Kada su vektori jednaki? Vektori Vektori Istorijska referenca Koncept vektora Jednakost vektora Odlaganje vektora iz date tačke Zbir dva vektora Zakoni sabiranja Oduzimanje

Stranica 1 od 2

Pitanje 1.Šta je vektor? Kako se definišu vektori?
Odgovori. Usmjereni segment ćemo nazvati vektorom (slika 211). Smjer vektora se određuje specificiranjem njegovog početka i kraja. Na crtežu je smjer vektora označen strelicom. Za označavanje vektora koristit ćemo mala latinična slova a, b, c, ... . Vektor možete odrediti i tako što ćete odrediti njegov početak i kraj. U ovom slučaju, početak vektora se stavlja na prvo mjesto. Umjesto riječi "vektor", ponekad se iznad slovne oznake vektora stavlja strelica ili crtica. Vektor na slici 211 može se označiti na sljedeći način:

\(\overline(a)\), \(\overrightarrow(a)\) ili \(\overline(AB)\), \(\overrightarrow(AB)\).

Pitanje 2. Koji se vektori nazivaju jednako usmjereni (suprotno usmjereni)?
Odgovori. Vektori \(\overline(AB)\) i \(\overline(CD)\) su jednako usmjereni ako su poluprave AB i CD jednako usmjerene.
Vektori \(\overline(AB)\) i \(\overline(CD)\) nazivaju se suprotno usmjereni ako su poluprave AB i CD suprotno usmjerene.
Na slici 212, vektori \(\overline(a)\) i \(\overline(b)\) imaju isti smjer, dok vektori \(\overline(a)\) i \(\overline(c) \) imaju suprotne smjerove.

Pitanje 3.Šta apsolutna vrijednost vektor?
Odgovori. Apsolutna vrijednost (ili modul) vektora je dužina segmenta koji predstavlja vektor. Apsolutna vrijednost vektora \(\overline(a)\) je označena sa |\(\overline(a)\)|.

Pitanje 4.Šta je nulti vektor?
Odgovori. Početak vektora može se podudarati s njegovim krajem. Takav vektor će se zvati nulti vektor. Nulti vektor je označen nulom sa crticom (\(\overline(0)\)). Niko ne govori o pravcu nultog vektora. Apsolutna vrijednost nultog vektora se smatra jednakom nuli.

Pitanje 5. Koji vektori se nazivaju jednaki?
Odgovori. Za dva vektora se kaže da su jednaka ako su kombinovani paralelnim prevođenjem. To znači da postoji paralelna translacija koja pomiče početak i kraj jednog vektora na početak i kraj drugog vektora, respektivno.

Pitanje 6. Dokažite da jednaki vektori imaju isti smjer i jednaki su po apsolutnoj vrijednosti. I obrnuto: jednako usmjereni vektori koji su jednaki po apsolutnoj vrijednosti su jednaki.
Odgovori. Kod paralelnog prevođenja vektor zadržava svoj smjer, kao i apsolutnu vrijednost. To znači da jednaki vektori imaju isti smjer i jednaki su po apsolutnoj vrijednosti.
Neka su \(\overline(AB)\) i \(\overline(CD)\) jednako usmjereni vektori jednaki po apsolutnoj vrijednosti (Sl. 213). Paralelni prevod koji vodi tačku C u tačku A kombinuje polupravu CD sa polupravom AB, pošto su oni jednako usmereni. A pošto su segmenti AB i CD jednaki, onda se tačka D poklapa sa tačkom B, tj. paralelno prevođenje prevodi vektor \(\overline(CD)\) u vektor \(\overline(AB)\). Dakle, vektori \(\overline(AB)\) i \(\overline(CD)\) su jednaki, prema potrebi.

Pitanje 7. Dokažite da se iz bilo koje tačke može povući vektor jednak dati vektor, i samo jedan.
Odgovori. Neka je CD prava, a vektor \(\overline(CD)\) dio linije CD. Neka je AB prava u koju pravac CD ide tokom paralelnog prevođenja, \(\overline(AB)\) vektor u koji vektor \(\overline(CD)\) ulazi tokom paralelnog prevođenja, a samim tim i vektori \(\ overline(AB)\) i \(\overline(CD)\) su jednake, a prave AB i CD su paralelne (vidi sliku 213). Kao što znamo, kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj, moguće je povući na ravni najviše jednu pravu paralelnu sa datom (aksiom paralelnih pravih). Dakle, kroz tačku A može se povući jedna prava paralelna pravoj CD. Pošto je vektor \(\overline(AB)\) dio prave AB, moguće je povući jedan vektor \(\overline(AB)\) kroz tačku A, koji je jednak vektoru \(\overline (CD)\).

Pitanje 8.Šta su vektorske koordinate? Kolika je apsolutna vrijednost vektora sa koordinatama a 1, a 2?
Odgovori. Neka vektor \(\overline(a)\) počinje u tački A 1 (x 1 ; y 1) i završava u tački A 2 (x 2 ; y 2). Koordinate vektora \(\overline(a)\) bit će brojevi a 1 = x 2 - x 1 , a 2 = y 2 - y 1 . Vektorske koordinate stavit ćemo pored slovne oznake vektora, u ovaj slučaj\(\overline(a)\) (a 1 ; a 2) ili samo \((\overline(a 1 ; a 2))\). Koordinate vektora nule jednake su nuli.
Iz formule koja izražava udaljenost između dvije tačke u smislu njihovih koordinata, slijedi da je apsolutna vrijednost vektora sa koordinatama a 1, a 2 \(\sqrt(a^2 1 + a^2 2)\).

Pitanje 9. Dokazati da jednaki vektori imaju respektivno jednake koordinate, a da su vektori sa respektivno jednakim koordinatama jednaki.
Odgovori. Neka su A 1 (x 1 ; y 1) i A 2 (x 2 ; y 2) početak i kraj vektora \(\overline(a)\). Pošto je vektor \(\overline(a")\) jednak njemu dobijen iz vektora \(\overline(a)\) paralelnim prevođenjem, tada će njegov početak i kraj biti A" 1 (x 1 + c ; y 1 + d ), A" 2 (x 2 + c; y 2 ​​+ d). Ovo pokazuje da oba vektora \(\overline(a)\) i \(\overline(a")\) imaju iste koordinate: x 2 - x 1 , y 2 - y 1 .
Dokažimo sada obrnutu tvrdnju. Neka su odgovarajuće koordinate vektora \(\overline(A 1 A 2 )\) i \(\overline(A" 1 A" 2 )\) jednake. Dokazujemo da su vektori jednaki.
Neka su x" 1 i y" 1 koordinate tačke A" 1, a x" 2, y" 2 koordinate tačke A" 2. Prema uvjetu teoreme x 2 - x 1 = x "2 - x" 1, y 2 - y 1 = y "2 - y" 1. Dakle, x "2 = x 2 + x" 1 - x 1, y" 2 = y 2 + y" 1 - y 1. Paralelni prijevod dat formulama

x" = x + x" 1 - x 1, y" = y + y" 1 - y 1,

prenosi tačku A 1 u tačku A" 1 , a tačku A 2 u tačku A" 2 , tj. vektori \(\overline(A 1 A 2 )\) i \(\overline(A" 1 A" 2 )\) su jednaki, prema potrebi.

Pitanje 10. Definirajte zbir vektora.
Odgovori. Zbir vektora \(\overline(a)\) i \(\overline(b)\) sa koordinatama a 1 , a 2 i b 1 , b 2 je vektor \(\overline(c)\) sa koordinate a 1 + b 1 , a 2 + b a 2 , tj.

\(\overline(a) (a 1 ; a 2) + \overline(b)(b 1 ; b 2) = \overline(c) (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\).

Šta je vektor? Koncept vektora nastaje kada se treba baviti objektima koje karakterizira veličina i smjer: na primjer, brzina, sila, pritisak. Takve veličine se nazivaju vektorske veličine ili vektori. Koncept vektora nastaje kada se treba baviti objektima koje karakterizira veličina i smjer: na primjer, brzina, sila, pritisak. Takve veličine se nazivaju vektorske veličine ili vektori.

Koncept vektora Razmotrimo proizvoljan segment. Ima dva pravca. Za odabir jednog od pravaca, jedan kraj segmenta će se zvati START, a drugi - KRAJ, i pretpostavit ćemo da je segment usmjeren od početka do kraja. Definicija. Definicija. Segment za koji je naznačeno koji se njegov kraj smatra početkom, a koji kraj naziva se usmjereni segment ili vektor. Segment za koji je naznačeno koji se njegov kraj smatra početkom, a koji kraj naziva se usmjereni segment ili vektor.

Koncept vektora Vektori se često označavaju jednim malim slovima latinično pismo sa strelicom iznad: Vektori se često označavaju jednim malim latiničnim slovom sa strelicom iznad: Bilo koja tačka na ravni je takođe vektor, koji se naziva NULA. Početak nultog vektora poklapa se sa njegovim krajem: Svaka tačka ravni je takođe vektor, koji se naziva NULA. Početak nultog vektora poklapa se sa njegovim krajem: MM = 0. MM = 0. a b c M

Koncept vektora Dužina ili modul vektora različitog od nule AB je dužina segmenta AB: Dužina ili modul vektora različitog od nule AB je dužina segmenta AB: AB = a = AB = 5 AB = a = AB = 5 c = 17 c = 17 Dužina nultog vektora se smatra nula: Pretpostavlja se da je dužina nultog vektora nula: MM = 0. MM = 0. a M B A c

Kolinearni vektori Za vektori koji nisu nulti kaže se da su kolinearni ako leže ili na istoj liniji ili na paralelnim linijama. Kolinearni vektori mogu biti kosmjerni ili suprotno usmjereni. Vektori različiti od nule nazivaju se kolinearni ako leže ili na istoj liniji ili na paralelnim linijama. Kolinearni vektori mogu biti kosmjerni ili suprotno usmjereni. Nulti vektor se smatra kolinearnim bilo kom vektoru. Nulti vektor se smatra kolinearnim bilo kom vektoru. ab c d m n s L

Odlaganje vektora iz date tačke Ako je tačka A početak vektora a, onda kažu da je vektor a odložen od tačke A. Ako je tačka A početak vektora a, onda kažu da vektor a se odlaže od tačke A. Navod: Iz bilo koje tačke M možete izdvojiti vektor jednak datom vektoru a, i štaviše, samo jedan. Tvrdnja: Iz bilo koje tačke M moguće je odložiti vektor jednak datom vektoru a, i to samo jedan. Jednaki vektori nacrtani iz različite tačke, često označavano istim slovom Jednaki vektori nacrtani iz različitih tačaka često se označavaju istim slovom A a M a

Zbir dva vektora Razmotrimo primjer: Razmotrimo primjer: Petya od kuće (D) je otišla do Vasye (V), a zatim je otišla u kino (K). Petja od kuće (D) je otišla do Vasje (V), a zatim je otišla u bioskop (K). Kao rezultat ova dva kretanja, koja se mogu predstaviti vektorima DV i VK, Petya je prešla iz tačke D u K, tj. vektoru DK: Kao rezultat ova dva kretanja, koja se mogu predstaviti vektorima DV i VK, Petya je prešla iz tačke D u K, tj. vektoru DK: DK=DB+BK. DK=DB+BK. Vektor DK naziva se zbir vektora DB i BK. D V K

Zbir dva vektora Pravilo trougla Neka su a i b dva vektora. Bilješka proizvoljna tačka A i odvojimo od ove tačke AB = a, zatim iz tačke B odvojimo vektor BC = b. Neka su a i b dva vektora. Označavamo proizvoljnu tačku A i odlažemo od ove tačke AB = a, a zatim iz tačke B odlažemo vektor BC = b. AC = a + b AC = a + b a b A a b B C
Suprotni vektori Neka je a proizvoljan vektor različit od nule. Neka je a proizvoljan vektor različit od nule. Definicija. Vektor b naziva se suprotan vektoru a ako imaju a i b jednake dužine i suprotno usmerene. a = AB, b = BA Vektor suprotan vektoru c označava se na sljedeći način: -c. Očigledno je c+(-c)=0 ili AB+BA=0 A B a b c -c

Oduzimanje vektora Definicija. Razlika dva vektora a i b je takav vektor, čiji je zbir sa vektorom b jednak vektoru a. Definicija. Razlika dva vektora a i b je takav vektor, čiji je zbir sa vektorom b jednak vektoru a. Teorema. Za bilo koje vektore a i b, jednakost a - b \u003d a + (-b) je tačna. Zadatak. Dati su vektori a i b. Konstruisati vektor a - b. a a b -b a - b

G - 9. razred Lekcija br. 2

Tema: Pojam vektora. Vektorska jednakost. Odlaganje vektora iz date tačke.

Ciljevi:

uvesti pojam vektora, njegove dužine, kolinearne i jednaki vektori;

naučiti učenike da prikazuju i označavaju vektore, da odlažu vektor jednak datom iz bilo koje tačke u ravni;

konsolidovati znanja učenika u toku rešavanja zadataka;

razvijati pamćenje, pažnju, matematičko razmišljanje;

razviti marljivost, želju za postizanjem ciljeva i zadataka.

Tokom nastave.

organizacione momente.

Prezentacija teme i ciljeva časa.

Ažuriranje znanja i vještina učenika.

1. Provjera domaćeg zadatka. Analiza neriješenih zadataka.

2. Verifikacija teorijske informacije:

Jednakokraki trougao i njegove osobine. Znakovi jednakosti trouglova.

Definicija srednja linija trougao i njegova svojstva.

Pitagorina teorema i njena inverzna teorema.

Formula za izračunavanje površine trokuta.

Pojam paralelograma, svojstva i karakteristike paralelograma, romba, pravougaonika.

Definicija trapeza, vrste trapeza.

Površina paralelograma, površina trapeza.

Učenje novog gradiva.

Materijal paragrafa 76-78 treba biti predstavljen u obliku kratkog predavanja koristeći različite vektorske prezentacije

1. Koncept vektorskih veličina (ili kraće vektora).

2. Primjeri vektorskih veličina poznatih studentima iz predmeta fizika: sila, pomak materijalna tačka, brzina i drugo (sl. 240 udžbenika).

3. Definicija vektora (sl. 241, 242).

4. Oznaka vektora je u dva velika latinična slova sa strelicom iznad njih, npr., ili često označeno jednim malim latiničnim slovom sa strelicom iznad:(Sl. 243, a, b).

5. Koncept nultog vektora: bilo koja tačka ravni je takođe vektor; u ovom slučaju vektor se naziva null; stoji za:(Sl. 243, a).

6. Određivanje dužine ili modula vektora različitog od nule. Oznaka:. Dužina vektora nula= 0.

7. Pronađite dužine vektora prikazanih na slikama 243, a i 243, b.

8. Izvršiti praktične zadatke br. 738, 739.

9. Razmotrimo primjer kretanja tijela u kojem se sve njegove tačke kreću istom brzinom i u istom smjeru (iz 77. paragrafa udžbenika), sl. 244.

10. Uvedite koncept kolinearni vektori(Sl. 245).

11. Definicija pojmova kosmjernih vektora i suprotno usmjerenih vektora, njihova oznaka (sl. 246).

12. Nulti vektor je ko-usmjeren sa bilo kojim vektorom.

13. Definicija jednakih vektora: ifi, onda.

14. Objašnjenje značenja izraza: „Vektorodloženo od tačke A" (Sl. 247).

15. Dokaz tvrdnje da je iz bilo koje tačke moguće odložiti vektor jednak datom, i štaviše, samo jedan (Sl. 248).

16. Izvršenje praktični zadatak № 743.

17. Usmeno, prema gotovom crtežu na tabli, riješi zadatak br. 749.

Rješavanje problema.

1. Rešiti zadatak br. 740 (a) na tabli i u sveskama.

2. Usmeno riješi zadatak br. 744.

3. Riješi zadatak broj 742.

4. Riješiti zadatak br. 745 (selektivno).

5. Usmeno, prema pripremljenom crtežu, rešiti zadatak br.746.

6. Dokažite direktnu tvrdnju u zadatku br. 750:

Dokaz

Po uslovu, zatim AB || CD, dakle, prema osobini paralelograma, ABDC je paralelogram, a dijagonale paralelograma su prepolovljene tačkom preseka, što znači da se sredine isečaka AD i BC poklapaju.

Ponavljanje organizovati u toku rešavanja sledećih zadataka - Zadaci za ponavljanje iz banke zadataka OGE (GIA) -2016:

№ 9, 10, 11, 12, 13 - iz modula "Geometrija"; br. 24 - iz 2. dijela modula "Geometrija" Opcija br

Rezultati lekcije.

Sumiranje lekcije. Postavljanje oznaka.

Kao rezultat proučavanja § 1, studenti treba da znaju definicije vektora i jednakih vektora; biti u stanju da prikaže i označi vektore, da odloži vektor jednak datom iz date tačke; rješavaju zadatke tipa br. 741–743; 745–752.



Zadaća: proučiti materijal u paragrafima 76–78; odgovori na pitanja 1-6, str. 213 udžbenika; riješiti zadatke br. 747, 749, 751.

1. Opće odredbe

1.1. U cilju održavanja poslovne reputacije i osiguranja usklađenosti sa normama saveznog zakonodavstva, FGAU GNII ITT Informika (u daljem tekstu Društvo) smatra najvažniji zadatak osiguranje legitimnosti obrade i sigurnosti ličnih podataka subjekata u poslovnim procesima Kompanije.

1.2. Za rješavanje ovog problema, Kompanija je uvela, radi i podvrgava se periodičnoj reviziji (kontroli) sistema zaštite podataka o ličnosti.

1.3. Obrada ličnih podataka u Kompaniji se zasniva na slijedeći principe:

Zakonitost svrha i metoda obrade ličnih podataka i dobra vjera;

Usklađenost svrha obrade ličnih podataka sa svrhama unaprijed određenim i objavljenim tokom prikupljanja ličnih podataka, kao i ovlaštenjima Društva;

Usklađenost obima i prirode obrađenih ličnih podataka, načina obrade ličnih podataka sa svrhama obrade ličnih podataka;

Pouzdanost ličnih podataka, njihova relevantnost i dovoljnost za potrebe obrade, nedopustivost prekomjerne obrade u odnosu na svrhe prikupljanja ličnih podataka;

Legitimnost organizacionih i tehničkih mjera za osiguranje sigurnosti ličnih podataka;

Kontinuirano unapređenje nivoa znanja zaposlenih u Kompaniji u oblasti obezbeđenja bezbednosti ličnih podataka tokom njihove obrade;

Težnja stalnom unapređenju sistema zaštite ličnih podataka.

2. Svrhe obrade ličnih podataka

2.1. U skladu sa principima obrade ličnih podataka, Kompanija definiše sastav i svrhe obrade.

Svrhe obrade ličnih podataka:

Zaključivanje, održavanje, promjena, raskid ugovori o radu, koji su osnov za nastanak ili prestanak radnog odnosa između Društva i zaposlenih;

Pružanje portala, usluga lični račun za učenike, roditelje i nastavnike;

Pohranjivanje ishoda učenja;

Ispunjavanje obaveza propisanih saveznim zakonodavstvom i drugim podzakonskim aktima;

3. Pravila za obradu ličnih podataka

3.1. Kompanija obrađuje samo one lične podatke koji su predstavljeni u odobrenoj Listi ličnih podataka koji se obrađuju u FSAI GNII ITT "Informika"

3.2. Kompanija ne dozvoljava obradu sljedećih kategorija ličnih podataka:

Race;

Politički pogledi;

Filozofska uvjerenja;

O zdravstvenom stanju;

Stanje intimnog života;

nacionalnost;

Religijska uvjerenja.

3.3. Kompanija ne obrađuje biometrijske lične podatke (informacije koje karakterišu fiziološke i biološke karakteristike osobe, na osnovu kojih je moguće utvrditi njen identitet).

3.4. Kompanija ne vrši prekogranični prenos ličnih podataka (prenos ličnih podataka na teritoriju strana država autoritet strane države, stran pojedincu ili strano pravno lice).

3.5. Kompanija zabranjuje donošenje odluka u vezi sa subjektima ličnih podataka isključivo na osnovu automatske obrade njihovih ličnih podataka.

3.6. Društvo ne obrađuje podatke o kaznenoj evidenciji subjekata.

3.7. Kompanija ne postavlja lične podatke subjekta u javne izvore bez njegovog prethodnog pristanka.

4. Implementirani zahtjevi za osiguranje sigurnosti ličnih podataka

4.1. Kako bi osigurala sigurnost ličnih podataka tokom njihove obrade, Kompanija primjenjuje sljedeće zahtjeve normativni dokumenti Ruska Federacija u oblasti obrade i osiguravanja sigurnosti ličnih podataka:

saveznog zakona od 27. jula 2006. br. 152-FZ „O ličnim podacima“;

Vladina uredba Ruska Federacija od 1. novembra 2012. godine N 1119 „O odobravanju uslova za zaštitu ličnih podataka prilikom njihove obrade u informacioni sistemi lični podaci";

Uredba Vlade Ruske Federacije od 15. septembra 2008. br. 687 „O odobravanju Pravilnika o specifičnostima obrade ličnih podataka koja se vrši bez upotrebe alata za automatizaciju“;

Naredba FSTEC Rusije od 18. februara 2013. N 21 „O odobravanju sastava i sadržaja organizacionih i tehničkih mjera za osiguranje sigurnosti ličnih podataka tokom njihove obrade u informacionim sistemima ličnih podataka“;

Osnovni model pretnji bezbednosti ličnih podataka tokom njihove obrade u informacionim sistemima ličnih podataka (odobrio zamenik direktora FSTEC Rusije 15. februara 2008.);

Metodologija za utvrđivanje stvarnih pretnji po bezbednost ličnih podataka tokom njihove obrade u informacionim sistemima ličnih podataka (odobrio zamenik direktora FSTEC Rusije 14. februara 2008).

4.2. Kompanija procjenjuje štetu koja može biti nanesena subjektima ličnih podataka i utvrđuje prijetnje sigurnosti ličnih podataka. U skladu sa identifikovanim stvarnim pretnjama, Kompanija primenjuje neophodne i dovoljne organizacione i tehničke mere, uključujući korišćenje alata za bezbednost informacija, otkrivanje neovlašćenog pristupa, oporavak ličnih podataka, uspostavljanje pravila za pristup ličnim podacima, kao i praćenje i evaluaciju efektivnosti preduzetih mjera.

4.3. Kompanija je imenovala osobe odgovorne za organizaciju obrade i osiguranje sigurnosti ličnih podataka.

4.4. Rukovodstvo Kompanije je svjesno potrebe i zainteresirano je da, kako u smislu zahtjeva regulatornih dokumenata Ruske Federacije, tako i opravdano u smislu procjene rizika za poslovanje, nivo sigurnosti ličnih podataka koji se obrađuju kao dio Osnovna djelatnost kompanije.