizbrdo ako idete gore-dolje različitim stazama?

433. Koji od radova je veći: 67 2 ili 67 3? Objasnite zašto je to tako. Objasni zašto 190 8< 195 12. Сделайте вывод.

434. Poredaj, bez množenja, rastućim redoslijedom proizvoda: 56 24; 56 49; 13 24; 13 11; 74 49; 7 11.

435. Dokaži da:

a) 20 30< 23 35 < 30 40;
b) 600 800< 645 871 < 700 900;
c) 1200< 36 42 < 2000;
d) 45.000< 94 563 < 60 000.

436. Izračunaj usmeno:

437. Koji broj nedostaje?

438. Vratite lanac proračuna:

439. Pogodi korijene jednadžbe:

a) x + x = 64; b) 58 + y + y + y = 58; c) a + 2 = a - 1.

440. Zamislite problem koji bi se riješio pomoću jednačine:

a) x + 15 = 45;

b) y - 12 = 18.

441. Koliko se četvorocifrenih brojeva može sastaviti od neparnih cifara ako se cifre u unosu broja ne ponavljaju?

442. Među brojevima 1, 0, 5, 11.9 pronađite korijene jednačine:

a) x + 19 = 30; c) 30 + x = 32 - x
b) 27 - x = 27 + x; d) 10 + x + 2 = 15 + x - 3.

443. Navedite nekoliko svojstava grede. Koje od ovih svojstava ima prava linija?

444. Smislite način da brzo i jednostavno izračunate vrijednost izraza:

39 - 37 + 35 - 33 + 31 - 29 + 27 - 25 + ... + 11 - 9 + 7 - 5 + 3 - 1.

445. Riješite jednačinu:

a) 127 + y \u003d 357 - 85; c) 144 - y - 54 = 37;
b) 125 + y - 85 = 65; G). 52 + y + 87 = 159.

446. Pri kojoj vrijednosti slova je tačna jednakost:

a) 34 + a = 34; d) 58 - d = 0; g) k - k = 0;
b) b + 18 = 18; e) m + 0 = 0; h) l + I = 0?
c) 75 - c = 75; f) 0 - n = 0;

447. Riješite problem:

a) U korpi ima gljiva. Nakon što je iz njega izvađeno 10 gljiva, a zatim u njega ubačeno 14 gljiva, u njemu je bilo 85 gljiva. Koliko je gljiva prvobitno bilo u korpi?

b) Dječak je imao 16 poštanskih maraka. Kupio je još nekoliko maraka, nakon toga dao mlađi brat 23 marke i ostalo mu je 19 maraka. Koliko maraka je dječak kupio?

448. Pojednostavite izraz:

1) (138 + m) - 95; 3) (x - 39) + 65;
2) (198 + n) - 36; 4) (y - 56) + 114.

449. Pronađite vrijednost izraza:

1) 7480 - 6480: 120 + 80;

2) 1110 + 6890: 130 - 130.

450. Pronađite vrijednost izraza:

a) 704 + 704 + 704 + 704;

b) 542 + 542 + 542 + 618 + 618.

451. Izrazite kao zbroj proizvod:

a) 24-4; b) k 8; c) (x + y) 4: d) (2a - b) 5.

452. U prodavnicu je doneseno 250 kutija, svaka kutija sadrži 54 pakovanja kolačića. Kolika je masa cijelog keksa ako je masa jednog pakiranja 150 g?

453. U trouglu ABC, stranica AB je 27 cm i 3 puta je veća od stranice BC. Odredite dužinu stranice AC ako je perimetar trougao ABC jednaka 61 cm.

454. Jedna automatska mašina proizvodi 12 delova u minuti, a druga - 15 istih delova. Koliko će delova biti proizvedeno za 20 minuta prve mašine i 15 minuta druge mašine?

455. Pomnožite:

a) 56 24; c) 235 48; e) 203 504; g) 2103 7214;
b) 37 85; d) 37 129; f) 210 3500; h) 5008 3020.

456. Dva voza su napustila istu stanicu u isto vrijeme u suprotnim smjerovima. Brzina jednog voza je 50 km/h, a drugog 85 km/h. Kolika je udaljenost između vozova nakon 3 sata?

457. Od sela do grada biciklista se vozio 4 sata brzinom od 12 km/h. Na koliko će vremena potrošiti Povratak na istom putu ako poveća brzinu za 4 km/h?

458. Zamislite problem prema izrazu:

a) 120 + 65-2; b) 168 -43-2; c) 15 4 + 12 4.

459. Uporedite, bez računanja, proizvode (odgovor zapišite znakom<):

a) 245 611 i 391 782;

b) 8976 1240 i 6394 906.

460. Zapiši uzlaznim redoslijedom proizvoda:

172 191; 85 91; 85 104; 36 91; 36 75; 172 104.

461. Izračunaj:

a) (18 384 4- 19 847) (384 - 201 - 183);
b) (2839 - 939) (577: 577).

462. Riješite jednačinu:

a) (x + 27) - 12 = 42; c) d - 35 - 64 = 16;
b) 115 - (35 + y) = 39; d) 28 - t + 35 = 53.

463. Izbroji koliko četvorki, a koliko petica na slici 48, ali samo po posebnom pravilu - treba brojati i četvorke i petice u nizu: "Prva četiri, prva pet, druga četiri, treća četvorka , drugih pet, itd." Ako ne možete odmah da brojite, vraćajte se ovom zadatku iznova i iznova.

N.Ya. VILENKIN, V. I. ŽOKHOV, A. S. ČESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Matematika 5. razred, Udžbenik za obrazovne ustanove

Zbirka sažetaka lekcija iz matematike skinuti, kalendarsko-tematsko planiranje, udžbenici iz svih predmeta