Παράδειγμα 4.Κατά την κλήση ενός αριθμού τηλεφώνου, ο συνδρομητής ξέχασε ένα ψηφίο και το κάλεσε τυχαία. Βρείτε την πιθανότητα να καλέσετε τον σωστό αριθμό.

Λύση.Ας υποδηλώσουμε με ΕΝΑσυμβάν – ο απαιτούμενος αριθμός έχει καλυφθεί. Ο συνδρομητής μπορούσε να καλέσει οποιοδήποτε από τα 10 ψηφία. Ως εκ τούτου, ο συνολικός αριθμός των δυνατών στοιχειώδη αποτελέσματα 10. Αυτά τα αποτελέσματα είναι εξίσου πιθανά (ο αριθμός πληκτρολογείται τυχαία) και σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα (τουλάχιστον ένας αριθμός θα πληκτρολογηθεί σίγουρα), δηλαδή. Χρειάζεται μόνο ένας αριθμός. Επομένως για την εκδήλωση ΕΝΑ ΕΝΑ .

Παράδειγμα 5.Κατά την κλήση ενός αριθμού τηλεφώνου, ο συνδρομητής ξέχασε τα δύο τελευταία ψηφία και, θυμούμενος μόνο ότι ήταν διαφορετικά, τα κάλεσε τυχαία. Βρείτε την πιθανότητα να καλέσετε τους απαιτούμενους αριθμούς.

Λύση.Ας υποδηλώσουμε με ΣΕσυμβάν – έχουν καλυφθεί δύο απαιτούμενοι αριθμοί. Υπάρχουν μόνο τόσα πολλά ζευγάρια που μπορείτε να συλλέξετε διαφορετικούς αριθμούς, πόσες τοποθετήσεις μπορούν να γίνουν από 10 ψηφία επί 2, δηλαδή . Επομένως, ο συνολικός αριθμός των εξίσου δυνατών στοιχειωδών αποτελεσμάτων είναι . Απαιτείται μόνο ένας συνδυασμός δύο αριθμών. Επομένως για την εκδήλωση ΕΝΑμόνο ένα αποτέλεσμα είναι ευνοϊκό. Η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με την αναλογία του αριθμού των αποτελεσμάτων, ευνοϊκό γεγονός ΕΝΑστον αριθμό όλων των στοιχειωδών αποτελεσμάτων: .

Παράδειγμα 6.Σε μια παρτίδα 10 εξαρτημάτων υπάρχουν 7 τυπικά. Βρείτε την πιθανότητα ότι ανάμεσα στα έξι μέρη που λαμβάνονται τυχαία, υπάρχουν ακριβώς 4 τυπικά.

Λύση.Αφήστε το γεγονός ΕΝΑ– μεταξύ των 6 εξαρτημάτων που λαμβάνονται, ακριβώς τα 4 είναι στάνταρ. Συνολικός αριθμόςΤα πιθανά στοιχειώδη αποτελέσματα δοκιμών είναι ίσα με τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορούν να εξαχθούν 6 μέρη από 10, δηλαδή ο αριθμός των συνδυασμών 10 στοιχείων του 6 (). Ας μετρήσουμε τον αριθμό των αποτελεσμάτων που ευνοούν το γεγονός ΕΝΑ: 4 τυπικά εξαρτήματα μπορούν να ληφθούν από 7 τυπικά εξαρτήματα με διαφορετικούς τρόπους. Σε αυτή την περίπτωση, τα υπόλοιπα 6-4=2 μέρη πρέπει να είναι μη τυποποιημένα. Μπορούν να ληφθούν από 10-7=3 μη τυποποιημένα εξαρτήματα με τρόπους. Επομένως, ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων είναι . Η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με την αναλογία του αριθμού των ευνοϊκών για το συμβάν αποτελεσμάτων ΕΝΑ, στον αριθμό όλων των στοιχειωδών αποτελεσμάτων.

Υπάρχουν πέντε μπάλες διαφορετικών μεγεθών στο δοχείο. Ποια είναι η πιθανότητα να τραβήξουμε όλες τις μπάλες σε αύξουσα σειρά αν είναι γνωστό ότι δεν υπάρχουν πανομοιότυπες μπάλες;

Λύση. Ο συνολικός αριθμός των πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων του πειράματος είναι ίσος με τον αριθμό των μεταθέσεων πέντε στοιχείων και ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων για το συμβάν είναι ίσος με ένα.

Απαιτούμενη πιθανότητα:

.

Πρόβλημα 17.

Όταν καλούσε έναν αριθμό τηλεφώνου, ο συνδρομητής ξέχασε τα δύο τελευταία ψηφία και θυμούμενος ότι ήταν διαφορετικά, τα κάλεσε για τύχη. Ποια είναι η πιθανότητα να πληκτρολογήσει τον σωστό αριθμό;

Λύση. Ο συνολικός αριθμός των πιθανών αποτελεσμάτων του πειράματος είναι ίσος με τον αριθμό των τοποθετήσεων από 10 έως 2, δηλ. . Ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων για το γεγονός είναι ίσος με ένα.

Απαιτούμενη πιθανότητα:

.

Πρόβλημα 18.

Υπάρχουν 15 σημειωματάρια στο συρτάρι του γραφείου, 8 από αυτά είναι τετράγωνα Πήραμε τυχαία τρία τετράδια. Βρείτε την πιθανότητα ότι και τα τρία τετράδια που λαμβάνονται θα είναι της υψηλότερης ποιότητας.

Λύση. Εφόσον η σειρά δεν παίζει ρόλο εδώ, ο συνολικός αριθμός όλων των πιθανών αποτελεσμάτων θα είναι ίσος με τον αριθμό των συνδυασμών 15 επί 3, δηλ., και ο αριθμός των ευνοϊκών γεγονότων θα είναι επίσης ίσος με τον αριθμό των συνδυασμών των 8 κατά 3.

Απαιτούμενη πιθανότητα:

.

Πρόβλημα 19.

Στην ομάδα συμμετέχουν 15 μαθητές, εκ των οποίων οι 8 είναι αριστούχοι. 6 μαθητές κλήθηκαν τυχαία (σύμφωνα με τη λίστα). Βρείτε την πιθανότητα 4 από τους μαθητές που καλούνται να είναι αριστούχοι.

Λύση. Ο αριθμός των πιθανών αποτελεσμάτων του πειράματος εδώ είναι ίσος με τον αριθμό των συνδυασμών 15 επί 6, .

Θεωρούμε ευνοϊκό έναν συνδυασμό αν υπάρχουν 4 αριστούχοι και 2 όχι. 4 αριστούχοι μπορούν να επιλεγούν από 8 αριστούχους με τρόπους, ενώ οι υπόλοιποι 6-4 = 2 μαθητές (όχι αριστούχοι) επιλέγονται από 15-8 = 7 μαθητές με τρόπους.

Αν σε κάθε τέσσερις αριστούχους προσθέσουμε ένα από τα ζευγάρια

μαθητές που δεν είναι αριστούχοι, θα έχουμε «ευνοϊκές» ομάδες 6 ατόμων. Ο αριθμός τους είναι ίσος με m =.

Απαιτούμενη πιθανότητα:

Πρόβλημα 20.

Η πρώτη δυσκολία που ξεπέρασε ο Πασκάλ στην αλληλογραφία του με τον Chevalier de Marais ήταν η ακριβής καταμέτρηση των περιπτώσεων. Αφορούσε ένα παιχνίδι στο οποίο ρίχνονται τρία ζάρια και ένας από τους παίκτες στοιχηματίζει ότι το σύνολο στις πλευρές που πετάγονται θα είναι περισσότερο από 10 και ο άλλος - ότι θα είναι ίσο ή μικρότερο από 10. Είναι εύκολο να δείτε ότι οι πιθανότητες και των δύο παικτών είναι ίσες. Η δυσκολία όμως ήταν αυτή. Η λογιστική των ασθενών είναι πολύ μεγάλος αριθμόςΤα παιχνίδια έδειξαν στον Chevalier de Marais ότι όσοι ποντάρουν περισσότερα από 10 πιο συχνά κερδίζουν με 11 παρά με 12 πόντους. Ωστόσο, υποστήριξε ο Mere, 11 βαθμοί μπορούν να ληφθούν με έξι διαφορετικούς τρόπους (6-4-1; 6-3-2; 5-5-1; 5-4-2; 5-3-3; 4-4-3 ), και 12 πόντους μπορούν επίσης να ληφθούν με έξι τρόπους (6-5-1; 6-4-2; 6-3-3; 5-5-2; 5-4-3; 4-4-4). Η απάντηση του Πασκάλ είναι πολύ απλή: ο συνδυασμός 6-4-1 δεν είναι πρώτος, αλλά εξαπλός, αφού εάν τα ζάρια είναι αριθμημένα ή εάν καθένα από τα τρία ζάρια έχει διαφορετικό χρώμα ώστε να διακρίνονται, μπορεί να ληφθεί η τιμή 6 σε καθένα από τα τρία ζάρια , και η τιμή 4 βρίσκεται σε καθένα από τα υπόλοιπα δύο, τα οποία κάνουν ήδη έξι συνδυασμούς. Αντίθετα, ένας συνδυασμός όπως το 5-5-1 μπορεί να επιτευχθεί μόνο με τρεις διαφορετικούς τρόπους και ένας συνδυασμός όπως το 4-4-4 μπορεί να επιτευχθεί μόνο με έναν μόνο τρόπο.

Επομένως, αν θέλετε να μάθετε πραγματικός αριθμός με διάφορους τρόπουςπάρτε 11 ή λάβετε 12 πόντους, τότε για καθεμία από αυτές τις περιπτώσεις πρέπει να αθροίσετε το άθροισμα αυτών των έξι αριθμών που αντιστοιχούν στους συνδυασμούς,

ενώ για την περίπτωση των 12 σημείων έχουμε

Από αυτό συμπεραίνουμε ότι κατά μέσο όρο παίρνουμε 11 πόντους 27 φορές, ενώ 12 πόντους 25 φορές, και αυτό το αποτέλεσμα συμφωνεί απόλυτα με τις παρατηρήσεις του Chevalier de Mere.

Παραδείγματα άμεσου υπολογισμού πιθανοτήτων

Παράδειγμα 1.34. Κατά την κλήση ενός αριθμού τηλεφώνου, ο συνδρομητής ξέχασε ένα ψηφίο και το κάλεσε τυχαία. Βρείτε την πιθανότητα να καλέσετε τον σωστό αριθμό.

Λύση. Ας υποδηλώσουμε με ΕΝΑσυμβάν - καλείται ο απαιτούμενος αριθμός. Ο συνδρομητής θα μπορούσε να καλέσει οποιοδήποτε από τα 10 ψηφία, οπότε ο συνολικός αριθμός των πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων είναι ίσος με Αυτά τα αποτελέσματα είναι ασύμβατα, εξίσου πιθανά και αποτελούν μια πλήρη ομάδα. Ευνοεί την εκδήλωση ΕΝΑμόνο ένα αποτέλεσμα (υπάρχει μόνο ένας απαιτούμενος αριθμός). Η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με την αναλογία του αριθμού των ευνοϊκών για το συμβάν αποτελεσμάτων προς τον αριθμό όλων των στοιχειωδών αποτελεσμάτων:

P(A)= 1/10.

Παράδειγμα 1.35.Κατά την κλήση ενός αριθμού τηλεφώνου, ο συνδρομητής ξέχασε τα δύο τελευταία ψηφία και, θυμούμενος μόνο ότι αυτά τα ψηφία ήταν διαφορετικά, τα κάλεσε τυχαία.

Λύση. Ας υποδηλώσουμε με ΣΕσυμβάν - έχουν καλυφθεί δύο απαιτούμενοι αριθμοί. Συνολικά, μπορείτε να καλέσετε τόσους διαφορετικούς αριθμούς όσο μπορούν να γίνουν τοποθετήσεις δέκα αριθμών ανά δύο, δηλ. Έτσι, ο συνολικός αριθμός των πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων είναι 90. Αυτά τα αποτελέσματα είναι ασύμβατα, εξίσου πιθανά και αποτελούν μια πλήρη ομάδα. Ευνοεί την εκδήλωση ΣΕμόνο ένα αποτέλεσμα. Η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με την αναλογία του αριθμού των ευνοϊκών για το συμβάν αποτελεσμάτων προς τον αριθμό όλων των στοιχειωδών αποτελεσμάτων: P (V)= 1/90.

Παράδειγμα 1.36.Ρίχνονται δύο ζάρια. Να βρείτε την πιθανότητα το άθροισμα των σημείων που σύρθηκαν να είναι 4 (γεγονός ΕΝΑ).

Λύση. Ο συνολικός αριθμός των εξίσου δυνατών αποτελεσμάτων της δοκιμής είναι 6∙6 = 36 (κάθε αριθμός σημείων που κυλούν σε μια μήτρα μπορεί να συνδυαστεί με όλους τους αριθμούς σημείων σε μια άλλη μήτρα). Μεταξύ αυτών των αποτελεσμάτων, η εκδήλωση είναι ευνοϊκή ΕΝΑμόνο 3 αποτελέσματα: (I; 3), (3; I), (2; 2) (ο αριθμός των σημείων που κληρώθηκαν αναφέρεται σε παρενθέσεις). Επομένως, η απαιτούμενη πιθανότητα

P(A)= 3/36 =1/12.

Παράδειγμα 1.37.Σε μια παρτίδα 10 εξαρτημάτων, τα 7 είναι στάνταρ. Βρείτε την πιθανότητα ότι μεταξύ έξι τμημάτων που λαμβάνονται τυχαία, τα 4 είναι τυπικά.

Λύση. Ο συνολικός αριθμός των πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων δοκιμών είναι ίσος με τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορούν να εξαχθούν 6 μέρη από 10, δηλαδή τον αριθμό των συνδυασμών 10 στοιχείων με 6 στοιχεία το καθένα ().

Ας προσδιορίσουμε τον αριθμό των ευνοϊκών αποτελεσμάτων για το γεγονός που μας ενδιαφέρει ΕΝΑ(μεταξύ των έξι τμημάτων που λαμβάνονται υπάρχουν 4 τυπικά). Τέσσερα τυπικά εξαρτήματα μπορούν να ληφθούν από επτά τυπικά εξαρτήματα με διαφορετικούς τρόπους. Σε αυτή την περίπτωση, τα υπόλοιπα 6 - 4 = 2 μέρη πρέπει να είναι μη τυποποιημένα. Υπάρχουν τρόποι για να πάρετε 2 μη τυποποιημένα εξαρτήματα από 10 - 7 = 3 μη τυποποιημένα εξαρτήματα. Επομένως, ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων είναι ίσος με

Θέλετε να μάθετε πώς να λύσετε τυπικές εργασίεςσχετικά με αυτό το θέμα; Χρησιμοποιήστε άρθρα-οδηγίες-αριθμομηχανές:

• Πρόβλημα με τις μπάλες (υπάρχουν $k$ λευκές και $n$ μαύρες μπάλες σε μια λάρνακα, οι μπάλες $m$ βγαίνουν...)
• Πρόβλημα με εξαρτήματα (ένα κουτί περιέχει $k$ τυπικά και $n$ ελαττωματικά εξαρτήματα, τα εξαρτήματα $m$ έχουν αφαιρεθεί...)
• Πρόβλημα με τα λαχεία (υπάρχουν $k$ κερδισμένα και $n$ μη κερδισμένα εισιτήρια στην λοταρία, αγοράζονται εισιτήρια $m$...)


• Υπολογισμός Πιθανοτήτων: Ρίχνοντας τα Ζάρια

Χρήσιμη σελίδα; Αποθηκεύστε ή ενημερώστε τους φίλους σας

Λυμένα προβλήματα

Εργασία 1.Ο συνδρομητής έχει ξεχάσει το τελευταίο ψηφίο του αριθμού τηλεφώνου και ως εκ τούτου το καλεί τυχαία. Προσδιορίστε την πιθανότητα ότι θα πρέπει να καλέσει όχι περισσότερες από 3 θέσεις.

Εργασία 2.Ο συνδρομητής ξέχασε τα 2 τελευταία ψηφία τηλεφωνικό νούμερο, αλλά θυμάται ότι είναι διαφορετικά και σχηματίζουν διψήφιος αριθμός, λιγότερο από 30. Λαμβάνοντας αυτό υπόψη, καλεί 2 ψηφία τυχαία. Βρείτε την πιθανότητα ότι αυτοί θα είναι οι επιθυμητοί αριθμοί.

Εργασία 3.Έξι μπάλες τοποθετούνται τυχαία σε τρία κουτιά. Βρείτε την πιθανότητα που περιέχουν όλα τα κουτιά διαφορετικό αριθμόμπάλες, με την προϋπόθεση ότι όλα τα κουτιά δεν είναι άδεια.

Εργασία 4.Δύο πύργοι τοποθετούνται τυχαία σε μια σκακιέρα. Ποια είναι η πιθανότητα να μην νικήσουν ο ένας τον άλλον;

Εργασία 5.Έξι χειρόγραφα τοποθετούνται τυχαία σε πέντε φακέλους. Ποια είναι η πιθανότητα να παραμείνει κενός ένας ακριβώς φάκελος;

Εργασία 6.Οι αριθμοί 1, 2, 3, …, 9, γραμμένοι επάνω ατομικές κάρτεςβάζετε σε ένα κουτί και ανακατεύετε καλά. Ένα φύλλο τραβιέται τυχαία. Βρείτε την πιθανότητα ο αριθμός που αναγράφεται σε αυτήν την κάρτα να είναι: α) ζυγός. β) διψήφιο.

Εργασία 7.Υπάρχουν 40 βιβλία τακτοποιημένα με τυχαία σειρά στο ράφι, μεταξύ των οποίων είναι μια τρίτομη έκδοση του Πούσκιν. Βρείτε την πιθανότητα αυτοί οι τόμοι να είναι σε αύξουσα σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, αλλά όχι απαραίτητα ο ένας δίπλα στον άλλο.

Εργασία 8.Κάθε μία από τις πέντε όμοιες κάρτες έχει τυπωμένο ένα από τα ακόλουθα γράμματα: "a", "m", "p", "t", "u". Τα χαρτιά αναμειγνύονται καλά. Βρείτε την πιθανότητα ότι η λέξη "yurt" μπορεί να διαβαστεί σε τέσσερις κάρτες που έχουν αφαιρεθεί.

Εργασία 9.Ένα παιδί έχει 5 κύβους με τα γράμματα στα χέρια του: A, K, K, L, U. Ποια είναι η πιθανότητα το παιδί να συναρμολογήσει τη λέξη «κούκλα» από τους κύβους;

Πρόβλημα 10.Ένα πακέτο περιέχει 20 διάτρητες κάρτες, σημειωμένες με τους αριθμούς 101, 102, ..., 120 και ταξινομημένες τυχαία. Ο puncher τραβάει δύο φύλλα τυχαία. Βρείτε την πιθανότητα να αφαιρεθούν οι διάτρητες κάρτες με τους αριθμούς 101 και 120.

Πρόβλημα 11.Τα έργα των πέντε τόμων που συγκεντρώθηκαν βρίσκονται στο ράφι με τυχαία σειρά. Ποια είναι η πιθανότητα τα βιβλία να είναι ταξινομημένα από αριστερά προς τα δεξιά με σειρά αρίθμησης τόμων (1 έως 5);

Εργασία Νο. 1

Κατά την κλήση ενός αριθμού τηλεφώνου, ο συνδρομητής ξέχασε τα δύο τελευταία ψηφία και, θυμούμενος μόνο ότι αυτά τα ψηφία ήταν διαφορετικά, τα κάλεσε τυχαία. Βρείτε την πιθανότητα να καλέσετε τους απαιτούμενους αριθμούς.

Εργασία Νο. 2

Δίνεται διαφορική συνάρτηση συνεχούς τυχαία μεταβλητήΧ:

Βρείτε την ολοκληρωτική συνάρτηση F(x)

Εργασία Νο. 3

Υπάρχουν 3 άσπρες και 3 μαύρες μπάλες στην τεφροδόχο. Μία μπάλα τη φορά αφαιρείται από το δοχείο δύο φορές χωρίς να αντικαθίσταται. Βρείτε την πιθανότητα εμφάνισης λευκή μπάλαστη δεύτερη δοκιμή (αγώνισμα Β) εάν η μαύρη μπάλα κληρώθηκε στην πρώτη δοκιμή (αγώνισμα Α).

Εργασία Νο. 4

Υπάρχουν 3 κουτιά που περιέχουν 10 μέρη. Το πρώτο κουτί περιέχει 8, το δεύτερο 7 και το τρίτο 9 τυπικά εξαρτήματα. Ένα μέρος αφαιρείται τυχαία από κάθε κουτί. Βρείτε την πιθανότητα ότι και τα τρία από αυτά τα αφαιρεμένα εξαρτήματα θα αποδειχθούν στάνταρ.

Εργασία Νο. 5
Η πιθανότητα να χτυπήσετε τον στόχο όταν πυροβολείτε από τρία όπλα είναι η εξής: = 0,8; = 0,7; = 0,9. Βρείτε την πιθανότητα τουλάχιστον ενός χτυπήματος (γεγονός Α) με ένα σάλβο από όλα τα όπλα.

Εργασία Νο. 6

Υπάρχουν δύο σετ εξαρτημάτων. Η πιθανότητα ότι το μέρος του πρώτου σετ είναι τυπικό είναι 0,8 και το δεύτερο είναι 0,9. Βρείτε την πιθανότητα ότι ένα μέρος που λαμβάνεται τυχαία (από ένα σύνολο που λαμβάνεται τυχαία) είναι τυπικό.

Εργασία Νο. 7

Να συμμετάσχουν σε προκριματικά μαθητών αθλητικούς αγώνες 4 μαθητές κατανεμήθηκαν από την πρώτη ομάδα του μαθήματος, 6 από τη δεύτερη και 5 από την τρίτη ομάδα. Οι πιθανότητες ένας μαθητής της πρώτης, δεύτερης και τρίτης ομάδας να συμπεριληφθεί στην ομάδα του ινστιτούτου είναι αντίστοιχα ίσες με 0,9. 0,7 και 0,8. Ένας τυχαία επιλεγμένος μαθητής κατέληξε στην εθνική ομάδα ως αποτέλεσμα του διαγωνισμού. Σε ποια ομάδα ανήκε πιθανότατα αυτός ο μαθητής;

Εργασία Νο. 8

Η πιθανότητα η κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας κατά τη διάρκεια μιας ημέρας να μην υπερβεί τον καθορισμένο κανόνα είναι 0,75. Βρείτε την πιθανότητα τις επόμενες 6 ημέρες η κατανάλωση ρεύματος για 4 ημέρες να μην ξεπεράσει το κανονικό.

Εργασία Νο. 9

Βρείτε την πιθανότητα ότι το συμβάν Α θα συμβεί ακριβώς 80 φορές σε 400 δοκιμές εάν η πιθανότητα να συμβεί αυτό το συμβάν σε κάθε δοκιμή είναι 0,2.

Εργασία Νο. 10

Η πιθανότητα ένας σκοπευτής να χτυπήσει στόχο με μία βολή είναι 0,75. Βρείτε την πιθανότητα ότι με 100 βολές ο στόχος θα χτυπηθεί: α) όχι λιγότερο από 70 και όχι περισσότερες από 80 φορές. β) όχι περισσότερες από 70 φορές.

Εργασία Νο. 11

Ένας έμπορος εξετάζει 24 δείγματα εμπορευμάτων. Η πιθανότητα καθένα από τα δείγματα να θεωρηθεί κατάλληλο προς πώληση είναι 0,6. Βρείτε τον πιο πιθανό αριθμό δειγμάτων που ένας έμπορος αναγνωρίζει ως κατάλληλα προς πώληση.

Εργασία Νο. 12

Πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν σε καθένα από τα 400 ανεξάρτητα τεστίσο με 0,8. Βρες ένα θετικός αριθμόςΕ, έτσι ώστε με πιθανότητα 0,9876 απόλυτη τιμήη απόκλιση της σχετικής συχνότητας εμφάνισης ενός γεγονότος από την πιθανότητα του 0,8 δεν υπερέβαινε το E.

Εργασία Νο. 13

Το κέρμα πετιέται 5 φορές. Βρείτε την πιθανότητα να εμφανιστεί το «οικόσημο»:

α) λιγότερο από δύο φορές·

β) τουλάχιστον δύο φορές.

Εργασία Νο. 14

Η πρώτη λάρνακα περιέχει 10 μπάλες, 8 από τις οποίες είναι λευκές. Η δεύτερη λάρνακα περιέχει 20 μπάλες, 4 από τις οποίες είναι λευκές. Μια μπάλα τραβιέται τυχαία από κάθε τεφροδόχο και, στη συνέχεια, μια μπάλα τραβιέται τυχαία από αυτές τις δύο μπάλες. Βρείτε την πιθανότητα να τραβηχτεί η λευκή μπάλα.

Εργασία Νο. 15

Πόσες ανεξάρτητες δοκιμές πρέπει να γίνουν με πιθανότητα εμφάνισης ενός συμβάντος σε κάθε δοκιμή ίση με 0,4 ώστε ο πιο πιθανός αριθμός εμφάνισης ενός συμβάντος σε αυτές τις δοκιμές να είναι ίσος με 25;

Εργασία Νο. 16

Η διακριτή τυχαία μεταβλητή X καθορίζεται από τον νόμο κατανομής.

Βρείτε: διακύμανση D(X), μέσος όρος τυπική απόκλιση(X) και να κατασκευάσετε ένα πολύγωνο κατανομής.

Εργασία Νο. 17

Το σχολικό βιβλίο εκδόθηκε σε κυκλοφορία 100.000 αντιτύπων. Η πιθανότητα το σχολικό βιβλίο να είναι δεμένο σωστά είναι 0,0001. Βρείτε την πιθανότητα η κυκλοφορία να περιέχει ακριβώς 5 ελαττωματικά βιβλία.

Εργασία Νο. 18

Δίνεται μια λίστα με τις πιθανές τιμές μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής X: και επίσης γνωστό μαθηματικές προσδοκίεςαυτή η ποσότητα και τα τετράγωνά της:

Μ(Χ)=2,3 και Μ(Χ )=5,9.

Βρείτε τις πιθανότητες που αντιστοιχούν στις πιθανές τιμές του X.

Εργασία Νο. 19

Η τυχαία μεταβλητή X καθορίζεται από την ολοκληρωτική συνάρτηση

Βρείτε την πιθανότητα ότι, ως αποτέλεσμα της δοκιμής, η τιμή του X θα λάβει μια τιμή που περιέχεται στο διάστημα (-1;1)

Εργασία Νο. 20
Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή καθορίζεται από έναν νόμο κατανομής

Βρείτε την ολοκληρωτική συνάρτηση και σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της.

Εργασία Νο. 21

Δίνεται η συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ διαφορική λειτουργία
στο διάστημα (0; π/3); έξω από αυτό το διάστημα f(x)=0. Βρείτε την πιθανότητα ότι το X θα πάρει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα (
)

Εργασία Νο. 22

Η διακριτή τυχαία μεταβλητή X καθορίζεται από τον νόμο κατανομής:

Χ	1	2	4
R	0,1	0,3	0,6

Εύρημα κεντρικά σημείαπρώτη, δεύτερη, τρίτη και τέταρτη τάξη

Εργασία Νο. 23

Γράφω διωνυμικός νόμοςκατανομή μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής X - ο αριθμός των εμφανίσεων ζυγού αριθμού σημείων σε δύο ζάρια.

Εργασία Νο. 24

Βρείτε τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής X που καθορίζεται από τον νόμο κατανομής:

Χ	-5	2	3	4
R	0,4	0,3	0,1	0,2

Εργασία Νο. 25

Η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν σε κάθε δοκιμή είναι ½. Χρησιμοποιώντας την ανισότητα του Chebyshev, υπολογίστε την πιθανότητα ότι ο αριθμός Χ των εμφανίσεων του συμβάντος Α θα είναι στην περιοχή από 40 έως 60 εάν πραγματοποιηθούν 100 ανεξάρτητες δοκιμές.

Εργασία Νο. 26

xi	1	8	10	12
ni	5	3	8	4

Βρείτε την εμπειρική συνάρτηση κατανομής και σχεδιάστε την.

Εργασία Νο. 27

Κατασκευάστε ένα ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων για μια δεδομένη κατανομή δείγματος

Οχι.	Αριθμός εργαζομένων Ο άνθρωπος	Αριθμός επιχειρήσεων
	7-12	4
	12-17	6
	17-22	4
	22-27	3
	Πάνω από 27	3

Εργασία Νο. 28

Το δείγμα προσδιορίζεται ως κατανομή συχνότητας

xi	1	3	6	26
ni	8	40	10	2

Υπολογίστε εκτιμήσεις πόντων.

Εργασία Νο. 29

Για χτισμένο σειρές μεσοδιαστημάτωνυπολογίζω διάστημα εμπιστοσύνηςσε γ=0,99 και t=2,861

Οχι.	Αριθμός εργαζομένων Ο άνθρωπος	Αριθμός επιχειρήσεων
	218-347	2
	347-476	5
	476-605	6
	605-734	4
	734-863	1
	863-992	2

Εργασία Νο. 30

Το δείγμα προσδιορίζεται ως κατανομή συχνότητας

xi	2	4	8	15
ni	15	23	18	24

Κατασκευάστε ένα πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων.