Osnovne teoreme dinamike. Opće teoreme dinamike

Predavanje 3 Opće teoreme dinamike

Dinamika sistema materijalnih tačaka je važna grana teorijske mehanike. Ovdje se uglavnom razmatraju problemi kretanja mehaničkih sistema (sistema materijalnih tačaka) sa konačan broj stepeni slobode - maksimalni broj nezavisnih parametara koji određuju položaj sistema. glavni zadatak dinamika sistema - proučavanje zakona kretanja krutog tijela i mehaničkih sistema.

Najjednostavniji pristup proučavanju kretanja sistema koji se sastoji od N materijalnih tačaka, svodi se na razmatranje kretanja svake pojedinačne tačke sistema. U tom slučaju moraju se odrediti sve sile koje djeluju na svaku tačku sistema, uključujući sile interakcije između tačaka.

Određivanjem ubrzanja svake tačke u skladu sa drugim Newtonovim zakonom (1.2), dobijamo za svaku tačku tri skalarna diferencijalna zakona kretanja drugog reda, tj. 3 N diferencijalni zakon kretanja za ceo sistem.

Da pronađemo jednadžbe kretanja mehanički sistem dobijene date sile i početni uslovi za svaku tačku sistema diferencijalni zakoni treba integrisati. Ovaj problem je težak čak iu slučaju dviju materijalnih tačaka koje se kreću samo pod dejstvom sila interakcije po zakonu univerzalnog privlačenja (problem dvaju tela), a izuzetno je težak u slučaju tri tačke međusobnog delovanja ( problem tri tijela).

Stoga je potrebno pronaći takve metode za rješavanje problema koje bi dovele do rješivih jednačina i dale predstavu o kretanju mehaničkog sistema. Opšte teoreme dinamike, kao posljedica diferencijalnih zakona kretanja, omogućavaju izbjegavanje složenosti koja nastaje prilikom integracije i dobijanje potrebnih rezultata.

3.1 Opće napomene

Tačke mehaničkog sistema će biti numerisane indeksima i, j, k itd. koji prolaze kroz sve vrijednosti 1, 2, 3… N, gdje N je broj sistemskih poena. Fizičke veličine koje se odnose na k ta tačka su označene istim indeksom kao i tačka. Na primjer, oni izražavaju respektivno radijus vektor i brzinu k-th point.

Na svaku tačku sistema djeluju sile dva porijekla: prvo, sile čiji izvori leže izvan sistema, tzv. vanjski sile i označeno sa ; drugo, sile iz drugih tačaka ovog sistema, tzv interni sile i označeno sa . Unutrašnje sile zadovoljavaju treći Newtonov zakon. Razmotrimo najjednostavnija svojstva unutrašnjih sila koje djeluju na cijeli mehanički sistem u bilo kojem njegovom stanju.

Prva nekretnina. Geometrijski zbir svih unutrašnjih sila sistema (glavni vektor unutrašnjih sila) jednak je nuli.

Zaista, ako uzmemo u obzir bilo koje dvije proizvoljne tačke sistema, na primjer, i (Sl. 3.1), zatim za njih , jer sile akcije i reakcije su uvijek jednake po apsolutnoj vrijednosti, djeluju duž jedne linije djelovanja u suprotnom smjeru, što povezuje tačke interakcije. Dakle, glavni vektor unutrašnjih sila čine parovi sila međudjelujućih tačaka

(3.1)

Druga nekretnina. Geometrijski zbir momenata svih unutrašnjih sila u odnosu na proizvoljnu tačku u prostoru je nula.

Razmotrimo sistem momenata sila iu odnosu na tačku O(Sl. 3.1). Od (Sl. 3.1). to je jasno

,

jer obje sile imaju iste krakove i suprotne smjerove vektorskih momenata. Glavni moment unutrašnjih sila oko tačke O sastoji se od vektorske sume takvih izraza i jednaka je nuli. dakle,

Neka vanjski i unutrašnje sile djelujući na mehanički sistem koji se sastoji od N bodova (Sl. 3.2). Ako se rezultanta vanjskih sila i rezultanta svih unutrašnjih sila primjenjuju na svaku tačku sistema, tada za bilo koju k U tački sistema se mogu sastaviti diferencijalne jednačine kretanja. Ukupno će takve jednačine biti N:

i u projekcijama na fiksne koordinatne ose 3 N:

(3.4)

Vektorske jednačine (3.3) ili ekvivalentne skalarne jednačine (3.4) predstavljaju diferencijalne zakone kretanja materijalnih tačaka čitavog sistema. Ako se sve tačke kreću paralelno sa jednom ravninom ili jednom pravom linijom, tada će broj jednačina (3.4) u prvom slučaju biti 2 N, u drugom N.

Primjer 1 Dva tereta mase i međusobno su povezani nerastezljivim kablom prebačenim preko bloka (Sl. 3.3). Zanemarujući sile trenja, kao i masu bloka i sajle, određuju se zakon kretanja tereta i napetost sajle.

Odluka. Sistem se sastoji od dva materijalna tijela (povezana nerastavljivim kablom) koja se kreću paralelno s jednom osom X. Zapišimo diferencijalne zakone kretanja u projekcijama na osu X za svako telo.

Neka se desna težina spušta s ubrzanjem, a zatim će lijeva težina rasti s ubrzanjem. Mentalno se oslobađamo veze (kabla) i zamjenjujemo je reakcijama i (Sl. 3.3). Uz pretpostavku da su tijela slobodna, sastavit ćemo diferencijalne zakone kretanja u projekciji na osu X(što znači da su napetosti navoja unutrašnje sile, a težina opterećenja vanjske):

Pošto i (tela su povezana nerastezljivim kablom), dobijamo

Rješavanje ovih jednadžbi za ubrzanje i napetost užeta T, dobijamo

.

Imajte na umu da napetost kabla na nije jednaka težini odgovarajućeg opterećenja.

3. 2. Teorema o kretanju centra masa

Poznato je da se kruto tijelo i mehanički sistem u ravni mogu prilično teško kretati. Do prve teoreme o kretanju tijela i mehaničkog sistema može se doći na sljedeći način: ispustiti c.-l. predmet koji se sastoji od mnogo čvrstih tijela spojenih zajedno. Jasno je da će letjeti u paraboli. Ovo je otkriveno prilikom proučavanja kretanja tačke. Međutim, sada objekat nije tačka. Okreće se, njiše u procesu letenja oko nekog efektivnog centra, koji se kreće po paraboli. Prva teorema kretanja teške teme kaže da je određeni efektivni centar centar mase pokretnog objekta. Centar mase nije nužno lociran u samom tijelu, može ležati negdje izvan njega.

Teorema. Centar mase mehaničkog sistema kreće se kao materijalna tačka sa masom jednaka masi cijeli sistem na koji se primjenjuju sve vanjske sile koje djeluju na sistem.

Da bismo dokazali teoremu, prepisujemo diferencijalne zakone kretanja (3.3) u sljedeći obrazac:

(3.5)

gdje N je broj sistemskih poena.

Hajde da saberemo jednačine pojam po član:

(a)

Položaj centra mase mehaničkog sistema u odnosu na odabrani koordinatni sistem određuje se formulom (2.1): gdje M je masa sistema. Tada je zapisana lijeva strana jednakosti (a).

Prvi zbir, koji stoji na desnoj strani jednakosti (a), jednak je glavnom vektoru vanjskih sila, a posljednji, po svojstvu unutrašnjih sila, jednak je nuli. Tada će jednakost (a), uzimajući u obzir (b), biti prepisana

, (3.6)

one. proizvod mase sistema i ubrzanja njegovog centra mase jednak je geometrijski zbir sve vanjske sile koje djeluju na sistem.

Iz jednačine (3.6) proizilazi da unutrašnje sile ne utiču direktno na kretanje centra mase. Međutim, u nekim slučajevima oni su uzrok pojave vanjskih sila koje djeluju na sistem. Dakle, unutrašnje sile koje rotiraju pogonske kotače automobila uzrokuju djelovanje vanjske sile prianjanja koja se primjenjuje na naplatak kotača.

Primjer 2 Mehanizam, smješten u okomitoj ravnini, postavljen je na horizontalnu glatku ravninu i pričvršćen na nju šipkama čvrsto pričvršćenim na površinu. To i L (Sl. 3.4).

Radijus diska 1 R nepomičan. Disk 2 masa m i radijus r pričvršćuje se polugom, dužina R+ r u tački Od 2. Ručica se rotira konstantno

ugaona brzina. AT početni trenutak ručica je zauzela desni horizontalni položaj. Zanemarujući masu radilice, odredite maksimalne horizontalne i vertikalne sile koje djeluju na šipke, ako ukupna tezina krevet i točak 1 je jednak M. Uzmite u obzir i ponašanje mehanizma u odsustvu šipki.

Odluka. Sistem se sastoji od dvije mase ( N=2 ): fiksni disk 1 sa okvirom i pokretni disk 2. Usmjerimo osu at kroz težište fiksnog diska okomito prema gore, os X- zajedno horizontalna ravan.

Teoremu o kretanju centra mase (3.6) zapisujemo u koordinatnom obliku

Vanjske sile ovog sistema su: težina okvira i fiksnog diska - mg, težina pokretnog diska mg, - ukupna horizontalna reakcija vijaka, - normalna ukupna reakcija ravnine. dakle,

Zatim se prepisuju zakoni kretanja (b).

Izračunajmo koordinate centra mase mehaničkog sistema:

; (G)

kao što se vidi iz (Sl. 3.4), , , (ugao rotacije poluge), . Zamjena ovih izraza u (r) i izračunavanje drugih izvoda s obzirom na vrijeme t iz , , to smo dobili

(e)

Zamjenom (c) i (e) u (b), nalazimo

Horizontalni pritisak koji djeluje na šipke ima najveći i najmanju vrijednost, kada cos = 1 odnosno, tj.

Pritisak mehanizma na horizontalnu ravan ima najveću i najnižu vrijednost kada grijeh odnosno, tj.

U stvari, prvi problem dinamike je riješen: prema poznatim jednačinama kretanja centra mase sistema (e) obnavljaju se sile uključene u kretanje.

U nedostatku rešetki K i L (Sl. 3.4), mehanizam može početi da poskakuje iznad horizontalne ravni. Ovo će se dogoditi kada, tj. kada , slijedi da kutna brzina rotacije radilice, pri kojoj mehanizam odskače, mora zadovoljiti jednakost

.

3. 3. Zakon održanja kretanja centra masa

Ako je glavni vektor vanjskih sila koje djeluju na sistem jednak nuli, tj. , zatim od(3.6)slijedi da je ubrzanje centra mase nula, dakle, brzina centra mase je konstantna po veličini i smjeru. Ako, posebno, u početnom trenutku centar mase miruje, onda miruje sve vrijeme dok glavni vektor vanjskih sila ne bude jednak nuli.

Iz ove teoreme slijedi nekoliko posljedica.

· Unutrašnje sile same po sebi ne mogu promijeniti prirodu kretanja centra mase sistema.

· Ako je glavni vektor vanjskih sila koje djeluju na sistem jednak nuli, tada centar mase miruje ili se kreće ravnomjerno i pravolinijski.

· Ako je projekcija glavnog vektora vanjskih sila sistema na neku fiksnu osu jednaka nuli, tada se projekcija brzine centra mase sistema na ovu osu ne mijenja.

· Nekoliko sila koje se primjenjuju na kruto tijelo ne mogu promijeniti kretanje njegovog centra mase (može uzrokovati samo rotaciju tijela oko centra mase).

Razmotrimo primjer koji ilustruje zakon održanja kretanja centra mase.

Primjer 3 Dva utega sa masama i povezani su nerastezljivom niti prebačenom preko bloka (Sl. 3.5), fiksiran na klin sa masom M. Klin se oslanja na glatku horizontalnu ravan. U početku je sistem mirovao. Pronađite pomak klina duž ravnine kada se prvo opterećenje spusti na visinu N. Zanemarite masu bloka i niti.

Odluka. Vanjske sile koje djeluju na klin zajedno sa utezima su sile gravitacije , i mg, kao i normalna reakcija glatka horizontalna površina N. Dakle,

Pošto je sistem u početnom trenutku mirovao, imamo .

Izračunajmo koordinatu centra mase sistema u i trenutno t 1 kada je težina tereta g spustiti se u visinu H.

na trenutak:

,

gdje , , X- koordinate centra mase tereta težine g, g i klinaste težine Mg.

Pretpostavimo da se klin u tom trenutku kreće u pozitivnom smjeru ose Ox po iznosu L ako težina tereta padne na visinu N. Onda, na trenutak

jer tereti zajedno sa klinom će se pomeriti L udesno, a teg će se pomjeriti na razdaljinu uz klin. Pošto , nakon proračuna dobijamo

.

3.4. Količina sistema kretanja

3.4.1. Računanje impulsa sistema

Zamah materijalne tačke je vektorska veličina, jednak proizvodu masa tačke na njenom vektoru brzine

Jedinica mjere za količinu kretanja -

Impuls mehaničkog sistema naziva se vektorski zbir impulsa pojedinih tačaka sistema, tj.

gdje N je broj sistemskih poena.

Zamah mehaničkog sistema može se izraziti u smislu mase sistema M i brzinu centra mase. stvarno,

one. impuls sistema jednak je proizvodu mase čitavog sistema i brzine njegovog centra mase. Smjer je isti kao i smjer (Sl. 3.6)

U projekcijama na pravougaone ose imamo

gdje je , , - projekcije brzine centra mase sistema.

Evo M je masa mehaničkog sistema; se ne mijenja kako se sistem kreće.

Posebno je zgodno koristiti ove rezultate pri izračunavanju impulsa krutih tijela.

Iz formule (3.7) se može vidjeti da ako se mehanički sistem kreće tako da mu centar mase ostaje nepomičan, onda impuls sistema ostaje jednak nuli.

3.4.2. Elementarni i impuls pune snage

Djelovanje sile na materijalnu tačku tokom vremena dt može se okarakterisati elementarnim impulsom. Ukupni impuls sile u vremenu t, ili impuls sile, određuje se formulom

ili u projekcijama na koordinate ose

(3.8a)

Jedinica impulsa sile je .

3.4.3. Teorema o promjeni impulsa sistema

Neka spoljne i unutrašnje sile budu primenjene na tačke sistema. Tada za svaku tačku sistema možemo primijeniti diferencijalne zakone kretanja (3.3), imajući u vidu da :

.

Sumirajući sve tačke sistema, dobijamo

Po svojstvu unutrašnjih sila i po definiciji imamo

(3.9)

Množenjem obje strane ove jednačine sa dt, dobijamo teoremu o promjeni impulsa u diferencijalni oblik:

, (3.10)

one. diferencijal impulsa mehaničkog sistema jednak je vektorskom zbiru elementarnih impulsa svih vanjskih sila koje djeluju na tačke mehaničkog sistema.

Izračunavanje integrala oba dijela (3.10) tokom vremena od 0 do t, dobijamo teoremu u konačnom ili integralnom obliku

(3.11)

U projekcijama na koordinatne ose, imaćemo

Promjena impulsa mehaničkog sistema tokom vremenat, jednak je vektorskom zbiru svih impulsa vanjskih sila koje djeluju na tačke mehaničkog sistema u isto vrijeme.

Primjer 4 Opterećenje mase m ide niz kosoj ravni iz mirovanja pod dejstvom sile F, proporcionalno vremenu: , gdje (Sl. 3.7). Kolika je brzina tijela nakon t sekundi nakon početka kretanja, ako je koeficijent trenja klizanja tereta na kosoj ravni jednak f.

Odluka. Hajde da predstavimo sile koje se primenjuju na opterećenje: mg - gravitaciju tereta, N je normalna reakcija ravnine, je sila trenja klizanja tereta na ravni, i . Smjer svih sila je prikazan u (Sl. 3.7).

Usmjerimo osu X niz nagnutu ravan. Napišimo teoremu o promjeni količine gibanja (3.11) u projekciji na osu X:

(a)

Po uslovu, jer u početnom trenutku, teret je bio u mirovanju. Zbir projekcija impulsa svih sila na x-osu je

dakle,

,

.

3.4.4. Zakoni održanja impulsa

Zakoni održanja su dobijeni kao posebni slučajevi teoreme o promjeni momenta. Moguća su dva posebna slučaja.

· Ako je vektorski zbir svih vanjskih sila primijenjenih na sistem jednak nuli, tj. , onda to slijedi iz teoreme (3.9) , šta ,

one. ako je glavni vektor vanjskih sila sistema jednak nuli, tada je impuls sistema konstantan po veličini i smjeru.

· Ako je projekcija glavnog vektora vanjskih sila na bilo koju koordinatna osa je jednako nuli, na primjer Oh, tj. , tada je projekcija količine kretanja na ovu osu konstantna.

Razmotrimo primjer primjene zakona održanja impulsa.

Primjer 5 Balističko klatno je tijelo mase, okačeno na dugačku strunu (Sl. 3.8).

Metak mase koji se kreće brzinom V i padajući u nepomično tijelo, zaglavi se u njemu, a tijelo se skreće. Kolika je bila brzina metka ako se tijelo podiglo na visinu h ?

Odluka. Neka tijelo sa zaglavljenim metkom dobije brzinu. Zatim, koristeći zakon održanja količine gibanja u interakciji dva tijela, možemo pisati .

Brzina se može izračunati korištenjem zakona održanja mehanička energija . Onda . Kao rezultat, nalazimo

.

Primjer 6. Voda ulazi u fiksni kanal (Sl. 3.9) promjenjivi presjek sa brzinom pod uglom prema horizontu; kvadrat presjek kanal na ulazu; brzina vode na izlazu iz kanala i čini ugao sa horizontom.

Odrediti horizontalnu komponentu reakcije koju voda vrši na zidove kanala. Gustina vode .

Odluka. Odredit ćemo horizontalnu komponentu reakcije koju vrše zidovi kanala na vodu. Ova sila je jednaka po apsolutnoj vrijednosti i suprotna po predznaku od željene sile. Imamo, prema (3.11a),

. (a)

Izračunavamo masu zapremine tečnosti koja ulazi u kanal za vreme t:

Poziva se vrijednost rAV 0 druga masa - masa tekućine koja teče kroz bilo koji dio cijevi u jedinici vremena.

Ista količina vode izlazi iz kanala u isto vrijeme. Početna i konačna brzina su date u uslovu.

Izračunaj desna strana jednakost (a) koja određuje zbir projekcija na horizontalnu osu vanjskih sila primijenjenih na sistem (vodu). Jedina horizontalna sila je horizontalna komponenta rezultirajuće reakcije zidova R x. Ova sila je konstantna tokom ravnomjernog kretanja vode. Dakle

. (u)

Zamenivši (b) i (c) u (a), dobijamo

3.5. Kinetički moment sistema

3.5.1. Glavni moment impulsa sistema

Neka je radijus vektor tačke sa masom sistema u odnosu na neku tačku A, koja se zove centar (Sl. 3.10).

Moment momenta (kinetički moment) tačke u odnosu na centar A zove se vektor , određena formulom

. (3.12)

U ovom slučaju, vektor usmjeren okomito na ravan koja prolazi kroz centar ALI i vektor .

Moment momenta (kinetički moment) tačke oko ose naziva se projekcija na ovu osu ugaonog momenta tačke u odnosu na bilo koji centar odabran na ovoj osi.

Glavni moment količine kretanja (kinetički moment) sistema u odnosu na centar A naziva se količina

(3.13)

Glavni moment momenta (kinetički moment) sistema oko ose naziva se projekcija na ovu osu glavnog momenta količine gibanja sistema u odnosu na bilo koji odabran na datom središnja os.

3.5.2. Moment rotacije krutog tijela oko ose rotacije

Kompatibilna fiksna tačka O tijelo koje leži na osi rotacije Oz, sa ishodištem koordinatnog sistema Ohuz, čije će se ose rotirati zajedno sa tijelom (Sl. 3.11). Neka je radijus-vektor točke tijela u odnosu na početak koordinata, njegove projekcije na ose će biti označene sa , , . Vektorske projekcije ugaona brzina tijela na istim osama će biti označena sa 0, 0, ().

Često je moguće razlikovati važne karakteristike kretanje mehaničkog sistema bez pribjegavanja integraciji sistema diferencijalnih jednačina kretanja. To se postiže primjenom općih teorema dinamike.

5.1. Osnovni pojmovi i definicije

Vanjske i unutrašnje sile. Svaka sila koja djeluje na tačku u mehaničkom sistemu nužno je ili aktivna snaga, ili reakcija veze. Čitav skup sila koje djeluju na tačke sistema može se različito podijeliti u dvije klase: na vanjske sile i unutrašnje sile (subkripte e i i - od Latinske riječi externus - eksterni i internus - unutrašnji). Spoljašnje sile nazivaju se sile koje djeluju na tačke sistema iz tačaka i tijela koja nisu dio sistema koji se razmatra. Sile interakcije između tačaka i tijela razmatranog sistema nazivaju se unutrašnjim.

Ova podjela zavisi od toga koje materijalne tačke i tijela su uključene od strane istraživača u razmatrani mehanički sistem. Ako se sastav sistema proširi na dodatne tačke i tijela, onda neke sile koje su bile vanjske za prethodni sistem mogu postati unutrašnje za prošireni sistem.

Osobine unutrašnjih sila. Pošto su ove sile sile interakcije između delova sistema, one su uključene u kompletan sistem unutrašnjih sila u „dvojke“ organizovane u skladu sa aksiomom akcija-reakcija. Svaka takva "dvojka" snaga

glavni vektor i glavna tačka u odnosu na proizvoljni centar jednaki su nuli. Pošto se kompletan sistem unutrašnjih sila sastoji samo od "dvojke", onda

1) glavni vektor sistema unutrašnjih sila jednak je nuli,

2) glavni moment sistema unutrašnjih sila u odnosu na proizvoljnu tačku jednak je nuli.

Masa sistema je aritmetički zbir masa mk svih tačaka i tijela koja čine sistem:

centar gravitacije(centar inercije) mehaničkog sistema se naziva geometrijska tačka C, čiji su radijus vektor i koordinate određeni formulama

gdje su radijus vektori i koordinate tačaka koje čine sistem.

Za kruto tijelo u jednoličnom gravitacijskom polju, položaji centra mase i težišta se poklapaju; u drugim slučajevima, to su različite geometrijske točke.

Zajedno sa inercijskim referentnim okvirom, često se istovremeno razmatra neinercijalni referentni okvir koji se kreće naprijed. Njegove koordinatne ose (Koenigove ose) se biraju tako da se referentna tačka C uvek poklapa sa centrom mase mehaničkog sistema. U skladu sa definicijom, centar mase je fiksiran u Koenigovim osama i nalazi se na početku koordinata.

Moment inercije sistema o osi se zove skalar jednak zbiru produkti masa mk svih tačaka sistema kvadratima njihovih udaljenosti do ose:

Ako je mehanički sistem kruto tijelo, da biste pronašli 12, možete koristiti formulu

gdje je gustina, zapremina koju zauzima tijelo.

Razmotrimo kretanje određenog sistema materijalnih zapremina u odnosu na fiksni koordinatni sistem.Kada sistem nije slobodan, onda se može smatrati slobodnim, ako odbacimo ograničenja koja su nametnuta sistemu i njihovo djelovanje zamijenimo odgovarajućim reakcijama.

Podelimo sve sile koje se primenjuju na sistem na spoljašnje i unutrašnje; oba mogu uključivati ​​reakcije odbačenih

veze. Označiti sa i glavni vektor i glavni moment vanjskih sila u odnosu na tačku A.

1. Teorema o promjeni impulsa. Ako je impuls sistema, onda (vidi )

tj. vrijedi teorema: vremenski izvod količine kretanja sistema jednak je glavnom vektoru svih vanjskih sila.

Zamjenom vektora kroz njegov izraz gdje je masa sistema, je brzina centra mase, jednačina (4.1) može dobiti drugačiji oblik:

Ova jednakost znači da se centar mase sistema kreće kao materijalna tačka čija je masa jednaka masi sistema i na koju je primijenjena sila koja je geometrijski jednaka glavnom vektoru svih vanjskih sila sistema. Posljednja tvrdnja se zove teorema o kretanju centra mase (centra inercije) sistema.

Ako onda iz (4.1) slijedi da je vektor momenta konstantan po veličini i smjeru. Projektujući ga na koordinatnu osu, dobijamo tri skalarna prva integrala diferencijalnih jednačina dvostrukog lanca sistema:

Ovi integrali se nazivaju integrali momenta. Kada je brzina centra mase konstantna, tj. kreće se jednoliko i pravolinijski.

Ako je projekcija glavnog vektora vanjskih sila na bilo koju osu, na primjer, na osu, jednaka nuli, tada imamo jedan prvi integral, ili ako su dvije projekcije glavnog vektora jednake nuli, tada postoje dva integrala momenta.

2. Teorema o promjeni kinetičkog momenta. Neka je A neka proizvoljna tačka u prostoru (pokretna ili stacionarna), koja se ne poklapa nužno ni sa jednom materijalnom tačkom sistema tokom čitavog vremena kretanja. Njegova brzina u fiksnom sistemu koordinata biće označena teoremom o promeni ugaonog momenta materijalni sistem u odnosu na tačku A ima oblik

Ako je tačka A fiksna, onda jednakost (4.3) poprima jednostavniji oblik:

Ova jednakost izražava teoremu o promjeni ugaonog momenta sistema u odnosu na fiksna tačka: vremenski izvod ugaonog momenta sistema, izračunat u odnosu na neku fiksnu tačku, jednak je glavnom momentu svih spoljnih sila u odnosu na ovu tačku.

Ako je tada, prema (4.4), vektor ugaonog momenta konstantan po veličini i smjeru. Projektujući ga na koordinatnu osu, dobijamo skalarne prve integrale diferencijalnih jednačina kretanja sistema:

Ovi integrali se nazivaju integrali ugaonog momenta ili integrali površina.

Ako se tačka A poklapa sa centrom mase sistema, tada prvi član na desnoj strani jednakosti (4.3) nestaje i teorema o promjeni ugaonog momenta ima isti oblik (4.4) kao u slučaju fiksne tačka A. Imajte na umu (videti 4 § 3) da se u slučaju koji se razmatra apsolutni ugaoni moment sistema na levoj strani jednakosti (4.4) može zameniti jednakim ugaonim momentom sistema u njegovom kretanju u odnosu na centar mase.

Neka je neka konstantna osa ili osa konstantnog pravca koja prolazi kroz centar mase sistema, i neka je ugaoni moment sistema u odnosu na ovu osu. Iz (4.4) slijedi da

gdje je moment vanjskih sila oko ose. Ako za cijelo vrijeme kretanja imamo prvi integral

U radovima S. A. Chaplygina dobijeno je nekoliko generalizacija teoreme o promjeni ugaonog momenta, koje su potom primijenjene u rješavanju niza zadataka o kotrljanju kuglica. U radovima su sadržane daljnje generalizacije teoreme o promjeni kpnetološkog momenta i njihove primjene u problemima dinamike krutog tijela. Glavni rezultati ovih radova odnose se na teoremu o promjeni kinetičkog momenta u odnosu na pokretni, koji stalno prolazi kroz neku pokretnu tačku A. Neka - jedinični vektor usmjerene duž ove ose. Množenjem skalarno s obje strane jednakosti (4.3) i dodavanjem člana na oba njegova dijela, dobijamo

Kada je kinematički uslov ispunjen

jednačina (4.5) slijedi iz (4.7). A ako je uslov (4.8) zadovoljen tokom čitavog vremena kretanja, tada postoji prvi integral (4.6).

Ako su veze sistema idealne i dozvoljavaju rotaciju sistema kao krutog tijela oko ose i u broju virtuelnih pomaka, tada je glavni moment reakcija oko ose i jednak nuli, a zatim vrijednost na desna strana jednačine (4.5) je glavni moment svih vanjskih aktivnih sila oko ose i . Jednakost sa nulom ovog momenta i zadovoljivost relacije (4.8) bit će u slučaju koji se razmatra dovoljne uslove za postojanje integrala (4.6).

Ako je smjer ose i nepromijenjen, tada se uvjet (4.8) može zapisati kao

Ova jednakost znači da su projekcije brzine centra mase i brzine tačke A na osu i na ravan okomitu na nju paralelne. U radu S. A. Čapligina, umjesto (4.9), traži se manje od opšte stanje gdje je X proizvoljna konstanta.

Imajte na umu da uvjet (4.8) ne ovisi o izboru točke na . Zaista, neka je P proizvoljna tačka na osi. Onda

i stoga

U zaključku, napominjemo Resalovu geometrijsku interpretaciju jednadžbi (4.1) i (4.4): vektori apsolutne brzine krajevi vektora i jednaki su glavnom vektoru i glavnom momentu svih vanjskih sila u odnosu na tačku A.

MINISTARSTVO POLJOPRIVREDE I PREHRANE REPUBLIKE BELORUSIJE

Vaspitno-obrazovna ustanova „BELORUSSKI DRŽAVNI AGRAR

TEHNIČKI UNIVERZITET"

Katedra za teorijsku mehaniku i teoriju mehanizama i mašina

TEORIJSKA MEHANIKA

metodički kompleks za studente grupe specijalnosti

74 06 Poljoprivredni inženjering

U 2 dijela Prvi dio

UDK 531.3(07) LBC 22.213ya7 T 33

Sastavio:

Kandidat fizičko-matematičkih nauka, vanredni profesor Yu. S. Biza, kandidat tehničke nauke, vanredni profesor N. L. Rakova, viši predavač I. A. Tarasevich

Recenzenti:

Katedra za teorijsku mehaniku obrazovne ustanove „Bjeloruski nacionalni Technical University» (glav

Katedra za teorijsku mehaniku BNTU Doktor fizičko-matematičkih nauka, profesor A. V. Chigarev);

Vodeći istraživač Laboratorije „Vibrozaštita mašinskih sistema“ Državne naučne ustanove „Zajednički institut za mašinstvo

Nacionalna akademija nauka Belorusije“, kandidat tehničkih nauka, vanredni profesor A. M. Goman

Teorijska mehanika. Sekcija "Dinamika": edukativna

T33 metoda. kompleks. U 2 dijela, dio 1 / komp.: Yu. S. Biza, N. L. Rakova, I. A. Tarasevich. - Minsk: BGATU, 2013. - 120 str.

ISBN 978-985-519-616-8.

AT nastavno-metodičkog kompleksa predstavlja materijale o proučavanju sekcije "Dinamika", prvi dio, koji je dio discipline "Teorijska mehanika". Uključuje kurs predavanja, osnovne materijale za implementaciju praktične vježbe, zadaci i uzorci zadataka za samostalan rad i kontrolu aktivnosti učenja puno radno vrijeme i dopisni obrasci učenje.

UDK 531.3(07) LBC 22.213ya7

UVOD ................................................................ ...................................................
1. NAUČNO-TEORIJSKI SADRŽAJ OBRAZOVNOG
METODOLOŠKOG KOMPLESA ................................................ ..
1.1. Pojmovnik ................................................. ................................
1.2. Teme predavanja i njihov sadržaj ................................................ .. .
Poglavlje 1. Uvod u dinamiku. Osnovni koncepti
klasična mehanika ................................................................ ........................................
Tema 1. Dinamika materijalne tačke........................................ ....
1.1. Zakoni dinamike materijalne tačke
(zakoni Galileja - Njutna) .............................................. ...........
1.2. Diferencijalne jednadžbe pokreta
1.3. Dva glavna zadatka dinamike ................................................. .............
Tema 2. Dinamika relativnog kretanja
materijalna tačka ................................................................ ................ ........................
Pitanja za pregled ................................................................ ........................ .................
Tema 3. Dinamika mehaničkog sistema ........................................ ....
3.1. Geometrija mase. Centar mase mehaničkog sistema.....
3.2. Unutrašnje snage ................................................................ ........................ ................
Pitanja za pregled ................................................................ ........................ .................
Tema 4. Momenti inercije krutog tijela ........................................
4.1. Momenti inercije krutog tijela
u odnosu na osu i pol ........................................................ ...................... .....
4.2. Teorema o momentima inercije krutog tijela
o paralelnim osovinama
(Huygens-Steinerova teorema) ........................................ ... ...
4.3. Centrifugalni momenti inercije ................................................... .
Pitanja za pregled ................................................................ ........................ ............
Poglavlje 2

Tema 5. Teorema o kretanju centra mase sistema ...................................
Pitanja za pregled ................................................................ ........................ .................
Zadaci za samostalno učenje ................................................. .......
Tema 6. Količina kretanja materijalne tačke
i mehanički sistem ................................................. ................ ...................
6.1. Količina kretanja materijalne tačke 43
6.2. Impuls sile ................................................. ...................................
6.3. Teorema o promjeni impulsa
materijalna tačka ................................................................ ................ ...................
6.4. Teorema glavne promjene vektora
impuls mehaničkog sistema ................................................
Pitanja za pregled ................................................................ ........................ .................
Zadaci za samostalno učenje ................................................. .......
Tema 7. Moment impulsa materijalne tačke
i mehanički sistem u odnosu na centar i osu ...................................
7.1. Moment impulsa materijalne tačke
u odnosu na centar i osu ................................................ ........................................
7.2. Teorema o promjeni ugaonog momenta
materijalna tačka u odnosu na centar i osu ......................
7.3. Teorema o promjeni kinetičkog momenta
mehanički sistem u odnosu na centar i osu ........................................
Pitanja za pregled ................................................................ ........................ .................
Zadaci za samostalno učenje ................................................. .......
Tema 8. Rad i snaga sila ........................................ .........
Pitanja za pregled ................................................................ ........................ .................
Zadaci za samostalno učenje ................................................. .......
Tema 9. Kinetička energija materijalne tačke
i mehanički sistem ................................................. ................ ...................
9.1. Kinetička energija materijalne tačke
i mehanički sistem. Kenigova teorema.................................
9.2. Kinetička energija krutog tijela
sa različitim pokretima ................................................................. ................... .............
9.3. Promjena teorema kinetička energija
materijalna tačka ................................................................ ................ ...................

9.4. Teorema promjene kinetičke energije
mehanički sistem ................................................................ ........................ ................
Pitanja za pregled ................................................................ ........................ .................
Zadaci za samostalno učenje ................................................. .......
Tema 10. Polje potencijalnih sila
i potencijalna energija ................................................. ................ .................
Pitanja za pregled ................................................................ ........................ .................
Tema 11. Dinamika krutog tijela........................................ ........................................
Pitanja za pregled ................................................................ ........................ .................
2. MATERIJALI ZA KONTROLU
PO MODULU ................................................................ ...................................................
SAMOSTALNI RAD UČENIKA ..............................
4. ZAHTJEVI ZA DIZAJN KONTROLE
RADOVI ZA REDOVNE I DOPISNE STUDENTE
OBLICI OBUKE ........................................................ ........................................................
5. LISTA PRIPREMNIH PITANJA
NA ISPIT (STUDIJ) STUDENATA
REDOVNO I DOPISNO OBRAZOVANJE................................................. ......
6. LISTA REFERENCE ................................................ .. ............

UVOD

Teorijska mehanika - nauka o opštim zakonima mehaničko kretanje, ravnoteža i interakcija materijalnih tijela.

Ovo je jedna od temeljnih općih naučnih fizičko-matematičkih disciplina. To je teorijska osnova moderne tehnologije.

Izučavanje teorijske mehanike, uz druge fizičke i matematičke discipline, doprinosi širenju naučnih horizonata, formira sposobnost konkretizacije i apstraktno razmišljanje i doprinosi unapređenju opšte tehničke kulture budućeg specijaliste.

Teorijska mehanika, kao naučna osnova svega tehničke discipline, doprinosi razvoju vještina racionalne odluke inženjerski zadaci povezan sa radom, popravkom i projektovanjem poljoprivrednih i melioracionih mašina i opreme.

Prema prirodi zadataka koji se razmatraju, mehanika se dijeli na statiku, kinematiku i dinamiku. Dinamika je dio teorijske mehanike koji proučava kretanje materijalnih tijela pod djelovanjem primijenjenih sila.

AT vaspitno-metodički kompleksa (UMK) predstavlja materijale o proučavanju sekcije "Dinamika", koja uključuje kurs predavanja, osnovne materijale za izvođenje praktičan rad, zadaci i uzorci izvođenja za samostalan rad i kontrolu obrazovne aktivnosti redovnih vanrednih studenata.

AT kao rezultat proučavanja sekcije "Dinamika", student mora naučiti teorijske osnove dinamike i savladati osnovne metode za rješavanje problema dinamike:

Poznavati metode za rješavanje problema dinamike, opšte teoreme dinamike, principe mehanike;

Znati odrediti zakone kretanja tijela u zavisnosti od sila koje na njega djeluju; primijeniti zakone i teoreme mehanike za rješavanje problema; određuju statičke i dinamičke reakcije veza koje ograničavaju kretanje tijela.

Nastavnim planom i programom discipline "Teorijska mehanika" predviđen je ukupan broj časova u učionici - 136, uključujući 36 časova za izučavanje odjeljka "Dinamika".

1. NAUČNO-TEORIJSKI SADRŽAJ NASTAVNO-METODIČKOG KOMPLEKSA

1.1. Glossary

Statika je dio mehanike koji ocrtava opću doktrinu sila, proučava se redukcija složeni sistemi sile do najjednostavnijeg oblika i uspostavljeni su uslovi ravnoteže razni sistemi snage.

Kinematika je dio teorijske mehanike u kojem se proučava kretanje materijalnih objekata, bez obzira na uzroke koji uzrokuju to kretanje, odnosno bez obzira na sile koje djeluju na te objekte.

Dinamika je dio teorijske mehanike koji proučava kretanje materijalnih tijela (tačaka) pod djelovanjem primijenjenih sila.

Materijalna tačka- materijalno tijelo čija je razlika u kretanju tačaka beznačajna.

Masa tijela je skalarna pozitivna vrijednost koja zavisi od količine materije sadržane u datom tijelu i određuje njegovu mjeru inercije pri kretanje napred.

Referentni sistem - koordinatni sistem povezan sa tijelom, u odnosu na koji se proučava kretanje drugog tijela.

inercijski sistem- sistem u kojem su ispunjeni prvi i drugi zakon dinamike.

Moment sile je vektorska mjera djelovanja sile tokom nekog vremena.

Količina kretanja materijalne tačke je vektorska mjera njenog kretanja, koja je jednaka proizvodu mase tačke i vektora njene brzine.

Kinetička energija je skalarna mjera mehaničkog kretanja.

Elementarni rad sile je infinitezimalna skalarna vrijednost jednaka tačkasti proizvod vektor sile na vektor beskonačno malog pomaka tačke primene sile.

Kinetička energija je skalarna mjera mehaničkog kretanja.

Kinetička energija materijalne tačke je skalar

pozitivna vrijednost jednaka polovini umnoška mase tačke i kvadrata njene brzine.

Kinetička energija mehaničkog sistema je aritmetička

kinetički zbir kinetičkih energija svih materijalnih tačaka ovog sistema.

Sila je mjera mehaničke interakcije tijela koja karakterizira njen intenzitet i smjer.

1.2. Teme predavanja i njihov sadržaj

Odjeljak 1. Uvod u dinamiku. Osnovni koncepti

klasična mehanika

Tema 1. Dinamika materijalne tačke

Zakoni dinamike materijalne tačke (zakoni Galilea - Newtona). Diferencijalne jednadžbe kretanja materijalne tačke. Dva glavna zadatka dinamike za materijalnu tačku. Rješenje drugog problema dinamike; integracione konstante i njihovo određivanje iz početnih uslova.

Literatura:, str. 180-196, , str. 12-26.

Tema 2. Dinamika relativnog kretanja materijala

Relativno kretanje materijalne tačke. Diferencijalne jednadžbe relativnog kretanja tačke; prenosive i Coriolisove sile inercije. Princip relativnosti u klasičnoj mehanici. Slučaj relativnog odmora.

Literatura: , str. 180-196, , str. 127-155.

Tema 3. Geometrija masa. Centar mase mehaničkog sistema

Masa sistema. Centar mase sistema i njegove koordinate.

Literatura:, str. 86-93, str. 264-265

Tema 4. Momenti inercije krutog tijela

Momenti inercije krutog tijela oko ose i pola. Radijus inercije. Teorema o momentima inercije oko paralelnih osa. Aksijalni momenti inercije nekih tijela.

Centrifugalni momenti inercije kao karakteristika asimetrije tijela.

Literatura: , str. 265-271, , str. 155-173.

Odjeljak 2. Opće teoreme dinamike materijalne tačke

i mehanički sistem

Tema 5. Teorema o kretanju centra mase sistema

Teorema o kretanju centra mase sistema. Posljedice iz teoreme o kretanju centra mase sistema.

Literatura: , str. 274-277, , str. 175-192.

Tema 6. Količina kretanja materijalne tačke

i mehanički sistem

Količina kretanja materijalne tačke i mehaničkog sistema. Elementarni impuls i impuls sile za konačan vremenski period. Teorema o promjeni količine gibanja tačke i sistema u diferencijalnom i integralnom obliku. Zakon održanja impulsa.

Literatura: , str. 280-284, , str. 192-207.

Tema 7. Moment impulsa materijalne tačke

i mehanički sistem u odnosu na centar i osu

Moment momenta tačke oko centra i ose. Teorema o promjeni ugaonog momenta tačke. Kinetički moment mehaničkog sistema oko centra i ose.

Ugaoni moment rotacije krutog tijela oko ose rotacije. Teorema o promjeni kinetičkog momenta sistema. Zakon održanja impulsa.

Literatura: , str. 292-298, , str. 207-258.

Tema 8. Rad i snaga sila

Elementarni rad sile, njen analitički izraz. Rad snage na konačan put. Rad gravitacije, elastična sila. Jednakost nule zbira rada unutrašnjih sila koje djeluju u tijelu. Rad sila primijenjenih na kruto tijelo koje rotira oko fiksne ose. Snaga. Efikasnost.

Literatura: , str. 208-213, , str. 280-290.

Tema 9. Kinetička energija materijalne tačke

i mehanički sistem

Kinetička energija materijalne tačke i mehaničkog sistema. Proračun kinetičke energije krutog tijela u različitim slučajevima njegovog kretanja. Koenigova teorema. Teorema o promjeni kinetičke energije tačke u diferencijalnom i integralnom obliku. Teorema o promjeni kinetičke energije mehaničkog sistema u diferencijalnom i integralnom obliku.

Literatura: , str. 301-310, , str. 290-344.

Tema 10. Potencijalno polje sila i potencijal

Koncept polja sile. Potencijalno polje sila i funkcija sile. Rad sile na konačnom pomaku tačke u potencijalnom polju sila. Potencijalna energija.

Literatura: , str. 317-320, , str. 344-347.

Tema 11. Dinamika krutog tijela

Diferencijalne jednadžbe translacijskog kretanja krutog tijela. Diferencijalna jednadžba rotaciono kretanje kruto tijelo oko fiksne ose. fizičko klatno. Diferencijalne jednadžbe ravnog kretanja krutog tijela.

Literatura: , str. 323-334, , str. 157-173.

Odjeljak 1. Uvod u dinamiku. Osnovni koncepti

klasična mehanika

Dinamika je dio teorijske mehanike koji proučava kretanje materijalnih tijela (tačaka) pod djelovanjem primijenjenih sila.

materijalno telo- telo koje ima masu.

Materijalna tačka- materijalno tijelo čija je razlika u kretanju tačaka beznačajna. To može biti ili tijelo čije se dimenzije mogu zanemariti tokom njegovog kretanja, ili tijelo konačnih dimenzija, ako se kreće naprijed.

Čestice se nazivaju i materijalne tačke, na koje se čvrsto tijelo mentalno dijeli pri određivanju nekih njegovih dinamičkih karakteristika. Primeri materijalnih tačaka (slika 1): a - kretanje Zemlje oko Sunca. Zemlja je materijalna tačka; b je translaciono kretanje krutog tela. Solid- majka-

al točka, budući da V B = V A; a B = a A ; c - rotacija tijela oko ose.

Čestica tijela je materijalna tačka.

Inercija je svojstvo materijalnih tijela da pod djelovanjem primijenjenih sila mijenjaju brzinu svog kretanja brže ili sporije.

Masa tijela je skalarna pozitivna vrijednost koja zavisi od količine materije sadržane u datom tijelu i određuje njegovu mjeru inercije tokom translacijskog kretanja. U klasičnoj mehanici masa je konstanta.

sila - kvantitativna mjera mehanička interakcija između tijela ili između tijela (tačke) i polja (električnog, magnetskog, itd.).

Sila je vektorska veličina koju karakterišu veličina, tačka primene i pravac (linija dejstva) (slika 2: A – tačka primene; AB – linija delovanja sile).

Rice. 2

U dinamici, pored stalnih sila, postoje i promjenjive sile koje mogu ovisiti o vremenu t, brzini ϑ, udaljenosti r ili o kombinaciji ovih veličina, tj.

F = konst;

F = F(t);

F = F(ϑ ) ;

F = F(r) ;

F = F(t, r, ϑ) .

	Primjeri takvih sila prikazani su na sl. 3: a										- tjelesna težina;
			(ϑ) – sila otpora vazduha; b −		T =						- vučna sila

električna lokomotiva; c − F = F (r) je sila odbijanja od centra O ili privlačenja prema njemu.

Referentni sistem - koordinatni sistem povezan sa tijelom, u odnosu na koji se proučava kretanje drugog tijela.

Inercijalni sistem je sistem u kojem su ispunjeni prvi i drugi zakon dinamike. Ovo je fiksni koordinatni sistem ili sistem koji se kreće jednoliko i pravolinijski.

Kretanje u mehanici je promjena položaja tijela u prostoru i vremenu u odnosu na druga tijela.

Prostor u klasičnoj mehanici je trodimenzionalan, povinovan euklidskoj geometriji.

Vrijeme je skalarna veličina koja teče na isti način u bilo kojem referentnom sistemu.

Sistem jedinica je skup mjernih jedinica fizičke veličine. Za mjerenje svih mehaničkih veličina dovoljne su tri osnovne jedinice: jedinice dužine, vremena, mase ili sile.

Mehanički	Dimenzija		Notacija	Dimenzija	Notacija
magnitude
				centimetar
	kilogram-

Sve ostale jedinice mjerenja mehaničkih veličina su derivati ​​ovih. Koriste se dvije vrste sistema jedinica: međunarodni sistem SI jedinice (ili manje - CGS) i tehnički sistem jedinica - MKGSS.

Tema 1. Dinamika materijalne tačke

1.1. Zakoni dinamike materijalne tačke (zakoni Galilea - Newtona)

Prvi zakon (inercije).

izolovan od spoljni uticaji materijalna tačka održava svoje stanje mirovanja ili se kreće jednoliko i pravolinijski sve dok je primijenjene sile ne prisile da promijeni ovo stanje.

Kretanje koje vrši tačka u odsustvu sila ili pod dejstvom uravnoteženog sistema sila naziva se kretanje po inerciji.

Na primjer, kretanje tijela po glatkoj (sila trenja je nula)

horizontalna površina (Sl. 4: G - tjelesna težina; N - normalna reakcija aviona).

Pošto je G = − N , onda je G + N = 0.

Kada je ϑ 0 ≠ 0 tijelo se kreće istom brzinom; pri ϑ 0 = 0 tijelo miruje (ϑ 0 je početna brzina).

Drugi zakon (osnovni zakon dinamike).

Proizvod mase tačke i ubrzanja koje ona prima pod dejstvom date sile je po apsolutnoj vrednosti jednak ovoj sili, a njen smer se poklapa sa smerom ubrzanja.

a b

Matematički, ovaj zakon je izražen vektorskom jednakošću

Za F = const,

a = const - kretanje tačke je ravnomerno. EU-

da li je a ≠ const, α

- usporeno (sl. 5, ali);

a ≠ const,

a -

– ubrzano kretanje (sl. 5, b), m – masa tačke;

vektor ubrzanja;

– vektorska sila; ϑ 0 je vektor brzine).

Kod F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const - tačka se kreće ravnomerno i pravolinijsko, ili kod ϑ 0 = 0 - miruje (zakon inercije). Sekunda

zakon vam omogućava da uspostavite odnos između mase m tijela koje se nalazi u blizini zemljine površine, i njegova težina G .G = mg , gdje je g

ubrzanje gravitacije.

Treći zakon (zakon jednakosti akcije i reakcije). Dvije materijalne tačke djeluju jedna na drugu sa silama jednakim po veličini i usmjerenim duž prave linije koja spaja

ove tačke, u suprotnim smjerovima.

Budući da su sile F 1 = − F 2 primijenjene na različite tačke, tada sistem sila (F 1 , F 2 ) nije uravnotežen, odnosno (F 1 , F 2 )≈ 0 (slika 6).

Zauzvrat

m a = m a

- stav

mase tačaka interakcije su obrnuto proporcionalne njihovim ubrzanjima.

Četvrti zakon (zakon nezavisnosti delovanja sila). Ubrzanje koje je primila točka pod djelovanjem simultane

ali od nekoliko sila, jednak je geometrijskom zbiru onih ubrzanja koje bi tačka primila pod dejstvom svake sile posebno na nju.

Objašnjenje (slika 7).

t a n

a 1 a kF n

Rezultantne R sile (F 1 ,...F k ,...F n ) .

Kako je ma = R ,F 1 = ma 1 , ...,F k = ma k , ...,F n = ma n , tada

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k , tj. četvrti zakon je ekvivalentan

k = 1

pravilo zbrajanja sila.

1.2. Diferencijalne jednadžbe kretanja materijalne tačke

Neka nekoliko sila istovremeno djeluje na materijalnu tačku, među kojima postoje i konstante i varijable.

Drugi zakon dinamike zapisujemo u obliku

= ∑

(t ,

k = 1

, ϑ=

r je radijus vektor kretanja

tačke, onda (1.2) sadrži izvode od r i predstavlja diferencijalnu jednačinu kretanja materijalne tačke u vektorskom obliku ili osnovna jednačina dinamike materijalne tačke.

Projekcije vektorske jednakosti (1.2): - na os kartezijanskih koordinata (sl. 8, ali)

max=md
					= ∑Fkx;
					k = 1
svibanj=md
					= ∑Fky;	(1.3)
					k = 1
maz=m					= ∑Fkz;
					k = 1

Na prirodnoj osi (slika 8, b)

mat				= ∑ Fk τ ,
				k = 1
				= ∑ F k n ;
				k = 1

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

b na o

Jednadžbe (1.3) i (1.4) su diferencijalne jednadžbe gibanja materijalne tačke u kartezijanskim koordinatnim osa i prirodnim osama, odnosno prirodne diferencijalne jednadžbe koje se obično koriste za krivolinijsko kretanje tačke ako je putanja tačke i njen polumjer zakrivljenosti je poznat.

1.3. Dva glavna problema dinamike za materijalnu tačku i njihovo rješenje

Prvi (direktni) zadatak.

Poznavajući zakon kretanja i masu tačke, odredite silu koja deluje na tačku.

Da biste riješili ovaj problem, morate znati ubrzanje tačke. U zadacima ovog tipa može se direktno specificirati, ili se specificira zakon kretanja tačke, u skladu sa kojim se može odrediti.

1. Dakle, ako je kretanje tačke dato u kartezijanskim koordinatama

x = f 1 (t) , y = f 2 (t) i z = f 3 (t) tada se određuju projekcije ubrzanja

na koordinatnoj osi x =		d2x			d2y			d2z		A onda - projekat-
F x , F y i F z sile na ove ose:
				,k ) = F F z . (1.6) 2. Ako se tačka obavezuje krivolinijsko kretanje a poznat je zakon kretanja s = f (t), putanja tačke i njen polumjer zakrivljenosti ρ, tada zgodno je koristiti prirodne ose, a projekcije ubrzanja na tim osema određuju se dobro poznatim formulama: Tangencijalna os a τ = d ϑ = d 2 2 s – tangencijalno ubrzanje;dt dt HomeNormal ds 2 a n = ϑ 2 = dt je normalno ubrzanje. Projekcija ubrzanja na binormalu je nula. Zatim projekcije sile na prirodne ose F=m F=m Modul i smjer sile određuju se formulama: F \u003d F τ 2 + F n 2; cos( ; cos( Drugi (inverzni) zadatak. Poznavajući sile koje djeluju na tačku, njenu masu i početni uslovi kretanje, odrediti zakon kretanja tačke ili bilo koju drugu njenu kinematičku karakteristiku. Početni uslovi za kretanje tačke u Dekartovim osama su koordinate tačke x 0, y 0, z 0 i projekcija početne brzine ϑ 0 na ove osi ϑ 0 x = x 0, ϑ 0 y = y 0 i ϑ 0 z = z 0 u vrijeme koje odgovara daje početak kretanja tačke i uzima se jednakim nuli. Rješavanje problema ovog tipa svodi se na sastavljanje diferencijala diferencijalne jednadžbe (ili jedna jednačina) kretanja materijalne tačke i njihovo naknadno rješavanje po direktnu integraciju ili korištenjem teorije diferencijalnih jednadžbi. Pregledajte pitanja 1. Šta proučava dinamika? 2. Koja vrsta kretanja se naziva inercijalno kretanje? 3. Pod kojim uslovom će materijalna tačka mirovati ili se kretati jednoliko i pravolinijski? 4. Koja je suština prvog glavnog problema dinamike materijalne tačke? Drugi zadatak? 5. Zapišite prirodne diferencijalne jednadžbe gibanja materijalne točke. Zadaci za samostalno učenje 1. Tačka mase m = 4 kg kreće se duž vodoravne prave uz ubrzanje a = 0,3 t. Odrediti modul sile koja djeluje na tačku u smjeru njenog kretanja u trenutku t = 3 s. 2. Dio mase m = 0,5 kg klizi niz tacnu. Pod kojim uglom u odnosu na horizontalnu ravninu treba da se nalazi tacna tako da se deo kreće ubrzanjem a = 2 m/s 2? Angle express u stepenima. 3. Tačka mase m = 14 kg kreće se duž ose Ox ubrzanjem a x = 2 t . Odrediti modul sile koja djeluje na tačku u smjeru kretanja u trenutku t = 5 s.

(MEHANIČKI SISTEMI) - IV opcija

1. Osnovna jednačina dinamike materijalne tačke, kao što je poznato, izražava se jednačinom . Diferencijalne jednadžbe kretanja proizvoljne tačke neslobodnog mehaničkog sistema prema dva načina podjele sila može se zapisati u dva oblika:

(1) , gdje je k=1, 2, 3, … , n broj tačaka materijalnog sistema.

(2)

gdje je masa k-te tačke; - radijus vektor k-te tačke, - data (aktivna) sila koja djeluje na k-tu tačku ili rezultanta svih aktivnih sila koje djeluju na k-tu tačku. - rezultanta reakcionih sila veza koje djeluju na k-tu tačku; - rezultanta unutrašnjih sila koje djeluju na k-tu tačku; - rezultanta vanjskih sila koje djeluju na k-tu tačku.

Jednačine (1) i (2) se mogu koristiti za rješavanje i prvog i drugog problema dinamike. Međutim, rešenje drugog problema dinamike za sistem postaje veoma komplikovano ne samo sa matematička poenta viziju, ali i zato što se suočavamo sa fundamentalnim poteškoćama. Oni leže u činjenici da je i za sistem (1) i za sistem (2) broj jednačina značajno manje od broja nepoznato.

Dakle, ako koristimo (1), tada će poznati za drugi (inverzni) problem dinamike biti i , a nepoznanice će biti i . Vektorske jednadžbe će biti " n", a nepoznato - "2n".

Ako pođemo od sistema jednadžbi (2), tada su poznate i dio vanjskih sila . Zašto dio? Činjenica je da broj vanjskih sila uključuje vanjske reakcije veze koje su nepoznate. Pored toga, biće i nepoznanica.

Dakle, i sistem (1) i sistem (2) su OTVORENI. Moramo dodati jednačine, uzimajući u obzir jednačine relacija, a možda još treba nametnuti neka ograničenja na same relacije. šta da radim?

Ako pođemo od (1), onda možemo pratiti put sastavljanja Lagrangeovih jednačina prve vrste. Ali ovaj način nije racionalan jer lakši zadatak(manje stepena slobode), to je teže riješiti sa stanovišta matematike.

Onda obratimo pažnju na sistem (2), gdje su - uvijek nepoznate. Prvi korak u rješavanju sistema je uklanjanje ovih nepoznanica. Treba imati na umu da nas, po pravilu, ne zanimaju unutrašnje sile tokom kretanja sistema, odnosno kada se sistem kreće nije potrebno znati kako se kreće svaka tačka sistema, ali dovoljno je da se zna kako se sistem u celini kreće.

Dakle, ako Različiti putevi isključiti iz sistema (2) nepoznate sile, tada dobijamo neke relacije, tj. neke Opće karakteristike za sistem, čije poznavanje omogućava prosuđivanje kako se sistem uopšte kreće. Ove karakteristike se uvode pomoću tzv opšte teoreme dinamike. Postoje četiri takve teoreme:

1. Teorema o kretanje centra mase mehaničkog sistema;

2. Teorema o promjena impulsa mehaničkog sistema;

3. Teorema o promjena ugaonog momenta mehaničkog sistema;

4. Teorema o promjena kinetičke energije mehaničkog sistema.