Τύπος μαθήματος:

Είδος μαθήματος:Διάλεξη, μάθημα επίλυσης προβλημάτων.

Διάρκεια: 2 ώρες.

Στόχοι: 1)Μάθετε τη γραφική μέθοδο.

2) Δείξτε τη χρήση του προγράμματος Maple στην επίλυση συστημάτων ανισώσεων χρησιμοποιώντας μια γραφική μέθοδο.

3) Αναπτύξτε αντίληψη και σκέψη για το θέμα.

Πλάνο μαθήματος:

Πρόοδος του μαθήματος.

Στάδιο 1: Η γραφική μέθοδος συνίσταται στην κατασκευή ενός συνόλου εφικτών λύσεων LLP και στην εύρεση ενός σημείου σε αυτό το σύνολο που αντιστοιχεί στο μέγιστο / λεπτό της αντικειμενικής συνάρτησης.

Λόγω των περιορισμένων δυνατοτήτων μιας οπτικής γραφικής αναπαράστασης, αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται μόνο για συστήματα γραμμικών ανισοτήτων με δύο άγνωστα και συστήματα που μπορούν να αναχθούν σε αυτή τη μορφή.

Για να δείξουμε οπτικά τη γραφική μέθοδο, θα λύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα:

1. Στο πρώτο στάδιο, είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί η περιοχή των εφικτών λύσεων. Για αυτό το παράδειγμα, είναι πιο βολικό να επιλέξετε X2 για την τετμημένη και X1 για την τεταγμένη και να γράψετε τις ανισότητες με την ακόλουθη μορφή:

Επειδή τόσο τα γραφήματα όσο και η περιοχή των αποδεκτών λύσεων βρίσκονται στο πρώτο τρίμηνο. Για να βρούμε τα οριακά σημεία, λύνουμε τις εξισώσεις (1)=(2), (1)=(3) και (2)=(3).

Όπως φαίνεται από την εικόνα, το πολύεδρο ABCDE σχηματίζει μια περιοχή εφικτών λύσεων.

Εάν το πεδίο των αποδεκτών λύσεων δεν είναι κλειστό, τότε είτε max(f)=+ ? είτε min(f)= -?.

2. Τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε στην απευθείας εύρεση του μέγιστου της συνάρτησης f.

Αντικαθιστώντας εναλλακτικά τις συντεταγμένες των κορυφών του πολυέδρου στη συνάρτηση f και συγκρίνοντας τις τιμές, βρίσκουμε ότι f(C)=f(4;1)=19 είναι το μέγιστο της συνάρτησης.

Αυτή η προσέγγιση είναι αρκετά ωφέλιμη για μικρό αριθμό κορυφών. Αλλά αυτή η διαδικασία μπορεί να καθυστερήσει εάν υπάρχουν πολλές κορυφές.

Σε αυτή την περίπτωση, είναι πιο βολικό να εξετάσουμε μια γραμμή επιπέδου της μορφής f=a. Με μονότονη αύξηση του αριθμού α από -; σε +; Οι ευθείες f=a μετατοπίζονται κατά μήκος του κανονικού διανύσματος Το κανονικό διάνυσμα έχει συντεταγμένες (С1;С2), όπου C1 και C2 είναι οι συντελεστές των αγνώστων στην αντικειμενική συνάρτηση f=C1?X1+C2?X2+C0.. Αν υπάρχει είναι κάποιο σημείο κατά τη διάρκεια μιας τέτοιας μετατόπισης της γραμμής επιπέδου X είναι το πρώτο κοινό σημείο της περιοχής των εφικτών λύσεων (πολύτοπος ABCDE) και η γραμμή στάθμης, τότε το f(X) είναι το ελάχιστο f στο σύνολο ABCDE. Αν X είναι το τελευταίο σημείο τομής της γραμμής στάθμης και του συνόλου ABCDE, τότε το f(X) είναι το μέγιστο στο σύνολο των εφικτών λύσεων. Αν για ένα>-; η ευθεία f=a τέμνει το σύνολο των αποδεκτών λύσεων, τότε min(f)= -?. Αν αυτό συμβαίνει όταν a>+?, τότε max(f)=+?.

Στο παράδειγμά μας, η ευθεία f=a διασχίζει την περιοχή ABCDE στο σημείο С(4;1). Εφόσον αυτό είναι το τελευταίο σημείο τομής, max(f)=f(C)=f(4;1)=19.

Να λύσετε γραφικά το σύστημα των ανισοτήτων. Βρείτε γωνιακές λύσεις.

x1>=0, x2>=0

>με(οικόπεδα);

>με(οικόπεδα)

> S1:=solve((f1x = X6, f2x = X6), );

Απάντηση: Όλα τα σημεία Si όπου i=1..10 για τα οποία τα x και y είναι θετικά.

Περιοχή που οριοθετείται από αυτά τα σημεία: (54/11.2/11) (5/7.60/7) (0.5) (10/3, 10/3)

Στάδιο 3. Σε κάθε μαθητή δίνεται μία από τις 20 επιλογές, στις οποίες ο μαθητής καλείται να λύσει ανεξάρτητα την ανισότητα χρησιμοποιώντας μια γραφική μέθοδο και τα υπόλοιπα παραδείγματα ως εργασία για το σπίτι.

Μάθημα №4 Γραφική επίλυση προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού

Τύπος μαθήματος:νέο υλικό μάθησης.

Είδος μαθήματος:Διάλεξη + μάθημα επίλυσης προβλημάτων.

Διάρκεια: 2 ώρες.

Στόχοι: 1) Μελετήστε τη γραφική λύση του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού.

2) Μάθετε να χρησιμοποιείτε το πρόγραμμα Maple κατά την επίλυση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού.

2) Αναπτύξτε την αντίληψη, τη σκέψη.

Πλάνο μαθήματος:Στάδιο 1: εκμάθηση νέου υλικού.

Στάδιο 2: Ανάπτυξη νέου υλικού στο μαθηματικό πακέτο Maple.

Στάδιο 3: έλεγχος του υλικού που μελετήθηκε και της εργασίας.

Πρόοδος του μαθήματος.

Η γραφική μέθοδος είναι αρκετά απλή και ξεκάθαρη για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με δύο μεταβλητές. Βασίζεται σε γεωμετρικόςαναπαράσταση αποδεκτών λύσεων και ψηφιακό φίλτρο του προβλήματος.

Κάθε μία από τις ανισώσεις του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού (1.2) ορίζει ένα ορισμένο ημιεπίπεδο στο επίπεδο συντεταγμένων (Εικ. 2.1) και το σύστημα ανισώσεων στο σύνολό του ορίζει την τομή των αντίστοιχων επιπέδων. Το σύνολο των σημείων τομής αυτών των ημιεπιπέδων ονομάζεται τομέα των εφικτών λύσεων(ODR). Η ODR είναι πάντα κυρτόςσχήμα, δηλ. που έχει την εξής ιδιότητα: αν δύο σημεία Α και Β ανήκουν σε αυτό το σχήμα, τότε ολόκληρο το τμήμα ΑΒ ανήκει σε αυτό. Το ODR μπορεί να αναπαρασταθεί γραφικά από ένα κυρτό πολύγωνο, μια απεριόριστη κυρτή πολυγωνική περιοχή, ένα τμήμα, μια ακτίνα, ένα μόνο σημείο. Εάν το σύστημα των περιορισμών του προβλήματος (1.2) είναι ασυνεπές, τότε το ODE είναι ένα κενό σύνολο.

Όλα τα παραπάνω ισχύουν και για την περίπτωση που το σύστημα περιορισμών (1.2) περιλαμβάνει ισότητες, αφού οποιαδήποτε ισότητα

μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα σύστημα δύο ανισοτήτων (βλ. Εικ. 2.1)

Το ψηφιακό φίλτρο σε μια σταθερή τιμή ορίζει μια ευθεία γραμμή στο επίπεδο. Αλλάζοντας τις τιμές του L, λαμβάνουμε μια οικογένεια παράλληλων ευθειών που ονομάζονται γραμμές επιπέδου.

Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι μια αλλαγή στην τιμή του L θα αλλάξει μόνο το μήκος του τμήματος που αποκόπτεται από τη γραμμή στάθμης στον άξονα (αρχική τεταγμένη) και η κλίση της ευθείας γραμμής θα παραμείνει σταθερή (βλ. 2.1). Επομένως, για τη λύση, θα αρκεί η κατασκευή μιας από τις γραμμές επιπέδου, επιλέγοντας αυθαίρετα την τιμή του L.

Το διάνυσμα με συντεταγμένες από τους συντελεστές CF στο και είναι κάθετο σε κάθε μία από τις γραμμές επιπέδου (βλ. Εικ. 2.1). Η κατεύθυνση του διανύσματος είναι ίδια με την κατεύθυνση αυξανόμενηΚΙ, που είναι ένα σημαντικό σημείο για την επίλυση προβλημάτων. Κατεύθυνση φθίνωνΤο ψηφιακό φίλτρο είναι αντίθετο από την κατεύθυνση του διανύσματος.

Η ουσία της γραφικής μεθόδου είναι η εξής. Στην κατεύθυνση (έναντι της κατεύθυνσης) του διανύσματος στο ODR, πραγματοποιείται η αναζήτηση για το βέλτιστο σημείο. Το βέλτιστο σημείο είναι το σημείο από το οποίο διέρχεται η γραμμή επιπέδου, που αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης. Η βέλτιστη λύση βρίσκεται πάντα στο όριο ODT, για παράδειγμα, στην τελευταία κορυφή του πολυγώνου ODT από το οποίο διέρχεται η γραμμή στόχος ή σε ολόκληρη την πλευρά του.

Κατά την αναζήτηση της βέλτιστης λύσης σε προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, είναι δυνατές οι ακόλουθες καταστάσεις: υπάρχει μια μοναδική λύση στο πρόβλημα. υπάρχει άπειρος αριθμός λύσεων (εναλλακτικό optium). Η ΚΙ δεν περιορίζεται. η περιοχή των εφικτών λύσεων είναι ένα μόνο σημείο. το πρόβλημα δεν έχει λύση.

Εικόνα 2.1 Γεωμετρική ερμηνεία των περιορισμών και του CF του προβλήματος.

Μεθοδολογία επίλυσης προβλημάτων LP με γραφική μέθοδο

I. Στους περιορισμούς του προβλήματος (1.2), αντικαταστήστε τα πρόσημα των ανισώσεων με πρόσημα ακριβών ισοτήτων και κατασκευάστε τις αντίστοιχες ευθείες γραμμές.

II. Βρείτε και σκιάστε τα ημιεπίπεδα που επιτρέπονται από κάθε έναν από τους περιορισμούς ανισότητας του προβλήματος (1.2). Για να γίνει αυτό, πρέπει να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες ενός σημείου [για παράδειγμα, (0; 0)] σε μια συγκεκριμένη ανισότητα και να ελέγξετε την αλήθεια της προκύπτουσας ανισότητας.

Αν ένααληθινή ανισότητα,

έπειταείναι απαραίτητο να σκιαστεί το ημιεπίπεδο που περιέχει το δεδομένο σημείο.

σε διαφορετική περίπτωση(η ανισότητα είναι ψευδής) είναι απαραίτητο να σκιάσεις το ημιεπίπεδο που δεν περιέχει το δεδομένο σημείο.

Εφόσον και πρέπει να είναι μη αρνητικές, οι έγκυρες τιμές τους θα είναι πάντα πάνω από τον άξονα και στα δεξιά του άξονα, δηλ. στο Ι τεταρτημόριο.

Οι περιορισμοί ισότητας επιτρέπουν μόνο εκείνα τα σημεία που βρίσκονται στην αντίστοιχη ευθεία. Επομένως, είναι απαραίτητο να επισημανθούν τέτοιες γραμμές στο γράφημα.

III. Ορίστε το ODR ως μέρος του επιπέδου που ανήκει ταυτόχρονα σε όλες τις επιτρεπόμενες περιοχές και επιλέξτε το. Ελλείψει ΣΔΕ, το πρόβλημα δεν έχει λύσεις.

IV. Εάν το ODS δεν είναι ένα κενό σύνολο, τότε είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί η γραμμή στόχου, δηλ. οποιαδήποτε από τις γραμμές επιπέδου (όπου L είναι ένας αυθαίρετος αριθμός, για παράδειγμα, πολλαπλάσιο του και, δηλ. βολικό για υπολογισμούς). Η μέθοδος κατασκευής είναι παρόμοια με την κατασκευή άμεσων περιορισμών.

V. Κατασκευάστε ένα διάνυσμα που ξεκινά από το σημείο (0;0) και τελειώνει στο σημείο. Εάν η γραμμή στόχος και το διάνυσμα έχουν κατασκευαστεί σωστά, τότε θα γίνουν κάθετος.

VI. Κατά την αναζήτηση για το μέγιστο του ψηφιακού φίλτρου, είναι απαραίτητο να μετακινήσετε τη γραμμή στόχου στην κατεύθυνσηδιάνυσμα, κατά την αναζήτηση για το ελάχιστο του ψηφιακού φίλτρου - ενάντια στην κατεύθυνσηδιάνυσμα. Η τελευταία κορυφή του ODR προς την κατεύθυνση κίνησης θα είναι το μέγιστο ή το ελάχιστο σημείο του CF. Εάν δεν υπάρχουν τέτοια σημεία, τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι απεριόριστο του ψηφιακού φίλτρου στο σύνολο των σχεδίωναπό πάνω (όταν αναζητάτε ένα μέγιστο) ή από κάτω (όταν αναζητάτε ένα ελάχιστο).

VII. Προσδιορίστε τις συντεταγμένες του σημείου max (min) του ψηφιακού φίλτρου και υπολογίστε την τιμή του ψηφιακού φίλτρου. Για τον υπολογισμό των συντεταγμένων του βέλτιστου σημείου, είναι απαραίτητο να λυθεί το σύστημα εξισώσεων των ευθειών στην τομή του οποίου βρίσκεται.

Επίλυση προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού

1. f(x)=2x1+x2 ->εξωτ

x1>=0, x2>=0

>οικόπεδα((a+b<=3,a+3*b<=5,5*a-b<=5,a+b>=0,a>=0,b>=0), a=-2..5, b=-2..5, εφικτές επιλογές=(χρώμα=κόκκινο),

optionopen=(χρώμα=μπλε, πάχος=2),

optionsclosed=(χρώμα=πράσινο, πάχος=3),

optionsexcluded=(color=yellow));

> with(simplex):

> C:=(x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0};

> dp:=setup((x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0});

>n:=βάση(dp);

W οθόνη (C,);

> L:=cterm(C);

W X:=dual(f,C,p);

W f_max:=subs(R,f);

W R1:=ελαχιστοποίηση(f,C ,ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΟ);

f_min:=subs(R1,f);

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Πότε Χ 1 =5/4 Χ 2 =5/4 f_max=15/4; Στο Χ 1 =0 Χ 2 =0 f_min=0;

Μάθημα #5

Τύπος μαθήματος:έλεγχος μαθήματος + νέο υλικό μάθησης. Είδος μαθήματος: Διάλεξη.

Διάρκεια: 2 ώρες.

Στόχοι: 1)Έλεγχος και εμπέδωση γνώσεων σχετικά με την προηγούμενη ύλη σε προηγούμενα μαθήματα.

2) Μάθετε μια νέα μέθοδο για την επίλυση παιχνιδιών μήτρας.

3) αναπτύξτε τη μνήμη, τη μαθηματική σκέψη και την προσοχή.

Στάδιο 1: ελέγξτε την εργασία με τη μορφή ανεξάρτητης εργασίας.

Στάδιο 2:δώστε μια σύντομη περιγραφή της μεθόδου ζιγκ-ζαγκ

Στάδιο 3:εμπεδώστε νέο υλικό και δώστε εργασίες για το σπίτι.

Πρόοδος του μαθήματος.

Μέθοδοι γραμμικού προγραμματισμού - αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης που ανάγονται σε τυπικά μοντέλα γραμμικού προγραμματισμού.

Όπως είναι γνωστό, οποιοδήποτε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να αναχθεί σε ένα κανονικό μοντέλο για την ελαχιστοποίηση μιας γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης με γραμμικούς περιορισμούς τύπου ισότητας. Δεδομένου ότι ο αριθμός των μεταβλητών σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των περιορισμών (n > m), μια λύση μπορεί να ληφθεί εξισώνοντας τις μεταβλητές (n - m) με το μηδέν, που ονομάζεται Ελεύθερος. Οι υπόλοιπες m μεταβλητές, καλούνται βασικός, μπορεί εύκολα να προσδιοριστεί από το σύστημα των περιορισμών ισότητας με τις συνήθεις μεθόδους της γραμμικής άλγεβρας. Εάν υπάρχει λύση, τότε καλείται βασικός. Εάν η βασική λύση είναι αποδεκτή, τότε καλείται βασικά παραδεκτά. Γεωμετρικά, οι βασικές εφικτές λύσεις αντιστοιχούν στις κορυφές (ακραία σημεία) ενός κυρτού πολυέδρου, γεγονός που περιορίζει το σύνολο των εφικτών λύσεων. Εάν ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού έχει βέλτιστες λύσεις, τότε τουλάχιστον μία από αυτές είναι βασική.

Οι παραπάνω σκέψεις σημαίνουν ότι κατά την αναζήτηση μιας βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, αρκεί να περιοριστούμε στην απαρίθμηση των βασικών αποδεκτών λύσεων. Ο αριθμός των βασικών λύσεων είναι ίσος με τον αριθμό των συνδυασμών n μεταβλητών σε m:

C = m n! /nm! * (n - m)!

και μπορεί να είναι αρκετά μεγάλο για να τα απαρίθμηση με άμεση απαρίθμηση σε πραγματικό χρόνο. Το γεγονός ότι δεν είναι όλες οι βασικές λύσεις αποδεκτές δεν αλλάζει την ουσία του προβλήματος, αφού για να αξιολογηθεί το παραδεκτό μιας βασικής λύσης, πρέπει να επιτευχθεί.

Το πρόβλημα της ορθολογικής απαρίθμησης βασικών λύσεων ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού επιλύθηκε για πρώτη φορά από τον J. Dantzig. Η μέθοδος simplex που προτείνει είναι μακράν η πιο κοινή μέθοδος γενικού γραμμικού προγραμματισμού. Η μέθοδος simplex υλοποιεί μια κατευθυνόμενη απαρίθμηση εφικτών βασικών λύσεων κατά μήκος των αντίστοιχων ακραίων σημείων του κυρτού πολυέδρου των εφικτών λύσεων ως επαναληπτική διαδικασία, όπου οι τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης μειώνονται αυστηρά σε κάθε βήμα. Η μετάβαση μεταξύ των ακραίων σημείων πραγματοποιείται κατά μήκος των άκρων του κυρτού πολυέδρου των εφικτών λύσεων σύμφωνα με απλούς γραμμικούς-αλγεβρικούς μετασχηματισμούς του συστήματος περιορισμών. Δεδομένου ότι ο αριθμός των ακραίων σημείων είναι πεπερασμένος και η αντικειμενική συνάρτηση είναι γραμμική, τότε ταξινομώντας τα ακραία σημεία προς την κατεύθυνση της φθίνουσας αντικειμενικής συνάρτησης, η μέθοδος simplex συγκλίνει στο συνολικό ελάχιστο σε έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων.

Η πρακτική έχει δείξει ότι για τα περισσότερα εφαρμοζόμενα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, η μέθοδος simplex επιτρέπει την εύρεση της βέλτιστης λύσης σε σχετικά μικρό αριθμό βημάτων σε σύγκριση με τον συνολικό αριθμό ακραίων σημείων ενός αποδεκτού πολυέδρου. Ταυτόχρονα, είναι γνωστό ότι για ορισμένα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού με μια ειδικά επιλεγμένη μορφή της αποδεκτής περιοχής, η χρήση της μεθόδου simplex οδηγεί σε πλήρη απαρίθμηση των ακραίων σημείων. Το γεγονός αυτό ενέπνευσε ως ένα βαθμό την αναζήτηση νέων αποτελεσματικών μεθόδων για την επίλυση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού, βασισμένες σε ιδέες διαφορετικές από τη μέθοδο simplex, που επιτρέπουν την επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων, σημαντικά μικρότερα από τον αριθμό των ακραίων σημεία.

Μεταξύ των μεθόδων πολυωνυμικού γραμμικού προγραμματισμού που είναι αμετάβλητες ως προς τη διαμόρφωση του εύρους των επιτρεπόμενων τιμών, η πιο κοινή είναι η μέθοδος του L.G. Khachiyan. Ωστόσο, παρόλο που αυτή η μέθοδος έχει μια εκτίμηση πολυωνυμικής πολυπλοκότητας ανάλογα με τη διάσταση του προβλήματος, εντούτοις αποδεικνύεται ότι δεν είναι ανταγωνιστική σε σύγκριση με τη μέθοδο simplex. Ο λόγος για αυτό είναι ότι η εξάρτηση του αριθμού των επαναλήψεων της μεθόδου simplex από τη διάσταση του προβλήματος εκφράζεται με ένα πολυώνυμο 3ης τάξης για τα περισσότερα πρακτικά προβλήματα, ενώ στη μέθοδο Khachiyan, αυτή η εξάρτηση έχει πάντα τάξη τουλάχιστον 4η. Το γεγονός αυτό είναι αποφασιστικής σημασίας για την πρακτική, όπου τα σύνθετα εφαρμοσμένα προβλήματα για τη μέθοδο simplex είναι εξαιρετικά σπάνια.

Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι για εφαρμοσμένα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού που είναι σημαντικά από πρακτική άποψη, έχουν αναπτυχθεί ειδικές μέθοδοι που λαμβάνουν υπόψη την ειδική φύση των περιορισμών του προβλήματος. Ειδικότερα, για ένα πρόβλημα ομοιογενούς μεταφοράς, χρησιμοποιούνται ειδικοί αλγόριθμοι για την επιλογή της αρχικής βάσης, οι πιο διάσημοι από τους οποίους είναι η μέθοδος βορειοδυτικής γωνίας και η κατά προσέγγιση μέθοδος Vogel, και η αλγοριθμική εφαρμογή της ίδιας της μεθόδου simplex είναι κοντά στις ιδιαιτερότητες του το πρόβλημα. Για την επίλυση του προβλήματος γραμμικής ανάθεσης (πρόβλημα επιλογής), αντί της μεθόδου simplex, συνήθως χρησιμοποιείται είτε ο ουγγρικός αλγόριθμος, βασισμένος στην ερμηνεία του προβλήματος από την άποψη της θεωρίας γραφημάτων ως το πρόβλημα εύρεσης της μέγιστης σταθμισμένης τέλειας αντιστοίχισης σε ένα διμερές γράφημα ή τη μέθοδο Mack.

Λύστε ένα παιχνίδι μήτρας 3x3

f(x)=x 1 +x 2 +x 3

x1>=0, x2>=0, x3>=0

> with(simplex):

> C:=( 0*x+3*y+2*z<=1, 2*x+0*y+1*z <=1, 3*x+0*y+0*z <=1};

W οθόνη (C,);

> εφικτό (C, NONNEGATIVE , "NewC", "Transform");

> S:=dual(f,C,p);

W R:=maximize(f,C,ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΟ);

W f_max:=subs(R,f);

W R1:=ελαχιστοποίηση(S ,ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΟ);

>G:=p1+p2+p3;

> f_min:=subs(R1,G);

Βρείτε την τιμή του παιχνιδιού

> V:=1/f_max;

Εύρεση της βέλτιστης στρατηγικής για τον πρώτο παίκτη >X:=V*R1;

Εύρεση της βέλτιστης στρατηγικής για τον δεύτερο παίκτη

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Όταν X=(3/7, 3/7,1/7) V=9/7; Με Υ=(3/7,1/7,3/7) V=9/7;

Σε κάθε μαθητή δίνεται μία από τις 20 επιλογές, στις οποίες ο μαθητής καλείται να λύσει ανεξάρτητα το παιχνίδι μήτρας 2x2 και τα υπόλοιπα παραδείγματα ως εργασία για το σπίτι.

Στόχοι:

1. Επαναλάβετε γνώσεις για την τετραγωνική συνάρτηση.

2. Εξοικειωθείτε με τη μέθοδο επίλυσης τετραγωνικής ανισότητας με βάση τις ιδιότητες μιας τετραγωνικής συνάρτησης.

Εξοπλισμός:πολυμέσα, παρουσίαση «Επίλυση τετραγωνικών ανισώσεων», κάρτες για ανεξάρτητη εργασία, πίνακας «Αλγόριθμος επίλυσης τετραγωνικών ανισώσεων», φύλλα ελέγχου με ανθρακικό χαρτί.

ΚΑΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Ι. Οργανωτική στιγμή (1 λεπτό).

II. Επικαιροποίηση βασικών γνώσεων(10 λεπτά).

1. Σχεδιάζοντας μια τετραγωνική συνάρτηση y \u003d x 2 -6x + 8<Рисунок 1. Приложение >

• προσδιορισμός της κατεύθυνσης των κλάδων της παραβολής.
• Προσδιορισμός των συντεταγμένων της κορυφής της παραβολής.
• προσδιορισμός του άξονα συμμετρίας.
• προσδιορισμός σημείων τομής με άξονες συντεταγμένων.
• βρίσκοντας επιπλέον σημεία.

2. Να προσδιορίσετε από το σχέδιο το πρόσημο του συντελεστή α και τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης ax 2 +in+c=0.<Рисунок 2. Приложение >

3. Σύμφωνα με το γράφημα της συνάρτησης y \u003d x 2 -4x + 3, προσδιορίστε:

• Ποια είναι τα μηδενικά της συνάρτησης;
• Βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση παίρνει θετικές τιμές.
• Βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση παίρνει αρνητικές τιμές.
• Σε ποιες τιμές του x αυξάνεται η συνάρτηση και σε ποιες τιμές μειώνεται;<Рисунок 3>

4. Εκμάθηση νέων γνώσεων (12 λεπτά)

Εργασία 1: Λύστε την ανίσωση: x 2 +4x-5 > 0.

Η ανισότητα ικανοποιείται από τις τιμές x στις οποίες οι τιμές της συνάρτησης y=x 2 +4x-5 είναι ίσες με μηδέν ή θετικές, δηλαδή αυτές οι τιμές x στις οποίες βρίσκονται τα σημεία της παραβολής στον άξονα x ή πάνω από αυτόν τον άξονα.

Ας δημιουργήσουμε ένα γράφημα της συνάρτησης y \u003d x 2 + 4x-5.

Με τον άξονα x: X 2 + 4x-5 \u003d 0. Σύμφωνα με το θεώρημα Vieta: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -5. Πόντοι(1;0),(-5;0).

Με τον άξονα y: y(0)=-5. Πόντος (0;-5).

Πρόσθετοι πόντοι: y(-1)=-8, y(2)=7.<Рисунок 4>

Κατώτατη γραμμή: Οι τιμές της συνάρτησης είναι θετικές και ίσες με μηδέν (μη αρνητικές) όταν

• Είναι απαραίτητο να σχεδιάσουμε μια τετραγωνική συνάρτηση λεπτομερώς κάθε φορά για να λύσουμε μια ανισότητα;
• Χρειάζεται να βρω τις συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής;
• Τι είναι σημαντικό? (a, x 1, x 2)

Συμπέρασμα: Για να λυθεί μια τετραγωνική ανισότητα, αρκεί να προσδιορίσουμε τα μηδενικά της συνάρτησης, την κατεύθυνση των διακλαδώσεων της παραβολής και να φτιάξουμε ένα σκίτσο της γραφικής παράστασης.

Εργασία 2: Λύστε την ανίσωση: x 2 -6x + 8 < 0.

Λύση: Ας προσδιορίσουμε τις ρίζες της εξίσωσης x 2 -6x+8=0.

Σύμφωνα με το θεώρημα Vieta: x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 4.

α>0 - οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω.

Ας φτιάξουμε ένα σκίτσο του γραφήματος.<Рисунок 5>

Σημειώνουμε με τα σημάδια «+» και «–» τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση παίρνει θετικές και αρνητικές τιμές. Ας επιλέξουμε το διάστημα που χρειαζόμαστε.

Απάντηση: Χ€.

5. Ενοποίηση νέου υλικού (7 λεπτά).

Νο. 660 (3). Ο μαθητής αποφασίζει στον πίνακα.

Λύστε την ανισότητα-x 2 -3x-2<0.

X 2 -3x-2=0; x 2 +3x+2=0;

οι ρίζες της εξίσωσης: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -2.

ένα<0 – ветви вниз. <Рисунок 6>

Νο. 660 (1) - Εργασία με κρυφό πίνακα.

Λύστε την ανίσωση x 2 -3x + 2 < 0.

Λύση: x 2 -3x+2=0.

Ας βρούμε τις ρίζες: ; x 1 =1, x 2 =2.

a>0 - διακλαδώνεται. Κατασκευάζουμε ένα σκίτσο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.<Рисунок 7>

Αλγόριθμος:

1. Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης ax 2 + in + c \u003d 0.
2. Σημειώστε τα στο επίπεδο συντεταγμένων.
3. Προσδιορίστε την κατεύθυνση των κλάδων της παραβολής.
4. Σκιαγράφησε ένα διάγραμμα.
5. Σημειώστε με τα σημάδια «+» και «-», τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση παίρνει θετικές και αρνητικές τιμές.
6. Επιλέξτε το επιθυμητό διάστημα.

6. Ανεξάρτητη εργασία (10 λεπτά).

(Υποδοχή - carbon paper).

Το φύλλο ελέγχου υπογράφεται και παραδίδεται στον εκπαιδευτικό για έλεγχο και διόρθωση.

Αυτοέλεγχος στο ταμπλό.

Πρόσθετη εργασία:

№ 670. Βρείτε τις τιμές του x στις οποίες η συνάρτηση παίρνει τιμές όχι μεγαλύτερες από το μηδέν: y=x 2 +6x-9.

7. Εργασία για το σπίτι (2 λεπτά).

№ 660 (2, 4), № 661 (2, 4).

Γέμισε το τραπέζι:

ρε	Ανισότητα	ένα	Σχέδιο	Λύση
D>0	τσεκούρι 2 + σε + s > 0	α>0
D>0	τσεκούρι 2 + σε + s > 0	ένα<0
D>0	τσεκούρι 2 + σε + s < 0	α>0
D>0	τσεκούρι 2 + σε + s < 0	ένα<0

8. Περίληψη του μαθήματος (3 λεπτά).

1. Αναπαράγετε τον αλγόριθμο για την επίλυση ανισώσεων.
2. Ποιος έκανε σπουδαία δουλειά;
3. Τι φαινόταν δύσκολο;

Η γραφική μέθοδος είναι μια από τις κύριες μεθόδους επίλυσης τετραγωνικών ανισώσεων. Στο άρθρο, θα παρουσιάσουμε έναν αλγόριθμο για την εφαρμογή της γραφικής μεθόδου και στη συνέχεια θα εξετάσουμε ειδικές περιπτώσεις χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Η ουσία της γραφικής μεθόδου

Η μέθοδος είναι εφαρμόσιμη για την επίλυση τυχόν ανισοτήτων, όχι μόνο τετραγωνικών. Η ουσία του είναι η εξής: το δεξί και το αριστερό μέρος της ανισότητας θεωρούνται ως δύο ξεχωριστές συναρτήσεις y \u003d f (x) και y \u003d g (x), τα γραφήματα τους είναι κατασκευασμένα σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και εξετάζουν ποια από τα γραφήματα βρίσκονται πάνω από το άλλο και σε ποια διαστήματα. Τα διαστήματα αξιολογούνται ως εξής:

Ορισμός 1

• Οι λύσεις της ανίσωσης f(x) > g(x) είναι τα διαστήματα όπου η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι μεγαλύτερη από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g.
• Οι λύσεις της ανίσωσης f (x) ≥ g (x) είναι τα διαστήματα όπου η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν είναι μικρότερη από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g.
• λύσεις της ανίσωσης f (x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• Οι λύσεις της ανίσωσης f (x) ≤ g (x) είναι τα διαστήματα όπου η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν είναι μεγαλύτερη από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g.
• τα τετμημένα των σημείων τομής των γραφημάτων των συναρτήσεων f και g είναι λύσεις της εξίσωσης f(x) = g(x) .

Εξετάστε τον παραπάνω αλγόριθμο με ένα παράδειγμα. Για να γίνει αυτό, πάρτε την τετραγωνική ανισότητα a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) και να αντλήσουμε δύο συναρτήσεις από αυτό. Η αριστερή πλευρά της ανισότητας θα αντιστοιχεί σε y = a x 2 + b x + c (στην περίπτωση αυτή f (x) = a x 2 + b x + c), και η δεξιά y = 0 (στην περίπτωση αυτή g (x) = 0 ).

Η γραφική παράσταση της πρώτης συνάρτησης είναι μια παραβολή, η δεύτερη είναι μια ευθεία γραμμή που συμπίπτει με τον άξονα x. Ας αναλύσουμε τη θέση της παραβολής ως προς τον άξονα x. Για να γίνει αυτό, θα εκτελέσουμε ένα σχηματικό σχέδιο.

Οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω. Τέμνει τον άξονα x σε σημεία x 1και x2. Συντελεστής α έως αυτή η υπόθεσηθετικό, αφού είναι αυτός που είναι υπεύθυνος για την κατεύθυνση των κλάδων της παραβολής. Η διάκριση είναι θετική, υποδεικνύοντας ότι το τετράγωνο τριώνυμο έχει δύο ρίζες. a x 2 + b x + c. Σημειώνουμε τις ρίζες του τριωνύμου ως x 1και x2, και έγινε αποδεκτό ότι x 1< x 2 , αφού στον άξονα Ο x απεικόνιζαν σημείο με τετμημένη x 1στα αριστερά του σημείου με την τετμημένη x2.

Τα μέρη της παραβολής που βρίσκονται πάνω από τον άξονα O x συμβολίζονται με κόκκινο, κάτω - με μπλε. Αυτό θα μας επιτρέψει να κάνουμε το σχέδιο πιο οπτικό.

Ας επιλέξουμε τα κενά που αντιστοιχούν σε αυτά τα μέρη και ας τα σημειώσουμε στο σχήμα με πεδία συγκεκριμένου χρώματος.

Σημειώσαμε με κόκκινο τα διαστήματα (− ∞, x 1) και (x 2, + ∞), σε αυτά η παραβολή βρίσκεται πάνω από τον άξονα O x. Είναι a x 2 + b x + c > 0 . Με μπλε, σημειώσαμε το διάστημα (x 1 , x 2) , που είναι η λύση της ανισότητας a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Ας κάνουμε μια σύντομη σημείωση για τη λύση. Για a > 0 και D = b 2 − 4 a c > 0 (ή D " = D 4 > 0 για ζυγό συντελεστή b) παίρνουμε:

• η λύση της τετραγωνικής ανισότητας a x 2 + b x + c > 0 είναι (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) ή με άλλο τρόπο x< x 1 , x >x2;
• η λύση της δευτεροβάθμιας ανισότητας a · x 2 + b · x + c ≥ 0 είναι (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) ή με άλλη συμβολή x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• λύση της τετραγωνικής ανίσωσης a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• η λύση της δευτεροβάθμιας ανισότητας a x 2 + b x + c ≤ 0 είναι [ x 1 , x 2 ] ή με άλλο συμβολισμό x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

όπου x 1 και x 2 είναι οι ρίζες του τετραγωνικού τριωνύμου a x 2 + b x + c, και x 1< x 2 .

Σε αυτό το σχήμα, η παραβολή αγγίζει τον άξονα O x σε ένα μόνο σημείο, το οποίο υποδεικνύεται ως x0 α > 0. D=0, επομένως, το τετράγωνο τριώνυμο έχει μία ρίζα x0.

Η παραβολή βρίσκεται εντελώς πάνω από τον άξονα O x, εκτός από το σημείο επαφής του άξονα συντεταγμένων. Χρωματίστε τα κενά (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Ας γράψουμε τα αποτελέσματα. Στο α > 0και D=0:

• λύση της τετραγωνικής ανισότητας a x 2 + b x + c > 0είναι (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) ή με άλλο συμβολισμό x ≠ x0;
• λύση της τετραγωνικής ανισότητας a x 2 + b x + c ≥ 0είναι (− ∞ , + ∞) ή σε άλλη σημειογραφία x ∈ R ;
• τετραγωνική ανισότητα a x 2 + b x + c< 0 δεν έχει λύσεις (δεν υπάρχουν διαστήματα στα οποία η παραβολή βρίσκεται κάτω από τον άξονα O x);
• τετραγωνική ανισότητα a x 2 + b x + c ≤ 0έχει τη μόνη λύση x = x0(δίνεται από το σημείο επαφής),

όπου x0- η ρίζα ενός τετραγωνικού τριωνύμου a x 2 + b x + c.

Εξετάστε την τρίτη περίπτωση, όταν οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω και δεν αγγίζουν τον άξονα O x. Οι κλάδοι της παραβολής δείχνουν προς τα πάνω, που σημαίνει ότι α > 0. Το τετράγωνο τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες γιατί ρε< 0 .

Δεν υπάρχουν διαστήματα στο γράφημα στα οποία η παραβολή θα ήταν κάτω από τον άξονα x. Αυτό θα το λάβουμε υπόψη όταν επιλέγουμε ένα χρώμα για το σχέδιό μας.

Αποδεικνύεται ότι όταν α > 0και ρε< 0 επίλυση τετραγωνικών ανισώσεων a x 2 + b x + c > 0και a x 2 + b x + c ≥ 0είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών και των ανισώσεων a x 2 + b x + c< 0 και a x 2 + b x + c ≤ 0δεν έχουν λύσεις.

Μένει να εξετάσουμε τρεις επιλογές όταν οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα κάτω. Δεν χρειάζεται να σταθούμε σε αυτές τις τρεις επιλογές, αφού πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη της ανίσωσης με − 1, προκύπτει μια ισοδύναμη ανισότητα με θετικό συντελεστή x 2.

Η εξέταση της προηγούμενης ενότητας του άρθρου μας προετοίμασε για την αντίληψη του αλγορίθμου για την επίλυση ανισώσεων χρησιμοποιώντας μια γραφική μέθοδο. Για να κάνουμε υπολογισμούς, θα πρέπει να χρησιμοποιούμε κάθε φορά ένα σχέδιο, το οποίο θα δείχνει την ευθεία συντεταγμένων O x και μια παραβολή που αντιστοιχεί σε μια τετραγωνική συνάρτηση y = a x 2 + b x + c. Στις περισσότερες περιπτώσεις, δεν θα απεικονίσουμε τον άξονα O y, καθώς δεν χρειάζεται για υπολογισμούς και θα υπερφορτώσει μόνο το σχέδιο.

Για να κατασκευάσουμε μια παραβολή, θα πρέπει να γνωρίζουμε δύο πράγματα:

Ορισμός 2

• την κατεύθυνση των κλάδων, η οποία καθορίζεται από την τιμή του συντελεστή a ;
• η παρουσία σημείων τομής της παραβολής και του άξονα της τετμημένης, τα οποία καθορίζονται από την τιμή της διάκρισης του τετραγωνικού τριωνύμου a · x 2 + b · x + c.

Θα προσδιορίσουμε τα σημεία τομής και εφαπτομένης με τον συνήθη τρόπο κατά την επίλυση μη αυστηρών ανισοτήτων και κενά κατά την επίλυση αυστηρών ανισοτήτων.

Έχοντας ένα ολοκληρωμένο σχέδιο, μπορείτε να προχωρήσετε στο επόμενο βήμα της λύσης. Περιλαμβάνει τον προσδιορισμό των διαστημάτων στα οποία η παραβολή βρίσκεται πάνω ή κάτω από τον άξονα O x. Τα κενά και τα σημεία τομής είναι η λύση στην τετραγωνική ανισότητα. Εάν δεν υπάρχουν σημεία τομής ή εφαπτομένης και δεν υπάρχουν διαστήματα, τότε θεωρείται ότι η ανισότητα που καθορίζεται στις συνθήκες του προβλήματος δεν έχει λύσεις.

Τώρα ας λύσουμε μερικές τετραγωνικές ανισώσεις χρησιμοποιώντας τον παραπάνω αλγόριθμο.

Παράδειγμα 1

Είναι απαραίτητο να λυθεί γραφικά η ανισότητα 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2.

Λύση

Ας σχεδιάσουμε μια γραφική παράσταση της τετραγωνικής συνάρτησης y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Συντελεστής στο x2θετικό γιατί 2 . Αυτό σημαίνει ότι οι κλάδοι της παραβολής θα κατευθύνονται προς τα πάνω.

Υπολογίζουμε τη διάκριση του τετραγώνου τριωνύμου 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 για να βρούμε αν η παραβολή έχει κοινά σημεία με τον άξονα x. Παίρνουμε:

D \u003d 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) \u003d 400 9

Όπως μπορείτε να δείτε, το D είναι μεγαλύτερο από το μηδέν, επομένως, έχουμε δύο σημεία τομής: x 1 \u003d - 5 1 3 - 400 9 2 2 και x 2 \u003d - 5 1 3 + 400 9 2 2, δηλαδή, x 1 = − 3και x 2 = 1 3.

Επιλύουμε μια μη αυστηρή ανισότητα, επομένως βάζουμε συνηθισμένα σημεία στο γράφημα. Σχεδιάζουμε μια παραβολή. Όπως μπορείτε να δείτε, το σχέδιο έχει την ίδια εμφάνιση όπως στο πρώτο πρότυπο που εξετάσαμε.

Η ανισότητα μας έχει πρόσημο ≤ . Επομένως, πρέπει να επιλέξουμε τα κενά στο γράφημα όπου η παραβολή βρίσκεται κάτω από τον άξονα O x και να προσθέσουμε σημεία τομής σε αυτά.

Το διάστημα που χρειαζόμαστε είναι − 3 , 1 3 . Του προσθέτουμε σημεία τομής και παίρνουμε ένα αριθμητικό τμήμα − 3 , 1 3 . Αυτή είναι η λύση στο πρόβλημά μας. Η απάντηση μπορεί να γραφτεί ως διπλή ανισότητα: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Απάντηση:− 3 , 1 3 ή − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Παράδειγμα 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 γραφική μέθοδος.

Λύση

Το τετράγωνο της μεταβλητής έχει αρνητικό αριθμητικό συντελεστή, άρα οι κλάδοι της παραβολής θα δείχνουν προς τα κάτω. Υπολογίστε το τέταρτο μέρος της διάκρισης D" = 8 2 − (− 1) (− 63) = 64 − 63 = 1. Αυτό το αποτέλεσμα μας λέει ότι θα υπάρχουν δύο σημεία τομής.

Ας υπολογίσουμε τις ρίζες του τετραγωνικού τριωνύμου: x 1 \u003d - 8 + 1 - 1 και x 2 \u003d - 8 - 1 - 1, x 1 \u003d 7 και x2 = 9.

Αποδεικνύεται ότι η παραβολή τέμνει τον άξονα x σε σημεία 7 και 9 . Σημειώνουμε αυτά τα σημεία στο γράφημα ως άδεια, αφού εργαζόμαστε με αυστηρή ανισότητα. Μετά από αυτό, σχεδιάζουμε μια παραβολή που τέμνει τον άξονα O x στα σημειωμένα σημεία.

Θα μας ενδιαφέρουν τα διαστήματα στα οποία η παραβολή βρίσκεται κάτω από τον άξονα Ο x. Σημειώστε αυτά τα διαστήματα με μπλε χρώμα.

Παίρνουμε την απάντηση: η λύση της ανίσωσης είναι τα διαστήματα (− ∞ , 7) , (9 , + ∞) .

Απάντηση:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) ή με άλλο συμβολισμό x< 7 , x > 9 .

Σε περιπτώσεις όπου η διάκριση ενός τετραγωνικού τριωνύμου είναι μηδέν, πρέπει να ληφθεί μέριμνα για να εξεταστεί εάν θα συμπεριληφθεί η τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου στην απάντηση. Για να ληφθεί η σωστή απόφαση, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη το πρόσημο της ανισότητας. Στις αυστηρές ανισότητες, το σημείο επαφής του άξονα της τετμημένης δεν είναι λύση της ανισότητας, στις μη αυστηρές είναι.

Παράδειγμα 3

Λύστε την τετραγωνική ανίσωση 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0γραφική μέθοδος.

Λύση

Οι κλάδοι της παραβολής σε αυτή την περίπτωση θα κατευθύνονται προς τα πάνω. Θα αγγίξει τον άξονα O x στο σημείο 0, 7, αφού

Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. Οι κλάδοι του κατευθύνονται προς τα πάνω, αφού ο συντελεστής στο x2θετικό, και αγγίζει τον άξονα x στο σημείο με τον άξονα x 0 , 7 , επειδή D" = (− 7) 2 − 10 4, 9 = 0, από όπου x 0 = 7 10 ή 0 , 7 .

Ας βάλουμε ένα σημείο και ας σχεδιάσουμε μια παραβολή.

Λύνουμε μια μη αυστηρή ανισότητα με το πρόσημο ≤ . Συνεπώς. Θα μας ενδιαφέρουν τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται η παραβολή κάτω από τον άξονα x και το σημείο επαφής. Δεν υπάρχουν διαστήματα στο σχήμα που θα ικανοποιούσαν τις προϋποθέσεις μας. Υπάρχει μόνο ένα σημείο επαφής 0, 7. Αυτή είναι η επιθυμητή λύση.

Απάντηση:Η ανισότητα έχει μόνο μία λύση 0 , 7 .

Παράδειγμα 4

Λύστε την τετραγωνική ανίσωση – x 2 + 8 x − 16< 0 .

Λύση

Οι κλάδοι της παραβολής δείχνουν προς τα κάτω. Η διάκριση είναι μηδέν. Σημείο τομής x0 = 4.

Σημειώνουμε το σημείο επαφής στον άξονα x και σχεδιάζουμε παραβολή.

Έχουμε να κάνουμε με μια αυστηρή ανισότητα. Επομένως, μας ενδιαφέρουν τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται η παραβολή κάτω από τον άξονα Ο x. Ας τα σημειώσουμε με μπλε χρώμα.

Το σημείο με την τετμημένη 4 δεν είναι λύση, αφού η παραβολή δεν βρίσκεται κάτω από τον άξονα Ο x σε αυτήν. Επομένως, παίρνουμε δύο διαστήματα (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Απάντηση: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) ή με άλλο συμβολισμό x ≠ 4 .

Όχι πάντα με αρνητική τιμή της διάκρισης, η ανισότητα δεν θα έχει λύσεις. Υπάρχουν περιπτώσεις που η λύση θα είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.

Παράδειγμα 5

Λύστε την τετραγωνική ανίσωση 3 · x 2 + 1 > 0 γραφικά.

Λύση

Ο συντελεστής α είναι θετικός. Η διάκριση είναι αρνητική. Οι κλάδοι της παραβολής θα κατευθύνονται προς τα πάνω. Δεν υπάρχουν σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα Ο x. Ας στραφούμε στο σχέδιο.

Δουλεύουμε με αυστηρή ανισότητα, η οποία έχει πρόσημο >. Αυτό σημαίνει ότι μας ενδιαφέρουν τα διαστήματα στα οποία η παραβολή βρίσκεται πάνω από τον άξονα x. Αυτό ακριβώς συμβαίνει όταν η απάντηση είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.

Απάντηση:(− ∞ , + ∞) ή έτσι x ∈ R .

Παράδειγμα 6

Είναι απαραίτητο να βρεθεί μια λύση στην ανισότητα − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0γραφικό τρόπο.

Λύση

Οι κλάδοι της παραβολής δείχνουν προς τα κάτω. Η διάκριση είναι αρνητική, επομένως, δεν υπάρχουν κοινά σημεία της παραβολής και του άξονα x. Ας στραφούμε στο σχέδιο.

Εργαζόμαστε με μια μη αυστηρή ανισότητα με το πρόσημο ≥ , επομένως, μας ενδιαφέρουν τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται η παραβολή πάνω από τον άξονα x. Αν κρίνουμε από το χρονοδιάγραμμα, δεν υπάρχουν τέτοια κενά. Αυτό σημαίνει ότι η ανισότητα που δίνεται στη συνθήκη του προβλήματος δεν έχει λύσεις.

Απάντηση:Δεν υπάρχουν λύσεις.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Πρώτο επίπεδο

Επίλυση εξισώσεων, ανισώσεων, συστημάτων με χρήση γραφημάτων συναρτήσεων. Visual Guide (2019)

Πολλές εργασίες που έχουμε συνηθίσει να υπολογίζουμε καθαρά αλγεβρικά μπορούν να επιλυθούν πολύ πιο εύκολα και πιο γρήγορα, η χρήση γραφημάτων συναρτήσεων θα μας βοηθήσει σε αυτό. Λες "πώς έτσι;" να ζωγραφίσω κάτι, και τι να ζωγραφίσω; Πιστέψτε με, μερικές φορές είναι πιο βολικό και πιο εύκολο. Να ξεκινήσουμε? Ας ξεκινήσουμε με τις εξισώσεις!

Γραφική λύση εξισώσεων

Γραφική λύση γραμμικών εξισώσεων

Όπως ήδη γνωρίζετε, το γράφημα μιας γραμμικής εξίσωσης είναι μια ευθεία γραμμή, εξ ου και το όνομα αυτού του τύπου. Οι γραμμικές εξισώσεις είναι αρκετά εύκολο να λυθούν αλγεβρικά - μεταφέρουμε όλους τους αγνώστους στη μία πλευρά της εξίσωσης, όλα όσα γνωρίζουμε - στην άλλη, και voila! Βρήκαμε τη ρίζα. Τώρα θα σας δείξω πώς να το κάνετε γραφικό τρόπο.

Άρα έχετε μια εξίσωση:

Πώς να το λύσετε;
Επιλογή 1, και το πιο συνηθισμένο είναι να μετακινούμε τα άγνωστα στη μία πλευρά και τα γνωστά στην άλλη, παίρνουμε:

Και τώρα χτίζουμε. Τι πήρες?

Ποια πιστεύετε ότι είναι η ρίζα της εξίσωσής μας; Σωστά, η συντεταγμένη του σημείου τομής των γραφημάτων:

Η απάντησή μας είναι

Αυτή είναι η όλη σοφία της γραφικής λύσης. Όπως μπορείτε εύκολα να ελέγξετε, η ρίζα της εξίσωσής μας είναι ένας αριθμός!

Όπως είπα παραπάνω, αυτή είναι η πιο κοινή επιλογή, κοντά στην αλγεβρική λύση, αλλά μπορείτε να τη λύσετε με άλλο τρόπο. Για να εξετάσουμε μια εναλλακτική λύση, ας επιστρέψουμε στην εξίσωσή μας:

Αυτή τη φορά δεν θα μετακινήσουμε τίποτα από πλευρά σε πλευρά, αλλά θα δημιουργήσουμε γραφήματα απευθείας, όπως είναι τώρα:

Χτισμένο? Κοίτα!

Ποια είναι η λύση αυτή τη φορά; Εντάξει. Ίδια είναι η συντεταγμένη του σημείου τομής των γραφημάτων:

Και, πάλι, η απάντησή μας είναι.

Όπως μπορείτε να δείτε, με τις γραμμικές εξισώσεις, όλα είναι εξαιρετικά απλά. Ήρθε η ώρα να σκεφτείς κάτι πιο περίπλοκο... Για παράδειγμα, γραφική λύση τετραγωνικών εξισώσεων.

Γραφική λύση τετραγωνικών εξισώσεων

Λοιπόν, τώρα ας αρχίσουμε να λύνουμε την εξίσωση του τετραγώνου. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης:

Φυσικά, μπορείτε τώρα να αρχίσετε να μετράτε μέσω της διάκρισης ή σύμφωνα με το θεώρημα Vieta, αλλά πολλά νεύρα κάνουν λάθη κατά τον πολλαπλασιασμό ή τον τετραγωνισμό, ειδικά αν το παράδειγμα είναι με μεγάλους αριθμούς και, όπως γνωρίζετε, δεν θα έχετε αριθμομηχανή στις εξετάσεις ... Επομένως, ας προσπαθήσουμε να χαλαρώσουμε λίγο και να σχεδιάσουμε ενώ λύνουμε αυτήν την εξίσωση.

Μπορείτε να βρείτε λύσεις σε αυτή την εξίσωση γραφικά. διαφορετικοί τρόποι. Εξετάστε τις διάφορες επιλογές και εσείς οι ίδιοι θα επιλέξετε ποια σας αρέσει περισσότερο.

Μέθοδος 1. Απευθείας

Απλώς κατασκευάζουμε μια παραβολή σύμφωνα με αυτήν την εξίσωση:

Για να το κάνετε γρήγορα, θα σας δώσω μια μικρή υπόδειξη: είναι βολικό να ξεκινήσει η κατασκευή προσδιορίζοντας την κορυφή της παραβολής.Οι ακόλουθοι τύποι θα βοηθήσουν στον προσδιορισμό των συντεταγμένων της κορυφής της παραβολής:

Λες «Σταμάτα! Ο τύπος για είναι πολύ παρόμοιος με τον τύπο για την εύρεση του διαχωριστικού "ναι, είναι, και αυτό είναι ένα τεράστιο μειονέκτημα της" άμεσης κατασκευής μιας παραβολής για να βρει τις ρίζες της. Ωστόσο, ας μετρήσουμε μέχρι το τέλος, και μετά θα σας δείξω πώς να το κάνετε πολύ (πολύ!) πιο εύκολο!

μετρήσατε; Ποιες είναι οι συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής; Ας το καταλάβουμε μαζί:

Ακριβώς η ίδια απάντηση; Μπράβο! Και τώρα γνωρίζουμε ήδη τις συντεταγμένες της κορυφής, και για να φτιάξουμε μια παραβολή, χρειαζόμαστε περισσότερα ... σημεία. Τι πιστεύετε, πόσους ελάχιστους βαθμούς χρειαζόμαστε; Σωστά, .

Γνωρίζετε ότι μια παραβολή είναι συμμετρική ως προς την κορυφή της, για παράδειγμα:

Κατά συνέπεια, χρειαζόμαστε δύο ακόμη σημεία κατά μήκος του αριστερού ή δεξιού κλάδου της παραβολής και στο μέλλον θα αντικατοπτρίζουμε συμμετρικά αυτά τα σημεία στην αντίθετη πλευρά:

Επιστρέφουμε στην παραβολή μας. Για την περίπτωσή μας, η ουσία. Χρειαζόμαστε άλλους δύο βαθμούς, αντίστοιχα, μπορούμε να πάρουμε θετικούς, αλλά μπορούμε να πάρουμε αρνητικούς; Ποια είναι τα καλύτερα σημεία για εσάς; Με βολεύει περισσότερο να δουλεύω με θετικά, οπότε θα υπολογίσω με και.

Τώρα έχουμε τρία σημεία και μπορούμε εύκολα να χτίσουμε την παραβολή μας αντανακλώντας τα δύο τελευταία σημεία στην κορυφή της:

Ποια πιστεύετε ότι είναι η λύση της εξίσωσης; Σωστά, τα σημεία στα οποία, δηλαδή, και. Επειδή.

Και αν το πούμε αυτό, τότε σημαίνει ότι πρέπει επίσης να είναι ίσο, ή.

Μόλις? Ολοκληρώσαμε την επίλυση της εξίσωσης μαζί σας με έναν σύνθετο γραφικό τρόπο, ή θα υπάρξουν περισσότερα!

Φυσικά, μπορείτε να ελέγξετε την απάντησή μας αλγεβρικά - μπορείτε να υπολογίσετε τις ρίζες μέσω του θεωρήματος Vieta ή του Discriminant. Τι πήρες? Ιδιο? Εδώ βλέπετε! Ας δούμε τώρα μια πολύ απλή γραφική λύση, είμαι σίγουρη ότι θα σας αρέσει πολύ!

Μέθοδος 2. Διαχωρισμός σε πολλές συναρτήσεις

Ας πάρουμε τα πάντα, επίσης, την εξίσωσή μας: , αλλά τη γράφουμε με λίγο διαφορετικό τρόπο, δηλαδή:

Μπορούμε να το γράψουμε έτσι; Μπορούμε, αφού ο μετασχηματισμός είναι ισοδύναμος. Ας δούμε περαιτέρω.

Ας δημιουργήσουμε δύο συναρτήσεις ξεχωριστά:

1. - το γράφημα είναι μια απλή παραβολή, την οποία μπορείτε εύκολα να κατασκευάσετε ακόμη και χωρίς να ορίσετε την κορυφή χρησιμοποιώντας τύπους και κάνοντας έναν πίνακα για να προσδιορίσετε άλλα σημεία.
2. - το γράφημα είναι μια ευθεία γραμμή, την οποία μπορείτε εξίσου εύκολα να δημιουργήσετε υπολογίζοντας τις τιμές και στο κεφάλι σας χωρίς καν να καταφύγετε σε αριθμομηχανή.

Χτισμένο? Συγκρίνετε με αυτό που πήρα:

Ποια πιστεύετε ότι είναι η ρίζα της εξίσωσης σε αυτή την περίπτωση; Σωστά! Συντεταγμένες κατά, οι οποίες λαμβάνονται με τη διασταύρωση δύο γραφημάτων και, δηλαδή:

Κατά συνέπεια, η λύση αυτής της εξίσωσης είναι:

Τι λες? Συμφωνώ, αυτή η μέθοδος λύσης είναι πολύ πιο εύκολη από την προηγούμενη και ακόμη πιο εύκολη από την αναζήτηση ριζών μέσω του διαχωριστή! Εάν ναι, δοκιμάστε αυτήν τη μέθοδο για να λύσετε την ακόλουθη εξίσωση:

Τι πήρες? Ας συγκρίνουμε τα γραφήματα μας:

Τα γραφήματα δείχνουν ότι οι απαντήσεις είναι:

Κατάφερες? Μπράβο! Τώρα ας δούμε τις εξισώσεις λίγο πιο περίπλοκες, δηλαδή τη λύση μικτών εξισώσεων, δηλαδή εξισώσεις που περιέχουν συναρτήσεις διαφορετικών τύπων.

Γραφική λύση μικτών εξισώσεων

Τώρα ας προσπαθήσουμε να λύσουμε τα εξής:

Φυσικά, μπορείτε να φέρετε τα πάντα σε έναν κοινό παρονομαστή, να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης που προκύπτει, χωρίς να ξεχνάτε να λάβετε υπόψη το ODZ, αλλά και πάλι, θα προσπαθήσουμε να το λύσουμε γραφικά, όπως κάναμε σε όλες τις προηγούμενες περιπτώσεις.

Αυτή τη φορά ας σχεδιάσουμε τα ακόλουθα 2 γραφήματα:

1. - το γράφημα είναι υπερβολή
2. - ένα γράφημα είναι μια ευθεία γραμμή που μπορείτε εύκολα να δημιουργήσετε υπολογίζοντας τις τιμές και στο κεφάλι σας χωρίς καν να καταφύγετε σε αριθμομηχανή.

Συνειδητοποίησα? Τώρα ξεκινήστε να χτίζετε.

Να τι μου συνέβη:

Βλέποντας αυτή την εικόνα, ποιες είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας;

Αυτό είναι σωστό, και. Εδώ είναι η επιβεβαίωση:

Δοκιμάστε να συνδέσετε τις ρίζες μας στην εξίσωση. Συνέβη;

Εντάξει! Συμφωνώ, η γραφική επίλυση τέτοιων εξισώσεων είναι απόλαυση!

Προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας την εξίσωση γραφικά:

Σας δίνω μια υπόδειξη: μετακινήστε μέρος της εξίσωσης προς τα δεξιά, έτσι ώστε και οι δύο πλευρές να έχουν τις απλούστερες συναρτήσεις για κατασκευή. Καταλάβατε την υπόδειξη; Ανάλαβε δράση!

Τώρα ας δούμε τι έχετε:

Αντίστοιχα:

1. - κυβική παραβολή.
2. - μια συνηθισμένη ευθεία γραμμή.

Λοιπόν, χτίζουμε:

Όπως γράψατε εδώ και πολύ καιρό, η ρίζα αυτής της εξίσωσης είναι -.

Έχοντας λύσει αυτό ένας μεγάλος αριθμός απόπαραδείγματα, είμαι σίγουρος ότι συνειδητοποιήσατε πώς μπορείτε εύκολα και γρήγορα να λύσετε εξισώσεις γραφικά. Είναι καιρός να καταλάβουμε πώς να λύσουμε συστήματα με αυτόν τον τρόπο.

Γραφική λύση συστημάτων

Η γραφική λύση των συστημάτων ουσιαστικά δεν διαφέρει από τη γραφική λύση των εξισώσεων. Θα φτιάξουμε επίσης δύο γραφήματα, και τα σημεία τομής τους θα είναι οι ρίζες αυτού του συστήματος. Ένα γράφημα είναι μια εξίσωση, το δεύτερο γράφημα είναι μια άλλη εξίσωση. Όλα είναι εξαιρετικά απλά!

Ας ξεκινήσουμε με τα απλούστερα - συστήματα επίλυσης γραμμικών εξισώσεων.

Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Ας πούμε ότι έχουμε το ακόλουθο σύστημα:

Αρχικά, θα το μετατρέψουμε με τέτοιο τρόπο ώστε στα αριστερά να υπάρχει ό,τι συνδέεται και στα δεξιά - αυτό με το οποίο συνδέεται. Με άλλα λόγια, γράφουμε αυτές τις εξισώσεις ως συνάρτηση στη συνηθισμένη για εμάς μορφή:

Και τώρα απλώς χτίζουμε δύο ευθείες γραμμές. Ποια είναι η λύση στην περίπτωσή μας; Σωστά! Το σημείο της τομής τους! Και εδώ πρέπει να είστε πολύ, πολύ προσεκτικοί! Σκεφτείτε γιατί; Θα σας δώσω μια υπόδειξη: έχουμε να κάνουμε με ένα σύστημα: το σύστημα έχει και τα δύο, και... Καταλάβατε;

Εντάξει! Όταν λύνουμε το σύστημα, πρέπει να κοιτάμε και τις δύο συντεταγμένες, και όχι μόνο, όπως όταν λύνουμε εξισώσεις! Ένα άλλο σημαντικό σημείο είναι να τα γράψουμε σωστά και να μην μπερδεύουμε πού έχουμε την αξία και πού είναι η αξία! Εχει καταγραφεί? Τώρα ας τα συγκρίνουμε όλα με τη σειρά:

Και απαντά: i. Κάντε έναν έλεγχο - αντικαταστήστε τις ρίζες που βρέθηκαν στο σύστημα και βεβαιωθείτε ότι το λύσαμε σωστά με γραφικό τρόπο;

Επίλυση συστημάτων μη γραμμικών εξισώσεων

Τι γίνεται όμως αν αντί για μια ευθεία γραμμή, έχουμε μια εξίσωση του τετραγώνου; Είναι εντάξει! Απλώς φτιάχνεις μια παραβολή αντί για μια ευθεία γραμμή! Μην εμπιστεύεσαι? Προσπαθήστε να λύσετε το ακόλουθο σύστημα:

Ποιο είναι το επόμενο βήμα μας; Αυτό είναι σωστό, γράψτε το έτσι ώστε να είναι βολικό για εμάς να δημιουργήσουμε γραφήματα:

Και τώρα όλα έχουν να κάνουν με το μικρό πράγμα - το έφτιαξα γρήγορα και εδώ είναι η λύση για εσάς! Κτίριο:

Τα γραφικά είναι ίδια; Σημειώστε τώρα τις λύσεις του συστήματος στην εικόνα και σημειώστε σωστά τις απαντήσεις που αποκαλύφθηκαν!

Τα έχω κάνει όλα; Συγκρίνετε με τις σημειώσεις μου:

Εντάξει? Μπράβο! Κάνετε ήδη κλικ σε τέτοιες εργασίες όπως οι ξηροί καρποί! Και αν ναι, ας σας δώσουμε ένα πιο περίπλοκο σύστημα:

Τι κάνουμε? Σωστά! Γράφουμε το σύστημα έτσι ώστε να είναι βολικό να κατασκευαστεί:

Θα σας δώσω μια μικρή υπόδειξη, καθώς το σύστημα φαίνεται πολύ περίπλοκο! Όταν δημιουργείτε γραφήματα, δημιουργήστε τα "περισσότερα" και το πιο σημαντικό, μην εκπλαγείτε με τον αριθμό των σημείων τομής.

Λοιπόν πάμε! Εκπνέεται; Τώρα ξεκινήστε να χτίζετε!

Λοιπόν, πώς; Όμορφα; Πόσα σημεία τομής πήρατε; Εχω τρία! Ας συγκρίνουμε τα γραφήματα μας:

Τον ίδιο τρόπο? Τώρα σημειώστε προσεκτικά όλες τις λύσεις του συστήματός μας:

Τώρα κοιτάξτε ξανά το σύστημα:

Μπορείτε να φανταστείτε ότι το λύσατε σε μόλις 15 λεπτά; Συμφωνώ, τα μαθηματικά είναι ακόμα απλά, ειδικά όταν κοιτάς μια έκφραση, δεν φοβάσαι να κάνεις λάθος, αλλά το παίρνεις και αποφασίζεις! Είσαι μεγάλο παλικάρι!

Γραφική λύση ανισώσεων

Γραφική επίλυση γραμμικών ανισώσεων

Μετά το τελευταίο παράδειγμα, είστε έτοιμοι! Τώρα εκπνεύστε - σε σύγκριση με τις προηγούμενες ενότητες, αυτό θα είναι πολύ, πολύ εύκολο!

Ξεκινάμε, ως συνήθως, με μια γραφική λύση μιας γραμμικής ανισότητας. Για παράδειγμα, αυτό:

Αρχικά, θα πραγματοποιήσουμε τους απλούστερους μετασχηματισμούς - θα ανοίξουμε τις αγκύλες των τέλειων τετραγώνων και θα δώσουμε παρόμοιους όρους:

Η ανισότητα δεν είναι αυστηρή, επομένως - δεν περιλαμβάνεται στο διάστημα και η λύση θα είναι όλα τα σημεία που βρίσκονται στα δεξιά, αφού περισσότερα, περισσότερα κ.λπ.:

Απάντηση:

Αυτό είναι όλο! Εύκολα? Ας λύσουμε μια απλή ανισότητα με δύο μεταβλητές:

Ας σχεδιάσουμε μια συνάρτηση στο σύστημα συντεταγμένων.

Έχετε τέτοιο γράφημα; Και τώρα κοιτάμε προσεκτικά τι έχουμε στην ανισότητα; Πιο λιγο? Έτσι, ζωγραφίζουμε πάνω ό,τι βρίσκεται στα αριστερά της ευθείας μας. Κι αν υπήρχαν περισσότερα; Έτσι είναι, τότε θα ζωγράφιζαν ό,τι βρίσκεται στα δεξιά της ευθείας μας. Όλα είναι απλά.

Όλες οι λύσεις σε αυτήν την ανισότητα είναι σκιασμένες με πορτοκαλί χρώμα. Αυτό είναι όλο, λύνεται η ανισότητα των δύο μεταβλητών. Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες και οποιοδήποτε σημείο από τη σκιασμένη περιοχή είναι οι λύσεις.

Γραφική λύση τετραγωνικών ανισώσεων

Τώρα θα ασχοληθούμε με το πώς να λύσουμε γραφικά τις τετραγωνικές ανισώσεις.

Αλλά πριν φτάσουμε κατευθείαν στο θέμα, ας ανακεφαλαιώσουμε μερικά πράγματα σχετικά με τη συνάρτηση τετραγώνου.

Σε τι ευθύνεται ο διάκριτος; Αυτό είναι σωστό, για τη θέση του γραφήματος σε σχέση με τον άξονα (αν δεν το θυμάστε αυτό, τότε διαβάστε οπωσδήποτε τη θεωρία για τις τετραγωνικές συναρτήσεις).

Σε κάθε περίπτωση, εδώ είναι μια μικρή υπενθύμιση για εσάς:

Τώρα που έχουμε ανανεώσει όλο το υλικό στη μνήμη μας, ας ασχοληθούμε - θα λύσουμε γραφικά την ανισότητα.

Θα σας πω αμέσως ότι υπάρχουν δύο επιλογές για την επίλυσή του.

Επιλογή 1

Γράφουμε την παραβολή μας ως συνάρτηση:

Χρησιμοποιώντας τους τύπους, προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής (με τον ίδιο τρόπο όπως όταν λύνουμε τετραγωνικές εξισώσεις):

μετρήσατε; Τι πήρες?

Τώρα ας πάρουμε δύο ακόμη διαφορετικά σημεία και ας υπολογίσουμε για αυτούς:

Αρχίζουμε να χτίζουμε έναν κλάδο της παραβολής:

Αντικατοπτρίζουμε συμμετρικά τα σημεία μας σε έναν άλλο κλάδο της παραβολής:

Τώρα πίσω στην ανισότητα μας.

Χρειαζόμαστε να είναι μικρότερο από το μηδέν, αντίστοιχα:

Δεδομένου ότι στην ανισότητά μας υπάρχει ένα σημάδι αυστηρά μικρότερο, αποκλείουμε τα τελικά σημεία - "ξεσηκώνουμε".

Απάντηση:

Μακριά, σωστά; Τώρα θα σας δείξω μια απλούστερη έκδοση της γραφικής λύσης χρησιμοποιώντας την ίδια ανισότητα ως παράδειγμα:

Επιλογή 2

Επιστρέφουμε στην ανισότητα μας και σημειώνουμε τα διαστήματα που χρειαζόμαστε:

Συμφωνώ, είναι πολύ πιο γρήγορο.

Ας γράψουμε τώρα την απάντηση:

Ας εξετάσουμε μια άλλη μέθοδο λύσης που απλοποιεί το αλγεβρικό μέρος, αλλά το κύριο πράγμα είναι να μην μπερδευτούμε.

Πολλαπλασιάστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά με:

Προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας την παρακάτω τετραγωνική ανισότητα με όποιον τρόπο θέλετε: .

Κατάφερες?

Δείτε πώς έγινε το διάγραμμα μου:

Απάντηση: .

Γραφική επίλυση μικτών ανισώσεων

Τώρα ας περάσουμε σε πιο σύνθετες ανισότητες!

Πώς σας αρέσει αυτό:

Φρικτό, σωστά; Ειλικρινά, δεν έχω ιδέα πώς να το λύσω αλγεβρικά ... Αλλά, δεν είναι απαραίτητο. Γραφικά, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο σε αυτό! Τα μάτια φοβούνται, αλλά τα χέρια κάνουν!

Το πρώτο πράγμα με το οποίο ξεκινάμε είναι δημιουργώντας δύο γραφήματα:

Δεν θα γράψω έναν πίνακα για όλους - είμαι σίγουρος ότι μπορείτε να το κάνετε τέλεια μόνοι σας (φυσικά, υπάρχουν τόσα πολλά παραδείγματα προς επίλυση!).

Βαμμένο; Τώρα δημιουργήστε δύο γραφήματα.

Ας συγκρίνουμε τα σχέδιά μας;

Έχετε το ίδιο; Εξοχος! Τώρα ας τοποθετήσουμε τα σημεία τομής και ας προσδιορίσουμε με ένα χρώμα ποιο γράφημα πρέπει να έχουμε, θεωρητικά, να είναι μεγαλύτερο, δηλαδή. Δείτε τι έγινε στο τέλος:

Και τώρα απλά κοιτάμε πού είναι το επιλεγμένο διάγραμμα υψηλότερο από το γράφημα; Μη διστάσετε να πάρετε ένα μολύβι και να ζωγραφίσετε αυτή την περιοχή! Θα είναι η λύση στην περίπλοκη ανισότητα μας!

Σε ποια διαστήματα κατά μήκος του άξονα βρισκόμαστε ψηλότερα; Σωστά, . Αυτή είναι η απάντηση!

Λοιπόν, τώρα μπορείτε να χειριστείτε οποιαδήποτε εξίσωση, και οποιοδήποτε σύστημα, και ακόμη περισσότερο οποιαδήποτε ανισότητα!

ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ

Αλγόριθμος για την επίλυση εξισώσεων με χρήση γραφημάτων συναρτήσεων:

1. Εκφράστε μέσω
2. Καθορίστε τον τύπο συνάρτησης
3. Ας δημιουργήσουμε γραφήματα των συναρτήσεων που προκύπτουν
4. Βρείτε τα σημεία τομής των γραφημάτων
5. Σημειώστε σωστά την απάντηση (λαμβάνοντας υπόψη τα πρόσημα ODZ και ανισότητας)
6. Ελέγξτε την απάντηση (αντικαταστήστε τις ρίζες στην εξίσωση ή το σύστημα)

Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τη σχεδίαση γραφημάτων συναρτήσεων, ανατρέξτε στο θέμα "".

Κατά τη διάρκεια του μαθήματος, θα μπορείτε να μελετήσετε ανεξάρτητα το θέμα "Γραφική λύση εξισώσεων, ανισώσεις". Ο δάσκαλος στο μάθημα θα αναλύσει τις γραφικές μεθόδους επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων. Θα σας διδάξει πώς να δημιουργείτε γραφήματα, να τα αναλύετε και να βρίσκετε λύσεις σε εξισώσεις και ανισότητες. Το μάθημα θα ασχοληθεί επίσης με συγκεκριμένα παραδείγματα για αυτό το θέμα.

Θέμα: Αριθμητικές συναρτήσεις

Μάθημα: Γραφική λύση εξισώσεων, ανισώσεων

1. Θέμα μαθήματος, εισαγωγή

Έχουμε εξετάσει γραφήματα στοιχειωδών συναρτήσεων, συμπεριλαμβανομένων γραφημάτων συναρτήσεων ισχύος με διαφορετικούς εκθέτες. Εξετάσαμε επίσης τους κανόνες για τη μετατόπιση και τον μετασχηματισμό γραφημάτων συναρτήσεων. Όλες αυτές οι δεξιότητες πρέπει να εφαρμόζονται όταν απαιτείται. γραφικόςλύσηεξισώσεις ή γραφικό λύσηανισότητες.

2. Γραφική επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων

Παράδειγμα 1. Λύστε γραφικά την εξίσωση:

Ας φτιάξουμε γραφήματα συναρτήσεων (Εικ. 1).

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι μια παραβολή που διέρχεται από τα σημεία

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι ευθεία γραμμή, θα την κατασκευάσουμε σύμφωνα με τον πίνακα.

Οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται σε ένα σημείο Δεν υπάρχουν άλλα σημεία τομής, αφού η συνάρτηση είναι μονότονα αύξουσα, η συνάρτηση μονότονα φθίνουσα και, επομένως, το σημείο τομής τους είναι μοναδικό.

Παράδειγμα 2. Λύστε την ανίσωση

ένα. Για να ισχύει η ανισότητα, το γράφημα της συνάρτησης πρέπει να βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή (Εικ. 1). Αυτό γίνεται όταν

σι. Σε αυτή την περίπτωση, αντίθετα, η παραβολή θα πρέπει να βρίσκεται κάτω από τη γραμμή. Αυτό γίνεται όταν

Παράδειγμα 3. Λύστε την ανίσωση

Ας φτιάξουμε γραφήματα συναρτήσεων (Εικ. 2).

Να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης Όταν δεν υπάρχουν λύσεις. Υπάρχει μία λύση για.

Για να ισχύει η ανισότητα, η υπερβολή πρέπει να βρίσκεται πάνω από τη γραμμή .

Παράδειγμα 4. Λύστε γραφικά την ανίσωση:

Τομέα:

Ας φτιάξουμε γραφήματα συναρτήσεων για (Εικ. 3).

ένα. Το γράφημα της συνάρτησης πρέπει να βρίσκεται κάτω από το γράφημα· αυτό γίνεται όταν

σι. Το γράφημα της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από το γράφημα στο Αλλά επειδή έχουμε ένα μη αυστηρό πρόσημο στη συνθήκη, είναι σημαντικό να μην χάσουμε την απομονωμένη ρίζα

3. Συμπέρασμα

Έχουμε εξετάσει μια γραφική μέθοδο για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων. θεωρήσαμε συγκεκριμένα παραδείγματα, στη λύση των οποίων χρησιμοποιήσαμε ιδιότητες συναρτήσεων όπως η μονοτονία και η ομαλότητα.

1. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9η τάξη: Proc. Για γενική εκπαίδευση Ιδρύματα - 4η έκδ. - Μ.: Μνημοσύνη, 2002.-192 σελ.: εικ.

2. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9η τάξη: Βιβλίο εργασιών για μαθητές εκπαιδευτικών ιδρυμάτων / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4η έκδ. — Μ.: Μνημοσύνη, 2002.-143 σελ.: ill.

3. Yu. N. Makarychev, Άλγεβρα. 9η τάξη: σχολικό βιβλίο. για μαθητές γενικής εκπαίδευσης. ιδρύματα / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7η έκδ., Rev. και επιπλέον - M .: Mnemosyne, 2008.

4. Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, and Yu. V. Sidorov, Algebra. Βαθμός 9 16η έκδ. - Μ., 2011. - 287 σελ.

5. Mordkovich A. G. Άλγεβρα. Βαθμός 9 Στις 2 μ.μ. Μέρος 1. Εγχειρίδιο για μαθητές εκπαιδευτικών ιδρυμάτων / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12η έκδ., σβησμένο. — Μ.: 2010. — 224 σελ.: ill.

6. Άλγεβρα. Βαθμός 9 Σε 2 ώρες Μέρος 2. Βιβλίο εργασιών για μαθητές εκπαιδευτικών ιδρυμάτων / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina και άλλοι. Εκδ. A. G. Mordkovich. - 12η έκδ., Rev. — Μ.: 2010.-223 σελ.: ill.

1. Τμήμα Κολλεγίου. ru στα μαθηματικά.

2. Διαδικτυακό έργο «Εργασίες».

3. Εκπαιδευτική πύλη «SOLVE USE».

1. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9η τάξη: Βιβλίο εργασιών για μαθητές εκπαιδευτικών ιδρυμάτων / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4η έκδ. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 σελ.: ill. Νο. 355, 356, 364.