Προσδιορισμός της απόστασης μεταξύ: 1 - σημείου και επιπέδου. 2 - ευθεία και επίπεδη. 3 - αεροπλάνα? 4 - οι διασταυρώσεις ευθειών εξετάζονται μαζί, καθώς ο αλγόριθμος επίλυσης για όλα αυτά τα προβλήματα είναι ουσιαστικά ο ίδιος και αποτελείται από γεωμετρικές κατασκευές που πρέπει να εκτελεστούν για να προσδιοριστεί η απόσταση μεταξύ ενός δεδομένου σημείου Α και του επιπέδου α. Εάν υπάρχει κάποια διαφορά, αυτή συνίσταται μόνο στο γεγονός ότι στις περιπτώσεις 2 και 3, πριν ξεκινήσετε την επίλυση του προβλήματος, θα πρέπει να σημειώσετε ένα αυθαίρετο σημείο Α στην ευθεία m (περίπτωση 2) ​​ή στο επίπεδο β (περίπτωση 3). αποστάσεις μεταξύ των γραμμών διέλευσης, τις περικλείουμε πρώτα σε παράλληλα επίπεδα α και β και στη συνέχεια προσδιορίζουμε την απόσταση μεταξύ αυτών των επιπέδων.

Ας εξετάσουμε κάθε μία από τις σημειωμένες περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων.

1. Προσδιορισμός της απόστασης μεταξύ σημείου και επιπέδου.

Η απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο προσδιορίζεται από το μήκος ενός κάθετου τμήματος που σχεδιάζεται από ένα σημείο στο επίπεδο.

Επομένως, η λύση σε αυτό το πρόβλημα συνίσταται στη διαδοχική εκτέλεση των ακόλουθων γραφικών λειτουργιών:

1) από το σημείο Α χαμηλώνουμε την κάθετο στο επίπεδο α (Εικ. 269).

2) Να βρείτε το σημείο M της τομής αυτής της κάθετου με το επίπεδο M = a ∩ α;

3) προσδιορίστε το μήκος του τμήματος.

Εάν το επίπεδο α βρίσκεται σε γενική θέση, τότε για να χαμηλώσετε μια κάθετο σε αυτό το επίπεδο, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί πρώτα η κατεύθυνση των οριζόντιων και μετωπικών προβολών αυτού του επιπέδου. Η εύρεση του σημείου συνάντησης αυτής της κάθετης με το επίπεδο απαιτεί και πρόσθετες γεωμετρικές κατασκευές.

Η λύση στο πρόβλημα απλοποιείται εάν το επίπεδο α καταλαμβάνει μια συγκεκριμένη θέση σε σχέση με τα επίπεδα προβολής. Στην περίπτωση αυτή τόσο η προβολή της καθέτου όσο και η εύρεση του σημείου συνάντησής της με το επίπεδο γίνονται χωρίς πρόσθετες βοηθητικές κατασκευές.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Προσδιορίστε την απόσταση από το σημείο Α έως το μετωπικά προεξέχον επίπεδο α (Εικ. 270).

ΛΥΣΗ. Μέσα από το Α" σχεδιάζουμε μια οριζόντια προβολή της κάθετης l" ⊥ h 0α, και μέσω του Α" - του μετωπική προβολή l" ⊥ f 0α. Σημειώστε το σημείο M" = l" ∩ f 0α. Αφού AM || π 2, τότε [A" M"] == |AM| = d.

Από το εξεταζόμενο παράδειγμα, είναι σαφές πόσο απλά λύνεται το πρόβλημα όταν το αεροπλάνο καταλαμβάνει μια προεξέχουσα θέση. Επομένως, εάν στα δεδομένα πηγής προσδιορίζεται ένα γενικό επίπεδο θέσης, τότε πριν προχωρήσετε στη λύση, το επίπεδο θα πρέπει να μετακινηθεί σε θέση κάθετη σε οποιοδήποτε επίπεδο προβολής.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2. Προσδιορίστε την απόσταση από το σημείο Κ έως το επίπεδο που καθορίζεται από το ΔАВС (Εικ. 271).

1. Μεταφέρουμε το επίπεδο ΔАВС στη θέση προβολής *. Για να γίνει αυτό, μετακινούμαστε από το σύστημα xπ 2 /π 1 στο x 1 π 3 /π 1: η κατεύθυνση του νέου άξονα x 1 επιλέγεται κάθετα στην οριζόντια προβολή του οριζόντιου επιπέδου του τριγώνου.

2. Προβάλετε το ΔABC σε ένα νέο επίπεδο π 3 (το επίπεδο ΔABC προβάλλεται στο π 3, στο [ C " 1 B " 1 ]).

3. Προβάλετε το σημείο K στο ίδιο επίπεδο (K" → K" 1).

4. Μέσω του σημείου K" 1 σχεδιάζουμε (K" 1 M" 1)⊥ το τμήμα [C" 1 B" 1]. Η απαιτούμενη απόσταση d = |K" 1 M" 1 |

Η λύση του προβλήματος απλοποιείται εάν το επίπεδο ορίζεται με ίχνη, καθώς δεν χρειάζεται να σχεδιάσετε προβολές γραμμών επιπέδου.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3. Προσδιορίστε την απόσταση από το σημείο Κ έως το επίπεδο α, που καθορίζεται από τα ίχνη (Εικ. 272).

* Τα περισσότερα ορθολογικό τρόποΗ μεταφορά του επιπέδου τριγώνου στη θέση προβολής είναι ένας τρόπος αντικατάστασης των επιπέδων προβολής, αφού σε αυτή την περίπτωση αρκεί να κατασκευαστεί μόνο μία βοηθητική προβολή.

ΛΥΣΗ. Αντικαθιστούμε το επίπεδο π 1 με το επίπεδο π 3, για αυτό σχεδιάζουμε έναν νέο άξονα x 1 ⊥ f 0α. Στο h 0α σημειώνουμε ένα αυθαίρετο σημείο 1" και προσδιορίζουμε τη νέα οριζόντια προβολή του στο επίπεδο π 3 (1" 1). Μέσα από τα σημεία X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) και 1" 1 σχεδιάζουμε h 0α 1. Καθορίζουμε τη νέα οριζόντια προβολή του σημείου K → K" 1. Από το σημείο K" 1 χαμηλώνουμε την κάθετο στην h 0α 1 και σημειώνουμε το σημείο τομής της με h 0α 1 - M" 1. Το μήκος του τμήματος K" 1 M" 1 θα υποδεικνύει την απαιτούμενη απόσταση.

2. Προσδιορισμός της απόστασης μεταξύ ευθείας γραμμής και επιπέδου.

Η απόσταση μεταξύ μιας γραμμής και ενός επιπέδου καθορίζεται από το μήκος ενός κάθετου τμήματος που πέφτει από ένα αυθαίρετο σημείο της ευθείας στο επίπεδο (βλ. Εικ. 248).

Επομένως, η λύση στο πρόβλημα του προσδιορισμού της απόστασης μεταξύ της ευθείας m και του επιπέδου α δεν διαφέρει από τα παραδείγματα που συζητήθηκαν στην παράγραφο 1 για τον προσδιορισμό της απόστασης μεταξύ ενός σημείου και ενός επιπέδου (βλ. Εικ. 270 ... 272). Ως σημείο, μπορείτε να πάρετε οποιοδήποτε σημείο που ανήκει στην ευθεία m.

3. Προσδιορισμός της απόστασης μεταξύ των επιπέδων.

Η απόσταση μεταξύ των επιπέδων καθορίζεται από το μέγεθος του κάθετου τμήματος που πέφτει από ένα σημείο που λαμβάνεται από ένα επίπεδο σε άλλο επίπεδο.

Από αυτόν τον ορισμό προκύπτει ότι ο αλγόριθμος για την επίλυση του προβλήματος της εύρεσης της απόστασης μεταξύ των επιπέδων α και β διαφέρει από έναν παρόμοιο αλγόριθμο για την επίλυση του προβλήματος του προσδιορισμού της απόστασης μεταξύ της ευθείας m και του επιπέδου α μόνο στην ευθεία m πρέπει να ανήκει στο επίπεδο α. , δηλαδή, για να προσδιοριστεί η απόσταση μεταξύ των επιπέδων α και β ακολουθεί:

1) πάρτε μια ευθεία γραμμή m στο επίπεδο α.

2) επιλέξτε ένα αυθαίρετο σημείο Α στη γραμμή m.

3) από το σημείο Α, χαμηλώστε την κάθετη l στο επίπεδο β.

4) προσδιορίστε το σημείο M - το σημείο συνάντησης της κάθετης l με το επίπεδο β.

5) προσδιορίστε το μέγεθος του τμήματος.

Στην πράξη, συνιστάται η χρήση διαφορετικού αλγόριθμου λύσης, ο οποίος θα διαφέρει από αυτόν που δίνεται μόνο στο ότι, πριν προχωρήσετε στο πρώτο βήμα, τα επίπεδα θα πρέπει να μεταφερθούν στη θέση προβολής.

Η συμπερίληψη αυτής της πρόσθετης λειτουργίας στον αλγόριθμο απλοποιεί την εκτέλεση όλων των άλλων σημείων χωρίς εξαίρεση, κάτι που τελικά οδηγεί σε μια απλούστερη λύση.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Προσδιορίστε την απόσταση μεταξύ των επιπέδων α και β (Εικ. 273).

ΛΥΣΗ. Μετακινούμαστε από το σύστημα xπ 2 /π 1 στο x 1 π 1 /π 3. Σε σχέση με το νέο επίπεδο π 3, τα επίπεδα α και β καταλαμβάνουν προεξέχουσα θέση, επομένως η απόσταση μεταξύ των νέων μετωπικών ιχνών f 0α 1 και f 0β 1 είναι η επιθυμητή.

Στην πρακτική της μηχανικής, είναι συχνά απαραίτητο να λυθεί το πρόβλημα της κατασκευής ενός επιπέδου παράλληλου σε ένα δεδομένο και απομακρυσμένο από αυτό με καθορισμένη απόσταση. Το Παράδειγμα 2 παρακάτω απεικονίζει τη λύση σε ένα τέτοιο πρόβλημα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2. Απαιτείται η κατασκευή προβολών ενός επιπέδου β παράλληλου προς ένα δεδομένο επίπεδο α (m || n), αν είναι γνωστό ότι η μεταξύ τους απόσταση είναι d (Εικ. 274).

1. Στο επίπεδο α σχεδιάστε αυθαίρετες οριζόντιες γραμμές h (1, 3) και μπροστινές γραμμές f (1,2).

2. Από το σημείο 1 επαναφέρουμε την κάθετη l στο επίπεδο α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").

3. Στην κάθετη λ σημειώνουμε αυθαίρετο σημείο Α.

4. Προσδιορίστε το μήκος του τμήματος - (η θέση δείχνει στο διάγραμμα τη μετρικά μη παραμορφωμένη κατεύθυνση της ευθείας l).

5. Τοποθετήστε το τμήμα = d στην ευθεία γραμμή (1"A 0) από το σημείο 1".

6. Σημειώστε στις προεξοχές l" και l" τα σημεία Β" και Β", που αντιστοιχούν στο σημείο Β 0.

7. Μέσω του σημείου Β σχεδιάζουμε το επίπεδο β (h 1 ∩ f 1). Προς β || α, είναι απαραίτητο να τηρηθεί η προϋπόθεση h 1 || η και στ 1 || φά.

4. Προσδιορισμός της απόστασης μεταξύ τεμνόμενων γραμμών.

Η απόσταση μεταξύ τεμνόμενων γραμμών καθορίζεται από το μήκος της κάθετου που περιέχεται μεταξύ των παράλληλων επιπέδων στα οποία ανήκουν οι τεμνόμενες ευθείες.

Προκειμένου να σχεδιάσουμε αμοιβαία παράλληλα επίπεδα α και β μέσω τεμνόμενων ευθειών m και f, αρκεί να χαράξουμε στο σημείο A (A ∈ m) μια ευθεία γραμμή p παράλληλη στην ευθεία f και μέσω του σημείου B (B ∈ f) μια ευθεία k παράλληλη στην ευθεία m . Οι τεμνόμενες ευθείες m και p, f και k ορίζουν τα αμοιβαία παράλληλα επίπεδα α και β (βλ. Εικ. 248, e). Η απόσταση μεταξύ των επιπέδων α και β είναι ίση με την απαιτούμενη απόσταση μεταξύ των γραμμών διέλευσης m και f.

Ένας άλλος τρόπος προσδιορισμού της απόστασης μεταξύ τεμνόμενων γραμμών μπορεί να προταθεί, ο οποίος είναι η χρήση κάποιου είδους μεθόδου μετασχηματισμού ορθογώνιες προβολέςμία από τις γραμμές διέλευσης μεταφέρεται στη θέση προβολής. Σε αυτή την περίπτωση, μια προβολή της γραμμής εκφυλίζεται σε ένα σημείο. Η απόσταση μεταξύ των νέων προεξοχών των γραμμών διέλευσης (σημείο A" 2 και τμήμα C" 2 D" 2) είναι η απαιτούμενη.

Στο Σχ. 275 δείχνει μια λύση στο πρόβλημα του προσδιορισμού της απόστασης μεταξύ των γραμμών διέλευσης a και b, δεδομένων τμημάτων[AB] και [CD]. Η λύση εκτελείται με την ακόλουθη σειρά:

1. Μετακινήστε μία από τις γραμμές διέλευσης (α) σε μια θέση παράλληλα με το επίπεδοπ 3; Για να το κάνετε αυτό, μετακινηθείτε από το σύστημα των επιπέδων προβολής xπ 2 /π 1 στο νέο x 1 π 1 /π 3, ο άξονας x 1 είναι παράλληλος στην οριζόντια προβολή της ευθείας α. Προσδιορίστε το a" 1 [A" 1 B" 1 ] και το b" 1.

2. Αντικαθιστώντας το επίπεδο π 1 με το επίπεδο π 4, μεταφράζουμε την ευθεία

και στη θέση a" 2, κάθετα στο επίπεδο π 4 (ο νέος άξονας x 2 σχεδιάζεται κάθετα στο a" 1).

3. Κατασκευάστε μια νέα οριζόντια προβολή ευθείας b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].

4. Η απόσταση από το σημείο A" 2 έως την ευθεία C" 2 D" 2 (τμήμα (A" 2 M" 2 ] (είναι η απαιτούμενη.

Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η μεταφορά μιας από τις γραμμές διέλευσης στη θέση προβολής δεν είναι τίποτα άλλο από τη μεταφορά των επιπέδων παραλληλισμού, στα οποία μπορούν να περικλείονται οι ευθείες a και b, επίσης στη θέση προβολής.

Στην πραγματικότητα, μετακινώντας την ευθεία a σε μια θέση κάθετη στο επίπεδο π 4, διασφαλίζουμε ότι κάθε επίπεδο που περιέχει ευθεία a είναι κάθετο στο επίπεδο π 4, συμπεριλαμβανομένου του επιπέδου α που ορίζεται από τις ευθείες a και m (a ∩ m, m | | β). Αν τώρα σχεδιάσουμε μια ευθεία n, παράλληλη προς την a και τέμνουσα ευθεία b, τότε παίρνουμε το επίπεδο β, που είναι το δεύτερο επίπεδο παραλληλισμού, που περιέχει τις τεμνόμενες ευθείες a και b. Αφού β || α, τότε β ⊥ π 4 .

Ας εξετάσουμε τον αλγόριθμο για την επίλυση του προβλήματος Νο. 3.

1. Από ένα δεδομένο σημείο P, σχεδιάστε μια κάθετη t στο επίπεδο α (το επίπεδο α είναι το επίπεδο του σχήματος που κατασκευάστηκε στο πρόβλημα Νο. 1). (·)Λάκκος; t ^ α (βλ. παράδειγμα 5.1).

2. Να προσδιορίσετε το σημείο τομής (σημείο Τ) της κάθετου με το επίπεδο α. t ∩ α = (·) T (βλ. παράδειγμα 5.2).

3. Προσδιορίστε την πραγματική τιμή │PT│ της απόστασης από το σημείο P στο επίπεδο (βλ. παράδειγμα 5.3).

Ας εξετάσουμε λεπτομερέστερα κάθε σημείο του παραπάνω αλγορίθμου χρησιμοποιώντας τα ακόλουθα παραδείγματα.

Παράδειγμα 5.1. Από το σημείο P, σχεδιάστε μια κάθετη t στο επίπεδο α, που ορίζεται από τρία σημεία α (ABC), (Εικ. 5.1).

Από το θεώρημα για την καθετότητα μιας ευθείας και ενός επιπέδου είναι γνωστό ότι αν μια ευθεία t ^ α, τότε στο διάγραμμά της οριζόντια προβολήΤο t 1 είναι κάθετο στην προβολή του ομώνυμου οριζόντιου επιπέδου, δηλαδή t 1 ^ h 1 , και η μετωπική του προβολή t 2 είναι κάθετη στην προβολή του ομώνυμου μετώπου, δηλαδή t 2 ^ στ 2 . Επομένως, η επίλυση του προβλήματος πρέπει να ξεκινήσει με την κατασκευή οριζόντια και μετωπικά επίπεδα α, εάν δεν περιλαμβάνονται στο δεδομένο επίπεδο. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να θυμόμαστε ότι η κατασκευή οποιασδήποτε οριζόντιας πρέπει να ξεκινά με μια μετωπική προβολή, καθώς η μετωπική προβολή h 2 της οριζόντιας h είναι πάντα παράλληλη προς τον άξονα OX (h 2 ││OX). Και η κατασκευή οποιουδήποτε μετωπικού ξεκινά με μια οριζόντια προβολή f 1 του μετωπικού f, η οποία πρέπει να είναι παράλληλη προς τον άξονα OX (f 1 ││OX). Έτσι, στο Σχ. 5.1, μέσω του σημείου C χαράσσεται η οριζόντια γραμμή C-1 (C 2 -1 2; C 1 -1 1), και μέσω του σημείου A σύρεται η μετωπική γραμμή A-2 (A 1 -2 1; A 2 -2 2). Η μετωπική προβολή t 2 της επιθυμητής κάθετης t διέρχεται από το σημείο P 2 που είναι κάθετο στο A 2 -2 2 και η οριζόντια προβολή t 1 διέρχεται από το σημείο P 1 που είναι κάθετο στο C 1 -1 1.

Παράδειγμα 5.2. Να προσδιορίσετε το σημείο τομής της κάθετης t με το επίπεδο α (δηλαδή να προσδιορίσετε τη βάση της καθέτου).

Έστω ότι το επίπεδο α ορίζεται από δύο τεμνόμενες ευθείες α (h ∩ f). Η ευθεία t είναι κάθετη στο επίπεδο α, αφού t 1 ^ f 1, και

t 2 ^ f 2 . Για να βρεθεί η βάση μιας καθέτου, είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθούν οι ακόλουθες κατασκευές:

1. tÎb (b – βοηθητικό επίπεδο προβολής). Εάν το b είναι ένα οριζόντια προεξέχον επίπεδο, τότε η εκφυλισμένη οριζόντια προβολή του (οριζόντιο ίχνος b 1) συμπίπτει με την οριζόντια προβολή t 1 της ευθείας t, δηλαδή b 1 ≡t 1. Εάν το b είναι ένα μετωπικά προεξέχον επίπεδο, τότε η εκφυλισμένη μετωπική του προβολή (μετωπιαίο ίχνος b 2) συμπίπτει με την μετωπική προβολή t 2 της ευθείας γραμμής t, δηλαδή b 2 ≡ t 2. ΣΕ σε αυτό το παράδειγμαχρησιμοποιήθηκε ένα μετωπικό επίπεδο προβολής (βλ. Εικ. 5.2).

2. α ∩ b = 1-2 – ευθεία τομής δύο επιπέδων.

3. προσδιορίστε το σημείο Τ - τη βάση της κάθετης. (·)T= t ∩ 1-2.

Παράδειγμα 5.3. Προσδιορίστε την απόσταση από το σημείο P στο επίπεδο.

Η απόσταση από το σημείο P στο επίπεδο καθορίζεται από το μήκος του κάθετου τμήματος PT. Η ευθεία γραμμή PT στο διάστημα καταλαμβάνει γενική θέση, επομένως, για τη διαδικασία προσδιορισμού του φυσικού μεγέθους ενός τμήματος, βλέπε σελίδες 7, 8 (Εικ. 3.4 και 3.5).

Διάγραμμα επίλυσης προβλήματος Νο. 3με τον προσδιορισμό της απόστασης από το σημείο P έως επίπεδη φιγούρα, δηλαδή στο επίπεδο ενός τετραγώνου που έχει κατασκευαστεί σύμφωνα με δεδομένες συνθήκες*, φαίνεται στο Σχ. 5.3. Θα πρέπει να υπενθυμίσουμε ότι οι προβολές του σημείου P πρέπει να κατασκευαστούν σύμφωνα με δεδομένες συντεταγμένες(δείτε την έκδοση της εργασίας σας).

6. ΕΠΙΛΟΓΕΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Οι συνθήκες των εργασιών και οι συντεταγμένες των σημείων δίνονται στον Πίνακα 6.1.

ΕΠΙΛΟΓΕΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 148

Οδηγίες

Για να βρείτε την απόσταση από σημείαπριν επίπεδοχρησιμοποιώντας περιγραφικές μεθόδους: επιλέξτε on επίπεδοαυθαίρετο σημείο? τραβήξτε δύο ευθείες γραμμές μέσα από αυτό (που βρίσκονται σε αυτό επίπεδο) επαναφέρω κάθετα προς επίπεδοπερνώντας από αυτό το σημείο (κατασκευάστε μια ευθεία κάθετη και στις δύο τεμνόμενες ευθείες ταυτόχρονα). σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς την κατασκευασμένη κάθετο μέσω ενός δεδομένου σημείου. βρείτε την απόσταση μεταξύ του σημείου τομής αυτής της ευθείας με το επίπεδο και του δεδομένου σημείου.

Αν η θέση σημείαδίνεται από τις τρισδιάστατες συντεταγμένες του και τη θέση επίπεδο – γραμμική εξίσωση, στη συνέχεια για να βρείτε την απόσταση από επίπεδοπριν σημεία, χρησιμοποιήστε τις μεθόδους αναλυτικής γεωμετρίας: υποδείξτε τις συντεταγμένες σημείαμέσω x, y, z, αντίστοιχα (x – τετμημένη, y – τεταγμένη, z – εφαρμογή). συμβολίζουμε με Α, Β, Γ, Δ τις εξισώσεις επίπεδο(A – παράμετρος σε τετμημένη, B – σε , C – σε εφαρμογή, D – ελεύθερος όρος). υπολογίστε την απόσταση από σημείαπριν επίπεδοσύμφωνα με τον τύπο:s = | (Ax+By+Cz+D)/√(A²+B²+C²) |,όπου s είναι η απόσταση μεταξύ του σημείου και του επιπέδου,|| - απόλυτη τιμή(ή ενότητα).

Παράδειγμα: Βρείτε την απόσταση μεταξύ του σημείου Α με συντεταγμένες (2, 3, -1) και του επιπέδου, δίνεται από την εξίσωση: 7x-6y-6z+20=0.Λύση Από τις συνθήκες προκύπτει ότι: x=2,y=3,z=-1,A=7,B=-6,C=-6,D=20 Αντικαταστήστε αυτές τις τιμές με τις παραπάνω. Παίρνετε: s = | (7*2+(-6)*3+(-6)*(-1)+20)/√(7²+(-6)²+(-6)²) | = | (14-18+6+20)/11 | = 2. Απάντηση: Απόστασηαπό σημείαπριν επίπεδοισούται με 2 (αυθαίρετες μονάδες).

Συμβουλή 2: Πώς να προσδιορίσετε την απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο

Προσδιορισμός της απόστασης από σημείαπριν επίπεδο- μια από τις κοινές εργασίες της σχολικής επιφανειακής μέτρησης. Ως γνωστόν, το μικρότερο απόστασηαπό σημείαπριν επίπεδοθα τραβηχτεί μια κάθετη από αυτό σημείασ 'αυτό επίπεδο. Επομένως, το μήκος αυτής της καθέτου λαμβάνεται ως η απόσταση από σημείαπριν επίπεδο.

Θα χρειαστείτε

• επίπεδο εξίσωση

Οδηγίες

Έστω το πρώτο της παράλληλης f1 από την εξίσωση y=kx+b1. Μετάφραση της έκφρασης σε γενική μορφή, παίρνετε kx-y+b1=0, δηλαδή A=k, B=-1. Το κανονικό σε αυτό θα είναι n=(k, -1).
Τώρα ακολουθεί μια αυθαίρετη τετμημένη του σημείου x1 στο f1. Τότε η τεταγμένη του είναι y1=kx1+b1.
Έστω η εξίσωση της δεύτερης από τις παράλληλες ευθείες f2 της μορφής:
y=kx+b2 (1),
όπου το k είναι το ίδιο και για τις δύο ευθείες, λόγω του παραλληλισμού τους.

Στη συνέχεια πρέπει να δημιουργήσετε κανονική εξίσωσημια ευθεία κάθετη τόσο στη f2 όσο και στη f1 που περιέχει το σημείο M (x1, y1). Στην περίπτωση αυτή, υποτίθεται ότι x0=x1, y0=y1, S=(k, -1). Ως αποτέλεσμα, θα πρέπει να λάβετε την ακόλουθη ισότητα:
(x-x1)/k =(y-kx1-b1)/(-1) (2).

Έχοντας λύσει το σύστημα εξισώσεων που αποτελείται από τις παραστάσεις (1) και (2), θα βρείτε το δεύτερο σημείο που καθορίζει την απαιτούμενη απόσταση μεταξύ των παράλληλων N(x2, y2). Η ίδια η απαιτούμενη απόσταση θα είναι ίση με d=|MN|=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^1/2.

Παράδειγμα. Έστω οι εξισώσεις δεδομένων παράλληλων ευθειών στο επίπεδο f1 – y=2x +1 (1);
f2 – y=2x+5 (2). Πάρτε ένα αυθαίρετο σημείο x1=1 στο f1. Τότε y1=3. Το πρώτο σημείο θα έχει έτσι συντεταγμένες M (1,3). Γενική κάθετη εξίσωση (3):
(x-1)/2 = -y+3 ή y=-(1/2)x+5/2.
Αντικαθιστώντας αυτήν την τιμή y σε (1), λαμβάνετε:
-(1/2)x+5/2=2x+5, (5/2)x=-5/2, x2=-1, y2=-(1/2)(-1) +5/2= 3.
Η δεύτερη βάση της καθέτου βρίσκεται στο σημείο με συντεταγμένες Ν (-1, 3). Η απόσταση μεταξύ των παράλληλων γραμμών θα είναι:
d=|MN|=((3-1)^2+(3+1)^2)^1/2=(4+16)^1/2=4,47.

Πηγές:

• Ανάπτυξη των πνευμόνωνστίβος στη Ρωσία

Πάνω από οποιοδήποτε επίπεδο ή ογκομετρικό γεωμετρικό σχήμακαθορίζεται μοναδικά από τις συντεταγμένες του στο χώρο. Με τον ίδιο τρόπο, οποιοδήποτε αυθαίρετο σημείο στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων μπορεί να προσδιοριστεί μοναδικά, και αυτό καθιστά δυνατό τον υπολογισμό της απόστασης μεταξύ αυτού αυθαίρετο σημείοκαι το πάνω μέρος του σχήματος.

Θα χρειαστείτε

• - χαρτί?
• - στυλό ή μολύβι
• - αριθμομηχανή.

Οδηγίες

Μειώστε το πρόβλημα στην εύρεση του μήκους ενός τμήματος μεταξύ δύο σημείων, εάν είναι γνωστές οι συντεταγμένες του σημείου που καθορίζεται στο πρόβλημα και οι κορυφές του γεωμετρικού σχήματος. Αυτό το μήκος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα σε σχέση με τις προβολές ενός τμήματος στον άξονα συντεταγμένων - θα είναι ίσο με τετραγωνική ρίζααπό το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών όλων των προβολών. Για παράδειγμα, έστω το σημείο A(X1;Y1;Z1) και η κορυφή C οποιουδήποτε γεωμετρικού σχήματος με συντεταγμένες (X2;Y2;Z2) σε ένα τρισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων. Στη συνέχεια, τα μήκη των προβολών του τμήματος μεταξύ τους άξονες συντεταγμένωνμπορεί να είναι ως X1-X2, Y1-Y2 και Z1-Z2, και το μήκος του τμήματος ως √((X1-X2)2+(Y1-Y2)2+(Z1-Z2)2). Για παράδειγμα, εάν οι συντεταγμένες του σημείου είναι A(5;9;1) και οι κορυφές είναι C(7;8;10), τότε η απόσταση μεταξύ τους θα είναι ίση με √((5-7)²+ (9-8)²+(1- 10)²) = √(-2²+1²+(-9)²) = √(4+1+81) = √86 ≈ 9.274.

Υπολογίστε πρώτα τις συντεταγμένες της κορυφής εάν δεν παρουσιάζονται ρητά στις συνθήκες του προβλήματος. Η συγκεκριμένη μέθοδος εξαρτάται από τον τύπο του σχήματος και τις γνωστές πρόσθετες παραμέτρους. Για παράδειγμα, αν είναι γνωστό 3D συντεταγμένεςτρεις κορυφές A(X1;Y1;Z1), B(X2;Y2;Z2) και C(X3;Y3;Z3), τότε οι συντεταγμένες της τέταρτης κορυφής του (απέναντι από την κορυφή B) θα είναι (X3+X2-X1 Υ3+Υ2 -Υ1· Ζ3+Ζ2-Ζ1). Μετά τον προσδιορισμό των συντεταγμένων της κορυφής που λείπει, ο υπολογισμός της απόστασης μεταξύ αυτής και ενός αυθαίρετου σημείου θα μειωθεί και πάλι στον προσδιορισμό του μήκους του τμήματος μεταξύ αυτών των δύο σημείων στο δεδομένο σύστημασυντεταγμένες - κάντε το με τον ίδιο τρόπο που περιγράφηκε στο προηγούμενο βήμα. Για παράδειγμα, για την κορυφή του παραλληλογράμμου που περιγράφεται σε αυτό το βήμα και το σημείο Ε με συντεταγμένες (X4;Y4;Z4), ο τύπος για τον υπολογισμό της απόστασης από το προηγούμενο βήμα μπορεί να είναι ο εξής: √((X3+X2-X1- X4)2+(Y3+Y2-Y1-Y4)2+(Z3+Z2-Z1-Z4)2).

Για πρακτικούς υπολογισμούς μπορείτε να χρησιμοποιήσετε, για παράδειγμα, το ενσωματωμένο μηχανή αναζήτησης Google. Έτσι, για να υπολογίσετε την τιμή χρησιμοποιώντας τον τύπο που λήφθηκε στο προηγούμενο βήμα, για σημεία με συντεταγμένες A(7;5;2), B(4;11;3), C(15;2;0), E(7; 9; 2), εισάγετε αυτό ερώτημα αναζήτησης: sqrt((15+4-7-7)^2+(2+11-5-9)^2+(0+3-2-2)^2). Η μηχανή αναζήτησης θα υπολογίσει και θα εμφανίσει το αποτέλεσμα του υπολογισμού (5.19615242).

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Ανάκτηση κάθετοςΠρος την επίπεδο- ένας από σημαντικά καθήκονταστη γεωμετρία, βασίζεται σε πολλά θεωρήματα και αποδείξεις. Να κατασκευάσουμε μια ευθεία κάθετη επίπεδο, πρέπει να εκτελέσετε πολλά βήματα διαδοχικά.

Θα χρειαστείτε

• - δεδομένο αεροπλάνο;
• - το σημείο από το οποίο θέλετε να σχεδιάσετε μια κάθετη.
• - πυξίδα
• - χάρακας
• - μολύβι.

Κρατικό Ναυτικό Τεχνικό Πανεπιστήμιο της Αγίας Πετρούπολης

Τμήμα Γραφικών Υπολογιστών και Υποστήριξης Πληροφοριών

ΜΑΘΗΜΑ 4

ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΕΡΓΟ Νο. 4

Επίπεδο.

Προσδιορισμός της απόστασης από ένα σημείο σε ένα επίπεδο.

1. Προσδιορισμός της απόστασης από ένα σημείο στο προεξέχον επίπεδο.

Για να βρείτε την πραγματική απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο, πρέπει:

· από ένα σημείο, χαμηλώστε μια κάθετη σε ένα επίπεδο.

· Να βρείτε το σημείο τομής της κάθετης που σχεδιάστηκε με το επίπεδο.

Προσδιορίστε το πραγματικό μέγεθος του τμήματος, η αρχή του οποίου είναι σημείο ρύθμισης, και το τέλος είναι το σημείο τομής που βρέθηκε.

Ένα αεροπλάνο μπορεί να καταλάβει χώρο γενικόςΚαι ιδιωτικόςθέση. Κάτω από ιδιωτικόςαναφέρεται στη θέση στην οποία το επίπεδο κάθετοςστο επίπεδο προβολής - ένα τέτοιο επίπεδο ονομάζεται προβολή. Το κύριο χαρακτηριστικό της θέσης προβολής: ένα επίπεδο είναι κάθετο στο επίπεδο προβολής εάν διέρχεται από τη γραμμή προβολής.Σε αυτή την περίπτωση, μία από τις προβολές του επιπέδου είναι μια ευθεία γραμμή - ονομάζεται ακολουθώντας το αεροπλάνο.

Εάν το επίπεδο προβάλλει, τότε είναι εύκολο να προσδιοριστεί η πραγματική απόσταση από το σημείο στο επίπεδο. Ας το δείξουμε αυτό χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του προσδιορισμού της απόστασης από ένα σημείο ΣΕστο μετωπικά προεξέχον επίπεδο που προσδιορίζεται στη συνέχεια Q2 στην επιφάνεια P2(Εικ. 1).

Επίπεδο Qείναι κάθετη στο μετωπικό επίπεδο των προβολών, επομένως, οποιαδήποτε ευθεία κάθετη σε αυτήν θα είναι παράλληλη προς το επίπεδο P2.Και μετά μια ορθή γωνία προς το επίπεδο P2θα προβάλλεται χωρίς παραμόρφωση, και είναι δυνατό από το σημείο ΣΤΙΣ 2σχεδιάστε κάθετα στο ίχνος Q2 . Ευθύγραμμο τμήμα VCβρίσκεται σε μια συγκεκριμένη θέση στην οποία η μετωπική προβολή V2K2ίση με την πραγματική τιμή της απαιτούμενης απόστασης.

Εικ.1. Προσδιορισμός της απόστασης από ένα σημείο στο προεξέχον επίπεδο.

2. Προσδιορισμός της απόστασης από ένα σημείο σε ένα γενικό επίπεδο.

Εάν το αεροπλάνο καταλαμβάνει μια γενική θέση, τότε είναι απαραίτητο να το μεταφέρετε στη θέση προβολής. Για να γίνει αυτό, σχεδιάζεται μια ευθεία γραμμή μιας συγκεκριμένης θέσης (παράλληλη με ένα από τα επίπεδα προβολής), η οποία μπορεί να μεταφερθεί στη θέση προβολής χρησιμοποιώντας έναν μετασχηματισμό σχεδίασης.

Ευθεία παράλληλη προς το επίπεδο P1,ονομάζεται οριζόντιο επίπεδο και συμβολίζεται με το γράμμα η. Ευθεία γραμμή παράλληλη προς το μετωπικό επίπεδο των προεξοχών P2, ονομάζεται μετωπική του επιπέδου και συμβολίζεται με το γράμμα φά.Γραμμές ηΚαι φάλέγονται κύριες γραμμές του αεροπλάνου. Η λύση του προβλήματος φαίνεται στο ακόλουθο παράδειγμα (Εικ. 2).

Αρχική κατάσταση:τρίγωνο αλφάβητοορίζει το επίπεδο. Μ- ένα σημείο έξω από το αεροπλάνο. Ένα δεδομένο επίπεδο καταλαμβάνει μια γενική θέση. Για να το μετακινήσετε στη θέση προβολής, εκτελέστε τα παρακάτω βήματα. Ενεργοποίηση λειτουργίας ΟΡΤΟ (ΟΡΘΩ), χρήση εντολής Ευθύγραμμο τμήμα (Γραμμή) – σχεδιάστε οποιαδήποτε οριζόντια γραμμή που τέμνει την μετωπική προβολή του τριγώνου А2В2С2σε δύο σημεία. Υποδεικνύεται η προβολή της οριζόντιας γραμμής που διέρχεται από αυτά τα σημεία η2 . Στη συνέχεια, κατασκευάζεται μια οριζόντια προβολή η1 .

Κύρια γραμμή ημπορεί να μετατραπεί σε θέση προβολής στην οποία το δεδομένο επίπεδο γίνεται επίσης προεξέχον. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να περιστρέψετε τις οριζόντιες προεξοχές όλων των σημείων (βοηθητικό τετράπλευρο ABCM) σε μια νέα θέση στην οποία η γραμμή η1 θα καταλαμβάνει κατακόρυφη θέση κάθετη στον άξονα Χ. Είναι βολικό να εκτελούνται αυτές οι κατασκευές χρησιμοποιώντας επίπεδη-παράλληλη μετάφραση (ένα αντίγραφο της προβολής τοποθετείται επάνω ελεύθερο μέροςοθόνη).

Ως αποτέλεσμα, η νέα μετωπική προβολή του αεροπλάνου θα μοιάζει με ευθεία γραμμή (επίπεδο ίχνος) Α2*Β2*.Τώρα από το σημείο M2*μπορείτε να σχεδιάσετε μια κάθετη στο ίχνος του επιπέδου. Νέα μετωπική προβολή M2*K2* = ΜΚεκείνοι. είναι η απαιτούμενη απόσταση από το σημείο Μσε ένα δεδομένο αεροπλάνο αλφάβητο.

Στη συνέχεια, πρέπει να κατασκευάσετε προβολές της απόστασης μέσα αρχική κατάσταση. Για να το κάνετε αυτό από το σημείο Μ1σχεδιάστε ένα τμήμα κάθετο στην ευθεία η1 , και σε αυτό θα πρέπει να αναβληθεί από το σημείο Μ1ένα τμήμα ίσου σε μέγεθος Μ1*Κ1*.Να κατασκευάσει μετωπική προβολή ενός σημείου Κ2από σημείο Κ1χαράσσεται μια κάθετη γραμμή επικοινωνίας, και από το σημείο K2*οριζόντιος. Το αποτέλεσμα των κατασκευών φαίνεται στο Σχ. 2.

ΕΡΓΟ Νο. 4.Βρείτε την πραγματική απόσταση από ένα σημείο Μστο επίπεδο που ορίζεται από το τρίγωνο αλφάβητο. Δώστε την απάντηση σε mm (Πίνακας 1)

Τραπέζι 1

Επιλογή	Σημείο Α			Σημείο Β
Επιλογή	Σημείο Γ			Σημείο Μ

Έλεγχος και διέλευση ολοκληρωμένης ΕΡΓΑΣΙΑΣ Νο. 4.

Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗκαι τα λοιπά.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Συλλέγεται από εμάς προσωπικές πληροφορίεςμας επιτρέπει να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο, σύμφωνα με το νόμο, δικαστική διαδικασία, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων ερευνών ή αιτημάτων από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.