Αυτό το άρθρο είναι η απάντηση σε δύο ερωτήσεις: "Τι είναι" και "Πώς να βρείτε συντεταγμένες της προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο"; Αρχικά, δίνονται οι απαραίτητες πληροφορίες για την προβολή και τα είδη της. Στη συνέχεια, δίνεται ο ορισμός της προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο και δίνεται μια γραφική απεικόνιση. Μετά από αυτό, ελήφθη μια μέθοδος για την εύρεση των συντεταγμένων της προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο. Συμπερασματικά, αναλύονται λύσεις παραδειγμάτων στα οποία υπολογίζονται οι συντεταγμένες της προβολής ενός δεδομένου σημείου σε ένα δεδομένο επίπεδο.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Προβολή, είδη προβολής - απαραίτητες πληροφορίες.

Όταν μελετάτε χωρικά σχήματα, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε τις εικόνες τους στο σχέδιο. Το σχέδιο μιας χωρικής φιγούρας είναι ένα λεγόμενο προβολήαυτή η φιγούρα στο αεροπλάνο. Η διαδικασία κατασκευής μιας εικόνας μιας χωρικής φιγούρας σε ένα επίπεδο συμβαίνει σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Έτσι η διαδικασία κατασκευής μιας εικόνας μιας χωρικής φιγούρας σε ένα επίπεδο, μαζί με ένα σύνολο κανόνων με τους οποίους εκτελείται αυτή η διαδικασία, ονομάζεται προβολήφιγούρες σε αυτό το επίπεδο. Το επίπεδο στο οποίο είναι χτισμένη η εικόνα ονομάζεται επίπεδο προβολής.

Ανάλογα με τους κανόνες με τους οποίους πραγματοποιείται η προβολή, υπάρχουν κεντρικόςκαι παράλληλη προβολή. Δεν θα υπεισέλθουμε σε λεπτομέρειες, καθώς αυτό ξεφεύγει από το πεδίο εφαρμογής αυτού του άρθρου.

Στη γεωμετρία, χρησιμοποιείται κυρίως μια ειδική περίπτωση παράλληλης προβολής - κάθετη προβολή, που λέγεται και ορθογώνιο. Στο όνομα αυτού του τύπου προβολής, το επίθετο "κάθετος" συχνά παραλείπεται. Δηλαδή, όταν στη γεωμετρία μιλούν για την προβολή ενός σχήματος σε ένα επίπεδο, συνήθως εννοούν ότι αυτή η προβολή λήφθηκε με χρήση κάθετης προβολής (εκτός βέβαια εάν ορίζεται διαφορετικά).

Πρέπει να σημειωθεί ότι η προβολή ενός σχήματος σε ένα επίπεδο είναι ένα σύνολο προβολών όλων των σημείων αυτού του σχήματος στο επίπεδο προβολής. Με άλλα λόγια, για να έχουμε την προβολή ενός συγκεκριμένου σχήματος, είναι απαραίτητο να μπορούμε να βρούμε τις προβολές των σημείων αυτού του σχήματος σε ένα επίπεδο. Η επόμενη παράγραφος του άρθρου δείχνει απλώς πώς να βρείτε την προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο.

Προβολή σημείου σε επίπεδο - ορισμός και απεικόνιση.

Τονίζουμε για άλλη μια φορά ότι θα μιλήσουμε για την κάθετη προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο.

Ας φτιάξουμε κατασκευές που θα μας βοηθήσουν να ορίσουμε την προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο.

Αφήστε στον τρισδιάστατο χώρο μας δίνεται ένα σημείο Μ 1 και ένα επίπεδο. Ας τραβήξουμε μια ευθεία γραμμή α στο σημείο Μ 1, κάθετη στο επίπεδο. Αν το σημείο Μ 1 δεν βρίσκεται στο επίπεδο, τότε συμβολίζουμε το σημείο τομής της ευθείας α και του επιπέδου ως Η 1. Έτσι, από κατασκευή, το σημείο Η 1 είναι η βάση της καθέτου που έπεσε από το σημείο Μ 1 στο επίπεδο.

Ορισμός.

Προβολή του σημείου M 1 σε επίπεδοείναι το ίδιο το σημείο M 1, αν , ή το σημείο H 1, εάν .

Ο παρακάτω ορισμός είναι ισοδύναμος με αυτόν τον ορισμό της προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο.

Ορισμός.

Προβολή σημείου σε επίπεδο- αυτό είναι είτε το ίδιο το σημείο, εάν βρίσκεται σε ένα δεδομένο επίπεδο, είτε η βάση της κάθετης που έπεσε από αυτό το σημείο σε ένα δεδομένο επίπεδο.

Στο παρακάτω σχέδιο, το σημείο H 1 είναι η προβολή του σημείου M 1 στο επίπεδο. Το σημείο M 2 βρίσκεται στο επίπεδο, επομένως το M 2 είναι η προβολή του ίδιου του σημείου M 2 στο επίπεδο.

Εύρεση συντεταγμένων προβολής σημείου σε επίπεδο - επίλυση παραδειγμάτων.

Αφήστε το Oxyz να εισαχθεί στον τρισδιάστατο χώρο, ένα σημείο και αεροπλάνο. Ας βάλουμε το καθήκον: να προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες της προβολής του σημείου M 1 στο επίπεδο.

Η λύση του προβλήματος προκύπτει λογικά από τον ορισμό της προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο.

Να συμβολίσετε την προβολή του σημείου M 1 στο επίπεδο ως H 1 . Εξ ορισμού, η προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο, H 1 είναι το σημείο τομής ενός δεδομένου επιπέδου και μια ευθεία γραμμή a που διέρχεται από το σημείο M 1 κάθετο στο επίπεδο. Έτσι, οι επιθυμητές συντεταγμένες της προβολής του σημείου Μ 1 στο επίπεδο είναι οι συντεταγμένες του σημείου τομής της ευθείας α και του επιπέδου.

Ως εκ τούτου, να βρείτε τις συντεταγμένες προβολής ενός σημείου στο αεροπλάνο που χρειάζεστε:

Ας εξετάσουμε παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Να βρείτε τις συντεταγμένες προβολής ενός σημείου στο αεροπλάνο .

Απόφαση.

Στην συνθήκη του προβλήματος, μας δίνεται μια γενική εξίσωση του επιπέδου της μορφής , επομένως δεν χρειάζεται μεταγλώττιση.

Ας γράψουμε τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας α, που διέρχεται από το σημείο Μ 1 κάθετο στο δεδομένο επίπεδο. Για να γίνει αυτό, λαμβάνουμε τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας α. Εφόσον η ευθεία a είναι κάθετη στο δεδομένο επίπεδο, το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας a είναι το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου . δηλ. - κατευθυντικό διάνυσμα ευθείας a . Τώρα μπορούμε να γράψουμε τις κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο που διέρχεται από το σημείο και έχει διάνυσμα κατεύθυνσης :
.

Για να ληφθούν οι απαιτούμενες συντεταγμένες της προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο, μένει να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες του σημείου τομής της ευθείας και αεροπλάνο . Για να γίνει αυτό, από τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας, περνάμε στις εξισώσεις δύο τεμνόμενων επιπέδων, συνθέτουμε ένα σύστημα εξισώσεων και βρείτε τη λύση του. Χρησιμοποιούμε:

Άρα η προβολή του σημείου στο αεροπλάνο έχει συντεταγμένες.

Απάντηση:

Παράδειγμα.

Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz σε τρισδιάστατο χώρο, σημεία και . Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες της προβολής του σημείου Μ 1 στο επίπεδο ABC.

Απόφαση.

Ας γράψουμε πρώτα την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία:

Ας δούμε όμως μια εναλλακτική προσέγγιση.

Ας πάρουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας a , που διέρχεται από το σημείο και κάθετο στο επίπεδο ABC. Το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου έχει συντεταγμένες, επομένως, το διάνυσμα είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας a . Τώρα μπορούμε να γράψουμε τις παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας στο διάστημα, αφού γνωρίζουμε τις συντεταγμένες ενός σημείου σε μια ευθεία γραμμή ( ) και τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσής του ( ):

Απομένει να καθοριστούν οι συντεταγμένες του σημείου τομής της γραμμής και αεροπλάνα. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε στην εξίσωση του επιπέδου:
.

Τώρα με παραμετρικές εξισώσεις υπολογίστε τις τιμές των μεταβλητών x , y και z στο:
.

Έτσι, η προβολή του σημείου M 1 στο επίπεδο ABC έχει συντεταγμένες.

Απάντηση:

Εν κατακλείδι, ας συζητήσουμε την εύρεση των συντεταγμένων της προβολής κάποιου σημείου στα επίπεδα συντεταγμένων και των επιπέδων παράλληλα με τα επίπεδα συντεταγμένων.

σημειακές προβολές στα επίπεδα συντεταγμένων Oxy , Oxz και Oyz είναι τα σημεία με συντεταγμένες και αντίστοιχα. Και οι προβολές του σημείου στο αεροπλάνο και , που είναι παράλληλα στα επίπεδα συντεταγμένων Oxy , Oxz και Oyz αντίστοιχα, είναι σημεία με συντεταγμένες και .

Ας δείξουμε πώς προέκυψαν αυτά τα αποτελέσματα.

Για παράδειγμα, ας βρούμε την προβολή ενός σημείου στο αεροπλάνο (άλλες περιπτώσεις είναι παρόμοιες με αυτήν).

Αυτό το επίπεδο είναι παράλληλο στο επίπεδο συντεταγμένων Oyz και είναι το κανονικό του διάνυσμα. Το διάνυσμα είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας κάθετης στο επίπεδο Oyz. Τότε οι παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ 1 κάθετο στο δεδομένο επίπεδο έχουν τη μορφή .

Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής της ευθείας και του επιπέδου. Για να γίνει αυτό, πρώτα αντικαθιστούμε στην εξίσωση της ισότητας: , και την προβολή του σημείου

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Ανώτερα μαθηματικά. Τόμος Πρώτος: Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας και Αναλυτικής Γεωμετρίας.

Ilyin V.A., Poznyak E.G. Αναλυτική γεωμετρία.

Ένα σημείο, ως μαθηματική έννοια, δεν έχει διαστάσεις. Προφανώς, αν το αντικείμενο της προβολής είναι ένα αντικείμενο μηδενικών διαστάσεων, τότε δεν έχει νόημα να μιλάμε για την προβολή του.

Εικ.9 Εικ.10

Στη γεωμετρία κάτω από ένα σημείο, είναι σκόπιμο να ληφθεί ένα φυσικό αντικείμενο που έχει γραμμικές διαστάσεις. Συμβατικά, μια μπάλα με απείρως μικρή ακτίνα μπορεί να ληφθεί ως σημείο. Με αυτή την ερμηνεία της έννοιας ενός σημείου, μπορούμε να μιλήσουμε για τις προβολές του.

Κατά την κατασκευή ορθογώνιων προβολών ενός σημείου, θα πρέπει να καθοδηγείται από την πρώτη αμετάβλητη ιδιότητα της ορθογώνιας προβολής: η ορθογώνια προβολή ενός σημείου είναι ένα σημείο.

Η θέση ενός σημείου στο χώρο καθορίζεται από τρεις συντεταγμένες: Χ, Υ, Ω,που δείχνει τις αποστάσεις στις οποίες αφαιρείται το σημείο από τα επίπεδα προβολής. Για να προσδιορίσετε αυτές τις αποστάσεις, αρκεί να προσδιορίσετε τα σημεία συνάντησης αυτών των γραμμών με τα επίπεδα προβολής και να μετρήσετε τις αντίστοιχες τιμές, οι οποίες θα υποδεικνύουν τις τιμές της τετμημένης, αντίστοιχα. Χ, τεταγμένα Υκαι απλικέ Ζσημεία (Εικ. 10).

Η προβολή ενός σημείου είναι η βάση της καθέτου που έπεσε από το σημείο στο αντίστοιχο επίπεδο προβολής. Οριζόντια προβολήσημεία ένακαλούμε την ορθογώνια προβολή ενός σημείου στο οριζόντιο επίπεδο των προβολών, μετωπική προβολή α /- αντίστοιχα στο μετωπικό επίπεδο των προβολών και προφίλ a // –στο επίπεδο προβολής προφίλ.

Απευθείας Αα, Αα /και Αα //ονομάζονται γραμμές προβολής. Ταυτόχρονα, άμεσο Αχ,σημείο προβολής ΑΛΛΑστο οριζόντιο επίπεδο των προβολών, που ονομάζεται οριζόντια προεξέχουσα γραμμή, Αa /και Αα //- αντίστοιχα: μετωπικάκαι ευθείες γραμμές που προβάλλουν προφίλ.

Δύο προεξέχουσες γραμμές που διέρχονται από ένα σημείο ΑΛΛΑορίστε το επίπεδο, το οποίο ονομάζεται προβάλλοντας.

Κατά τη μετατροπή της χωρικής διάταξης, η μετωπική προβολή του σημείου Α - α /παραμένει στη θέση του ως ανήκει σε ένα επίπεδο που δεν αλλάζει τη θέση του υπό τον εξεταζόμενο μετασχηματισμό. Οριζόντια προβολή - έναμαζί με το οριζόντιο επίπεδο προβολής θα στρίβουν προς τη φορά της κίνησης των δεικτών του ρολογιού και θα βρίσκονται σε μία κάθετη προς τον άξονα Χμε μπροστινή προβολή. Προβολή προφίλ - ένα //θα περιστραφεί μαζί με το επίπεδο προφίλ και στο τέλος του μετασχηματισμού θα πάρει τη θέση που υποδεικνύεται στο σχήμα 10. Ταυτόχρονα - ένα //θα είναι κάθετη στον άξονα Ζτραβηγμένο από το σημείο ένα /και θα αφαιρεθεί από τον άξονα Ζτην ίδια απόσταση με την οριζόντια προβολή έναμακριά από τον άξονα Χ. Επομένως, η σύνδεση μεταξύ των οριζόντιων και των προεξοχών προφίλ ενός σημείου μπορεί να δημιουργηθεί χρησιμοποιώντας δύο ορθογώνια τμήματα αα υκαι α ναι //και ένα συζευγμένο τόξο κύκλου με κέντρο στο σημείο τομής των αξόνων ( Ο- προέλευση). Η επισημασμένη σύνδεση χρησιμοποιείται για την εύρεση της προβολής που λείπει (για δύο δεδομένες). Η θέση του προφίλ (οριζόντια) προβολής σύμφωνα με τις δεδομένες οριζόντιες (προφίλ) και μετωπικές προβολές μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας μια ευθεία γραμμή που σχεδιάζεται υπό γωνία 45 0 από την αρχή προς τον άξονα Υ(αυτή η διχοτόμος ονομάζεται ευθεία γραμμή) κείναι η σταθερά Monge). Η πρώτη από αυτές τις μεθόδους είναι προτιμότερη, καθώς είναι πιο ακριβής.

Επομένως:

1. Σημείο στο κενό αφαιρέθηκε:

από το οριζόντιο επίπεδο H Ζ,

από το μετωπικό επίπεδο Vμε την τιμή της δεδομένης συντεταγμένης Υ,

από επίπεδο προφίλ Wαπό την τιμή της συντεταγμένης. Χ.

2. Δύο προβολές οποιουδήποτε σημείου ανήκουν στην ίδια κάθετο (μία γραμμή σύνδεσης):

οριζόντια και μετωπικά - κάθετα στον άξονα Χ,

οριζόντια και προφίλ - κάθετα στον άξονα Υ,

μετωπική και κατατομή - κάθετα στον άξονα Ζ.

3. Η θέση ενός σημείου στο χώρο καθορίζεται πλήρως από τη θέση των δύο ορθογώνιων προεξοχών του. Επομένως - από οποιεσδήποτε δύο δεδομένες ορθογώνιες προβολές ενός σημείου, είναι πάντα δυνατό να κατασκευαστεί η τρίτη προβολή που λείπει.

Αν ένα σημείο έχει τρεις καθορισμένες συντεταγμένες, τότε ένα τέτοιο σημείο ονομάζεται σημείο σε γενική θέση.Αν ένα σημείο έχει μία ή δύο συντεταγμένες ίσες με μηδέν, τότε ένα τέτοιο σημείο ονομάζεται σημείο ιδιωτικής θέσης.

Ρύζι. 11 Εικ. 12

Το Σχήμα 11 δείχνει ένα χωρικό σχέδιο σημείων συγκεκριμένης θέσης, Το Σχήμα 12 δείχνει ένα σύνθετο σχέδιο (διαγράμματα) αυτών των σημείων. Τελεία ΑΛΛΑανήκει στο μετωπικό επίπεδο προβολής, το σημείο ΣΤΟ– οριζόντιο επίπεδο προβολών, σημείο Με– επίπεδο προφίλ προβολών και σημείου ρε– άξονας τετμημένης ( Χ).

Βοηθητική γραμμή πολλαπλών σχεδίων

Στο σχέδιο που φαίνεται στο σχ. 4.7, ένα,σχεδιάζονται άξονες προβολής και οι εικόνες διασυνδέονται με γραμμές επικοινωνίας. Οι οριζόντιες προβολές και οι προβολές προφίλ συνδέονται με γραμμές επικοινωνίας χρησιμοποιώντας τόξα κεντραρισμένα σε ένα σημείο Οδιασταυρώσεις αξόνων. Ωστόσο, στην πράξη χρησιμοποιείται και μια άλλη υλοποίηση του ολοκληρωμένου σχεδίου.

Σε σχέδια χωρίς άξονα, οι εικόνες τοποθετούνται επίσης σε σχέση προβολής. Ωστόσο, η τρίτη προβολή μπορεί να τοποθετηθεί πιο κοντά ή πιο μακριά. Για παράδειγμα, μια προβολή προφίλ μπορεί να τοποθετηθεί στα δεξιά (Εικ. 4.7, β, II) ή προς τα αριστερά (Εικ. 4.7, β, Ι). Αυτό είναι σημαντικό για την εξοικονόμηση χώρου και την ευκολία διαστασιολόγησης.

Ρύζι. 4.7.

Εάν σε ένα σχέδιο που γίνεται σύμφωνα με ένα σύστημα χωρίς άξονα απαιτείται η χάραξη γραμμών επικοινωνίας μεταξύ της επάνω όψης και της αριστερής όψης, τότε χρησιμοποιείται μια βοηθητική ευθεία γραμμή του σύνθετου σχεδίου. Για να γίνει αυτό, περίπου στο επίπεδο της κάτοψης και ελαφρώς προς τα δεξιά της, σχεδιάζεται μια ευθεία γραμμή υπό γωνία 45 ° ως προς το πλαίσιο σχεδίασης (Εικ. 4.8, ένα). Ονομάζεται βοηθητική γραμμή του μιγαδικού σχεδίου. Η διαδικασία για την κατασκευή ενός σχεδίου χρησιμοποιώντας αυτή την ευθεία γραμμή φαίνεται στο σχ. 4.8, προ ΧΡΙΣΤΟΥ.

Εάν έχουν ήδη κατασκευαστεί τρεις όψεις (Εικ. 4.8, δ), τότε η θέση της βοηθητικής γραμμής δεν μπορεί να επιλεγεί αυθαίρετα. Πρώτα πρέπει να βρείτε το σημείο από το οποίο θα περάσει. Για να γίνει αυτό, αρκεί να συνεχίσουμε μέχρι την αμοιβαία τομή του άξονα συμμετρίας των οριζόντιων και προφίλ προβολών και μέσω του σημείου που προκύπτει κσχεδιάστε ένα ευθύγραμμο τμήμα υπό γωνία 45 ° (Εικ. 4.8, ρε). Εάν δεν υπάρχουν άξονες συμμετρίας, τότε συνεχίστε μέχρι τη διασταύρωση στο σημείο κ 1 οριζόντιες και προφίλ προβολές οποιασδήποτε όψης που προβάλλονται ως ευθεία γραμμή (Εικ. 4.8, ρε).

Ρύζι. 4.8.

Η ανάγκη σχεδίασης γραμμών επικοινωνίας και, κατά συνέπεια, μιας βοηθητικής ευθείας, προκύπτει κατά την κατασκευή προβολών που λείπουν και κατά την εκτέλεση σχεδίων στα οποία είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι προβολές των σημείων για να διευκρινιστούν οι προβολές μεμονωμένων στοιχείων του τμήματος.

Παραδείγματα χρήσης της βοηθητικής γραμμής δίνονται στην επόμενη παράγραφο.

Προβολές ενός σημείου που βρίσκεται στην επιφάνεια ενός αντικειμένου

Προκειμένου να δημιουργηθούν σωστά προβολές μεμονωμένων στοιχείων ενός τμήματος κατά τη δημιουργία σχεδίων, είναι απαραίτητο να μπορείτε να βρείτε προβολές μεμονωμένων σημείων σε όλες τις εικόνες σχεδίασης. Για παράδειγμα, είναι δύσκολο να σχεδιάσετε μια οριζόντια προβολή του τμήματος που φαίνεται στο Σχ. 4.9 χωρίς χρήση των προβολών μεμονωμένων σημείων ( Α, Β, Γ, Δ, Εκαι τα λοιπά.). Η δυνατότητα εύρεσης όλων των προβολών σημείων, άκρων, προσώπων είναι επίσης απαραίτητη για την αναδημιουργία στη φαντασία του σχήματος ενός αντικειμένου σύμφωνα με τις επίπεδες εικόνες του στο σχέδιο, καθώς και για τον έλεγχο της ορθότητας του ολοκληρωμένου σχεδίου.

Ρύζι. 4.9.

Ας εξετάσουμε τρόπους εύρεσης της δεύτερης και της τρίτης προβολής ενός σημείου που δίνεται στην επιφάνεια ενός αντικειμένου.

Αν στο σχέδιο ενός αντικειμένου δίνεται μία προβολή ενός σημείου, τότε είναι απαραίτητο να βρεθούν πρώτα οι προεξοχές της επιφάνειας στην οποία βρίσκεται αυτό το σημείο. Στη συνέχεια, επιλέξτε μία από τις δύο μεθόδους που περιγράφονται παρακάτω για την επίλυση του προβλήματος.

Πρώτος τρόπος

Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν τουλάχιστον μία από τις προεξοχές δείχνει τη δεδομένη επιφάνεια ως γραμμή.

Στο σχ. 4.10, έναφαίνεται ένας κύλινδρος, στην μετωπική προβολή του οποίου τίθεται η προβολή ένα"σημεία ΑΛΛΑ,που βρίσκεται στο ορατό μέρος της επιφάνειάς του (οι δεδομένες προεξοχές σημειώνονται με διπλούς έγχρωμους κύκλους). Να βρείτε την οριζόντια προβολή ενός σημείου ΑΛΛΑ,υποστηρίζουν ως εξής: το σημείο βρίσκεται στην επιφάνεια του κυλίνδρου, του οποίου η οριζόντια προβολή είναι κύκλος. Αυτό σημαίνει ότι η προβολή ενός σημείου που βρίσκεται σε αυτή την επιφάνεια θα βρίσκεται επίσης στον κύκλο. Σχεδιάστε μια γραμμή επικοινωνίας και σημειώστε το επιθυμητό σημείο στην τομή του με τον κύκλο ένα.τρίτη προβολή ένα"

Ρύζι. 4.10.

Αν το σημείο ΣΤΟ,που βρίσκεται στην επάνω βάση του κυλίνδρου, που δίνεται από την οριζόντια προβολή του σι,τότε οι γραμμές επικοινωνίας σύρονται στη διασταύρωση με ευθύγραμμα τμήματα που απεικονίζουν τις μετωπικές και προφίλ προεξοχές της άνω βάσης του κυλίνδρου.

Στο σχ. 4.10, β δείχνει τη λεπτομέρεια - έμφαση. Να κατασκευάσει προβολές ενός σημείου ΑΛΛΑ,δίνεται από την οριζόντια προβολή του ένα,βρείτε δύο άλλες προβολές της άνω όψης (στην οποία βρίσκεται το σημείο ΑΛΛΑ) και, σχεδιάζοντας τις γραμμές σύνδεσης στη διασταύρωση με τα γραμμικά τμήματα που απεικονίζουν αυτή την όψη, προσδιορίστε τις επιθυμητές προεξοχές - σημεία ένα"και ένα".Τελεία ΣΤΟβρίσκεται στην αριστερή πλευρά κάθετη όψη, πράγμα που σημαίνει ότι οι προβολές του θα βρίσκονται επίσης στις προεξοχές αυτής της όψης. Άρα από ένα δεδομένο σημείο σι"σχεδιάστε γραμμές επικοινωνίας (όπως υποδεικνύεται με βέλη) μέχρι να συναντηθούν με τμήματα γραμμής που απεικονίζουν αυτό το πρόσωπο. μετωπική προβολή με"σημεία ΜΕ,που βρίσκονται σε κεκλιμένο (στο διάστημα) πρόσωπο, βρίσκονται στη γραμμή που απεικονίζει αυτό το πρόσωπο και το προφίλ με"- στη διασταύρωση της γραμμής σύνδεσης, αφού η προβολή προφίλ αυτής της όψης δεν είναι γραμμή, αλλά σχήμα. Κατασκευή σημειακών προβολών ρεφαίνεται με βέλη.

Δεύτερος τρόπος

Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν η πρώτη μέθοδος δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Τότε θα πρέπει να κάνετε αυτό:

• σχεδιάστε μέσα από τη δεδομένη προβολή του σημείου την προβολή της βοηθητικής γραμμής που βρίσκεται στη δεδομένη επιφάνεια.
• βρείτε τη δεύτερη προβολή αυτής της γραμμής.
• στην ευρεθείσα προβολή της γραμμής, μεταφέρετε τη δεδομένη προβολή του σημείου (αυτό θα καθορίσει τη δεύτερη προβολή του σημείου).
• βρείτε την τρίτη προβολή (εάν απαιτείται) στη διασταύρωση των γραμμών επικοινωνίας.

Στο σχ. 4.10, δίνεται μετωπική προβολή ένα"σημεία ΑΛΛΑ,που βρίσκεται στο ορατό μέρος της επιφάνειας του κώνου. Να βρείτε την οριζόντια προβολή μέσα από ένα σημείο ένα"πραγματοποιήστε μια μετωπική προβολή μιας βοηθητικής ευθείας γραμμής που διέρχεται από το σημείο ΑΛΛΑκαι την κορυφή του κώνου. Παίρνω έναν βαθμό Vείναι η προβολή του σημείου συνάντησης της γραμμένης γραμμής με τη βάση του κώνου. Έχοντας μετωπικές προβολές σημείων που βρίσκονται σε ευθεία γραμμή, μπορεί κανείς να βρει τις οριζόντιες προβολές τους. Οριζόντια προβολή μικρόη κορυφή του κώνου είναι γνωστή. Τελεία σιβρίσκεται στην περιφέρεια της βάσης. Ένα ευθύγραμμο τμήμα σχεδιάζεται μέσα από αυτά τα σημεία και ένα σημείο μεταφέρεται σε αυτό (όπως φαίνεται από το βέλος). ένα",να πάρει έναν βαθμό ένα.Τρίτη προβολή ένα"σημεία ΑΛΛΑπου βρίσκεται στο σταυροδρόμι.

Το ίδιο πρόβλημα μπορεί να λυθεί διαφορετικά (Εικ. 4.10, σολ).

Ως βοηθητική γραμμή που διέρχεται από ένα σημείο ΑΛΛΑ,δεν παίρνουν μια ευθεία γραμμή, όπως στην πρώτη περίπτωση, αλλά έναν κύκλο. Ο κύκλος αυτός σχηματίζεται αν στο σημείο ΑΛΛΑτέμνει τον κώνο με ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση, όπως φαίνεται στην οπτική παράσταση. Η μετωπική προβολή αυτού του κύκλου θα απεικονίζεται ως ευθύγραμμο τμήμα, αφού το επίπεδο του κύκλου είναι κάθετο στο μετωπικό επίπεδο προβολής. Η οριζόντια προβολή ενός κύκλου έχει διάμετρο ίση με το μήκος αυτού του τμήματος. Περιγράφοντας έναν κύκλο της καθορισμένης διαμέτρου, σχεδιάστε από ένα σημείο ένα"γραμμή σύνδεσης στη διασταύρωση με τον βοηθητικό κύκλο, αφού η οριζόντια προβολή ένασημεία ΑΛΛΑβρίσκεται στη βοηθητική γραμμή, δηλ. στον κατασκευασμένο κύκλο. τρίτη προβολή όπως και"σημεία ΑΛΛΑπου βρέθηκε στη διασταύρωση των γραμμών επικοινωνίας.

Με τον ίδιο τρόπο, μπορείτε να βρείτε τις προβολές ενός σημείου που βρίσκεται σε μια επιφάνεια, για παράδειγμα, μια πυραμίδα. Η διαφορά θα είναι ότι όταν διασχίζεται από ένα οριζόντιο επίπεδο, δεν σχηματίζεται κύκλος, αλλά ένα σχήμα παρόμοιο με τη βάση.

Στόχοι:

• Μελέτη των κανόνων κατασκευής προβολών σημείων στην επιφάνεια ενός αντικειμένου και ανάγνωση σχεδίων.
• Αναπτύξτε τη χωρική σκέψη, την ικανότητα ανάλυσης του γεωμετρικού σχήματος ενός αντικειμένου.
• Να καλλιεργήσουν την εργατικότητα, την ικανότητα συνεργασίας όταν εργάζονται σε ομάδες, το ενδιαφέρον για το αντικείμενο.

ΚΑΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΣΚΗΝΩΤΩ. ΚΙΝΗΤΡΟ ΜΑΘΗΣΙΑΚΩΝ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ.

ΙΙ ΣΤΑΔΙΟ. ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΝΩΣΕΩΝ, ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ.

ΠΑΥΣΗ ΓΙΑ ΕΞΟΙΚΟΝΟΜΗΣΗ ΥΓΕΙΑΣ. ΑΝΤΑΚΛΑΣΗ (ΔΙΑΘΕΣΗ)

ΣΤΑΔΙΟ III. ΑΤΟΜΙΚΗ ΔΟΥΛΕΙΑ.

ΣΚΗΝΩΤΩ. ΚΙΝΗΤΡΟ ΜΑΘΗΣΙΑΚΩΝ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ

1) Δάσκαλος:Ελέγξτε τον χώρο εργασίας σας, είναι όλα στη θέση τους; Είναι όλοι έτοιμοι να πάνε;

ΕΙΝΑΙ ΒΑΘΙΑ ΑΝΑΠΝΟΗ, ΚΡΑΤΗΣΕ ΤΗΝ ΑΝΑΠΝΟΗ ΣΤΗΝ ΕΞΑΤΜΙΣΗ, ΕΚΣΠΝΕ.

Καθορίστε τη διάθεσή σας στην αρχή του μαθήματος σύμφωνα με το σχήμα (ένα τέτοιο σχέδιο είναι στο τραπέζι για όλους)

ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΙ ΚΑΛΗ ΤΥΧΗ.

2)Δάσκαλος: Πρακτική εργασία με θέμα " Projections of Vertices, Edges, Faces” έδειξε ότι υπάρχουν τύποι που κάνουν λάθη κατά την προβολή. Μπερδεύονται ποιο από τα δύο σημεία που ταιριάζουν στο σχέδιο είναι η ορατή κορυφή και ποιο η αόρατη. όταν η άκρη είναι παράλληλη με το επίπεδο και όταν είναι κάθετη. Το ίδιο και με τις άκρες.

Για να αποφύγετε την επανάληψη λαθών, ολοκληρώστε τις απαραίτητες εργασίες χρησιμοποιώντας τη συμβουλευτική κάρτα και διορθώστε τα λάθη στην πρακτική εργασία (με το χέρι). Και καθώς εργάζεστε, να θυμάστε:

«Ο ΚΑΘΕΝΑΣ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΚΑΝΕΙ ΛΑΘΗ, ΜΕΙΝΕ ΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΤΟΥ - ΜΟΝΟ Ο ΤΡΕΛΟΣ».

Και όσοι έχουν κατακτήσει καλά το θέμα θα εργαστούν σε ομάδες με δημιουργικές εργασίες (βλ. Παράρτημα 1 ).

ΙΙ ΣΤΑΔΙΟ. ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΝΩΣΕΩΝ, ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ

1)Δάσκαλος:Στην παραγωγή, υπάρχουν πολλά μέρη που συνδέονται μεταξύ τους με συγκεκριμένο τρόπο.
Για παράδειγμα:
Το κάλυμμα της επιφάνειας εργασίας είναι προσαρτημένο στις κάθετες θέσεις. Δώστε προσοχή στο τραπέζι στο οποίο βρίσκεστε, πώς και με τι συνδέονται το καπάκι και οι σχάρες μεταξύ τους;

Απάντηση:Μπουλόνι.

Δάσκαλος:Τι απαιτείται για ένα μπουλόνι;

Απάντηση:Τρύπα.

Δάσκαλος:Πραγματικά. Και για να κάνετε μια τρύπα, πρέπει να γνωρίζετε τη θέση της στο προϊόν. Όταν φτιάχνει ένα τραπέζι, ο μάστορας δεν μπορεί να επικοινωνεί με τον πελάτη κάθε φορά. Λοιπόν, ποια είναι η ανάγκη παροχής ξυλουργού;

Απάντηση:Σχέδιο.

Δάσκαλος:Σχέδιο!? Τι ονομάζουμε σχέδιο;

Απάντηση:Ένα σχέδιο είναι μια εικόνα ενός αντικειμένου με ορθογώνιες προεξοχές σε μια σύνδεση προβολής. Σύμφωνα με το σχέδιο, μπορείτε να αναπαραστήσετε το γεωμετρικό σχήμα και το σχέδιο του προϊόντος.

Δάσκαλος:Έχουμε ολοκληρώσει ορθογώνιες προβολές και μετά; Θα μπορέσουμε να προσδιορίσουμε τη θέση των οπών από μία προβολή; Τι άλλο πρέπει να ξέρουμε; Τι να μάθετε;

Απάντηση:Χτίστε σημεία. Βρείτε προβολές αυτών των σημείων σε όλες τις προβολές.

Δάσκαλος:Μπράβο! Αυτός είναι ο σκοπός του μαθήματός μας και το θέμα: Κατασκευή προβολών σημείων στην επιφάνεια ενός αντικειμένου.Γράψτε το θέμα του μαθήματος στο τετράδιό σας.
Εσείς και εγώ γνωρίζουμε ότι οποιοδήποτε σημείο ή τμήμα στην εικόνα ενός αντικειμένου είναι μια προβολή μιας κορυφής, μιας άκρης, μιας όψης, δηλ. κάθε προβολή είναι μια εικόνα όχι από τη μία πλευρά (κεφ. όψη, κάτοψη, αριστερή όψη), αλλά ολόκληρο το αντικείμενο.
Για να βρείτε σωστά τις προβολές μεμονωμένων σημείων που βρίσκονται στις όψεις, πρέπει πρώτα να βρείτε τις προβολές αυτού του προσώπου και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε τις γραμμές σύνδεσης για να βρείτε τις προβολές των σημείων.

(Κοιτάμε το σχέδιο στον πίνακα, δουλεύουμε σε ένα τετράδιο όπου στο σπίτι γίνονται 3 προβολές του ίδιου μέρους).

- Άνοιξε ένα σημειωματάριο με ένα ολοκληρωμένο σχέδιο (Εξήγηση της κατασκευής σημείων στην επιφάνεια ενός αντικειμένου με βασικές ερωτήσεις στον πίνακα και οι μαθητές τη διορθώνουν σε ένα τετράδιο.)

Δάσκαλος:Σκεφτείτε ένα σημείο ΣΤΟ. Σε ποιο επίπεδο βρίσκεται η όψη με αυτό το σημείο παράλληλο;

Απάντηση:Το πρόσωπο είναι παράλληλο με το μετωπικό επίπεδο.

Δάσκαλος:Ορίζουμε την προβολή ενός σημείου σι' σε μετωπική προβολή. Τραβήξτε κάτω από το σημείο σι' κάθετη γραμμή επικοινωνίας με την οριζόντια προβολή. Πού θα είναι η οριζόντια προβολή του σημείου; ΣΤΟ?

Απάντηση:Στη διασταύρωση με την οριζόντια προβολή του προσώπου που προβάλλονταν στην άκρη. Και βρίσκεται στο κάτω μέρος της προβολής (προβολή).

Δάσκαλος:Προβολή προφίλ σημείου σι'' που θα βρίσκεται; Πώς θα το βρούμε;

Απάντηση:Στη διασταύρωση της οριζόντιας γραμμής επικοινωνίας από σι' με κάθετη άκρη στα δεξιά. Αυτή η άκρη είναι η προβολή του προσώπου με ένα σημείο ΣΤΟ.

ΟΣΟΙ ΘΕΛΟΥΝ ΝΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΟΥΝ ΤΗΝ ΕΠΟΜΕΝΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΚΑΛΟΥΝΤΑΙ ΣΤΟ Δ.Σ.

Δάσκαλος:Σημειακές προβολές ΑΛΛΑβρίσκονται επίσης χρησιμοποιώντας γραμμές επικοινωνίας. Ποιο επίπεδο είναι παράλληλο στην άκρη με σημείο ΑΛΛΑ?

Απάντηση:Η όψη είναι παράλληλη με το επίπεδο προφίλ. Βάζουμε ένα σημείο στην προβολή προφίλ ένα'' .

Δάσκαλος:Σε ποια προβολή προβάλλεται το πρόσωπο στην άκρη;

Απάντηση:Στο μπροστινό μέρος και οριζόντια. Ας σχεδιάσουμε μια οριζόντια γραμμή σύνδεσης στη διασταύρωση με μια κάθετη άκρη στα αριστερά στην μετωπική προβολή, παίρνουμε ένα σημείο ένα' .

Δάσκαλος:Πώς να βρείτε την προβολή ενός σημείου ΑΛΛΑσε οριζόντια προβολή; Άλλωστε γραμμές επικοινωνίας από την προβολή σημείων ένα' και ένα'' μην τέμνει την προβολή του προσώπου (άκρη) στην οριζόντια προβολή στα αριστερά. Τι μπορεί να μας βοηθήσει;

Απάντηση:Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια σταθερή ευθεία γραμμή (καθορίζει τη θέση της προβολής στα αριστερά) από ένα'' σχεδιάστε μια κάθετη γραμμή επικοινωνίας μέχρι να τέμνεται με μια σταθερή ευθεία γραμμή. Από το σημείο τομής χαράσσεται μια οριζόντια γραμμή επικοινωνίας, έως ότου τέμνεται με κάθετη άκρη στα αριστερά. (Αυτή είναι η όψη με σημείο Α) και δηλώνει την προβολή με σημείο ένα .

2) Δάσκαλος:Όλοι έχουν μια κάρτα εργασιών στο τραπέζι, με ένα χαρτί εντοπισμού. Σκεφτείτε το σχέδιο, τώρα προσπαθήστε μόνοι σας, χωρίς να ξανασχεδιάσετε τις προβολές, να βρείτε τις δεδομένες προβολές σημείων στο σχέδιο.

– Βρείτε στο σχολικό βιβλίο σελ. 76 εικ. 93. Δοκιμάστε τον εαυτό σας. Ποιος εκτέλεσε σωστά - σκοράρει "5" "; ένα λάθος - "4"; δύο - "3".

(Οι βαθμοί ορίζονται από τους ίδιους τους μαθητές στο φύλλο αυτοελέγχου).

- Συλλέξτε κάρτες για δοκιμή.

3)Ομαδική δουλειά:Περιορισμένος χρόνος: 4 λεπτά. + 2 λεπτά. επιταγές. (Συνδυάζονται δύο θρανία με μαθητές και επιλέγεται ένας αρχηγός εντός της ομάδας).

Για κάθε ομάδα, οι εργασίες κατανέμονται σε 3 επίπεδα. Οι μαθητές επιλέγουν εργασίες ανά επίπεδα, (όπως θέλουν). Επίλυση προβλημάτων στην κατασκευή σημείων. Συζητήστε την κατασκευή υπό την επίβλεψη του αρχηγού. Στη συνέχεια η σωστή απάντηση εμφανίζεται στον πίνακα με τη βοήθεια ενός κωδικοσκοπίου. Όλοι ελέγχουν ότι τα σημεία προβάλλονται σωστά. Με τη βοήθεια του αρχηγού της ομάδας, βαθμολογούνται σε εργασίες και σε φύλλα αυτοελέγχου (βλ. Παράρτημα 2 και Παράρτημα 3 ).

ΠΑΥΣΗ ΓΙΑ ΕΞΟΙΚΟΝΟΜΗΣΗ ΥΓΕΙΑΣ. ΑΝΤΑΝΑΚΛΑΣΗ

"Η πόζα του Φαραώ"- Καθίστε στην άκρη μιας καρέκλας, ισιώστε την πλάτη σας, λυγίστε τα χέρια σας στους αγκώνες, σταυρώστε τα πόδια σας και φορέστε τα δάχτυλα των ποδιών σας. Εισπνεύστε, σφίξτε όλους τους μύες του σώματος κρατώντας την αναπνοή, εκπνεύστε. Κάντε 2-3 φορές. Κλείσε τα μάτια σου σφιχτά, στα αστέρια, ανοιχτά. Σημειώστε τη διάθεσή σας.

ΣΤΑΔΙΟ III. ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ. (Ατομικές εργασίες)

Υπάρχουν κάρτες εργασιών για να διαλέξετε με διαφορετικά επίπεδα. Οι μαθητές επιλέγουν τη δική τους επιλογή. Βρείτε προβολές σημείων στην επιφάνεια ενός αντικειμένου. Οι εργασίες παραδίδονται και αξιολογούνται για το επόμενο μάθημα. (Εκ. Παράρτημα 4 , Παράρτημα 5 , Παράρτημα 6 ).

ΣΤΑΔΙΟ IV. ΤΕΛΙΚΟΣ

1) Εργασία για το σπίτι. (Εντολή).Εκτελούνται κατά επίπεδα:

Β - κατανόηση, στο "3". Άσκηση 1 εικ. 94α σελ. 77 - σύμφωνα με την εργασία του σχολικού βιβλίου: συμπληρώστε τις προβολές σημείων που λείπουν σε αυτές τις προβολές.

Β - εφαρμογή, στο "4". Άσκηση 1 Εικ. 94 α, β. συμπληρώστε τις προβολές που λείπουν και σημειώστε τις κορυφές στην οπτική εικόνα στα 94α και 94β.

Α - ανάλυση, στο "5". (Αυξημένη δυσκολία.)Πρώην. 4 εικ.97 - κατασκευάστε προβολές σημείων που λείπουν και ορίστε τα με γράμματα. Δεν υπάρχει οπτική εικόνα.

2)Ανακλαστική ανάλυση.

1. Προσδιορίστε τη διάθεση στο τέλος του μαθήματος, σημειώστε τη στο φύλλο αυτοελέγχου με οποιοδήποτε σημάδι.
2. Τι καινούργιο μάθατε στο μάθημα σήμερα;
3. Ποια μορφή εργασίας είναι πιο αποτελεσματική για εσάς: ομαδική, ατομική και θα θέλατε να επαναληφθεί στο επόμενο μάθημα;
4. Συλλέξτε λίστες ελέγχου.

3)"Λάθος δάσκαλος"

Δάσκαλος:Έχετε μάθει πώς να δημιουργείτε προβολές κορυφών, ακμών, όψεων και σημείων στην επιφάνεια ενός αντικειμένου, ακολουθώντας όλους τους κατασκευαστικούς κανόνες. Αλλά εδώ σας δόθηκε ένα σχέδιο, όπου υπάρχουν λάθη. Τώρα δοκιμάστε τον εαυτό σας ως δάσκαλος. Βρείτε τα λάθη μόνοι σας, εάν βρείτε και τα 8-6 λάθη, τότε η βαθμολογία είναι "5", αντίστοιχα. 5–4 σφάλματα - "4", 3 σφάλματα - "3".

Απαντήσεις:

Εξετάστε το επίπεδο προφίλ των προβολών. Οι προβολές σε δύο κάθετα επίπεδα συνήθως καθορίζουν τη θέση του σχήματος και καθιστούν δυνατό να μάθουμε τις πραγματικές διαστάσεις και το σχήμα του. Υπάρχουν όμως στιγμές που δύο προβολές δεν αρκούν. Στη συνέχεια εφαρμόστε την κατασκευή της τρίτης προβολής.

Το τρίτο επίπεδο προβολής εκτελείται έτσι ώστε να είναι κάθετο και στα δύο επίπεδα προβολής ταυτόχρονα (Εικ. 15). Το τρίτο επίπεδο ονομάζεται Προφίλ.

Σε τέτοιες κατασκευές ονομάζεται η κοινή γραμμή του οριζόντιου και του μετωπικού επιπέδου άξονας Χ , η κοινή γραμμή του οριζόντιου και του επιπέδου προφίλ - άξονας στο και η κοινή ευθεία γραμμή του μετωπιαίου και προφίλ επιπέδου - άξονας z . Τελεία Ο, που ανήκει και στα τρία επίπεδα, ονομάζεται σημείο προέλευσης.

Το Σχήμα 15α δείχνει το σημείο ΑΛΛΑκαι τρεις από τις προβολές του. Προβολή στο επίπεδο προφίλ ( ένα) λέγονται προβολή προφίλκαι δηλώνουν ένα.

Για να λάβετε ένα διάγραμμα του σημείου Α, το οποίο αποτελείται από τρεις προβολές α, α, είναι απαραίτητο να κόψουμε το τρίεδρο που σχηματίζεται από όλα τα επίπεδα κατά μήκος του άξονα y (Εικ. 15β) και να συνδυάσουμε όλα αυτά τα επίπεδα με το επίπεδο της μετωπικής προβολής. Το οριζόντιο επίπεδο πρέπει να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Χ, και το επίπεδο προφίλ είναι κοντά στον άξονα zπρος την κατεύθυνση που υποδεικνύεται από το βέλος στην Εικόνα 15.

Το σχήμα 16 δείχνει τη θέση των προεξοχών α, ακαι ένασημεία ΑΛΛΑ, που προέκυψε ως αποτέλεσμα του συνδυασμού και των τριών επιπέδων με το επίπεδο σχεδίασης.

Ως αποτέλεσμα της κοπής, ο άξονας y εμφανίζεται στο διάγραμμα σε δύο διαφορετικά σημεία. Σε οριζόντιο επίπεδο (Εικ. 16), παίρνει κατακόρυφη θέση (κάθετα στον άξονα Χ), και στο επίπεδο προφίλ - οριζόντια (κάθετα στον άξονα z).

Το Σχήμα 16 δείχνει τρεις προβολές α, ακαι έναΤα σημεία Α έχουν μια αυστηρά καθορισμένη θέση στο διάγραμμα και υπόκεινται σε σαφείς προϋποθέσεις:

ένακαι έναπρέπει πάντα να βρίσκεται σε μία κάθετη ευθεία κάθετη στον άξονα Χ;

ένακαι έναπρέπει πάντα να βρίσκεται στην ίδια οριζόντια γραμμή κάθετα στον άξονα z;

3) όταν σχεδιάζεται μέσω μιας οριζόντιας προβολής και μιας οριζόντιας γραμμής, αλλά μέσω μιας προβολής προφίλ ένα- μια κατακόρυφη ευθεία γραμμή, οι κατασκευασμένες γραμμές θα τέμνονται απαραίτητα στη διχοτόμο της γωνίας μεταξύ των αξόνων προβολής, αφού το σχήμα Οαστο ένα 0 ένα n είναι ένα τετράγωνο.

Κατά την κατασκευή τριών προβολών ενός σημείου, είναι απαραίτητο να ελέγχεται η εκπλήρωση και των τριών προϋποθέσεων για κάθε σημείο.

Συντεταγμένες σημείων

Η θέση ενός σημείου στο χώρο μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τρεις αριθμούς που ονομάζονται του συντεταγμένες. Κάθε συντεταγμένη αντιστοιχεί στην απόσταση ενός σημείου από κάποιο επίπεδο προβολής.

Απόσταση σημείου ΑΛΛΑστο επίπεδο προφίλ είναι η συντεταγμένη Χ, όπου Χ = a˝A(Εικ. 15), η απόσταση από το μετωπικό επίπεδο - από τη συντεταγμένη y, και y = αα, και η απόσταση από το οριζόντιο επίπεδο είναι η συντεταγμένη z, όπου z = αΑ.

Στο Σχήμα 15, το σημείο Α καταλαμβάνει το πλάτος ενός ορθογώνιου πλαισίου και οι μετρήσεις αυτού του πλαισίου αντιστοιχούν στις συντεταγμένες αυτού του σημείου, δηλ. καθεμία από τις συντεταγμένες παρουσιάζεται στο Σχήμα 15 τέσσερις φορές, δηλ.:

x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;

y = άΑ = Οα y = a x a = a z a˝;

z = aA = Oa z = a x a′ = a y a˝.

Στο διάγραμμα (Εικ. 16), οι συντεταγμένες x και z εμφανίζονται τρεις φορές:

x \u003d a z a ́ \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x á = Oa z = a y a˝.

Όλα τα τμήματα που αντιστοιχούν στη συντεταγμένη Χ(ή z) είναι παράλληλες μεταξύ τους. Συντεταγμένη στοαντιπροσωπεύεται δύο φορές από τον κατακόρυφο άξονα:

y \u003d Oa y \u003d a x a

και δύο φορές - βρίσκεται οριζόντια:

y \u003d Oa y \u003d a z a˝.

Αυτή η διαφορά εμφανίστηκε λόγω του γεγονότος ότι ο άξονας y υπάρχει στο διάγραμμα σε δύο διαφορετικές θέσεις.

Πρέπει να σημειωθεί ότι η θέση κάθε προβολής καθορίζεται στο διάγραμμα από δύο μόνο συντεταγμένες, και συγκεκριμένα:

1) οριζόντια - συντεταγμένες Χκαι στο,

2) μετωπική - συντεταγμένες Χκαι z,

3) προφίλ - συντεταγμένες στοκαι z.

Χρήση συντεταγμένων x, yκαι z, μπορείτε να δημιουργήσετε προβολές ενός σημείου στο διάγραμμα.

Εάν το σημείο Α δίνεται με συντεταγμένες, η εγγραφή τους ορίζεται ως εξής: Α ( Χ; y; z).

Κατά την κατασκευή σημειακών προβολών ΑΛΛΑπρέπει να ελέγχονται οι ακόλουθες συνθήκες:

1) οριζόντιες και μετωπικές προβολές ένακαι ένα Χ Χ;

2) μετωπικές και προβολές προφίλ ένακαι έναθα πρέπει να βρίσκεται στην ίδια κάθετη προς τον άξονα z, αφού έχουν κοινή συντεταγμένη z;

3) οριζόντια προβολή και αφαιρείται επίσης από τον άξονα Χ, όπως η προβολή προφίλ έναμακριά από τον άξονα z, αφού οι προβολές a′ και a˝ έχουν κοινή συντεταγμένη στο.

Εάν το σημείο βρίσκεται σε οποιοδήποτε από τα επίπεδα προβολής, τότε μία από τις συντεταγμένες του είναι ίση με μηδέν.

Όταν ένα σημείο βρίσκεται στον άξονα προβολής, οι δύο συντεταγμένες του είναι μηδέν.

Αν ένα σημείο βρίσκεται στην αρχή, και οι τρεις συντεταγμένες του είναι μηδέν.

Προβολή ευθείας γραμμής

Για τον καθορισμό μιας γραμμής χρειάζονται δύο σημεία. Ένα σημείο ορίζεται από δύο προεξοχές στο οριζόντιο και στο μετωπικό επίπεδο, δηλαδή, μια ευθεία γραμμή προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τις προβολές των δύο σημείων του στο οριζόντιο και στο μετωπικό επίπεδο.

Το σχήμα 17 δείχνει προβολές ( ένακαι α, βκαι σι) δύο σημεία ΑΛΛΑκαι Β. Με τη βοήθειά τους η θέση κάποιας ευθείας ΑΒ. Όταν συνδέετε τις ομώνυμες προβολές αυτών των σημείων (δηλ. ένακαι β, ακαι σι) μπορείτε να λάβετε προβολές αβκαι αβαπευθείας ΑΒ.

Το Σχήμα 18 δείχνει τις προβολές και των δύο σημείων και το Σχήμα 19 δείχνει τις προβολές μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από αυτά.

Εάν οι προβολές μιας ευθείας γραμμής καθορίζονται από τις προβολές των δύο σημείων της, τότε συμβολίζονται με δύο παρακείμενα λατινικά γράμματα που αντιστοιχούν στους χαρακτηρισμούς των προβολών των σημείων που λαμβάνονται στην ευθεία: με πινελιές για να υποδεικνύεται η μετωπική προβολή του ευθεία γραμμή ή χωρίς πινελιές - για την οριζόντια προβολή.

Αν λάβουμε υπόψη όχι μεμονωμένα σημεία μιας ευθείας γραμμής, αλλά τις προβολές της στο σύνολό τους, τότε αυτές οι προβολές υποδεικνύονται με αριθμούς.

Αν κάποιο σημείο Μεβρίσκεται σε ευθεία γραμμή ΑΒ, οι προβολές του σ και σ ́ βρίσκονται στις προβολές της ίδιας ευθείας αβκαι αβ. Το Σχήμα 19 απεικονίζει αυτήν την κατάσταση.

Ίσια ίχνη

ίχνος ευθεία- αυτό είναι το σημείο τομής του με κάποιο επίπεδο ή επιφάνεια (Εικ. 20).

Οριζόντια διαδρομή ευθείακάποιο σημείο λέγεται Hόπου η γραμμή συναντά το οριζόντιο επίπεδο, και μετωπικός- τελεία V, στην οποία αυτή η ευθεία γραμμή συναντά το μετωπικό επίπεδο (Εικ. 20).

Το Σχήμα 21α δείχνει το οριζόντιο ίχνος μιας ευθείας γραμμής και το μετωπικό ίχνος της, στο Σχήμα 21β.

Μερικές φορές λαμβάνεται υπόψη και το ίχνος προφίλ μιας ευθείας γραμμής, W- το σημείο τομής μιας ευθείας με ένα επίπεδο προφίλ.

Το οριζόντιο ίχνος βρίσκεται στο οριζόντιο επίπεδο, δηλαδή η οριζόντια προβολή του ησυμπίπτει με αυτό το ίχνος, και το μετωπικό ηβρίσκεται στον άξονα x. Το μετωπικό ίχνος βρίσκεται στο μετωπικό επίπεδο, έτσι η μετωπική του προβολή ν́ συμπίπτει με αυτό και η οριζόντια v βρίσκεται στον άξονα x.

Ετσι, H = η, και V= v. Επομένως, για να δηλώσετε ίχνη ευθείας γραμμής, μπορούν να χρησιμοποιηθούν γράμματα ηκαι v.

Διάφορες θέσεις της γραμμής

Η ευθεία λέγεται άμεση γενική θέση, εάν δεν είναι ούτε παράλληλο ούτε κάθετο σε κάποιο από τα επίπεδα προβολής. Οι προβολές μιας ευθείας σε γενική θέση δεν είναι επίσης ούτε παράλληλες ούτε κάθετες στους άξονες προβολής.

Ευθείες γραμμές που είναι παράλληλες σε ένα από τα επίπεδα προβολής (κάθετες σε έναν από τους άξονες).Το σχήμα 22 δείχνει μια ευθεία γραμμή που είναι παράλληλη στο οριζόντιο επίπεδο (κάθετη στον άξονα z), είναι μια οριζόντια ευθεία γραμμή. Το σχήμα 23 δείχνει μια ευθεία γραμμή που είναι παράλληλη στο μετωπικό επίπεδο (κάθετη στον άξονα στο), είναι η μετωπική ευθεία γραμμή. Το σχήμα 24 δείχνει μια ευθεία γραμμή που είναι παράλληλη στο επίπεδο προφίλ (κάθετη στον άξονα Χ), είναι μια ευθεία γραμμή προφίλ. Παρά το γεγονός ότι καθεμία από αυτές τις γραμμές σχηματίζει ορθή γωνία με έναν από τους άξονες, δεν τον τέμνουν, αλλά τέμνονται μόνο με αυτόν.

Λόγω του γεγονότος ότι η οριζόντια γραμμή (Εικ. 22) είναι παράλληλη με το οριζόντιο επίπεδο, οι μετωπικές προεξοχές και οι προβολές προφίλ της θα είναι παράλληλες με τους άξονες που ορίζουν το οριζόντιο επίπεδο, δηλαδή τους άξονες Χκαι στο. Επομένως προβολές αβ|| Χκαι a˝b˝|| στο z. Η οριζόντια προβολή ab μπορεί να πάρει οποιαδήποτε θέση στο οικόπεδο.

Στην μετωπιαία γραμμή (Εικ. 23) προβολή αβ|| x και a˝b˝ || z, δηλαδή είναι κάθετα στον άξονα στο, και επομένως σε αυτή την περίπτωση η μετωπική προβολή αβη γραμμή μπορεί να πάρει οποιαδήποτε θέση.

Στη γραμμή προφίλ (Εικ. 24) αβ|| y, ab|| z, και τα δύο είναι κάθετα στον άξονα x. Προβολή a˝b˝μπορεί να τοποθετηθεί στο διάγραμμα με οποιοδήποτε τρόπο.

Όταν εξετάζετε το επίπεδο που προβάλλει την οριζόντια γραμμή στο μετωπικό επίπεδο (Εικ. 22), μπορείτε να δείτε ότι προβάλλει αυτή τη γραμμή και στο επίπεδο προφίλ, δηλαδή είναι ένα επίπεδο που προβάλλει τη γραμμή σε δύο επίπεδα προβολής ταυτόχρονα - το μετωπικό και το προφίλ. Για το λόγο αυτό ονομάζεται διπλά προεξέχον επίπεδο. Με τον ίδιο τρόπο, για την μετωπική γραμμή (Εικ. 23), το διπλά προεξέχον επίπεδο την προβάλλει στα επίπεδα των οριζόντιων και των προεξοχών προφίλ, και για το προφίλ (Εικ. 23) - στα επίπεδα των οριζόντιων και μετωπικών προβολών .

Δύο προβολές δεν μπορούν να ορίσουν μια ευθεία γραμμή. Δύο προβολές 1 και έναςη ευθεία γραμμή προφίλ (Εικ. 25) χωρίς να προσδιορίζονται οι προβολές δύο σημείων αυτής της ευθείας γραμμής πάνω τους δεν θα καθορίσει τη θέση αυτής της ευθείας στο διάστημα.

Σε ένα επίπεδο που είναι κάθετο σε δύο δεδομένα επίπεδα συμμετρίας, μπορεί να υπάρχει άπειρος αριθμός γραμμών για τις οποίες τα δεδομένα στο διάγραμμα 1 και έναςείναι οι προβολές τους.

Εάν ένα σημείο βρίσκεται σε μια ευθεία, τότε οι προβολές του σε όλες τις περιπτώσεις βρίσκονται στις προβολές με το ίδιο όνομα σε αυτή τη γραμμή. Η αντίθετη κατάσταση δεν ισχύει πάντα για τη γραμμή προφίλ. Στις προβολές του, μπορείτε να υποδείξετε αυθαίρετα τις προβολές ενός συγκεκριμένου σημείου και να μην είστε σίγουροι ότι αυτό το σημείο βρίσκεται σε μια δεδομένη γραμμή.

Και στις τρεις ειδικές περιπτώσεις (Εικ. 22, 23 και 24), η θέση της ευθείας ως προς το επίπεδο των προεξοχών είναι το αυθαίρετο τμήμα της ΑΒ, που λαμβάνεται σε κάθε μία από τις ευθείες γραμμές, προβάλλεται σε ένα από τα επίπεδα προβολής χωρίς παραμόρφωση, δηλαδή στο επίπεδο στο οποίο είναι παράλληλο. Ευθύγραμμο τμήμα ΑΒοριζόντια ευθεία γραμμή (Εικ. 22) δίνει μια προβολή σε φυσικό μέγεθος σε ένα οριζόντιο επίπεδο ( αβ = ΑΒ) ευθύγραμμο τμήμα ΑΒμετωπική ευθεία γραμμή (Εικ. 23) - σε πλήρες μέγεθος στο επίπεδο του μετωπικού επιπέδου V ( αβ = ΑΒ) και το τμήμα ΑΒευθεία γραμμή προφίλ (Εικ. 24) - σε πλήρες μέγεθος στο επίπεδο προφίλ W (a˝b˝\u003d AB), δηλαδή είναι δυνατό να μετρηθεί το πραγματικό μέγεθος του τμήματος στο σχέδιο.

Με άλλα λόγια, με τη βοήθεια διαγραμμάτων μπορεί κανείς να προσδιορίσει τις φυσικές διαστάσεις των γωνιών που σχηματίζει η υπό εξέταση ευθεία με τα επίπεδα προβολής.

Η γωνία που δημιουργεί μια ευθεία με ένα οριζόντιο επίπεδο H, συνηθίζεται να συμβολίζουμε το γράμμα α, με το μετωπικό επίπεδο - το γράμμα β, με το επίπεδο προφίλ - το γράμμα γ.

Οποιαδήποτε από τις υπό εξέταση ευθείες δεν έχει ίχνος σε επίπεδο παράλληλο με αυτήν, δηλ. η οριζόντια ευθεία δεν έχει οριζόντιο ίχνος (Εικ. 22), η μετωπική ευθεία δεν έχει μετωπικό ίχνος (Εικ. 23) και το προφίλ η ευθεία γραμμή δεν έχει ίχνος προφίλ (Εικ. 24).