Αν γειτονικές γωνίες. Παρακείμενες και κάθετες γωνίες, οι ιδιότητές τους
1. Παρακείμενες γωνίες.
Αν συνεχίσουμε την πλευρά κάποιας γωνίας πέρα από την κορυφή της, θα έχουμε δύο γωνίες (Εικ. 72): ∠ABC και ∠CBD, στις οποίες η μία πλευρά της BC είναι κοινή και οι άλλες δύο, AB και BD, σχηματίζουν μια ευθεία γραμμή. .
Δύο γωνίες που έχουν μια κοινή πλευρά και οι άλλες δύο σχηματίζουν ευθεία ονομάζονται γειτονικές γωνίες.
Οι γειτονικές γωνίες μπορούν επίσης να ληφθούν με αυτόν τον τρόπο: αν σχεδιάσουμε μια ακτίνα από κάποιο σημείο σε μια ευθεία γραμμή (όχι σε μια δεδομένη ευθεία), τότε έχουμε γειτονικές γωνίες.
Για παράδειγμα, οι ∠ADF και ∠FDВ είναι γειτονικές γωνίες (Εικ. 73).
Οι παρακείμενες γωνίες μπορούν να έχουν μεγάλη ποικιλία θέσεων (Εικ. 74).
Οι γειτονικές γωνίες αθροίζονται σε μια ευθεία γωνία, έτσι το άθροισμα δύο γειτονικών γωνιών είναι 180°
Ως εκ τούτου, μια ορθή γωνία μπορεί να οριστεί ως μια γωνία ίση με τη γειτονική γωνία της.
Γνωρίζοντας την τιμή μιας από τις γειτονικές γωνίες, μπορούμε να βρούμε την τιμή της άλλης διπλανής γωνίας.
Για παράδειγμα, εάν μία από τις γειτονικές γωνίες είναι 54°, τότε η δεύτερη γωνία θα είναι:
180° - 54° = l26°.
2. Κάθετες γωνίες.
Αν επεκτείνουμε τις πλευρές μιας γωνίας πέρα από την κορυφή της, παίρνουμε κάθετες γωνίες. Στο Σχήμα 75, οι γωνίες EOF και AOC είναι κάθετες. Οι γωνίες AOE και COF είναι επίσης κάθετες.
Δύο γωνίες ονομάζονται κάθετες αν οι πλευρές της μιας γωνίας είναι προεκτάσεις των πλευρών της άλλης γωνίας.
Έστω ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° (Εικ. 76). ∠2 δίπλα σε αυτό θα είναι ίσο με 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, δηλαδή 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.
Με τον ίδιο τρόπο, μπορείτε να υπολογίσετε τι είναι το ∠3 και το ∠4.
∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;
∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (Εικ. 77).
Βλέπουμε ότι ∠1 = ∠3 και ∠2 = ∠4.
Μπορείτε να λύσετε πολλά περισσότερα από τα ίδια προβλήματα και κάθε φορά να έχετε το ίδιο αποτέλεσμα: οι κάθετες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.
Ωστόσο, για να βεβαιωθείτε ότι οι κατακόρυφες γωνίες είναι πάντα ίσες μεταξύ τους, δεν αρκεί να θεωρήσετε μεμονωμένες αριθμητικά παραδείγματα, δεδομένου ότι τα συμπεράσματα που συνάγονται με βάση συγκεκριμένα παραδείγματα μπορεί μερικές φορές να είναι λανθασμένα.
Είναι απαραίτητο να επαληθευτεί η εγκυρότητα της ιδιότητας των κατακόρυφων γωνιών με απόδειξη.
Η απόδειξη μπορεί να πραγματοποιηθεί ως εξής (Εικ. 78):
∠ένα +∠ντο= 180°;
∠β+∠ντο= 180°;
(αφού το άθροισμα των παρακείμενων γωνιών είναι 180°).
∠ένα +∠ντο = ∠β+∠ντο
(αφού η αριστερή πλευρά αυτής της ισότητας είναι 180° και η δεξιά πλευρά είναι επίσης 180°).
Αυτή η ισότητα περιλαμβάνει την ίδια γωνία Με.
Αν είμαστε από ίσες αξίεςαφαιρέστε ίσα, τότε θα παραμείνει ίσο. Το αποτέλεσμα θα είναι: ∠ένα = ∠σι, δηλαδή οι κατακόρυφες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.
3. Το άθροισμα των γωνιών που έχουν κοινή κορυφή.
Στο σχέδιο 79, τα ∠1, ∠2, ∠3 και ∠4 βρίσκονται στην ίδια πλευρά της ευθείας και έχουν κοινή κορυφή σε αυτήν την ευθεία. Συνολικά, αυτές οι γωνίες αποτελούν μια ευθεία γωνία, δηλ.
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.
Στο σχέδιο 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 και ∠5 έχουν κοινή κορυφή. Το άθροισμα αυτών των γωνιών είναι πλήρης γωνία, δηλαδή ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.
Άλλα υλικάΠαρακείμενες γωνίες- δύο γωνίες που έχουν μια κοινή πλευρά και οι άλλες δύο είναι συνέχεια η μια της άλλης.
Το άθροισμα των παρακείμενων γωνιών είναι 180°
Κάθετες γωνίεςείναι δύο γωνίες στις οποίες οι πλευρές της μιας γωνίας είναι η συνέχεια των πλευρών της άλλης.
Οι κάθετες γωνίες είναι ίσες.
2. Σημάδια ισότητας τριγώνων:
υπογράφω: Αν δύο πλευρές και η μεταξύ τους γωνία ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με δύο πλευρές και η μεταξύ τους γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα.
II σημάδι: Αν οι πλευρές και οι δύο γωνίες που γειτνιάζουν με αυτό ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με την πλευρά και δύο γειτονικές γωνίες ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα.
III σημάδι: Αν τρεις πλευρές ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με τρεις πλευρές ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα
3. Σημάδια παραλληλισμού δύο ευθειών: μονόπλευρες γωνίες, που βρίσκονται σταυρωτά και αντίστοιχες:
Δύο γραμμές σε ένα επίπεδο ονομάζονται παράλληλοαν δεν τέμνονται.
Διασταυρωμένες γωνίες: 3 και 5, 4 και 6.
Μονόπλευρες γωνίες: 4 και 5, 3 και 6. ρύζι. Σελίδα 55
Αντίστοιχες γωνίες: 1 και 5, 4 και 8, 2 και 6, 3 και 7;
Θεώρημα: Αν στην τομή δύο ευθειών μιας εγκάρσιας οι γωνίες που βρίσκονται είναι ίσες, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες.
Θεώρημα: Αν στην τομή δύο ευθειών μιας τομής, οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες.
Θεώρημα: Αν στην τομή δύο ευθειών μιας τομής το άθροισμα των γωνιών μιας όψης είναι ίσο με 180 °, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες.
Θεώρημα: αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από μια τομή, τότε οι εγκάρσιες γωνίες είναι ίσες
Θεώρημα: αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από μια τομή, τότε οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες
Θεώρημα: αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από μια τομή, τότε το άθροισμα των μονόπλευρων γωνιών είναι 180°
4. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου:
Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180°
5. Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου:
Θεώρημα: Β ισοσκελές τρίγωνοοι γωνίες βάσης είναι ίσες.
Θεώρημα: Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, η διχοτόμος προς τη βάση είναι η διάμεσος και το ύψος (η διάμεσος είναι αντίστροφα), (η διχοτόμος διχοτομεί τη γωνία, η διάμεσος διχοτομεί την πλευρά, το ύψος σχηματίζει γωνία 90 °)
Σήμα: Αν δύο γωνίες ενός τριγώνου είναι ίσες, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
6. Ορθογώνιο τρίγωνο:
Ορθογώνιο τρίγωνοείναι ένα τρίγωνο στο οποίο η μία γωνία είναι ορθή (δηλαδή είναι 90 μοίρες)
Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από το σκέλος
1. Το άθροισμα δύο οξειών γωνιών ορθογώνιο τρίγωνοισούται με 90°
2. Το σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από γωνία 30 °, είναι ίσο με το μισό της υποτείνουσας
3. Εάν το σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το μισό της υποτείνουσας, τότε η γωνία απέναντι από αυτό το σκέλος είναι 30 °
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ, επίπεδη φιγούραμε τρεις πλευρές ίσου μήκους; τρία εσωτερικές γωνίεςπου σχηματίζονται από τις πλευρές είναι επίσης ίσες και ίσες με 60 °C.
8. Sin, cos, tg, ctg:
Sin= , Cos= , tg= , ctg= , tg= ,ctg=
9. Σημάδια τετράπλευρου^
Το άθροισμα των γωνιών του τετράπλευρου είναι 2 π = 360°.
Ένα τετράπλευρο μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο αν και μόνο αν το άθροισμα των απέναντι γωνιών είναι 180°
10. Σημάδια ομοιότητας τριγώνων:
υπογράφω: αν δύο γωνίες ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με δύο γωνίες ενός άλλου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι παρόμοια
II σημάδι: αν δύο πλευρές ενός τριγώνου είναι ανάλογες με δύο πλευρές ενός άλλου τριγώνου και οι γωνίες που περικλείονται μεταξύ αυτών των πλευρών είναι ίσες, τότε τέτοια τρίγωνα είναι παρόμοια.
III σημάδι: αν τρεις πλευρές ενός τριγώνου είναι ανάλογες με τις τρεις πλευρές ενός άλλου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι παρόμοια
11. Φόρμουλες:
· Πυθαγόρειο θεώρημα: a 2 +b 2 =c 2
· Το θεώρημα της αμαρτίας:
· θεώρημα cos:
· 3 τύποι τριγωνικής περιοχής:
· Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου: S= S=
· Εμβαδόν ισόπλευρου τριγώνου:
· Περιοχή παραλληλόγραμμου: S=ah
· Τετράγωνη περιοχή: S = a2
· Περιοχή τραπεζίου:
· Περιοχή ρόμβου:
· Περιοχή ορθογωνίου: S=ab
· Ισόπλευρο τρίγωνο. Ύψος: h=
· Τριγωνομετρική μονάδα:αμαρτία 2 a+cos 2 a=1
· ΜΕΣΑΙΑ ΣΕΙΡΑτρίγωνο: S=
· Μέση γραμμή του τραπεζοειδούς:MK=
©2015-2019 ιστότοπος
Όλα τα δικαιώματα ανήκουν στους δημιουργούς τους. Αυτός ο ιστότοπος δεν διεκδικεί την πνευματική ιδιοκτησία, αλλά παρέχει δωρεάν χρήση.
Ημερομηνία δημιουργίας σελίδας: 2017-12-12
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ.
§έντεκα. ΠΑΡΑΚΕΙΜΕΝΕΣ ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ ΓΩΝΙΕΣ.
1. Παρακείμενες γωνίες.
Αν συνεχίσουμε την πλευρά κάποιας γωνίας πέρα από την κορυφή της, θα έχουμε δύο γωνίες (Εικ. 72): / Ένας ήλιος και / SVD, στο οποίο η μία πλευρά BC είναι κοινή, και οι άλλες δύο AB και BD σχηματίζουν μια ευθεία γραμμή.
Δύο γωνίες που έχουν μια κοινή πλευρά και οι άλλες δύο σχηματίζουν ευθεία ονομάζονται γειτονικές γωνίες.
Οι γειτονικές γωνίες μπορούν επίσης να ληφθούν με αυτόν τον τρόπο: αν σχεδιάσουμε μια ακτίνα από κάποιο σημείο σε μια ευθεία γραμμή (όχι σε μια δεδομένη ευθεία), τότε έχουμε γειτονικές γωνίες.
Για παράδειγμα, /
ADF και /
FDВ - γειτονικές γωνίες (Εικ. 73).
Οι παρακείμενες γωνίες μπορούν να έχουν μεγάλη ποικιλία θέσεων (Εικ. 74).
Οι γειτονικές γωνίες αθροίζονται σε μια ευθεία γωνία, έτσι το umma δύο γειτονικών γωνιών είναι 2ρε.
Ως εκ τούτου, μια ορθή γωνία μπορεί να οριστεί ως μια γωνία ίση με τη γειτονική γωνία της.
Γνωρίζοντας την τιμή μιας από τις γειτονικές γωνίες, μπορούμε να βρούμε την τιμή της άλλης διπλανής γωνίας.
Για παράδειγμα, εάν μία από τις διπλανές γωνίες είναι 3/5 ρε, τότε η δεύτερη γωνία θα είναι ίση με:
2ρε- 3 / 5 ρε= l 2 / 5 ρε.
2. Κάθετες γωνίες.
Αν επεκτείνουμε τις πλευρές μιας γωνίας πέρα από την κορυφή της, έχουμε κατακόρυφες γωνίες. Στο σχέδιο 75, οι γωνίες EOF και AOC είναι κάθετες. Οι γωνίες AOE και COF είναι επίσης κάθετες.
Δύο γωνίες ονομάζονται κάθετες αν οι πλευρές της μιας γωνίας είναι προεκτάσεις των πλευρών της άλλης γωνίας.
Αφήνω / 1 = 7 / 8 ρε(Εικ. 76). Δίπλα σε αυτό / 2 θα ισούται με 2 ρε- 7 / 8 ρε, δηλαδή 1 1/8 ρε.
Με τον ίδιο τρόπο, μπορείτε να υπολογίσετε τι ισούται με /
3 και /
4.
/
3 = 2ρε - 1 1 / 8 ρε = 7 / 8 ρε; /
4 = 2ρε - 7 / 8 ρε = 1 1 / 8 ρε(Εικ. 77).
Το βλέπουμε αυτό / 1 = / 3 και / 2 = / 4.
Μπορείτε να λύσετε πολλά περισσότερα από τα ίδια προβλήματα και κάθε φορά να έχετε το ίδιο αποτέλεσμα: οι κάθετες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.
Ωστόσο, για να βεβαιωθείτε ότι οι κατακόρυφες γωνίες είναι πάντα ίσες μεταξύ τους, δεν αρκεί να εξετάσουμε μεμονωμένα αριθμητικά παραδείγματα, καθώς τα συμπεράσματα που προκύπτουν από συγκεκριμένα παραδείγματα μπορεί μερικές φορές να είναι λανθασμένα.
Είναι απαραίτητο να επαληθευτεί η εγκυρότητα της ιδιότητας των κατακόρυφων γωνιών με συλλογισμό, με απόδειξη.
Η απόδειξη μπορεί να πραγματοποιηθεί ως εξής (Εικ. 78):
/
ένα +/
ντο = 2ρε;
/
β+/
ντο = 2ρε;
(αφού το άθροισμα των διπλανών γωνιών είναι 2 ρε).
/ ένα +/ ντο = / β+/ ντο
(αφού η αριστερή πλευρά αυτής της ισότητας είναι ίση με 2 ρε, και η δεξιά πλευρά του είναι επίσης ίση με 2 ρε).
Αυτή η ισότητα περιλαμβάνει την ίδια γωνία Με.
Αν αφαιρέσουμε ισόποσα από ίσες τιμές, τότε θα παραμείνει ίσο. Το αποτέλεσμα θα είναι: / ένα = / σι, δηλαδή οι κατακόρυφες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.
Όταν εξετάζουμε το ζήτημα των κατακόρυφων γωνιών, αρχικά εξηγήσαμε ποιες γωνίες ονομάζονται κάθετες, δηλ. ορισμόςκάθετες γωνίες.
Στη συνέχεια κάναμε μια κρίση (δήλωση) για την ισότητα των κατακόρυφων γωνιών και πειστήκαμε για την εγκυρότητα αυτής της κρίσης με απόδειξη. Τέτοιες κρίσεις, η εγκυρότητα των οποίων πρέπει να αποδειχθεί, καλούνται θεωρήματα. Έτσι, σε αυτή την ενότητα δώσαμε τον ορισμό των κατακόρυφων γωνιών, καθώς επίσης αναφέραμε και αποδείξαμε ένα θεώρημα για την ιδιότητά τους.
Στο μέλλον, όταν μελετάμε τη γεωμετρία, θα πρέπει συνεχώς να συναντάμε ορισμούς και αποδείξεις θεωρημάτων.
3. Το άθροισμα των γωνιών που έχουν κοινή κορυφή.
Στο σχέδιο 79 /
1, /
2, /
3 και /
Τα 4 βρίσκονται στην ίδια πλευρά μιας ευθείας γραμμής και έχουν κοινή κορυφή σε αυτήν την ευθεία. Συνολικά, αυτές οι γωνίες αποτελούν μια ευθεία γωνία, δηλ.
/
1+ /
2+/
3+ /
4 = 2ρε.
Στο σχέδιο 80 / 1, / 2, / 3, / 4 και / 5 έχουν κοινή κορυφή. Συνολικά, αυτές οι γωνίες αποτελούν μια πλήρη γωνία, δηλ. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4ρε.
Γυμνάσια.
1. Μία από τις διπλανές γωνίες είναι 0,72 ρε.Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζουν οι διχοτόμοι αυτών των διπλανών γωνιών.
2. Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι δύο γειτονικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία.
3. Να αποδείξετε ότι αν δύο γωνίες είναι ίσες, τότε και οι διπλανές τους γωνίες είναι ίσες.
4. Πόσα ζεύγη διπλανών γωνιών υπάρχουν στο σχέδιο 81;
5. Μπορεί ένα ζεύγος γειτονικών γωνιών να αποτελείται από δύο οξείες γωνίες; από δύο αμβλείες γωνίες; από ορθές και αμβλείες γωνίες; από ορθή και οξεία γωνία;
6. Αν μία από τις γειτονικές γωνίες είναι ορθή, τότε τι μπορεί να ειπωθεί για την τιμή της διπλανής γωνίας;
7. Αν στη διασταύρωση δύο ευθειών υπάρχει μία ορθή γωνία, τότε τι μπορούμε να πούμε για το μέγεθος των άλλων τριών γωνιών;
Στο αυτό το μάθημαθα εξετάσουμε και θα κατανοήσουμε μόνοι μας την έννοια των παρακείμενων γωνιών. Εξετάστε το θεώρημα που τους αφορά. Ας εισαγάγουμε την έννοια των «κάθετων γωνιών». Εξετάστε τα υποστηρικτικά στοιχεία σχετικά με αυτές τις γωνίες. Στη συνέχεια, διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε δύο συμπεράσματα σχετικά με τη γωνία μεταξύ των διχοτόμων των κατακόρυφων γωνιών. Στο τέλος του μαθήματος, θα εξετάσουμε πολλά προβλήματα που είναι αφιερωμένα σε αυτό το θέμα.
Ας ξεκινήσουμε το μάθημά μας με την έννοια των «παρακείμενων γωνιών». Το σχήμα 1 δείχνει την ανεπτυγμένη γωνία ∠AOC και την ακτίνα OB, που χωρίζει αυτή τη γωνία σε 2 γωνίες.
Ρύζι. 1. Γωνία ∠AOC
Θεωρήστε τις γωνίες ∠AOB και ∠BOC. Είναι προφανές ότι έχουν κοινή πλευρά VO, ενώ οι πλευρές AO και OS είναι απέναντι. Οι ακτίνες OA και OS αλληλοσυμπληρώνονται, πράγμα που σημαίνει ότι βρίσκονται στην ίδια ευθεία γραμμή. Οι γωνίες ∠AOB και ∠BOC είναι γειτονικές.
Ορισμός: Εάν δύο γωνίες έχουν κοινή πλευρά και οι άλλες δύο πλευρές είναι συμπληρωματικές, τότε αυτές οι γωνίες ονομάζονται σχετίζεται με.
Θεώρημα 1: Το άθροισμα των διπλανών γωνιών είναι 180 o.
Ρύζι. 2. Σχέδιο για το Θεώρημα 1
∠MOL + ∠LON = 180ο. Αυτή η δήλωση είναι αληθής επειδή η ακτίνα OL διαιρεί την ευθεία γωνία ∠MON σε δύο γειτονικές γωνίες. Δηλαδή, δεν γνωρίζουμε τα μέτρα μοίρας καμίας από τις διπλανές γωνίες, αλλά γνωρίζουμε μόνο το άθροισμά τους - 180 o.
Θεωρήστε την τομή δύο ευθειών. Το σχήμα δείχνει την τομή δύο ευθειών στο σημείο Ο.
Ρύζι. 3. Κάθετες γωνίες ∠BOA και ∠COD
Ορισμός: Αν οι πλευρές μιας γωνίας είναι συνέχεια της δεύτερης γωνίας, τότε τέτοιες γωνίες ονομάζονται κάθετες. Γι' αυτό το σχήμα δείχνει δύο ζεύγη κατακόρυφων γωνιών: ∠AOB και ∠COD, καθώς και ∠AOD και ∠BOC.
Θεώρημα 2: Οι κάθετες γωνίες είναι ίσες.
Ας χρησιμοποιήσουμε το σχήμα 3. Ας εξετάσουμε την αναπτυγμένη γωνία ∠AOC. ∠AOB \u003d ∠AOC - ∠BOC \u003d 180 o - β. Θεωρήστε την αναπτυγμένη γωνία ∠BOD. ∠COD = ∠BOD - ∠BOC = 180 o - β.
Από αυτές τις σκέψεις, συμπεραίνουμε ότι ∠AOB = ∠COD = α. Ομοίως, ∠AOD = ∠BOC = β.
Συμπέρασμα 1: Η γωνία μεταξύ των διχοτόμων γειτονικών γωνιών είναι 90°.
Ρύζι. 4. Σχέδιο για τη συνέπεια 1
Εφόσον το OL είναι η διχοτόμος της γωνίας ∠BOA, τότε η γωνία ∠LOB = , παρόμοια με ∠BOK = . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = . Το άθροισμα των γωνιών α + β είναι ίσο με 180 ο, αφού οι γωνίες αυτές είναι γειτονικές.
Συμπέρασμα 2: Η γωνία μεταξύ των διχοτόμων των κατακόρυφων γωνιών είναι 180°.
Ρύζι. 5. Σχέδιο για τη συνέπεια 2
Το KO είναι η διχοτόμος του ∠AOB, το LO είναι η διχοτόμος του ∠COD. Προφανώς, ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o . Το άθροισμα των γωνιών α + β είναι ίσο με 180 ο, αφού οι γωνίες αυτές είναι γειτονικές.
Ας εξετάσουμε μερικές εργασίες:
Βρείτε τη γωνία δίπλα στο ∠AOC αν ∠AOC = 111 o.
Ας κάνουμε ένα σχέδιο για την εργασία:
Ρύζι. 6. Σχέδιο για παράδειγμα 1
Εφόσον ∠AOC = β και ∠COD = α είναι γειτονικές γωνίες, τότε α + β = 180 o. Δηλαδή, 111 o + β \u003d 180 o.
Επομένως, β = 69 ο.
Αυτός ο τύπος προβλήματος εκμεταλλεύεται το θεώρημα αθροίσματος γειτονικών γωνιών.
Μία από τις διπλανές γωνίες είναι ορθή, ποια (οξεία, αμβλεία ή ορθή) είναι η άλλη γωνία;
Αν μία από τις γωνίες είναι ορθή και το άθροισμα των δύο γωνιών είναι 180°, τότε και η άλλη γωνία είναι ορθή. Αυτή η εργασία ελέγχει τη γνώση σχετικά με το άθροισμα των παρακείμενων γωνιών.
Είναι αλήθεια ότι αν οι διπλανές γωνίες είναι ίσες, τότε είναι ορθές;
Ας κάνουμε μια εξίσωση: α + β = 180 ο, αλλά αφού α = β, τότε β + β = 180 ο, που σημαίνει β = 90 ο.
Απάντηση: Ναι, η δήλωση είναι αλήθεια.
Δεδομένα δύο ίσες γωνίες. Είναι αλήθεια ότι οι γωνίες που γειτνιάζουν με αυτές θα είναι επίσης ίσες;
Ρύζι. 7. Σχέδιο για παράδειγμα 4
Αν δύο γωνίες είναι ίσες με α, τότε οι αντίστοιχες γειτονικές τους γωνίες θα είναι 180 o - α. Δηλαδή θα είναι ίσοι μεταξύ τους.
Απάντηση: Η δήλωση είναι αληθινή.
- Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. κλπ. Γεωμετρία 7. - Μ.: Διαφωτισμός.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. et al. Geometry 7. 5η έκδ. - Μ.: Διαφωτισμός.
- \Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Γεωμετρία 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov, επιμέλεια V.A. Sadovnichy. - Μ.: Εκπαίδευση, 2010.
- Μέτρηση τμημάτων ().
- Γενικό μάθημα γεωμετρίας στην 7η τάξη ().
- Ευθεία γραμμή, τμήμα ().
- Νο. 13, 14. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Γεωμετρία 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov, επιμέλεια V.A. Sadovnichy. - Μ.: Εκπαίδευση, 2010.
- Βρείτε δύο γειτονικές γωνίες αν η μία είναι τετραπλάσια της άλλης.
- Δίνεται γωνία. Κατασκευάστε γειτονικές και κάθετες γωνίες για αυτό. Πόσες τέτοιες γωνίες μπορούν να κατασκευαστούν;
- * Σε ποια περίπτωση λαμβάνονται περισσότερα ζεύγη κάθετων γωνιών: όταν τρεις ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο ή σε τρία σημεία;
με θέμα: Παρακείμενες και κάθετες γωνίες, οι ιδιότητές τους.
(3 μαθήματα)
Ως αποτέλεσμα της μελέτης του θέματος, χρειάζεστε:
ΕΧΩ ΤΗΝ ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΑ ΝΑ:Έννοιες: παρακείμενες και κάθετες γωνίες, κάθετες γραμμές
Διακρίνετε τις γειτονικές και τις κατακόρυφες γωνίες
Θεωρήματα παρακείμενων και κάθετων γωνιών
Επίλυση προβλημάτων χρησιμοποιώντας ιδιότητες γειτονικών και κάθετων γωνιών
Παρακείμενες και Κατακόρυφες Γωνιακές Ιδιότητες
Κατασκευάστε γειτονικές και κάθετες γωνίες κάθετες σε ευθείες
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ:
1. Γεωμετρία. 7η τάξη. Zh. Kaidasov, G. Dosmagambetova, V. Abdiev. Αλμάτι «Μεκτέπ». 2012
2. Γεωμετρία. 7η τάξη. K.O. Bukubaeva, A.T. Ο Μιράζοφ. ΑλμάτιΑταμούρα". 2012
3. Γεωμετρία. 7η τάξη. Μεθοδολογικός οδηγός. K.O. Bukubaeva. ΑλμάτιΑταμούρα". 2012
4. Γεωμετρία. 7η τάξη. Διδακτικό υλικό. A.N.Shynybekov. ΑλμάτιΑταμούρα". 2012
5. Γεωμετρία. 7η τάξη. Συλλογή εργασιών και ασκήσεων. K.O. Bukubaeva, A.T. Mirazova. ΑλμάτιΑταμούρα". 2012
Θυμηθείτε ότι πρέπει να εργαστείτε σύμφωνα με τον αλγόριθμο!
Μην ξεχάσετε να περάσετε το τεστ, σημειώστε στα περιθώρια,
Παρακαλώ μην αφήνετε καμία ερώτηση που έχετε αναπάντητη.
Να είστε αντικειμενικοί κατά την αξιολόγηση από ομοτίμους, θα βοηθήσει και εσάς και τον άλλον
ποιον ελέγχετε.
ΣΟΥ ΕΥΧΟΜΑΙ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!
ΕΡΓΑΣΙΑ №1.
Διαβάστε τον ορισμό και μάθετε (2β):
Ορισμός. Οι γωνίες που έχουν μια κοινή πλευρά και οι άλλες δύο πλευρές είναι πρόσθετες ακτίνες ονομάζονται γειτονικές.
2) Μάθετε και γράψτε το θεώρημα στο τετράδιό σας: (2β)
Το άθροισμα των διπλανών γωνιών είναι 180.
Δεδομένος:∠ ΑΝΜ και∠ DOV - δεδομένες παρακείμενες γωνίες
OD - κοινή πλευρά
Αποδεικνύω:
∠ AOD +∠ DOV = 180
Απόδειξη:
Με βάση το αξίωμαIII 4:
∠ AOD +∠ DOV =∠ AOW.
∠ AOV - αναπτύχθηκε. Συνεπώς,
∠ AOD +∠ DOV = 180
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
3) Από το θεώρημα προκύπτει: (2β)
1) Αν δύο γωνίες είναι ίσες, τότε οι γειτονικές γωνίες είναι ίσες.
2) αν οι διπλανές γωνίες είναι ίσες, τότε μέτρο βαθμούκαθένα από αυτά είναι ίσο με 90°.
Θυμάμαι!
Μια γωνία ίση με 90° ονομάζεται ορθή γωνία.
Γωνία μικρότερη από 90° ονομάζεται οξεία γωνία.
Μια γωνία μεγαλύτερη από 90° και μικρότερη από 180° ονομάζεται αμβλεία γωνία.
Ορθή γωνία Οξεία γωνία Αμβλεία γωνία
Αφού το άθροισμα των παρακείμενων γωνιών είναι 180°, τότε
1) μια γωνία δίπλα σε μια ορθή γωνία, δεξιά.
2) η γωνία δίπλα στην οξεία γωνία είναι αμβλεία.
3) μια γωνία δίπλα σε μια αμβλεία γωνία είναι οξεία.
4) Θεωρήστε ένα δείγμα διαλύματος hadachi:
α) Δεδομένα:∠ ηκκαι∠ kl- δίπλα∠ ηκπερισσότερο∠ klστους 50°.
Εύρημα:∠ ηκκαι∠ kl.
Λύση: Αφήστε∠ kl= x, λοιπόν∠ ηκ= x + 50°. Κατά ιδιότητα περίπου το άθροισμα των παρακείμενων γωνιών∠ kl + ∠ ηκ= 180°.
x + x + 50° = 180°;
2x = 180° - 50°;
2x = 130°;
x = 65°.
∠ kl= 65°;∠ ηκ= 65°+ 50° = 115°.
Απάντηση: 115° και 65°.
β) Αφήστε∠ kl= x, λοιπόν∠ ηκ= 3x
x + 3x = 180°; 4x = 180°; x = 45°;∠ kl= 45°;∠ hk= 135°.
Απάντηση: 135° και 45°.
5) Εργαστείτε με τον ορισμό των παρακείμενων γωνιών: (2 β)
6) Βρείτε λάθη στους ορισμούς: (2β)
Επιτυχής δοκιμή #1
Εργασία αριθμός 2
1) Κατασκευάστε 2 γειτονικές γωνίες έτσι ώστε η κοινή τους πλευρά να διέρχεται από το σημείο Γ και η πλευρά μιας από τις γωνίες να συμπίπτει με την ακτίνα ΑΒ. (2β)
2). Πρακτική δουλειάγια να ανακαλύψετε τις ιδιότητες των παρακείμενων γωνιών: (5β)
Πρόοδος
1. Χτίστε μια γωνίαδιπλανή γωνίαένα , ανένα : κοφτερό, ίσιο, αμβλύ.
2. Μετρήστε τις γωνίες.
3. Εισαγάγετε τα δεδομένα μέτρησης στον πίνακα.
4. Βρείτε την αναλογία μεταξύ των τιμών των γωνιώνένα και.
5. Εξάγετε συμπέρασμα για την ιδιότητα των διπλανών γωνιών.
Επιτυχής δοκιμή #2
Εργασία αριθμός 3
Σχεδίαση χωρίς επέκταση∠ AOB και ονομάστε τις ακτίνες που είναι οι πλευρές αυτής της γωνίας.
Σχεδιάστε τη δοκό Ο, η οποία είναι συνέχεια της δοκού ΟΑ, και τη δοκό OD, η οποία είναι συνέχεια της δοκού ΟΒ.
Γράψε στο τετράδιό σου: γωνίες∠ AOB και∠ Τα SOD ονομάζονται κάθετα. (3β)
Μάθετε και γράψτε σε ένα σημειωματάριο: (4β)
Ορισμός: Οι γωνίες των οποίων οι πλευρές της μιας είναι συμπληρωματικές ακτίνες της άλλης ονομάζονταικάθετες γωνίες.
< 1 και<2, <3 и <4 κάθετες γωνίες
ΑκτίνεςΤΟΥκαιΟΑ , OCκαιΟ.Εείναι συμπληρωματικές ακτίνες κατά ζεύγη.
Θεώρημα: Οι κάθετες γωνίες είναι ίσες.
Απόδειξη.
Κάθετες γωνίες σχηματίζονται όταν τέμνονται δύο ευθείες. Έστω οι γραμμές α καισιτέμνονται στο σημείο Ο.∠ 1 και∠ 2 - κάθετες γωνίες.
∠ Μέσα που αναπτύσσονται από το AOC∠ AOC= 180°. Ωστόσο∠ 1+ ∠ 2= ∠ AOC, δηλ.
∠ 3+ ∠ 1= 180°, άρα έχουμε:
∠ 1= 180 - ∠ 3. (1)
Το έχουμε και αυτό∠ DOV= 180°, επομένως∠ 2+ ∠ 3= 180° ή∠ 2= 180°- ∠ 3. (2)
Αφού στις ισότητες (1) και (2) τα άμεσα μέρη είναι ίσα, τότε∠ 1= ∠ 2.
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
5). Εργαστείτε με τον ορισμό των κατακόρυφων γωνιών: (2β)
6) Βρείτε ένα σφάλμα στον ορισμό: (2β).
Επιτυχής δοκιμή #3
Εργασία αριθμός 4
1) Πρακτική εργασία για την ανακάλυψη των ιδιοτήτων των κατακόρυφων γωνιών: (5β)
Πρόοδος:
1. Κατασκευάστε μια γωνία β κατακόρυφη γωνίαα , ανα :
κοφτερό, ίσιο, αμβλύ.
2. Μετρήστε τις γωνίες.
3. Εισαγάγετε τα δεδομένα μέτρησης στον πίνακα
4. Να βρείτε τη σχέση μεταξύ των τιμών των γωνιών α και β.
5. Βγάλτε συμπέρασμα για την ιδιότητα των κατακόρυφων γωνιών.
2) Απόδειξη ιδιοτήτων γειτονικών και κατακόρυφων γωνιών. (3β)
2) Εξετάστε ένα δείγμα διαλύματοςκόλαση.
Μια εργασία. Οι ευθείες ΑΒ και CD τέμνονται στο σημείο Ο έτσι ώστε∠ AOD = 35°. Βρείτε τις γωνίες AOC και BOC.
Λύση:
1) Επομένως, οι γωνίες AOD και AOC είναι γειτονικές∠ BOC= 180° - 35° = 145°.
2) Οι γωνίες AOC και BOC είναι επίσης γειτονικές, επομένως∠ BOC= 180° - 145° = 35°.
Που σημαίνει,∠ BOC = ∠ AOD = 35°, και αυτές οι γωνίες είναι κάθετες. Ερώτηση: Είναι αλήθεια ότι όλες οι κατακόρυφες γωνίες είναι ίσες;
3) Επίλυση προβλημάτων σε ολοκληρωμένα σχέδια: (3β)
1. Να βρείτε τις γωνίες AOB, AOD, COD.
3) Βρείτε τις γωνίες BOC, FOA.: (3β)
3. Βρείτε διπλανές και κάθετες γωνίες στο σχήμα. Να είναι γνωστές οι τιμές των δύο γωνιών που σημειώνονται στο σχέδιο, 28; και 90;. Είναι δυνατόν να βρεθούν οι τιμές των υπόλοιπων γωνιών χωρίς τη λήψη μετρήσεων (2β)
Επιτυχής δοκιμή #4
Εργασία αριθμός 5
Δοκιμάστε τις γνώσεις σας συμπληρώνονταςΕργασία επαλήθευσης Νο. 1
Εργασία αριθμός 6
1) Αποδείξτε μόνοι σας τις ιδιότητες των κατακόρυφων γωνιών και σημειώστε αυτές τις αποδείξεις σε ένα τετράδιο. (3β)
Οι μαθητές ανεξάρτητα, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες κατακόρυφων και παρακείμενων γωνιών, πρέπει να αιτιολογήσουν το γεγονός ότι αν στη τομή δύο ευθειών μία από τις σχηματιζόμενες γωνίες είναι ορθή, τότε και οι άλλες γωνίες είναι ορθές.
2) Λύστε δύο προβλήματα για να διαλέξετε:
1. Τα μέτρα μοιρών των παρακείμενων γωνιών σχετίζονται ως 7:2. Βρείτε αυτές τις γωνίες. (2β)
2. Μία από τις γωνίες που σχηματίζονται στην τομή δύο ευθειών είναι 11 φορές μικρότερη από την άλλη Βρείτε καθεμία από τις γωνίες (3β)
3. Βρείτε διπλανές γωνίες αν η διαφορά τους και το άθροισμά τους σχετίζονται ως 2: 9. (3β)
Εργασία αριθμός 7
Μπράβο! Μπορείτε να προχωρήσετε στη δοκιμή της εργασίας νούμερο 2.
Εργασία επαλήθευσης Νο. 1.
Αποφασίστε για την επιλογή οποιασδήποτε από τις επιλογές (10β)
Επιλογή 1
<1 и <2,<3 и <2,
ΣΟΛ)<1 и <3. Какие это углы?
Σχετίζεται με
ε) Σχεδιάστε (με το μάτι) γωνία 30 ° και< αλφάβητο, παρακείμενο στο δεδομένο
στ) Ποιες είναι οι κατακόρυφες γωνίες;
Δύο γωνίες ονομάζονται κάθετες αν οι ορνί είναι ίσες.
ζ) Από το σημείο Α σχεδιάστε δύο ευθείες κάθετες στην ευθείαένα
Μόνο μια ευθεία γραμμή μπορεί να σχεδιαστεί.
Επιλογή 2
1. Ο μαθητής, απαντώντας στις ερωτήσεις του καθηγητή, έδωσε τις κατάλληλες απαντήσεις. Ελέγξτε αν είναι σωστές σημειώνοντας στην τρίτη στήλη τις λέξεις «ΝΑΙ», «ΟΧΙ», «ΔΕΝ ΞΕΡΩ». Εάν «ΟΧΙ», γράψτε εκεί τη σωστή απάντηση ή προσθέστε αυτή που λείπει.
<1 и <4,<2 и <4
ΡΕ)<1 и < 3 смежные?
Οχι. Είναι κάθετες
Ε) Ποιες ευθείες ονομάζονται κάθετες;
Δύο ευθείες ονομάζονται κάθετες αν τέμνονται σε ορθή γωνία.
Ζ) Σχεδιάστε τις κάθετες γωνίες ώστε οι πλευρές τους να είναι κάθετες ευθείες.
2. Ονομάστε τις κατακόρυφες γωνίες σε αυτό το σχήμα.
Σύνολο: 10 βαθμοί
"5" -10 βαθμοί?
"4" -8-9 βαθμοί;
«3» -5-7 πόντοι.
Εργασία επαλήθευσης Νο. 2.
Αποφασίστε για οποιαδήποτε επιλογή
Επιλογή Ι
Να βρείτε γειτονικές γωνίες αν η διαφορά τους και το άθροισμά τους είναι σε αναλογία 2:9. (4β)
Βρείτε όλες τις μη διογκωμένες γωνίες που σχηματίζονται στη τομή δύο ευθειών, εάν η μία από αυτές είναι 240 ° μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο. (6β)
Επιλογή II
1) Βρείτε τις γειτονικές γωνίες αν η διαφορά τους και το άθροισμά τους σχετίζονται ως 5:8(4b)
2) Βρείτε όλες τις μη διογκωμένες γωνίες που σχηματίζονται στη τομή δύο ευθειών, εάν η μία από αυτές είναι 60 ° μεγαλύτερη από το άθροισμα των άλλων δύο. (6β)
Σύνολο: 10 βαθμοί
"5" -10 βαθμοί?
"4" -8-9 βαθμοί;
«3» -5-7 πόντοι.