Εμπειρικοί τύποι για τον υπολογισμό των εμβαδών απλών σχημάτων. Πώς να βρείτε την περιοχή των γεωμετρικών σχημάτων

Όλοι οι τύποι για το εμβαδόν των επίπεδων σχημάτων

Περιοχή ισοσκελούς τραπεζοειδούς

1. Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς ως προς τις πλευρές και τη γωνία

α - κάτω βάση

β - επάνω βάση

γ - ίσες πλευρές

α - γωνία στην κάτω βάση

Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς ως προς τις πλευρές, (S):

Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς ως προς τις πλευρές και τη γωνία, (S):

2. Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς ως προς την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου

R- ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου

Δ- διάμετρος του εγγεγραμμένου κύκλου

Ο - εγγεγραμμένο κέντρο κύκλου

H- τραπεζοειδές ύψος

α, β - τραπεζοειδείς γωνίες

Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς ως προς την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, (S):

ΔΙΚΑΙΟΣ, για εγγεγραμμένο κύκλο σε ισοσκελές τραπεζοειδές:

3. Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς ως προς τις διαγώνιες και τη γωνία μεταξύ τους

d-διαγώνιος τραπεζοειδούς

α,β- γωνίες μεταξύ διαγωνίων

Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς ως προς τις διαγώνιες και τη γωνία μεταξύ τους, (S):

4. Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς ως προς ΜΕΣΑΙΑ ΣΕΙΡΑ, πλευρική πλευρά και γωνία στη βάση

γ- πλευρά

m- μέση γραμμή του τραπεζοειδούς

α, β - γωνίες στη βάση

Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς ως προς τη μέση γραμμή, την πλευρική πλευρά και τη γωνία στη βάση,

(ΜΙΚΡΟ):

5. Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς ως προς τις βάσεις και το ύψος

α - κάτω βάση

β - επάνω βάση

h - το ύψος του τραπεζοειδούς

Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς ως προς τις βάσεις και το ύψος, (S):

Εμβαδόν τριγώνου με πλευρά και δύο γωνίες, τύπος.

α, β, γ - πλευρές του τριγώνου

α, β, γ - αντίθετες γωνίες

Εμβαδόν τριγώνου διαμέσου μιας πλευράς και δύο γωνιών (S):

Ο τύπος για το εμβαδόν ενός κανονικού πολυγώνου

α - πλευρά πολυγώνου

n - αριθμός πλευρών

Εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, (S):

Ο (Ηρωνιανός) τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου ως προς την ημιπερίμετρο (S):

Το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι:

Τύποι για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός ισόπλευρου τριγώνου.

α - πλευρά του τριγώνου

h - ύψος

Πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου;

β - η βάση του τριγώνου

α - ίσες πλευρές

h - ύψος

3. Ο τύπος για το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς ως προς τις τέσσερις πλευρές

α - κάτω βάση

β - επάνω βάση

γ, δ - πλευρές

Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τραπεζοειδούς στις πλευρές και τις διαγώνιες

α - οι πλευρές του τραπεζοειδούς

γ - κάτω βάση

β - επάνω βάση

d - διαγώνιος

h - ύψος

Ο τύπος για την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τραπεζοειδούς, (R)

βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου ενός ισοσκελούς τριγώνου κατά μήκος των πλευρών

Γνωρίζοντας τις πλευρές ενός ισοσκελούς τριγώνου, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για να βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου γύρω από αυτό το τρίγωνο.

α, β - πλευρές του τριγώνου

Ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου ισοσκελούς τριγώνου (R):

Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου σε εξάγωνο

α - πλευρά του εξαγώνου

Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου σε εξάγωνο, (r):

Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου σε ρόμβο

r - ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου

α - πλευρά του ρόμβου

D, d - διαγώνιες

h - ύψος διαμαντιού

Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου σε ισοσκελές τραπέζιο

γ - κάτω βάση

β - επάνω βάση

α - πλευρές

h - ύψος

Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου σε ορθογώνιο τρίγωνο

α, β - σκέλη του τριγώνου

γ - υποτείνουσα

Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου σε ισοσκελές τρίγωνο

α, β - πλευρές του τριγώνου

Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του εγγεγραμμένου τετράπλευρου είναι

\/(ρ - α)(ρ - β) (ρ - γ) (ρ - δ),

όπου p είναι η ημιπερίμετρος και a, b, c και d οι πλευρές του τετράπλευρου.

Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν ενός τετράπλευρου εγγεγραμμένου σε κύκλο είναι

1/2 (ab + cb) sin α, όπου a, b, c και d είναι οι πλευρές του τετράπλευρου και α είναι η γωνία μεταξύ των πλευρών a και b.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Διαβάστε περισσότερα στο FB.ru:

Το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τετράπλευρου (Εικ. 1.13) μπορεί να εκφραστεί ως προς τις πλευρές του a, b, c και το άθροισμα ενός ζεύγους απέναντι γωνιών:

όπου p είναι η ημιπερίμετρος του τετράπλευρου.

Το εμβαδόν ενός τετράγωνου εγγεγραμμένου σε κύκλο () (Εικ. 1.14, α) υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο Brahmagupta

και περιγράφεται (Εικ. 1.14, β) () - σύμφωνα με τον τύπο

Εάν το τετράπλευρο εγγράφεται και περιγράφεται ταυτόχρονα (Εικ. 1.14, γ), τότε ο τύπος γίνεται αρκετά απλός:

Φόρμουλα κορυφής

Για να υπολογίσετε την περιοχή ενός πολυγώνου σε καρό χαρτί, αρκεί να υπολογίσετε πόσα κελιά καλύπτει αυτό το πολύγωνο (λαμβάνουμε την περιοχή του κελιού ως μονάδα). Πιο συγκεκριμένα, εάν S είναι το εμβαδόν του πολυγώνου, είναι ο αριθμός των κελιών που βρίσκονται εξ ολοκλήρου μέσα στο πολύγωνο και είναι ο αριθμός των κελιών που έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο με το εσωτερικό του πολυγώνου.

Θα εξετάσουμε παρακάτω μόνο τέτοια πολύγωνα, των οποίων όλες οι κορυφές βρίσκονται στους κόμβους του καρό χαρτιού - σε αυτούς όπου τέμνονται οι γραμμές του πλέγματος. Αποδεικνύεται ότι για τέτοια πολύγωνα, μπορείτε να καθορίσετε τον ακόλουθο τύπο:

όπου είναι η περιοχή, r είναι ο αριθμός των κόμβων που βρίσκονται αυστηρά μέσα στο πολύγωνο.

Αυτός ο τύπος ονομάζεται «φόρμουλα κορυφής» από τον μαθηματικό που τον ανακάλυψε το 1899.

Για να λύσετε προβλήματα γεωμετρίας, πρέπει να γνωρίζετε τύπους - όπως το εμβαδόν ενός τριγώνου ή το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου - καθώς και απλά κόλπαγια το οποίο θα μιλήσουμε.

Αρχικά, ας μάθουμε τους τύπους για τις περιοχές των σχημάτων. Τα έχουμε συλλέξει ειδικά σε ένα βολικό τραπέζι. Εκτυπώστε, μάθετε και εφαρμόστε!

Φυσικά, δεν υπάρχουν όλοι οι τύποι γεωμετρίας στον πίνακά μας. Για παράδειγμα, για την επίλυση προβλημάτων γεωμετρίας και στερεομετρίας στο δεύτερο μέρος εξετάσεις προφίλστα μαθηματικά, χρησιμοποιούνται επίσης άλλοι τύποι για το εμβαδόν ενός τριγώνου. Θα σας πούμε σίγουρα για αυτούς.

Τι γίνεται όμως αν χρειάζεται να βρείτε όχι την περιοχή ενός τραπεζοειδούς ή τριγώνου, αλλά την περιοχή κάποιων σύνθετη φιγούρα? Τρώω καθολικούς τρόπους! Θα τους δείξουμε χρησιμοποιώντας παραδείγματα από την τράπεζα εργασιών FIPI.

1. Πώς να βρείτε την περιοχή μιας μη τυπικής φιγούρας; Για παράδειγμα, ένα αυθαίρετο τετράπλευρο; Μια απλή τεχνική - ας σπάσουμε αυτό το σχήμα σε αυτά που όλοι γνωρίζουμε και ας βρούμε το εμβαδόν του - ως το άθροισμα των εμβαδών αυτών των σχημάτων.

Διαιρέστε αυτό το τετράπλευρο με μια οριζόντια γραμμή σε δύο τρίγωνα με κοινά σημεία, ίσο με . Τα ύψη αυτών των τριγώνων είναι ίσα με και . Τότε το εμβαδόν του τετράπλευρου είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο τριγώνων: .

Απάντηση: .

2. Σε ορισμένες περιπτώσεις, η περιοχή του σχήματος μπορεί να αναπαρασταθεί ως η διαφορά οποιωνδήποτε περιοχών.

Δεν είναι τόσο εύκολο να υπολογίσεις με τι ισούται η βάση και το ύψος σε αυτό το τρίγωνο! Μπορούμε όμως να πούμε ότι το εμβαδόν του είναι ίσο με τη διαφορά μεταξύ των εμβαδών ενός τετραγώνου με πλευρά και τρία ορθογώνια τρίγωνα. Τους βλέπετε στην εικόνα; Παίρνουμε: .

Απάντηση: .

3. Μερικές φορές σε μια εργασία είναι απαραίτητο να βρεθεί η περιοχή όχι ολόκληρης της φιγούρας, αλλά του μέρους της. Συνήθως μιλάμε για το εμβαδόν ενός τομέα - μέρος ενός κύκλου Βρείτε το εμβαδόν ενός τομέα ενός κύκλου ακτίνας, του οποίου το μήκος τόξου είναι ίσο με .

Σε αυτή την εικόνα βλέπουμε μέρος ενός κύκλου. Το εμβαδόν ολόκληρου του κύκλου είναι ίσο με , αφού . Απομένει να μάθουμε ποιο μέρος του κύκλου απεικονίζεται. Δεδομένου ότι το μήκος ολόκληρου του κύκλου είναι (από), και το μήκος του τόξου αυτού του τομέα είναι ίσο, επομένως, το μήκος του τόξου είναι αρκετές φορές μικρότερο από το μήκος ολόκληρου του κύκλου. Η γωνία πάνω στην οποία στηρίζεται αυτό το τόξο είναι επίσης φορές μικρότερη από έναν πλήρη κύκλο (δηλαδή μοίρες). Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή του τομέα θα είναι αρκετές φορές μικρότερη από την περιοχή ολόκληρου του κύκλου.

Τι είναι μια περιοχή;

Περιοχή - χαρακτηριστικό ενός κλειστού γεωμετρικού σχήματος (κύκλος, τετράγωνο, τρίγωνο κ.λπ.), που δείχνει το μέγεθός του. Το εμβαδόν μετριέται σε τετραγωνικά εκατοστά, μέτρα κ.λπ. Υποδηλώνεται με γράμμα μικρό(τετράγωνο).

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου;

S= ένα η

Οπου ένα- μήκος βάσης ηείναι το ύψος του τριγώνου που τραβιέται στη βάση.

Επιπλέον, η βάση δεν χρειάζεται να βρίσκεται στο κάτω μέρος. Θα κάνει και αυτό.

Αν τρίγωνο κουτός, τότε το ύψος πέφτει στη συνέχεια της βάσης:

Αν τρίγωνο ορθογώνιος, τότε η βάση και το ύψος είναι τα πόδια του:

2. Μια άλλη φόρμουλα, που δεν είναι λιγότερο χρήσιμη, αλλά που για κάποιο λόγο πάντα ξεχνιέται:

S= a b sina

Οπου έναΚαι σιδύο πλευρές ενός τριγώνου sinaείναι το ημίτονο της γωνίας μεταξύ αυτών των πλευρών.

Η κύρια προϋπόθεση είναι ότι η γωνία λαμβάνεται μεταξύ δύο γνωστών πλευρών.

3. Ο τύπος για την περιοχή στις τρεις πλευρές (τύπος του Heron):

S=

Οπου ένα, σιΚαι Μεείναι οι πλευρές του τριγώνου, και R -ημιπερίμετρος. Π = (α+β+γ)/2.

4. Ο τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου ως προς την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου:

S=

Οπου ένα, σιΚαι Μεείναι οι πλευρές του τριγώνου, και R-ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

5. Ο τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου ως προς την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου:

S= p r

Οπου R -ημιπερίμετρος τριγώνου, και r-ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου;

1. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι αρκετά απλό:

S=ένα σι

Χωρίς κόλπα.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τετραγώνου;

1. Εφόσον ένα τετράγωνο είναι ένα ορθογώνιο με όλες τις πλευρές ίσες, ισχύει ο ίδιος τύπος:

S=ένα a = a2

2. Επίσης, το εμβαδόν ενός τετραγώνου μπορεί να βρεθεί μέσα από τη διαγώνιο του:

S= ρε 2

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου;

1. Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου βρίσκεται με τον τύπο:

S=ένα η

Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι αν αποκοπείτε από αυτό ορθογώνιο τρίγωνοστα δεξιά και προσαρτήστε το στα αριστερά, παίρνετε ένα ορθογώνιο:

2. Επίσης, το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου μπορεί να βρεθεί μέσω της γωνίας μεταξύ των δύο πλευρών:

S=ένα b sina

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ρόμβου;

Ο ρόμβος είναι ουσιαστικά ένα παραλληλόγραμμο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες. Επομένως, ισχύουν οι ίδιοι τύποι περιοχής.

1. Περιοχή ρόμβου ως προς το ύψος:

S=ένα η