Τύπος Πυθαγόρειας περιοχής. Ιστορία του Πυθαγόρειου Θεωρήματος

Αριθμητική πρόοδος. Λεπτομερής θεωρίαμε παραδείγματα (2019)

Αριθμητική ακολουθία

Ας καθίσουμε λοιπόν και ας αρχίσουμε να γράφουμε μερικούς αριθμούς. Για παράδειγμα:
Μπορείτε να γράψετε οποιουσδήποτε αριθμούς και μπορεί να υπάρχουν όσοι από αυτούς θέλετε (στην περίπτωσή μας υπάρχουν). Όσους αριθμούς και να γράψουμε, μπορούμε πάντα να πούμε ποιος είναι πρώτος, ποιος δεύτερος και ούτω καθεξής μέχρι τον τελευταίο, δηλαδή μπορούμε να τους αριθμήσουμε. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ακολουθίας αριθμών:

Αριθμητική ακολουθία
Για παράδειγμα, για τη σειρά μας:

Ο εκχωρημένος αριθμός είναι συγκεκριμένος μόνο για έναν αριθμό της σειράς. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχουν τρεις δεύτεροι αριθμοί στην ακολουθία. Ο δεύτερος αριθμός (όπως και ο αριθμός) είναι πάντα ο ίδιος.
Ο αριθμός με αριθμό ονομάζεται ο όρος της ακολουθίας.

Συνήθως ονομάζουμε ολόκληρη την ακολουθία με κάποιο γράμμα (για παράδειγμα,) και κάθε μέλος αυτής της ακολουθίας είναι το ίδιο γράμμα με δείκτη ίσο με τον αριθμό αυτού του μέλους: .

Στην περίπτωσή μας:

Ας πούμε ότι έχουμε μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση.
Για παράδειγμα:

και τα λοιπά.
Αυτή η αριθμητική ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος.
Ο όρος «πρόοδος» εισήχθη από τον Ρωμαίο συγγραφέα Βοήθιο τον 6ο αιώνα και έγινε κατανοητός σε περισσότερα με μια ευρεία έννοια, σαν μια άπειρη ακολουθία αριθμών. Η ονομασία «αριθμητική» μεταφέρθηκε από τη θεωρία των συνεχών αναλογιών, την οποία μελετούσαν οι αρχαίοι Έλληνες.

Αυτή είναι μια αριθμητική ακολουθία, κάθε μέλος της οποίας είναι ίσο με το προηγούμενο που προστέθηκε στον ίδιο αριθμό. Ο αριθμός αυτός ονομάζεται διαφορά μιας αριθμητικής προόδου και ορίζεται.

Προσπαθήστε να προσδιορίσετε ποιες ακολουθίες αριθμών είναι αριθμητική πρόοδος και ποιες όχι:

ένα)
σι)
ντο)
ρε)

Το έπιασα; Ας συγκρίνουμε τις απαντήσεις μας:
Είναιαριθμητική πρόοδος - β, γ.
Δεν είναιαριθμητική πρόοδος - α, δ.

Ας επιστρέψουμε στο δεδομένης εξέλιξης() και προσπαθήστε να βρείτε την τιμή του ου μέλους του. Υπάρχει δύοτρόπο να το βρεις.

1. Μέθοδος

Μπορούμε να προσθέσουμε τον αριθμό προόδου στην προηγούμενη τιμή μέχρι να φτάσουμε στον ό όρο της προόδου. Είναι καλό που δεν έχουμε πολλά να συνοψίσουμε - μόνο τρεις τιμές:

Άρα, ο όρος της περιγραφόμενης αριθμητικής προόδου είναι ίσος με.

2. Μέθοδος

Τι θα γινόταν αν χρειαζόταν να βρούμε την τιμή του ου όρου της προόδου; Η άθροιση θα μας έπαιρνε περισσότερο από μία ώρα, και δεν είναι γεγονός ότι δεν θα κάναμε λάθη κατά την πρόσθεση αριθμών.
Φυσικά, οι μαθηματικοί έχουν βρει έναν τρόπο με τον οποίο δεν είναι απαραίτητο να προσθέσουμε τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου στην προηγούμενη τιμή. Ρίξτε μια πιο προσεκτική ματιά στη σχεδιασμένη εικόνα... Σίγουρα έχετε ήδη παρατηρήσει ένα συγκεκριμένο μοτίβο, δηλαδή:

Για παράδειγμα, ας δούμε από τι αποτελείται η τιμή του ου όρου αυτής της αριθμητικής προόδου:

Με άλλα λόγια:

Προσπαθήστε να βρείτε μόνοι σας την τιμή ενός μέλους μιας δεδομένης αριθμητικής προόδου με αυτόν τον τρόπο.

Υπολόγισες; Συγκρίνετε τις σημειώσεις σας με την απάντηση:

Λάβετε υπόψη ότι λάβατε ακριβώς τον ίδιο αριθμό με την προηγούμενη μέθοδο, όταν προσθέσαμε διαδοχικά τους όρους της αριθμητικής προόδου στην προηγούμενη τιμή.
Ας προσπαθήσουμε να «αποπροσωποποιήσουμε» αυτή τη φόρμουλα- ας την φέρουμε γενική μορφήκαι παίρνουμε:

Αριθμητική εξίσωση προόδου.

Οι αριθμητικές προόδους μπορεί να αυξάνονται ή να μειώνονται.

Αυξάνεται- προόδους στις οποίες κάθε επόμενη τιμή των όρων είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη.
Για παράδειγμα:

Φθίνων- προόδους στις οποίες κάθε επόμενη τιμή των όρων είναι μικρότερη από την προηγούμενη.
Για παράδειγμα:

Ο παραγόμενος τύπος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των όρων τόσο σε αύξοντες όσο και σε φθίνοντες όρους μιας αριθμητικής προόδου.
Ας το ελέγξουμε στην πράξη.
Μας δίνεται μια αριθμητική πρόοδος που αποτελείται από τους παρακάτω αριθμούς: Ας ελέγξουμε ποιος θα είναι ο αριθμός αυτής της αριθμητικής προόδου αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο μας για να τον υπολογίσουμε:

Από τότε:

Έτσι, είμαστε πεπεισμένοι ότι ο τύπος λειτουργεί τόσο σε φθίνουσα όσο και σε αυξανόμενη αριθμητική πρόοδο.
Προσπαθήστε να βρείτε μόνοι σας τους ου και τους όρους αυτής της αριθμητικής προόδου.

Ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα:

Ιδιότητα αριθμητικής προόδου

Ας περιπλέκουμε το πρόβλημα - θα αντλήσουμε την ιδιότητα της αριθμητικής προόδου.
Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται η εξής συνθήκη:
- αριθμητική πρόοδος, βρείτε την τιμή.
Εύκολα, λες και αρχίζεις να μετράς σύμφωνα με τον τύπο που ήδη ξέρεις:

Ας, α, τότε:

Απόλυτο δίκιο. Αποδεικνύεται ότι πρώτα βρίσκουμε, μετά το προσθέτουμε στον πρώτο αριθμό και παίρνουμε αυτό που ψάχνουμε. Εάν η πρόοδος αντιπροσωπεύεται από μικρές τιμές, τότε δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο σε αυτό, αλλά τι γίνεται αν μας δοθούν αριθμοί στη συνθήκη; Συμφωνώ, υπάρχει πιθανότητα να γίνει λάθος στους υπολογισμούς.
Τώρα σκεφτείτε εάν είναι δυνατό να λυθεί αυτό το πρόβλημα σε ένα βήμα χρησιμοποιώντας οποιονδήποτε τύπο; Φυσικά ναι, και αυτό θα προσπαθήσουμε να αναδείξουμε τώρα.

Ας υποδηλώσουμε τον απαιτούμενο όρο της αριθμητικής προόδου καθώς, ο τύπος για την εύρεση της είναι γνωστός σε εμάς - αυτός είναι ο ίδιος τύπος που αντλήσαμε στην αρχή:
, Επειτα:

ο προηγούμενος όρος της εξέλιξης είναι:
ο επόμενος όρος της εξέλιξης είναι:

Ας συνοψίσουμε τους προηγούμενους και τους επόμενους όρους της εξέλιξης:

Αποδεικνύεται ότι το άθροισμα των προηγούμενων και των επόμενων όρων της προόδου είναι η διπλή τιμή του όρου προόδου που βρίσκεται μεταξύ τους. Με άλλα λόγια, να βρούμε την τιμή του όρου προόδου δεδομένου του γνωστού προηγούμενου και διαδοχικές αξίες, πρέπει να τα προσθέσετε και να τα διαιρέσετε με.

Σωστά, έχουμε τον ίδιο αριθμό. Ας εξασφαλίσουμε το υλικό. Υπολογίστε μόνοι σας την αξία για την εξέλιξη, δεν είναι καθόλου δύσκολο.

Μπράβο! Ξέρεις σχεδόν τα πάντα για την εξέλιξη! Μένει να μάθουμε μόνο έναν τύπο, τον οποίο, σύμφωνα με το μύθο, συνήγαγε εύκολα ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών, ο «βασιλιάς των μαθηματικών» - ο Καρλ Γκάους...

Όταν ο Καρλ Γκάους ήταν 9 ετών, ένας δάσκαλος, απασχολημένος με τον έλεγχο της εργασίας των μαθητών σε άλλες τάξεις, ρώτησε το εξής πρόβλημα στην τάξη: «Υπολογίστε το άθροισμα όλων φυσικούς αριθμούςαπό έως (σύμφωνα με άλλες πηγές έως) συμπεριλαμβανομένων." Φανταστείτε την έκπληξη του δασκάλου όταν ένας από τους μαθητές του (αυτός ήταν ο Καρλ Γκάους) ένα λεπτό αργότερα έδωσε τη σωστή απάντηση στην εργασία, ενώ οι περισσότεροι από τους συμμαθητές του τολμηρού, μετά από μεγάλους υπολογισμούς, έλαβαν το λάθος αποτέλεσμα...

Ο νεαρός Carl Gauss παρατήρησε ένα συγκεκριμένο μοτίβο που μπορείτε εύκολα να παρατηρήσετε και εσείς.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια αριθμητική πρόοδο που αποτελείται από -ους όρους: Πρέπει να βρούμε το άθροισμα αυτών των όρων της αριθμητικής προόδου. Φυσικά, μπορούμε να αθροίσουμε χειροκίνητα όλες τις τιμές, αλλά τι γίνεται αν η εργασία απαιτεί την εύρεση του αθροίσματος των όρων της, όπως έψαχνε ο Gauss;

Ας απεικονίσουμε την εξέλιξη που μας δόθηκε. Ρίξτε μια πιο προσεκτική ματιά στους επισημασμένους αριθμούς και προσπαθήστε να εκτελέσετε διάφορες μαθηματικές πράξεις με αυτούς.

Το έχεις δοκιμάσει; Τι προσέξατε; Σωστά! Τα αθροίσματά τους είναι ίσα

Πες μου τώρα, πόσα τέτοια ζευγάρια υπάρχουν συνολικά στην εξέλιξη που μας δόθηκε; Φυσικά, ακριβώς το ήμισυ όλων των αριθμών, δηλαδή.
Με βάση το γεγονός ότι το άθροισμα δύο όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι ίσο και παρόμοια ζεύγη είναι ίσα, προκύπτει ότι συνολικό ποσόείναι ίσο με:
.
Έτσι, ο τύπος για το άθροισμα των πρώτων όρων οποιασδήποτε αριθμητικής προόδου θα είναι:

Σε ορισμένα προβλήματα δεν γνωρίζουμε τον όρο, αλλά γνωρίζουμε τη διαφορά της προόδου. Προσπαθήστε να αντικαταστήσετε τον τύπο του ου όρου με τον τύπο του αθροίσματος.
Τι πήρες;

Μπράβο! Ας επιστρέψουμε τώρα στο πρόβλημα που τέθηκε στον Carl Gauss: υπολογίστε μόνοι σας με τι ισούται το άθροισμα των αριθμών που ξεκινούν από το ου και το άθροισμα των αριθμών που ξεκινούν από το th.

Πόσα πήρες;
Ο Gauss βρήκε ότι το άθροισμα των όρων είναι ίσο και το άθροισμα των όρων. Αυτό αποφάσισες;

Στην πραγματικότητα, ο τύπος για το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου αποδείχθηκε από τον αρχαίο Έλληνα επιστήμονα Διόφαντο τον 3ο αιώνα και σε όλη αυτή την περίοδο. πνευματώδεις άνθρωποιέκανε πλήρη χρήση των ιδιοτήτων της αριθμητικής προόδου.
Για παράδειγμα, φανταστείτε Αρχαία Αίγυπτοςκαι το μεγαλύτερο κατασκευαστικό έργο εκείνης της εποχής - η κατασκευή μιας πυραμίδας... Η εικόνα δείχνει τη μία πλευρά της.

Πού είναι η εξέλιξη εδώ, λέτε; Κοιτάξτε προσεκτικά και βρείτε ένα σχέδιο στον αριθμό των τεμαχίων άμμου σε κάθε σειρά του τοίχου της πυραμίδας.

Γιατί όχι μια αριθμητική πρόοδος; Υπολογίστε πόσα τετράγωνα χρειάζονται για να χτιστεί ένας τοίχος εάν τοποθετηθούν τούβλα από τούβλα στη βάση. Ελπίζω να μην μετράτε ενώ μετακινείτε το δάχτυλό σας στην οθόνη, θυμάστε τον τελευταίο τύπο και όλα όσα είπαμε για την αριθμητική πρόοδο;

ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηΗ εξέλιξη μοιάζει με αυτό: .
Αριθμητική διαφορά προόδου.
Ο αριθμός των όρων μιας αριθμητικής προόδου.
Ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα μας στους τελευταίους τύπους (υπολογίστε τον αριθμό των μπλοκ με 2 τρόπους).

Μέθοδος 1.

Μέθοδος 2.

Και τώρα μπορείτε να υπολογίσετε στην οθόνη: συγκρίνετε τις λαμβανόμενες τιμές με τον αριθμό των μπλοκ που βρίσκονται στην πυραμίδα μας. Το έπιασα; Μπράβο, καταλάβατε το άθροισμα των ντων όρων μιας αριθμητικής προόδου.
Φυσικά, δεν μπορείτε να χτίσετε μια πυραμίδα από μπλοκ στη βάση, αλλά από; Προσπαθήστε να υπολογίσετε πόσα τούβλα άμμου χρειάζονται για να χτίσετε έναν τοίχο με αυτήν την κατάσταση.
Κατάφερες;
Η σωστή απάντηση είναι μπλοκ:

Εκπαίδευση

Καθήκοντα:

Η Μάσα παίρνει φόρμα για το καλοκαίρι. Κάθε μέρα αυξάνει τον αριθμό των squats κατά. Πόσες φορές θα κάνει η Μάσα squat σε μια εβδομάδα αν έκανε squat στην πρώτη προπόνηση;
Ποιο είναι το άθροισμα όλων των περιττών αριθμών που περιέχονται.
Κατά την αποθήκευση αρχείων καταγραφής, τα καταγραφικά τα στοιβάζουν με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε επάνω στρώμα να περιέχει ένα αρχείο καταγραφής λιγότερο από το προηγούμενο. Πόσοι κορμοί υπάρχουν σε μια τοιχοποιία, αν το θεμέλιο της τοιχοποιίας είναι κορμοί;

Απαντήσεις:

Ας ορίσουμε τις παραμέτρους της αριθμητικής προόδου. Σε αυτήν την περίπτωση
(εβδομάδες = ημέρες).
Απάντηση:Σε δύο εβδομάδες, η Μάσα πρέπει να κάνει squats μία φορά την ημέρα.
Πρώτος μονός αριθμός, τελευταίος αριθμός.
Αριθμητική διαφορά προόδου.
Ο αριθμός των περιττών αριθμών είναι ο μισός, ωστόσο, ας ελέγξουμε αυτό το γεγονός χρησιμοποιώντας τον τύπο για την εύρεση του ου όρου μιας αριθμητικής προόδου:
Οι αριθμοί περιέχουν περιττούς αριθμούς.
Ας αντικαταστήσουμε τα διαθέσιμα δεδομένα στον τύπο:
Απάντηση:Το άθροισμα όλων των περιττών αριθμών που περιέχονται σε είναι ίσο.
Ας θυμηθούμε το πρόβλημα με τις πυραμίδες. Για την περίπτωσή μας, ένα , αφού κάθε επάνω στρώμα μειώνεται κατά ένα κούτσουρο, τότε συνολικά υπάρχουν ένα σωρό στρώματα, δηλαδή.
Ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα στον τύπο:
Απάντηση:Στην τοιχοποιία υπάρχουν κορμοί.

Ας το συνοψίσουμε

- μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση. Μπορεί να αυξάνεται ή να μειώνεται.
Εύρεση φόρμουλαςΟ όρος μιας αριθμητικής προόδου γράφεται με τον τύπο - , όπου είναι ο αριθμός των αριθμών στην πρόοδο.
Ιδιότητα μελών μιας αριθμητικής προόδου- - πού είναι ο αριθμός των αριθμών σε εξέλιξη.
Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδουμπορεί να βρεθεί με δύο τρόπους:

, όπου είναι ο αριθμός των τιμών.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Αριθμητική ακολουθία

Ας καθίσουμε να αρχίσουμε να γράφουμε κάποιους αριθμούς. Για παράδειγμα:

Μπορείτε να γράψετε οποιουσδήποτε αριθμούς και μπορεί να υπάρχουν όσοι από αυτούς θέλετε. Μπορούμε όμως πάντα να πούμε ποιο είναι πρώτο, ποιο δεύτερο και ούτω καθεξής, δηλαδή μπορούμε να τα αριθμήσουμε. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ακολουθίας αριθμών.

Αριθμητική ακολουθίαείναι ένα σύνολο αριθμών, στον καθένα από τους οποίους μπορεί να εκχωρηθεί ένας μοναδικός αριθμός.

Με άλλα λόγια, κάθε αριθμός μπορεί να συσχετιστεί με έναν συγκεκριμένο φυσικό αριθμό και έναν μοναδικό. Και δεν θα εκχωρήσουμε αυτόν τον αριθμό σε κανέναν άλλο αριθμό από αυτό το σύνολο.

Ο αριθμός με αριθμό λέγεται το ου μέλος της ακολουθίας.

Είναι πολύ βολικό εάν ο όρος της ακολουθίας μπορεί να προσδιοριστεί με κάποιον τύπο. Για παράδειγμα, ο τύπος

ορίζει τη σειρά:

Και ο τύπος είναι η ακόλουθη σειρά:

Για παράδειγμα, μια αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία (ο πρώτος όρος εδώ είναι ίσος και η διαφορά είναι). Ή (, διαφορά).

Φόρμουλα ντος όρος

Ονομάζουμε έναν τύπο επαναλαμβανόμενο στον οποίο, για να μάθετε τον όρο, πρέπει να γνωρίζετε τον προηγούμενο ή πολλούς προηγούμενους:

Για να βρούμε, για παράδειγμα, τον όρο της προόδου χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, θα πρέπει να υπολογίσουμε τους προηγούμενους εννέα. Για παράδειγμα, αφήστε το. Επειτα:

Λοιπόν, είναι ξεκάθαρο τώρα ποια είναι η φόρμουλα;

Σε κάθε γραμμή που προσθέτουμε, πολλαπλασιαζόμενη με κάποιο αριθμό. Ποιό απ'όλα; Πολύ απλό: αυτός είναι ο αριθμός του τρέχοντος μέλους μείον:

Πολύ πιο βολικό τώρα, σωστά; Ελέγχουμε:

Αποφασίστε μόνοι σας:

Σε μια αριθμητική πρόοδο, βρείτε τον τύπο για τον nο όρο και βρείτε τον εκατοστό όρο.

Λύση:

Ο πρώτος όρος είναι ίσος. Ποιά είναι η διαφορά; Να τι:

(Γι' αυτό λέγεται διαφορά γιατί ισούται με τη διαφορά διαδοχικών όρων της προόδου).

Λοιπόν, ο τύπος:

Τότε ο εκατοστός όρος ισούται με:

Ποιο είναι το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών από έως;

Σύμφωνα με τον μύθο, μεγάλος μαθηματικόςΟ Καρλ Γκάους, ως 9χρονο αγόρι, υπολόγισε αυτό το ποσό μέσα σε λίγα λεπτά. Παρατήρησε ότι το άθροισμα του πρώτου και του τελευταίου αριθμού είναι ίσο, το άθροισμα του δεύτερου και του προτελευταίου είναι το ίδιο, το άθροισμα του τρίτου και του 3ου από το τέλος είναι το ίδιο κ.ο.κ. Πόσα τέτοια ζευγάρια υπάρχουν συνολικά; Σωστά, ακριβώς ο μισός αριθμός όλων των αριθμών, δηλαδή. Ετσι,

Ο γενικός τύπος για το άθροισμα των πρώτων όρων οποιασδήποτε αριθμητικής προόδου θα είναι:

Παράδειγμα:
Βρείτε το άθροισμα όλων διψήφιους αριθμούς, πολλαπλάσια.

Λύση:

Ο πρώτος τέτοιος αριθμός είναι αυτός. Κάθε επόμενο λαμβάνεται με προσθήκη σε προηγούμενη ημερομηνία. Έτσι, διαμορφώνονται οι αριθμοί που μας ενδιαφέρουν αριθμητική πρόοδοςμε τον πρώτο όρο και διαφορά.

Τύπος του ου όρου για αυτήν την εξέλιξη:

Πόσοι όροι υπάρχουν στην πρόοδο αν πρέπει όλοι να είναι διψήφιοι;

Πολύ εύκολο: .

Ο τελευταίος όρος της προόδου θα είναι ίσος. Τότε το άθροισμα:

Απάντηση: .

Τώρα αποφασίστε μόνοι σας:

Κάθε μέρα ο αθλητής τρέχει περισσότερα μέτρα από την προηγούμενη. Πόσα συνολικά χιλιόμετρα θα τρέξει σε μια εβδομάδα, αν την πρώτη μέρα έτρεξε km m;
Ένας ποδηλάτης διανύει περισσότερα χιλιόμετρα κάθε μέρα από την προηγούμενη. Την πρώτη μέρα ταξίδεψε χλμ. Πόσες μέρες χρειάζεται να διανύσει για να διανύσει ένα χιλιόμετρο; Πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει την τελευταία μέρα του ταξιδιού του;
Η τιμή ενός ψυγείου σε ένα κατάστημα μειώνεται κατά το ίδιο ποσό κάθε χρόνο. Προσδιορίστε πόσο μειώθηκε η τιμή ενός ψυγείου κάθε χρόνο, εάν, έξι χρόνια αργότερα, πωλούνταν για ρούβλια.

Απαντήσεις:

Το πιο σημαντικό εδώ είναι να αναγνωρίσουμε την αριθμητική πρόοδο και να καθορίσουμε τις παραμέτρους της. Σε αυτή την περίπτωση, (εβδομάδες = ημέρες). Πρέπει να προσδιορίσετε το άθροισμα των πρώτων όρων αυτής της προόδου:
.
Απάντηση:
Εδώ δίνεται: , πρέπει να βρεθεί.
Προφανώς, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ίδιο τύπο αθροίσματος όπως στο προηγούμενο πρόβλημα:
.
Αντικαταστήστε τις τιμές:
Η ρίζα προφανώς δεν ταιριάζει, οπότε η απάντηση είναι.
Ας υπολογίσουμε τη διαδρομή που διανύθηκε την τελευταία ημέρα χρησιμοποιώντας τον τύπο του ου όρου:
(χλμ).
Απάντηση:
Δόθηκαν: . Εύρημα: .
Δεν θα μπορούσε να είναι πιο απλό:
(τρίψιμο).
Απάντηση:

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

Αυτή είναι μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση.

Η αριθμητική πρόοδος μπορεί να είναι αύξουσα () και φθίνουσα ().

Για παράδειγμα:

Τύπος για την εύρεση του ν ου όρου μιας αριθμητικής προόδου

γράφεται από τον τύπο, όπου είναι ο αριθμός των αριθμών σε εξέλιξη.

Ιδιότητα μελών μιας αριθμητικής προόδου

Σας επιτρέπει να βρείτε εύκολα έναν όρο μιας προόδου εάν είναι γνωστοί οι γειτονικοί όροι της - πού είναι ο αριθμός των αριθμών στην πρόοδο.

Άθροισμα όρων μιας αριθμητικής προόδου

Υπάρχουν δύο τρόποι για να βρείτε το ποσό:

Πού είναι ο αριθμός των τιμών.

Πρώτο επίπεδο

Αριθμητική πρόοδος. Λεπτομερής θεωρία με παραδείγματα (2019)

Αριθμητική ακολουθία

Αριθμητική ακολουθία
Για παράδειγμα, για τη σειρά μας:

Στην περίπτωσή μας:

και τα λοιπά.
Αυτή η αριθμητική ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος.
Ο όρος «πρόοδος» εισήχθη από τον Ρωμαίο συγγραφέα Βοήθιο τον 6ο αιώνα και έγινε κατανοητός με μια ευρύτερη έννοια ως μια άπειρη αριθμητική ακολουθία. Η ονομασία «αριθμητική» μεταφέρθηκε από τη θεωρία των συνεχών αναλογιών, την οποία μελετούσαν οι αρχαίοι Έλληνες.

Προσπαθήστε να προσδιορίσετε ποιες ακολουθίες αριθμών είναι αριθμητική πρόοδος και ποιες όχι:

ένα)
σι)
ντο)
ρε)

Ας επιστρέψουμε στη δεδομένη πρόοδο () και ας προσπαθήσουμε να βρούμε την τιμή του ου όρου της. Υπάρχει δύοτρόπο να το βρεις.

1. Μέθοδος

Άρα, ο όρος της περιγραφόμενης αριθμητικής προόδου είναι ίσος με.

2. Μέθοδος

Για παράδειγμα, ας δούμε από τι αποτελείται η τιμή του ου όρου αυτής της αριθμητικής προόδου:

Με άλλα λόγια:

Προσπαθήστε να βρείτε μόνοι σας την τιμή ενός μέλους μιας δεδομένης αριθμητικής προόδου με αυτόν τον τρόπο.

Υπολόγισες; Συγκρίνετε τις σημειώσεις σας με την απάντηση:

Λάβετε υπόψη ότι λάβατε ακριβώς τον ίδιο αριθμό με την προηγούμενη μέθοδο, όταν προσθέσαμε διαδοχικά τους όρους της αριθμητικής προόδου στην προηγούμενη τιμή.
Ας προσπαθήσουμε να "αποπροσωποποιήσουμε" αυτόν τον τύπο - ας τον βάλουμε σε γενική μορφή και ας πάρουμε:

Αριθμητική εξίσωση προόδου.

Οι αριθμητικές προόδους μπορεί να αυξάνονται ή να μειώνονται.

Ο παραγόμενος τύπος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των όρων τόσο σε αύξοντες όσο και σε φθίνοντες όρους μιας αριθμητικής προόδου.
Ας το ελέγξουμε στην πράξη.
Μας δίνεται μια αριθμητική πρόοδος που αποτελείται από τους ακόλουθους αριθμούς: Ας ελέγξουμε ποιος θα είναι ο ος αριθμός αυτής της αριθμητικής προόδου αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο μας για να τον υπολογίσουμε:

Από τότε:

Ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα:

Ιδιότητα αριθμητικής προόδου

Ας, α, τότε:

ο προηγούμενος όρος της εξέλιξης είναι:
ο επόμενος όρος της εξέλιξης είναι:

Ας συνοψίσουμε τους προηγούμενους και τους επόμενους όρους της εξέλιξης:

Αποδεικνύεται ότι το άθροισμα των προηγούμενων και των επόμενων όρων της προόδου είναι η διπλή τιμή του όρου προόδου που βρίσκεται μεταξύ τους. Με άλλα λόγια, για να βρείτε την τιμή ενός όρου προόδου με γνωστές προηγούμενες και διαδοχικές τιμές, πρέπει να τις προσθέσετε και να διαιρέσετε με.

Όταν ο Carl Gauss ήταν 9 ετών, ένας δάσκαλος, απασχολημένος με τον έλεγχο της εργασίας των μαθητών σε άλλες τάξεις, ανέθεσε την ακόλουθη εργασία στην τάξη: «Υπολογίστε το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών από έως (σύμφωνα με άλλες πηγές) χωρίς αποκλεισμούς». Φανταστείτε την έκπληξη του δασκάλου όταν ένας από τους μαθητές του (αυτός ήταν ο Καρλ Γκάους) ένα λεπτό αργότερα έδωσε τη σωστή απάντηση στην εργασία, ενώ οι περισσότεροι από τους συμμαθητές του τολμηρού, μετά από μεγάλους υπολογισμούς, έλαβαν το λάθος αποτέλεσμα...

Πες μου τώρα, πόσα τέτοια ζευγάρια υπάρχουν συνολικά στην εξέλιξη που μας δόθηκε; Φυσικά, ακριβώς το ήμισυ όλων των αριθμών, δηλαδή.
Με βάση το γεγονός ότι το άθροισμα δύο όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι ίσο και παρόμοια ζεύγη είναι ίσα, προκύπτει ότι το συνολικό άθροισμα είναι ίσο με:
.
Έτσι, ο τύπος για το άθροισμα των πρώτων όρων οποιασδήποτε αριθμητικής προόδου θα είναι:

Πόσα πήρες;
Ο Gauss βρήκε ότι το άθροισμα των όρων είναι ίσο και το άθροισμα των όρων. Αυτό αποφάσισες;

Στην πραγματικότητα, ο τύπος για το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου αποδείχθηκε από τον αρχαίο Έλληνα επιστήμονα Διόφαντο τον 3ο αιώνα και σε όλο αυτό το διάστημα, πνευματώδεις άνθρωποι έκαναν πλήρη χρήση των ιδιοτήτων της αριθμητικής προόδου.
Για παράδειγμα, φανταστείτε την Αρχαία Αίγυπτο και το μεγαλύτερο κατασκευαστικό έργο εκείνης της εποχής - την κατασκευή μιας πυραμίδας... Η εικόνα δείχνει τη μία πλευρά της.

Σε αυτήν την περίπτωση, η εξέλιξη μοιάζει με αυτό: .
Αριθμητική διαφορά προόδου.
Ο αριθμός των όρων μιας αριθμητικής προόδου.
Ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα μας στους τελευταίους τύπους (υπολογίστε τον αριθμό των μπλοκ με 2 τρόπους).

Μέθοδος 1.

Μέθοδος 2.

Εκπαίδευση

Καθήκοντα:

Η Μάσα παίρνει φόρμα για το καλοκαίρι. Κάθε μέρα αυξάνει τον αριθμό των squats κατά. Πόσες φορές θα κάνει η Μάσα squat σε μια εβδομάδα αν έκανε squat στην πρώτη προπόνηση;
Ποιο είναι το άθροισμα όλων των περιττών αριθμών που περιέχονται.
Κατά την αποθήκευση αρχείων καταγραφής, τα καταγραφικά τα στοιβάζουν με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε επάνω στρώμα να περιέχει ένα αρχείο καταγραφής λιγότερο από το προηγούμενο. Πόσοι κορμοί υπάρχουν σε μια τοιχοποιία, αν το θεμέλιο της τοιχοποιίας είναι κορμοί;

Απαντήσεις:

Ας ορίσουμε τις παραμέτρους της αριθμητικής προόδου. Σε αυτήν την περίπτωση
(εβδομάδες = ημέρες).
Απάντηση:Σε δύο εβδομάδες, η Μάσα πρέπει να κάνει squats μία φορά την ημέρα.
Πρώτος μονός αριθμός, τελευταίος αριθμός.
Αριθμητική διαφορά προόδου.
Ο αριθμός των περιττών αριθμών είναι ο μισός, ωστόσο, ας ελέγξουμε αυτό το γεγονός χρησιμοποιώντας τον τύπο για την εύρεση του ου όρου μιας αριθμητικής προόδου:
Οι αριθμοί περιέχουν περιττούς αριθμούς.
Ας αντικαταστήσουμε τα διαθέσιμα δεδομένα στον τύπο:
Απάντηση:Το άθροισμα όλων των περιττών αριθμών που περιέχονται σε είναι ίσο.
Ας θυμηθούμε το πρόβλημα με τις πυραμίδες. Για την περίπτωσή μας, ένα , αφού κάθε επάνω στρώμα μειώνεται κατά ένα κούτσουρο, τότε συνολικά υπάρχουν ένα σωρό στρώματα, δηλαδή.
Ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα στον τύπο:
Απάντηση:Στην τοιχοποιία υπάρχουν κορμοί.

Ας το συνοψίσουμε

- μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση. Μπορεί να αυξάνεται ή να μειώνεται.
Εύρεση φόρμουλαςΟ όρος μιας αριθμητικής προόδου γράφεται με τον τύπο - , όπου είναι ο αριθμός των αριθμών στην πρόοδο.
Ιδιότητα μελών μιας αριθμητικής προόδου- - πού είναι ο αριθμός των αριθμών σε εξέλιξη.
Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδουμπορεί να βρεθεί με δύο τρόπους:

, όπου είναι ο αριθμός των τιμών.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Αριθμητική ακολουθία

Ας καθίσουμε να αρχίσουμε να γράφουμε κάποιους αριθμούς. Για παράδειγμα:

Ο αριθμός με αριθμό λέγεται το ου μέλος της ακολουθίας.

Είναι πολύ βολικό εάν ο όρος της ακολουθίας μπορεί να προσδιοριστεί με κάποιον τύπο. Για παράδειγμα, ο τύπος

ορίζει τη σειρά:

Και ο τύπος είναι η ακόλουθη σειρά:

Φόρμουλα ντος όρος

Λοιπόν, είναι ξεκάθαρο τώρα ποια είναι η φόρμουλα;

Πολύ πιο βολικό τώρα, σωστά; Ελέγχουμε:

Αποφασίστε μόνοι σας:

Σε μια αριθμητική πρόοδο, βρείτε τον τύπο για τον nο όρο και βρείτε τον εκατοστό όρο.

Λύση:

Ο πρώτος όρος είναι ίσος. Ποιά είναι η διαφορά; Να τι:

(Γι' αυτό λέγεται διαφορά γιατί ισούται με τη διαφορά διαδοχικών όρων της προόδου).

Λοιπόν, ο τύπος:

Τότε ο εκατοστός όρος ισούται με:

Ποιο είναι το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών από έως;

Σύμφωνα με το μύθο, ο μεγάλος μαθηματικός Carl Gauss, ως 9χρονο αγόρι, υπολόγισε αυτό το ποσό μέσα σε λίγα λεπτά. Παρατήρησε ότι το άθροισμα του πρώτου και του τελευταίου αριθμού είναι ίσο, το άθροισμα του δεύτερου και του προτελευταίου είναι το ίδιο, το άθροισμα του τρίτου και του 3ου από το τέλος είναι το ίδιο κ.ο.κ. Πόσα τέτοια ζευγάρια υπάρχουν συνολικά; Σωστά, ακριβώς ο μισός αριθμός όλων των αριθμών, δηλαδή. Ετσι,

Ο γενικός τύπος για το άθροισμα των πρώτων όρων οποιασδήποτε αριθμητικής προόδου θα είναι:

Παράδειγμα:
Βρείτε το άθροισμα όλων των διψήφιων πολλαπλασίων.

Λύση:

Ο πρώτος τέτοιος αριθμός είναι αυτός. Κάθε επόμενος αριθμός προκύπτει προσθέτοντας στον προηγούμενο αριθμό. Έτσι, οι αριθμοί που μας ενδιαφέρουν σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο με τον πρώτο όρο και τη διαφορά.

Τύπος του ου όρου για αυτήν την εξέλιξη:

Πόσοι όροι υπάρχουν στην πρόοδο αν πρέπει όλοι να είναι διψήφιοι;

Πολύ εύκολο: .

Ο τελευταίος όρος της προόδου θα είναι ίσος. Τότε το άθροισμα:

Απάντηση: .

Τώρα αποφασίστε μόνοι σας:

Κάθε μέρα ο αθλητής τρέχει περισσότερα μέτρα από την προηγούμενη. Πόσα συνολικά χιλιόμετρα θα τρέξει σε μια εβδομάδα, αν την πρώτη μέρα έτρεξε km m;
Ένας ποδηλάτης διανύει περισσότερα χιλιόμετρα κάθε μέρα από την προηγούμενη. Την πρώτη μέρα ταξίδεψε χλμ. Πόσες μέρες χρειάζεται να διανύσει για να διανύσει ένα χιλιόμετρο; Πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει την τελευταία μέρα του ταξιδιού του;
Η τιμή ενός ψυγείου σε ένα κατάστημα μειώνεται κατά το ίδιο ποσό κάθε χρόνο. Προσδιορίστε πόσο μειώθηκε η τιμή ενός ψυγείου κάθε χρόνο, εάν, έξι χρόνια αργότερα, πωλούνταν για ρούβλια.

Απαντήσεις:

Το πιο σημαντικό εδώ είναι να αναγνωρίσουμε την αριθμητική πρόοδο και να καθορίσουμε τις παραμέτρους της. Σε αυτή την περίπτωση, (εβδομάδες = ημέρες). Πρέπει να προσδιορίσετε το άθροισμα των πρώτων όρων αυτής της προόδου:
.
Απάντηση:
Εδώ δίνεται: , πρέπει να βρεθεί.
Προφανώς, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ίδιο τύπο αθροίσματος όπως στο προηγούμενο πρόβλημα:
.
Αντικαταστήστε τις τιμές:
Η ρίζα προφανώς δεν ταιριάζει, οπότε η απάντηση είναι.
Ας υπολογίσουμε τη διαδρομή που διανύθηκε την τελευταία ημέρα χρησιμοποιώντας τον τύπο του ου όρου:
(χλμ).
Απάντηση:
Δόθηκαν: . Εύρημα: .
Δεν θα μπορούσε να είναι πιο απλό:
(τρίψιμο).
Απάντηση:

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

Αυτή είναι μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση.

Η αριθμητική πρόοδος μπορεί να είναι αύξουσα () και φθίνουσα ().

Για παράδειγμα:

Τύπος για την εύρεση του ν ου όρου μιας αριθμητικής προόδου

γράφεται από τον τύπο, όπου είναι ο αριθμός των αριθμών σε εξέλιξη.

Ιδιότητα μελών μιας αριθμητικής προόδου

Άθροισμα όρων μιας αριθμητικής προόδου

Υπάρχουν δύο τρόποι για να βρείτε το ποσό:

Πού είναι ο αριθμός των τιμών.

Τύπος μαθήματος:εκμάθηση νέου υλικού.

Στόχοι μαθήματος:

διεύρυνση και εμβάθυνση της κατανόησης των μαθητών για προβλήματα που επιλύονται με χρήση αριθμητικής προόδου· οργάνωση των δραστηριοτήτων αναζήτησης των μαθητών κατά την εξαγωγή του τύπου για το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου.
ανάπτυξη της ικανότητας να αποκτά ανεξάρτητα νέα γνώση και να χρησιμοποιεί ήδη αποκτηθείσες γνώσεις για την επίτευξη μιας δεδομένης εργασίας·
ανάπτυξη της επιθυμίας και της ανάγκης για γενίκευση των γεγονότων που αποκτήθηκαν, ανάπτυξη ανεξαρτησίας.

Καθήκοντα:

συνοψίζουν και συστηματοποιούν τις υπάρχουσες γνώσεις σχετικά με το θέμα "Αριθμητική πρόοδος".
εξάγουν τύπους για τον υπολογισμό του αθροίσματος των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου.
διδάξτε πώς να εφαρμόζετε τους ληφθέντες τύπους κατά την επίλυση διαφόρων προβλημάτων.
να επιστήσει την προσοχή των μαθητών στη διαδικασία εύρεσης της τιμής μιας αριθμητικής παράστασης.

Εξοπλισμός:

κάρτες με εργασίες για εργασία σε ομάδες και ζευγάρια.
χαρτί αξιολόγησης;
παρουσίαση«Αριθμητική πρόοδος».

Ι. Επικαιροποίηση βασικών γνώσεων.

1. Ανεξάρτητη εργασίασε ζευγάρια.

1η επιλογή:

Ορίστε την αριθμητική πρόοδο. Σημειώστε το τύπος υποτροπής, το οποίο χρησιμοποιείται για να ορίσει μια αριθμητική πρόοδο. Δώστε ένα παράδειγμα αριθμητικής προόδου και υποδείξτε τη διαφορά της.

2η επιλογή:

Να γράψετε τον τύπο για τον νιοστό όρο μιας αριθμητικής προόδου. Βρείτε τον 100ο όρο της αριθμητικής προόδου ( a n}: 2, 5, 8 …
Αυτή τη στιγμή δύο μαθητές πίσω πλευράΟι πίνακες ετοιμάζουν απαντήσεις σε αυτές τις ίδιες ερωτήσεις.
Οι μαθητές αξιολογούν τη δουλειά του συντρόφου τους ελέγχοντάς τους στον πίνακα. (Δίνονται φύλλα με απαντήσεις.)

2. Στιγμή παιχνιδιού.

Ασκηση 1.

Δάσκαλος.Σκέφτηκα κάποια αριθμητική πρόοδο. Κάντε μου μόνο δύο ερωτήσεις για να μπορέσετε μετά τις απαντήσεις να ονομάσετε γρήγορα τον 7ο όρο αυτής της εξέλιξης. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Ερωτήσεις από μαθητές.

Ποιος είναι ο έκτος όρος της προόδου και ποια η διαφορά;
Ποιος είναι ο όγδοος όρος της εξέλιξης και ποια η διαφορά;

Εάν δεν υπάρχουν άλλες ερωτήσεις, τότε ο δάσκαλος μπορεί να τις διεγείρει - μια «απαγόρευση» στο d (διαφορά), δηλαδή, δεν επιτρέπεται να ρωτήσετε τι ισούται με τη διαφορά. Μπορείτε να κάνετε ερωτήσεις: με τι ισούται ο 6ος όρος της προόδου και με τι ο 8ος όρος της προόδου;

Εργασία 2.

Υπάρχουν 20 αριθμοί γραμμένοι στον πίνακα: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Ο δάσκαλος στέκεται με την πλάτη στον πίνακα. Οι μαθητές καλούν τον αριθμό και ο δάσκαλος καλεί αμέσως τον ίδιο τον αριθμό. Εξηγήστε πώς μπορώ να το κάνω αυτό;

Ο δάσκαλος θυμάται τη φόρμουλα για το ν ο τρίμηνο a n = 3n – 2και, αντικαθιστώντας τις καθορισμένες τιμές n, βρίσκει τις αντίστοιχες τιμές a n.

II. Ορισμός μαθησιακής εργασίας.

Προτείνω να λυθεί ένα αρχαίο πρόβλημα που χρονολογείται από τη 2η χιλιετία π.Χ., που βρέθηκε σε αιγυπτιακούς παπύρους.

Εργο:«Ας σας ειπωθεί: μοιράστε 10 μεζούρες κριθάρι σε 10 άτομα, η διαφορά του καθενός από τον διπλανό του είναι το 1/8 του μέτρου».

Πώς σχετίζεται αυτό το πρόβλημα με την αριθμητική πρόοδο του θέματος; (Κάθε επόμενο άτομο λαμβάνει το 1/8 του μέτρου περισσότερο, που σημαίνει ότι η διαφορά είναι d=1/8, 10 άτομα, που σημαίνει n=10.)
Τι νομίζετε ότι σημαίνουν τα μέτρα με τον αριθμό 10; (Άθροισμα όλων των όρων της εξέλιξης.)
Τι άλλο πρέπει να ξέρετε για να είναι εύκολη και απλή η διαίρεση του κριθαριού ανάλογα με τις συνθήκες του προβλήματος; (Πρώτη περίοδος εξέλιξης.)

Στόχος μαθήματος– λήψη της εξάρτησης του αθροίσματος των όρων της προόδου από τον αριθμό τους, τον πρώτο όρο και τη διαφορά και έλεγχος εάν το πρόβλημα λύθηκε σωστά στην αρχαιότητα.

Πριν συμπεράνουμε τον τύπο, ας δούμε πώς έλυσαν το πρόβλημα οι αρχαίοι Αιγύπτιοι.

Και το έλυσαν ως εξής:

1) 10 μέτρα: 10 = 1 μέτρο – μέσο μερίδιο.
2) 1 μέτρο ∙ = 2 μέτρα – διπλασιάζονται μέση τιμήμερίδιο.
Διπλασιάστηκε μέση τιμήμετοχή είναι το άθροισμα των μετοχών του 5ου και του 6ου προσώπου.
3) 2 μέτρα – 1/8 μέτρα = 1 7/8 μέτρα – διπλάσιο το μερίδιο του πέμπτου ατόμου.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – κλάσμα του πέμπτου. και ούτω καθεξής, μπορείτε να βρείτε το μερίδιο κάθε προηγούμενου και επόμενου ατόμου.

Παίρνουμε τη σειρά:

III. Επίλυση του προβλήματος.

1. Εργαστείτε σε ομάδες

Ομάδα Ι:Να βρείτε το άθροισμα 20 διαδοχικών φυσικών αριθμών: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Γενικά

II ομάδα:Βρείτε το άθροισμα των φυσικών αριθμών από το 1 έως το 100 (The Legend of Little Gauss).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Συμπέρασμα:

III ομάδα:Να βρείτε το άθροισμα των φυσικών αριθμών από το 1 έως το 21.

Λύση: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Συμπέρασμα:

IV ομάδα:Να βρείτε το άθροισμα των φυσικών αριθμών από το 1 έως το 101.

Συμπέρασμα:

Αυτή η μέθοδος επίλυσης των προβλημάτων που εξετάζονται ονομάζεται «Μέθοδος Gauss».

2. Κάθε ομάδα παρουσιάζει τη λύση του προβλήματος στον πίνακα.

3. Γενίκευση των προτεινόμενων λύσεων για μια αυθαίρετη αριθμητική πρόοδο:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Ας βρούμε αυτό το άθροισμα χρησιμοποιώντας παρόμοια συλλογιστική:

4. Έχουμε λύσει το πρόβλημα;(Ναί.)

IV. Πρωταρχική κατανόηση και εφαρμογή των τύπων που λαμβάνονται κατά την επίλυση προβλημάτων.

1. Έλεγχος της λύσης ενός αρχαίου προβλήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο.

2. Εφαρμογή του τύπου στην επίλυση διαφόρων προβλημάτων.

3. Ασκήσεις για την ανάπτυξη της ικανότητας εφαρμογής τύπων κατά την επίλυση προβλημάτων.

Α) Νο 613

Δίνεται: ( α ιδ) –αριθμητική πρόοδος?

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Εύρημα: S 1500

Λύση: , a 1 = 1 και 1500 = 1500,

Β) Δεδομένα: ( α ιδ) –αριθμητική πρόοδος?
(α ν): 1, 2, 3,…
S n = 210

Εύρημα: n
Λύση:

V. Ανεξάρτητη εργασία με αμοιβαία επαλήθευση.

Ο Ντένις άρχισε να εργάζεται ως κούριερ. Τον πρώτο μήνα ο μισθός του ήταν 200 ρούβλια, κάθε επόμενο μήνα αυξανόταν κατά 30 ρούβλια. Πόσα κέρδισε συνολικά σε ένα χρόνο;

Δίνεται: ( α ιδ) –αριθμητική πρόοδος?
a 1 = 200, d=30, n=12
Εύρημα: S 12
Λύση:

Απάντηση: Ο Ντένις έλαβε 4380 ρούβλια για το έτος.

VI. Οδηγία εργασίας για το σπίτι.

Ενότητα 4.3 – μάθετε την παραγωγή του τύπου.
№№ 585, 623 .
Δημιουργήστε ένα πρόβλημα που μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου.

VII. Συνοψίζοντας το μάθημα.

1. Φύλλο βαθμολογίας

2. Συνεχίστε τις προτάσεις

Σήμερα στην τάξη έμαθα...
Έμαθες φόρμουλες...
Το πιστεύω …

3. Μπορείτε να βρείτε το άθροισμα των αριθμών από το 1 έως το 500; Ποια μέθοδο θα χρησιμοποιήσετε για να λύσετε αυτό το πρόβλημα;

Βιβλιογραφία.

1. Άλγεβρα, 9η τάξη. Φροντιστήριο για Εκπαιδευτικά ιδρύματα. Εκδ. G.V. Dorofeeva.Μ.: «Διαφωτισμός», 2009.

Πρώτο επίπεδο

Αριθμητική πρόοδος. Λεπτομερής θεωρία με παραδείγματα (2019)

Αριθμητική ακολουθία

Αριθμητική ακολουθία
Για παράδειγμα, για τη σειρά μας:

Στην περίπτωσή μας:

Προσπαθήστε να προσδιορίσετε ποιες ακολουθίες αριθμών είναι αριθμητική πρόοδος και ποιες όχι:

ένα)
σι)
ντο)
ρε)

1. Μέθοδος

Άρα, ο όρος της περιγραφόμενης αριθμητικής προόδου είναι ίσος με.

2. Μέθοδος

Για παράδειγμα, ας δούμε από τι αποτελείται η τιμή του ου όρου αυτής της αριθμητικής προόδου:

Με άλλα λόγια:

Προσπαθήστε να βρείτε μόνοι σας την τιμή ενός μέλους μιας δεδομένης αριθμητικής προόδου με αυτόν τον τρόπο.

Υπολόγισες; Συγκρίνετε τις σημειώσεις σας με την απάντηση:

Λάβετε υπόψη ότι λάβατε ακριβώς τον ίδιο αριθμό με την προηγούμενη μέθοδο, όταν προσθέσαμε διαδοχικά τους όρους της αριθμητικής προόδου στην προηγούμενη τιμή.
Ας προσπαθήσουμε να "αποπροσωποποιήσουμε" αυτόν τον τύπο - ας τον βάλουμε σε γενική μορφή και ας πάρουμε:

Αριθμητική εξίσωση προόδου.

Οι αριθμητικές προόδους μπορεί να αυξάνονται ή να μειώνονται.

Ο παραγόμενος τύπος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των όρων τόσο σε αύξοντες όσο και σε φθίνοντες όρους μιας αριθμητικής προόδου.
Ας το ελέγξουμε στην πράξη.
Μας δίνεται μια αριθμητική πρόοδος που αποτελείται από τους ακόλουθους αριθμούς: Ας ελέγξουμε ποιος θα είναι ο ος αριθμός αυτής της αριθμητικής προόδου αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο μας για να τον υπολογίσουμε:

Από τότε:

Ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα:

Ιδιότητα αριθμητικής προόδου

Ας, α, τότε:

ο προηγούμενος όρος της εξέλιξης είναι:
ο επόμενος όρος της εξέλιξης είναι:

Ας συνοψίσουμε τους προηγούμενους και τους επόμενους όρους της εξέλιξης:

Πες μου τώρα, πόσα τέτοια ζευγάρια υπάρχουν συνολικά στην εξέλιξη που μας δόθηκε; Φυσικά, ακριβώς το ήμισυ όλων των αριθμών, δηλαδή.
Με βάση το γεγονός ότι το άθροισμα δύο όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι ίσο και παρόμοια ζεύγη είναι ίσα, προκύπτει ότι το συνολικό άθροισμα είναι ίσο με:
.
Έτσι, ο τύπος για το άθροισμα των πρώτων όρων οποιασδήποτε αριθμητικής προόδου θα είναι:

Πόσα πήρες;
Ο Gauss βρήκε ότι το άθροισμα των όρων είναι ίσο και το άθροισμα των όρων. Αυτό αποφάσισες;

Μέθοδος 1.

Μέθοδος 2.

Εκπαίδευση

Καθήκοντα:

Η Μάσα παίρνει φόρμα για το καλοκαίρι. Κάθε μέρα αυξάνει τον αριθμό των squats κατά. Πόσες φορές θα κάνει η Μάσα squat σε μια εβδομάδα αν έκανε squat στην πρώτη προπόνηση;
Ποιο είναι το άθροισμα όλων των περιττών αριθμών που περιέχονται.
Κατά την αποθήκευση αρχείων καταγραφής, τα καταγραφικά τα στοιβάζουν με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε επάνω στρώμα να περιέχει ένα αρχείο καταγραφής λιγότερο από το προηγούμενο. Πόσοι κορμοί υπάρχουν σε μια τοιχοποιία, αν το θεμέλιο της τοιχοποιίας είναι κορμοί;

Απαντήσεις:

Ας ορίσουμε τις παραμέτρους της αριθμητικής προόδου. Σε αυτήν την περίπτωση
(εβδομάδες = ημέρες).
Απάντηση:Σε δύο εβδομάδες, η Μάσα πρέπει να κάνει squats μία φορά την ημέρα.
Πρώτος μονός αριθμός, τελευταίος αριθμός.
Αριθμητική διαφορά προόδου.
Ο αριθμός των περιττών αριθμών είναι ο μισός, ωστόσο, ας ελέγξουμε αυτό το γεγονός χρησιμοποιώντας τον τύπο για την εύρεση του ου όρου μιας αριθμητικής προόδου:
Οι αριθμοί περιέχουν περιττούς αριθμούς.
Ας αντικαταστήσουμε τα διαθέσιμα δεδομένα στον τύπο:
Απάντηση:Το άθροισμα όλων των περιττών αριθμών που περιέχονται σε είναι ίσο.
Ας θυμηθούμε το πρόβλημα με τις πυραμίδες. Για την περίπτωσή μας, ένα , αφού κάθε επάνω στρώμα μειώνεται κατά ένα κούτσουρο, τότε συνολικά υπάρχουν ένα σωρό στρώματα, δηλαδή.
Ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα στον τύπο:
Απάντηση:Στην τοιχοποιία υπάρχουν κορμοί.

Ας το συνοψίσουμε

- μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση. Μπορεί να αυξάνεται ή να μειώνεται.
Εύρεση φόρμουλαςΟ όρος μιας αριθμητικής προόδου γράφεται με τον τύπο - , όπου είναι ο αριθμός των αριθμών στην πρόοδο.
Ιδιότητα μελών μιας αριθμητικής προόδου- - πού είναι ο αριθμός των αριθμών σε εξέλιξη.
Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδουμπορεί να βρεθεί με δύο τρόπους:

, όπου είναι ο αριθμός των τιμών.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Αριθμητική ακολουθία

Ας καθίσουμε να αρχίσουμε να γράφουμε κάποιους αριθμούς. Για παράδειγμα:

Ο αριθμός με αριθμό λέγεται το ου μέλος της ακολουθίας.

Είναι πολύ βολικό εάν ο όρος της ακολουθίας μπορεί να προσδιοριστεί με κάποιον τύπο. Για παράδειγμα, ο τύπος

ορίζει τη σειρά:

Και ο τύπος είναι η ακόλουθη σειρά:

Φόρμουλα ντος όρος

Λοιπόν, είναι ξεκάθαρο τώρα ποια είναι η φόρμουλα;

Πολύ πιο βολικό τώρα, σωστά; Ελέγχουμε:

Αποφασίστε μόνοι σας:

Σε μια αριθμητική πρόοδο, βρείτε τον τύπο για τον nο όρο και βρείτε τον εκατοστό όρο.

Λύση:

Ο πρώτος όρος είναι ίσος. Ποιά είναι η διαφορά; Να τι:

(Γι' αυτό λέγεται διαφορά γιατί ισούται με τη διαφορά διαδοχικών όρων της προόδου).

Λοιπόν, ο τύπος:

Τότε ο εκατοστός όρος ισούται με:

Ποιο είναι το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών από έως;

Ο γενικός τύπος για το άθροισμα των πρώτων όρων οποιασδήποτε αριθμητικής προόδου θα είναι:

Παράδειγμα:
Βρείτε το άθροισμα όλων των διψήφιων πολλαπλασίων.

Λύση:

Τύπος του ου όρου για αυτήν την εξέλιξη:

Πόσοι όροι υπάρχουν στην πρόοδο αν πρέπει όλοι να είναι διψήφιοι;

Πολύ εύκολο: .

Ο τελευταίος όρος της προόδου θα είναι ίσος. Τότε το άθροισμα:

Απάντηση: .

Τώρα αποφασίστε μόνοι σας:

Κάθε μέρα ο αθλητής τρέχει περισσότερα μέτρα από την προηγούμενη. Πόσα συνολικά χιλιόμετρα θα τρέξει σε μια εβδομάδα, αν την πρώτη μέρα έτρεξε km m;
Ένας ποδηλάτης διανύει περισσότερα χιλιόμετρα κάθε μέρα από την προηγούμενη. Την πρώτη μέρα ταξίδεψε χλμ. Πόσες μέρες χρειάζεται να διανύσει για να διανύσει ένα χιλιόμετρο; Πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει την τελευταία μέρα του ταξιδιού του;
Η τιμή ενός ψυγείου σε ένα κατάστημα μειώνεται κατά το ίδιο ποσό κάθε χρόνο. Προσδιορίστε πόσο μειώθηκε η τιμή ενός ψυγείου κάθε χρόνο, εάν, έξι χρόνια αργότερα, πωλούνταν για ρούβλια.

Απαντήσεις:

Το πιο σημαντικό εδώ είναι να αναγνωρίσουμε την αριθμητική πρόοδο και να καθορίσουμε τις παραμέτρους της. Σε αυτή την περίπτωση, (εβδομάδες = ημέρες). Πρέπει να προσδιορίσετε το άθροισμα των πρώτων όρων αυτής της προόδου:
.
Απάντηση:
Εδώ δίνεται: , πρέπει να βρεθεί.
Προφανώς, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ίδιο τύπο αθροίσματος όπως στο προηγούμενο πρόβλημα:
.
Αντικαταστήστε τις τιμές:
Η ρίζα προφανώς δεν ταιριάζει, οπότε η απάντηση είναι.
Ας υπολογίσουμε τη διαδρομή που διανύθηκε την τελευταία ημέρα χρησιμοποιώντας τον τύπο του ου όρου:
(χλμ).
Απάντηση:
Δόθηκαν: . Εύρημα: .
Δεν θα μπορούσε να είναι πιο απλό:
(τρίψιμο).
Απάντηση:

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

Αυτή είναι μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση.

Η αριθμητική πρόοδος μπορεί να είναι αύξουσα () και φθίνουσα ().

Για παράδειγμα:

Τύπος για την εύρεση του ν ου όρου μιας αριθμητικής προόδου

γράφεται από τον τύπο, όπου είναι ο αριθμός των αριθμών σε εξέλιξη.

Ιδιότητα μελών μιας αριθμητικής προόδου

Άθροισμα όρων μιας αριθμητικής προόδου

Υπάρχουν δύο τρόποι για να βρείτε το ποσό:

Πού είναι ο αριθμός των τιμών.