Η αρχή του Hermann Euler d'Alembert για ένα υλικό σημείο. Η αρχή d'Alembert της θεωρητικής μηχανικής

Οι μέθοδοι επίλυσης των προβλημάτων της μηχανικής, που έχουν εξεταστεί μέχρι τώρα, βασίζονται σε εξισώσεις που προκύπτουν είτε απευθείας από τους νόμους του Νεύτωνα, είτε από γενικά θεωρήματα που είναι συνέπεια αυτών των νόμων. Ωστόσο, αυτό το μονοπάτι δεν είναι το μόνο. Αποδεικνύεται ότι οι εξισώσεις κίνησης ή οι συνθήκες ισορροπίας ενός μηχανικού συστήματος μπορούν να ληφθούν υποθέτοντας άλλες γενικές προτάσεις αντί για τους νόμους του Νεύτωνα, που ονομάζονται αρχές της μηχανικής. Σε ορισμένες περιπτώσεις, η εφαρμογή αυτών των αρχών καθιστά δυνατή, όπως θα δούμε, την εύρεση πιο αποτελεσματικών μεθόδων για την επίλυση των αντίστοιχων προβλημάτων. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα εξεταστεί μια από τις γενικές αρχές της μηχανικής, που ονομάζεται αρχή d'Alembert.

Ας βρούμε πρώτα μια έκφραση της αρχής για ένα υλικό σημείο. Ας ενεργήσει ένα σύστημα ενεργών δυνάμεων σε ένα υλικό σημείο με μάζα, το αποτέλεσμα της οποίας θα συμβολίζεται με την αντίδραση της σύνδεσης N (αν το σημείο δεν είναι ελεύθερο). Υπό τη δράση όλων αυτών των δυνάμεων, το σημείο θα κινηθεί ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς με κάποια επιτάχυνση α.

Ας λάβουμε υπόψη την ποσότητα

έχοντας τη διάσταση της δύναμης. Ένα διανυσματικό μέγεθος ίσο σε απόλυτη τιμή με το γινόμενο της μάζας ενός σημείου και της επιτάχυνσής του και κατευθύνεται αντίθετα από αυτή την επιτάχυνση ονομάζεται δύναμη αδράνειας του σημείου.

Τότε αποδεικνύεται ότι η κίνηση ενός σημείου έχει την ακόλουθη ιδιότητα: αν σε οποιαδήποτε στιγμή προστεθεί η δύναμη αδράνειας στις ενεργές δυνάμεις που δρουν στο σημείο και στην αντίδραση της σύνδεσης, τότε το σύστημα δυνάμεων που προκύπτει θα είναι ισορροπημένο, δηλ.

Αυτή η διάταξη εκφράζει την αρχή του d'Alembert για ένα ουσιαστικό σημείο. Είναι εύκολο να δούμε ότι είναι ισοδύναμο με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα και το αντίστροφο. Πράγματι, ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα για το εξεταζόμενο σημείο δίνει: Μεταφέροντας εδώ την τιμή m στη δεξιά πλευρά της ισότητας και λαμβάνοντας υπόψη τον συμβολισμό (84), φτάνουμε στη σχέση (85). Αντίθετα, μεταφέροντας την τιμή της εξίσωσης (85) σε άλλο μέρος της εξίσωσης και λαμβάνοντας υπόψη τη σημείωση (84), λαμβάνουμε την έκφραση για τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα.

Σκεφτείτε τώρα ένα μηχανικό σύστημα που αποτελείται από υλικά σημεία. Ας ξεχωρίσουμε μερικά από τα σημεία του συστήματος με μάζα . Υπό τη δράση εξωτερικών και εσωτερικών δυνάμεων που εφαρμόζονται σε αυτό (οι οποίες περιλαμβάνουν ενεργές δυνάμεις και αντιδράσεις περιορισμών), το σημείο θα κινηθεί ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς με κάποια επιτάχυνση. σύμφωνα με την ισότητα (85), ότι

δηλαδή που σχηματίζουν ένα ισορροπημένο σύστημα δυνάμεων. Επαναλαμβάνοντας μια τέτοια συλλογιστική για καθένα από τα σημεία του συστήματος, καταλήγουμε στο ακόλουθο αποτέλεσμα, το οποίο εκφράζει την αρχή d'Alembert για το σύστημα: εάν οποιαδήποτε στιγμή σε κάθε ένα από τα σημεία του συστήματος, εκτός από το εξωτερικό και εσωτερικές δυνάμεις που ενεργούν σε αυτό, προσδίδουμε τις αντίστοιχες δυνάμεις αδράνειας, τότε το προκύπτον σύστημα δυνάμεων θα εξισορροπηθεί και όλες οι εξισώσεις της στατικής μπορούν να εφαρμοστούν σε αυτό.

Μαθηματικά, η αρχή d'Alembert για ένα σύστημα εκφράζεται με διανυσματικές ισότητες της μορφής (85), οι οποίες είναι προφανώς ισοδύναμες με τις διαφορικές εξισώσεις κίνησης του συστήματος (13) που λαμβάνονται στην § 106. Επομένως, από το d'Alembert αρχή, καθώς και από τις εξισώσεις (13), μπορεί κανείς να λάβει όλα τα γενικά θεωρήματα δυναμική.

Η σημασία της αρχής d'Alembert έγκειται στο γεγονός ότι όταν εφαρμόζεται άμεσα σε προβλήματα δυναμικής, οι εξισώσεις κίνησης του συστήματος συντάσσονται με τη μορφή γνωστών εξισώσεων ισορροπίας. Αυτό καθιστά την προσέγγιση για την επίλυση προβλημάτων ομοιόμορφη και συχνά απλοποιεί τους αντίστοιχους υπολογισμούς. Επιπλέον, σε συνδυασμό με την αρχή των πιθανών μετατοπίσεων, που θα εξεταστεί στο επόμενο κεφάλαιο, η αρχή d'Alembert μας επιτρέπει να αποκτήσουμε μια νέα γενική μέθοδο για την επίλυση προβλημάτων δυναμικής (βλ. § 141).

Είναι γνωστό από τη στατική ότι το γεωμετρικό άθροισμα των δυνάμεων σε ισορροπία και το άθροισμα των ροπών τους σε σχέση με οποιοδήποτε κέντρο Ο είναι ίσο με μηδέν και, όπως φαίνεται στην § 120, αυτό ισχύει για τις δυνάμεις που δρουν όχι μόνο σε ένα άκαμπτο σώμα, αλλά και σε οποιοδήποτε μεταβλητό μηχανικό σύστημα .

Στη συνέχεια, με βάση την αρχή του d'Alembert, θα πρέπει να είναι:

Ας εισάγουμε τη σημειογραφία:

Τα μεγέθη αντιπροσωπεύουν το κύριο διάνυσμα και την κύρια ροπή σε σχέση με το κέντρο Ο του συστήματος δυνάμεων αδράνειας. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνοντας υπόψη ότι το γεωμετρικό άθροισμα των εσωτερικών δυνάμεων και το άθροισμα των ροπών τους είναι ίσο με μηδέν, λαμβάνουμε από τις ισότητες (86):

Η εφαρμογή των εξισώσεων (88), που απορρέουν από την αρχή d'Alembert, απλοποιεί τη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων, καθώς αυτές οι εξισώσεις δεν περιέχουν εσωτερικές δυνάμεις. Στην ουσία, οι εξισώσεις (88) είναι ισοδύναμες με τις εξισώσεις που εκφράζουν τα θεωρήματα για τη μεταβολή της ορμής και της κύριας ροπής της ορμής του συστήματος και διαφέρουν από αυτές μόνο ως προς τη μορφή.

Οι εξισώσεις (88) είναι ιδιαίτερα βολικές στη χρήση κατά τη μελέτη της κίνησης ενός άκαμπτου σώματος ή ενός συστήματος άκαμπτων σωμάτων. Για μια πλήρη μελέτη της κίνησης οποιουδήποτε μεταβλητού συστήματος, αυτές οι εξισώσεις δεν θα είναι αρκετές, όπως και οι εξισώσεις της στατικής δεν αρκούν για τη μελέτη της ισορροπίας οποιουδήποτε μηχανικού συστήματος (βλ. § 120).

Στις προβολές στους άξονες συντεταγμένων, οι ισότητες (88) δίνουν εξισώσεις ανάλογες με τις αντίστοιχες εξισώσεις στατικής (βλ. §§ 16, 30). Για να χρησιμοποιήσετε αυτές τις εξισώσεις στην επίλυση προβλημάτων, πρέπει να γνωρίζετε τις εκφράσεις για το κύριο διάνυσμα και την κύρια ροπή των δυνάμεων αδράνειας.

Συμπερασματικά, πρέπει να τονιστεί ότι κατά τη μελέτη της κίνησης σε σχέση με ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, το οποίο εξετάζεται εδώ, δυνάμεις αδράνειας εισάγονται μόνο όταν εφαρμόζεται η αρχή d'Alembert για την επίλυση προβλημάτων

Αρχή d'Alembertχρησιμοποιείται για την επίλυση του πρώτου κύριου προβλήματος της δυναμικής ενός μη ελεύθερου σημείου, όταν είναι γνωστές η κίνηση του σημείου και οι ενεργές δυνάμεις που δρουν σε αυτό και βρίσκεται η αναδυόμενη αντίδραση της σύνδεσης.

Ας γράψουμε τη βασική εξίσωση για τη δυναμική ενός μη ελεύθερου σημείου σε ένα αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς:

Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση με τη μορφή:

.

Δηλώνοντας , παίρνουμε

, (11.27)

όπου ονομάζεται το διάνυσμα Δύναμη αδράνειας d'Alembert.

Δήλωση αρχής: Σε κάθε στιγμή κίνησης ενός μη ελεύθερου υλικού σημείου, η ενεργός δύναμη και η αντίδραση της σύνδεσης εξισορροπούνται από τη δύναμη αδράνειας d'Alembert.

Προβάλλοντας τη διανυσματική εξίσωση (11.27) σε οποιουσδήποτε άξονες συντεταγμένων, λαμβάνουμε τις αντίστοιχες εξισώσεις ισορροπίας, χρησιμοποιώντας τις οποίες μπορούμε να βρούμε άγνωστες αντιδράσεις.

Προβάλλουμε την εξίσωση (11.27) σε φυσικούς άξονες:

(11.28)

όπου ονομάζεται η φυγόκεντρη δύναμη αδράνειας, που κατευθύνεται πάντα προς την αρνητική κατεύθυνση της κύριας κανονικής. .

Σημειώσεις:

1). Στην πραγματικότητα, εκτός από δυνάμεις και οποιεσδήποτε άλλες φυσικές δυνάμεις, δεν εφαρμόζονται άλλες φυσικές δυνάμεις στο σημείο και οι τρεις δυνάμεις δεν αποτελούν ένα ισορροπημένο σύστημα δυνάμεων. Με αυτή την έννοια, η δύναμη αδράνειας d'Alembert είναι μια πλασματική δύναμη που εφαρμόζεται υπό όρους σε ένα σημείο.

2). Η αρχή του d'Alembert θα πρέπει να θεωρηθεί ως μια βολική μεθοδολογική τεχνική που επιτρέπει στο πρόβλημα της δυναμικής να περιοριστεί σε ένα πρόβλημα στατικής.

Παράδειγμα 1Ας προσδιορίσουμε την αντίδραση της σύνδεσης που ενεργεί στον πιλότο όταν ένα αεροσκάφος που κινείται σε κατακόρυφο επίπεδο εξέρχεται από μια πτήση κατάδυσης (Εικ. 11.5).

Ο πιλότος επηρεάζεται από τη βαρύτητα και την αντίδραση του καθίσματος. Ας εφαρμόσουμε την αρχή d'Alembert προσθέτοντας τη δύναμη d'Alembert αδράνειας σε αυτές τις δυνάμεις:

(11.29)

Ας γράψουμε την εξίσωση (11.29) σε προβολές στην κανονική:

(11.30)

όπου r- την ακτίνα του κύκλου όταν το αεροσκάφος εισέρχεται σε επίπεδη πτήση,

Η μέγιστη ταχύτητα του αεροσκάφους εκείνη τη στιγμή.

Από την εξίσωση (11.30)

(11.31)

Παράδειγμα 2Ας προσδιορίσουμε τώρα την ίδια αντίδραση που ενεργεί στον πιλότο τη στιγμή της εξόδου από τη λειτουργία αναρρίχησης (Εικ. 11.6).

Σχετική κίνηση υλικού σημείου

Εάν τα πλαίσια αναφοράς δεν κινούνται σε σχέση με το αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς ή οι αρχές των συντεταγμένων τους κινούνται ανομοιόμορφα ή καμπυλόγραμμα, τότε τέτοια πλαίσια αναφοράς είναι μη αδρανειακή. Σε αυτά τα πλαίσια αναφοράς, τα αξιώματα ΑΛΛΑ 1 και ΑΛΛΑ 2 δεν παρατηρούνται, αλλά δεν προκύπτει από αυτό ότι μόνο οι κινήσεις που συμβαίνουν σε αδρανειακά συστήματα αναφοράς μελετώνται στη δυναμική. Θεωρήστε την κίνηση ενός υλικού σημείου σε ένα μη αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων, εάν είναι γνωστές οι δυνάμεις που δρουν στο υλικό σημείο και δίνεται η κίνηση του μη αδρανειακού συστήματος αναφοράς σε σχέση με το αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Στη συνέχεια, το αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς θα ονομάζεται σταθερό πλαίσιο και το μη αδρανειακό πλαίσιο, το κινούμενο πλαίσιο αναφοράς. Έστω - το αποτέλεσμα των ενεργών δυνάμεων που δρουν στο σημείο, και - το αποτέλεσμα της αντίδρασης των δεσμών. - σταθερό σύστημα συντεταγμένων. - κινούμενο σύστημα συντεταγμένων.

Εξετάστε την κίνηση ενός υλικού σημείου Μ(Εικ. 11.7), δεν συνδέεται άκαμπτα με το κινούμενο σύστημα συντεταγμένων, αλλά κινείται σε σχέση με αυτό. Αυτή η κίνηση ενός σημείου στην κινηματική ονομαζόταν σχετική, η κίνηση ενός σημείου σε σχέση με ένα σταθερό σύστημα συντεταγμένων ονομαζόταν απόλυτη, η κίνηση ενός κινούμενου συστήματος συντεταγμένων ονομαζόταν φορητή.

Ο βασικός νόμος της δυναμικής για την απόλυτη κίνηση ενός σημείου Μθα μοιάζει

(11.33)

όπου είναι η απόλυτη επιτάχυνση του σημείου.

Με βάση το θεώρημα πρόσθεσης κινηματικής επιτάχυνσης (θεώρημα Coriolis), η απόλυτη επιτάχυνση είναι το άθροισμα των σχετικών, μεταφορικών και επιταχύνσεων Coriolis

. (11.34)

Αντικαθιστώντας το (11.34) στο (11.33), παίρνουμε

και μετά τη μεταφορά και εισαγωγή σημειογραφίας

(11.35)

όπου ; το διάνυσμα ονομάζεται φορητή δύναμη αδράνειας. - Δύναμη αδράνειας Coriolis.

Η ισότητα (11,35) εκφράζει το νόμο της σχετικής κίνησης ενός σημείου. Επομένως, η κίνηση ενός σημείου σε ένα μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς μπορεί να θεωρηθεί ως κίνηση σε αδρανειακό πλαίσιο, αν προσθέσουμε τις μεταφορικές δυνάμεις αδράνειας και τις δυνάμεις Coriolis στον αριθμό των ενεργών δυνάμεων που δρουν στο σημείο και τις αντιδράσεις του τα ομόλογα.

Όλες οι μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων δυναμικής που έχουμε εξετάσει μέχρι τώρα βασίζονται σε εξισώσεις που προκύπτουν είτε απευθείας από τους νόμους του Νεύτωνα, είτε από γενικά θεωρήματα που είναι συνέπειες αυτών των νόμων. Ωστόσο, αυτό το μονοπάτι δεν είναι το μόνο. Αποδεικνύεται ότι οι εξισώσεις κίνησης ή οι συνθήκες ισορροπίας ενός μηχανικού συστήματος μπορούν να ληφθούν υποθέτοντας άλλες γενικές προτάσεις αντί για τους νόμους του Νεύτωνα, που ονομάζονται αρχές της μηχανικής. Σε ορισμένες περιπτώσεις, η εφαρμογή αυτών των αρχών καθιστά δυνατή, όπως θα δούμε, την εύρεση πιο αποτελεσματικών μεθόδων για την επίλυση των αντίστοιχων προβλημάτων. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα εξεταστεί μια από τις γενικές αρχές της μηχανικής, που ονομάζεται αρχή d'Alembert.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σύστημα που αποτελείται από nυλικά σημεία. Ας ξεχωρίσουμε μερικά από τα σημεία του συστήματος με μάζα . Κάτω από τη δράση εξωτερικών και εσωτερικών δυνάμεων που εφαρμόζονται σε αυτό και (οι οποίες περιλαμβάνουν τόσο ενεργές δυνάμεις όσο και αντιδράσεις σύζευξης), το σημείο λαμβάνει κάποια επιτάχυνση σε σχέση με το αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς.

Ας λάβουμε υπόψη την ποσότητα

έχοντας τη διάσταση της δύναμης. Ένα διανυσματικό μέγεθος ίσο σε απόλυτη τιμή με το γινόμενο της μάζας ενός σημείου και της επιτάχυνσής του και κατευθύνεται αντίθετα από αυτήν την επιτάχυνση ονομάζεται δύναμη αδράνειας του σημείου (μερικές φορές η δύναμη αδράνειας d'Alembert).

Τότε αποδεικνύεται ότι η κίνηση ενός σημείου έχει την ακόλουθη γενική ιδιότητα: αν σε κάθε χρονική στιγμή προσθέσουμε τη δύναμη της αδράνειας στις δυνάμεις που ασκούν πραγματικά στο σημείο, τότε το σύστημα δυνάμεων που θα προκύψει θα εξισορροπηθεί, δηλ. θα είναι

.

Αυτή η έκφραση εκφράζει την αρχή του d'Alembert για ένα υλικό σημείο. Είναι εύκολο να δούμε ότι είναι ισοδύναμο με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα και το αντίστροφο. Πράγματι, ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα για το εν λόγω σημείο δίνει . Μεταφέροντας τον όρο εδώ στη δεξιά πλευρά της ισότητας, φτάνουμε στην τελευταία σχέση.

Επαναλαμβάνοντας τον παραπάνω συλλογισμό σε σχέση με καθένα από τα σημεία του συστήματος, καταλήγουμε στο ακόλουθο αποτέλεσμα, το οποίο εκφράζει την αρχή d'Alembert για το σύστημα: εάν οποιαδήποτε στιγμή σε καθένα από τα σημεία του συστήματος, εκτός από τις εξωτερικές και εσωτερικές δυνάμεις που ασκούν πραγματικά σε αυτό, εφαρμοστούν οι αντίστοιχες δυνάμεις αδράνειας, τότε το σύστημα δυνάμεων που προκύπτει θα είναι σε ισορροπία και όλες οι εξισώσεις του μπορεί να εφαρμοστεί στατική σε αυτό.

Η σημασία της αρχής d'Alembert έγκειται στο γεγονός ότι όταν εφαρμόζεται άμεσα σε προβλήματα δυναμικής, οι εξισώσεις κίνησης του συστήματος συντάσσονται με τη μορφή γνωστών εξισώσεων ισορροπίας. που κάνει μια ενιαία προσέγγιση για την επίλυση προβλημάτων και συνήθως απλοποιεί πολύ τους αντίστοιχους υπολογισμούς. Επιπλέον, σε συνδυασμό με την αρχή των πιθανών μετατοπίσεων, η οποία θα συζητηθεί στο επόμενο κεφάλαιο, η αρχή d'Alembert μας επιτρέπει να αποκτήσουμε μια νέα γενική μέθοδο για την επίλυση προβλημάτων δυναμικής.

Κατά την εφαρμογή της αρχής d'Alembert, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι μόνο εξωτερικές και εσωτερικές δυνάμεις δρουν σε ένα σημείο ενός μηχανικού συστήματος, η κίνηση του οποίου μελετάται και, που προκύπτουν ως αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης των σημείων του το σύστημα μεταξύ τους και με φορείς που δεν περιλαμβάνονται στο σύστημα· κάτω από τη δράση αυτών των δυνάμεων, τα σημεία του συστήματος και κινούνται με τις αντίστοιχες επιταχύνσεις. Οι δυνάμεις αδράνειας, οι οποίες αναφέρονται στην αρχή του d'Alembert, δεν δρουν σε κινούμενα σημεία (διαφορετικά, αυτά τα σημεία θα ήταν σε ηρεμία ή θα κινούνταν χωρίς επιτάχυνση και τότε δεν θα υπήρχαν αδρανειακές δυνάμεις οι ίδιες). Η εισαγωγή αδρανειακών δυνάμεων είναι απλώς μια τεχνική που σας επιτρέπει να συνθέσετε τις εξισώσεις της δυναμικής χρησιμοποιώντας απλούστερες μεθόδους στατικής.

Είναι γνωστό από τη στατική ότι το γεωμετρικό άθροισμα των δυνάμεων σε ισορροπία και το άθροισμα των ροπών τους σε σχέση με οποιοδήποτε κέντρο Οείναι ίσα με μηδέν, και σύμφωνα με την αρχή της στερεοποίησης, αυτό ισχύει για δυνάμεις που δρουν όχι μόνο σε ένα άκαμπτο σώμα, αλλά και σε οποιοδήποτε μεταβλητό σύστημα. Στη συνέχεια, με βάση την αρχή του d'Alembert, θα έπρεπε να είναι.

Η αρχή d'Alembert καθιστά δυνατή τη διατύπωση των προβλημάτων της δυναμικής των μηχανικών συστημάτων ως προβλήματα στατικής. Στην περίπτωση αυτή, οι δυναμικές διαφορικές εξισώσεις κίνησης δίνονται με τη μορφή εξισώσεων ισορροπίας. Μια τέτοια μέθοδος ονομάζεται κινητοστατική μέθοδος .

Η αρχή του d'Alembert για ένα υλικό σημείο: « Σε κάθε χρονική στιγμή της κίνησης ενός υλικού σημείου, οι ενεργές δυνάμεις που ενεργούν πραγματικά σε αυτό, οι αντιδράσεις των δεσμών και η δύναμη αδράνειας που εφαρμόζεται υπό όρους στο σημείο σχηματίζουν ένα ισορροπημένο σύστημα δυνάμεων»

δύναμη αδράνειας σημείου καλούμε ένα διανυσματικό μέγεθος που έχει τη διάσταση μιας δύναμης ίσης σε απόλυτη τιμή με το γινόμενο της μάζας ενός σημείου και της επιτάχυνσής του και κατευθύνεται αντίθετα από το διάνυσμα της επιτάχυνσης

. (3.38)

Θεωρώντας ένα μηχανικό σύστημα ως ένα σύνολο υλικών σημείων, καθένα από τα οποία ενεργείται, σύμφωνα με την αρχή d'Alembert, από ισορροπημένα συστήματα δυνάμεων, έχουμε συνέπειες από αυτή την αρχή σε σχέση με το σύστημα. Το κύριο διάνυσμα και η κύρια ροπή σε σχέση με οποιοδήποτε κέντρο εξωτερικών δυνάμεων που εφαρμόζονται στο σύστημα και οι δυνάμεις αδράνειας όλων των σημείων του είναι ίσες με μηδέν:

(3.39)

Εδώ οι εξωτερικές δυνάμεις είναι ενεργές δυνάμεις και αντιδράσεις δεσμών.

Το κύριο διάνυσμα των αδρανειακών δυνάμεωνενός μηχανικού συστήματος είναι ίσο με το γινόμενο της μάζας του συστήματος και την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του και κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από αυτήν την επιτάχυνση

. (3.40)

Η κύρια στιγμή των δυνάμεων αδράνειαςσύστημα σε σχέση με ένα αυθαίρετο κέντρο Οίση με τη χρονική παράγωγο της γωνιακής του ορμής ως προς το ίδιο κέντρο

. (3.41)

Για ένα άκαμπτο σώμα που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα Οζ, βρίσκουμε την κύρια ροπή των δυνάμεων αδράνειας γύρω από αυτόν τον άξονα

. (3.42)

3.8. Στοιχεία αναλυτικής μηχανικής

Η ενότητα "Αναλυτική Μηχανική" εξετάζει τις γενικές αρχές και τις αναλυτικές μεθόδους για την επίλυση προβλημάτων στη μηχανική των συστημάτων υλικών.

3.8.1 Πιθανές κινήσεις του συστήματος. Ταξινόμηση

κάποιους συνδέσμους

Πιθανές σημειακές κινήσεις
οποιεσδήποτε φανταστικές, απείρως μικρές μετατοπίσεις τους, που επιτρέπονται από τους περιορισμούς που επιβάλλονται στο σύστημα, σε μια σταθερή χρονική στιγμή, ονομάζονται μηχανικά συστήματα. Εξ ορισμού, αριθμός βαθμών ελευθερίας ενός μηχανικού συστήματος είναι ο αριθμός των ανεξάρτητων πιθανών μετατοπίσεων του.

Οι συνδέσεις που επιβάλλονται στο σύστημα καλούνται ιδανικός , αν το άθροισμα των στοιχειωδών έργων των αντιδράσεών τους σε οποιαδήποτε από τις πιθανές μετατοπίσεις των σημείων του συστήματος είναι ίσο με μηδέν

. (3. 43)

Καλούνται οι συνδέσεις για τις οποίες διατηρούνται οι περιορισμοί που επιβάλλονται σε οποιαδήποτε θέση του συστήματος κρατώντας πίσω . Σχέσεις που δεν αλλάζουν στο χρόνο, οι εξισώσεις των οποίων ρητά δεν περιλαμβάνουν χρόνο, ονομάζονται ακίνητος . Ονομάζονται οι συνδέσεις που περιορίζουν μόνο τις μετατοπίσεις των σημείων του συστήματος γεωμετρικός , και οι περιοριστικές ταχύτητες είναι κινηματικός . Στο μέλλον, θα εξετάσουμε μόνο τις γεωμετρικές σχέσεις και εκείνες τις κινηματικές που μπορούν να αναχθούν σε γεωμετρικές με ολοκλήρωση.

3.8.2. Η αρχή των πιθανών κινήσεων

Για την ισορροπία ενός μηχανικού συστήματος με περιορισμένους ιδανικούς και σταθερούς περιορισμούς, είναι απαραίτητο και αρκετό

το άθροισμα των στοιχειωδών έργων όλων των ενεργών δυνάμεων που δρουν σε αυτό, σε τυχόν πιθανές μετατοπίσεις του συστήματος, ήταν ίσο με μηδέν

. (3.44)

Στις προβολές στους άξονες συντεταγμένων:

. (3.45)

Η αρχή των πιθανών μετατοπίσεων μας επιτρέπει να καθιερώσουμε σε μια γενική μορφή τις συνθήκες για την ισορροπία οποιουδήποτε μηχανικού συστήματος, χωρίς να λάβουμε υπόψη την ισορροπία των επιμέρους μερών του. Στην περίπτωση αυτή λαμβάνονται υπόψη μόνο οι ενεργές δυνάμεις που δρουν στο σύστημα. Σε αυτές τις συνθήκες δεν περιλαμβάνονται άγνωστες αντιδράσεις ιδανικών δεσμών. Ταυτόχρονα, αυτή η αρχή καθιστά δυνατό τον προσδιορισμό άγνωστων αντιδράσεων ιδανικών δεσμών απορρίπτοντας αυτούς τους δεσμούς και εισάγοντας τις αντιδράσεις τους στον αριθμό των ενεργών δυνάμεων. Όταν απορρίπτονται οι δεσμοί των οποίων οι αντιδράσεις πρέπει να προσδιοριστούν, το σύστημα αποκτά επιπλέον τον αντίστοιχο αριθμό βαθμών ελευθερίας.

Παράδειγμα 1 . Βρείτε τη σχέση μεταξύ των δυνάμεων και γρύλος, αν είναι γνωστό ότι με κάθε περιστροφή της λαβής ΑΒ = λ, βίδα ΑΠΟεκτείνεται στο βαθμό η(Εικ. 3.3).

Λύση

Οι πιθανές κινήσεις του μηχανισμού είναι η περιστροφή της λαβής  και η κίνηση του φορτίου  η. Η συνθήκη της ισότητας προς το μηδέν του στοιχειώδους έργου των δυνάμεων:

pl– Ερh = 0;

Επειτα
. Αφού η 0, λοιπόν

3.8.3. Γενική μεταβλητή εξίσωση δυναμικής

Εξετάστε την κίνηση ενός συστήματος που αποτελείται από nσημεία. Ενεργές δυνάμεις δρουν σε αυτό και αντιδράσεις δεσμού .(κ = 1,…,n) Αν στις ενεργούσες δυνάμεις προσθέσουμε τις δυνάμεις αδράνειας των σημείων
, τότε, σύμφωνα με την αρχή d'Alembert, το προκύπτον σύστημα δυνάμεων θα είναι σε ισορροπία και, επομένως, η έκφραση που γράφτηκε με βάση την αρχή των πιθανών μετατοπίσεων (3.44) είναι έγκυρη:

. (3.46)

Εάν όλες οι συνδέσεις είναι ιδανικές, τότε το 2ο άθροισμα είναι ίσο με μηδέν και στις προβολές στους άξονες συντεταγμένων, η ισότητα (3.46) θα μοιάζει με αυτό:

Η τελευταία ισότητα είναι μια γενική μεταβλητή εξίσωση δυναμικής στις προβολές στους άξονες συντεταγμένων, η οποία επιτρέπει σε κάποιον να συνθέσει διαφορικές εξισώσεις κίνησης ενός μηχανικού συστήματος.

Η γενική μεταβλητή εξίσωση της δυναμικής είναι μια μαθηματική έκφραση Αρχή d'Alembert-Lagrange: « Όταν ένα σύστημα βρίσκεται σε κίνηση, υπόκειται σε ακίνητους, ιδανικούς, περιορισμούς, σε οποιαδήποτε δεδομένη χρονική στιγμή, το άθροισμα των στοιχειωδών έργων όλων των ενεργών δυνάμεων που εφαρμόζονται στο σύστημα και των δυνάμεων αδράνειας σε οποιαδήποτε πιθανή μετατόπιση του συστήματος είναι ίσο στο μηδέν».

Παράδειγμα 2 . Για ένα μηχανικό σύστημα (Εικ. 3.4), που αποτελείται από τρία σώματα, προσδιορίστε την επιτάχυνση του φορτίου 1 και την τάση του καλωδίου 1-2 εάν: Μ 1 = 5Μ; Μ 2 = 4Μ; Μ 3 = 8Μ; r 2 = 0,5R 2; ακτίνα περιστροφής του μπλοκ 2 Εγώ = 1,5r 2. Ο κύλινδρος 3 είναι ένας συνεχής ομοιογενής δίσκος.

Λύση

Ας απεικονίσουμε τις δυνάμεις που κάνουν στοιχειώδη εργασία σε μια πιθανή μετατόπιση  μικρόφορτίο 1:

Γράφουμε τις πιθανές μετατοπίσεις όλων των σωμάτων μέσω της πιθανής μετατόπισης του φορτίου 1:

Εκφράζουμε τις γραμμικές και γωνιακές επιταχύνσεις όλων των σωμάτων ως προς την επιθυμητή επιτάχυνση του φορτίου 1 (οι λόγοι είναι οι ίδιοι όπως στην περίπτωση πιθανών μετατοπίσεων):

.

Η γενική μεταβλητή εξίσωση για αυτό το πρόβλημα έχει τη μορφή:

Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις που λήφθηκαν προηγουμένως για ενεργές δυνάμεις, δυνάμεις αδράνειας και πιθανές μετατοπίσεις, μετά από απλούς μετασχηματισμούς, λαμβάνουμε

Από  μικρό 0, επομένως, η έκφραση σε αγκύλες που περιέχουν την επιτάχυνση είναι ίση με μηδέν ένα 1 , όπου ένα 1 = 5σολ/8,25 = 0,606σολ.

Για να προσδιορίσουμε την τάση του καλωδίου που συγκρατεί το φορτίο, απελευθερώνουμε το φορτίο από το καλώδιο, αντικαθιστώντας τη δράση του με την επιθυμητή αντίδραση . Υπό την επίδραση δεδομένων δυνάμεων ,και την αδρανειακή δύναμη που εφαρμόζεται στο φορτίο
είναι σε ισορροπία. Επομένως, η αρχή d’Alembert εφαρμόζεται στο εξεταζόμενο φορτίο (σημείο), δηλ. το γράφουμε
. Από εδώ
.

3.8.4. Εξίσωση Lagrange 2ου είδους

Γενικευμένες συντεταγμένες και γενικευμένες ταχύτητες. Οποιεσδήποτε αμοιβαία ανεξάρτητες παράμετροι που καθορίζουν μοναδικά τη θέση ενός μηχανικού συστήματος στο χώρο ονομάζονται γενικευμένες συντεταγμένες . Αυτές οι συντεταγμένες, σημειώνονται q 1 ,....q i , μπορεί να έχει οποιαδήποτε διάσταση. Συγκεκριμένα, οι γενικευμένες συντεταγμένες μπορεί να είναι μετατοπίσεις ή γωνίες περιστροφής.

Για τα υπό εξέταση συστήματα, ο αριθμός των γενικευμένων συντεταγμένων είναι ίσος με τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας. Η θέση κάθε σημείου του συστήματος είναι μια συνάρτηση μιας τιμής των γενικευμένων συντεταγμένων

Έτσι, η κίνηση του συστήματος σε γενικευμένες συντεταγμένες καθορίζεται από τις ακόλουθες εξαρτήσεις:

Οι πρώτες παράγωγοι των γενικευμένων συντεταγμένων ονομάζονται γενικευμένες ταχύτητες :
.

Γενικευμένες δυνάμεις.Έκφραση για το στοιχειώδες έργο μιας δύναμης σε μια πιθανή κίνηση
μοιάζει με:

.

Για το στοιχειώδες έργο του συστήματος των δυνάμεων, γράφουμε

Χρησιμοποιώντας τις εξαρτήσεις που αποκτήθηκαν, αυτή η έκφραση μπορεί να γραφτεί ως:

,

όπου αντιστοιχεί η γενικευμένη δύναμη Εγώ-η γενικευμένη συντεταγμένη,

. (3.49)

Με αυτόν τον τρόπο, αντίστοιχη γενικευμένη δύναμη Εγώ-η γενικευμένη συντεταγμένη, είναι ο συντελεστής διακύμανσης αυτής της συντεταγμένης στην έκφραση του αθροίσματος των στοιχειωδών έργων ενεργών δυνάμεων στην πιθανή μετατόπιση του συστήματος . Για τον υπολογισμό της γενικευμένης δύναμης, είναι απαραίτητο να ενημερώσετε το σύστημα για μια πιθανή μετατόπιση, στην οποία αλλάζει μόνο η γενικευμένη συντεταγμένη q Εγώ. Συντελεστής στο
και θα είναι η επιθυμητή γενικευμένη δύναμη.

Εξισώσεις κίνησης συστήματος σε γενικευμένες συντεταγμένες. Αφήστε ένα μηχανικό σύστημα να δοθεί με μικρόβαθμοί ελευθερίας. Γνωρίζοντας τις δυνάμεις που δρουν σε αυτό, είναι απαραίτητο να συνθέσουμε διαφορικές εξισώσεις κίνησης σε γενικευμένες συντεταγμένες
. Εφαρμόζουμε τη διαδικασία για τη σύνταξη διαφορικών εξισώσεων κίνησης του συστήματος - Εξισώσεις Lagrange 2ου είδους - κατ' αναλογία με την παραγωγή αυτών των εξισώσεων για ένα ελεύθερο υλικό σημείο. Με βάση τον 2ο νόμο του Νεύτωνα γράφουμε

Λαμβάνουμε ένα ανάλογο αυτών των εξισώσεων, χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό για την κινητική ενέργεια ενός υλικού σημείου,

Μερική παράγωγος κινητικής ενέργειας ως προς την προβολή της ταχύτητας στον άξονα
ισούται με την προβολή της ποσότητας κίνησης σε αυτόν τον άξονα, δηλ.

Για να λάβουμε τις απαραίτητες εξισώσεις, υπολογίζουμε τις παραγώγους ως προς το χρόνο:

Το προκύπτον σύστημα εξισώσεων είναι οι εξισώσεις Lagrange του 2ου είδους για ένα υλικό σημείο.

Για ένα μηχανικό σύστημα, αντιπροσωπεύουμε τις εξισώσεις Lagrange του 2ου είδους με τη μορφή εξισώσεων στις οποίες αντί για προβολές ενεργών δυνάμεων Π Χ , Π y , Π zχρησιμοποιούν γενικευμένες δυνάμεις Q 1 , Q 2 ,...,Q i και λάβετε υπόψη στη γενική περίπτωση την εξάρτηση της κινητικής ενέργειας από τις γενικευμένες συντεταγμένες.

Οι εξισώσεις Lagrange του 2ου είδους για ένα μηχανικό σύστημα έχουν τη μορφή:

. (3.50)

Μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μελέτη της κίνησης οποιουδήποτε μηχανικού συστήματος με γεωμετρικούς, ιδανικούς και περιοριστικούς περιορισμούς.

Παράδειγμα 3 . Για το μηχανικό σύστημα (Εικ. 3.5), τα δεδομένα για το οποίο δίνονται στο προηγούμενο παράδειγμα, συντάξτε μια διαφορική εξίσωση κίνησης χρησιμοποιώντας την εξίσωση Lagrange του 2ου είδους,

Λύση

Το μηχανικό σύστημα έχει έναν βαθμό ελευθερίας. Για τη γενικευμένη συντεταγμένη παίρνουμε τη γραμμική κίνηση του φορτίου q 1 = s; γενικευμένη ταχύτητα - . Με αυτό κατά νου, γράφουμε την εξίσωση Lagrange του 2ου είδους

.

Ας συνθέσουμε μια έκφραση για την κινητική ενέργεια του συστήματος

.

Εκφράζουμε όλες τις γωνιακές και γραμμικές ταχύτητες ως προς τη γενικευμένη ταχύτητα:

Τώρα παίρνουμε

Ας υπολογίσουμε τη γενικευμένη δύναμη συνθέτοντας την έκφραση για στοιχειώδες έργο σε μια πιθανή μετατόπιση  μικρόόλες τις ενεργές δυνάμεις. Χωρίς δυνάμεις τριβής, η εργασία στο σύστημα εκτελείται μόνο από τη βαρύτητα του φορτίου 1
Γράφουμε τη γενικευμένη δύναμη στο  μικρό, ως συντελεστής στη στοιχειώδη εργασία Q 1 = 5mg. Στη συνέχεια βρίσκουμε

Τέλος, η διαφορική εξίσωση κίνησης του συστήματος θα έχει τη μορφή:

Αν θεωρήσουμε ένα σύστημα που αποτελείται από πολλά υλικά σημεία, τονίζοντας ένα συγκεκριμένο σημείο με γνωστή μάζα, τότε υπό τη δράση εξωτερικών και εσωτερικών δυνάμεων που εφαρμόζονται σε αυτό, λαμβάνει κάποια επιτάχυνση σε σχέση με το αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Μεταξύ τέτοιων δυνάμεων μπορεί να υπάρχουν τόσο ενεργές δυνάμεις όσο και αντιδράσεις σύζευξης.

Η δύναμη αδράνειας ενός σημείου είναι ένα διανυσματικό μέγεθος, το οποίο ισούται σε απόλυτη τιμή με το γινόμενο της μάζας του σημείου και της επιτάχυνσής του. Αυτή η τιμή αναφέρεται μερικές φορές ως δύναμη αδράνειας d'Alembert, κατευθύνεται αντίθετα από την επιτάχυνση. Σε αυτή την περίπτωση, αποκαλύπτεται η ακόλουθη ιδιότητα ενός κινούμενου σημείου: αν σε κάθε χρονική στιγμή προσθέσουμε τη δύναμη της αδράνειας στις δυνάμεις που ασκούν πραγματικά στο σημείο, τότε το προκύπτον σύστημα δυνάμεων θα εξισορροπηθεί. Έτσι είναι δυνατό να διατυπωθεί η αρχή του d'Alembert για ένα υλικό σημείο. Αυτή η δήλωση είναι απολύτως συνεπής με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα.

Οι αρχές του d'Alembert για το σύστημα

Εάν επαναλάβουμε όλα τα επιχειρήματα για κάθε σημείο του συστήματος, οδηγούν στο ακόλουθο συμπέρασμα, το οποίο εκφράζει την αρχή d'Alembert που διατυπώθηκε για το σύστημα: εάν οποιαδήποτε στιγμή εφαρμόσουμε σε καθένα από τα σημεία του συστήματος, επιπλέον τις πραγματικά ενεργούσες εξωτερικές και εσωτερικές δυνάμεις, τότε αυτό το σύστημα θα βρίσκεται σε ισορροπία, οπότε όλες οι εξισώσεις που χρησιμοποιούνται στη στατική μπορούν να εφαρμοστούν σε αυτό.

Εάν εφαρμόσουμε την αρχή d'Alembert για την επίλυση προβλημάτων δυναμικής, τότε οι εξισώσεις κίνησης του συστήματος μπορούν να συνταχθούν με τη μορφή εξισώσεων ισορροπίας που είναι γνωστές σε εμάς. Αυτή η αρχή απλοποιεί σε μεγάλο βαθμό τους υπολογισμούς και καθιστά ενιαία την προσέγγιση για την επίλυση προβλημάτων.

Εφαρμογή της αρχής d'Alembert

Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι μόνο εξωτερικές και εσωτερικές δυνάμεις ενεργούν σε ένα κινούμενο σημείο ενός μηχανικού συστήματος, οι οποίες προκύπτουν ως αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης σημείων μεταξύ τους, καθώς και με σώματα που δεν περιλαμβάνονται σε αυτό το σύστημα. Τα σημεία κινούνται με ορισμένες επιταχύνσεις υπό την επίδραση όλων αυτών των δυνάμεων. Οι δυνάμεις αδράνειας δεν δρουν σε κινούμενα σημεία, διαφορετικά θα κινούνταν χωρίς επιτάχυνση ή θα ήταν σε ηρεμία.

Οι δυνάμεις αδράνειας εισάγονται μόνο για να συνθέσουμε τις εξισώσεις της δυναμικής χρησιμοποιώντας απλούστερες και πιο βολικές μεθόδους στατικής. Λαμβάνεται επίσης υπόψη ότι το γεωμετρικό άθροισμα των εσωτερικών δυνάμεων και το άθροισμα των ροπών τους είναι ίσο με μηδέν. Η χρήση εξισώσεων που απορρέουν από την αρχή d'Alembert διευκολύνει τη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων, καθώς αυτές οι εξισώσεις δεν περιέχουν πλέον εσωτερικές δυνάμεις.