Καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα 1ου είδους κατά μήκος κλειστού περιγράμματος. MA

Πρόβλημα μάζας καμπύλης.Έστω σε κάθε σημείο μιας τμηματικής καμπύλης λείου υλικού L: (AB) να καθοριστεί η πυκνότητά του. Προσδιορίστε τη μάζα της καμπύλης.

Ας προχωρήσουμε με τον ίδιο τρόπο όπως κάναμε κατά τον προσδιορισμό της μάζας μιας επίπεδης περιοχής ( διπλό ολοκλήρωμα) και ένα χωρικό σώμα (τριπλό ολοκλήρωμα).

1. Οργανώνουμε τη διαίρεση της περιοχής-τόξου L σε στοιχεία - στοιχειώδη τόξα ώστε αυτά τα στοιχεία να μην έχουν κοινά εσωτερικά σημείαΚαι
(συνθήκη Α )

2. Ας σημειώσουμε τα «σημασμένα σημεία» M i στα στοιχεία του διαμερίσματος και ας υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης σε αυτά

3. Ας κατασκευάσουμε το ολοκληρωτικό άθροισμα
, Οπου - μήκος τόξου (συνήθως εισάγονται οι ίδιες σημειώσεις για το τόξο και το μήκος του). Αυτή είναι μια κατά προσέγγιση τιμή για τη μάζα της καμπύλης. Η απλοποίηση είναι ότι υποθέσαμε ότι η πυκνότητα του τόξου είναι σταθερή σε κάθε στοιχείο και πήραμε έναν πεπερασμένο αριθμό στοιχείων.

Μετάβαση στο όριο που προβλέπεται
(συνθήκη Β ), λαμβάνουμε ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του πρώτου είδους ως το όριο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων:

.

Θεώρημα ύπαρξης 10 .

Αφήστε τη λειτουργία
είναι συνεχής σε ένα τμηματικά λείο τόξο L 11. Τότε υπάρχει ένα ευθύγραμμο ολοκλήρωμα του πρώτου είδους ως το όριο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων.

Σχόλιο.Αυτό το όριο δεν εξαρτάται από

μέθοδος επιλογής διαμερίσματος, εφόσον πληρούται η συνθήκη Α

επιλέγοντας «σημασμένα σημεία» σε στοιχεία διαμερίσματος,

μέθοδος καθαρισμού του διαμερίσματος, εφόσον πληρούται η συνθήκη Β

Ιδιότητες καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος πρώτου είδους.

1. Γραμμικότηταα) ιδιότητα υπέρθεσης

β) ιδιότητα ομοιογένειας
.

Απόδειξη. Ας γράψουμε τα ολοκληρωτικά αθροίσματα για τα ολοκληρώματα στην αριστερή πλευρά των ισοτήτων. Δεδομένου ότι το ολοκληρωτικό άθροισμα έχει πεπερασμένο αριθμό όρων, προχωράμε σε ολοκληρωμένα αθροίσματα για τις δεξιές πλευρές των ισοτήτων. Στη συνέχεια περνάμε στο όριο, με το θεώρημα για τη μετάβαση στο όριο στην ισότητα που λαμβάνουμε επιθυμητό αποτέλεσμα.

2. Προσθετικότητα.Αν
, Οτι
=
+

Απόδειξη. Ας επιλέξουμε ένα διαμέρισμα της περιοχής L έτσι ώστε κανένα από τα στοιχεία διαμερίσματος (αρχικά και κατά τη βελτίωση του διαμερίσματος) να περιέχει ταυτόχρονα και τα δύο στοιχεία L 1 και L 2. Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας το θεώρημα ύπαρξης (παρατήρηση στο θεώρημα). Στη συνέχεια, η απόδειξη πραγματοποιείται μέσω ολοκληρωτικών αθροισμάτων, όπως στην παράγραφο 1.

3.
.Εδώ - μήκος τόξου .

4. Αν σε τόξο η ανισότητα λοιπόν ικανοποιείται

Απόδειξη. Ας γράψουμε την ανισότητα για τα ολοκληρωτικά αθροίσματα και ας προχωρήσουμε στο όριο.

Σημειώστε ότι, συγκεκριμένα, είναι δυνατό

5. Θεώρημα εκτίμησης.

Αν υπάρχουν σταθερές
, κάτι

Απόδειξη. Ενσωμάτωση της ανισότητας
(ιδιότητα 4), παίρνουμε
. Με την ιδιότητα 1 της σταθεράς
μπορεί να αφαιρεθεί κάτω από τα ολοκληρώματα. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 3, έχουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα.

6. Θεώρημα μέσης τιμής(η τιμή του ολοκληρώματος).

Υπάρχει ένα σημείο
, Τι

Απόδειξη. Από τη λειτουργία
συνεχής σε κλειστό περιορισμένο σύνολο, τότε υπάρχει το infimum του
και πάνω άκρη
. Η ανισότητα ικανοποιείται. Διαιρώντας και τις δύο πλευρές με το L, παίρνουμε
. Αλλά ο αριθμός
που περικλείεται μεταξύ του πυθμένα και πάνω άκρηλειτουργίες. Από τη λειτουργία
είναι συνεχής σε ένα κλειστό οριοθετημένο σύνολο L, τότε σε κάποιο σημείο
η συνάρτηση πρέπει να δέχεται αυτήν την τιμή. Ως εκ τούτου,
.

Διάλεξη 5 Καμπυλόγραμμα ολοκληρώματα 1ου και 2ου είδους, οι ιδιότητές τους..

Πρόβλημα μάζας καμπύλης. Καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα 1ου είδους.

Πρόβλημα μάζας καμπύλης.Έστω σε κάθε σημείο μιας τμηματικής καμπύλης λείου υλικού L: (AB) να καθοριστεί η πυκνότητά του. Προσδιορίστε τη μάζα της καμπύλης.

Ας κάνουμε το ίδιο όπως κάναμε κατά τον προσδιορισμό της μάζας μιας επίπεδης περιοχής (διπλό ολοκλήρωμα) και ενός χωρικού σώματος (τριπλό ολοκλήρωμα).

1. Οργανώνουμε τη διαίρεση της περιοχής τόξου L σε στοιχεία - στοιχειώδη τόξα έτσι ώστε αυτά τα στοιχεία να μην έχουν κοινά εσωτερικά σημεία και( συνθήκη Α )

3. Ας κατασκευάσουμε το ολοκληρωτικό άθροισμα , όπου είναι το μήκος του τόξου (συνήθως εισάγεται η ίδια σημείωση για το τόξο και το μήκος του). Αυτή είναι μια κατά προσέγγιση τιμή για τη μάζα της καμπύλης. Η απλοποίηση είναι ότι υποθέσαμε ότι η πυκνότητα του τόξου είναι σταθερή σε κάθε στοιχείο και πήραμε έναν πεπερασμένο αριθμό στοιχείων.

Μετάβαση στο όριο που προβλέπεται (συνθήκη Β ), λαμβάνουμε ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του πρώτου είδους ως το όριο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων:

.

Θεώρημα ύπαρξης.

Έστω η συνάρτηση συνεχής σε ένα τμηματικά λείο τόξο L. Τότε υπάρχει ένα ευθύγραμμο ολοκλήρωμα πρώτου είδους ως όριο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων.

Σχόλιο.Αυτό το όριο δεν εξαρτάται από

Ιδιότητες καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος πρώτου είδους.

1. Γραμμικότητα
α) ιδιότητα υπέρθεσης

β) ιδιότητα ομοιογένειας .

Απόδειξη. Ας γράψουμε τα ολοκληρωτικά αθροίσματα για τα ολοκληρώματα στην αριστερή πλευρά των ισοτήτων. Δεδομένου ότι το ολοκληρωτικό άθροισμα έχει πεπερασμένο αριθμό όρων, προχωράμε σε ολοκληρωμένα αθροίσματα για τις δεξιές πλευρές των ισοτήτων. Στη συνέχεια περνάμε στο όριο, χρησιμοποιώντας το θεώρημα για τη μετάβαση στο όριο στην ισότητα, παίρνουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα.

2. Προσθετικότητα.
Αν , Οτι = +

3. Εδώ είναι το μήκος του τόξου.

4. Αν η ανισότητα ικανοποιείται στο τόξο, τότε

Απόδειξη. Ας γράψουμε την ανισότητα για τα ολοκληρωτικά αθροίσματα και ας προχωρήσουμε στο όριο.

Σημειώστε ότι, συγκεκριμένα, είναι δυνατό

5. Θεώρημα εκτίμησης.

Αν υπάρχουν σταθερές που, τότε

Απόδειξη. Ενσωμάτωση της ανισότητας (ιδιότητα 4), παίρνουμε . Με την ιδιότητα 1, οι σταθερές μπορούν να αφαιρεθούν από τα ολοκληρώματα. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 3, έχουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα.

6. Θεώρημα μέσης τιμής(η τιμή του ολοκληρώματος).

Υπάρχει ένα σημείο , Τι

Απόδειξη. Εφόσον η συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα κλειστό οριοθετημένο σύνολο, τότε υπάρχει το infimum της και πάνω άκρη . Η ανισότητα ικανοποιείται. Διαιρώντας και τις δύο πλευρές με το L, παίρνουμε . Αλλά ο αριθμός περικλείεται μεταξύ του κάτω και του άνω ορίου της συνάρτησης. Εφόσον η συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα κλειστό οριοθετημένο σύνολο L, τότε κάποια στιγμή η συνάρτηση πρέπει να πάρει αυτήν την τιμή. Ως εκ τούτου, .

Υπολογισμός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος πρώτου είδους.

Ας παραμετροποιήσουμε το τόξο L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Έστω t 0 αντιστοιχεί στο σημείο A και t 1 αντιστοιχεί στο σημείο B. Τότε το ευθύγραμμο ολοκλήρωμα του πρώτου είδους μειώνεται σε οριστικό ολοκλήρωμα (- ο γνωστός τύπος από το 1ο εξάμηνο για τον υπολογισμό της διαφοράς του μήκους τόξου):

Παράδειγμα.Να υπολογίσετε τη μάζα μιας στροφής ομογενούς (πυκνότητα ίση με k) έλικας: .

Καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα 2ου είδους.

Το πρόβλημα του έργου της δύναμης.

Πόσο έργο παράγει η δύναμη;φά(Μ) όταν μετακινείτε ένα σημείοΜκατά μήκος ενός τόξουΑΒ? Εάν το τόξο ΑΒ ήταν ένα ευθύγραμμο τμήμα και η δύναμη ήταν σταθερή ως προς το μέγεθος και την κατεύθυνση κατά τη μετακίνηση του σημείου Μ κατά μήκος του τόξου ΑΒ, τότε το έργο θα μπορούσε να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο , όπου είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων. ΣΕ γενική περίπτωσηαυτός ο τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή του ολοκληρωτικού αθροίσματος, υποθέτοντας μια σταθερή δύναμη σε ένα στοιχείο ενός τόξου αρκετά μικρού μήκους. Αντί για το μήκος του μικρού στοιχείου του τόξου, μπορείτε να πάρετε το μήκος της χορδής που το συστέλλει, αφού αυτές οι ποσότητες είναι ισοδύναμες απειροελάχιστες ποσότητες υπό την προϋπόθεση (πρώτο εξάμηνο).

1. Οργανώνουμε τη διαίρεση της περιοχής-τόξου ΑΒ σε στοιχεία - στοιχειώδη τόξα ώστε αυτά τα στοιχεία να μην έχουν κοινά εσωτερικά σημεία και( συνθήκη Α )

2. Ας σημειώσουμε τα «σημασμένα σημεία» M i στα στοιχεία του διαμερίσματος και ας υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης σε αυτά

3. Ας κατασκευάσουμε το ολοκληρωτικό άθροισμα , όπου είναι το διάνυσμα που κατευθύνεται κατά μήκος της χορδής που υποτάσσει το -τόξο.

4. Μετάβαση στο όριο που προβλέπεται (συνθήκη Β ), λαμβάνουμε ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του δεύτερου είδους ως το όριο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων (και του έργου της δύναμης):

. Συχνά υποδηλώνεται

Θεώρημα ύπαρξης.

Έστω η διανυσματική συνάρτηση συνεχής σε ένα τμηματικά λείο τόξο L. Τότε υπάρχει ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα δεύτερου είδους ως όριο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων.

.

Σχόλιο.Αυτό το όριο δεν εξαρτάται από

Μέθοδος επιλογής διαμερίσματος, εφόσον πληρούται η συνθήκη Α

Επιλέγοντας «σημασμένα σημεία» σε στοιχεία διαμερίσματος,

Μια μέθοδος για τον καθαρισμό του διαμερίσματος, εφόσον πληρούται η συνθήκη Β

Ιδιότητες καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος 2ου είδους.

1. Γραμμικότητα
α) ιδιότητα υπέρθεσης

β) ιδιότητα ομοιογένειας .

Απόδειξη. Ας γράψουμε τα ολοκληρωτικά αθροίσματα για τα ολοκληρώματα στην αριστερή πλευρά των ισοτήτων. Εφόσον στο ολοκληρωτικό άθροισμα ο αριθμός των όρων είναι πεπερασμένος, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα προϊόν με κουκκίδες, ας προχωρήσουμε στα ολοκληρωτικά αθροίσματα για τις δεξιές πλευρές των ισοτήτων. Στη συνέχεια περνάμε στο όριο, χρησιμοποιώντας το θεώρημα για τη μετάβαση στο όριο στην ισότητα, παίρνουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα.

2. Προσθετικότητα.
Αν , Οτι = + .

Απόδειξη. Ας επιλέξουμε ένα διαμέρισμα της περιοχής L έτσι ώστε κανένα από τα στοιχεία του διαμερίσματος (αρχικά και κατά τη βελτίωση του διαμερίσματος) να περιέχει ταυτόχρονα και τα δύο στοιχεία L 1 και στοιχεία L 2 . Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας το θεώρημα ύπαρξης (παρατήρηση στο θεώρημα). Στη συνέχεια, η απόδειξη πραγματοποιείται μέσω ολοκληρωτικών αθροισμάτων, όπως στην παράγραφο 1.

3. Προσανατολισμός.

= -

Απόδειξη. Ολοκλήρωμα τόξου –L, δηλ. στην αρνητική κατεύθυνση της διέλευσης του τόξου υπάρχει ένα όριο ολοκληρωτικών αθροισμάτων στους όρους του οποίου υπάρχει () αντί. Λαμβάνοντας το «μείον» από το βαθμωτό γινόμενο και από το άθροισμα πεπερασμένος αριθμόςόρους, περνώντας στο όριο, παίρνουμε το απαιτούμενο αποτέλεσμα.

Θεωρητικό ελάχιστο

Τα καμπυλόγραμμα και τα επιφανειακά ολοκληρώματα βρίσκονται συχνά στη φυσική. Έρχονται σε δύο τύπους, ο πρώτος από τους οποίους συζητείται εδώ. Αυτό
ο τύπος των ολοκληρωμάτων κατασκευάζεται σύμφωνα με γενικό σχέδιο, με την οποία εισάγονται οριστικά, διπλά και τριπλά ολοκληρώματα. Ας θυμηθούμε εν συντομία αυτό το σχήμα.
Υπάρχει κάποιο αντικείμενο πάνω στο οποίο πραγματοποιείται η ολοκλήρωση (μονοδιάστατο, δισδιάστατο ή τρισδιάστατο). Αυτό το αντικείμενο είναι σπασμένο σε μικρά μέρη,
επιλέγεται ένα σημείο σε κάθε μέρος. Σε καθένα από αυτά τα σημεία, η τιμή του ολοκληρώματος υπολογίζεται και πολλαπλασιάζεται με το μέτρο του μέρους που
ανήκει δεδομένο σημείο(μήκος τμήματος, εμβαδόν ή όγκος μερικής περιοχής). Τότε όλα αυτά τα προϊόντα αθροίζονται και το όριο ικανοποιείται
μετάβαση στο σπάσιμο του αντικειμένου σε απειροελάχιστα μέρη. Το όριο που προκύπτει ονομάζεται ολοκλήρωμα.

1. Ορισμός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος πρώτου είδους

Ας εξετάσουμε μια συνάρτηση που ορίζεται σε μια καμπύλη. Η καμπύλη θεωρείται ότι μπορεί να διορθωθεί. Ας θυμηθούμε τι σημαίνει αυτό, χοντρικά,
ότι μια διακεκομμένη γραμμή με αυθαίρετα μικρούς συνδέσμους μπορεί να εγγραφεί σε μια καμπύλη, και στο όριο είναι άπειρη μεγάλος αριθμόςσυνδέσμους, το μήκος της διακεκομμένης γραμμής πρέπει να παραμείνει
τελικός. Η καμπύλη χωρίζεται σε επιμέρους τόξα μήκους και επιλέγεται ένα σημείο σε καθένα από τα τόξα. Μια εργασία συντάσσεται
Η άθροιση πραγματοποιείται σε όλα τα επιμέρους τόξα . Στη συνέχεια το πέρασμα στο όριο πραγματοποιείται με την τάση του μήκους του μεγαλύτερου
από μερικά τόξα στο μηδέν. Το όριο είναι ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του πρώτου είδους
.
Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό αυτού του ολοκληρώματος, που προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του, είναι η ανεξαρτησία του από την κατεύθυνση της ολοκλήρωσης, δηλ.
.

2. Ορισμός επιφανειακού ολοκληρώματος πρώτου είδους

Εξετάστε μια λειτουργία που ορίζεται σε μια λεία ή τμηματικά λεία επιφάνεια. Η επιφάνεια χωρίζεται σε μερικές περιοχές
με περιοχές, επιλέγεται ένα σημείο σε κάθε τέτοια περιοχή. Μια εργασία συντάσσεται , πραγματοποιείται άθροιση
σε όλες τις επιμέρους περιοχές . Στη συνέχεια η διέλευση στο όριο πραγματοποιείται με την τάση της διαμέτρου του μεγαλύτερου όλων των μερικών
περιοχές στο μηδέν. Το όριο είναι ένα επιφανειακό ολοκλήρωμα του πρώτου είδους
.

3. Υπολογισμός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος πρώτου είδους

Η μέθοδος για τον υπολογισμό ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος του πρώτου είδους μπορεί να φανεί ήδη από την επίσημη σημειογραφία του, αλλά στην πραγματικότητα προκύπτει απευθείας από
ορισμοί. Το ολοκλήρωμα μειώνεται σε καθορισμένο, απλά πρέπει να γράψετε το διαφορικό του τόξου της καμπύλης κατά μήκος του οποίου πραγματοποιείται η ολοκλήρωση.
Ας ξεκινήσουμε με απλή υπόθεσηολοκλήρωση κατά μήκος μιας επίπεδης καμπύλης που δίνεται ρητή εξίσωση. Σε αυτή την περίπτωση, το διαφορικό τόξου
.
Στη συνέχεια πραγματοποιείται μια αλλαγή μεταβλητής στο ολοκλήρωμα και το ολοκλήρωμα παίρνει τη μορφή
,
όπου το τμήμα αντιστοιχεί στη μεταβολή της μεταβλητής κατά μήκος εκείνου του τμήματος της καμπύλης κατά μήκος του οποίου πραγματοποιείται η ολοκλήρωση.

Πολύ συχνά η καμπύλη καθορίζεται παραμετρικά, δηλ. εξισώσεις της μορφής Στη συνέχεια το διαφορικό τόξου
.
Αυτή η φόρμουλα είναι πολύ απλά δικαιολογημένη. Ουσιαστικά αυτό είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα. Το διαφορικό τόξου είναι στην πραγματικότητα το μήκος του απειροελάχιστου τμήματος της καμπύλης.
Εάν η καμπύλη είναι ομαλή, τότε το απειροελάχιστο τμήμα της μπορεί να θεωρηθεί ευθύγραμμο. Για ευθεία γραμμή έχουμε τη σχέση
.
Για να εκτελεστεί για ένα μικρό τόξο της καμπύλης, θα πρέπει να κινηθεί κανείς από πεπερασμένες αυξήσεις σε διαφορικά:
.
Εάν η καμπύλη καθορίζεται παραμετρικά, τότε τα διαφορικά υπολογίζονται απλώς:
και τα λοιπά.
Αντίστοιχα, μετά την αλλαγή των μεταβλητών στο ολοκλήρωμα, το ολοκλήρωμα γραμμής υπολογίζεται ως εξής:
,
όπου το τμήμα της καμπύλης κατά μήκος του οποίου πραγματοποιείται η ολοκλήρωση αντιστοιχεί στο τμήμα της μεταβολής της παραμέτρου.

Η κατάσταση είναι κάπως πιο περίπλοκη στην περίπτωση που η καμπύλη καθορίζεται σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες. Αυτό το θέμα συνήθως συζητείται στο πλαίσιο της διαφοροποίησης
γεωμετρία. Ας δώσουμε έναν τύπο για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος κατά μήκος της καμπύλης που δίνεται πολικές συντεταγμένεςεξίσωση:
.
Ας δώσουμε μια αιτιολόγηση για το διαφορικό του τόξου σε πολικές συντεταγμένες. Αναλυτική συζήτηση για την κατασκευή πλέγματος πολικό σύστημασυντεταγμένες
εκ. . Ας επιλέξουμε ένα μικρό τόξο της καμπύλης που βρίσκεται σε σχέση με τις γραμμές συντεταγμένων όπως φαίνεται στο Σχ. 1. Λόγω της μικρότητας όλων αυτών που παρουσιάζονται
και πάλι μπορούμε να εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα και να γράψουμε:
.
Από εδώ ακολουθεί η επιθυμητή έκφραση για το διαφορικό του τόξου.

Με αγνό θεωρητικό σημείοΑπό οπτική άποψη, αρκεί απλώς να κατανοήσουμε ότι ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του πρώτου είδους πρέπει να αναχθεί στη συγκεκριμένη περίπτωση -
σε ορισμένο ολοκλήρωμα. Πράγματι, κάνοντας την αλλαγή που υπαγορεύεται από την παραμετροποίηση της καμπύλης κατά μήκος της οποίας υπολογίζεται το ολοκλήρωμα, καθορίζουμε
αντιστοίχιση ένας προς έναν μεταξύ ενός μέρους μιας δεδομένης καμπύλης και ενός τμήματος αλλαγής παραμέτρων. Και αυτό είναι μια αναγωγή στο ολοκλήρωμα
κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής που συμπίπτει με άξονα συντεταγμένων- ορισμένο ολοκλήρωμα.

4. Υπολογισμός του επιφανειακού ολοκληρώματος πρώτου είδους

Μετά το προηγούμενο σημείο, θα πρέπει να είναι σαφές ότι ένα από τα κύρια μέρη του υπολογισμού ενός επιφανειακού ολοκληρώματος του πρώτου είδους είναι η εγγραφή του στοιχείου επιφάνειας,
πάνω στο οποίο γίνεται η ενσωμάτωση. Και πάλι, ας ξεκινήσουμε με την απλή περίπτωση μιας επιφάνειας που ορίζεται από μια ρητή εξίσωση. Επειτα
.
Γίνεται αντικατάσταση στο ολοκλήρωμα και το επιφανειακό ολοκλήρωμα μειώνεται στο διπλάσιο:
,
όπου είναι η περιοχή του επιπέδου στην οποία προβάλλεται το τμήμα της επιφάνειας πάνω στο οποίο πραγματοποιείται η ολοκλήρωση.

Ωστόσο, είναι συχνά αδύνατο να οριστεί μια επιφάνεια με μια ρητή εξίσωση, και στη συνέχεια ορίζεται παραμετρικά, δηλ. εξισώσεις της μορφής
.
Το στοιχείο επιφάνειας σε αυτήν την περίπτωση είναι γραμμένο πιο περίπλοκο:
.
Το επιφανειακό ολοκλήρωμα μπορεί να γραφτεί ανάλογα:
,
όπου είναι η περιοχή μεταβολής των παραμέτρων που αντιστοιχεί στο τμήμα της επιφάνειας στο οποίο πραγματοποιείται η ενοποίηση.

5. Φυσική έννοια καμπυλόγραμμων και επιφανειακών ολοκληρωμάτων πρώτου είδους

Τα ολοκληρώματα που συζητήθηκαν έχουν ένα πολύ απλό και διαισθητικό φυσική έννοια. Ας υπάρχει κάποια καμπύλη της οποίας η γραμμική πυκνότητα δεν είναι
σταθερά, και είναι συνάρτηση του σημείου . Ας βρούμε τη μάζα αυτής της καμπύλης. Ας σπάσουμε την καμπύλη σε πολλά μικρά στοιχεία,
εντός του οποίου η πυκνότητά του μπορεί να θεωρηθεί περίπου σταθερή. Αν το μήκος ενός μικρού κομματιού μιας καμπύλης είναι ίσο με , τότε η μάζα του
, όπου είναι οποιοδήποτε σημείο του επιλεγμένου κομματιού της καμπύλης (οποιοδήποτε, αφού η πυκνότητα είναι εντός
αυτό το κομμάτι θεωρείται περίπου σταθερό). Κατά συνέπεια, η μάζα ολόκληρης της καμπύλης προκύπτει αθροίζοντας τις μάζες των επιμέρους μερών της:
.
Για να γίνει ακριβής η ισότητα, πρέπει να φτάσει κανείς στο όριο της διαίρεσης της καμπύλης σε απειροελάχιστα μέρη, αλλά αυτό είναι ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του πρώτου είδους.

Το ζήτημα του συνολικού φορτίου της καμπύλης επιλύεται ομοίως εάν είναι γνωστή η γραμμική πυκνότητα φορτίου .

Αυτά τα ορίσματα μπορούν εύκολα να μεταφερθούν στην περίπτωση μιας μη ομοιόμορφα φορτισμένης επιφάνειας με επιφανειακή πυκνότηταχρέωση . Επειτα
το επιφανειακό φορτίο είναι ένα επιφανειακό ολοκλήρωμα του πρώτου είδους
.

Σημείωση. Ένας περίπλοκος τύπος για ένα στοιχείο επιφάνειας που ορίζεται παραμετρικά δεν είναι βολικό να θυμόμαστε. Μια άλλη έκφραση λαμβάνεται στη διαφορική γεωμετρία,
χρησιμοποιεί το λεγόμενο πρώτα τετραγωνική μορφήεπιφάνειες.

Παραδείγματα υπολογισμού καμπυλόγραμμα ολοκληρώματαπρώτο είδος

Παράδειγμα 1. Ολοκληρωμένο κατά μήκος μιας γραμμής.
Υπολογίστε ολοκλήρωμα

κατά μήκος ευθύγραμμου τμήματος που διέρχεται από τα σημεία και .

Αρχικά γράφουμε την εξίσωση της ευθείας κατά την οποία πραγματοποιείται η ολοκλήρωση: . Ας βρούμε μια έκφραση για:
.
Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα:

Παράδειγμα 2. Ολοκληρωμένο κατά μήκος καμπύλης σε επίπεδο.
Υπολογίστε ολοκλήρωμα

κατά μήκος ενός τόξου παραβολής από σημείο σε σημείο.

Σημεία ρύθμισηςκαι σας επιτρέπουν να εκφράσετε μια μεταβλητή από την εξίσωση της παραβολής: .

Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα:
.

Ωστόσο, ήταν δυνατό να γίνουν υπολογισμοί με άλλο τρόπο, εκμεταλλευόμενοι το γεγονός ότι η καμπύλη δίνεται από μια εξίσωση που επιλύεται σε σχέση με τη μεταβλητή.
Εάν πάρουμε μια μεταβλητή ως παράμετρο, αυτό θα οδηγήσει σε μικρή αλλαγήεκφράσεις για το διαφορικό τόξου:
.
Κατά συνέπεια, το ολοκλήρωμα θα αλλάξει ελαφρώς:
.
Αυτό το ολοκλήρωμα υπολογίζεται εύκολα αντικαθιστώντας τη μεταβλητή κάτω από το διαφορικό. Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο ολοκλήρωμα όπως στην πρώτη μέθοδο υπολογισμού.

Παράδειγμα 3. Ολοκληρωμένο κατά μήκος μιας καμπύλης σε ένα επίπεδο (με χρήση παραμετροποίησης).
Υπολογίστε ολοκλήρωμα

κατά μήκος του πάνω μισού του κύκλου .

Μπορείτε, φυσικά, να εκφράσετε μια από τις μεταβλητές από την εξίσωση ενός κύκλου και στη συνέχεια να εκτελέσετε τους υπόλοιπους υπολογισμούς με τον τυπικό τρόπο. Αλλά μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε
προδιαγραφή παραμετρικής καμπύλης. Όπως γνωρίζετε, ένας κύκλος μπορεί να οριστεί με εξισώσεις. Επάνω ημικύκλιο
αντιστοιχεί σε αλλαγή της παραμέτρου εντός . Ας υπολογίσουμε το διαφορικό τόξου:
.
Ετσι,

Παράδειγμα 4. Ολοκληρωμένο κατά μήκος μιας καμπύλης σε ένα επίπεδο που καθορίζεται σε πολικές συντεταγμένες.
Υπολογίστε ολοκλήρωμα

κατά μήκος του δεξιού λοβού του λεμνίσκου .

Το παραπάνω σχέδιο δείχνει ένα λεμνίσκο. Η ενσωμάτωση πρέπει να πραγματοποιείται κατά μήκος του δεξιού λοβού του. Ας βρούμε το διαφορικό τόξου για την καμπύλη :
.
Το επόμενο βήμα είναι να καθοριστούν τα όρια ολοκλήρωσης πάνω από την πολική γωνία. Είναι σαφές ότι η ανισότητα πρέπει να ικανοποιηθεί, και επομένως
.
Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα:

Παράδειγμα 5. Ολοκληρωμένο κατά μήκος μιας καμπύλης στο χώρο.
Υπολογίστε ολοκλήρωμα

κατά μήκος της στροφής της έλικας που αντιστοιχεί στα όρια μεταβολής παραμέτρων