Βασικές αρχές της θεωρίας πιθανοτήτων και μαθηματικές στατιστικές. Βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων και της μαθηματικής στατιστικής

Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική

• Agekyan T.A. Fundamentals of Error Theory for Astronomers and Physicists (2η έκδ.). Μ.: Nauka, 1972 (djvu, 2,44 M)
• Agekyan T.A. Θεωρία πιθανοτήτων για αστρονόμους και φυσικούς. Μ.: Nauka, 1974 (djvu, 2,59 εκατ.)
• Anderson T. Στατιστική ανάλυση χρονοσειρών. Μ.: Μιρ, 1976 (djvu, 14 M)
• Bakelman I.Ya. Werner A.L. Kantor B.E. Εισαγωγή στη διαφορική γεωμετρία «γενικά». Μ.: Nauka, 1973 (djvu, 5,71 εκατ.)
• Bernstein S.N. Θεωρία πιθανοτήτων. Μ.-Λ.: Γ.Ι., 1927 (djvu, 4,51 M)
• Billingsley P. Σύγκλιση μέτρων πιθανότητας. Μ.: Nauka, 1977 (djvu, 3,96 M)
• Πλαίσιο J. Jenkins G. Ανάλυση χρονοσειρών: πρόβλεψη και διαχείριση. Τεύχος 1. Μ.: Mir, 1974 (djvu, 3,38 M)
• Πλαίσιο J. Jenkins G. Ανάλυση χρονοσειρών: πρόβλεψη και διαχείριση. Τεύχος 2. Μ.: Mir, 1974 (djvu, 1,72 M)
• Borel E. Πιθανότητα και αξιοπιστία. Μ.: Nauka, 1969 (djvu, 1,19 M)
• Van der Waerden B.L. Στατιστικά μαθηματικών. Μ.: IL, 1960 (djvu, 6,90 M)
• Vapnik V.N. Ανάκτηση εξαρτήσεων από εμπειρικά δεδομένα. Μ.: Nauka, 1979 (djvu, 6,18 M)
• Βέντσελ Ε.Σ. Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα. Μ.: Σοβιετικό ραδιόφωνο, 1964 (djvu, 8,43 M)
• Βέντσελ Ε.Σ. Elements of Game Theory (2η έκδοση). Σειρά: Δημοφιλείς διαλέξεις για τα μαθηματικά. Τεύχος 32. Μ.: Nauka, 1961 (djvu, 648 K)
• Ventstel E.S. Θεωρία πιθανοτήτων (4η έκδ.). Μ.: Nauka, 1969 (djvu, 8,05 εκατ.)
• Ventstel E.S., Ovcharov L.A. Θεωρία πιθανοτήτων. Εργασίες και ασκήσεις. Μ.: Nauka, 1969 (djvu, 7,71 M)
• Vilenkin N.Ya., Potapov V.G. Ένα πρακτικό βιβλίο εργασίας για τη θεωρία πιθανοτήτων με στοιχεία συνδυαστικής και μαθηματικής στατιστικής. Μ.: Εκπαίδευση, 1979 (djvu, 1,12M)
• Gmurman V.E. Ένας οδηγός για την επίλυση προβλημάτων στη θεωρία πιθανοτήτων και στη μαθηματική στατιστική (3η έκδοση). Μ.: Πιο ψηλά. σχολείο, 1979 (djvu, 4,24 M)
• Gmurman V.E. Θεωρία πιθανοτήτων και μαθηματική στατιστική (4η έκδ.). Μ.: Ανώτατο Σχολείο, 1972 (djvu, 3,75 εκατ.)
• Gnedenko B.V., Kolmogorov A.N. Κατανομές ορίων για αθροίσματα ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών. M.-L.: GITTL, 1949 (djvu, 6,26M)
• Gnedenko B.V., Khinchin A.Ya. An Elementary Introduction to Probability Theory (7η έκδ.). Μ.: Nauka, 1970 (djvu, 2,48 M)
• Oak J.L. Πιθανολογικές διαδικασίες. Μ.: IL, 1956 (djvu, 8,48 M)
• David G. Ordinal στατιστικά. Μ.: Nauka, 1979 (djvu, 2,87 εκατ.)
• Ibragimov I.A., Linnik Yu.V. Ανεξάρτητες και σταθερές σχετικές ποσότητες. Μ.: Nauka, 1965 (djvu, 6,05 εκατ.)
• Idier V., Dryard D., James F., Rus M., Sadoulet B. Στατιστικές μέθοδοι στην πειραματική φυσική. Μ.: Atomizdat, 1976 (djvu, 5,95 M)
• Kamalov M.K. Κατανομή τετραγωνικών μορφών σε δείγματα από κανονικό πληθυσμό. Τασκένδη: Ακαδημία Επιστημών της UzSSR, 1958 (djvu, 6,29 εκατ.)
• Kassandra O.N., Lebedev V.V. Επεξεργασία των αποτελεσμάτων παρατήρησης. Μ.: Nauka, 1970 (djvu, 867 K)
• Katz M. Πιθανότητες και συναφή θέματα στη φυσική. Μ.: Μιρ, 1965 (djvu, 3,67 M)
• Katz M. Αρκετά πιθανολογικά προβλήματα φυσικής και μαθηματικών. Μ.: Nauka, 1967 (djvu, 1,50 μ.)
• Katz M. Στατιστική ανεξαρτησία στη θεωρία πιθανοτήτων, ανάλυση και θεωρία αριθμών. Μ.: IL, 1963 (djvu, 964 K)
• Kendall M., Moran P. Γεωμετρικές πιθανότητες. Μ.: Nauka, 1972 (djvu, 1,40 M)
• Kendall M., Stewart A. Τόμος 2. Στατιστικά συμπεράσματα και συνδέσεις. Μ.: Nauka, 1973 (djvu, 10 M)
• Kendall M., Stewart A. Τόμος 3. Πολυμεταβλητή στατιστική ανάλυση και χρονοσειρές. Μ.: Nauka, 1976 (djvu, 7,96 M)
• Kendall M., Stewart A. Vol. 1. Θεωρία κατανομών. Μ.: Nauka, 1965 (djvu, 6,02 M)
• Kolmogorov A.N. Βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων (2η έκδ.) Μ.: Nauka, 1974 (djvu, 2,14 M)
• Kolchin V.F., Sevastyanov B.A., Chistyakov V.P. Τυχαίες τοποθετήσεις. Μ.: Nauka, 1976 (djvu, 2,96 M)
• Kramer G. Μαθηματικές μέθοδοι στατιστικής (2η έκδ.). Μ.: Μιρ, 1976 (djvu, 9,63 M)
• Leman E. Έλεγχος στατιστικών υποθέσεων. Μ.: Επιστήμη. 1979 (djvu, 5,18 M)
• Linnik Yu.V., Ostrovsky I.V. Αποσυνθέσεις τυχαίων μεταβλητών και διανυσμάτων. Μ.: Nauka, 1972 (djvu, 4,86 ​​M)
• Likholetov I.I., Matskevich I.P. Ένας οδηγός για την επίλυση προβλημάτων στα ανώτερα μαθηματικά, τη θεωρία πιθανοτήτων και τη μαθηματική στατιστική (2η έκδοση). Μν.: Vysh. σχολείο, 1969 (djvu, 4,99 M)
• Loev M. Θεωρία Πιθανοτήτων. Μ.: IL, 1962 (djvu, 7,38 M)
• Malakhov A.N. Σωρευτική ανάλυση τυχαίων μη Gaussian διεργασιών και μετασχηματισμών τους. Μ.: Σοβ. ραδιόφωνο, 1978 (djvu, 6,72 M)
• Meshalkin L.D. Συλλογή προβλημάτων στη θεωρία πιθανοτήτων. Μ.: MSU, 1963 (djvu, 1 004 K)
• Mitropolsky A.K. Θεωρία των στιγμών. Μ.-Λ.: GIKSL, 1933 (djvu, 4,49 M)
• Mitropolsky A.K. Τεχνικές στατιστικών υπολογισμών (2η έκδ.). Μ.: Nauka, 1971 (djvu, 8,35 M)
• Mosteller F., Rurke R., Thomas J. Probability. Μ.: Μιρ, 1969 (djvu, 4,82M)
• Nalimov V.V. Εφαρμογή της μαθηματικής στατιστικής στην ανάλυση της ύλης. Μ.: GIFML, 1960 (djvu, 4,11 εκατ.)
• Neveu J. Μαθηματικά θεμέλια της θεωρίας πιθανοτήτων. Μ.: Μιρ, 1969 (djvu, 3,62 M)
• Preston K. Μαθηματικά. Νέο στην ξένη επιστήμη Νο.7. Ο Gibbs δηλώνει σε μετρήσιμα σύνολα. Μ.: Μιρ, 1977 (djvu, 2,15 M)
• Savelyev L.Ya. Στοιχειώδης θεωρία πιθανοτήτων. Μέρος 1. Novosibirsk: NSU, 2005 (

Πολλοί, όταν έρχονται αντιμέτωποι με την έννοια της «θεωρίας πιθανοτήτων», φοβούνται, νομίζοντας ότι είναι κάτι συντριπτικό, πολύ περίπλοκο. Αλλά στην πραγματικότητα όλα δεν είναι τόσο τραγικά. Σήμερα θα εξετάσουμε τη βασική έννοια της θεωρίας πιθανοτήτων και θα μάθουμε πώς να λύνουμε προβλήματα χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα.

Η επιστήμη

Τι μελετά ένας τέτοιος κλάδος των μαθηματικών όπως η «θεωρία πιθανοτήτων»; Σημειώνει σχέδια και ποσότητες. Οι επιστήμονες ενδιαφέρθηκαν για πρώτη φορά για αυτό το θέμα τον δέκατο όγδοο αιώνα, όταν μελέτησαν τον τζόγο. Η βασική έννοια της θεωρίας πιθανοτήτων είναι ένα γεγονός. Είναι κάθε γεγονός που αποδεικνύεται από την εμπειρία ή την παρατήρηση. Τι είναι όμως εμπειρία; Μια άλλη βασική έννοια της θεωρίας πιθανοτήτων. Σημαίνει ότι αυτό το σύνολο περιστάσεων δεν δημιουργήθηκε τυχαία, αλλά για έναν συγκεκριμένο σκοπό. Όσο για την παρατήρηση, εδώ ο ίδιος ο ερευνητής δεν συμμετέχει στο πείραμα, αλλά είναι απλώς μάρτυρας αυτών των γεγονότων, δεν επηρεάζει με κανέναν τρόπο αυτό που συμβαίνει.

Εκδηλώσεις

Μάθαμε ότι η βασική έννοια της θεωρίας πιθανοτήτων είναι ένα γεγονός, αλλά δεν λάβαμε υπόψη την ταξινόμηση. Όλα χωρίζονται στις εξής κατηγορίες:

• Αξιόπιστος.
• Αδύνατο.
• Τυχαίος.

Ανεξάρτητα από το είδος των γεγονότων που παρατηρήθηκαν ή δημιουργήθηκαν κατά τη διάρκεια της εμπειρίας, όλα υπόκεινται σε αυτήν την ταξινόμηση. Σας προσκαλούμε να εξοικειωθείτε με κάθε είδος ξεχωριστά.

Αξιόπιστο συμβάν

Πρόκειται για μια περίσταση για την οποία έχει ληφθεί το απαραίτητο σύνολο μέτρων. Για να κατανοήσουμε καλύτερα την ουσία, είναι προτιμότερο να δώσουμε μερικά παραδείγματα. Η φυσική, η χημεία, τα οικονομικά και τα ανώτερα μαθηματικά υπόκεινται σε αυτόν τον νόμο. Η θεωρία των πιθανοτήτων περιλαμβάνει μια τόσο σημαντική έννοια όπως ένα αξιόπιστο γεγονός. Να μερικά παραδείγματα:

• Εργαζόμαστε και λαμβάνουμε αποζημίωση με τη μορφή μισθών.
• Περάσαμε καλά τις εξετάσεις, περάσαμε τον διαγωνισμό και γι 'αυτό λαμβάνουμε ανταμοιβή με τη μορφή εισαγωγής σε ένα εκπαιδευτικό ίδρυμα.
• Επενδύσαμε χρήματα στην τράπεζα και αν χρειαστεί θα τα πάρουμε πίσω.

Τέτοια γεγονότα είναι αξιόπιστα. Εάν έχουμε εκπληρώσει όλες τις απαραίτητες προϋποθέσεις, σίγουρα θα έχουμε το αναμενόμενο αποτέλεσμα.

Αδύνατα γεγονότα

Τώρα εξετάζουμε στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων. Προτείνουμε να προχωρήσουμε σε μια εξήγηση του επόμενου τύπου γεγονότος, δηλαδή του αδύνατου. Αρχικά, ας ορίσουμε τον πιο σημαντικό κανόνα - η πιθανότητα ενός αδύνατου γεγονότος είναι μηδέν.

Δεν μπορεί κανείς να παρεκκλίνει από αυτή τη διατύπωση όταν λύνει προβλήματα. Για διευκρίνιση, παραθέτουμε παραδείγματα τέτοιων γεγονότων:

• Το νερό πάγωσε σε θερμοκρασία συν δέκα (αυτό είναι αδύνατο).
• Η έλλειψη ηλεκτρικής ενέργειας δεν επηρεάζει με κανέναν τρόπο την παραγωγή (εξίσου αδύνατη όπως στο προηγούμενο παράδειγμα).

Δεν αξίζει να δώσουμε περισσότερα παραδείγματα, καθώς αυτά που περιγράφονται παραπάνω αντικατοπτρίζουν πολύ ξεκάθαρα την ουσία αυτής της κατηγορίας. Ένα αδύνατο γεγονός δεν θα συμβεί ποτέ κατά τη διάρκεια ενός πειράματος σε καμία περίπτωση.

Τυχαία συμβάντα

Κατά τη μελέτη των στοιχείων, θα πρέπει να δοθεί ιδιαίτερη προσοχή σε αυτό το συγκεκριμένο είδος εκδήλωσης. Αυτό μελετά η επιστήμη. Ως αποτέλεσμα της εμπειρίας, κάτι μπορεί να συμβεί ή να μην συμβεί. Επιπλέον, η δοκιμή μπορεί να πραγματοποιηθεί απεριόριστες φορές. Ζωντανά παραδείγματα περιλαμβάνουν:

• Η ρίψη ενός νομίσματος είναι μια εμπειρία ή δοκιμή, η προσγείωση των κεφαλιών είναι ένα γεγονός.
• Το να τραβήξεις μια μπάλα από μια τσάντα στα τυφλά είναι μια δοκιμασία να πάρεις μια κόκκινη μπάλα, και ούτω καθεξής.

Μπορεί να υπάρχει απεριόριστος αριθμός τέτοιων παραδειγμάτων, αλλά, γενικά, η ουσία πρέπει να είναι ξεκάθαρη. Για να συνοψίσουμε και να συστηματοποιήσουμε τη γνώση που αποκτήθηκε για τα γεγονότα, παρέχεται ένας πίνακας. Η θεωρία πιθανοτήτων μελετά μόνο τον τελευταίο τύπο από όλα που παρουσιάζονται.

Ονομα	ορισμός
Αξιόπιστος	Εκδηλώσεις που συμβαίνουν με 100% εγγύηση εάν πληρούνται ορισμένες προϋποθέσεις.	Εισαγωγή σε εκπαιδευτικό ίδρυμα μετά την επιτυχία της εισαγωγικής εξέτασης.
Αδύνατο	Γεγονότα που δεν θα συμβούν ποτέ σε καμία περίπτωση.	Χιονίζει σε θερμοκρασία αέρα συν τριάντα βαθμούς Κελσίου.
Τυχαίος	Ένα συμβάν που μπορεί να συμβεί ή όχι κατά τη διάρκεια ενός πειράματος/δοκιμής.	Χτύπημα ή αστοχία όταν ρίχνετε μια μπάλα μπάσκετ σε ένα τσέρκι.

Του νόμου

Η θεωρία πιθανοτήτων είναι μια επιστήμη που μελετά την πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός. Όπως και τα άλλα, έχει κάποιους κανόνες. Υπάρχουν οι ακόλουθοι νόμοι της θεωρίας πιθανοτήτων:

• Σύγκλιση ακολουθιών τυχαίων μεταβλητών.
• Νόμος των μεγάλων αριθμών.

Κατά τον υπολογισμό της πιθανότητας για κάτι περίπλοκο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ένα σύνολο απλών γεγονότων για να επιτύχετε ένα αποτέλεσμα με ευκολότερο και ταχύτερο τρόπο. Σημειώστε ότι οι νόμοι της θεωρίας πιθανοτήτων αποδεικνύονται εύκολα χρησιμοποιώντας ορισμένα θεωρήματα. Σας προτείνουμε πρώτα να εξοικειωθείτε με τον πρώτο νόμο.

Σύγκλιση ακολουθιών τυχαίων μεταβλητών

Σημειώστε ότι υπάρχουν διάφοροι τύποι σύγκλισης:

• Η ακολουθία των τυχαίων μεταβλητών συγκλίνει ως προς την πιθανότητα.
• Σχεδόν αδύνατον.
• Μέση τετραγωνική σύγκλιση.
• Σύγκλιση κατανομής.

Έτσι, αμέσως μετά, είναι πολύ δύσκολο να κατανοήσουμε την ουσία. Ακολουθούν ορισμοί που θα σας βοηθήσουν να κατανοήσετε αυτό το θέμα. Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη άποψη. Η ακολουθία ονομάζεται συγκλίνουσα ως προς την πιθανότητα, αν πληρούται η ακόλουθη συνθήκη: το n τείνει στο άπειρο, ο αριθμός προς τον οποίο τείνει η ακολουθία είναι μεγαλύτερος από το μηδέν και κοντά στο ένα.

Ας προχωρήσουμε στην επόμενη προβολή, σχεδόν σίγουρα. Η ακολουθία λέγεται ότι συγκλίνει σχεδόν σίγουρασε μια τυχαία μεταβλητή με το n να τείνει στο άπειρο και το P να τείνει σε μια τιμή κοντά στη μονάδα.

Ο επόμενος τύπος είναι μέση τετραγωνική σύγκλιση. Όταν χρησιμοποιείται η σύγκλιση SC, η μελέτη των διανυσματικών τυχαίων διαδικασιών περιορίζεται στη μελέτη των συντεταγμένων τυχαίων διαδικασιών τους.

Απομένει ένας τελευταίος τύπος, ας το δούμε συνοπτικά για να προχωρήσουμε κατευθείαν στην επίλυση προβλημάτων. Η σύγκλιση στη διανομή έχει άλλο όνομα - "αδύναμη", και θα εξηγήσουμε γιατί αργότερα. Ασθενής σύγκλισηείναι η σύγκλιση των συναρτήσεων κατανομής σε όλα τα σημεία συνέχειας της οριακής συνάρτησης κατανομής.

Σίγουρα θα τηρήσουμε την υπόσχεσή μας: η ασθενής σύγκλιση διαφέρει από όλα τα παραπάνω στο ότι η τυχαία μεταβλητή δεν ορίζεται στο χώρο πιθανοτήτων. Αυτό είναι δυνατό επειδή η συνθήκη σχηματίζεται αποκλειστικά χρησιμοποιώντας συναρτήσεις διανομής.

Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Θεωρήματα της θεωρίας πιθανοτήτων, όπως:

• Η ανισότητα του Chebyshev.
• Το θεώρημα του Chebyshev.
• Γενικευμένο θεώρημα Chebyshev.
• Το θεώρημα του Markov.

Αν εξετάσουμε όλα αυτά τα θεωρήματα, τότε αυτή η ερώτηση μπορεί να διαρκέσει για αρκετές δεκάδες φύλλα. Το κύριο καθήκον μας είναι να εφαρμόσουμε τη θεωρία πιθανοτήτων στην πράξη. Σας προτείνουμε να το κάνετε αυτό αμέσως. Αλλά πριν από αυτό, ας δούμε τα αξιώματα της θεωρίας πιθανοτήτων, θα είναι οι κύριοι βοηθοί στην επίλυση προβλημάτων.

Αξιώματα

Τον πρώτο τον γνωρίσαμε ήδη όταν μιλήσαμε για ένα αδύνατο γεγονός. Ας θυμηθούμε: η πιθανότητα ενός αδύνατου γεγονότος είναι μηδέν. Δώσαμε ένα πολύ ζωντανό και αξέχαστο παράδειγμα: χιόνι έπεσε σε θερμοκρασία αέρα τριάντα βαθμών Κελσίου.

Το δεύτερο έχει ως εξής: ένα αξιόπιστο γεγονός συμβαίνει με πιθανότητα ίση με ένα. Τώρα θα δείξουμε πώς να το γράψουμε χρησιμοποιώντας μαθηματική γλώσσα: P(B)=1.

Τρίτον: Ένα τυχαίο συμβάν μπορεί να συμβεί ή να μην συμβεί, αλλά η πιθανότητα κυμαίνεται πάντα από το μηδέν έως το ένα. Όσο πιο κοντά είναι η τιμή στο ένα, τόσο μεγαλύτερες είναι οι πιθανότητες. αν η τιμή πλησιάζει το μηδέν, η πιθανότητα είναι πολύ μικρή. Ας γράψουμε αυτό στη μαθηματική γλώσσα: 0<Р(С)<1.

Ας εξετάσουμε το τελευταίο, τέταρτο αξίωμα, το οποίο ακούγεται ως εξής: η πιθανότητα του αθροίσματος δύο γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων τους. Το γράφουμε σε μαθηματική γλώσσα: P(A+B)=P(A)+P(B).

Τα αξιώματα της θεωρίας πιθανοτήτων είναι οι απλούστεροι κανόνες που δεν είναι δύσκολο να θυμηθούμε. Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε κάποια προβλήματα με βάση τις γνώσεις που έχουμε ήδη αποκτήσει.

Λαχείο

Αρχικά, ας δούμε το απλούστερο παράδειγμα - μια λαχειοφόρο αγορά. Φανταστείτε ότι αγοράσατε ένα λαχείο για καλή τύχη. Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσετε τουλάχιστον είκοσι ρούβλια; Συνολικά, χίλια εισιτήρια συμμετέχουν στην κυκλοφορία, ένα από τα οποία έχει έπαθλο πεντακόσια ρούβλια, δέκα από αυτά έχουν εκατό ρούβλια το καθένα, πενήντα έχουν βραβείο είκοσι ρούβλια και εκατό έχουν βραβείο πέντε. Τα προβλήματα πιθανοτήτων βασίζονται στην εύρεση της πιθανότητας τύχης. Τώρα μαζί θα αναλύσουμε τη λύση στην παραπάνω εργασία.

Εάν χρησιμοποιήσουμε το γράμμα Α για να δηλώσουμε μια νίκη πεντακοσίων ρούβλια, τότε η πιθανότητα να πάρουμε το Α θα είναι ίση με 0,001. Πώς το πήραμε αυτό; Απλά πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό των «τυχερών» εισιτηρίων με τον συνολικό αριθμό τους (σε αυτήν την περίπτωση: 1/1000).

Το B είναι μια νίκη εκατό ρούβλια, η πιθανότητα θα είναι 0,01. Τώρα ενεργήσαμε με την ίδια αρχή όπως στην προηγούμενη ενέργεια (10/1000)

Γ - τα κέρδη είναι είκοσι ρούβλια. Βρίσκουμε την πιθανότητα, είναι ίση με 0,05.

Δεν μας ενδιαφέρουν τα υπόλοιπα εισιτήρια, αφού το χρηματικό έπαθλο τους είναι μικρότερο από αυτό που ορίζεται στην προϋπόθεση. Ας εφαρμόσουμε το τέταρτο αξίωμα: Η πιθανότητα να κερδίσετε τουλάχιστον είκοσι ρούβλια είναι P(A)+P(B)+P(C). Το γράμμα P υποδηλώνει την πιθανότητα εμφάνισης ενός δεδομένου γεγονότος που το έχουμε ήδη βρει σε προηγούμενες ενέργειες. Το μόνο που μένει είναι να αθροίσουμε τα απαραίτητα δεδομένα και η απάντηση που παίρνουμε είναι 0,061. Αυτός ο αριθμός θα είναι η απάντηση στην ερώτηση της εργασίας.

Τράπουλα με κάρτες

Τα προβλήματα στη θεωρία πιθανοτήτων μπορεί να είναι πιο περίπλοκα, για παράδειγμα, πάρτε την ακόλουθη εργασία. Μπροστά σας είναι μια τράπουλα με τριάντα έξι φύλλα. Ο στόχος σας είναι να τραβήξετε δύο φύλλα στη σειρά χωρίς να ανακατεύετε τη στοίβα, το πρώτο και το δεύτερο φύλλο πρέπει να είναι άσοι, το χρώμα δεν έχει σημασία.

Αρχικά, ας βρούμε την πιθανότητα το πρώτο φύλλο να είναι άσος, γι' αυτό διαιρούμε το τέσσερα με το τριάντα έξι. Το έβαλαν στην άκρη. Βγάζουμε το δεύτερο φύλλο, θα είναι άσος με πιθανότητα τρία τριάντα πέμπτα. Η πιθανότητα του δεύτερου γεγονότος εξαρτάται από το ποιο φύλλο τραβήξαμε πρώτο, αναρωτιόμαστε αν ήταν άσος ή όχι. Από αυτό προκύπτει ότι το γεγονός Β εξαρτάται από το γεγονός Α.

Το επόμενο βήμα είναι να βρούμε την πιθανότητα ταυτόχρονης εμφάνισης, δηλαδή πολλαπλασιάζουμε τα Α και Β. Το γινόμενο τους βρίσκεται ως εξής: πολλαπλασιάζουμε την πιθανότητα ενός γεγονότος με την υπό όρους πιθανότητα ενός άλλου, την οποία υπολογίζουμε, υποθέτοντας ότι το πρώτο συνέβη γεγονός, δηλαδή τραβήξαμε άσο με το πρώτο φύλλο.

Για να γίνουν όλα ξεκάθαρα, ας δώσουμε έναν προσδιορισμό σε ένα τέτοιο στοιχείο ως γεγονότα. Υπολογίζεται υποθέτοντας ότι έχει συμβεί το γεγονός Α. Υπολογίζεται ως εξής: P(B/A).

Ας συνεχίσουμε να λύνουμε το πρόβλημά μας: P(A * B) = P(A) * P(B/A) ή P(A * B) = P(B) * P(A/B). Η πιθανότητα είναι ίση με (4/36) * ((3/35)/(4/36). Υπολογίζουμε στρογγυλοποιώντας στο πλησιέστερο εκατοστό. Έχουμε: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Η πιθανότητα να τραβήξουμε δύο άσους στη σειρά είναι εννέα εκατοστά Η τιμή είναι πολύ μικρή, πράγμα που σημαίνει ότι η πιθανότητα να συμβεί το γεγονός είναι εξαιρετικά μικρή.

Ξεχασμένος αριθμός

Προτείνουμε να αναλύσουμε πολλές ακόμη παραλλαγές εργασιών που μελετώνται από τη θεωρία πιθανοτήτων. Έχετε ήδη δει παραδείγματα επίλυσης ορισμένων από αυτά σε αυτό το άρθρο Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα: το αγόρι ξέχασε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού τηλεφώνου του φίλου του, αλλά επειδή η κλήση ήταν πολύ σημαντική, άρχισε να καλεί τα πάντα ένα προς ένα. . Πρέπει να υπολογίσουμε την πιθανότητα να καλέσει όχι περισσότερες από τρεις φορές. Η λύση στο πρόβλημα είναι απλούστερη εάν είναι γνωστοί οι κανόνες, οι νόμοι και τα αξιώματα της θεωρίας πιθανοτήτων.

Πριν δείτε τη λύση, δοκιμάστε να τη λύσετε μόνοι σας. Γνωρίζουμε ότι το τελευταίο ψηφίο μπορεί να είναι από μηδέν έως εννέα, δηλαδή δέκα τιμές συνολικά. Η πιθανότητα να πάρεις το σωστό είναι 1/10.

Στη συνέχεια, πρέπει να εξετάσουμε τις επιλογές για την προέλευση του συμβάντος, ας υποθέσουμε ότι το αγόρι μάντεψε σωστά και πληκτρολόγησε αμέσως το σωστό, η πιθανότητα ενός τέτοιου συμβάντος είναι 1/10. Δεύτερη επιλογή: η πρώτη κλήση χάνεται και η δεύτερη είναι στο στόχο. Ας υπολογίσουμε την πιθανότητα ενός τέτοιου γεγονότος: πολλαπλασιάζουμε το 9/10 με το 1/9, και ως αποτέλεσμα παίρνουμε επίσης 1/10. Η τρίτη επιλογή: η πρώτη και η δεύτερη κλήση αποδείχθηκαν σε λάθος διεύθυνση, μόνο με την τρίτη το αγόρι έφτασε εκεί που ήθελε. Υπολογίζουμε την πιθανότητα ενός τέτοιου γεγονότος: 9/10 πολλαπλασιασμένο επί 8/9 και 1/8, με αποτέλεσμα το 1/10. Δεν μας ενδιαφέρουν άλλες επιλογές ανάλογα με τις συνθήκες του προβλήματος, οπότε πρέπει απλώς να αθροίσουμε τα αποτελέσματα που έχουμε, στο τέλος έχουμε 3/10. Απάντηση: η πιθανότητα να καλέσει το αγόρι όχι περισσότερες από τρεις φορές είναι 0,3.

Κάρτες με αριθμούς

Υπάρχουν εννέα κάρτες μπροστά σας, σε καθεμία από τις οποίες είναι γραμμένος ένας αριθμός από το ένα έως το εννέα, οι αριθμοί δεν επαναλαμβάνονται. Τα έβαζαν σε ένα κουτί και τα ανακατεύαμε καλά. Πρέπει να υπολογίσετε την πιθανότητα

• θα εμφανιστεί ένας ζυγός αριθμός.
• διψήφιο.

Πριν προχωρήσουμε στη λύση, ας ορίσουμε ότι m είναι ο αριθμός των επιτυχημένων περιπτώσεων και n είναι ο συνολικός αριθμός των επιλογών. Ας βρούμε την πιθανότητα ο αριθμός να είναι άρτιος. Δεν θα είναι δύσκολο να υπολογίσουμε ότι υπάρχουν τέσσερις ζυγοί αριθμοί, αυτός θα είναι ο δικός μας m, υπάρχουν εννέα πιθανές επιλογές συνολικά, δηλαδή m=9. Τότε η πιθανότητα είναι 0,44 ή 4/9.

Ας εξετάσουμε τη δεύτερη περίπτωση: ο αριθμός των επιλογών είναι εννέα και δεν μπορεί να υπάρχουν καθόλου επιτυχημένα αποτελέσματα, δηλαδή το m ισούται με μηδέν. Η πιθανότητα η κληρωμένη κάρτα να περιέχει διψήφιο αριθμό είναι επίσης μηδέν.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Πολλά πράγματα μας είναι ακατανόητα όχι επειδή οι έννοιές μας είναι αδύναμες.
αλλά επειδή αυτά τα πράγματα δεν περιλαμβάνονται στο εύρος των εννοιών μας.
Κόζμα Προύτκοφ

Ο κύριος στόχος της μελέτης των μαθηματικών σε δευτεροβάθμια εξειδικευμένα εκπαιδευτικά ιδρύματα είναι να δώσει στους μαθητές ένα σύνολο μαθηματικών γνώσεων και δεξιοτήτων που είναι απαραίτητες για τη μελέτη άλλων κλάδων προγράμματος που χρησιμοποιούν τα μαθηματικά στον ένα ή τον άλλο βαθμό, για την ικανότητα εκτέλεσης πρακτικών υπολογισμών, για το σχηματισμό και την ανάπτυξη της λογικής σκέψης.

Σε αυτή την εργασία, όλες οι βασικές έννοιες της ενότητας των μαθηματικών «Βασικές αρχές της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Μαθηματικής Στατιστικής», που προβλέπονται από το πρόγραμμα και τα Κρατικά Εκπαιδευτικά Πρότυπα Δευτεροβάθμιας Επαγγελματικής Εκπαίδευσης (Υπουργείο Παιδείας της Ρωσικής Ομοσπονδίας. M., 2002 ), εισάγονται με συνέπεια, διατυπώνονται τα κύρια θεωρήματα, τα περισσότερα από τα οποία δεν είναι αποδεδειγμένα. Εξετάζονται τα κύρια προβλήματα και μέθοδοι επίλυσής τους και οι τεχνολογίες για την εφαρμογή αυτών των μεθόδων στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων. Η παρουσίαση συνοδεύεται από αναλυτικά σχόλια και πολυάριθμα παραδείγματα.

Οι μεθοδολογικές οδηγίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αρχική εξοικείωση με το υλικό που μελετάται, κατά τη λήψη σημειώσεων για διαλέξεις, για την προετοιμασία για πρακτικά μαθήματα, για την εδραίωση των αποκτηθέντων γνώσεων, δεξιοτήτων και ικανοτήτων. Επιπλέον, το εγχειρίδιο θα είναι επίσης χρήσιμο για προπτυχιακούς φοιτητές ως εργαλείο αναφοράς, επιτρέποντάς τους να ανακαλέσουν γρήγορα όσα είχαν μελετήσει προηγουμένως.

Στο τέλος της εργασίας υπάρχουν παραδείγματα και εργασίες που μπορούν να εκτελέσουν οι μαθητές σε λειτουργία αυτοελέγχου.

Οι οδηγίες απευθύνονται σε φοιτητές μερικής και πλήρους φοίτησης.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Η θεωρία πιθανοτήτων μελετά τα αντικειμενικά πρότυπα μαζικών τυχαίων γεγονότων. Αποτελεί τη θεωρητική βάση για τη μαθηματική στατιστική, η οποία ασχολείται με την ανάπτυξη μεθόδων συλλογής, περιγραφής και επεξεργασίας αποτελεσμάτων παρατήρησης. Μέσα από παρατηρήσεις (δοκιμές, πειράματα), δηλ. εμπειρία με την ευρεία έννοια της λέξης, εμφανίζεται γνώση των φαινομένων του πραγματικού κόσμου.

Στις πρακτικές μας δραστηριότητες, συναντάμε συχνά φαινόμενα των οποίων η έκβαση δεν μπορεί να προβλεφθεί, η έκβαση των οποίων εξαρτάται από την τύχη.

Ένα τυχαίο φαινόμενο μπορεί να χαρακτηριστεί από την αναλογία του αριθμού των εμφανίσεών του προς τον αριθμό των δοκιμών σε καθεμία από τις οποίες, υπό τις ίδιες συνθήκες όλων των δοκιμών, θα μπορούσε να συμβεί ή να μην συμβεί.

Η θεωρία πιθανοτήτων είναι ένας κλάδος των μαθηματικών στον οποίο μελετώνται τυχαία φαινόμενα (γεγονότα) και εντοπίζονται μοτίβα όταν επαναλαμβάνονται μαζικά.

Η μαθηματική στατιστική είναι ένας κλάδος των μαθηματικών του οποίου το αντικείμενο είναι η μελέτη μεθόδων συλλογής, συστηματοποίησης, επεξεργασίας και χρήσης στατιστικών δεδομένων για τη λήψη επιστημονικά τεκμηριωμένων συμπερασμάτων και τη λήψη αποφάσεων.

Στην περίπτωση αυτή, τα στατιστικά δεδομένα νοούνται ως ένα σύνολο αριθμών που αντιπροσωπεύουν τα ποσοτικά χαρακτηριστικά των χαρακτηριστικών των υπό μελέτη αντικειμένων που μας ενδιαφέρουν. Τα στατιστικά δεδομένα προέρχονται από ειδικά σχεδιασμένα πειράματα και παρατηρήσεις.

Τα στατιστικά δεδομένα από την ουσία τους εξαρτώνται από πολλούς τυχαίους παράγοντες, επομένως οι μαθηματικές στατιστικές συνδέονται στενά με τη θεωρία πιθανοτήτων, που αποτελεί τη θεωρητική βάση της.

I. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ. ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1.1. Βασικές έννοιες της συνδυαστικής

Στον κλάδο των μαθηματικών, που ονομάζεται συνδυαστική, επιλύονται ορισμένα προβλήματα που σχετίζονται με την εξέταση συνόλων και τη σύνθεση διαφόρων συνδυασμών στοιχείων αυτών των συνόλων. Για παράδειγμα, αν πάρουμε 10 διαφορετικούς αριθμούς 0, 1, 2, 3,: , 9 και κάνουμε συνδυασμούς τους, θα πάρουμε διαφορετικούς αριθμούς, για παράδειγμα 143, 431, 5671, 1207, 43 κ.λπ.

Βλέπουμε ότι ορισμένοι από αυτούς τους συνδυασμούς διαφέρουν μόνο ως προς τη σειρά των ψηφίων (για παράδειγμα, 143 και 431), άλλοι - στα ψηφία που περιλαμβάνονται σε αυτούς (για παράδειγμα, 5671 και 1207) και άλλοι διαφέρουν επίσης στον αριθμό των ψηφίων (για παράδειγμα, 143 και 43).

Έτσι, οι συνδυασμοί που προκύπτουν ικανοποιούν διάφορες συνθήκες.

Ανάλογα με τους κανόνες σύνθεσης, διακρίνονται τρεις τύποι συνδυασμών: μεταθέσεις, τοποθετήσεις, συνδυασμοί.

Ας εξοικειωθούμε πρώτα με την έννοια παραγοντικό.

Το γινόμενο όλων των φυσικών αριθμών από το 1 έως το n λέγεται n-παραγοντικός και γράψε.

Υπολογίστε: α) ; β) ; V) .

Λύση. ΕΝΑ) .

β) Αφού , τότε μπορούμε να το βάλουμε εκτός παρένθεσης

Μετά παίρνουμε

V) .

Ανακατατάξεις.

Ένας συνδυασμός n στοιχείων που διαφέρουν μεταξύ τους μόνο ως προς τη σειρά των στοιχείων ονομάζεται μετάθεση.

Οι μεταθέσεις υποδεικνύονται με το σύμβολο P n , όπου n είναι ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνονται σε κάθε μετάθεση. ( R- πρώτο γράμμα μιας γαλλικής λέξης μετάθεση- αναδιάταξη).

Ο αριθμός των μεταθέσεων μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

ή χρησιμοποιώντας παραγοντικό:

Ας το θυμόμαστε αυτό 0!=1 και 1!=1.

Παράδειγμα 2. Με πόσους τρόπους μπορούν να τακτοποιηθούν έξι διαφορετικά βιβλία σε ένα ράφι;

Λύση. Ο απαιτούμενος αριθμός τρόπων είναι ίσος με τον αριθμό των μεταθέσεων 6 στοιχείων, δηλ.

Τοποθετήσεις.

Αναρτήσεις από Μστοιχεία σε nσε καθεμία, ονομάζονται τέτοιες ενώσεις που διαφέρουν μεταξύ τους είτε από τα ίδια τα στοιχεία (τουλάχιστον ένα), είτε από τη σειρά της διάταξής τους.

Οι τοποθετήσεις υποδεικνύονται με το σύμβολο, όπου Μ- τον αριθμό όλων των διαθέσιμων στοιχείων, n- τον αριθμό των στοιχείων σε κάθε συνδυασμό. ( ΕΝΑ-πρώτο γράμμα μιας γαλλικής λέξης συμφωνία, που σημαίνει «τοποθέτηση, βάζοντας σε τάξη»).

Παράλληλα, πιστεύεται ότι nm.

Ο αριθμός των τοποθετήσεων μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

,

εκείνοι. αριθμός όλων των πιθανών τοποθετήσεων από Μστοιχεία από nισούται με το προϊόν nδιαδοχικοί ακέραιοι, από τους οποίους ο μεγαλύτερος είναι Μ.

Ας γράψουμε αυτόν τον τύπο σε παραγοντική μορφή:

Παράδειγμα 3. Πόσες επιλογές για τη διανομή τριών κουπονιών σε σανατόρια διαφόρων προφίλ μπορούν να συγκεντρωθούν για πέντε αιτούντες;

Λύση. Ο απαιτούμενος αριθμός επιλογών είναι ίσος με τον αριθμό των τοποθετήσεων 5 στοιχείων των 3 στοιχείων, δηλ.

.

Συνδυασμοί.

Οι συνδυασμοί είναι όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί των Μστοιχεία από n, τα οποία διαφέρουν μεταξύ τους κατά τουλάχιστον ένα στοιχείο (εδώ ΜΚαι n-φυσικοί αριθμοί, και n m).

Αριθμός συνδυασμών των Μστοιχεία από nσυμβολίζονται με ( ΜΕ-το πρώτο γράμμα μιας γαλλικής λέξης συνδυασμός- συνδυασμός).

Σε γενικές γραμμές, ο αριθμός των Μστοιχεία από nίσο με τον αριθμό των τοποθετήσεων από Μστοιχεία από n, διαιρούμενο με τον αριθμό των μεταθέσεων από nστοιχεία:

Χρησιμοποιώντας παραγοντικούς τύπους για τους αριθμούς των τοποθετήσεων και των μεταθέσεων, λαμβάνουμε:

Παράδειγμα 4. Σε μια ομάδα 25 ατόμων, πρέπει να διαθέσετε τέσσερα για να εργαστείτε σε μια συγκεκριμένη περιοχή. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

Λύση. Δεδομένου ότι η σειρά των τεσσάρων ατόμων που επιλέχθηκαν δεν έχει σημασία, υπάρχουν τρόποι να το κάνετε αυτό.

Βρίσκουμε χρησιμοποιώντας τον πρώτο τύπο

.

Επιπλέον, κατά την επίλυση προβλημάτων, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι τύποι που εκφράζουν τις βασικές ιδιότητες των συνδυασμών:

(εξ ορισμού υποθέτουν και)?

.

1.2. Επίλυση συνδυαστικών προβλημάτων

Εργασία 1. Υπάρχουν 16 μαθήματα που μελετώνται στη σχολή. Πρέπει να βάλετε 3 θέματα στο πρόγραμμά σας για τη Δευτέρα. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

Λύση. Υπάρχουν τόσοι τρόποι για να προγραμματίσετε τρία αντικείμενα από τα 16 όσο μπορείτε να κανονίσετε τοποθετήσεις 16 αντικειμένων ανά 3.

Εργασία 2. Από τα 15 αντικείμενα, πρέπει να επιλέξετε 10 αντικείμενα. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

Εργασία 3. Στο διαγωνισμό συμμετείχαν τέσσερις ομάδες. Πόσες επιλογές για την κατανομή των θέσεων μεταξύ τους είναι δυνατές;

.

Πρόβλημα 4. Με πόσους τρόπους μπορεί να σχηματιστεί μια περίπολος τριών στρατιωτών και ενός αξιωματικού αν υπάρχουν 80 στρατιώτες και 3 αξιωματικοί;

Λύση. Μπορείτε να επιλέξετε έναν στρατιώτη σε περιπολία

τρόπους, και αξιωματικούς με τρόπους. Εφόσον οποιοσδήποτε αξιωματικός μπορεί να πάει με κάθε ομάδα στρατιωτών, υπάρχουν μόνο τόσοι πολλοί τρόποι.

Εργασία 5. Βρείτε , αν είναι γνωστό ότι .

Από , παίρνουμε

,

,

Από τον ορισμό ενός συνδυασμού προκύπτει ότι , . Οτι. .

1.3. Η έννοια ενός τυχαίου γεγονότος. Είδη εκδηλώσεων. Πιθανότητα συμβάντος

Οποιαδήποτε ενέργεια, φαινόμενο, παρατήρηση με πολλά διαφορετικά αποτελέσματα, που πραγματοποιείται υπό ένα δεδομένο σύνολο συνθηκών, θα ονομάζεται δοκιμή.

Το αποτέλεσμα αυτής της ενέργειας ή παρατήρησης ονομάζεται Εκδήλωση .

Εάν ένα γεγονός υπό δεδομένες συνθήκες μπορεί να συμβεί ή να μην συμβεί, τότε καλείται τυχαίος . Όταν ένα γεγονός είναι βέβαιο ότι θα συμβεί, καλείται αξιόπιστος , και στην περίπτωση που προφανώς δεν μπορεί να συμβεί, - αδύνατο.

Τα γεγονότα λέγονται ασύμβατες , εάν μόνο ένα από αυτά είναι δυνατό να εμφανίζεται κάθε φορά.

Τα γεγονότα λέγονται άρθρωση , εάν, υπό δεδομένες συνθήκες, η εμφάνιση ενός από αυτά τα συμβάντα δεν αποκλείει την εμφάνιση ενός άλλου κατά την ίδια δοκιμή.

Τα γεγονότα λέγονται απεναντι απο , εάν υπό τις συνθήκες δοκιμής, είναι τα μόνα αποτελέσματα, είναι ασύμβατα.

Τα γεγονότα συνήθως υποδηλώνονται με κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου: Α Β Γ Δ, : .

Ένα πλήρες σύστημα γεγονότων A 1 , A 2 , A 3 , : , A n είναι ένα σύνολο ασυμβίβαστων γεγονότων, η εμφάνιση τουλάχιστον ενός από τα οποία είναι υποχρεωτική κατά τη διάρκεια μιας δεδομένης δοκιμής.

Εάν ένα πλήρες σύστημα αποτελείται από δύο ασύμβατα συμβάντα, τότε τέτοια γεγονότα ονομάζονται αντίθετα και ονομάζονται Α και .

Παράδειγμα. Το κουτί περιέχει 30 αριθμημένες μπάλες. Προσδιορίστε ποια από τα ακόλουθα γεγονότα είναι αδύνατα, αξιόπιστα ή αντίθετα:

έβγαλε μια αριθμημένη μπάλα (ΕΝΑ);

πήρε μια μπάλα με ζυγό αριθμό (ΣΕ);

πήρε μια μπάλα με περιττό αριθμό (ΜΕ);

πήρε μια μπάλα χωρίς αριθμό (ΡΕ).

Ποιοι από αυτούς αποτελούν μια πλήρη ομάδα;

Λύση . ΕΝΑ- αξιόπιστη εκδήλωση ρε- αδύνατο γεγονός

Σε και ΜΕ- αντίθετα γεγονότα.

Η πλήρης ομάδα εκδηλώσεων αποτελείται από ΕΝΑΚαι D, VΚαι ΜΕ.

Η πιθανότητα ενός γεγονότος θεωρείται ως μέτρο της αντικειμενικής πιθανότητας να συμβεί ένα τυχαίο γεγονός.

1.4. Κλασικός ορισμός της πιθανότητας

Ένας αριθμός που εκφράζει το μέτρο της αντικειμενικής πιθανότητας να συμβεί ένα γεγονός ονομάζεται πιθανότητα αυτό το γεγονός και υποδεικνύεται από το σύμβολο R(A).

Ορισμός. Πιθανότητα του συμβάντος ΕΝΑείναι ο λόγος του αριθμού των αποτελεσμάτων m που ευνοούν την εμφάνιση ενός δεδομένου γεγονότος ΕΝΑ, στον αριθμό nόλα τα αποτελέσματα (ασυνεπή, μόνο πιθανά και εξίσου πιθανά), π.χ. .

Επομένως, για να βρεθεί η πιθανότητα ενός γεγονότος, είναι απαραίτητο, έχοντας εξετάσει διάφορα αποτελέσματα του τεστ, να υπολογίσουμε όλα τα πιθανά ασυνεπή αποτελέσματα n,επιλέξτε τον αριθμό των αποτελεσμάτων m που μας ενδιαφέρει και υπολογίστε την αναλογία ΜΠρος την n.

Από αυτόν τον ορισμό προκύπτουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

Η πιθανότητα οποιασδήποτε δοκιμής είναι ένας μη αρνητικός αριθμός που δεν υπερβαίνει το ένα.

Πράγματι, ο αριθμός m των απαιτούμενων συμβάντων είναι εντός . Χωρίζοντας και τα δύο μέρη σε n, παίρνουμε

2. Η πιθανότητα ενός αξιόπιστου γεγονότος είναι ίση με μία, γιατί .

3. Η πιθανότητα αδύνατου γεγονότος είναι μηδέν, αφού .

Πρόβλημα 1. Σε μια κλήρωση 1000 δελτίων, υπάρχουν 200 κερδισμένα. Ένα εισιτήριο βγαίνει τυχαία. Ποια είναι η πιθανότητα αυτό το δελτίο να είναι κερδισμένο;

Λύση. Ο συνολικός αριθμός των διαφορετικών αποτελεσμάτων είναι n=1000. Ο αριθμός των αποτελεσμάτων που ευνοούν τη νίκη είναι m=200. Σύμφωνα με τον τύπο, παίρνουμε

.

Πρόβλημα 2. Σε μια παρτίδα 18 εξαρτημάτων υπάρχουν 4 ελαττωματικά. Επιλέγονται τυχαία 5 μέρη. Βρείτε την πιθανότητα δύο από αυτά τα 5 μέρη να είναι ελαττωματικά.

Λύση. Αριθμός όλων των εξίσου δυνατών ανεξάρτητων αποτελεσμάτων nίσο με τον αριθμό των συνδυασμών 18 επί 5 δηλ.

Ας μετρήσουμε τον αριθμό m που ευνοεί το γεγονός Α. Ανάμεσα σε 5 μέρη που λαμβάνονται τυχαία, θα πρέπει να υπάρχουν 3 καλά και 2 ελαττωματικά. Ο αριθμός των τρόπων επιλογής δύο ελαττωματικών εξαρτημάτων από 4 υπάρχοντα ελαττωματικά είναι ίσος με τον αριθμό των συνδυασμών 4 επί 2:

Ο αριθμός των τρόπων επιλογής τριών ποιοτικών ανταλλακτικών από 14 διαθέσιμα ποιοτικά ανταλλακτικά είναι ίσος με

.

Οποιαδήποτε ομάδα καλών εξαρτημάτων μπορεί να συνδυαστεί με οποιαδήποτε ομάδα ελαττωματικών εξαρτημάτων, άρα ο συνολικός αριθμός συνδυασμών Μανέρχεται σε

Η απαιτούμενη πιθανότητα του συμβάντος Α είναι ίση με τον λόγο του αριθμού των αποτελεσμάτων m ευνοϊκά για αυτό το γεγονός προς τον αριθμό n όλων των εξίσου δυνατών ανεξάρτητων αποτελεσμάτων:

.

Το άθροισμα ενός πεπερασμένου αριθμού γεγονότων είναι ένα γεγονός που αποτελείται από την εμφάνιση τουλάχιστον ενός από αυτά.

Το άθροισμα δύο γεγονότων συμβολίζεται με το σύμβολο A+B και το άθροισμα nσυμβάντα με το σύμβολο A 1 +A 2 + : +A n.

Θεώρημα πρόσθεσης πιθανότητας.

Η πιθανότητα του αθροίσματος δύο ασυμβίβαστων γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων.

Συμπέρασμα 1. Αν το γεγονός A 1 , A 2 , : , A n σχηματίζουν ένα πλήρες σύστημα, τότε το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων είναι ίσο με ένα.

Συμπέρασμα 2. Το άθροισμα των πιθανοτήτων αντίθετων γεγονότων και ισούται με ένα.

.

Πρόβλημα 1. Υπάρχουν 100 λαχεία. Είναι γνωστό ότι 5 εισιτήρια κερδίζουν 20.000 ρούβλια, 10 εισιτήρια κερδίζουν 15.000 ρούβλια, 15 εισιτήρια κερδίζουν 10.000 ρούβλια, 25 εισιτήρια κερδίζουν 2.000 ρούβλια. και τίποτα για τα υπόλοιπα. Βρείτε την πιθανότητα το αγορασμένο εισιτήριο να κερδίσει τουλάχιστον 10.000 ρούβλια.

Λύση. Έστω Α, Β και Γ γεγονότα που συνίστανται στο γεγονός ότι το αγορασμένο εισιτήριο λαμβάνει κέρδος ίσο με 20.000, 15.000 και 10.000 ρούβλια, αντίστοιχα. αφού τα γεγονότα Α, Β και Γ είναι ασύμβατα, τότε

Εργασία 2. Το τμήμα αλληλογραφίας μιας τεχνικής σχολής δέχεται τεστ στα μαθηματικά από πόλεις Α, ΒΚαι ΜΕ. Πιθανότητα λήψης δοκιμαστικού χαρτιού από την πόλη ΕΝΑίσο με 0,6, από την πόλη ΣΕ- 0,1. Βρείτε την πιθανότητα ότι το επόμενο τεστ θα έρθει από την πόλη ΜΕ.

Η μαμά έπλυνε το πλαίσιο

Στο τέλος των μεγάλων καλοκαιρινών διακοπών, ήρθε η ώρα να επιστρέψετε σιγά σιγά στα ανώτερα μαθηματικά και να ανοίξετε επίσημα το άδειο αρχείο Verdov για να ξεκινήσετε τη δημιουργία μιας νέας ενότητας - . Παραδέχομαι, οι πρώτες γραμμές δεν είναι εύκολες, αλλά το πρώτο βήμα είναι το μισό του δρόμου, γι 'αυτό προτείνω σε όλους να μελετήσουν προσεκτικά το εισαγωγικό άρθρο, μετά από το οποίο η γνώση του θέματος θα είναι 2 φορές πιο εύκολη! Δεν υπερβάλλω καθόλου. …Την παραμονή της επόμενης 1ης Σεπτεμβρίου θυμάμαι την πρώτη δημοτικού και το αστάρι…. Τα γράμματα σχηματίζουν συλλαβές, οι συλλαβές σχηματίζουν λέξεις, οι λέξεις σχηματίζουν σύντομες προτάσεις - Η μαμά έπλυνε το πλαίσιο. Η γνώση των στατιστικών στροφών και μαθηματικών είναι τόσο εύκολη όσο η εκμάθηση της ανάγνωσης! Ωστόσο, για αυτό πρέπει να γνωρίζετε βασικούς όρους, έννοιες και ονομασίες, καθώς και ορισμένους συγκεκριμένους κανόνες, που αποτελούν το αντικείμενο αυτού του μαθήματος.

Πρώτα όμως δεχτείτε τα συγχαρητήριά μου για την έναρξη (συνέχιση, ολοκλήρωση, επισήμανση κατά περίπτωση) της σχολικής χρονιάς και δεχτείτε το δώρο. Το καλύτερο δώρο είναι ένα βιβλίο και για ανεξάρτητη εργασία προτείνω την ακόλουθη βιβλιογραφία:

1) Gmurman V.E. Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική

Ένα θρυλικό εγχειρίδιο που έχει περάσει από περισσότερες από δέκα ανατυπώσεις. Διακρίνεται για την καταληπτότητα και την εξαιρετικά απλή παρουσίαση της ύλης και τα πρώτα κεφάλαια είναι απολύτως προσιτά, νομίζω, ήδη για τους μαθητές της 6ης-7ης τάξης.

2) Gmurman V.E. Οδηγός επίλυσης προβλημάτων στη θεωρία πιθανοτήτων και στη μαθηματική στατιστική

Ένα βιβλίο λύσεων του ίδιου Vladimir Efimovich με λεπτομερή παραδείγματα και προβλήματα.

ΑΝΑΓΚΑΙΩΣκατεβάστε και τα δύο βιβλία από το Διαδίκτυο ή αποκτήστε τα έντυπά τους! Θα λειτουργήσει και η έκδοση των 60s και 70s, η οποία είναι ακόμα καλύτερη για ομοιώματα. Αν και η φράση «θεωρία πιθανοτήτων για ανδρείκελα» ακούγεται μάλλον γελοία, αφού σχεδόν τα πάντα περιορίζονται σε στοιχειώδεις αριθμητικές πράξεις. Παρακάμπτουν, όμως, κατά τόπους παράγωγαΚαι ολοκληρώματα, αλλά αυτό είναι μόνο κατά τόπους.

Θα προσπαθήσω να επιτύχω την ίδια σαφήνεια παρουσίασης, αλλά πρέπει να προειδοποιήσω ότι η πορεία μου στοχεύει επίλυση προβλήματοςκαι οι θεωρητικοί υπολογισμοί περιορίζονται στο ελάχιστο. Έτσι, αν χρειάζεστε μια λεπτομερή θεωρία, αποδείξεις θεωρημάτων (θεωρήματα-θεωρήματα!), ανατρέξτε στο σχολικό βιβλίο. Λοιπόν, ποιος θέλει μάθουν να λύνουν προβλήματαστη θεωρία πιθανοτήτων και στη μαθηματική στατιστική στο συντομότερο δυνατό χρόνο, Ακολούθησέ με!

Αυτό είναι αρκετό για αρχή =)

Καθώς διαβάζετε τα άρθρα, καλό είναι να εξοικειωθείτε (τουλάχιστον εν συντομία) με πρόσθετες εργασίες των υπό εξέταση τύπων. Στη σελίδα Έτοιμες λύσεις για ανώτερα μαθηματικάΘα αναρτηθούν τα αντίστοιχα pdf με παραδείγματα λύσεων. Θα παρασχεθεί επίσης σημαντική βοήθεια IDZ 18.1 Ryabushko(πιο απλό) και έλυσε το IDZ σύμφωνα με τη συλλογή του Chudesenko(πιο δύσκολο).

1) Ποσόδύο γεγονότα και το γεγονός ονομάζεται που είναι ότι θα συμβεί ήΕκδήλωση ήΕκδήλωση ήκαι τα δύο γεγονότα ταυτόχρονα. Σε περίπτωση που τα γεγονότα ασύμβατες, η τελευταία επιλογή εξαφανίζεται, δηλαδή μπορεί να εμφανιστεί ήΕκδήλωση ήΕκδήλωση .

Ο κανόνας ισχύει επίσης για μεγαλύτερο αριθμό όρων, για παράδειγμα, το συμβάν είναι αυτό που θα συμβεί τουλάχιστον ένααπό εκδηλώσεις , ΕΝΑ εάν τα γεγονότα είναι ασύμβατα – τότε ένα πράγμα και μόνο ένα πράγμαγεγονός από αυτό το ποσό: ήΕκδήλωση , ήΕκδήλωση , ήΕκδήλωση , ήΕκδήλωση , ήΕκδήλωση .

Υπάρχουν πολλά παραδείγματα:

Τα γεγονότα (όταν ρίχνετε ένα ζάρι, δεν θα εμφανίζονται 5 πόντοι) είναι αυτό που θα εμφανιστεί ή 1, ή 2, ή 3, ή 4, ή 6 βαθμοί.

Συμβάν (θα πέσει ΟΧΙ πιαδύο σημεία) είναι ότι θα εμφανιστεί το 1 ή 2σημεία.

Εκδήλωση (θα υπάρχει ζυγός αριθμός πόντων) είναι αυτό που φαίνεται ή 2 ή 4 ή 6 βαθμοί.

Το γεγονός είναι ότι θα τραβηχτεί κόκκινη κάρτα (καρδιά) από την τράπουλα ήντέφι), και η εκδήλωση – ότι η «εικόνα» θα εξαχθεί (βύσμα ήκυρία ήΒασιλιάς ήάσσος).

Λίγο πιο ενδιαφέρουσα είναι η περίπτωση των κοινών εκδηλώσεων:

Το γεγονός είναι ότι ένα κλαμπ θα κληρωθεί από το κατάστρωμα ήεπτά ήεπτά συλλόγων Σύμφωνα με τον ορισμό που δόθηκε παραπάνω, τουλάχιστον κάτι- ή οποιαδήποτε λέσχη ή οποιαδήποτε επτά ή η «τομή» τους - επτά συλλόγων. Είναι εύκολο να υπολογιστεί ότι αυτό το γεγονός αντιστοιχεί σε 12 στοιχειώδη αποτελέσματα (9 κάρτες συλλόγου + 3 υπόλοιπες επτά).

Η εκδήλωση είναι ότι αύριο στις 12.00 θα έρθει ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΜΙΑ από τις συγκεντρωτικές κοινές εκδηλώσεις, και συγκεκριμένα:

– ή θα υπάρχει μόνο βροχή / μόνο καταιγίδα / μόνο ήλιος.
– ή θα συμβεί μόνο ένα ζευγάρι συμβάντων (βροχή + καταιγίδα / βροχή + ήλιος / καταιγίδα + ήλιος).
– ή θα εμφανιστούν και τα τρία συμβάντα ταυτόχρονα.

Δηλαδή, η εκδήλωση περιλαμβάνει 7 πιθανές εκβάσεις.

Ο δεύτερος πυλώνας της άλγεβρας των γεγονότων:

2) Η δουλειάδύο γεγονότα και καλούμε ένα γεγονός που συνίσταται στην από κοινού εμφάνιση αυτών των γεγονότων, με άλλα λόγια, ο πολλαπλασιασμός σημαίνει ότι υπό ορισμένες συνθήκες θα υπάρξει ΚαιΕκδήλωση , ΚαιΕκδήλωση . Μια παρόμοια δήλωση ισχύει για μεγαλύτερο αριθμό γεγονότων, για παράδειγμα, ένα έργο υπονοεί ότι υπό ορισμένες προϋποθέσεις θα συμβεί ΚαιΕκδήλωση , ΚαιΕκδήλωση , ΚαιΕκδήλωση , …, ΚαιΕκδήλωση .

Σκεφτείτε ένα τεστ στο οποίο ρίχνονται δύο νομίσματα και τα ακόλουθα γεγονότα:

– οι κεφαλές θα εμφανίζονται στο 1ο νόμισμα.
– το 1ο κέρμα θα προσγειώσει κεφάλια.
– οι κεφαλές θα εμφανίζονται στο 2ο νόμισμα.
– το 2ο νόμισμα θα προσγειωθεί.

Επειτα:
Καιστη 2η) θα εμφανιστούν κεφαλές.
– το γεγονός είναι ότι και στα δύο νομίσματα (την 1η Καιτο 2ο) θα ειναι κεφαλια?
– το γεγονός είναι ότι το 1ο νόμισμα θα προσγειωθεί Καιτο 2ο νόμισμα είναι ουρές?
– το γεγονός είναι ότι το 1ο νόμισμα θα προσγειωθεί Καιστο 2ο νόμισμα υπάρχει ένας αετός.

Είναι εύκολο να δεις αυτά τα γεγονότα ασύμβατες (γιατί, για παράδειγμα, δεν μπορεί να είναι 2 κεφάλια και 2 ουρές ταυτόχρονα)και μορφή πλήρης ομάδα (αφού ελήφθη υπόψη Ολαπιθανά αποτελέσματα από την ρίψη δύο νομισμάτων). Ας συνοψίσουμε αυτά τα γεγονότα: . Πώς ερμηνεύεται αυτό το λήμμα; Πολύ απλό - ο πολλαπλασιασμός σημαίνει μια λογική σύνδεση ΚΑΙκαι προσθήκη - Ή. Έτσι, το ποσό διαβάζεται εύκολα σε κατανοητή ανθρώπινη γλώσσα: «θα εμφανιστούν δύο κεφάλια ήδύο κεφάλια ήτο 1ο νόμισμα θα προσγειωθεί κεφάλια Καιστις 2 ουρές ήτο 1ο νόμισμα θα προσγειωθεί κεφάλια Καιστο 2ο νόμισμα υπάρχει ένας αετός"

Αυτό ήταν ένα παράδειγμα όταν σε ένα τεστεμπλέκονται πολλά αντικείμενα, στην περίπτωση αυτή δύο νομίσματα. Ένα άλλο κοινό σχήμα σε πρακτικά προβλήματα είναι επανέλεγχο , όταν, για παράδειγμα, το ίδιο ζάρι τυλίγεται 3 φορές στη σειρά. Ως επίδειξη, εξετάστε τα ακόλουθα γεγονότα:

– στην 1η ρίψη θα πάρετε 4 πόντους.
– στη 2η ρίψη θα πάρετε 5 πόντους.
– στην 3η βολή θα πάρετε 6 πόντους.

Στη συνέχεια η εκδήλωση είναι ότι στην 1η ρίψη θα πάρεις 4 πόντους Καιστη 2η ρίψη θα πάρετε 5 πόντους Καιστην 3η ζαριά θα πάρετε 6 πόντους. Προφανώς, στην περίπτωση ενός κύβου θα υπάρχουν σημαντικά περισσότεροι συνδυασμοί (αποτελέσματα) από ό,τι αν πετούσαμε ένα νόμισμα.

...Καταλαβαίνω ότι ίσως τα παραδείγματα που αναλύονται δεν είναι πολύ ενδιαφέροντα, αλλά αυτά είναι πράγματα που συναντώνται συχνά σε προβλήματα και δεν υπάρχει διαφυγή από αυτά. Εκτός από ένα νόμισμα, έναν κύβο και μια τράπουλα, σας περιμένουν δοχεία με πολύχρωμες μπάλες, αρκετοί ανώνυμοι που πυροβολούν έναν στόχο και ένας ακούραστος εργάτης που αλέκει συνεχώς κάποιες λεπτομέρειες =)

Πιθανότητα συμβάντος

Πιθανότητα συμβάντος είναι η κεντρική έννοια της θεωρίας πιθανοτήτων. ...Ένα φονικό λογικό πράγμα, αλλά έπρεπε να ξεκινήσουμε από κάπου =) Υπάρχουν διάφορες προσεγγίσεις στον ορισμό του:

;
Γεωμετρικός ορισμός της πιθανότητας ;
Στατιστικός ορισμός της πιθανότητας .

Σε αυτό το άρθρο θα επικεντρωθώ στον κλασικό ορισμό της πιθανότητας, ο οποίος χρησιμοποιείται ευρύτερα σε εκπαιδευτικές εργασίες.

Ονομασίες. Η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου γεγονότος υποδεικνύεται με ένα κεφαλαίο λατινικό γράμμα και το ίδιο το συμβάν λαμβάνεται σε αγκύλες, λειτουργώντας ως ένα είδος επιχειρήματος. Για παράδειγμα:

Επίσης, το μικρό γράμμα χρησιμοποιείται ευρέως για να δηλώσει πιθανότητα. Συγκεκριμένα, μπορείτε να εγκαταλείψετε τους δυσκίνητους χαρακτηρισμούς των γεγονότων και τις πιθανότητές τους υπέρ του παρακάτω στυλ:

– την πιθανότητα ότι μια ρίψη νομίσματος θα έχει ως αποτέλεσμα κεφαλές.
– η πιθανότητα μια ζαριά να έχει ως αποτέλεσμα 5 πόντους.
– η πιθανότητα να τραβηχτεί από την τράπουλα ένα φύλλο του συλλόγου.

Αυτή η επιλογή είναι δημοφιλής κατά την επίλυση πρακτικών προβλημάτων, καθώς σας επιτρέπει να μειώσετε σημαντικά την εγγραφή της λύσης. Όπως και στην πρώτη περίπτωση, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε «ομιλούντες» δείκτες/υπέργραφους εδώ.

Όλοι έχουν μαντέψει από καιρό τους αριθμούς που μόλις έγραψα παραπάνω και τώρα θα μάθουμε πώς έγιναν:

Κλασικός ορισμός της πιθανότητας:

Η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν σε ένα συγκεκριμένο τεστ ονομάζεται λόγος, όπου:

– συνολικός αριθμός όλων εξίσου δυνατό, στοιχειώδηςαποτελέσματα αυτής της δοκιμασίας, τα οποία σχηματίζονται πλήρη ομάδα εκδηλώσεων;

- ποσότητα στοιχειώδηςαποτελέσματα, ευνοϊκός Εκδήλωση.

Όταν πετάτε ένα νόμισμα, μπορεί να πέσουν είτε τα κεφάλια είτε οι ουρές - αυτά τα γεγονότα σχηματίζονται πλήρης ομάδα, επομένως, ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων. ταυτόχρονα, το καθένα από αυτά στοιχειώδηςΚαι εξίσου δυνατό. Η διοργάνωση ευνοείται από το αποτέλεσμα (κεφαλές). Σύμφωνα με τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας: .

Ομοίως, ως αποτέλεσμα της ρίψης ενός ζαριού, μπορεί να εμφανιστούν στοιχειώδη εξίσου πιθανά αποτελέσματα, σχηματίζοντας μια πλήρη ομάδα, και το γεγονός ευνοείται από ένα μόνο αποτέλεσμα (rolling a five). Να γιατί: ΑΥΤΟ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΑΠΟΔΕΚΤΟ ΝΑ ΚΑΝΕΙΣ (αν και δεν απαγορεύεται να υπολογίζεις ποσοστά στο κεφάλι σου).

Συνηθίζεται να χρησιμοποιούνται κλάσματα μιας μονάδας, και, προφανώς, η πιθανότητα μπορεί να ποικίλλει εντός . Επιπλέον, αν , τότε το συμβάν είναι αδύνατο, Αν - αξιόπιστος, και αν , τότε μιλάμε για τυχαίοςΕκδήλωση.

! Εάν, ενώ λύνετε οποιοδήποτε πρόβλημα, λαμβάνετε κάποια άλλη τιμή πιθανότητας, αναζητήστε το σφάλμα!

Στην κλασική προσέγγιση για τον προσδιορισμό της πιθανότητας, οι ακραίες τιμές (μηδέν και ένα) λαμβάνονται με τον ίδιο ακριβώς συλλογισμό. Αφήστε 1 μπάλα να τραβηχτεί τυχαία από ένα συγκεκριμένο δοχείο που περιέχει 10 κόκκινες μπάλες. Εξετάστε τα ακόλουθα γεγονότα:

σε μία μόνο δοκιμή δεν θα συμβεί ένα συμβάν χαμηλής πιθανότητας.

Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο δεν θα πετύχετε το τζάκποτ στην κλήρωση εάν η πιθανότητα αυτού του γεγονότος είναι, ας πούμε, 0,00000001. Ναι, ναι, είσαι εσύ – με το μοναδικό εισιτήριο σε μια συγκεκριμένη κυκλοφορία. Ωστόσο, ο μεγαλύτερος αριθμός εισιτηρίων και ο μεγαλύτερος αριθμός κληρώσεων δεν θα σας βοηθήσουν ιδιαίτερα. ...Όταν λέω σε άλλους για αυτό, σχεδόν πάντα ακούω ως απάντηση: «αλλά κάποιος κερδίζει». Εντάξει, τότε ας κάνουμε το εξής πείραμα: αγοράστε ένα εισιτήριο για οποιαδήποτε λοταρία σήμερα ή αύριο (μην καθυστερείτε!). Και αν κερδίσετε... καλά, τουλάχιστον περισσότερα από 10 κιλόρουβλια, φροντίστε να εγγραφείτε - θα σας εξηγήσω γιατί συνέβη αυτό. Για ένα ποσοστό, φυσικά =) =)

Αλλά δεν χρειάζεται να είμαστε λυπημένοι, γιατί υπάρχει μια αντίθετη αρχή: αν η πιθανότητα κάποιου γεγονότος είναι πολύ κοντά στη μία, τότε σε μια δοκιμή θα σχεδόν βέβαιοθα συμβεί. Επομένως, δεν χρειάζεται να φοβάστε πριν κάνετε αλεξίπτωτο, αντίθετα, χαμογελάστε! Άλλωστε, πρέπει να προκύψουν εντελώς αδιανόητες και φανταστικές συνθήκες για να αστοχήσουν και τα δύο αλεξίπτωτα.

Αν και όλα αυτά είναι ποίηση, αφού ανάλογα με το περιεχόμενο του γεγονότος, η πρώτη αρχή μπορεί να αποδειχθεί χαρούμενη και η δεύτερη - θλιβερή. ή έστω και τα δύο παράλληλα.

Ίσως είναι αρκετό για τώρα, στην τάξη Κλασικά προβλήματα πιθανοτήτωνθα αξιοποιήσουμε στο έπακρο τη φόρμουλα. Στο τελευταίο μέρος αυτού του άρθρου, θα εξετάσουμε ένα σημαντικό θεώρημα:

Το άθροισμα των πιθανοτήτων των γεγονότων που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα είναι ίσο με ένα. Σε γενικές γραμμές, εάν τα γεγονότα αποτελούν μια πλήρη ομάδα, τότε με 100% πιθανότητα θα συμβεί ένα από αυτά. Στην απλούστερη περίπτωση, μια πλήρης ομάδα σχηματίζεται από αντίθετα γεγονότα, για παράδειγμα:

– ως αποτέλεσμα μιας ρίψης νομίσματος, θα εμφανιστούν κεφάλια.
– το αποτέλεσμα μιας ρίψης νομίσματος θα είναι ουρές.

Σύμφωνα με το θεώρημα:

Είναι απολύτως σαφές ότι αυτά τα γεγονότα είναι εξίσου πιθανά και οι πιθανότητές τους είναι ίδιες .

Λόγω της ισότητας των πιθανοτήτων, συχνά καλούνται εξίσου πιθανά γεγονότα εξίσου πιθανό . Και εδώ είναι ένα στριφτάρι γλώσσας για τον προσδιορισμό του βαθμού μέθης =)

Παράδειγμα με κύβο: τα γεγονότα είναι αντίθετα, επομένως .

Το υπό εξέταση θεώρημα είναι βολικό καθώς σας επιτρέπει να βρείτε γρήγορα την πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος. Έτσι, εάν είναι γνωστή η πιθανότητα να κυλιθεί ένα πεντάρι, είναι εύκολο να υπολογίσουμε την πιθανότητα να μην έχει κυληθεί:

Αυτό είναι πολύ πιο απλό από το να συνοψίσουμε τις πιθανότητες πέντε στοιχειωδών αποτελεσμάτων. Για στοιχειώδη αποτελέσματα, παρεμπιπτόντως, ισχύει και αυτό το θεώρημα:
. Για παράδειγμα, αν είναι η πιθανότητα ο σκοπευτής να χτυπήσει τον στόχο, τότε είναι η πιθανότητα να αστοχήσει.

! Στη θεωρία πιθανοτήτων, δεν είναι επιθυμητό να χρησιμοποιούνται γράμματα για άλλους σκοπούς.

Προς τιμήν της Ημέρας της Γνώσης, δεν θα αναθέσω εργασίες στο σπίτι =), αλλά είναι πολύ σημαντικό να απαντήσετε στις ακόλουθες ερωτήσεις:

– Τι είδους εκδηλώσεις υπάρχουν;
– Τι είναι η πιθανότητα και η ίση πιθανότητα ενός γεγονότος;
– Πώς αντιλαμβάνεστε τους όρους συμβατότητα/ασυμβατότητα συμβάντων;
– Τι είναι μια πλήρης ομάδα γεγονότων, αντίθετα γεγονότα;
– Τι σημαίνει πρόσθεση και πολλαπλασιασμός γεγονότων;
– Ποια είναι η ουσία του κλασικού ορισμού της πιθανότητας;
– Γιατί είναι χρήσιμο το θεώρημα για την πρόσθεση των πιθανοτήτων γεγονότων που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα;

Όχι, δεν χρειάζεται να στριμώξετε τίποτα, αυτά είναι μόνο τα βασικά της θεωρίας πιθανοτήτων - ένα είδος αστάρι που θα χωρέσει γρήγορα στο κεφάλι σας. Και για να συμβεί αυτό το συντομότερο δυνατό, σας προτείνω να εξοικειωθείτε με τα μαθήματα

Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική

1. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ

1 Σύγκλιση ακολουθιών τυχαίων μεταβλητών και κατανομές πιθανοτήτων

Στη θεωρία πιθανοτήτων κάποιος πρέπει να ασχοληθεί με διαφορετικούς τύπους σύγκλισης τυχαίων μεταβλητών. Ας εξετάσουμε τους ακόλουθους κύριους τύπους σύγκλισης: κατά πιθανότητα, με πιθανότητα ένα, κατά τάξη p, κατά κατανομή.

Έστω... τυχαίες μεταβλητές που ορίζονται σε κάποιο χώρο πιθανοτήτων (, Ф, P).

Ορισμός 1. Μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών, ... λέγεται ότι συγκλίνει κατά πιθανότητα σε μια τυχαία μεταβλητή (ονομασία:), εάν για οποιαδήποτε > 0

Ορισμός 2. Μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών, ... λέγεται ότι συγκλίνει με την πιθανότητα μία (σχεδόν σίγουρα, σχεδόν παντού) σε μια τυχαία μεταβλητή εάν

εκείνοι. αν το σύνολο των αποτελεσμάτων για τα οποία το () δεν συγκλίνει στο () έχει μηδενική πιθανότητα.

Αυτός ο τύπος σύγκλισης συμβολίζεται ως εξής: , ή, ή.

Ορισμός 3. Μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών ... ονομάζεται μέσος όρος-συγκλίνουσα τάξης p, 0< p < , если

Ορισμός 4. Μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών... λέγεται ότι συγκλίνει κατά την κατανομή σε μια τυχαία μεταβλητή (σημείωση:) εάν για οποιαδήποτε περιορισμένη συνεχή συνάρτηση

Η σύγκλιση στην κατανομή των τυχαίων μεταβλητών ορίζεται μόνο ως προς τη σύγκλιση των συναρτήσεων κατανομής τους. Επομένως, είναι λογικό να μιλάμε για αυτόν τον τύπο σύγκλισης ακόμα και όταν τυχαίες μεταβλητές καθορίζονται σε διαφορετικούς χώρους πιθανοτήτων.

Θεώρημα 1.

α) Για να γίνει (P-a.s.), είναι απαραίτητο και αρκετό για οποιοδήποτε > 0

) Η ακολουθία () είναι θεμελιώδης με πιθανότητα μία αν και μόνο εάν για οποιαδήποτε > 0.

Απόδειξη.

α) Έστω A = (: |- | ), A = A. Τότε

Επομένως, η δήλωση α) είναι το αποτέλεσμα της ακόλουθης αλυσίδας συνεπειών:

P(: )= 0 P() = 0 = 0 P(A) = 0, m 1 P(A) = 0, > 0 P() 0, n 0, > 0 P( ) 0,

n 0, > 0.) Ας συμβολίσουμε = (: ), = . Τότε το (: (()) δεν είναι θεμελιώδες ) = και με τον ίδιο τρόπο όπως στο α) φαίνεται ότι το (: (()) δεν είναι θεμελιώδες ) = 0 P( ) 0, n.

Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο

Θεώρημα 2. (Κριτήριο Cauchy για σχεδόν βέβαιη σύγκλιση)

Προκειμένου μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών () να συγκλίνει με την πιθανότητα ένα (σε κάποια τυχαία μεταβλητή), είναι απαραίτητο και αρκετό να είναι θεμελιώδης με την πιθανότητα ένα.

Απόδειξη.

Αν, τότε +

από το οποίο προκύπτει η αναγκαιότητα των συνθηκών του θεωρήματος.

Τώρα ας είναι η ακολουθία () θεμελιώδης με πιθανότητα ένα. Ας συμβολίσουμε L = (: (()) όχι θεμελιώδη). Τότε για όλους η ακολουθία αριθμών () είναι θεμελιώδης και, σύμφωνα με το κριτήριο Cauchy για τις ακολουθίες αριθμών, η () υπάρχει. Ας βάλουμε

Αυτή η καθορισμένη συνάρτηση είναι μια τυχαία μεταβλητή και.

Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.

2 Μέθοδος χαρακτηριστικών συναρτήσεων

Η μέθοδος των χαρακτηριστικών συναρτήσεων είναι ένα από τα κύρια εργαλεία της αναλυτικής συσκευής της θεωρίας πιθανοτήτων. Μαζί με τις τυχαίες μεταβλητές (λαμβάνοντας πραγματικές τιμές), η θεωρία των χαρακτηριστικών συναρτήσεων απαιτεί τη χρήση τυχαίων μεταβλητών μιγαδικής αξίας.

Πολλοί από τους ορισμούς και τις ιδιότητες που σχετίζονται με τυχαίες μεταβλητές μεταφέρονται εύκολα στη σύνθετη περίπτωση. Έτσι, η μαθηματική προσδοκία Μ ?τυχαία μεταβλητή μιγαδικής αξίας ?=?+?? θεωρείται βέβαιο αν καθοριστούν οι μαθηματικές προσδοκίες Μ ?τους ?. Σε αυτή την περίπτωση, εξ ορισμού υποθέτουμε το Μ ?= Μ ? + ?Μ ?. Από τον ορισμό της ανεξαρτησίας των τυχαίων στοιχείων προκύπτει ότι οι σύνθετες ποσότητες ?1 =?1+??1 , ?2=?2+??2είναι ανεξάρτητες αν και μόνο αν ζεύγη τυχαίων μεταβλητών είναι ανεξάρτητα ( ?1 , ?1) Και ( ?2 , ?2), ή, που είναι το ίδιο πράγμα, ανεξάρτητο ?-άλγεβρα F Δ1, Δ1 και F ?2, ?2.

Μαζί με τον χώρο Λ 2πραγματικές τυχαίες μεταβλητές με πεπερασμένη δεύτερη στιγμή, μπορούμε να εισαγάγουμε τον χώρο Hilbert τυχαίων μεταβλητών μιγαδικής αξίας ?=?+?? με Μ | ?|2?|2= ?2+?2και το βαθμωτό γινόμενο ( ?1 , ?2)= Μ ?1?2¯ , Οπου ?2¯ - σύνθετη συζυγή τυχαία μεταβλητή.

Στις αλγεβρικές πράξεις, τα διανύσματα Rn αντιμετωπίζονται ως αλγεβρικές στήλες,

Ως διανύσματα σειρών, a* - (a1,a2,…,an). Εάν Rn , τότε το κλιμακωτό γινόμενο τους (a,b) θα γίνει κατανοητό ως ποσότητα. Είναι ξεκάθαρο ότι

Αν aRn και R=||rij|| είναι ένας πίνακας τάξης nхn, λοιπόν

Ορισμός 1. Έστω F = F(x1,....,xn) - n-διάστατη συνάρτηση κατανομής στο (, ()). Η χαρακτηριστική του λειτουργία ονομάζεται συνάρτηση

Ορισμός 2 . Αν? = (?1,…,?n) είναι ένα τυχαίο διάνυσμα που ορίζεται σε ένα χώρο πιθανοτήτων με τιμές μέσα, τότε η χαρακτηριστική του συνάρτηση ονομάζεται συνάρτηση

που είναι το F; = F?(х1,….,хn) - συνάρτηση κατανομής διανυσμάτων;=(?1,…, ?n).

Αν η συνάρτηση κατανομής F(x) έχει πυκνότητα f = f(x), τότε

Σε αυτή την περίπτωση, η χαρακτηριστική συνάρτηση δεν είναι τίποτα άλλο από τον μετασχηματισμό Fourier της συνάρτησης f(x).

Από το (3) προκύπτει ότι η χαρακτηριστική συνάρτηση ??(t) ενός τυχαίου διανύσματος μπορεί επίσης να οριστεί από την ισότητα

Βασικές ιδιότητες χαρακτηριστικών συναρτήσεων (στην περίπτωση n=1).

Ας είναι? = ?(?) - τυχαία μεταβλητή, F? =F; (x) είναι η συνάρτηση κατανομής της και είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση.

Πρέπει να σημειωθεί ότι εάν, τότε.

Πράγματι,

όπου εκμεταλλευτήκαμε το γεγονός ότι η μαθηματική προσδοκία του γινομένου ανεξάρτητων (περιορισμένων) τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους.

Η ιδιότητα (6) είναι βασική όταν αποδεικνύονται οριακά θεωρήματα για αθροίσματα ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με τη μέθοδο των χαρακτηριστικών συναρτήσεων. Από αυτή την άποψη, η συνάρτηση κατανομής εκφράζεται μέσω των συναρτήσεων διανομής μεμονωμένων όρων με πολύ πιο σύνθετο τρόπο, δηλαδή όπου το σύμβολο * σημαίνει μια συνέλιξη των κατανομών.

Κάθε συνάρτηση διανομής μπορεί να συσχετιστεί με μια τυχαία μεταβλητή που έχει αυτή τη συνάρτηση ως συνάρτηση διανομής. Επομένως, όταν παρουσιάζουμε τις ιδιότητες των χαρακτηριστικών συναρτήσεων, μπορούμε να περιοριστούμε στην εξέταση των χαρακτηριστικών συναρτήσεων των τυχαίων μεταβλητών.

Θεώρημα 1.Ας είναι? - μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση κατανομής F=F(x) και - τη χαρακτηριστική της συνάρτηση.

Πραγματοποιούνται οι ακόλουθες ιδιότητες:

) είναι ομοιόμορφα συνεχής σε?

) είναι συνάρτηση με πραγματική τιμή εάν και μόνο εάν η κατανομή του F είναι συμμετρική

)αν για μερικούς n; 1, τότε για όλα υπάρχουν παράγωγα και

)Αν υπάρχει και είναι πεπερασμένο, τότε

) Αφήστε για όλα n ; 1 και

τότε για όλα |t|

Το παρακάτω θεώρημα δείχνει ότι η χαρακτηριστική συνάρτηση καθορίζει μοναδικά τη συνάρτηση κατανομής.

Θεώρημα 2 (μοναδικότητα). Έστω F και G δύο συναρτήσεις κατανομής που έχουν την ίδια χαρακτηριστική συνάρτηση, δηλαδή για όλες

Το θεώρημα λέει ότι η συνάρτηση κατανομής F = F(x) μπορεί να αποκατασταθεί μοναδικά από τη χαρακτηριστική της συνάρτηση. Το παρακάτω θεώρημα δίνει μια ρητή αναπαράσταση της συνάρτησης F ως προς.

Θεώρημα 3 (τύπος γενίκευσης). Έστω F = F(x) η συνάρτηση κατανομής και η χαρακτηριστική της συνάρτηση.

α) Για οποιαδήποτε δύο σημεία α, β (α< b), где функция F = F(х) непрерывна,

) Αν τότε η συνάρτηση κατανομής F(x) έχει πυκνότητα f(x),

Θεώρημα 4. Για να είναι ανεξάρτητα τα συστατικά ενός τυχαίου διανύσματος, είναι απαραίτητο και αρκετό η χαρακτηριστική του συνάρτηση να είναι το γινόμενο των χαρακτηριστικών συναρτήσεων των συνιστωσών:

Θεώρημα Bochner-Khinchin . Έστω μια συνεχής συνάρτηση Για να είναι χαρακτηριστική, είναι απαραίτητο και αρκετό να είναι μη αρνητική οριστική, δηλαδή για οποιουσδήποτε πραγματικούς t1, ... , tn και οποιουσδήποτε μιγαδικούς αριθμούς.

Θεώρημα 5. Έστω η χαρακτηριστική συνάρτηση μιας τυχαίας μεταβλητής.

α) Αν για κάποιους, τότε η τυχαία μεταβλητή είναι πλέγμα με βήμα, δηλαδή

) Αν για δύο διαφορετικά σημεία, πού είναι ένας άρρητος αριθμός, τότε είναι τυχαία μεταβλητή; είναι εκφυλισμένος:

όπου το α είναι κάποια σταθερά.

γ) Αν, τότε είναι τυχαία μεταβλητή; εκφυλισμένος.

1.3 Κεντρικό οριακό θεώρημα για ανεξάρτητες πανομοιότυπα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές

Έστω () μια ακολουθία ανεξάρτητων, πανομοιότυπα κατανεμημένων τυχαίων μεταβλητών. Η προσδοκία M= a, διακύμανση D= , S = , και Ф(х) είναι η συνάρτηση κατανομής του κανονικού νόμου με παραμέτρους (0,1). Ας εισαγάγουμε μια άλλη ακολουθία τυχαίων μεταβλητών

Θεώρημα. Αν 0<<, то при n P(< x) Ф(х) равномерно относительно х ().

Σε αυτή την περίπτωση, η ακολουθία () ονομάζεται ασυμπτωτικά κανονική.

Από το γεγονός ότι M = 1 και από τα θεωρήματα της συνέχειας προκύπτει ότι, μαζί με την ασθενή σύγκλιση, FM f() Mf() για κάθε συνεχές όριο f, υπάρχει επίσης σύγκλιση M f() Mf() για κάθε συνεχή f , έτσι ώστε |f(x)|< c(1+|x|) при каком-нибудь.

Απόδειξη.

Η ομοιόμορφη σύγκλιση εδώ είναι συνέπεια της ασθενούς σύγκλισης και της συνέχειας του Ф(x). Επιπλέον, χωρίς απώλεια γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε a = 0, αφού διαφορετικά θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε την ακολουθία (), και η ακολουθία () δεν θα άλλαζε. Επομένως, για να αποδειχθεί η απαιτούμενη σύγκλιση αρκεί να δείξουμε ότι (t) e όταν a = 0. Έχουμε

(t) = , όπου =(t).

Αφού υπάρχει Μ, τότε υπάρχει και ισχύει η αποσύνθεση

Επομένως, για το ν

Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.

1.4 Οι κύριες εργασίες της μαθηματικής στατιστικής, η σύντομη περιγραφή τους

Η καθιέρωση προτύπων που διέπουν τα μαζικά τυχαία φαινόμενα βασίζεται στη μελέτη στατιστικών δεδομένων - των αποτελεσμάτων των παρατηρήσεων. Το πρώτο καθήκον των μαθηματικών στατιστικών είναι να υποδείξουν τρόπους συλλογής και ομαδοποίησης στατιστικών πληροφοριών. Το δεύτερο καθήκον της μαθηματικής στατιστικής είναι η ανάπτυξη μεθόδων για την ανάλυση στατιστικών δεδομένων, ανάλογα με τους στόχους της μελέτης.

Κατά την επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος μαθηματικών στατιστικών, υπάρχουν δύο πηγές πληροφοριών. Το πρώτο και πιο σαφές (ρητό) είναι το αποτέλεσμα παρατηρήσεων (πειράματος) με τη μορφή δείγματος από κάποιο γενικό πληθυσμό μιας βαθμωτής ή διανυσματικής τυχαίας μεταβλητής. Σε αυτήν την περίπτωση, το μέγεθος του δείγματος n μπορεί να καθοριστεί ή μπορεί να αυξηθεί κατά τη διάρκεια του πειράματος (δηλαδή, μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι λεγόμενες διαδικασίες διαδοχικής στατιστικής ανάλυσης).

Η δεύτερη πηγή είναι όλες a priori πληροφορίες σχετικά με τις ιδιότητες ενδιαφέροντος του υπό μελέτη αντικειμένου, οι οποίες έχουν συσσωρευτεί μέχρι την τρέχουσα στιγμή. Τυπικά, η ποσότητα των a priori πληροφοριών αντικατοπτρίζεται στο αρχικό στατιστικό μοντέλο που επιλέγεται κατά την επίλυση του προβλήματος. Ωστόσο, δεν χρειάζεται να μιλήσουμε για έναν κατά προσέγγιση προσδιορισμό με τη συνήθη έννοια της πιθανότητας ενός γεγονότος με βάση τα αποτελέσματα των πειραμάτων. Με τον κατά προσέγγιση προσδιορισμό μιας ποσότητας συνήθως εννοείται ότι είναι δυνατό να υποδειχθούν όρια σφάλματος εντός των οποίων δεν θα συμβεί σφάλμα. Η συχνότητα του συμβάντος είναι τυχαία για οποιοδήποτε αριθμό πειραμάτων λόγω της τυχαιότητας των αποτελεσμάτων μεμονωμένων πειραμάτων. Λόγω της τυχαιότητας των αποτελεσμάτων μεμονωμένων πειραμάτων, η συχνότητα μπορεί να αποκλίνει σημαντικά από την πιθανότητα του συμβάντος. Επομένως, ορίζοντας την άγνωστη πιθανότητα ενός συμβάντος ως τη συχνότητα αυτού του συμβάντος σε μεγάλο αριθμό πειραμάτων, δεν μπορούμε να υποδείξουμε τα όρια σφάλματος και να εγγυηθούμε ότι το σφάλμα δεν θα υπερβεί αυτά τα όρια. Επομένως, στις μαθηματικές στατιστικές συνήθως δεν μιλάμε για κατά προσέγγιση τιμές άγνωστων ποσοτήτων, αλλά για τις κατάλληλες τιμές, εκτιμήσεις τους.

Το πρόβλημα της εκτίμησης άγνωστων παραμέτρων προκύπτει σε περιπτώσεις όπου η συνάρτηση κατανομής πληθυσμού είναι γνωστή μέχρι μια παράμετρο. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι απαραίτητο να βρεθεί ένα στατιστικό στοιχείο του οποίου η τιμή δείγματος για την εξεταζόμενη υλοποίηση xn ενός τυχαίου δείγματος θα μπορούσε να θεωρηθεί ως κατά προσέγγιση τιμή της παραμέτρου. Μια στατιστική της οποίας η τιμή δείγματος για οποιαδήποτε πραγματοποίηση xn λαμβάνεται ως κατά προσέγγιση τιμή μιας άγνωστης παραμέτρου ονομάζεται σημειακή εκτίμηση ή απλώς εκτίμηση και είναι η τιμή μιας σημειακής εκτίμησης. Μια σημειακή εκτίμηση πρέπει να ικανοποιεί πολύ συγκεκριμένες απαιτήσεις προκειμένου η τιμή δείγματός της να αντιστοιχεί στην πραγματική τιμή της παραμέτρου.

Μια άλλη προσέγγιση για την επίλυση του προβλήματος που εξετάζεται είναι επίσης δυνατή: βρείτε τέτοια στατιστικά στοιχεία και, έτσι με πιθανότητα; ισχύει η ακόλουθη ανισότητα:

Σε αυτή την περίπτωση μιλάμε για εκτίμηση διαστήματος για. Διάστημα

ονομάζεται διάστημα εμπιστοσύνης για με τον συντελεστή εμπιστοσύνης;.

Έχοντας αξιολογήσει ένα ή άλλο στατιστικό χαρακτηριστικό με βάση τα αποτελέσματα των πειραμάτων, τίθεται το ερώτημα: πόσο συνεπής είναι η υπόθεση (υπόθεση) ότι το άγνωστο χαρακτηριστικό έχει ακριβώς την τιμή που λήφθηκε ως αποτέλεσμα της αξιολόγησής του με τα πειραματικά δεδομένα; Έτσι προκύπτει η δεύτερη σημαντική κατηγορία προβλημάτων στη μαθηματική στατιστική - προβλήματα ελέγχου υποθέσεων.

Κατά μία έννοια, το πρόβλημα του ελέγχου μιας στατιστικής υπόθεσης είναι το αντίστροφο του προβλήματος της εκτίμησης παραμέτρων. Κατά την εκτίμηση μιας παραμέτρου, δεν γνωρίζουμε τίποτα για την πραγματική της τιμή. Κατά τον έλεγχο μιας στατιστικής υπόθεσης, για κάποιο λόγο η αξία της θεωρείται ότι είναι γνωστή και είναι απαραίτητο να επαληθευτεί αυτή η υπόθεση με βάση τα αποτελέσματα του πειράματος.

Σε πολλά προβλήματα της μαθηματικής στατιστικής, εξετάζονται ακολουθίες τυχαίων μεταβλητών, που συγκλίνουν με τη μια ή την άλλη έννοια σε κάποιο όριο (τυχαία μεταβλητή ή σταθερά), όταν.

Έτσι, τα κύρια καθήκοντα της μαθηματικής στατιστικής είναι η ανάπτυξη μεθόδων για την εύρεση εκτιμήσεων και τη μελέτη της ακρίβειας της προσέγγισής τους στα χαρακτηριστικά που αξιολογούνται και η ανάπτυξη μεθόδων για τον έλεγχο υποθέσεων.

5 Έλεγχος στατιστικών υποθέσεων: βασικές έννοιες

Το καθήκον της ανάπτυξης ορθολογικών μεθόδων για τον έλεγχο στατιστικών υποθέσεων είναι ένα από τα κύρια καθήκοντα της μαθηματικής στατιστικής. Μια στατιστική υπόθεση (ή απλά μια υπόθεση) είναι οποιαδήποτε δήλωση σχετικά με τον τύπο ή τις ιδιότητες της κατανομής των τυχαίων μεταβλητών που παρατηρούνται σε ένα πείραμα.

Έστω ένα δείγμα που είναι υλοποίηση ενός τυχαίου δείγματος από έναν γενικό πληθυσμό, του οποίου η πυκνότητα κατανομής εξαρτάται από μια άγνωστη παράμετρο.

Οι στατιστικές υποθέσεις σχετικά με την άγνωστη πραγματική τιμή μιας παραμέτρου ονομάζονται παραμετρικές υποθέσεις. Επιπλέον, εάν είναι βαθμωτός, τότε μιλάμε για υποθέσεις μιας παραμέτρου, και εάν είναι διάνυσμα, τότε μιλάμε για υποθέσεις πολλαπλών παραμέτρων.

Μια στατιστική υπόθεση ονομάζεται απλή αν έχει τη μορφή

όπου είναι κάποια καθορισμένη τιμή παραμέτρου.

Μια στατιστική υπόθεση ονομάζεται σύνθετη αν έχει τη μορφή

όπου είναι ένα σύνολο τιμών παραμέτρων που αποτελείται από περισσότερα από ένα στοιχεία.

Στην περίπτωση ελέγχου δύο απλών στατιστικών υποθέσεων του εντύπου

όπου υπάρχουν δύο δεδομένες (διαφορετικές) τιμές της παραμέτρου, η πρώτη υπόθεση συνήθως ονομάζεται κύρια και η δεύτερη είναι η εναλλακτική ή ανταγωνιστική υπόθεση.

Το κριτήριο, ή το στατιστικό κριτήριο, για τον έλεγχο των υποθέσεων είναι ο κανόνας με τον οποίο, βάσει δειγματοληπτικών δεδομένων, λαμβάνεται μια απόφαση σχετικά με την εγκυρότητα είτε της πρώτης είτε της δεύτερης υπόθεσης.

Το κριτήριο καθορίζεται χρησιμοποιώντας ένα κρίσιμο σύνολο, το οποίο είναι ένα υποσύνολο του δειγματοληπτικού χώρου ενός τυχαίου δείγματος. Η απόφαση λαμβάνεται ως εξής:

) εάν το δείγμα ανήκει στο κρίσιμο σύνολο, τότε απορρίψτε την κύρια υπόθεση και αποδεχτείτε την εναλλακτική υπόθεση.

) εάν το δείγμα δεν ανήκει στο κρίσιμο σύνολο (δηλαδή ανήκει στο συμπλήρωμα του συνόλου στο χώρο του δείγματος), τότε η εναλλακτική υπόθεση απορρίπτεται και η κύρια υπόθεση γίνεται αποδεκτή.

Όταν χρησιμοποιείτε οποιοδήποτε κριτήριο, είναι δυνατοί οι ακόλουθοι τύποι σφαλμάτων:

1) αποδεχτείτε μια υπόθεση όταν είναι αληθινή - ένα λάθος πρώτου είδους.

) η αποδοχή μιας υπόθεσης όταν είναι αληθής είναι σφάλμα τύπου II.

Οι πιθανότητες διάπραξης σφαλμάτων του πρώτου και του δεύτερου τύπου υποδηλώνονται με:

όπου είναι η πιθανότητα ενός γεγονότος με την προϋπόθεση ότι η υπόθεση είναι αληθής Οι υποδεικνυόμενες πιθανότητες υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση πυκνότητας κατανομής ενός τυχαίου δείγματος:

Η πιθανότητα διάπραξης σφάλματος τύπου Ι ονομάζεται επίσης επίπεδο σημαντικότητας κριτηρίου.

Η τιμή ίση με την πιθανότητα απόρριψης της κύριας υπόθεσης όταν αυτή είναι αληθής ονομάζεται ισχύς του τεστ.

1.6 Κριτήριο ανεξαρτησίας

Υπάρχει ένα δείγμα ((XY), ..., (XY)) από μια δισδιάστατη κατανομή

L με άγνωστη συνάρτηση κατανομής για την οποία είναι απαραίτητο να ελεγχθεί η υπόθεση H: , όπου υπάρχουν μερικές μονοδιάστατες συναρτήσεις κατανομής.

Ένα απλό τεστ καλής προσαρμογής για την υπόθεση Η μπορεί να κατασκευαστεί με βάση τη μεθοδολογία. Αυτή η τεχνική χρησιμοποιείται για διακριτά μοντέλα με πεπερασμένο αριθμό αποτελεσμάτων, οπότε συμφωνούμε ότι η τυχαία μεταβλητή παίρνει έναν πεπερασμένο αριθμό s ορισμένων τιμών, τις οποίες θα συμβολίσουμε με γράμματα, και το δεύτερο συστατικό - τιμές k. Εάν το αρχικό μοντέλο έχει διαφορετική δομή, τότε οι πιθανές τιμές των τυχαίων μεταβλητών ομαδοποιούνται προκαταρκτικά χωριστά στην πρώτη και τη δεύτερη συνιστώσα. Σε αυτήν την περίπτωση, το σύνολο διαιρείται σε διαστήματα s, η τιμή ορίζεται σε k διαστήματα και η τιμή ορίζεται σε N=sk ορθογώνια.

Ας υποδηλώσουμε με τον αριθμό των παρατηρήσεων του ζεύγους (τον αριθμό των δειγματοληπτικών στοιχείων που ανήκουν στο ορθογώνιο, εάν τα δεδομένα είναι ομαδοποιημένα), έτσι ώστε. Είναι βολικό να τακτοποιήσετε τα αποτελέσματα της παρατήρησης με τη μορφή ενός πίνακα έκτακτης ανάγκης δύο πινακίδων (Πίνακας 1.1). Σε εφαρμογές, και συνήθως σημαίνει δύο κριτήρια με τα οποία ταξινομούνται τα αποτελέσματα της παρατήρησης.

Έστω P, i=1,…,s, j=1,…,k. Τότε η υπόθεση της ανεξαρτησίας σημαίνει ότι υπάρχουν s+k σταθερές τέτοιες που και, δηλ.

Πίνακας 1.1

Αθροισμα . . .. . .. . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .Αθροισμα . . .n

Έτσι, η υπόθεση H καταλήγει στη δήλωση ότι οι συχνότητες (ο αριθμός τους είναι N = sk) κατανέμονται σύμφωνα με έναν πολυωνυμικό νόμο με τις πιθανότητες των αποτελεσμάτων να έχουν την καθορισμένη συγκεκριμένη δομή (το διάνυσμα των πιθανοτήτων των αποτελεσμάτων p καθορίζεται από τις τιμές r = s + k-2 άγνωστων παραμέτρων.

Για να ελέγξουμε αυτήν την υπόθεση, θα βρούμε εκτιμήσεις μέγιστης πιθανότητας για τις άγνωστες παραμέτρους που καθορίζουν το υπό εξέταση σχήμα. Εάν η μηδενική υπόθεση είναι αληθής, τότε η συνάρτηση πιθανότητας έχει τη μορφή L(p)= όπου ο πολλαπλασιαστής c δεν εξαρτάται από τις άγνωστες παραμέτρους. Από εδώ, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Lagrange των αόριστων πολλαπλασιαστών, προκύπτει ότι οι απαιτούμενες εκτιμήσεις έχουν τη μορφή

Επομένως, στατιστικά

L() στο, αφού ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας στην οριακή κατανομή είναι ίσος με N-1-r=sk-1-(s+k-2)=(s-1)(k-1).

Έτσι, για αρκετά μεγάλο n, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο ακόλουθος κανόνας ελέγχου υποθέσεων: η υπόθεση H απορρίπτεται εάν και μόνο εάν η στατιστική τιμή t που υπολογίζεται από τα πραγματικά δεδομένα ικανοποιεί την ανισότητα

Αυτό το κριτήριο έχει ένα ασυμπτωτικά (σε) δεδομένο επίπεδο σημασίας και ονομάζεται κριτήριο ανεξαρτησίας.

2. ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ

1 Λύσεις σε προβλήματα σχετικά με τους τύπους σύγκλισης

1. Αποδείξτε ότι η σύγκλιση σχεδόν σίγουρα συνεπάγεται σύγκλιση στις πιθανότητες. Δώστε ένα παράδειγμα δοκιμής για να δείξετε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει.

Λύση. Αφήστε μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών να συγκλίνει σε μια τυχαία μεταβλητή x σχεδόν σίγουρα. Λοιπόν, για κανέναν; > 0

Από τότε

και από τη σύγκλιση του xn στο x προκύπτει σχεδόν σίγουρα ότι το xn συγκλίνει στο x κατά πιθανότητα, αφού σε αυτή την περίπτωση

Αλλά η αντίθετη δήλωση δεν είναι αλήθεια. Έστω μια ακολουθία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών που έχουν την ίδια συνάρτηση κατανομής F(x), ίση με μηδέν στο x; 0 και ίσο για x > 0. Θεωρήστε την ακολουθία

Αυτή η ακολουθία συγκλίνει στο μηδέν κατά πιθανότητα, αφού

τείνει στο μηδέν για οποιοδήποτε σταθερό; Και. Ωστόσο, η σύγκλιση στο μηδέν είναι σχεδόν βέβαιο ότι δεν θα πραγματοποιηθεί. Πραγματικά

τείνει στην ενότητα, δηλαδή με πιθανότητα 1 για οποιαδήποτε και n θα υπάρξουν πραγματοποιήσεις στην ακολουθία που υπερβαίνουν το ?.

Σημειώστε ότι με την παρουσία ορισμένων πρόσθετων συνθηκών που επιβάλλονται στα μεγέθη xn, η σύγκλιση στην πιθανότητα συνεπάγεται σύγκλιση σχεδόν σίγουρα.

Έστω xn μια μονότονη ακολουθία. Να αποδείξετε ότι σε αυτή την περίπτωση η σύγκλιση του xn στο x στην πιθανότητα συνεπάγεται τη σύγκλιση του xn στο x με την πιθανότητα 1.

Λύση. Έστω xn μια μονοτονικά φθίνουσα ακολουθία, δηλαδή. Για να απλοποιήσουμε τη συλλογιστική μας, θα υποθέσουμε ότι x º 0, xn ³ 0 για όλα τα n. Έστω ότι το xn συγκλίνει στο x κατά πιθανότητα, αλλά η σύγκλιση σχεδόν σίγουρα δεν λαμβάνει χώρα. Υπάρχει τότε; > 0, έτσι ώστε για όλα τα n

Αλλά αυτό που ειπώθηκε σημαίνει επίσης ότι για όλα τα ν

που έρχεται σε αντίθεση με τη σύγκλιση του xn στο x κατά πιθανότητα. Έτσι, για μια μονοτονική ακολουθία xn, η οποία συγκλίνει στο x κατά πιθανότητα, συγκλίνει επίσης με την πιθανότητα 1 (σχεδόν σίγουρα).

Αφήστε την ακολουθία xn να συγκλίνει στο x κατά πιθανότητα. Να αποδείξετε ότι από αυτήν την ακολουθία είναι δυνατό να απομονωθεί μια ακολουθία που συγκλίνει στο x με πιθανότητα 1 στο.

Λύση. Έστω κάποια ακολουθία θετικών αριθμών και έστω και θετικοί αριθμοί έτσι ώστε η σειρά. Ας κατασκευάσουμε μια ακολουθία δεικτών n1

Μετά η σειρά

Αφού η σειρά συγκλίνει, τότε για κανένα; > 0 το υπόλοιπο της σειράς τείνει στο μηδέν. Στη συνέχεια όμως τείνει στο μηδέν και

Αποδείξτε ότι η σύγκλιση κατά μέσο όρο οποιασδήποτε θετικής τάξης συνεπάγεται σύγκλιση στην πιθανότητα. Δώστε ένα παράδειγμα για να δείξετε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει.

Λύση. Αφήστε την ακολουθία xn να συγκλίνει σε μια τιμή x κατά μέσο όρο τάξης p > 0, δηλαδή

Ας χρησιμοποιήσουμε τη γενικευμένη ανισότητα Chebyshev: για αυθαίρετο; > 0 και p > 0

Κατευθύνοντας και λαμβάνοντας υπόψη αυτό, το καταφέρνουμε

δηλαδή το xn συγκλίνει στο x κατά πιθανότητα.

Ωστόσο, η σύγκλιση στην πιθανότητα δεν συνεπάγεται σύγκλιση κατά μέσο όρο της τάξης p > 0. Αυτό φαίνεται στο ακόλουθο παράδειγμα. Θεωρήστε τον χώρο πιθανοτήτων áW, F, Rñ, όπου F = B είναι η άλγεβρα Borel, R είναι το μέτρο Lebesgue.

Ας ορίσουμε μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών ως εξής:

Η ακολουθία xn συγκλίνει στο 0 κατά πιθανότητα, αφού

αλλά για οποιοδήποτε p > 0

δηλαδή δεν θα συγκλίνει κατά μέσο όρο.

Ας, τι για όλους ν . Να αποδείξετε ότι σε αυτή την περίπτωση το xn συγκλίνει στο x στο μέσο τετράγωνο.

Λύση. Να σημειώσουμε ότι... Ας πάρουμε μια εκτίμηση για. Ας εξετάσουμε μια τυχαία μεταβλητή. Ας είναι? - ένας αυθαίρετος θετικός αριθμός. Στη συνέχεια στις και στις.

Αν, τότε και. Ως εκ τούτου, . Και επειδή? αυθαίρετα μικρό και, στη συνέχεια, στο, δηλαδή, στη ρίζα μέσο τετραγωνικό.

Να αποδείξετε ότι αν το xn συγκλίνει στο x κατά πιθανότητα, τότε εμφανίζεται ασθενής σύγκλιση. Δώστε ένα παράδειγμα δοκιμής για να δείξετε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει.

Λύση. Ας αποδείξουμε ότι αν, τότε σε κάθε σημείο x, που είναι σημείο συνέχειας (αυτή είναι απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για ασθενή σύγκλιση), είναι η συνάρτηση κατανομής της τιμής xn, και - η τιμή του x.

Έστω x σημείο συνέχειας της συνάρτησης F. Αν, τότε τουλάχιστον μία από τις ανισώσεις ή είναι αληθής. Επειτα

Ομοίως, για τουλάχιστον μία από τις ανισότητες ή και

Αν, τότε για όσο μικρό επιθυμείτε; > 0 υπάρχει N έτσι ώστε για όλα τα n > N

Από την άλλη, αν το x είναι σημείο συνέχειας, είναι δυνατόν να βρεθεί κάτι τέτοιο; > 0, το οποίο για αυθαίρετα μικρό

Λοιπόν, για όσο μικρό θέλετε; και υπάρχει N τέτοιο ώστε για n >N

ή, τι είναι το ίδιο,

Αυτό σημαίνει ότι η σύγκλιση και λαμβάνει χώρα σε όλα τα σημεία της συνέχειας. Κατά συνέπεια, η ασθενής σύγκλιση προκύπτει από τη σύγκλιση στις πιθανότητες.

Η αντίστροφη δήλωση, σε γενικές γραμμές, δεν ισχύει. Για να το επαληθεύσουμε, ας πάρουμε μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών που δεν είναι ίσες με σταθερές με πιθανότητα 1 και έχουν την ίδια συνάρτηση κατανομής F(x). Υποθέτουμε ότι για όλα τα n οι ποσότητες και είναι ανεξάρτητες. Προφανώς, εμφανίζεται ασθενής σύγκλιση, αφού όλα τα μέλη της ακολουθίας έχουν την ίδια συνάρτηση κατανομής. Σκεφτείτε:

|Από την ανεξαρτησία και την πανομοιότυπη κατανομή των αξιών προκύπτει ότι

Ας επιλέξουμε μεταξύ όλων των συναρτήσεων κατανομής μη εκφυλισμένων τυχαίων μεταβλητών όπως η F(x) που θα είναι μη μηδενική για όλες τις αρκετά μικρές ?. Τότε δεν τείνει στο μηδέν με απεριόριστη αύξηση του n και η σύγκλιση στην πιθανότητα δεν θα πραγματοποιηθεί.

7. Έστω ασθενής σύγκλιση, όπου με πιθανότητα 1 υπάρχει σταθερά. Αποδείξτε ότι σε αυτή την περίπτωση θα συγκλίνει στο κατά πιθανότητα.

Λύση. Έστω η πιθανότητα 1 ίση με a. Τότε η ασθενής σύγκλιση σημαίνει σύγκλιση για οποιονδήποτε. Από τότε και στις. Δηλαδή στο και στο. Αυτό προκύπτει για κανέναν; > 0 πιθανότητα

τείνουν στο μηδέν στο. Αυτό σημαίνει ότι

τείνει στο μηδέν στο, δηλαδή συγκλίνει στο στην πιθανότητα.

2.2 Επίλυση προβλημάτων στο κέντρο κεντρικής θέρμανσης

Η τιμή της συνάρτησης γάμα Г(x) στο x= υπολογίζεται με τη μέθοδο Monte Carlo. Ας βρούμε τον ελάχιστο αριθμό δοκιμών που απαιτούνται ώστε με πιθανότητα 0,95 να μπορούμε να αναμένουμε ότι το σχετικό σφάλμα υπολογισμών θα είναι μικρότερο από ένα τοις εκατό.

Για μέχρι μια ακρίβεια έχουμε

Είναι γνωστό ότι

Έχοντας κάνει μια αλλαγή στο (1), φτάνουμε στο ολοκλήρωμα σε ένα πεπερασμένο διάστημα:

Μαζί μας λοιπόν

Όπως φαίνεται, μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή όπου και κατανέμεται ομοιόμορφα επάνω. Αφήστε να γίνουν στατιστικές δοκιμές. Τότε το στατιστικό ανάλογο είναι η ποσότητα

όπου, είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με ομοιόμορφη κατανομή. Εν

Από το CLT προκύπτει ότι είναι ασυμπτωτικά φυσιολογικό με τις παραμέτρους.

Αυτό σημαίνει ότι ο ελάχιστος αριθμός δοκιμών που εξασφαλίζουν κατά πάσα πιθανότητα το σχετικό σφάλμα του υπολογισμού δεν είναι μεγαλύτερος από ίσος.

Λαμβάνεται υπόψη μια ακολουθία 2000 ανεξάρτητων πανομοιότυπα κατανεμημένων τυχαίων μεταβλητών με μαθηματική προσδοκία 4 και διακύμανση 1,8. Ο αριθμητικός μέσος όρος αυτών των μεγεθών είναι μια τυχαία μεταβλητή. Προσδιορίστε την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να πάρει μια τιμή στο διάστημα (3,94; 4,12).

Έστω …,… μια ακολουθία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών που έχουν την ίδια κατανομή με M=a=4 και D==1,8. Τότε το CLT εφαρμόζεται στην ακολουθία (). Τυχαία τιμή

Πιθανότητα ότι θα πάρει μια τιμή στο διάστημα ():

Για n=2000, 3,94 και 4,12 παίρνουμε

3 Έλεγχος υποθέσεων χρησιμοποιώντας το κριτήριο της ανεξαρτησίας

Ως αποτέλεσμα της μελέτης, διαπιστώθηκε ότι 782 πατέρες με ανοιχτόχρωμα μάτια έχουν επίσης γιους με ανοιχτόχρωμα μάτια και 89 πατέρες με ανοιχτόχρωμα μάτια έχουν γιους με σκούρα μάτια. 50 πατέρες με σκούρα μάτια έχουν επίσης γιους με σκούρα μάτια και 79 πατέρες με σκούρα μάτια έχουν γιους με ανοιχτόχρωμα μάτια. Υπάρχει σχέση μεταξύ του χρώματος των ματιών των πατέρων και του χρώματος των ματιών των γιων τους; Πάρτε το επίπεδο εμπιστοσύνης στο 0,99.

Πίνακας 2.1

Παιδιά ΠατέρεςSumLight-eyedDark-eyedLight-eyed78279861Σκούρα μάτια8950139Sum8711291000

Η: Δεν υπάρχει σχέση μεταξύ του χρώματος των ματιών των παιδιών και των πατέρων.

Η: Υπάρχει σχέση μεταξύ του χρώματος των ματιών των παιδιών και των πατεράδων.

s=k=2 =90,6052 με 1 βαθμό ελευθερίας

Οι υπολογισμοί έγιναν στο Mathematica 6.

Εφόσον > , τότε η υπόθεση Η, σχετικά με την απουσία σχέσης μεταξύ του χρώματος των ματιών των πατέρων και των παιδιών, σε επίπεδο σημασίας, θα πρέπει να απορριφθεί και η εναλλακτική υπόθεση Η να γίνει δεκτή.

Αναφέρεται ότι η επίδραση του φαρμάκου εξαρτάται από τη μέθοδο εφαρμογής. Ελέγξτε αυτήν τη δήλωση χρησιμοποιώντας τα δεδομένα που παρουσιάζονται στον πίνακα. 2.2 Πάρτε το επίπεδο εμπιστοσύνης στο 0,95.

Πίνακας 2.2

Αποτέλεσμα Μέθοδος εφαρμογής ABC Unfavorable 111716 Favorable 202319

Λύση.

Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, θα χρησιμοποιήσουμε έναν πίνακα έκτακτης ανάγκης δύο χαρακτηριστικών.

Πίνακας 2.3

Αποτέλεσμα Μέθοδος εφαρμογής Ποσό ABC Μη ευνοϊκό 11171644 Ευνοϊκό 20231962 Ποσό 314035106

Η: η επίδραση των φαρμάκων δεν εξαρτάται από τον τρόπο χορήγησης

Η: η επίδραση των φαρμάκων εξαρτάται από τη μέθοδο εφαρμογής

Τα στατιστικά στοιχεία υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο

s=2, k=3, =0,734626 με 2 βαθμούς ελευθερίας.

Υπολογισμοί που έγιναν στο Mathematica 6

Από τους πίνακες κατανομής διαπιστώνουμε ότι.

Επειδή η< , то гипотезу H, про отсутствия зависимости действия лекарств от способа применения, при уровне значимости, следует принять.

συμπέρασμα

Η παρούσα εργασία παρουσιάζει θεωρητικούς υπολογισμούς από την ενότητα «Κριτήριο Ανεξαρτησίας», καθώς και «Οριατικά Θεωρήματα Θεωρίας Πιθανοτήτων», το μάθημα «Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική». Κατά τη διάρκεια της εργασίας, το κριτήριο της ανεξαρτησίας δοκιμάστηκε στην πράξη. Επίσης, για δεδομένες ακολουθίες ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών, ελέγχθηκε η εκπλήρωση του κεντρικού οριακού θεωρήματος.

Αυτή η εργασία βοήθησε να βελτιώσω τις γνώσεις μου για αυτά τα τμήματα της θεωρίας πιθανοτήτων, να εργαστώ με λογοτεχνικές πηγές και να κατακτήσω σταθερά την τεχνική του ελέγχου του κριτηρίου της ανεξαρτησίας.

θεώρημα πιθανολογικής στατιστικής υπόθεσης

Λίστα συνδέσμων

1. Συλλογή προβλημάτων από τη θεωρία πιθανοτήτων με λύσεις. Uch. επίδομα / Εκδ. V.V. Semenets. - Kharkov: KhTURE, 2000. - 320 p.

Gikhman I.I., Skorokhod A.V., Yadrenko M.I. Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική. - K.: Vishcha school, 1979. - 408 p.

Ivchenko G.I., Medvedev Yu.I., Μαθηματική στατιστική: Εγχειρίδιο. επίδομα για τα κολέγια. - Μ.: Πιο ψηλά. σχολείο, 1984. - 248 σ., .

Μαθηματική στατιστική: Σχολικό βιβλίο. για πανεπιστήμια / V.B. Goryainov, I.V. Pavlov, G.M. Tsvetkova και άλλοι. Εκδ. V.S. Zarubina, A.P. Krischenko. - Μ.: Εκδοτικός οίκος MSTU im. Ν.Ε. Bauman, 2001. - 424 σελ.

Φροντιστήριο

Χρειάζεστε βοήθεια για τη μελέτη ενός θέματος;

Οι ειδικοί μας θα συμβουλεύσουν ή θα παρέχουν υπηρεσίες διδασκαλίας σε θέματα που σας ενδιαφέρουν.
Υποβάλετε την αίτησή σαςυποδεικνύοντας το θέμα αυτή τη στιγμή για να ενημερωθείτε σχετικά με τη δυνατότητα λήψης μιας διαβούλευσης.