Jednačina u ravni. Kako napisati jednačinu za ravan? Međusobni raspored aviona

U samom opšti slučaj normala na površinu predstavlja njenu lokalnu krivinu, a time i pravac zrcalne refleksije (slika 3.5). U odnosu na naša saznanja, možemo reći da je normala vektor koji određuje orijentaciju lica (slika 3.6).

Rice. 3.5 Sl. 3.6

Mnogi algoritmi za uklanjanje skrivenih linija i površina koriste samo rubove i vrhove, pa da biste ih kombinirali s modelom osvjetljenja, morate znati približnu vrijednost normale na rubovima i vrhovima. Neka su date jednadžbe ravni poligonalnih lica, tada je normala na njihov zajednički vrh jednaka srednjoj vrijednosti normala na sve poligone koji konvergiraju ovom vrhu. Na primjer, na sl. 3.7 smjer približne normale u tački V 1 tu je:

n v1 = (a 0 + a 1 + a 4 )i + (b 0 +b 1 +b 4 )j + (c 0 +c 1 +c 4 )k, (3.15)

gdje a 0 , a 1 , a 4 ,b 0 ,b 1 ,b 4 , c 0 , c 1 , c 4 - koeficijenti jednadžbi ravni tri poligona P 0 , P 1 , P 4 , okolina V 1 . Imajte na umu da ako želite pronaći samo smjer normale, tada dijeljenje rezultata brojem lica nije potrebno.

Ako jednačine ravnina nisu date, onda se normala na vrh može odrediti usrednjavanjem vektorskih proizvoda svih ivica koje se sijeku u vrhu. Još jednom, s obzirom na gornji V 1 na Sl. 3.7, pronađite smjer približne normale:

n v1 = V 1 V 2 V 1 V 4 +V 1 V 5 V 1 V 2 +V 1 V 4  V 1 V 5 (3.16)

Rice. 3.7 - Aproksimacija normale na poligonalnu površinu

Imajte na umu da su potrebne samo vanjske normale. Osim toga, ako rezultirajući vektor nije normaliziran, tada njegova vrijednost ovisi o broju i površini određenih poligona, kao io broju i dužini određenih rubova. Uticaj poligona sa veća površina i duža rebra.

Kada se za određivanje intenziteta koristi površinska normala i perspektivna transformacija se vrši na slici objekta ili scene, tada se normala treba izračunati prije podjele perspektive. U suprotnom, smjer normale će biti izobličen, a to će uzrokovati da se intenzitet koji je specificiran modelom osvjetljenja pogrešno odredi.

Ako je poznat analitički opis ravni (površine), onda se normala izračunava direktno. Poznavajući jednadžbu ravnine svake strane poliedra, možete pronaći smjer vanjske normale.

Ako je jednadžba ravni:

tada se vektor normale na ovu ravan piše na sljedeći način:

, (3.18)

gdje
- jedinični vektori osi x,y,z respektivno.

Vrijednost d izračunava se pomoću proizvoljne tačke koja pripada ravni, na primjer, za tačku (
)

Primjer. Razmotrimo 4-strani ravan poligon opisan sa 4 vrha V1(1,0,0), V2(0,1,0), V3(0,0,1) i V4(1,1,1) (vidi Sl. 3.7).

Jednačina ravni ima oblik:

x + y + z - 1 = 0.

Hajde da dobijemo normalu na ovu ravan koristeći vektorski proizvod para vektora koji su susjedni rubovi jednog od vrhova, na primjer, V1:

Mnogi algoritmi za uklanjanje skrivenih linija i površina koriste samo rubove ili vrhove, pa da biste ih kombinirali s modelom osvjetljenja, morate znati približnu vrijednost normale na rubovima i vrhovima.

Neka su date jednadžbe ravnina lica poliedra, tada je normala na njihov zajednički vrh jednaka srednjoj vrijednosti normala na sva lica koja konvergiraju u ovom vrhu.

Naime, o onome što vidite u naslovu. U suštini, ovo je "prostorni analog" problemi nalaženja tangente i normalni na graf funkcije jedne varijable, te stoga ne bi trebalo nastati poteškoće.

Počnimo sa osnovnim pitanjima: ŠTA JE tangentna ravan i ŠTA JE normala? Mnogi su svjesni ovih koncepata na nivou intuicije. Najjednostavniji model koji vam pada na pamet je lopta na kojoj leži tanak ravan karton. Karton se nalazi što bliže sferi i dodiruje je u jednoj tački. Osim toga, na mjestu kontakta, fiksira se iglom koja zabode ravno prema gore.

U teoriji, postoji prilično duhovita definicija tangentne ravni. Zamislite proizvoljno površine i tačka koja joj pripada. Očigledno je da mnogo toga prolazi kroz tačku. prostorne linije koji pripadaju ovoj površini. Ko ima kakve asocijacije? =) …Ja sam lično predstavio hobotnicu. Pretpostavimo da svaka takva linija ima prostorna tangenta u tački .

Definicija 1: tangentna ravan na površinu u tački je avion, koji sadrži tangente na sve krive koje pripadaju datoj površini i prolaze kroz tačku .

Definicija 2: normalno na površinu u tački je ravno prolazeći kroz datu tačku okomito na tangentnu ravan.

Jednostavno i elegantno. Usput, kako ne biste umrli od dosade od jednostavnosti materijala, malo kasnije podijelit ću s vama jednu elegantnu tajnu koja vam omogućava da zaboravite na trpanje raznih definicija JEDNOM ZA SVAKADA.

Direktno ćemo se upoznati sa radnim formulama i algoritmom rješenja konkretan primjer. U velikoj većini problema potrebno je sastaviti i jednadžbu tangentne ravni i jednadžbu normale:

Primjer 1

Rješenje:ako je površina data jednadžbom (tj. implicitno), tada se jednadžba tangentne ravni na datu površinu u nekoj tački može naći po sljedećoj formuli:

Posebnu pažnju obraćam na neobične parcijalne derivate - njihove ne treba zbuniti With parcijalni derivati ​​implicitno definirane funkcije (iako je površina implicitno definirana). Prilikom pronalaženja ovih derivata treba se voditi pravila za diferenciranje funkcije od tri varijable, to jest, kada se diferencira u odnosu na bilo koju varijablu, druga dva slova se smatraju konstantama:

Bez odstupanja od blagajne, nalazimo parcijalni derivat u tački:

Slično:

Ovo je bio najneprijatniji trenutak odluke, u kojem se greška, ako nije dozvoljena, stalno umišlja. Međutim, postoji efikasan prijem test, o kojem sam govorio u lekciji Usmjerena derivacija i gradijent.

Svi "sastojci" su pronađeni, a sada je na pažljivoj zamjeni uz daljnja pojednostavljenja:

– opšta jednačinaželjenu tangentnu ravan.

Toplo preporučujem da provjerite ovu fazu odluke. Prvo morate biti sigurni da koordinate dodirne točke zaista zadovoljavaju pronađenu jednadžbu:

- istinska jednakost.

Sada „skidamo“ koeficijente opšta jednačina ravni i provjerite je li podudarnost ili proporcionalnost s odgovarajućim vrijednostima. AT ovaj slučaj proporcionalan. Kao što se sećate iz kurs analitičke geometrije, - ovo je normalni vektor tangentna ravan, a on - vodeći vektor normalna prava linija. Hajde da komponujemo kanonske jednačine normale po vektoru tačaka i smjera:

U principu, nazivnici se mogu smanjiti za "dvojku", ali nema posebne potrebe za tim.

Odgovori:

Nije zabranjeno jednadžbe označavati nekim slovima, ali opet – zašto? Evo i tako je vrlo jasno šta je šta.

Sljedeća dva primjera za nezavisno rešenje. Mala "matematička okretnica jezika":

Primjer 2

Pronađite jednadžbe tangentne ravni i normale na površinu u tački .

I zadatak zanimljiv sa tehničke tačke gledišta:

Primjer 3

Sastavite jednadžbe tangentne ravni i normale na površinu u jednoj tački

U tački.

Sva je prilika ne samo da se zbunite, već i da se suočite s poteškoćama prilikom pisanja. kanonske jednadžbe prave. A normalne jednačine, kao što ste vjerovatno shvatili, obično se pišu u ovom obliku. Iako je, zbog zaborava ili nepoznavanja nekih nijansi, parametarski oblik više nego prihvatljiv.

Primjeri završnih rješenja na kraju lekcije.

Postoji li tangentna ravan u bilo kojoj tački površine? Generalno, naravno da ne. Klasičan primjer- ovo je konusna površina i tačka - tangente u ovoj tački se direktno formiraju konusna površina, i, naravno, ne leže u istoj ravni. Lako je provjeriti nesklad i analitički: .

Drugi izvor problema je činjenica nepostojanje neki parcijalni izvod u tački. Međutim, to ne znači da ne postoji jedna tangentna ravan u datoj tački.

Ali to je bila više popularna nauka nego praktično značajna informacija, i vraćamo se na hitne stvari:

Kako napisati jednadžbe tangentne ravni i normale u tački,
ako je površina data eksplicitnom funkcijom?

Prepišimo to implicitno:

I po istim principima nalazimo parcijalne izvode:

Tako se formula tangentne ravni pretvara u sljedeću jednačinu:

I shodno tome, kanonske jednačine normalni:

Kao što je lako pogoditi - to je "stvarno" parcijalni derivati ​​funkcije dvije varijable u tački , koju smo označavali slovom "Z" i pronašli 100500 puta.

Imajte na umu da je u ovom članku dovoljno zapamtiti prvu formulu, iz koje je, ako je potrebno, lako izvesti sve ostalo. (naravno, imajući bazni nivo obuka). Ovo je pristup koji treba zauzeti prilikom učenja egzaktne nauke, tj. iz minimuma informacija treba težiti da se „izvuče” maksimum zaključaka i posledica. "Soobrazhalovka" i već postojeće znanje u pomoć! Ovaj princip je također koristan jer će vas vrlo vjerovatno spasiti u kritičnoj situaciji kada znate vrlo malo.

Razradimo "modificirane" formule s nekoliko primjera:

Primjer 4

Sastaviti jednadžbe tangentne ravni i normale na površinu u tački .

Ovdje se ispostavilo malo preklapanje sa simbolima - sada slovo označava tačku ravnine, ali šta možete - tako popularno slovo ....

Rješenje: sastavit ćemo jednadžbu željene tangentne ravni prema formuli:

Izračunajmo vrijednost funkcije u tački:

Compute parcijalni derivati ​​1. reda na ovom mjestu:

Na ovaj način:

pažljivo, ne žuri:

Napišimo kanonske jednadžbe normale u tački:

Odgovori:

I posljednji primjer za "uradi sam" rješenje:

Primjer 5

Sastaviti jednadžbe tangentne ravni i normale na površinu u tački.

Konačna je zato što sam, zapravo, objasnio sve tehničke tačke i nemam šta posebno dodati. Čak su i same funkcije koje se nude u ovom zadatku dosadne i monotone - u praksi ćete gotovo sigurno naići na "polinom", a u tom smislu primjer br. 2 sa eksponentom izgleda kao "crna ovca". Usput, mnogo je vjerovatnije da će se susresti s površinom, dato jednačinom i to je još jedan razlog zašto je funkcija uključena u članak "drugi broj".

I na kraju, obećana tajna: pa kako izbjeći trpanje definicija? (naravno, ne mislim na situaciju kada student grozničavo trpa nešto prije ispita)

Definicija svakog pojma/pojave/predmeta, prije svega, daje odgovor sljedeće pitanje: ŠTA JE TO? (ko / takav / takav / takav). Svesno odgovarajući na ovo pitanje, trebalo bi da pokušate da razmislite značajan znakovi, definitivno identifikovanje ovog ili onog pojma/fenomena/predmeta. Da, isprva se ispostavi da je pomalo neujednačen, netačan i suvišan (nastavnik će ispraviti =)), ali s vremenom se razvija sasvim dostojan naučni govor.

Vježbajte na najapstraktnijim objektima, na primjer, odgovorite na pitanje: ko je Čeburaška? Nije tako jednostavno ;-) Ovo je " lik iz bajke sa velikim ušima, očima i smeđom kosom"? Daleko i jako daleko od definicije - nikad se ne zna da postoje likovi sa takvim karakteristikama.... Ali ovo je mnogo bliže definiciji: „Čeburaška je lik koji je izmislio pisac Eduard Uspenski 1966. godine, koji ... (navodeći glavne obeležja)» . Obratite pažnju na to kako ste dobro započeli

Može se podesiti Različiti putevi(jedna tačka i vektor, dve tačke i vektor, tri tačke itd.). Imajući to na umu jednačina ravni može imati različite vrste. Takođe, pod određenim uslovima, ravni mogu biti paralelne, okomite, ukrštane, itd. O tome ćemo govoriti u ovom članku. Naučit ćemo kako napisati opštu jednačinu ravnine i ne samo.

Normalni oblik jednačine

Recimo da postoji prostor R 3 koji ima pravougaoni koordinatni sistem XYZ. Postavljamo vektor α koji će biti oslobođen iz početne tačke O. Kroz kraj vektora α povlačimo ravan P koja će biti okomita na nju.

Označimo sa P proizvoljnu tačku Q=(x, y, z). Radijus vektor tačke Q označićemo slovom p. Dužina vektora α je p=IαI i Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

to jedinični vektor, koji je usmjeren u stranu, kao vektor α. α, β i γ su uglovi koji se formiraju između vektora Ʋ i pozitivnih pravaca prostornih osa x, y, z, redom. Projekcija neke tačke QϵP na vektor Ʋ je konstantna vrijednost, što je jednako p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Ova jednadžba ima smisla kada je p=0. Jedino što će ravan P u ovom slučaju preseći tačku O (α=0), koja je ishodište, a jedinični vektor Ʋ oslobođen iz tačke O će biti okomit na P, bez obzira na njegov pravac, što znači da je vektor Ʋ određen iz znaka tačno. Prethodna jednačina je jednačina naše P ravni, izražena u vektorskom obliku. Ali u koordinatama to će izgledati ovako:

P je ovdje veće ili jednako 0. Pronašli smo jednačinu ravni u prostoru u njenom normalnom obliku.

Opća jednačina

Ako pomnožimo jednačinu u koordinatama bilo kojim brojem koji nije jednak nuli, dobićemo jednačinu ekvivalentnu datoj, koja određuje tu istu ravan. To će izgledati ovako:

Ovdje su A, B, C brojevi koji su istovremeno različiti od nule. Ova jednačina se naziva opšta ravan jednačina.

Jednačine u ravni. Posebni slučajevi

Jednačina u opšti pogled može se modifikovati pod dodatnim uslovima. Hajde da razmotrimo neke od njih.

Pretpostavimo da je koeficijent A 0. To znači da je data ravan paralelna datoj osi Ox. U ovom slučaju, oblik jednačine će se promijeniti: Vu+Cz+D=0.

Slično, oblik jednačine će se promijeniti pod sljedećim uvjetima:

• Prvo, ako je B = 0, tada će se jednadžba promijeniti u Ax + Cz + D = 0, što će ukazati na paralelizam s Oy osom.
• Drugo, ako je S=0, onda se jednačina transformiše u Ah+Vu+D=0, što će ukazati na paralelizam sa datom osom Oz.
• Treće, ako je D=0, jednačina će izgledati kao Ax+By+Cz=0, što će značiti da ravan seče O (početak).
• Četvrto, ako je A=B=0, tada će se jednačina promijeniti u Cz+D=0, što će se pokazati paralelnim sa Oxy.
• Peto, ako je B=C=0, onda jednačina postaje Ax+D=0, što znači da je ravan na Oyz paralelna.
• Šesto, ako je A=C=0, tada će jednadžba dobiti oblik Vu+D=0, to jest, ona će izvesti paralelizam Oxz.

Tip jednadžbe u segmentima

U slučaju kada su brojevi A, B, C, D različiti od nule, oblik jednačine (0) može biti sljedeći:

x/a + y/b + z/c = 1,

u kojem a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Dobijamo kao rezultat Vrijedi napomenuti da će ova ravnina presjeći os Ox u tački s koordinatama (a,0,0), Oy - (0,b,0) i Oz - (0,0,c) .

Uzimajući u obzir jednačinu x/a + y/b + z/c = 1, lako je vizuelno predstaviti položaj ravni u odnosu na dati koordinatni sistem.

Normalne vektorske koordinate

Vektor normale n na ravan P ima koordinate koje su koeficijenti opšte jednačine date ravni, odnosno n (A, B, C).

Da bi se odredile koordinate normale n, dovoljno je poznavati opštu jednačinu date ravni.

Kada se koristi jednačina u segmentima, koja ima oblik x/a + y/b + z/c = 1, kao i kada se koristi opšta jednačina, mogu se napisati koordinate bilo kog vektora normale date ravni: (1 /a + 1/b + 1/ sa).

Treba napomenuti da normalni vektor pomaže u rješavanju raznih problema. Najčešći su zadaci koji se sastoje u dokazivanju okomitosti ili paralelnosti ravni, zadaci u pronalaženju uglova između ravni ili uglova između ravnina i pravih.

Pogled na jednadžbu ravnine prema koordinatama tačke i vektora normale

Vektor različit od nule n okomit na datu ravan naziva se normalnim (normalnim) za datu ravan.

Pretpostavimo da su u koordinatnom prostoru (pravougaoni koordinatni sistem) Oxyz dati:

• tačka Mₒ sa koordinatama (xₒ,yₒ,zₒ);
• nulti vektor n=A*i+B*j+C*k.

Potrebno je sastaviti jednačinu za ravan koja će prolaziti kroz tačku Mₒ okomito na normalu n.

U prostoru biramo bilo koju proizvoljnu tačku i označavamo je sa M (x y, z). Neka je vektor radijusa bilo koje tačke M (x, y, z) r=x*i+y*j+z*k, a vektor radijusa tačke Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Tačka M pripadaće datoj ravni ako je vektor MₒM okomit na vektor n. Zapisujemo uslov ortogonalnosti koristeći skalarni proizvod:

[MₒM, n] = 0.

Budući da je MₒM = r-rₒ, vektorska jednačina ravnine će izgledati ovako:

Ova jednačina može poprimiti drugi oblik. Za to se koriste svojstva skalarnog proizvoda i lijevoj strani jednačine. = - . Ako se označi kao c, tada će se dobiti sljedeća jednadžba: - c = 0 ili \u003d c, koja izražava konstantnost projekcija na normalni vektor vektora radijusa datih tačaka koje pripadaju ravni.

Sada možete dobiti koordinatni pogled unosi vektorske jednačine naše ravni = 0. Pošto je r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, i n = A*i+B*j +C* k, imamo:

Ispada da imamo jednadžbu za ravan koja prolazi kroz tačku okomitu na normalu n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Pogled na jednadžbu ravnine prema koordinatama dvije tačke i vektora kolinearnog ravni

Definiramo dvije proizvoljne tačke M′ (x′,y′,z′) i M″ (x″,y″,z″), kao i vektor a (a′,a″,a‴).

Sada možemo sastaviti jednačinu za datu ravan, koja će prolaziti kroz dostupne tačke M′ i M ″, kao i bilo koju tačku M sa koordinatama (x, y, z) paralelno dati vektor a.

U ovom slučaju, vektori M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) i M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) moraju biti komplanarni sa vektorom a=(a′,a″,a‴), što znači da je (M′M, M″M, a)=0.

Dakle, naša jednačina ravnine u prostoru će izgledati ovako:

Vrsta jednačine ravnine koja seče tri tačke

Pretpostavimo da imamo tri tačke: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), koje ne pripadaju istoj pravoj liniji. Potrebno je napisati jednačinu ravni koja prolazi kroz date tri tačke. Teorija geometrije tvrdi da ova vrsta ravni zaista postoji, samo što je jedina i neponovljiva. Pošto ova ravan siječe tačku (x′, y′, z′), oblik njene jednadžbe će biti sljedeći:

Ovdje se A, B, C razlikuju od nule u isto vrijeme. Takođe, data ravan seče još dve tačke: (x″,y″,z″) i (x‴,y‴,z‴). U tom smislu moraju biti ispunjeni sljedeći uslovi:

Sada možemo da komponujemo homogeni sistem sa nepoznatim u, v, w:

U našem slučaj x,y ili z stoji proizvoljna tačka, što zadovoljava jednačinu (1). Uzimajući u obzir jednačinu (1) i sistem jednačina (2) i (3), sistem jednačina prikazan na gornjoj slici zadovoljava vektor N (A, B, C), koji nije trivijalan. Zbog toga je determinanta ovog sistema jednaka nuli.

Jednačina (1) koju smo dobili je jednačina ravnine. Prolazi tačno kroz 3 tačke i to je lako provjeriti. Da bismo to učinili, moramo proširiti našu determinantu na elemente u prvom redu. Iz postojećih svojstava determinante proizilazi da naša ravan istovremeno siječe tri početno date tačke (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Odnosno, riješili smo zadatak koji je pred nama.

Diedarski ugao između ravnina

Diedarski ugao je prostorni geometrijska figura, formiran od dvije poluravnine koje izlaze iz jedne prave linije. Drugim riječima, ovo je dio prostora koji je ograničen ovim poluravnima.

Recimo da imamo dvije ravni sa sljedećim jednadžbama:

Znamo da su vektori N=(A,B,C) i N¹=(A¹,B¹,C¹) okomiti prema dati avioni. U tom smislu, ugao φ između vektora N i N¹ jednak je uglu (diedralu), koji se nalazi između ovih ravni. Skalarni proizvod izgleda kao:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

upravo zato

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Dovoljno je uzeti u obzir da je 0≤φ≤π.

Zapravo, dvije ravni koje se seku formiraju dva (diedralna) ugla: φ 1 i φ 2 . Njihov zbir je jednak π (φ 1 + φ 2 = π). Što se tiče njihovih kosinusa, njihove apsolutne vrijednosti su jednake, ali se razlikuju po predznacima, odnosno cos φ 1 =-cos φ 2. Ako u jednadžbi (0) zamijenimo A, B i C brojevima -A, -B i -C, redom, tada će jednačina koju dobijemo odrediti istu ravan, jedini ugao φ u cos jednadžbaφ= NN 1 /|N||N 1 | će biti zamijenjen sa π-φ.

Jednačina okomite ravni

Ravnine se nazivaju okomite ako je ugao između njih 90 stepeni. Koristeći gore opisani materijal, možemo pronaći jednadžbu ravnine koja je okomita na drugu. Recimo da imamo dvije ravni: Ax+By+Cz+D=0 i A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Možemo reći da će oni biti okomiti ako je cosφ=0. To znači da je NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Jednačina paralelne ravni

Paralelne su dvije ravni koje ne sadrže zajedničke tačke.

Uslov (njihove jednačine su iste kao u prethodnom paragrafu) je da su vektori N i N¹, koji su okomiti na njih, kolinearni. A to znači da je sledećim uslovima proporcionalnost:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Ako su uslovi proporcionalnosti prošireni - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

ovo ukazuje da se ove ravni poklapaju. To znači da jednačine Ax+By+Cz+D=0 i A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 opisuju jednu ravan.

Udaljenost do ravnine od tačke

Recimo da imamo ravan P, koja je data jednačinom (0). Potrebno je pronaći udaljenost do nje od tačke sa koordinatama (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Da biste to učinili, trebate dovesti jednadžbu ravnine P u normalan oblik:

(ρ,v)=p (p≥0).

U ovom slučaju, ρ(x,y,z) je vektor radijusa naše tačke Q koja se nalazi na P, p je dužina okomice na P koja je oslobođena od nulte tačke, v je jedinični vektor koji se nalazi u the a direction.

Razlika ρ-ρº radijus vektora neke tačke Q=(x,y,z) koja pripada P, kao i vektor radijusa date tačke Q 0 =(xₒ,yₒ,zₒ) je takav vektor, apsolutna vrijednostčija je projekcija na v jednaka udaljenosti d, koja se mora naći od Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) do P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ali

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =r-(ρ 0 ,v).

Tako se ispostavilo

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Tako ćemo naći apsolutna vrijednost rezultirajući izraz, odnosno traženi d.

Koristeći jezik parametara, dobijamo očigledno:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Ako a dati poen Q 0 je na drugoj strani P ravni, kao i ishodište, tada je između vektora ρ-ρ 0 i v prema tome:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

U slučaju kada se tačka Q 0, zajedno sa ishodištem, nalazi na istoj strani od P, tada je stvoreni ugao oštar, odnosno:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Kao rezultat toga, ispada da je u prvom slučaju (ρ 0 ,v)> r, u drugom (ρ 0 ,v)<р.

Tangentna ravan i njena jednadžba

Tangentna ravan na površinu u tački kontakta Mº je ravan koja sadrži sve moguće tangente na krivulje povučene kroz ovu tačku na površini.

S ovim oblikom jednadžbe površine F (x, y, z) = 0, jednadžba tangentne ravnine u tački tangente Mº (xº, yº, zº) izgledat će ovako:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Ako zadate površinu u eksplicitnom obliku z=f (x, y), tada će tangentna ravan biti opisana jednadžbom:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Presjek dvije ravni

U koordinatnom sistemu (pravougaonom) nalazi se Oxyz, date su dve ravni P′ i P″ koje se seku i ne poklapaju. Pošto je bilo koja ravan koja se nalazi u pravougaonom koordinatnom sistemu određena opštom jednačinom, pretpostavićemo da su P′ i P″ date jednačinama A′x+B′y+C′z+D′=0 i A″x +B″y+ S″z+D″=0. U ovom slučaju imamo normalu n′ (A′, B′, C′) P′ ravni i normalu n″ (A″, B″, C″) P″ ravni. Pošto naše ravni nisu paralelne i ne poklapaju se, ovi vektori nisu kolinearni. Koristeći jezik matematike, ovaj uslov možemo napisati na sljedeći način: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Neka prava koja leži na presjeku P′ i P″ bude označena slovom a, u ovom slučaju a = P′ ∩ P″.

a je prava linija koja se sastoji od skupa svih tačaka (zajedničkih) ravni P′ i P″. To znači da koordinate bilo koje tačke koja pripada pravoj a moraju istovremeno zadovoljiti jednačine A′x+B′y+C′z+D′=0 i A″x+B″y+C″z+D″= 0. To znači da će koordinate tačke biti posebno rješenje sljedećeg sistema jednačina:

Kao rezultat toga, ispada da će (opće) rješenje ovog sistema jednadžbi odrediti koordinate svake od tačaka prave, koja će djelovati kao presječna tačka P′ i P″, i odrediti pravu prava a u koordinatnom sistemu Oxyz (pravougaona) u prostoru.

Šta je normalno? Jednostavno rečeno, normala je okomita. To jest, vektor normale prave je okomit na datu pravu. Očigledno je da svaka prava linija ima beskonačan broj njih (kao i usmjeravajućih vektora), a svi normalni vektori prave će biti kolinearni (kosmjerni ili ne - nije bitno).

Suočavanje s njima bit će još lakše nego s vektorima smjera:

Ako je prava linija data opštom jednačinom u pravougaonom koordinatnom sistemu, tada je vektor normalni vektor ove prave.

Ako se koordinate vektora smjera moraju pažljivo „izvući“ iz jednačine, tada se koordinate vektora normale jednostavno „uklanjaju“.

Vektor normale je uvijek ortogonan na vektor smjera linije. Uvjerimo se da su ovi vektori ortogonalni koristeći skalarni proizvod:

Navest ću primjere sa istim jednadžbama kao i za vektor smjera:

Da li je moguće napisati jednačinu prave, znajući jednu tačku i normalan vektor? Ako je normalni vektor poznat, tada je i pravac najravnije linije jedinstveno određen - ovo je "kruta struktura" s uglom od 90 stepeni.

Kako napisati jednačinu prave linije date tačku i vektor normale?

Ako je poznata neka tačka koja pripada pravoj i vektor normale ove prave, tada se jednačina ove prave izražava formulom:

Sastavite jednadžbu prave linije kojoj je data tačka i vektor normale. Pronađite vektor smjera prave linije.

Rješenje: Koristite formulu:

Dobija se opšta jednačina prave linije, hajde da proverimo:

1) "Uklonite" koordinate vektora normale iz jednačine: - da, zaista, originalni vektor se dobija iz uslova (ili vektor treba da bude kolinearan originalnom vektoru).

2) Provjerite da li tačka zadovoljava jednačinu:

Istinska jednakost.

Nakon što se uvjerimo da je jednadžba tačna, završit ćemo drugi, lakši dio zadatka. Izvlačimo vektor smjera prave linije:

odgovor:

Na crtežu je situacija sljedeća:

Za potrebe obuke sličan zadatak za samostalno rješenje:

Sastavite jednadžbu prave linije kojoj je data tačka i vektor normale. Pronađite vektor smjera prave linije.

Završni dio lekcije bit će posvećen manje uobičajenim, ali i važnim vrstama jednadžbi prave u ravnini

Jednačina prave linije u segmentima.
Jednačina prave linije u parametarskom obliku

Jednačina prave linije u segmentima ima oblik , gdje su konstante različite od nule. Neke vrste jednadžbi se ne mogu predstaviti u ovom obliku, na primjer, direktna proporcionalnost (pošto je slobodni član nula i ne postoji način da se dobije jedan na desnoj strani).

Ovo je, slikovito rečeno, "tehnička" jednačina. Uobičajeni zadatak je da se opšta jednačina prave predstavi kao jednačina prave u segmentima. Zašto je to zgodno? Jednadžba prave linije u segmentima omogućava brzo pronalaženje tačaka presjeka prave linije s koordinatnim osama, što je vrlo važno u nekim problemima više matematike.

Pronađite tačku preseka prave sa osom. Resetujemo „y“, a jednačina dobija oblik . Željena tačka se dobija automatski: .

Isto i sa osovinom je tačka u kojoj prava seče y-osu.

Radnje koje sam upravo detaljno objasnio izvode se usmeno.

Zadata ravna linija. Sastaviti jednačinu prave u segmentima i odrediti tačke preseka grafika sa koordinatnim osa.

Rješenje: Dovedemo jednačinu u oblik . Prvo, pomeramo slobodni termin na desnu stranu:

Da bismo dobili jedinicu na desnoj strani, svaki član jednačine podijelimo sa -11:

Razlomke pravimo trospratne:

Točke presjeka prave linije s koordinatnim osama su izronjene:

odgovor:

Ostaje pričvrstiti ravnalo i nacrtati ravnu liniju.

Lako je vidjeti da je ova prava linija jedinstveno određena crvenim i zelenim segmentima, pa otuda i naziv - "jednačina prave linije u segmentima".

Naravno, tačke nije tako teško pronaći iz jednačine, ali problem je ipak koristan. Razmatrani algoritam će biti neophodan za pronalaženje tačaka preseka ravnine sa koordinatnim osama, za dovođenje jednačine pravog drugog reda u kanonski oblik i u nekim drugim problemima. Stoga, nekoliko pravih linija za nezavisno rješenje:

Sastaviti jednačinu prave u segmentima i odrediti tačke njenog preseka sa koordinatnim osa.

Rešenja i odgovori na kraju. Ne zaboravite da ako želite, možete nacrtati sve.

Kako napisati parametarske jednačine za pravu liniju?

Parametarske jednačine prave su relevantnije za prave u prostoru, ali bez njih će naš apstrakt ostati bez roditelja.

Ako je poznata neka tačka koja pripada pravoj i vektor pravca ove prave, tada su parametarske jednačine ove prave date sistemom:

Sastaviti parametarske jednadžbe prave linije po tački i vektora smjera

Rješenje je završilo prije nego što je moglo početi:

Parametar "te" može uzeti bilo koju vrijednost od "minus beskonačnost" do "plus beskonačnost", a svaka vrijednost parametra odgovara određenoj tački ravni. Na primjer, ako , onda dobivamo poen .

Inverzni problem: kako provjeriti da li tačka uvjeta pripada datoj liniji?

Zamenimo koordinate tačke u dobijene parametarske jednadžbe:

Iz obje jednačine slijedi da je , odnosno sistem je konzistentan i ima jedinstveno rješenje.

Razmotrimo značajnije zadatke:

Sastaviti parametarske jednačine prave linije

Rješenje: Po uslovu, prava je data u opštem obliku. Da biste sastavili parametarske jednačine prave, morate znati njen usmjeravajući vektor i neku tačku koja pripada ovoj pravoj liniji.

Nađimo vektor smjera:

Sada morate pronaći neku tačku koja pripada pravoj (bilo koja će učiniti), u tu svrhu je zgodno prepisati opću jednadžbu u obliku jednadžbe s nagibom:

Postavlja, naravno, poentu

Sastavljamo parametarske jednadžbe prave linije:

I na kraju, mali kreativni zadatak za samostalno rješenje.

Sastaviti parametarske jednačine prave ako su poznata tačka koja joj pripada i vektor normale

Zadatak se može obaviti na više načina. Jedna od verzija rješenja i odgovor na kraju.

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Rješenje: Pronađite nagib:

Sastavljamo jednačinu prave linije po tački i nagibu:

odgovor:

Primjer 4: Rješenje: Sastavićemo jednačinu prave linije prema formuli:

odgovor:

Primjer 6: Rješenje: Koristite formulu:

Odgovori: (y-osa)

Primjer 8: Rješenje: Napravimo jednačinu prave na dvije tačke:

Pomnožite obje strane sa -4:

I podijeli sa 5:

Odgovori:

Primjer 10: Rješenje: Koristite formulu:

Smanjujemo za -2:

Vektor smjera direktno:
Odgovori:

Primjer 12:
a) Rješenje: Hajde da transformišemo jednačinu:

Na ovaj način:

Odgovori:

b) Rješenje: Hajde da transformišemo jednačinu:

Na ovaj način:

Odgovori:

Primjer 15: Rješenje: Prvo, napišemo opštu jednačinu prave linije date tački i normalni vektor :

Pomnožite sa 12:

Pomnožimo sa još 2 tako da se nakon otvaranja druge zagrade riješite razlomka:

Vektor smjera direktno:
Sastavljamo parametarske jednačine prave po tački i vektor smjera :
Odgovori:

Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni.
Međusobni raspored linija. Ugao između linija

Nastavljamo da razmatramo ove beskonačno-beskonačne linije.

Kako pronaći udaljenost od tačke do prave?
Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne prave?
Kako pronaći ugao između dvije prave?

Međusobni raspored dvije prave linije

Razmotrimo dvije prave date jednadžbama u opštem obliku:

Slučaj kada sala peva u horu. Dvije linije mogu:

1) podudaranje;

2) biti paralelan: ;

3) ili se seku u jednoj tački: .

Molimo zapamtite matematički znak raskrsnice, to će se javljati vrlo često. Unos znači da se prava siječe s pravom u tački.

Kako odrediti relativni položaj dvije linije?

Počnimo s prvim slučajem:

Dvije prave se poklapaju ako i samo ako su njihovi odgovarajući koeficijenti proporcionalni, to jest, postoji toliki broj "lambda" da vrijede jednakosti

Razmotrimo prave i sastavimo tri jednačine od odgovarajućih koeficijenata: . Iz svake jednačine slijedi da se, dakle, ove linije poklapaju.

Zaista, ako su svi koeficijenti jednadžbe pomnožite sa -1 (promijenite predznake) i sve koeficijente jednačine smanjite za 2, dobit ćete istu jednačinu: .

Drugi slučaj kada su prave paralelne:

Dvije prave su paralelne ako i samo ako su njihovi koeficijenti na varijablama proporcionalni: , ali .

Kao primjer, razmotrite dvije ravne linije. Provjeravamo proporcionalnost odgovarajućih koeficijenata za varijable:

Međutim, jasno je da .

I treći slučaj, kada se prave sijeku:

Dvije prave se sijeku ako i samo ako njihovi koeficijenti na varijablama NISU proporcionalni, odnosno NE postoji takva vrijednost "lambda" da su jednakosti ispunjene

Dakle, za prave linije sastavit ćemo sistem:

Iz prve jednačine slijedi , a iz druge jednačine: , što znači da je sistem nekonzistentan (nema rješenja). Dakle, koeficijenti na varijablama nisu proporcionalni.

Zaključak: prave se sijeku

U praktičnim problemima može se koristiti upravo razmatrana šema rješenja. Inače, vrlo je sličan algoritmu za provjeru kolinearnosti vektora. Ali postoji civilizovaniji paket:

Saznajte relativni položaj linija:

Rješenje se zasniva na proučavanju usmjeravajućih vektora pravih linija:

a) Iz jednačina nalazimo vektore pravca linija: .

, tako da vektori nisu kolinearni i prave se sijeku.

b) Pronađite vektore pravca pravih:

Prave imaju isti vektor smjera, što znači da su ili paralelne ili iste. Ovdje determinanta nije potrebna.

Očigledno, koeficijenti nepoznanica su proporcionalni, dok .

Hajde da saznamo da li je jednakost tačna:

Na ovaj način,

c) Pronađite vektore pravca pravih:

Izračunajmo determinantu, sastavljenu od koordinata ovih vektora:
, dakle, vektori smjera su kolinearni. Prave su ili paralelne ili se poklapaju.

Koeficijent proporcionalnosti "lambda" može se naći direktno omjerom kolinearnih vektora smjera. Međutim, moguće je i kroz koeficijente samih jednačina: .

Sada hajde da saznamo da li je ta jednakost tačna. Oba slobodna člana su nula, dakle:

Rezultirajuća vrijednost zadovoljava ovu jednačinu (bilo koji broj je općenito zadovoljava).

Dakle, linije se poklapaju.

Kako nacrtati pravu paralelnu sa datom?

Prava linija je data jednadžbom . Napišite jednačinu za paralelnu pravu koja prolazi kroz tačku.

Rješenje: Označite nepoznatu pravu liniju slovom . Šta stanje govori o tome? Prava prolazi kroz tačku. A ako su prave paralelne, onda je očito da je usmjeravajući vektor prave "ce" također pogodan za konstruiranje prave "te".

Vektor smjera izvlačimo iz jednačine:

Geometrija primjera izgleda jednostavno:

Analitička verifikacija se sastoji od sledećih koraka:

1) Provjeravamo da li prave imaju isti vektor smjera (ako jednačina prave nije pravilno pojednostavljena, vektori će biti kolinearni).

2) Provjerite da li tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu.

Analitičku provjeru u većini slučajeva je lako izvesti usmeno. Pogledajte te dvije jednačine i mnogi od vas će brzo shvatiti kako su linije paralelne bez ikakvog crteža.

Primjeri za samostalno rješavanje danas će biti kreativni.

Napišite jednadžbu za pravu koja prolazi kroz tačku paralelnu s pravom if

Najkraći put je na kraju.

Kako pronaći tačku preseka dve prave?

Ako je ravno seku u tački , tada su njene koordinate rješenje sistema linearnih jednačina

Kako pronaći tačku preseka linija? Riješite sistem.

Toliko o geometrijskom značenju sistema dviju linearnih jednačina sa dvije nepoznanice - to su dvije (najčešće) prave linije na ravni koje se seku.

Pronađite tačku preseka pravih

Rješenje: Postoje dva načina rješavanja – grafički i analitički.

Grafički način je da jednostavno nacrtate date linije i saznate tačku presjeka direktno sa crteža:

Evo naše poente: . Da biste provjerili, trebali biste zamijeniti njegove koordinate u svaku jednadžbu prave linije, one bi trebale stati i tamo i tamo. Drugim riječima, koordinate tačke su rješenje sistema . U stvari, razmatrali smo grafičku metodu za rješavanje sistema linearnih jednačina sa dvije jednačine, dvije nepoznate.

Grafička metoda, naravno, nije loša, ali ima vidljivih nedostataka. Ne, nije poenta u tome da se sedmaci odlučuju na ovaj način, stvar je u tome da će trebati vremena da se napravi ispravan i TAČAN crtež. Osim toga, neke linije nije tako lako konstruirati, a sama tačka presjeka može biti negdje u tridesetom kraljevstvu izvan lista sveske.

Stoga je svrsishodnije tražiti točku presjeka analitičkom metodom. Rešimo sistem:

Za rješavanje sistema korištena je metoda terminskog sabiranja jednačina.

Provera je trivijalna - koordinate tačke preseka moraju da zadovolje svaku jednačinu sistema.

Pronađite točku sjecišta pravih ako se sijeku.

Ovo je "uradi sam" primjer. Pogodno je podijeliti problem u nekoliko faza. Analiza stanja sugerira da je potrebno:
1) Napišite jednačinu prave linije.
2) Napišite jednačinu prave linije.
3) Saznajte relativni položaj linija.
4) Ako se prave seku, onda pronađite tačku preseka.

Razvoj akcionog algoritma tipičan je za mnoge geometrijske probleme, a ja ću se više puta fokusirati na to.

Kompletno rješenje i odgovor na kraju:

Okomite linije. Udaljenost od tačke do prave.
Ugao između linija

Kako nacrtati pravu okomitu na datu?

Prava linija je data jednadžbom . Napišite jednačinu za okomitu pravu koja prolazi kroz tačku.

Rješenje: Poznato je po pretpostavci da . Bilo bi lijepo pronaći vektor smjera prave linije. Pošto su linije okomite, trik je jednostavan:

Iz jednačine „uklanjamo“ vektor normale: , koji će biti usmjeravajući vektor prave linije.

Sastavljamo jednačinu prave linije po tački i usmjeravajući vektor:

odgovor:

Hajde da otvorimo geometrijsku skicu:

Analitička verifikacija rješenja:

1) Izdvojite vektore smjera iz jednačina i koristeći skalarni proizvod vektora, zaključujemo da su linije zaista okomite: .

Usput, možete koristiti normalne vektore, još je lakše.

2) Provjerite da li tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu .

Provjeru je, opet, lako izvesti usmeno.

Pronađite točku presjeka okomitih linija, ako je jednadžba poznata i tačka.

Ovo je "uradi sam" primjer. U zadatku postoji nekoliko radnji, pa je zgodno rasporediti rješenje tačku po tačku.

Udaljenost od tačke do linije

Udaljenost u geometriji tradicionalno se označava grčkim slovom "p", na primjer: - udaljenost od tačke "m" do prave linije "d".

Udaljenost od tačke do linije izražava se formulom

Pronađite udaljenost od tačke do prave

Rješenje: sve što trebate učiniti je pažljivo ubaciti brojeve u formulu i izvršiti izračune:

odgovor:

Izradimo crtež:

Udaljenost pronađena od tačke do prave je tačno dužina crvenog segmenta. Ako napravite crtež na kariranom papiru u mjerilu od 1 jedinice. \u003d 1 cm (2 ćelije), tada se udaljenost može izmjeriti običnim ravnalom.

Razmotrite još jedan zadatak prema istom crtežu:

Kako konstruisati tačku simetričnu u odnosu na pravu liniju?

Zadatak je pronaći koordinate tačke , koja je simetrična tački u odnosu na pravu . Predlažem da sami izvršite radnje, međutim, iznijet ću algoritam rješenja sa srednjim rezultatima:

1) Pronađite pravu koja je okomita na pravu.

2) Pronađite tačku preseka pravih: .

U geometriji, ugao između dve prave se uzima kao MANJI ugao, iz čega automatski sledi da ne može biti tup. Na slici se ugao označen crvenim lukom ne smatra uglom između linija koje se seku. A takvim se smatra njegov „zeleni“ susjed ili suprotno orijentirani „malinasti“ kutak.

Ako su linije okomite, tada se za ugao između njih može uzeti bilo koji od 4 ugla.

Kako se uglovi razlikuju? Orijentacija. Prvo, smjer "pomicanja" ugla je fundamentalno važan. Drugo, negativno orijentirani kut piše se sa znakom minus, na primjer, ako .

Zašto sam ovo rekao? Čini se da možete proći sa uobičajenim konceptom ugla. Činjenica je da se u formulama po kojima ćemo pronaći kutove lako može dobiti negativan rezultat, a to vas ne bi trebalo iznenaditi. Ugao sa predznakom minus nije ništa lošiji i ima vrlo specifično geometrijsko značenje. Na crtežu za negativan ugao, neophodno je strelicom označiti njegovu orijentaciju (u smjeru kazaljke na satu).

Na osnovu gore navedenog, rješenje je prikladno formalizirano u dva koraka:

1) Izračunajte skalarni proizvod usmjeravajućih vektora pravih linija:
tako da linije nisu okomite.

2) Nalazimo ugao između linija po formuli:

Koristeći inverznu funkciju, lako je pronaći sam ugao. U ovom slučaju koristimo neparnost tangente luka:

odgovor:

U odgovoru navodimo tačnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti iu stepenima i radijanima), izračunatu pomoću kalkulatora.

Pa, minus, pa minus, u redu je. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće da se ugao pokazao negativno orijentisan, jer je u uslovu zadatka prvi broj prava linija i „uvijanje“ ugla je počelo upravo od nje.

Postoji i treće rješenje. Ideja je izračunati ugao između vektora smjera linija:

Ovdje ne govorimo o orijentiranom kutu, već „samo o kutu“, odnosno rezultat će sigurno biti pozitivan. Kvaka je u tome što možete dobiti tup ugao (ne onaj koji vam treba). U ovom slučaju, morat ćete rezervirati da je ugao između linija manji ugao i oduzeti rezultirajući arc kosinus od "pi" radijana (180 stupnjeva).

Pronađite ugao između linija.

Ovo je "uradi sam" primjer. Pokušajte to riješiti na dva načina.

Rješenja i odgovori:

Primjer 3: Rješenje: Pronađite vektor smjera prave linije:

Sastavit ćemo jednadžbu željene prave linije koristeći vektor tačke i smjera

Napomena: ovdje se prva jednačina sistema množi sa 5, a zatim se 2. oduzima član po član od 1. jednačine.
odgovor:

Da bi se proučavale jednačine prave, potrebno je dobro razumjeti algebru vektora. Važno je pronaći vektor pravca i vektor normale linije. Ovaj članak će razmotriti vektor normale prave linije s primjerima i crtežima, pronalaženje njegovih koordinata ako su poznate jednadžbe pravih linija. Detaljno rješenje će se razmotriti.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Da biste materijal lakše probavili, morate razumjeti koncepte linije, ravni i definicija koje su povezane s vektorima. Prvo, hajde da se upoznamo sa konceptom pravolinijskog vektora.

Definicija 1

Vektor normalne linije naziva se svaki vektor različit od nule koji leži na bilo kojoj pravoj okomitoj na datu jedinicu.

Jasno je da postoji beskonačan skup normalnih vektora koji se nalaze na datoj liniji. Razmotrite sliku ispod.

Dobijamo da je prava okomita na jednu od dvije date paralelne prave, a zatim se njena okomitost proteže na drugu paralelnu pravu. Odatle dobijamo da se skupovi vektora normale ovih paralelnih pravih poklapaju. Kada su prave a i a 1 paralelne, a n → se smatra normalnim vektorom prave a, takođe se smatra normalnim vektorom za pravu a 1 . Kada prava a ima direktan vektor, tada je vektor t · n → različit od nule za bilo koju vrijednost parametra t, a također je normalan za pravu a.

Koristeći definiciju vektora normale i vektora smjera, može se zaključiti da je vektor normale okomit na smjer. Razmotrimo primjer.

Ako je data ravan O x y, tada je skup vektora za O x koordinatni vektor j → . Smatra se različitim od nule i pripada koordinatnoj osi O y, okomitoj na O x. Čitav skup normalnih vektora u odnosu na O x može se napisati kao t · j → , t ∈ R , t ≠ 0 .

Pravougaoni sistem O x y z ima vektor normale i → povezan sa pravom O z . Vektor j → se također smatra normalnim. Ovo pokazuje da se svaki vektor različit od nule koji se nalazi u bilo kojoj ravni i okomit na O z smatra normalnim za O z .

Koordinate vektora normale prave - pronalaženje koordinata vektora normale prave iz poznatih jednačina prave

Kada se razmatra pravougaoni koordinatni sistem O x y, nalazimo da mu odgovara jednačina prave linije na ravni, a određivanje vektora normale vrši se po koordinatama. Ako je jednadžba prave linije poznata, ali je potrebno pronaći koordinate vektora normale, tada je potrebno identificirati koeficijente iz jednačine A x + B y + C = 0, koji odgovaraju koordinatama vektor normale date prave linije.

Primjer 1

Zadana je ravna linija oblika 2 x + 7 y - 4 = 0 _, pronađite koordinate vektora normale.

Rješenje

Pod uslovom imamo da je prava linija data opštom jednačinom, što znači da je potrebno ispisati koeficijente koji su koordinate vektora normale. Dakle, koordinate vektora imaju vrijednost 2 , 7 .

odgovor: 2 , 7 .

Postoje slučajevi kada je A ili B iz jednačine nula. Razmotrimo rješenje takvog zadatka na primjeru.

Primjer 2

Odredite vektor normale za datu pravu y-3 = 0.

Rješenje

Pod uslovom nam je data opšta jednačina prave linije, što znači da je zapisujemo na ovaj način 0 · x + 1 · y - 3 = 0. Sada možemo jasno vidjeti koeficijente, koji su koordinate vektora normale. Dakle, dobijamo da su koordinate vektora normale 0 , 1 .

Odgovor: 0 , 1 .

Ako je jednadžba data u segmentima oblika x a + y b = 1 ili jednadžba s nagibom y = k x + b, tada je potrebno svesti na opću jednadžbu prave linije, gdje možete pronaći koordinate vektora normale ove prave linije.

Primjer 3

Pronađite koordinate vektora normale ako je data jednadžba prave linije x 1 3 - y = 1.

Rješenje

Prvo morate prijeći od jednadžbe u intervalima x 1 3 - y = 1 na opštu jednačinu. Tada dobijamo da je x 1 3 - y = 1 ⇔ 3 x - 1 y - 1 = 0 .

Ovo pokazuje da koordinate vektora normale imaju vrijednost 3,-1.

odgovor: 3 , - 1 .

Ako je prava definisana kanonskom jednadžbom prave na ravni x - x 1 a x = y - y 1 a y ili parametarskom x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , tada dobijanje koordinata postaje komplikovanije. Prema ovim jednačinama, može se vidjeti da će koordinate vektora smjera biti a → = (a x , a y) . Mogućnost pronalaženja koordinata vektora normale n → moguća je zbog uslova da su vektori n → i a → okomiti.

Moguće je dobiti koordinate normalnog vektora svođenjem kanonskih ili parametarskih jednačina prave linije na opštu. tada dobijamo:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ a y x - a x y + a x y 1 - a y x 1 x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y x - a x y + a x y 1 - a y x 1 = 0

Za rješenje možete odabrati bilo koju pogodnu metodu.

Primjer 4

Pronađite vektor normale date prave x - 2 7 = y + 3 - 2 .

Rješenje

Iz prave linije x - 2 7 = y + 3 - 2 jasno je da će vektor smjera imati koordinate a → = (7 , - 2) . Vektor normale n → = (n x , n y) date prave je okomit na a → = (7 , - 2) .

Hajde da saznamo čemu je jednak skalarni proizvod. Da bismo pronašli skalarni proizvod vektora a → = (7 , - 2) i n → = (n x , n y) pišemo a → , n → = 7 · n x - 2 · n y = 0 .

Vrijednost n x je proizvoljna, trebali biste pronaći n y . Ako je n x = 1, onda dobijamo da je 7 · 1 - 2 · n y = 0 ⇔ n y = 7 2 .

Dakle, vektor normale ima koordinate 1 , 7 2 .

Drugi način rješavanja svodi se na to da je potrebno doći do opšteg oblika jednačine od kanonskog. Za ovo se transformišemo

x - 2 7 = y + 3 - 2 ⇔ 7 (y + 3) = - 2 (x - 2) ⇔ 2 x + 7 y - 4 + 7 3 = 0

Rezultat normalnih vektorskih koordinata je 2, 7.

Odgovor: 2, 7 ili 1 , 7 2 .

Primjer 5

Odredite koordinate vektora normale prave x = 1 y = 2 - 3 · λ .

Rješenje

Prvo morate izvršiti transformaciju da biste prešli na opći oblik prave linije. hajde da uradimo:

x = 1 y = 2 - 3 λ ⇔ x = 1 + 0 λ y = 2 - 3 λ ⇔ λ = x - 1 0 λ = y - 2 - 3 ⇔ x - 1 0 = y - 2 - 3 ⇔ ⇔ - 3 (x - 1) = 0 (y - 2) ⇔ - 3 x + 0 y + 3 = 0

Ovo pokazuje da su koordinate vektora normale - 3 , 0 .

odgovor: - 3 , 0 .

Razmotrimo načine za pronalaženje koordinata vektora normale u jednadžbi ravne linije u prostoru, date pravokutnim koordinatnim sistemom O x y z.

Kada je prava data jednadžbama ravnina koje se sijeku A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , tada je vektor normale od ravan se odnosi na A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, tada dobijamo vektore u obliku n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) i n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) .

Kada je prava definisana pomoću kanonske jednadžbe prostora, koja ima oblik x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ili parametarsku, koja ima oblik x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z · λ , pa se a x , a y i a z smatraju koordinatama vektora pravca date prave linije. Svaki vektor različit od nule može biti normalan za datu pravu, i biti okomit na vektor a → = (a x , a y , a z) . Slijedi da se pronalaženje koordinata normale sa parametarskim i kanonskim jednačinama vrši pomoću koordinata vektora, koji je okomit na dati vektor a → = (a x, a y, a z) .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter