Εύρημα γραφική μέθοδοςτο μέγιστο αντικειμενική λειτουργία

F= 2Χ 1 + 3Χ 2 ® Μέγιστη

Με περιορισμούς

Λύσημε τη χρήση πίνακες Excel

Ας χτίσουμε πρώτα σε ένα φύλλο λύση excelσυστήματα ανισοτήτων.

Εξετάστε την πρώτη ανισότητα.

Ας κατασκευάσουμε μια οριακή γραμμή από δύο σημεία. Συμβολίστε τη γραμμή με (L1) (ή Σειρά 1). Συντεταγμένες Χ 2 μετράμε σύμφωνα με τους τύπους:

Για κατασκευή, επιλέξτε ένα οικόπεδο διασποράς

Επιλογή δεδομένων για ευθεία γραμμή

Αλλάξτε το όνομα της γραμμής:

Επιλέξτε μια διάταξη γραφήματος. Αλλάξτε το όνομα των αξόνων συντεταγμένων:

Ευθεία γραμμή (L1) στο γράφημα:

Η λύση στην αυστηρή ανισότητα μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας ένα μόνο σημείο δοκιμής που δεν ανήκει στη γραμμή (L1). Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας το σημείο (0; 0)W(L1).

0+3×0< 18 или 0 < 18 .

Η ανισότητα είναι αληθής, επομένως, η λύση στην ανίσωση (1) θα είναι το ημιεπίπεδο στο οποίο βρίσκεται το σημείο δοκιμής (στο σχήμα κάτω από τη γραμμή L1).

Τότε λύνουμε την ανίσωση (2) .

Ας κατασκευάσουμε την οριακή γραμμή 2 από δύο σημεία. Να συμβολίσετε τη γραμμή με (L2).

Ευθεία γραμμή (L2) στο γράφημα:

Η λύση της αυστηρής ανισότητας 2 μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας το μόνο σημείο δοκιμής που δεν ανήκει στην ευθεία (L2). Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας το σημείο (0; 0)W(L2).

Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του σημείου (0; 0), προκύπτει η ανισότητα

2×0 + 0< 16 или 0 < 16 .

Η ανισότητα είναι αληθής, επομένως, η λύση στην ανίσωση (2) θα είναι το ημιεπίπεδο στο οποίο βρίσκεται το σημείο δοκιμής (στο παρακάτω σχήμα, η ευθεία L2).

Τότε λύνουμε την ανίσωση (3) .

Ας κατασκευάσουμε μια οριακή γραμμή από δύο σημεία. Να συμβολίσετε τη γραμμή με (L3).

Ευθεία γραμμή (L3) στο γράφημα:

Η λύση της αυστηρής ανισότητας 2 μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας το μόνο σημείο δοκιμής που δεν ανήκει στην ευθεία (L3). Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας το σημείο (0; 0)W(L3).

Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του σημείου (0; 0), προκύπτει η ανισότητα

Η ανισότητα είναι αληθής, επομένως, η λύση στην ανίσωση (3) θα είναι το ημιεπίπεδο στο οποίο βρίσκεται το σημείο δοκιμής (στο παρακάτω σχήμα, γραμμή L3).

Τότε λύνουμε την ανίσωση (4) .

Ας κατασκευάσουμε μια οριακή γραμμή από δύο σημεία. Να συμβολίσετε τη γραμμή με (L4).

Προσθήκη δεδομένων στο φύλλο excel

Ευθεία γραμμή (L4) στο γράφημα:

Λύση Αυστηρής Ανισότητας 3 Χ 1 < 21 можно найти с помощью единственной пробной точки, не принадлежащей прямой (L4). Например, с помощью точки (0; 0)Ï(L4).

Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του σημείου (0; 0), προκύπτει η ανισότητα

Η ανισότητα είναι αληθής, επομένως, η λύση στην ανίσωση (4) θα είναι το ημιεπίπεδο στο οποίο βρίσκεται το σημείο δοκιμής (στα αριστερά της ευθείας L4 στο σχήμα).

Με την επίλυση δύο ανισώσεων (5) και (6)

είναι το 1ο τέταρτο που οριοθετείται από τις γραμμές συντεταγμένων και .

Το σύστημα των ανισοτήτων λύνεται. Με την επίλυση του συστήματος των ανισώσεων (1) - (6) σε αυτό το παράδειγμαείναι ένα κυρτό πολύγωνο στην κάτω αριστερή γωνία του σχήματος, που οριοθετείται από τις γραμμές L1, L2, L3, L4 και τις γραμμές συντεταγμένων και . Μπορείτε να βεβαιωθείτε ότι το πολύγωνο έχει επιλεγεί σωστά αντικαθιστώντας ένα σημείο δοκιμής, για παράδειγμα (1; 1) σε κάθε ανισότητα του αρχικού συστήματος. Αντικαθιστώντας το σημείο (1, 1), παίρνουμε ότι όλες οι ανισότητες, συμπεριλαμβανομένων των φυσικών περιορισμών, είναι αληθείς.

Εξετάστε τώρα την αντικειμενική συνάρτηση

F= 2Χ 1 + 3Χ 2 .

Ας δημιουργήσουμε γραμμές επιπέδου για τιμές συναρτήσεων F=0και F=12 (αριθμητικές τιμέςεπιλεγμένα αυθαίρετα). Προσθήκη δεδομένων στο φύλλο excel

Γραμμές επιπέδου στο γράφημα:

Ας κατασκευάσουμε ένα διάνυσμα κατευθύνσεων (ή μια κλίση) (2; 3). Οι συντεταγμένες του διανύσματος συμπίπτουν με τους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης φά.

Ας κατασκευάσουμε στο επίπεδο το σύνολο των αποδεκτών λύσεων του συστήματος γραμμικές ανισότητεςκαι γεωμετρικά βρείτε ελάχιστη τιμήλειτουργία στόχου.

Χτίζουμε στο σύστημα συντεταγμένων x 1 oh 2 γραμμές

Βρίσκουμε τα ημιεπίπεδα που καθορίζονται από το σύστημα. Εφόσον οι ανισότητες του συστήματος ικανοποιούνται για οποιοδήποτε σημείο από το αντίστοιχο ημιεπίπεδο, αρκεί να τις ελέγξουμε για οποιοδήποτε σημείο. Χρησιμοποιούμε το σημείο (0;0). Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του στην πρώτη ανισότητα του συστήματος. Επειδή , τότε η ανίσωση ορίζει ένα ημιεπίπεδο που δεν περιέχει το σημείο (0;0). Ομοίως, ορίζουμε τα υπόλοιπα ημιεπίπεδα. Βρίσκουμε το σύνολο των εφικτών λύσεων ως γενικό μέροςαπό τα ημιεπίπεδα που προκύπτουν είναι η σκιασμένη περιοχή.

Κατασκευάζουμε ένα διάνυσμα και μια ευθεία μηδενικού επιπέδου κάθετα σε αυτό.

Μετακινώντας την ευθεία (5) προς την κατεύθυνση του διανύσματος, βλέπουμε ότι το μέγιστο σημείο της περιοχής θα βρίσκεται στο σημείο Α της τομής της ευθείας (3) και της ευθείας (2). Βρίσκουμε τη λύση του συστήματος των εξισώσεων:

Έτσι, πήραμε το σημείο (13;11) και.

Μετακινώντας την ευθεία (5) προς την κατεύθυνση του διανύσματος, βλέπουμε ότι το ελάχιστο σημείο της περιοχής θα βρίσκεται στο σημείο Β της τομής της ευθείας (1) και της ευθείας (4). Βρίσκουμε τη λύση του συστήματος των εξισώσεων:

Έτσι, πήραμε το σημείο (6;6) και.

2. Μια εταιρεία επίπλων παράγει συνδυασμένα ντουλάπια και τραπέζια υπολογιστών. Η παραγωγή τους περιορίζεται από τη διαθεσιμότητα πρώτων υλών (σανίδες υψηλής ποιότητας, εξαρτήματα) και τον χρόνο λειτουργίας των μηχανημάτων που τα επεξεργάζονται. Κάθε ντουλάπι απαιτεί 5 m2 σανίδες, για τραπέζι - 2 m2. Τα εξαρτήματα για $10 ξοδεύονται σε ένα ντουλάπι και $8 σε ένα τραπέζι. Η εταιρεία μπορεί να λάβει από τους προμηθευτές της έως 600 m2 σανίδες το μήνα και αξεσουάρ για $2000. Για κάθε ντουλάπι απαιτούνται 7 ώρες μηχανικής εργασίας, για τραπέζι - 3 ώρες. Είναι δυνατή η χρήση μόνο 840 ωρών λειτουργίας του μηχανήματος ανά μήνα.

Πόσα συνδυαστικά ντουλάπια και τραπέζια υπολογιστών θα πρέπει να παράγει μια επιχείρηση ανά μήνα για να μεγιστοποιήσει το κέρδος εάν ένα ντουλάπι φέρει 100 $ και κάθε τραπέζι κάνει 50 $;

• 1. Συνθέστε μαθηματικό μοντέλοπρόβλημα και να το λύσετε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο simplex.
• 2. Φτιάξτε ένα μαθηματικό μοντέλο διπλές εργασίεςκαι να γράψετε τη λύση του με βάση τη λύση της αρχικής.
• 3. Προσδιορίστε το βαθμό σπανιότητας των πόρων που χρησιμοποιούνται και αιτιολογήστε την κερδοφορία του βέλτιστου σχεδίου.
• 4. Διερευνήστε τις δυνατότητες περαιτέρω αύξησης της παραγωγής, ανάλογα με τη χρήση κάθε τύπου πόρων.
• 5. Αξιολογήστε τη σκοπιμότητα εισαγωγής ενός νέου τύπου προϊόντος - ράφια, εάν δαπανηθεί 1 m 2 σανίδων και αξεσουάρ για 5 $ για την κατασκευή ενός ραφιού και απαιτούνται 0,25 ώρες λειτουργίας του μηχανήματος και το κέρδος από την πώληση ενός ραφιού είναι 20 $.
• 1. Ας δημιουργήσουμε ένα μαθηματικό μοντέλο για αυτό το πρόβλημα:

Σημειώστε με x 1 - τον όγκο παραγωγής των ντουλαπιών και x 2 - τον όγκο παραγωγής των τραπεζιών. Ας συνθέσουμε ένα σύστημα περιορισμών και μια συνάρτηση στόχου:

Επιλύουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο simplex. Ας το γράψουμε σε κανονική μορφή:

Ας γράψουμε τα δεδομένα της εργασίας με τη μορφή πίνακα:

Τραπέζι 1

Επειδή τώρα όλα είναι δέλτα Πάνω απο το μηδέν, τότε μια περαιτέρω αύξηση της τιμής της συνάρτησης στόχου f είναι αδύνατη και έχουμε αποκτήσει ένα βέλτιστο σχέδιο.

Εισαγωγή

Το σύγχρονο στάδιο της ανθρώπινης ανάπτυξης είναι διαφορετικό στο ότι ο αιώνας της ενέργειας αντικαθίσταται από την εποχή της πληροφορικής. Γίνεται εντατική εισαγωγή νέων τεχνολογιών σε όλους τους τομείς ανθρώπινη δραστηριότητα. Σηκώνεται πραγματικό πρόβλημαμετάβαση στην κοινωνία της πληροφορίας, για την οποία η ανάπτυξη της εκπαίδευσης πρέπει να καταστεί προτεραιότητα. Η δομή της γνώσης στην κοινωνία αλλάζει επίσης. Ολα μεγαλύτερη αξίαΓια πρακτική ζωήαποκτήσουν θεμελιώδεις γνώσεις που συμβάλλουν στην δημιουργική ανάπτυξηπροσωπικότητα. Σημαντική είναι επίσης η εποικοδομητικότητα της αποκτηθείσας γνώσης, η ικανότητα δομής της σύμφωνα με τον στόχο. Βασισμένο στη γνώση, νέο πληροφοριακούς πόρουςκοινωνία. Η διαμόρφωση και η απόκτηση νέας γνώσης θα πρέπει να βασίζεται σε αυστηρή μεθοδολογία συστημική προσέγγιση, εντός του οποίου ξεχωριστή θέση καταλαμβάνει η προσέγγιση του μοντέλου. Οι δυνατότητες της προσέγγισης μοντελοποίησης είναι εξαιρετικά διαφορετικές τόσο ως προς τα επίσημα μοντέλα που χρησιμοποιούνται όσο και ως προς τους τρόπους εφαρμογής μεθόδων μοντελοποίησης. Φυσική μοντελοποίησηκαθιστά δυνατή την απόκτηση αξιόπιστων αποτελεσμάτων για μάλλον απλά συστήματα.

Προς το παρόν, είναι αδύνατο να ονομαστεί ένας τομέας ανθρώπινης δραστηριότητας στον οποίο, στον ένα ή τον άλλο βαθμό, δεν θα χρησιμοποιούνται μέθοδοι μοντελοποίησης. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα στον τομέα της διαχείρισης. διάφορα συστήματα, όπου οι κύριες είναι οι διαδικασίες λήψης αποφάσεων με βάση τις πληροφορίες που λαμβάνονται.

1. Δήλωση του προβλήματος

ελάχιστη αντικειμενική συνάρτηση

Επίλυση του προβλήματος της εύρεσης του ελάχιστου της αντικειμενικής συνάρτησης για το σύστημα περιορισμών που καθορίζεται από το πολύγωνο απόφασης σύμφωνα με την επιλογή Νο. 16 της εργασίας. Το πολύγωνο απόφασης φαίνεται στο σχήμα 1:

Εικόνα 1 - Πολύγωνο λύσεων προβλημάτων

Το σύστημα των περιορισμών και η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος παρουσιάζονται παρακάτω:

Είναι απαραίτητο να λύσετε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες μεθόδους:

Γραφική μέθοδος για την επίλυση προβλημάτων LP.

Αλγεβρική μέθοδος για την επίλυση προβλημάτων LP.

Μέθοδος Simplex για την επίλυση προβλημάτων LP.

Μέθοδος για την εύρεση μιας εφικτής λύσης σε προβλήματα LP.

Επίλυση του προβλήματος του διπλού LP.

Η μέθοδος των "κλάδων και ορίων" για την επίλυση προβλημάτων LP ακέραιων αριθμών.

Η μέθοδος του Gomory για την επίλυση προβλημάτων LP ακέραιων αριθμών.

Μέθοδος Balash για την επίλυση προβλημάτων Boolean LP.

Συγκρίνετε τα αποτελέσματα της λύσης με διαφορετικές μεθόδους για να βγάλετε τα κατάλληλα συμπεράσματα για την εργασία.

2. Γραφική λύσηπροβλήματα γραμμικού προγραμματισμού

Η γραφική μέθοδος για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις που ο αριθμός των αγνώστων δεν υπερβαίνει τα τρία. Βολικό για ποιοτική έρευναιδιότητες των λύσεων και χρησιμοποιείται σε συνδυασμό με άλλες μεθόδους (αλγεβρικές, διακλαδώσεις και δεσμευμένες κ.λπ.). Η ιδέα της μεθόδου βασίζεται στη γραφική λύση ενός συστήματος γραμμικών ανισοτήτων.

Ρύζι. 2 Γραφική λύση του προβλήματος LP

Χαμηλό σημείο

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία Α1 και Α2:

ΑΒ: (0;1); (3;3)

Ήλιος: (3;3); (4;1)

CD: (4;1); (3;0)

EA: (1;0); (0;1)

CF: (0;1); (5;2)

με περιορισμούς:

Επίλυση προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού με τη μέθοδο του αλγεβρικού απλού

Η εφαρμογή της αλγεβρικής μεθόδου για την επίλυση του προβλήματος απαιτεί γενίκευση της αναπαράστασης του προβλήματος LP. Το αρχικό σύστημα περιορισμών που δίνεται με τη μορφή ανισοτήτων μετατρέπεται στον τυπικό συμβολισμό όταν οι περιορισμοί δίνονται με τη μορφή ισοτήτων. Μετατροπή του συστήματος περιορισμών σε τυπική όψηπεριλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα:

Μετασχηματίστε τις ανισότητες με τέτοιο τρόπο ώστε οι μεταβλητές και τα ελεύθερα μέλη να βρίσκονται στα αριστερά και το 0 στα δεξιά, δηλ. ότι η αριστερή πλευρά είναι μεγαλύτερη ή ίση με μηδέν.

Εισαγάγετε πρόσθετες μεταβλητές, ο αριθμός των οποίων είναι ίσος με τον αριθμό των ανισοτήτων στο σύστημα περιορισμών.

Μπαίνοντας πρόσθετους περιορισμούςσχετικά με τη μη αρνητικότητα των προστιθέμενων μεταβλητών, αντικαταστήστε τα πρόσημα των ανισοτήτων με πρόσημα αυστηρών ισοτήτων.

Κατά την επίλυση του προβλήματος LP αλγεβρική μέθοδοςπροστίθεται μια συνθήκη: η αντικειμενική συνάρτηση πρέπει να τείνει στο ελάχιστο. Εάν αυτή η προϋπόθεση δεν πληρούται, είναι απαραίτητο να μετασχηματιστεί κατάλληλα η αντικειμενική συνάρτηση (πολλαπλασιασμός με -1) και να λυθεί το πρόβλημα ελαχιστοποίησης. Αφού βρεθεί η λύση, αντικαταστήστε τις τιμές των μεταβλητών στην αρχική συνάρτηση και υπολογίστε την τιμή της.

Η λύση του προβλήματος χρησιμοποιώντας την αλγεβρική μέθοδο θεωρείται βέλτιστη όταν οι τιμές όλων των βασικών μεταβλητών είναι μη αρνητικές και οι συντελεστές των ελεύθερων μεταβλητών στην εξίσωση της αντικειμενικής συνάρτησης είναι επίσης μη αρνητικοί. Εάν δεν πληρούνται αυτές οι προϋποθέσεις, είναι απαραίτητο να μετασχηματιστεί το σύστημα των ανισοτήτων, εκφράζοντας κάποιες μεταβλητές ως προς άλλες (μεταβολή ελεύθερων και βασικών μεταβλητών) για να επιτευχθούν οι παραπάνω περιορισμοί. Η τιμή όλων των ελεύθερων μεταβλητών θεωρείται ότι είναι μηδέν.

Η αλγεβρική μέθοδος για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις περισσότερες αποτελεσματικές μεθόδουςόταν επιλύετε προβλήματα μικρής διάστασης χειροκίνητα. δεν απαιτεί ένας μεγάλος αριθμόςαριθμητικοί υπολογισμοί. Η μηχανική υλοποίηση αυτής της μεθόδου είναι πιο περίπλοκη από, για παράδειγμα, για τη μέθοδο simplex, επειδή ο αλγόριθμος για την επίλυση της αλγεβρικής μεθόδου είναι σε κάποιο βαθμό ευρετικός και η αποτελεσματικότητα της λύσης εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από την προσωπική εμπειρία.

δωρεάν μεταβλητές

Lane St - Προσθήκη. εργαλειοθήκη

Οι συνθήκες μη αρνητικότητας ικανοποιούνται, επομένως, βρήκαμε βέλτιστη λύση.

3. Επίλυση προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού με χρήση πίνακα απλού

Λύση: Ας φέρουμε το πρόβλημα σε μια τυπική φόρμα για επίλυση χρησιμοποιώντας έναν πίνακα simplex.

Ανάγουμε όλες τις εξισώσεις του συστήματος στη μορφή:

Κατασκευάζουμε έναν πίνακα simplex:

ΣΤΟ πάνω γωνίαγια κάθε κελί του πίνακα εισάγουμε τους συντελεστές από το σύστημα των εξισώσεων.

Επιλέγουμε το μέγιστο θετικό στοιχείο στη σειρά F, εκτός από αυτό θα είναι η γενική στήλη.

Για να βρούμε το γενικό στοιχείο, χτίζουμε μια σχέση για όλα τα θετικά. 3/3; 9/1;- ελάχιστη αναλογία στη γραμμή x3. Ως εκ τούτου - γενική συμβολοσειρά και =3 - γενικό στοιχείο.

Βρίσκουμε =1/=1/3. Φέρνουμε στην κάτω γωνία του κελιού, όπου βρίσκεται το γενικό στοιχείο.

Σε όλες τις κάτω γωνίες της γενικής γραμμής που δεν έχουν συμπληρωθεί, εισάγουμε το γινόμενο της τιμής στην επάνω γωνία του κελιού από:

Επιλέξτε τις επάνω γωνίες της γενικής γραμμής.

Σε όλες τις κάτω γωνίες της γενικής στήλης εισάγουμε το γινόμενο της τιμής στην επάνω γωνία με - και επιλέγουμε τις τιμές που προκύπτουν.

Τα υπόλοιπα κελιά του πίνακα συμπληρώνονται ως γινόμενα των αντίστοιχων επιλεγμένων στοιχείων.

Στη συνέχεια χτίζουμε έναν νέο πίνακα στον οποίο αντιστρέφονται οι ονομασίες των κελιών των στοιχείων της γενικής στήλης και γραμμής (x2 και x3).

Στην επάνω γωνία της προηγούμενης γενικής γραμμής και στήλης, γράφονται οι τιμές που ήταν προηγουμένως στην κάτω γωνία.

Το άθροισμα των τιμών των άνω και κάτω γωνιών αυτών των κελιών στον προηγούμενο πίνακα είναι γραμμένο στην επάνω γωνία των υπόλοιπων κελιών

4. Επίλυση του προβλήματος του γραμμικού προγραμματισμού με την εύρεση μιας εφικτής λύσης

Έστω ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων:

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι όλα, διαφορετικά πολλαπλασιάζουμε αντίστοιχη εξίσωσηκατά -1.

Εισάγουμε βοηθητικές μεταβλητές:

Εισάγουμε επίσης μια βοηθητική λειτουργία

Θα ελαχιστοποιήσουμε το σύστημα υπό περιορισμούς (2) και συνθήκες.

ΚΑΝΟΝΑΣ ΕΥΡΕΣΗΣ ΕΦΙΚΤΗΣ ΛΥΣΗΣ: Για να βρούμε μια εφικτή λύση στο σύστημα (1), ελαχιστοποιούμε τη μορφή (3) υπό τους περιορισμούς (2), ως ελεύθερα άγνωστα παίρνουμε τα xj ως βασικά.

Κατά την επίλυση ενός προβλήματος με τη μέθοδο simplex, μπορεί να προκύψουν δύο περιπτώσεις:

min f=0, τότε όλα τα i πρέπει να είναι ίσα με μηδέν. Και οι τιμές xj που προκύπτουν θα είναι αποδεκτή λύσησυστήματα (1).

min f>0, δηλ. το αρχικό σύστημα δεν έχει εφικτή λύση.

Σύστημα πηγής:

Χρησιμοποιείται η συνθήκη του προβλήματος του προηγούμενου θέματος.

Ας προσθέσουμε επιπλέον μεταβλητές:

Βρίσκεται μια αποδεκτή λύση στο αρχικό πρόβλημα: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. Με βάση την ληφθείσα εφικτή λύση, βρίσκουμε τη βέλτιστη λύση στο αρχικό πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο simplex. Για να γίνει αυτό, θα δημιουργήσουμε έναν νέο πίνακα simplex από τον πίνακα που λήφθηκε παραπάνω διαγράφοντας τη γραμμή και τη γραμμή με τη συνάρτηση στόχο της βοηθητικής εργασίας:

Αναλύοντας τον κατασκευασμένο πίνακα simplex, βλέπουμε ότι έχει ήδη βρεθεί η βέλτιστη λύση για το αρχικό πρόβλημα (τα στοιχεία στη σειρά που αντιστοιχούν στην αντικειμενική συνάρτηση είναι αρνητικά). Έτσι, η εφικτή λύση που βρέθηκε κατά την επίλυση του βοηθητικού προβλήματος συμπίπτει με τη βέλτιστη λύση του αρχικού προβλήματος:

6. Το διπλό πρόβλημα του γραμμικού προγραμματισμού

Το αρχικό σύστημα περιορισμών και η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

με περιορισμούς:

Λύση: Φέρνουμε το σύστημα περιορισμών στην τυπική φόρμα:

Η διπλή εργασία σε αυτήν θα μοιάζει με:

Το διπλό πρόβλημα θα λυθεί με τη μέθοδο simplex.

Ας μετατρέψουμε την αντικειμενική συνάρτηση έτσι ώστε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης να λυθεί και να γράψουμε το σύστημα των περιορισμών στην τυπική μορφή για επίλυση με τη μέθοδο simplex.

y6 = 1 - (-2 y1 + 2y2 +y3 + y4+ y5)

y7 = 5 - (-3y1 - y2 + y3 + y4)

Ф = 0 - (3y1 + 9y2 + 3y3 + y4) ??λεπτά

Ας κατασκευάσουμε τον αρχικό πίνακα Simplex για την επίλυση του προβλήματος του διπλού LP.

Το δεύτερο βήμα της μεθόδου simplex

Έτσι, στο τρίτο βήμα της μεθόδου simplex, βρέθηκε η βέλτιστη λύση του προβλήματος ελαχιστοποίησης με τα ακόλουθα αποτελέσματα: y2 = -7 /8, y1 = -11/8, Ф = 12. Για να βρεθεί η τιμή του την αντικειμενική συνάρτηση του διπλού προβλήματος, αντικαθιστούμε τις τιμές των βασικών και ελεύθερων μεταβλητών στη συνάρτηση μεγιστοποίησης:

Фmax = - Фmin = 3*(-11/8) + 9(-7/8) + 3*0 + 0 = -12

Εφόσον η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του άμεσου και του διπλού προβλήματος είναι η ίδια, η λύση στο άμεσο πρόβλημα βρίσκεται και είναι ίση με 12.

Fmin \u003d Fmax \u003d -12

7. Επίλυση του προβλήματος του ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού με τη μέθοδο «διακλαδώσεις και όρια».

Ας μεταμορφωθούμε αρχικό πρόβλημαμε τέτοιο τρόπο ώστε να μην ικανοποιείται η ακέραια συνθήκη κατά την επίλυση με συμβατικές μεθόδους.

Το αρχικό πολύγωνο λύσεων σε ένα ακέραιο πρόβλημα προγραμματισμού.

Για το μετασχηματισμένο πολύγωνο λύσης, κατασκευάζουμε νέο σύστημαπεριορισμούς.

Καταγράφουμε το σύστημα των περιορισμών με τη μορφή ισοτήτων, για επίλυση με την αλγεβρική μέθοδο.

Ως αποτέλεσμα της λύσης, βρέθηκε το βέλτιστο σχέδιο εργασιών: x1 = 9/4, x2 = 5/2, F = -41/4. Αυτή η λύση δεν πληροί τη συνθήκη ακεραιότητας που ορίστηκε στο πρόβλημα. Διαιρούμε το αρχικό πολύγωνο λύσης σε δύο περιοχές, εξαιρουμένης της περιοχής 3 από αυτό

Αλλαγμένο πολύγωνο λύσεων προβλημάτων

Ας συνθέσουμε νέα συστήματα περιορισμών για τις σχηματισμένες περιοχές του πολυγώνου λύσης. Η αριστερή περιοχή είναι τετράπλευρη (τραπεζοειδής). Το σύστημα περιορισμών για την αριστερή περιοχή του πολυγώνου λύσης παρουσιάζεται παρακάτω.

Σύστημα περιορισμού για την αριστερή περιοχή

Η δεξιά περιοχή αντιπροσωπεύει το σημείο Γ.

Το σύστημα περιορισμών για τη σωστή περιοχή απόφασης παρουσιάζεται παρακάτω.

Τα νέα συστήματα περιορισμών είναι δύο επικουρικά προβλήματα που πρέπει να επιλυθούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Ας λύσουμε το πρόβλημα του ακέραιου προγραμματισμού για την αριστερή περιοχή του πολυγώνου λύσης.

Ως αποτέλεσμα της λύσης, βρέθηκε το βέλτιστο σχέδιο εργασιών: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. Αυτό το σχέδιο ικανοποιεί τη συνθήκη των ακέραιων μεταβλητών στο πρόβλημα και μπορεί να ληφθεί ως το βέλτιστο σχέδιο αναφοράς για το αρχικό ακέραιο γραμμικό πρόβλημα προγραμματισμού. Δεν έχει νόημα να πραγματοποιηθεί η λύση για τη σωστή περιοχή λύσης. Το παρακάτω σχήμα δείχνει την πρόοδο επίλυσης ενός ακέραιου προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού με τη μορφή δέντρου.

Η πορεία επίλυσης ενός ακέραιου προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού με τη μέθοδο Gomory.

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές, το πρόβλημα του ακέραιου προγραμματισμού παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον, στο οποίο δίνεται ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων και μια γραμμική μορφή.

Απαιτείται να βρεθεί μια ακέραια λύση του συστήματος (1) που ελαχιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση F, και όλοι οι συντελεστές είναι ακέραιοι.

Μία από τις μεθόδους για την επίλυση του προβλήματος προγραμματισμού ακέραιων αριθμών προτάθηκε από τον Gomory. Η ιδέα της μεθόδου είναι η χρήση μεθόδων συνεχούς γραμμικού προγραμματισμού, ιδιαίτερα της μεθόδου simplex.

1) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο simplex, προσδιορίζεται η λύση στο πρόβλημα (1), (2), για το οποίο αφαιρείται η απαίτηση να είναι η λύση ακέραιος. Εάν η λύση αποδειχθεί ότι είναι ακέραιος, τότε θα βρεθεί και η επιθυμητή λύση στο ακέραιο πρόβλημα.

2) Διαφορετικά, εάν κάποια συντεταγμένη δεν είναι ακέραιος, η ληφθείσα λύση του προβλήματος ελέγχεται για την πιθανότητα ύπαρξης ακέραιας λύσης (παρουσία ακέραιων σημείων σε ένα αποδεκτό πολύεδρο):

Εάν σε οποιαδήποτε ευθεία με ένα κλασματικό ελεύθερο μέλος, όλοι οι άλλοι συντελεστές αποδειχθούν ακέραιοι, τότε δεν υπάρχουν ακέραιοι, σημεία σε ένα αποδεκτό πολύεδρο και το πρόβλημα του προγραμματισμού ακεραίων δεν έχει λύση.

Διαφορετικά, εισάγεται ένας πρόσθετος γραμμικός περιορισμός, ο οποίος αποκόπτει από το αποδεκτό πολύεδρο ένα μέρος που δεν είναι ελπιδοφόρο για την εύρεση λύσης σε ένα πρόβλημα προγραμματισμού ακέραιων αριθμών.

3) Για να δημιουργήσετε έναν πρόσθετο γραμμικό περιορισμό, επιλέξτε την l-η σειρά με ένα κλασματικό ελεύθερο μέλος και σημειώστε τον πρόσθετο περιορισμό

όπου και είναι, αντίστοιχα, τα κλασματικά μέρη των συντελεστών και ελεύθερα

μέλος. Ας εισάγουμε μια βοηθητική μεταβλητή στον περιορισμό (3):

Ας προσδιορίσουμε τους συντελεστές που περιλαμβάνονται στον περιορισμό (4):

όπου και είναι οι πλησιέστεροι κάτω ακέραιοι για και, αντίστοιχα.

Ο Gomory απέδειξε ότι ένας πεπερασμένος αριθμός τέτοιων βημάτων οδηγεί σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού του οποίου η λύση είναι ακέραιος και, επομένως, η επιθυμητή.

Λύση: Μειώνουμε το σύστημα των γραμμικών περιορισμών και τη συνάρτηση στόχου στην κανονική μορφή:

Ας προσδιορίσουμε τη βέλτιστη λύση του συστήματος γραμμικών περιορισμών, απορρίπτοντας προσωρινά την ακέραια συνθήκη. Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο simplex για αυτό. Οι παρακάτω πίνακες παρουσιάζουν διαδοχικά την αρχική λύση του προβλήματος και δίνονται οι μετασχηματισμοί του αρχικού πίνακα για να ληφθεί η βέλτιστη λύση στο πρόβλημα:

Επίλυση προβλημάτων Boolean LP με τη μέθοδο Balash.

Συνθέστε τη δική σας παραλλαγή για το πρόβλημα του ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού με μεταβλητές Boole, λαμβάνοντας υπόψη τους ακόλουθους κανόνες: το πρόβλημα χρησιμοποιεί τουλάχιστον 5 μεταβλητές, τουλάχιστον 4 περιορισμούς, οι συντελεστές περιορισμού και η αντικειμενική συνάρτηση επιλέγονται αυθαίρετα, αλλά σε τέτοια τρόπο που το σύστημα περιορισμών είναι συμβατό. Ο στόχος είναι να λυθεί το ZCLP με μεταβλητές Boolean χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο Balash και να προσδιοριστεί η μείωση της υπολογιστικής πολυπλοκότητας σε σχέση με την επίλυση του προβλήματος με εξαντλητική αναζήτηση.

Εκτέλεση περιορισμών

Τιμή F

Περιορισμός φίλτρου:

Υπολογισμός Προσδιορισμός Μείωσης

Η λύση του προβλήματος με τη μέθοδο εξαντλητικής αναζήτησης είναι 6*25=192 υπολογισμένες εκφράσεις. Η λύση του προβλήματος με τη μέθοδο Balash είναι 3*6+(25-3)=47 υπολογισμένες εκφράσεις. Η συνολική μείωση της πολυπλοκότητας των υπολογισμών σε σχέση με την επίλυση του προβλήματος με την εξαντλητική μέθοδο αναζήτησης είναι.

συμπέρασμα

Η διαδικασία σχεδιασμού πληροφοριακών συστημάτων που εφαρμόζουν νέα τεχνολογία πληροφοριών βελτιώνεται συνεχώς. Τα ολοένα και πιο πολύπλοκα συστήματα γίνονται το επίκεντρο της προσοχής των μηχανικών συστημάτων, γεγονός που καθιστά δύσκολη τη χρήση φυσικών μοντέλων και αυξάνει τη σημασία των μαθηματικών μοντέλων και της προσομοίωσης συστημάτων σε υπολογιστή. Η μοντελοποίηση μηχανών έχει γίνει ένα αποτελεσματικό εργαλείο για την έρευνα και το σχεδιασμό πολύπλοκων συστημάτων. Η συνάφεια των μαθηματικών μοντέλων αυξάνεται συνεχώς λόγω της ευελιξίας τους, της επάρκειάς τους σε πραγματικές διαδικασίες, του χαμηλού κόστους υλοποίησης με βάση τους σύγχρονους Η/Υ. Όλο και περισσότερες ευκαιρίες παρέχονται στον χρήστη, δηλαδή έναν ειδικό σε συστήματα μοντελοποίησης μέσω τεχνολογίας υπολογιστών. Η χρήση της μοντελοποίησης είναι ιδιαίτερα αποτελεσματική στα πρώτα στάδια του σχεδιασμού αυτοματοποιημένων συστημάτων, όταν το κόστος των λανθασμένων αποφάσεων είναι πιο σημαντικό.

Τα σύγχρονα υπολογιστικά εργαλεία επέτρεψαν να αυξηθεί σημαντικά η πολυπλοκότητα των μοντέλων που χρησιμοποιούνται στη μελέτη συστημάτων, κατέστη δυνατή η κατασκευή συνδυασμένων, αναλυτικών και προσομοιωτικών μοντέλων που λαμβάνουν υπόψη όλη την ποικιλία των παραγόντων που λαμβάνουν χώρα σε πραγματικά συστήματα. δηλ. τη χρήση μοντέλων που είναι πιο κατάλληλα για τα υπό μελέτη φαινόμενα.

Βιβλιογραφία:

1. Lyashchenko I.N. Γραμμικός και μη γραμμικός προγραμματισμός / I.N. Lyashchenko, E.A. Karagodova, N.V. Chernikova, N.Z. Shor. - Κ .: «Γυμνάσιο», 1975, 372 σελ.

2. Οδηγίες για την υλοποίηση του μαθήματος στο γνωστικό αντικείμενο «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά» για φοιτητές της ειδικότητας «Συστήματα Υπολογιστών και Δίκτυα» πλήρους και μερικής απασχόλησης μορφές εκπαίδευσης / Συντάχθηκε από: I.A. Balakireva, A.V. Skatkov - Sevastopol: SevNTU Publishing House , 2003. - 15 p.

3. Οδηγίες για τη μελέτη του κλάδου «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά», ενότητα «Μέθοδοι παγκόσμιας αναζήτησης και μονοδιάστατη ελαχιστοποίηση» / Σύνθ. A.V. Skatkov, I.A. Balakireva, L.A. Litvinova - Sevastopol: SevGTU Publishing House, 2000. - 31s.

4. Οδηγίες για τη μελέτη του κλάδου «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά» για μαθητές της ειδικότητας «Συστήματα Υπολογιστών και Δίκτυα» Ενότητα «Επίλυση Προβλημάτων Ακέραιου Γραμμικού Προγραμματισμού» μορφών εκπαίδευσης πλήρους απασχόλησης και αλληλογραφίας / Συντάχθηκε από: I.A. Balakireva, A.V. Skatkov - Sevastopol : Εκδοτικός Οίκος SevNTU, 2000. - 13 σελ.

5. Akulich I.L. Μαθηματικός προγραμματισμός σε παραδείγματα και εργασίες:

6. Proc. επίδομα φοιτητικής οικονομίας. ειδικός. πανεπιστήμια.-Μ.: Ανώτερη. σχολείο, 1986.- 319s., ill.

7. Andronov S.A. Βέλτιστες μέθοδοι σχεδίασης: Κείμενο διάλεξης / SPbGUAP. SPb., 2001. 169 σελ.: ill.

Παρόμοια Έγγραφα

Αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με τη μέθοδο simplex. Κατασκευή μαθηματικού μοντέλου προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού. Επίλυση προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού στο Excel. Εύρεση κέρδους και βέλτιστο σχέδιο παραγωγής.

θητεία, προστέθηκε 21/03/2012


Γραφική επίλυση προβλημάτων. Σχεδιάζοντας ένα μαθηματικό μοντέλο. Προσδιορισμός της μέγιστης τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης. Επίλυση με μέθοδο simplex με τεχνητή βάση ενός προβλήματος κανονικού γραμμικού προγραμματισμού. Έλεγχος της βέλτιστης λύσης.

δοκιμή, προστέθηκε 04/05/2016


Θεωρητική βάση γραμμικού προγραμματισμού. Προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, μέθοδοι επίλυσης. Ανάλυση της βέλτιστης λύσης. Επίλυση προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού μονού δείκτη. Δήλωση του προβλήματος και εισαγωγή δεδομένων. Βήματα κατασκευής μοντέλων και λύσης.

θητεία, προστέθηκε 12/09/2008


Κατασκευή μαθηματικού μοντέλου. Επιλογή, αιτιολόγηση και περιγραφή της μεθόδου επίλυσης του άμεσου προβλήματος του γραμμικού προγραμματισμού με τη μέθοδο simplex, με τη χρήση πίνακα simplex. Διατύπωση και λύση διπλού προβλήματος. Ανάλυση του μοντέλου για ευαισθησία.

θητεία, προστέθηκε 31/10/2014


Δημιουργία μαθηματικού μοντέλου για τη μεγιστοποίηση του κέρδους της επιχείρησης, μια γραφική λύση στο πρόβλημα. Επίλυση προβλημάτων με χρήση του πρόσθετου SOLVER. Ανάλυση μεταβολών στα αποθέματα πόρων. Προσδιορισμός των ορίων μεταβολής των συντελεστών της αντικειμενικής συνάρτησης.

θητεία, προστέθηκε 17/12/2014


Μαθηματικός προγραμματισμός. Γραμμικός προγραμματισμός. Προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού. Γραφική μέθοδος επίλυσης προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού. Οικονομική διατύπωση του προβλήματος του γραμμικού προγραμματισμού. Κατασκευή μαθηματικού μοντέλου.

θητεία, προστέθηκε 13/10/2008


Επίλυση προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού με γραφική μέθοδο, επαλήθευση του στο MS Excel. Ανάλυση της εσωτερικής δομής της λύσης του προβλήματος στο πρόγραμμα. Βελτιστοποίηση σχεδίου παραγωγής. Επίλυση του προβλήματος με τη μέθοδο simplex. Σύστημα ουράς πολλαπλών καναλιών.

δοκιμή, προστέθηκε 05/02/2012


Επίλυση του προβλήματος του γραμμικού προγραμματισμού με τη μέθοδο simplex: ρύθμιση του προβλήματος, κατασκευή οικονομικού και μαθηματικού μοντέλου. Επίλυση του προβλήματος μεταφοράς με τη μέθοδο των δυναμικών: κατασκευή του αρχικού σχεδίου αναφοράς, προσδιορισμός της βέλτιστης τιμής του.

δοκιμή, προστέθηκε 04/11/2012


Δήλωση του προβλήματος του μη γραμμικού προγραμματισμού. Προσδιορισμός στατικών σημείων και του τύπου τους. Κατασκευή γραμμών επιπέδου, τρισδιάστατο γράφημα της αντικειμενικής συνάρτησης και περιορισμοί. Γραφική και αναλυτική λύση του προβλήματος. Εγχειρίδιο χρήστη και σχήμα αλγορίθμου.

θητεία, προστέθηκε 17/12/2012


Ανάλυση επίλυσης προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού. Μέθοδος Simplex με χρήση πινάκων simplex. Μοντελοποίηση και επίλυση προβλημάτων LP σε υπολογιστή. Οικονομική ερμηνεία της βέλτιστης λύσης του προβλήματος. Μαθηματική διατύπωση του προβλήματος μεταφοράς.

ΘΕΜΑ: ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΕΡΓΟΣ 2.Α. Επίλυση προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού με γραφική μέθοδο

Προσοχή!

Αυτή είναι μια ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ του έργου Νο. 2073, η τιμή του πρωτοτύπου είναι 200 ​​ρούβλια. Σχεδιασμένο σε Microsoft Word.

Πληρωμή. Επαφές.

Επιλογή 7. Βρείτε τις μέγιστες και ελάχιστες τιμέςγραμμική συνάρτησηФ \u003d 2x 1 - 2 x 2με περιορισμούς: x 1 + x 2 ≥ 4;

- x 1 + 2 x 2 ≤ 2;

x 1 + 2 x 2 ≤ 10;

x i ≥ 0, i = 1,2.

Λύση:

Αντικαθιστώντας υπό όρους πρόσημα ανισοτήτων με πρόσημα ισοτήτων, λαμβάνουμε ένα σύστημα εξισώσεων x1 + x2 = 4.

- x1 + 2 x2 = 2;

x1 + 2 x2 = 10.

Κατασκευάζουμε ευθείες γραμμές σύμφωνα με αυτές τις εξισώσεις, στη συνέχεια, σύμφωνα με τα πρόσημα των ανισώσεων, επιλέγουμε τα ημιεπίπεδα και λαμβάνουμε το κοινό τους μέρος - την περιοχή των αποδεκτών λύσεων του ODE - το τετράπλευρο MNPQ.

Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

tsii - στο σημείο M (2; 2)

Ф min = 2 2 - 2 2 = 0.

Η μέγιστη τιμή επιτυγχάνεται στο σημείο N (10; 0),

Ф max \u003d 2 10 - 2 0 \u003d 20.

Επιλογή 8. Βρείτε τις μέγιστες και ελάχιστες τιμές

γραμμική συνάρτηση Ф \u003d x 1 + x 2

με περιορισμούς: x 1 - 4 x 2 - 4 ≤ 0;

3 x 1 - x 2 ≥ 0;

x 1 + x 2 - 4 ≥ 0;

x i ≥ 0, i = 1,2.

Λύση:

Αντικαθιστώντας υπό όρους πρόσημα ανισοτήτων με πρόσημα ισότητας, λαμβάνουμε ένα σύστημα εξισώσεων x1 - 4 x2 = 4.

3 x1 - x2 = 0;

Κατασκευάζουμε ευθείες γραμμές σύμφωνα με αυτές τις εξισώσεις, στη συνέχεια, σύμφωνα με τα σημάδια των ανισώσεων, επιλέγουμε ημιεπίπεδα και λαμβάνουμε το κοινό τους μέρος - την περιοχή των αποδεκτών λύσεων του ODE - ένα απεριόριστο πολύγωνο MNPQ.

Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

tions - σε μια ευθεία γραμμή NP, για παράδειγμα

στο σημείο Р(4; 0)

Ф min = 4 + 0 = 4.

Το ODE δεν περιορίζεται από πάνω, επομένως, Ф max = + ∞.

Επιλογή 10. Βρείτε τις μέγιστες και ελάχιστες τιμές

γραμμική συνάρτηση Ф \u003d 2 x 1 - 3 x 2

με περιορισμούς: x 1 + 3 x 2 ≤ 18;

2 x 1 + x 2 ≤ 16;

x 2 ≤ 5;

x i ≥ 0, i = 1,2.

Αντικαθιστώντας υπό όρους τα πρόσημα των ανισοτήτων με πρόσημα ισότητας, λαμβάνουμε ένα σύστημα εξισώσεων

x 1 + 3 x 2 = 18 (1);

2 x 1 + x 2 = 16 (2);

3 x 1 = 21 (4).

Κατασκευάζουμε ευθείες γραμμές σύμφωνα με αυτές τις εξισώσεις, στη συνέχεια, σύμφωνα με τα πρόσημα των ανισώσεων, επιλέγουμε ημιεπίπεδα και λαμβάνουμε το κοινό τους μέρος - την περιοχή των αποδεκτών λύσεων του ODE - το πολύγωνο MNPQRS.

Κατασκευάζουμε το διάνυσμα Г(2; -3) και σχεδιάζουμε την αρχή γραμμή επιπέδου- ευθεία.

Μετακινούμε τη γραμμή επιπέδου προς την κατεύθυνση, ενώ η τιμή του F αυξάνεται. Στο σημείο S(7; 0), η αντικειμενική συνάρτηση φτάνει στο μέγιστο Ф max =2·7–3·0= = 14. Μετακινούμε τη γραμμή επιπέδου προς την κατεύθυνση, ενώ η τιμή του Φ μειώνεται. Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι στο σημείο N(0; 5)

Ф min = 2 0 – 3 5 = –15.

ΕΡΓΟΣ 2.Β. Επίλυση προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού

αναλυτική μέθοδος Simplex

Επιλογή 7. Ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης Ф \u003d x 1 - x 2 + x 3 + x 4 + x 5 - x 6

υπό περιορισμούς: x 1 + x 4 +6 x 6 = 9,

3 x 1 + x 2 - 4 x 3 + 2 x 6 \u003d 2,

x 1 + 2 x 3 + x 5 + 2 x 6 = 6.

Λύση:

Ο αριθμός των αγνώστων n=6, ο αριθμός των εξισώσεων m=3. Επομένως, r = n-m = 3 άγνωστοι μπορούν να ληφθούν ως ελεύθεροι. Ας επιλέξουμε x 1 , x 3 και x 6 .

Εκφράζουμε τις βασικές μεταβλητές x 2 , x 4 και x 5 ως ελεύθερες και φέρνουμε το σύστημα στη βάση της μονάδας

x 2 \u003d 2 - 3 x 1 + 4 x 3 - 2 x 6

x 4 \u003d 9 - x 1 - 6 x 6 (*)

x 5 \u003d 6 - x 1 - 2 x 3 - 2 x 6

Η αντικειμενική συνάρτηση θα μοιάζει με αυτό:

Ф \u003d x 1 - 2 + 3 x 1 - 4 x 3 + 2 x 6 + x 3 + 9 - x 1 - 6 x 6 +6 - x 1 - 2 x 3 - 2 x 6 - x 6 =

13 + 2 x 1 - 5 x 3 - 7 x 6

Ας βάλουμε x 1 \u003d x 3 \u003d x 6 \u003d 0, ενώ οι βασικές μεταβλητές θα λάβουν τις τιμές x 2 \u003d 2. x 4 \u003d 9; x 5 \u003d 6, δηλαδή η πρώτη εφικτή λύση (0; 2; 0; 9; 6; 0), αντικειμενική συνάρτηση Ф 1 \u003d 13.

Οι μεταβλητές x 3 και x 6 περιλαμβάνονται στην αντικειμενική συνάρτηση με αρνητικούς συντελεστές, επομένως, με την αύξηση των τιμών τους, η τιμή του Φ θα μειωθεί. Πάρτε, για παράδειγμα, x 6 . Από την 1η εξίσωση του συστήματος (*) μπορεί να φανεί ότι μια αύξηση στην τιμή του x 6 είναι δυνατή μέχρι x 6 \u003d 1 (εφόσον x 2 ³ 0). Σε αυτήν την περίπτωση, τα x 1 και x 3 διατηρούν τιμές ίσες με μηδέν. Τώρα, ως βασικές μεταβλητές, παίρνουμε x 4, x 5, x 6, ως δωρεάν - x 1, x 2, x 3. Ας εκφράσουμε τις νέες βασικές μεταβλητές ως προς τις νέες ελεύθερες. Παίρνω

x 6 \u003d 1 - 3/2 x 1 - 1/2 x 2 + 2 x 3

x 4 \u003d 3 + 8 x 1 + 3 x 2 - 12 x 3

x 5 \u003d 4 + 2 x 1 + x 2 - 6 x 3

Ф \u003d 6 + 25/2 x 1 + 7/2 x 2 - 19 x 3

Εκχωρήστε μηδενικές τιμές σε ελεύθερες μεταβλητές, δηλαδή x 1 \u003d x 2 \u003d x 3 \u003d 0, ενώ x 6 \u003d 1, x 4 \u003d 3, x 5 \u003d 4, δηλαδή το τρίτο έγκυρη λύση (0; 0; 0; 3; 4; 1). Σε αυτήν την περίπτωση, Ф 3 \u003d 6.

Η μεταβλητή x 3 περιλαμβάνεται στην αντικειμενική συνάρτηση με αρνητικό συντελεστή, επομένως, μια αύξηση x 3 σε σχέση με το μηδέν θα οδηγήσει σε μείωση του F. Από τη 2η εξίσωση φαίνεται ότι το x 3 μπορεί να αυξηθεί έως και 1/ 4, από την 3η εξίσωση - έως 2/3 . Η δεύτερη εξίσωση είναι πιο κρίσιμη. Μεταφράζουμε τη μεταβλητή x 3 σε αριθμό βασικών, x 4 σε αριθμό ελεύθερων.

Τώρα παίρνουμε τα x 1 , x 2 και x 4 ως νέες ελεύθερες μεταβλητές. Ας εκφράσουμε νέες βασικές μεταβλητές x 3 , x 5 , x 6 ως προς αυτές. Ας πάρουμε το σύστημα

x 3 \u003d 1/4 + 2/3 x 1 + 1/4 x 2 - 1/12 x 4

x 5 \u003d 5/2 - 2 x 1 - 1/2 x 2 + 1/2 x 4

x 6 \u003d 3/2 - 1/6 x 1 - 1/6 x 4

Η αντικειμενική συνάρτηση θα πάρει τη μορφή

Ф \u003d 5/4 - 1/6 x 1 - 5/4 x 2 + 19/12 x 4

Οι μεταβλητές x 1 και x 2 περιλαμβάνονται στην αντικειμενική συνάρτηση με αρνητικούς συντελεστές, επομένως, με την αύξηση των τιμών τους, η τιμή του Φ θα μειωθεί. Πάρτε, για παράδειγμα, x 2 . Από τη 2η εξίσωση του συστήματος, μπορεί να φανεί ότι μια αύξηση στην τιμή του x 2 είναι δυνατή μέχρι x 2 \u003d 5 (εφόσον x 5 ³ 0). Σε αυτήν την περίπτωση, τα x 1 και x 4 διατηρούν μηδενικές τιμές, οι τιμές των άλλων μεταβλητών είναι ίσες με x 3 = 3/2. x 5 \u003d 0, x 6 \u003d 3/2, δηλαδή η τέταρτη έγκυρη λύση (0; 5; 3/2; 0; 0; 3/2). Σε αυτήν την περίπτωση, Ф 4 \u003d 5/4.

Τώρα παίρνουμε τα x 1 , x 4 και x 5 ως νέες ελεύθερες μεταβλητές. Ας εκφράσουμε νέες βασικές μεταβλητές x 2 , x 3 , x 6 ως προς αυτές. Ας πάρουμε το σύστημα

x 2 \u003d 5 - 4 x 1 + x 4 - 2 x 5

x 3 \u003d 3/2 - 1/3 x 1 + 1/6 x 4 - 1/2 x 5

x 6 \u003d 3/2 - 1/6 x 1 - 1/6 x 4

Η αντικειμενική συνάρτηση θα πάρει τη μορφή

F \u003d - 5 + 29/6 x 1 + 1/3 x 4 + 5/2 x 5

Οι συντελεστές και για τις δύο μεταβλητές στην έκφραση για Φ είναι θετικοί, επομένως, είναι αδύνατη περαιτέρω μείωση της τιμής του Φ.

Δηλαδή, η ελάχιστη τιμή του Ф min = - 5, η τελευταία εφικτή λύση (0; 5; 3/2; 0; 0; 3/2) είναι η βέλτιστη.

Επιλογή 8. Μεγιστοποιήστε την αντικειμενική συνάρτηση Ф = 4 x 5 + 2 x 6

με περιορισμούς: x 1 + x 5 + x 6 = 12;

x 2 + 5 x 5 - x 6 \u003d 30;

x 3 + x 5 - 2 x 6 \u003d 6;

2 x 4 + 3 x 5 - 2 x 6 \u003d 18;

Λύση:

Ο αριθμός των εξισώσεων είναι 4, ο αριθμός των αγνώστων είναι 6. Επομένως, r = n - m = 6 - 4 = 2 μεταβλητές μπορούν να επιλεγούν ως ελεύθερες, 4 μεταβλητές ως βασικές. Επιλέγουμε x 5 και x 6 ως ελεύθερα, x 1, x 2, x 3, x 4 ως βασικά. Εκφράζουμε τις βασικές μεταβλητές ως προς τις ελεύθερες και ανάγουμε το σύστημα εξισώσεων στη μοναδιαία βάση

x 1 \u003d 12 - x 5 - x 6;

x 2 \u003d 30 - 5 x 5 + x 6;

x 3 \u003d 6 - x 5 + 2 x 6;

x 4 \u003d 9 - 3/2 x 5 + x 6;

Γράφουμε την αντικειμενική συνάρτηση με τη μορφή Ф = 4 x 5 + 2 x 6 . Εκχωρούμε μηδενικές τιμές στις ελεύθερες μεταβλητές x 5 = x 6 = 0. Σε αυτήν την περίπτωση, οι βασικές μεταβλητές θα λάβουν τις τιμές x 1 = 12, x 2 = 30, x 3 = 6, x 4 = 9 , δηλαδή, θα πάρουμε την πρώτη εφικτή λύση (12, 30 , 6, 9, 0,) και Ф 1 = 0.

Και οι δύο ελεύθερες μεταβλητές εισέρχονται στη συνάρτηση στόχο με θετικούς συντελεστές, δηλαδή είναι δυνατή μια περαιτέρω αύξηση στο F. Ας μεταφράσουμε, για παράδειγμα, το x 6 στον αριθμό των βασικών. Η εξίσωση (1) δείχνει ότι x 1 = 0 στο x 5 = 12, στο (2) ÷ (4) x 6 μπαίνει με θετικούς συντελεστές. Ας προχωρήσουμε σε μια νέα βάση: βασικές μεταβλητές - x 6, x 2, x 3, x 4, free - x 1, x 5. Ας εκφράσουμε τις νέες βασικές μεταβλητές μέσω νέων δωρεάν

x 6 \u003d 12 - x 1 - x 5;

x 2 \u003d 42 - x 1 - 6 x 5;

x 3 \u003d 30 - 2 x 1 - 3 x 5;

x 4 \u003d 21 - x 1 - 5/2 x 5;

Η αντικειμενική συνάρτηση θα πάρει τη μορφή Ф = 24 - 2 x 1 + 2 x 5 ;

Εκχωρούμε μηδενικές τιμές στις ελεύθερες μεταβλητές x 1 = x 5 = 0. Σε αυτήν την περίπτωση, οι βασικές μεταβλητές θα λάβουν τις τιμές x 6 = 12, x 2 = 42, x 3 = 30, x 4 = 21 , δηλαδή, θα λάβουμε τη δεύτερη εφικτή λύση (0, 42 , 30, 21, 0, 12) και Ф 2 = 24.

Η συνάρτηση στόχος x 5 εισέρχεται με θετικό συντελεστή, δηλαδή είναι δυνατή μια περαιτέρω αύξηση στο F. Ας προχωρήσουμε σε μια νέα βάση: βασικές μεταβλητές - x 6, x 5, x 3, x 4, ελεύθερες - x 1 , x 2. Ας εκφράσουμε νέες βασικές μεταβλητές μέσω νέων ελεύθερων

x 6 \u003d 5 - 5/6 x 1 + 1/6 x 2;

x 5 \u003d 7 - 1/6 x 1 - 1/6 x 2;

x 3 \u003d 9 - 3/2 x 1 + 1/2 x 2;

x 4 \u003d 7/2 - 7/12 x 1 + 5/12 x 5;

Η αντικειμενική συνάρτηση θα πάρει τη μορφή Ф = 38 - 7/2 x 1 - 1/3 x 2.

Εκχωρήστε μηδενικές τιμές x 1 = x 2 = 0 σε ελεύθερες μεταβλητές. Σε αυτήν την περίπτωση, οι βασικές μεταβλητές θα λάβουν τις τιμές x 6 = 5, x 5 = 7, x 3 = 9, x 4 = 7/ 2, δηλαδή, θα πάρουμε την τρίτη εφικτή λύση X 3 = (0, 0, 9, 7/2, 7, 5) και Ф 3 = 38.

Και οι δύο μεταβλητές εισέρχονται στη συνάρτηση στόχου με αρνητικούς συντελεστές, δηλαδή είναι αδύνατη μια περαιτέρω αύξηση του Φ.

Επομένως, η τελευταία εφικτή λύση είναι η βέλτιστη, δηλαδή, Χ opt = (0, 0, 9, 7/2, 7, 5) και Ф max = 38.

Επιλογή 10. Μεγιστοποιήστε τη συνάρτηση στόχου Ф \u003d x 2 + x 3

υπό περιορισμούς: x 1 - x 2 + x 3 \u003d 1,

x 2 - 2 x 3 + x 4 \u003d 2.

Λύση:

Το σύστημα εξισώσεων - περιορισμών είναι συνεπές, αφού οι τάξεις του πίνακα του συστήματος εξισώσεων και του εκτεταμένου πίνακα είναι ίδιες και ίσες με 2. Επομένως, δύο μεταβλητές μπορούν να ληφθούν ως ελεύθερες, δύο άλλες μεταβλητές - βασικές - μπορούν να είναι εκφράζεται γραμμικά ως δύο ελεύθερων.

Ας πάρουμε ως ελεύθερες μεταβλητές τις x 2 και x 3. Τότε οι μεταβλητές x 1 και x 2 θα είναι οι βασικές, τις οποίες θα εκφράσουμε ως ελεύθερες

x 1 \u003d 1 + x 2 - x 3; (*)

x 4 \u003d 2 - x 2 + 2 x 3;

Η συνάρτηση στόχος έχει ήδη εκφραστεί ως x 2 και x 3 , δηλαδή Ф = x 2 + x 3 .

Σε x 2 \u003d 0 και x 3 \u003d 0, οι βασικές μεταβλητές θα είναι ίσες με x 1 \u003d 1, x 4 \u003d 2.

Έχουμε την πρώτη εφικτή λύση X 1 = (1, 0, 0, 2), ενώ Ф 1 = 0.

Μια αύξηση στο Ф είναι δυνατή με μια αύξηση, για παράδειγμα, στην τιμή x 3, η οποία περιλαμβάνεται στην έκφραση για Φ με θετικό συντελεστή (το x 2 παραμένει ίσο με μηδέν). Στην πρώτη εξίσωση του συστήματος (*), μπορεί να φανεί ότι το x 3 μπορεί να αυξηθεί σε 1 (από τη συνθήκη x 1 ³0), δηλαδή, αυτή η εξίσωση επιβάλλει έναν περιορισμό στην αύξηση της τιμής του x 3. Η πρώτη εξίσωση του συστήματος (*) επιλύεται. Με βάση αυτή την εξίσωση, περνάμε σε μια νέα βάση, αλλάζοντας x 1 και x 3 θέσεις. Τώρα οι βασικές μεταβλητές θα είναι x 3 και x 4, δωρεάν - x 1 και x 2. Τώρα εκφράζουμε τα x 3 και x 4 ως x 1 και x 2.

Παίρνουμε: x 3 \u003d 1 - x 1 + x 2; (**)

x 4 \u003d 4 - 2 x 1 + x 2;

Ф \u003d x 2 + 1 - x 1 + x 2 \u003d 1 - x 1 + 2 x 2

Εξισώνοντας τις ελεύθερες μεταβλητές με μηδέν, λαμβάνουμε τη δεύτερη αποδεκτή βασική λύση X 2 = (0; 0; 1; 4), στην οποία Ф 2 =1.

Μια αύξηση στο F είναι δυνατή με μια αύξηση x 2. Η αύξηση του x 2, αν κρίνουμε από το τελευταίο σύστημα εξισώσεων (**), δεν είναι περιορισμένη. Επομένως, το Ф θα λάβει όλες τις μεγάλες θετικές τιμές, δηλαδή, Ф max = + ¥.

Άρα, η αντικειμενική συνάρτηση Ф δεν οριοθετείται από πάνω, επομένως δεν υπάρχει βέλτιστη λύση.

ΕΡΓΑΣΙΑ 2.Δ. Γράψτε ένα πρόβλημα διπλό στο δεδομένο.

πρωτότυπη εργασία.

Επιλογή 7. Μεγιστοποιήστε την αντικειμενική συνάρτηση Ф = 2× x 1 - x 4

με περιορισμούς: x 1 + x 2 \u003d 20,

x 2 + 2× x 4 ≥ 5,

x 1 + x 2 + x 3 ≤ 8,

x i ≥ 0 (i = 1, 2, 3, 4)

Λύση:

Φέρνουμε το σύστημα των περιορισμών σε μια ενιαία, για παράδειγμα, κανονική μορφή εισάγοντας πρόσθετες μεταβλητές στη 2η και 3η εξίσωση

x 1 + x 2 = 20,

x 2 + 2 × x 4 - x 5 \u003d 5,

- x 1 + x 2 + x 3 + x 6 \u003d 8.

Πήραμε ασύμμετρο πρόβλημα 2ου τύπου. Το διπλό πρόβλημα θα μοιάζει με αυτό:

Ελαχιστοποίηση αντικειμενικής συνάρτησης F = 20 × y 1 + 5 × y 2 + 8 × y 3

για y 1 — y 3 ≥ 2,

y1 + y2 + y3 ≥ 0,

y 3 ≥ 0,

2× y2 ≥ 1,

Υ2 ≥ 0,

y 3 ≥ 0.

Επιλογή 8. Μεγιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης Ф \u003d x 2 - x 4 - 3× x 5

με περιορισμούς: x 1 + 2× x 2 - x 4 + x 5 \u003d 1,

— 4 × x 2 + x 3 + 2× x 4 - x 5 = 2,

3 × x 2 + x 5 + x 6 = 5,

x i ≥ 0, (Εγώ = 1, 6)

Λύση:

Έχουμε το αρχικό πρόβλημα μεγιστοποίησης με ένα σύστημα περιορισμών με τη μορφή εξισώσεων, δηλαδή ένα ζεύγος διπλών προβλημάτων έχει μια ασύμμετρη μορφή του 2ου τύπου, το μαθηματικό μοντέλο του οποίου σε μορφή πίνακα έχει τη μορφή:

Αρχικό πρόβλημα: Διπλό πρόβλημα:

F = S × X max F = B T × Ymin

στο Α × X \u003d B στο A T × Y ≥ C T

Στο αρχικό πρόβλημα, η μήτρα-γραμμή των συντελεστών για μεταβλητές στη συνάρτηση στόχου έχει τη μορφή С = (0; 1; 0; -1; -3; 0),

ο πίνακας στηλών των ελεύθερων όρων και ο πίνακας των συντελεστών για τις μεταβλητές στο σύστημα περιορισμών έχουν τη μορφή

B \u003d 2, A \u003d 0 - 4 1 2 -1 0

Βρείτε τον μετατιθέμενο πίνακα συντελεστών, τον πίνακα-γραμμή συντελεστών για μεταβλητές στη συνάρτηση αντικειμενικού και τον πίνακα-στήλη των ελεύθερων μελών

0 1 0 0 V T \u003d (1; 2; 5)

A T = -1 2 0 C T = -1

Το διπλό πρόβλημα μπορεί να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή:

βρείτε την ελάχιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης F = y 1 + 2 × y 2 + 5 × y 3

υπό περιορισμούς y 1 ≥ 0,

2× y 1-4 × y 2 + 3 × y 3 ≥ 1,

- y 1 + 2 × y 2 ≥ -1,

y 1 - y 2 + y 3 ≥ -3,

Επιλογή 10. Ελαχιστοποιήστε τη συνάρτηση Ф = x 1 + x 2 + x 3

περιορισμένο: 3× x 1 + 9× x 2 + 7× x 3 ≥ 2,

6 × x 1 + 4 x 2 + 5× x 3 ≥ 3,

8 × x 1 + 2 x 2 + 4× x 3 ≥ 4,

Λύση:

Έχουμε το αρχικό πρόβλημα ελαχιστοποίησης με ένα σύστημα περιορισμών με τη μορφή ανισοτήτων, δηλαδή ένα ζεύγος διπλών προβλημάτων έχει μια συμμετρική μορφή του 3ου τύπου, το μαθηματικό μοντέλο του οποίου σε μορφή πίνακα έχει τη μορφή:

Αρχικό πρόβλημα Διπλό πρόβλημα

F = S × X min F \u003d B T × Ymax

στο Α × Χ ≥ Β στο Α Τ × Υ ≤ Γ Τ

X ≥ 0 Y ≥ 0

Στο αρχικό πρόβλημα, ο πίνακας-γραμμή συντελεστών για μεταβλητές στη συνάρτηση αντικειμενικού, ο πίνακας-στήλη ελεύθερων όρων και ο πίνακας συντελεστών για μεταβλητές στο σύστημα περιορισμών έχουν τη μορφή

C \u003d (1; 1; 1), B \u003d 3, A \u003d 6 4 5

Ας βρούμε τους πίνακες του διπλού προβλήματος

B T = (2; 3; 4) C T = 3 A T = 9 4 2

Το διπλό πρόβλημα διατυπώνεται ως εξής:

Μεγιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης F = 2y 1 + 3y 2 + 4y 3

υπό περιορισμούς 3 × y 1 + 6 × y 2 + 8 × y 3 ≤ 1,

9× y 1 + 4 × y 2 + 2 × y 3 ≤ 1,

7× y 1 + 5 × y 2 + 4 × y 3 ≤ 1,

y i ≥ 0 (i = 1, 2, 3)

ΕΡΓΑΣΙΑ 2.Γ. Επίλυση προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού με χρήση πινάκων simplex.

Επιλογή 7. Μεγιστοποιήστε την αντικειμενική συνάρτηση Ф = 2 x 1 - x 2 + 3 x 3 + 2 x 4

υπό περιορισμούς: 2 x 1 + 3 x 2 - x 3 + 2 x 4 ≤ 4,

x 1 - 2 x 2 + 5 x 3 - 3 x 4 ≥ 1,

4 x 1 + 10 x 2 +3 x 3 + x 4 ≤ 8.

Λύση:

Μειώνουμε το σύστημα περιορισμών στην κανονική μορφή

2 x 1 + 3 x 2 - x 3 + 2 x 4 + z 1 = 4, (1)

x 1 - 2 x 2 + 5 x 3 - 3 x 4 - z 2 = 1, (2)

4 x 1 + 10 x 2 +3 x 3 + x 4 + z 3 = 8. (3)

Έχουμε ένα σύστημα 3 εξισώσεων με 7 αγνώστους. Επιλέγουμε x 1 , z 1 , z 3 ως βασικές 3 μεταβλητές, x 2 , x 3 , x 4 , z 2 ως ελεύθερες, εκφράζουμε τις βασικές μεταβλητές μέσω αυτών.

Από το (2) έχουμε x 1 = 1 + 2 x 2 - 5 x 3 + 3 x 4 + x 6

Αντικαθιστούμε στα (1) και (3), παίρνουμε

x 1 - 2 x 2 + 5 x 3 - 3 x 4 - z 2 \u003d 1,

z 1 + 7 x 2 - 11 x 3 + 8 x 4 + 2 z 2 = 2,

z 3 + 18 x 2 - 17 x 3 + 13 x 4 + 4 z 2 = 4,

Ф - 3 x 2 + 7 x 3 - 8 x 4 - 2 z 2 \u003d 2.

Συνθέστε έναν πίνακα simplex

Επανάληψη Πίνακας 1

Βασικός ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ	Ελευθερία. ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ
x 1	1	1	— 2	5	— 3	0	— 1	0		3/8
z1	2	0	7	-11		1	2	0	1/ 4	1/8
z3	4	0	18	-17	13	0	4	1	4/13	13/8
φά	2	0	— 3	7	— 8	0	— 2	0		1

X 1 \u003d (1; 0; 0; 0; 2; 0; 4) F 1 \u003d 2.

II επανάληψη Πίνακας 2

x 1	14/8	1	5/8	7/8	0	3/8	-2/8	0	2	— 1
x4	1/ 4	0	7/8	-11/8	1	1/8	2/8	0		11/7
z3	6/8	0	53/8		0	-13/8	6/8	1	6/7	8/7
φά	4	0	4	— 4	0	1	0	0		32/7

X 2 \u003d (14/8; 0; 0; 1/4; 0; 0; 4) Ф 2 \u003d 4.

III επανάληψη Πίνακας 3

x 1	1	1	— 6	0	0		-1	— 1		1/2
x4	10/ 7	0	79/7	0	1	-17/7	10/7	11/7		11/7
x 3	6/7	0	53/7	1	0	-13/7	6/7	8/7		13/14
φά	52/7	0	240/7	0	0	-45/7	24/7	32/7		45/14

X 3 \u003d (1; 0; 6/7; 10/7; 0; 0; 0) Ф 3 \u003d 52/7.

IV επανάληψη Πίνακας 4

z1	1/ 2	1/2	— 3	0	0	1	-1/2	-1/2
x4	37/ 14	17/14	56/14	0	1	0	3/14	5/14
x 3	25/14	13/14	28/14	1	0	0	-1/14	3/14
φά	149/14	45/14	15	0	0	0	3/14	19/14

X 4 \u003d (0; 0; 25/14; 37/14; 1/2; 0; 0) F 4 \u003d 149/14.

Δεν υπάρχουν αρνητικοί αριθμοί στη σειρά ευρετηρίου του τελευταίου πίνακα, δηλαδή στην έκφραση της αντικειμενικής συνάρτησης, όλα Г i< 0. Имеем случай I, следовательно, последнее базисное решение является оптимальным.

Απάντηση: Ф max = 149/14,

βέλτιστη λύση (0; 0; 25/14; 37/14; 1/2; 0; 0)

Επιλογή 8. Ελαχιστοποιήστε την αντικειμενική συνάρτηση Ф = 5 x 1 - x 3

υπό περιορισμούς: x 1 + x 2 + 2 x 3 - x 4 \u003d 3,

x 2 + 2 x 4 \u003d 1,

Λύση:

Ο αριθμός των μεταβλητών είναι 4, η κατάταξη του πίνακα είναι ​​2, επομένως ο αριθμός των ελεύθερων μεταβλητών είναι r \u003d 4 - 2 \u003d 2, ο αριθμός των βασικών μεταβλητών είναι επίσης 2. Παίρνουμε x 3, x 4 ως ελεύθερες μεταβλητές, θα εκφράσουμε τις βασικές μεταβλητές x 1, x 2 ως ελεύθερες και φέρνουμε το σύστημα στη βάση της μονάδας:

x 2 \u003d 1 - 2 x 4,

x 1 \u003d 3 - x 2 - 2 x 3 + x 4 \u003d 3 - 1 + 2 x 4 - 2 x 3 + x 4 \u003d 2 - 2 x 3 + 3 x 4

Ф \u003d 5 x 1 - x 3 \u003d 5 (2 - 2 x 3 + 3 x 4) - x 3 \u003d 10 - 10 x 3 + 15 x 4 - x 3 \u003d 10 - 11 x 3 + 15 x 4

Γράφουμε το σύστημα εξισώσεων και την αντικειμενική συνάρτηση με μια μορφή κατάλληλη για τον πίνακα simplex, δηλαδή x 2 + 2 x 4 = 1,

x 1 +2 x 3 - 3 x 4 = 2

Ф + 11 x 3 - 15 x 4 \u003d 10

Ας κάνουμε ένα τραπέζι

Επανάληψη Πίνακας 1

Βασικός ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ	Ελευθερία. ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ
x1	2	1	0		— 3		1/2
x2	1	0	1	0	2
φά	10	0	0	11	— 15		— 11/2

X 1 \u003d (2; 1; 0; 0) F 1 \u003d 10.

II επανάληψη Πίνακας 2

x3	1	1/2	0	1	-3/2		3/4
x2	1	0	1	0			1/2
φά	— 1	— 11/2	0	0	3/2		— 3/4

X 2 \u003d (0; 1; 1; 0) F 2 \u003d -1.

III επανάληψη Πίνακας 3

x3	7/4	1/2	3/4	1	0
x4	1/2	0	1/2	0	1
φά	— 7/4	— 11/2	— 3/4	0	0

X 3 \u003d (0; 0; 7/4; 1/2) F 3 \u003d -7/4.

Δεν υπάρχουν θετικοί αριθμοί στη σειρά ευρετηρίου του τελευταίου πίνακα, δηλαδή στην έκφραση της αντικειμενικής συνάρτησης, όλοι Г i > 0. Έχουμε περίπτωση Ι, επομένως, η τελευταία βασική λύση είναι βέλτιστη.

Απάντηση: Ф min = -7/4, βέλτιστη λύση (0; 0; 7/4; 1/2)

********************

Επιλογή 10. Ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης Ф \u003d x 1 + x 2,

με περιορισμούς: x 1 -2 x 3 + x 4 \u003d 2,

x 2 - x 3 + 2 x 4 \u003d 1,

Λύση:

Ο αριθμός των μεταβλητών είναι 5, η κατάταξη του πίνακα είναι ​​3, επομένως ο αριθμός των ελεύθερων μεταβλητών είναι r \u003d 6-3 \u003d 2. Παίρνουμε x 3 και x 4 ως ελεύθερες μεταβλητές, x 1, x 2, x 5 ως βασικά. Όλες οι εξισώσεις του συστήματος έχουν ήδη αναχθεί σε μια ενιαία βάση (οι βασικές μεταβλητές εκφράζονται ως ελεύθερες), αλλά είναι γραμμένες σε μια μορφή που δεν είναι κατάλληλη για τη χρήση πινάκων simplex. Γράφουμε το σύστημα των εξισώσεων στη μορφή

x 1 - 2 x 3 + x 4 \u003d 2

x 2 - x 3 +2 x 4 \u003d 1

x 5 + x 3 - x 4 . = 5

Εκφράζουμε την αντικειμενική συνάρτηση με όρους ελεύθερων μεταβλητών και τη γράφουμε με τη μορφή Ф - 3 x 3 +3 x 4 = 3

Ας κάνουμε ένα τραπέζι

Επανάληψη Πίνακας 1

Βασικός ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ	Ελευθερία. ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ
x 1	2	1	0	-2	1	0	2	-1/2
x 2	1	0	1	-1		0	1/2	1/2
x 5	5	0	0	1	-1	1		1/2
φά	3	0	0	-3	3	0		-3/2

X 1 \u003d (2; 3; 0; 0; 5) F 1 \u003d 3.

πίνακας 2

x 1	3/2	1	-1/2	-3/2	0	0
x 4	1/2	0	1/2	-1/2	1	0
x 5	11/2	0	1/2	1/2	0	1
φά	3/2	0	-3/2	-3/2	0	0

X 2 \u003d (3/2; 0; 0; 1/2; 11/2) F 2 \u003d 3/2.

Δεν υπάρχουν θετικοί αριθμοί στη γραμμή δείκτη του τελευταίου πίνακα, δηλαδή στην έκφραση της αντικειμενικής συνάρτησης, όλοι Гi > 0. Έχουμε την περίπτωση 1, επομένως, η τελευταία βασική λύση είναι βέλτιστη.

Απάντηση: Ф min = 3/2, η βέλτιστη λύση είναι (3/2; 0; 0; 1/2; 11/2).

Διαιρούμε την τρίτη σειρά με το βασικό στοιχείο ίσο με 5, παίρνουμε την τρίτη σειρά του νέου πίνακα.

Οι βασικές στήλες αντιστοιχούν σε μεμονωμένες στήλες.

Υπολογισμός των υπόλοιπων τιμών του πίνακα:

"BP - Βασικό Σχέδιο":

; ;

"x1": ; ;

"x5": ; .

Οι τιμές της σειράς ευρετηρίου είναι μη αρνητικές, επομένως λαμβάνουμε τη βέλτιστη λύση: , ; .

Απάντηση:το μέγιστο κέρδος από την πώληση των βιομηχανοποιημένων προϊόντων, ίσο με 160/3 μονάδες, εξασφαλίζεται με την κυκλοφορία μόνο προϊόντων του δεύτερου τύπου στο ποσό των 80/9 μονάδων.

Εργασία αριθμός 2

Δίνεται το πρόβλημα του μη γραμμικού προγραμματισμού. Βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο της αντικειμενικής συνάρτησης χρησιμοποιώντας μια γραφική-αναλυτική μέθοδο. Να συνθέσετε τη συνάρτηση Lagrange και να την δείξετε στα άκρα σημεία επαρκείς προϋποθέσειςελάχιστο (μέγιστο).

Επειδή το τελευταίο ψηφίο του κρυπτογράφησης είναι 8, τότε A=2. Β=5.

Επειδή το προτελευταίο ψηφίο του κρυπτογράφησης είναι 1, τότε θα πρέπει να επιλέξετε τον αριθμό εργασίας 1.

Λύση:

1) Ας σχεδιάσουμε το εμβαδόν που ορίζει το σύστημα των ανισοτήτων.

Αυτή η περιοχή είναι ένα τρίγωνο ABC με τις συντεταγμένες των κορυφών: A(0; 2); B(4; 6) και C(16/3; 14/3).

Τα επίπεδα της αντικειμενικής συνάρτησης είναι κύκλοι με κέντρο το σημείο (2; 5). Τα τετράγωνα των ακτίνων θα είναι οι τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης. Στη συνέχεια, το σχήμα δείχνει ότι η ελάχιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης επιτυγχάνεται στο σημείο Η, η μέγιστη τιμή είναι είτε στο σημείο Α είτε στο σημείο Γ.

Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης στο σημείο Α: ;

Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης στο σημείο Γ: ;

Αυτό σημαίνει ότι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης επιτυγχάνεται στο σημείο A(0; 2) και είναι ίση με 13.

Ας βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου Η.

Για να το κάνετε αυτό, σκεφτείτε το σύστημα:

ó

ó

Μια ευθεία εφάπτεται σε έναν κύκλο αν η εξίσωση έχει μοναδική λύση. Τετραγωνική εξίσωσηέχει μια μοναδική λύση εάν η διάκριση είναι 0.

Επειτα ; ; - την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης.

2) Συνθέστε τη συνάρτηση Lagrange για να βρείτε την ελάχιστη λύση:

Στο Χ 1 =2.5; Χ 2 =4.5 παίρνουμε:

ó

Το σύστημα έχει μια λύση για , δηλ. ικανοποιούνται επαρκείς ακραίες συνθήκες.

Συνθέτουμε τη συνάρτηση Lagrange για την εύρεση της μέγιστης λύσης:

Επαρκείς προϋποθέσεις για ακραίο:

Στο Χ 1 =0; Χ 2 =2 παίρνουμε:

ó ó

Το σύστημα έχει και λύση, δηλ. ικανοποιούνται επαρκείς ακραίες συνθήκες.

Απάντηση:το ελάχιστο της αντικειμενικής συνάρτησης επιτυγχάνεται στο ; ; η μέγιστη αντικειμενική συνάρτηση επιτυγχάνεται όταν ; .

Εργασία αριθμός 3

Σε δύο επιχειρήσεις διατίθενται κεφάλαια στο ποσό ρεμονάδες. Όταν κατανέμεται στην πρώτη επιχείρηση για ένα έτος Χμονάδες κεφαλαίων που παρέχει εισόδημα κ 1 Χμονάδες και όταν κατανέμονται στη δεύτερη επιχείρηση yμονάδες κεφαλαίων, παρέχει εισόδημα κ 1 yμονάδες. Το υπόλοιπο των κεφαλαίων στο τέλος του έτους για την πρώτη επιχείρηση είναι ίσο με nx, και για το δεύτερο μου. Πώς να διανείμετε όλα τα κεφάλαια μέσα σε 4 χρόνια ώστε το συνολικό εισόδημα να είναι το μεγαλύτερο; Λύστε το πρόβλημα με δυναμικό προγραμματισμό.

i=8, k=1.

A=2200; k 1 =6; k2=1; n=0,2; m=0,5.

Λύση:

Ολόκληρη η περίοδος των 4 ετών χωρίζεται σε 4 στάδια, καθένα από τα οποία ισούται με ένα έτος. Ας αριθμήσουμε τα στάδια ξεκινώντας από τον πρώτο χρόνο. Έστω X k και Y k τα κεφάλαια που κατανέμονται αντίστοιχα στις επιχειρήσεις Α και Β στο k-ο στάδιο. Τότε το άθροισμα X k + Y k =a k είναι το συνολικό ποσό των κεφαλαίων που χρησιμοποιήθηκαν στο k - εκείνο το στάδιο και που απομένουν από το προηγούμενο στάδιο k - 1. στο πρώτο στάδιο χρησιμοποιούνται όλα τα διατεθέντα κεφάλαια και 1 = 2200 μονάδες. το εισόδημα που θα ληφθεί στο k - εκείνο το στάδιο, όταν κατανέμονται οι μονάδες X k και Y k, θα είναι 6X k + 1Y k . Έστω το μέγιστο εισόδημα που λαμβάνεται στα τελευταία στάδια ξεκινώντας από το k - αυτό το στάδιο είναι f k (a k) μονάδες. Ας γράψουμε τη συναρτησιακή εξίσωση Bellman που εκφράζει την αρχή της βελτιστότητας: όποια κι αν είναι η αρχική κατάσταση και αρχική λύσηη επόμενη λύση πρέπει να είναι βέλτιστη σε σχέση με την κατάσταση που προκύπτει από την αρχική κατάσταση:

Για κάθε στάδιο, πρέπει να επιλέξετε την τιμή X k , και την τιμή Υ κ=ακ- Χκ. Έχοντας αυτό υπόψη, θα βρούμε εισόδημα στο k-ο στάδιο:

Η συναρτησιακή εξίσωση Bellman θα μοιάζει με αυτό:

Εξετάστε όλα τα στάδια, ξεκινώντας από το τελευταίο.

(αφού το μέγιστο της γραμμικής συνάρτησης επιτυγχάνεται στο τέλος του τμήματος στο x 4 = a 4).