Εφαρμογές στοιχειωδών συναρτήσεων αν. Στοιχειώδης λειτουργία

1) Τομέας συνάρτησης και εύρος συναρτήσεων.

Ο τομέας μιας συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των έγκυρων έγκυρων τιμών ορίσματος Χ(μεταβλητός Χ), για την οποία η συνάρτηση y = f(x)προσδιορίζεται. Το εύρος μιας συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των πραγματικών τιμών y, το οποίο αποδέχεται η συνάρτηση.

Στα δημοτικά μαθηματικά, οι συναρτήσεις μελετώνται μόνο στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

2) Συναρτήσεις μηδενικά.

Η συνάρτηση μηδέν είναι η τιμή του ορίσματος στο οποίο η τιμή της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν.

3) Διαστήματα σταθερού πρόσημου μιας συνάρτησης.

Τα διαστήματα σταθερού πρόσημου μιας συνάρτησης είναι σύνολα τιμών ορισμάτων στα οποία οι τιμές της συνάρτησης είναι μόνο θετικές ή μόνο αρνητικές.

4) Μονοτονία της συνάρτησης.

Μια αυξανόμενη συνάρτηση (σε ένα ορισμένο διάστημα) είναι μια συνάρτηση στην οποία μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος από αυτό το διάστημα αντιστοιχεί σε μια μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης.

Μια φθίνουσα συνάρτηση (σε ένα ορισμένο διάστημα) είναι μια συνάρτηση στην οποία μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος από αυτό το διάστημα αντιστοιχεί σε μια μικρότερη τιμή της συνάρτησης.

5) Ζυγή (περιττή) συνάρτηση.

Μια άρτια συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού είναι συμμετρικό ως προς την αρχή και για οποιαδήποτε Χαπό το πεδίο ορισμού την ισότητα f(-x) = f(x). Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την τεταγμένη.

Μια περιττή συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού είναι συμμετρικό ως προς την αρχή και για οποιαδήποτε Χαπό τον τομέα του ορισμού η ισότητα είναι αληθής f(-x) = - f(x). Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την προέλευση.

6) Περιορισμένες και απεριόριστες λειτουργίες.

Μια συνάρτηση ονομάζεται δεσμευμένη αν υπάρχει θετικός αριθμός M τέτοιος ώστε |f(x)| ≤ M για όλες τις τιμές του x. Εάν δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός, τότε η συνάρτηση είναι απεριόριστη.

7) Περιοδικότητα της συνάρτησης.

Μια συνάρτηση f(x) είναι περιοδική εάν υπάρχει ένας μη μηδενικός αριθμός Τ τέτοιος ώστε για οποιοδήποτε x από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ισχύει το εξής: f(x+T) = f(x). Αυτός ο μικρότερος αριθμός ονομάζεται περίοδος της συνάρτησης. Όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές. (Τριγωνομετρικοί τύποι).

19. Βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις, οι ιδιότητες και οι γραφικές παραστάσεις τους. Εφαρμογή συναρτήσεων στα οικονομικά.

Βασικές στοιχειώδεις λειτουργίες. Οι ιδιότητες και τα γραφήματα τους

1. Γραμμική συνάρτηση.

Γραμμική συνάρτηση ονομάζεται συνάρτηση της μορφής , όπου x είναι μεταβλητή, a και b είναι πραγματικοί αριθμοί.

Αριθμός ΕΝΑπου ονομάζεται κλίση της ευθείας, είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης αυτής της ευθείας στη θετική κατεύθυνση του άξονα x. Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή. Ορίζεται από δύο σημεία.

Ιδιότητες μιας Γραμμικής συνάρτησης

1. Τομέας ορισμού - το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών: D(y)=R

2. Το σύνολο των τιμών είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών: E(y)=R

3. Η συνάρτηση παίρνει μηδενική τιμή όταν ή.

4. Η συνάρτηση αυξάνεται (μειώνεται) σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.

5. Μια γραμμική συνάρτηση είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού, διαφοροποιήσιμη και .

2. Τετραγωνική συνάρτηση.

Μια συνάρτηση της μορφής, όπου x είναι μια μεταβλητή, οι συντελεστές a, b, c είναι πραγματικοί αριθμοί, ονομάζεται τετραγωνικός

Οι βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις, οι εγγενείς ιδιότητές τους και οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις είναι ένα από τα βασικά στοιχεία της μαθηματικής γνώσης, παρόμοια σε σημασία με τον πίνακα πολλαπλασιασμού. Οι στοιχειώδεις συναρτήσεις είναι η βάση, η υποστήριξη για τη μελέτη όλων των θεωρητικών ζητημάτων.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Το παρακάτω άρθρο παρέχει βασικό υλικό για το θέμα των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων. Θα εισαγάγουμε όρους, θα τους δώσουμε ορισμούς. Ας μελετήσουμε λεπτομερώς κάθε τύπο στοιχειωδών συναρτήσεων και ας αναλύσουμε τις ιδιότητές τους.

Διακρίνονται οι ακόλουθοι τύποι βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων:

Ορισμός 1

σταθερή συνάρτηση (σταθερή);
νύοστη ρίζα;
λειτουργία ισχύος?
εκθετικη συναρτηση;
λογαριθμική συνάρτηση;
τριγωνομετρικές συναρτήσεις;
αδελφικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Μια σταθερή συνάρτηση ορίζεται από τον τύπο: y = C (C είναι ένας συγκεκριμένος πραγματικός αριθμός) και έχει επίσης ένα όνομα: σταθερά. Αυτή η συνάρτηση καθορίζει την αντιστοιχία οποιασδήποτε πραγματικής τιμής της ανεξάρτητης μεταβλητής x στην ίδια τιμή της μεταβλητής y - την τιμή του C.

Η γραφική παράσταση μιας σταθεράς είναι μια ευθεία γραμμή που είναι παράλληλη προς τον άξονα της τετμημένης και διέρχεται από ένα σημείο που έχει συντεταγμένες (0, C). Για λόγους σαφήνειας, παρουσιάζουμε γραφήματα σταθερών συναρτήσεων y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (που υποδεικνύονται με μαύρο, κόκκινο και μπλε χρώμα στο σχέδιο, αντίστοιχα).

Ορισμός 2

Αυτή η στοιχειώδης συνάρτηση ορίζεται από τον τύπο y = x n (το n είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από ένα).

Ας εξετάσουμε δύο παραλλαγές της συνάρτησης.

η ρίζα, ν – ζυγός αριθμός

Για λόγους σαφήνειας, υποδεικνύουμε ένα σχέδιο που δείχνει γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων: y = x, y = x 4 και y = x8. Αυτά τα χαρακτηριστικά έχουν χρωματική κωδικοποίηση: μαύρο, κόκκινο και μπλε αντίστοιχα.

Τα γραφήματα μιας συνάρτησης άρτιου βαθμού έχουν παρόμοια εμφάνιση για άλλες τιμές του εκθέτη.

Ορισμός 3

Ιδιότητες της νης συνάρτησης ρίζας, το n είναι ένας ζυγός αριθμός

πεδίο ορισμού – το σύνολο όλων των μη αρνητικών πραγματικών αριθμών [ 0 , + ∞) ;
όταν x = 0, συνάρτηση y = x n έχει τιμή ίση με μηδέν.
αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε ζυγή ούτε περιττή).
εύρος: [ 0 , + ∞) ;
Αυτή η συνάρτηση y = x n με άρτιους εκθέτες ρίζας αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.
η συνάρτηση έχει κυρτότητα με κατεύθυνση προς τα πάνω σε όλο το πεδίο ορισμού.
δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
η γραφική παράσταση της συνάρτησης για άρτιο n διέρχεται από τα σημεία (0; 0) και (1; 1).

nη ρίζα, n – περιττός αριθμός

Μια τέτοια συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Για λόγους σαφήνειας, εξετάστε τα γραφήματα των συναρτήσεων y = x 3, y = x 5 και x 9 . Στο σχέδιο υποδεικνύονται με χρώματα: μαύρο, κόκκινο και μπλε είναι τα χρώματα των καμπυλών, αντίστοιχα.

Άλλες περιττές τιμές του εκθέτη ρίζας της συνάρτησης y = x n θα δώσουν ένα γράφημα παρόμοιου τύπου.

Ορισμός 4

Ιδιότητες της νης συνάρτησης ρίζας, το n είναι περιττός αριθμός

τομέας ορισμού – το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.
Αυτή η συνάρτηση είναι περίεργη.
εύρος τιμών - το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.
η συνάρτηση y = x n για περιττούς εκθέτες ρίζας αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.
η συνάρτηση έχει κοιλότητα στο διάστημα (- ∞ ; 0 ] και κυρτότητα στο διάστημα [ 0 , + ∞);
το σημείο καμπής έχει συντεταγμένες (0; 0).
δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης για περιττό n διέρχεται από τα σημεία (- 1 ; - 1), (0 ; 0) και (1 ; 1).

Λειτουργία ισχύος

Ορισμός 5

Η συνάρτηση ισχύος ορίζεται από τον τύπο y = x a.

Η εμφάνιση των γραφημάτων και οι ιδιότητες της συνάρτησης εξαρτώνται από την τιμή του εκθέτη.

όταν μια συνάρτηση ισχύος έχει ακέραιο εκθέτη α, τότε ο τύπος της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ισχύος και οι ιδιότητές της εξαρτώνται από το αν ο εκθέτης είναι άρτιος ή περιττός, καθώς και από το πρόσημο που έχει ο εκθέτης. Ας εξετάσουμε όλες αυτές τις ειδικές περιπτώσεις με περισσότερες λεπτομέρειες παρακάτω.
ο εκθέτης μπορεί να είναι κλασματικός ή παράλογος - ανάλογα με αυτό, ο τύπος των γραφημάτων και οι ιδιότητες της συνάρτησης ποικίλλουν επίσης. Θα αναλύσουμε ειδικές περιπτώσεις θέτοντας αρκετές προϋποθέσεις: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
μια συνάρτηση ισχύος μπορεί να έχει μηδενικό εκθέτη· θα αναλύσουμε επίσης αυτή την περίπτωση λεπτομερέστερα παρακάτω.

Ας αναλύσουμε τη συνάρτηση ισχύος y = x a, όταν το a είναι ένας περιττός θετικός αριθμός, για παράδειγμα, a = 1, 3, 5...

Για λόγους σαφήνειας, υποδεικνύουμε τα γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων ισχύος: y = x (γραφικό χρώμα μαύρο), y = x 3 (μπλε χρώμα του γραφήματος), y = x 5 (κόκκινο χρώμα του γραφήματος), y = x 7 (γραφικό χρώμα πράσινο). Όταν a = 1, παίρνουμε τη γραμμική συνάρτηση y = x.

Ορισμός 6

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος όταν ο εκθέτης είναι περιττός θετικός

η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
η συνάρτηση έχει κυρτότητα για x ∈ (- ∞ ; 0 ] και κοιλότητα για x ∈ [ 0 ; + ∞) (εξαιρουμένης της γραμμικής συνάρτησης).
το σημείο καμπής έχει συντεταγμένες (0 ; 0) (εξαιρουμένης της γραμμικής συνάρτησης).
δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
σημεία διέλευσης της συνάρτησης: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Ας αναλύσουμε τη συνάρτηση ισχύος y = x a, όταν το a είναι ένας άρτιος θετικός αριθμός, για παράδειγμα, a = 2, 4, 6...

Για λόγους σαφήνειας, υποδεικνύουμε τα γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων ισχύος: y = x 2 (γραφικό χρώμα μαύρο), y = x 4 (μπλε χρώμα του γραφήματος), y = x 8 (κόκκινο χρώμα του γραφήματος). Όταν a = 2, παίρνουμε μια τετραγωνική συνάρτηση, η γραφική παράσταση της οποίας είναι μια τετραγωνική παραβολή.

Ορισμός 7

Ιδιότητες μιας συνάρτησης ισχύος όταν ο εκθέτης είναι άρτιος θετικός:

τομέας ορισμού: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
φθίνουσα για x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
η συνάρτηση έχει κοιλότητα για x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
σημεία διέλευσης της συνάρτησης: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Το παρακάτω σχήμα δείχνει παραδείγματα γραφημάτων συνάρτησης ισχύος y = x a όταν το a είναι περιττός αρνητικός αριθμός: y = x - 9 (γραφικό χρώμα μαύρο). y = x - 5 (μπλε χρώμα του γραφήματος). y = x - 3 (κόκκινο χρώμα του γραφήματος). y = x - 1 (γραφικό χρώμα πράσινο). Όταν a = - 1, λαμβάνουμε αντίστροφη αναλογικότητα, η γραφική παράσταση της οποίας είναι υπερβολή.

Ορισμός 8

Ιδιότητες μιας συνάρτησης ισχύος όταν ο εκθέτης είναι περιττός αρνητικός:

Όταν x = 0, λαμβάνουμε μια ασυνέχεια του δεύτερου είδους, αφού lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ για a = - 1, - 3, - 5, …. Έτσι, η ευθεία x = 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη.

εύρος: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
η συνάρτηση είναι περιττή επειδή y (- x) = - y (x);
η συνάρτηση είναι φθίνουσα για x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
η συνάρτηση έχει κυρτότητα για x ∈ (- ∞ ; 0) και κοιλότητα για x ∈ (0 ; + ∞) ;
δεν υπάρχουν σημεία καμπής.

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, όταν a = - 1, - 3, - 5, . . . .

σημεία διέλευσης της συνάρτησης: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Το παρακάτω σχήμα δείχνει παραδείγματα γραφημάτων της συνάρτησης ισχύος y = x a όταν το a είναι άρτιος αρνητικός αριθμός: y = x - 8 (γραφικό χρώμα μαύρο). y = x - 4 (μπλε χρώμα του γραφήματος). y = x - 2 (κόκκινο χρώμα του γραφήματος).

Ορισμός 9

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος όταν ο εκθέτης είναι άρτιος:

τομέας ορισμού: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Όταν x = 0, λαμβάνουμε μια ασυνέχεια του δεύτερου είδους, αφού lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ για a = - 2, - 4, - 6, …. Έτσι, η ευθεία x = 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη.

η συνάρτηση είναι άρτια επειδή y(-x) = y(x);
η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ (- ∞ ; 0) και μειώνεται για x ∈ 0; + ∞ ;
η συνάρτηση έχει κοιλότητα στο x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
οριζόντια ασύμπτωτη – ευθεία y = 0, γιατί:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 όταν a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

σημεία διέλευσης της συνάρτησης: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Από την αρχή, δώστε προσοχή στην ακόλουθη πτυχή: στην περίπτωση που το a είναι ένα θετικό κλάσμα με περιττό παρονομαστή, ορισμένοι συγγραφείς λαμβάνουν το διάστημα - ∞ ως πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης ισχύος. + ∞ , ορίζοντας ότι ο εκθέτης a είναι μη αναγώγιμο κλάσμα. Προς το παρόν, οι συγγραφείς πολλών εκπαιδευτικών δημοσιεύσεων για την άλγεβρα και τις αρχές ανάλυσης ΔΕΝ ΟΡΙΣΟΥΝ τις συναρτήσεις ισχύος, όπου ο εκθέτης είναι ένα κλάσμα με περιττό παρονομαστή για τις αρνητικές τιμές του επιχειρήματος. Παρακάτω θα τηρήσουμε ακριβώς αυτή τη θέση: θα πάρουμε το σύνολο [ 0 ; + ∞) . Σύσταση για τους μαθητές: μάθετε την άποψη του δασκάλου σε αυτό το σημείο για να αποφύγετε διαφωνίες.

Λοιπόν, ας δούμε τη συνάρτηση ισχύος y = x a , όταν ο εκθέτης είναι ρητός ή άρρητος αριθμός, με την προϋπόθεση ότι το 0< a < 1 .

Ας απεικονίσουμε τις συναρτήσεις ισχύος με γραφήματα y = x a όταν a = 11 12 (γραφικό χρώμα μαύρο); a = 5 7 (κόκκινο χρώμα του γραφήματος). a = 1 3 (μπλε χρώμα του γραφήματος). a = 2 5 (πράσινο χρώμα του γραφήματος).

Άλλες τιμές του εκθέτη a (παρέχονται 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Ορισμός 10

Ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος στο 0< a < 1:

εύρος: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
η συνάρτηση είναι κυρτή για x ∈ (0 ; + ∞);
δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?

Ας αναλύσουμε τη συνάρτηση ισχύος y = x a, όταν ο εκθέτης είναι ένας μη ακέραιος ρητός ή άρρητος αριθμός, με την προϋπόθεση ότι a > 1.

Ας δείξουμε με γραφήματα τη συνάρτηση ισχύος y = x a υπό δεδομένες συνθήκες χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες συναρτήσεις ως παράδειγμα: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (μαύρο, κόκκινο, μπλε, πράσινο χρώμα των γραφημάτων, αντίστοιχα).

Άλλες τιμές του εκθέτη a, με την προϋπόθεση a > 1, θα δώσουν ένα παρόμοιο γράφημα.

Ορισμός 11

Ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος για > 1:

τομέας ορισμού: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
εύρος: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
η συνάρτηση έχει κοιλότητα για x ∈ (0 ; + ∞) (όταν 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
σημεία διέλευσης της συνάρτησης: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Όταν το a είναι ένα αρνητικό κλάσμα με περιττό παρονομαστή, στα έργα ορισμένων συγγραφέων υπάρχει η άποψη ότι το πεδίο ορισμού σε αυτή την περίπτωση είναι το διάστημα - ∞. 0 ∪ (0 ; + ∞) με την προειδοποίηση ότι ο εκθέτης a είναι μη αναγώγιμο κλάσμα. Προς το παρόν, οι συγγραφείς εκπαιδευτικού υλικού για την άλγεβρα και τις αρχές ανάλυσης ΔΕΝ ΟΡΙΣΟΥΝ τις συναρτήσεις ισχύος με έναν εκθέτη με τη μορφή κλάσματος με περιττό παρονομαστή για τις αρνητικές τιμές του επιχειρήματος. Επιπλέον, τηρούμε ακριβώς αυτή την άποψη: παίρνουμε το σύνολο (0 ; + ∞) ως το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων ισχύος με κλασματικούς αρνητικούς εκθέτες. Σύσταση για μαθητές: Ξεκαθαρίστε το όραμα του δασκάλου σας σε αυτό το σημείο για να αποφύγετε διαφωνίες.

Ας συνεχίσουμε το θέμα και ας αναλύσουμε τη συνάρτηση ισχύος y = x a παρέχεται: - 1< a < 0 .

Ας παρουσιάσουμε ένα σχέδιο γραφημάτων των παρακάτω συναρτήσεων: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (μαύρο, κόκκινο, μπλε, πράσινο χρώμα του τις γραμμές, αντίστοιχα).

Ορισμός 12

Ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος στο - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ όταν - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

εύρος: y ∈ 0 ; + ∞ ;
αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
δεν υπάρχουν σημεία καμπής.

Το παρακάτω σχέδιο δείχνει γραφήματα των συναρτήσεων ισχύος y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (μαύρο, κόκκινο, μπλε, πράσινο χρώμα των καμπυλών, αντίστοιχα).

Ορισμός 13

Ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος για α< - 1:

τομέας ορισμού: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ όταν α< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

εύρος: y ∈ (0 ; + ∞) ;
αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
η συνάρτηση είναι φθίνουσα για x ∈ 0; + ∞ ;
η συνάρτηση έχει μια κοιλότητα για x ∈ 0; + ∞ ;
δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
οριζόντια ασύμπτωτη – ευθεία γραμμή y = 0;
σημείο διέλευσης της συνάρτησης: (1; 1) .

Όταν a = 0 και x ≠ 0, λαμβάνουμε τη συνάρτηση y = x 0 = 1, η οποία ορίζει την ευθεία από την οποία εξαιρείται το σημείο (0; 1) (συμφωνήθηκε ότι η έκφραση 0 0 δεν θα έχει νόημα ).

Η εκθετική συνάρτηση έχει τη μορφή y = a x, όπου a > 0 και a ≠ 1, και η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης φαίνεται διαφορετική με βάση την τιμή της βάσης a. Ας εξετάσουμε ειδικές περιπτώσεις.

Αρχικά, ας δούμε την κατάσταση όταν η βάση της εκθετικής συνάρτησης έχει τιμή από μηδέν έως ένα (0< a < 1) . Ένα καλό παράδειγμα είναι τα γραφήματα των συναρτήσεων για a = 1 2 (μπλε χρώμα της καμπύλης) και a = 5 6 (κόκκινο χρώμα της καμπύλης).

Τα γραφήματα της εκθετικής συνάρτησης θα έχουν παρόμοια εμφάνιση για άλλες τιμές της βάσης υπό την συνθήκη 0< a < 1 .

Ορισμός 14

Ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης όταν η βάση είναι μικρότερη από μία:

εύρος: y ∈ (0 ; + ∞) ;
αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
μια εκθετική συνάρτηση της οποίας η βάση είναι μικρότερη από ένα μειώνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.
δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
οριζόντια ασύμπτωτη – ευθεία y = 0 με μεταβλητή x τείνει στο + ∞;

Ας εξετάσουμε τώρα την περίπτωση που η βάση της εκθετικής συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από μία (a > 1).

Ας απεικονίσουμε αυτήν την ειδική περίπτωση με ένα γράφημα εκθετικών συναρτήσεων y = 3 2 x (μπλε χρώμα της καμπύλης) και y = e x (κόκκινο χρώμα του γραφήματος).

Άλλες τιμές της βάσης, μεγαλύτερες μονάδες, θα δώσουν παρόμοια εμφάνιση στο γράφημα της εκθετικής συνάρτησης.

Ορισμός 15

Ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης όταν η βάση είναι μεγαλύτερη από μία:

τομέας ορισμού – ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
εύρος: y ∈ (0 ; + ∞) ;
αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
Μια εκθετική συνάρτηση της οποίας η βάση είναι μεγαλύτερη από μία αυξάνεται ως x ∈ - ∞; + ∞ ;
η συνάρτηση έχει κοιλότητα στο x ∈ - ∞; + ∞ ;
δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
οριζόντια ασύμπτωτη – ευθεία y = 0 με μεταβλητή x τείνει προς - ∞;
σημείο διέλευσης της συνάρτησης: (0; 1) .

Η λογαριθμική συνάρτηση έχει τη μορφή y = log a (x), όπου a > 0, a ≠ 1.

Μια τέτοια συνάρτηση ορίζεται μόνο για θετικές τιμές του ορίσματος: για x ∈ 0; + ∞ .

Η γραφική παράσταση μιας λογαριθμικής συνάρτησης έχει διαφορετική εμφάνιση, με βάση την τιμή της βάσης a.

Ας εξετάσουμε πρώτα την κατάσταση όταν το 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Άλλες τιμές της βάσης, όχι μεγαλύτερες μονάδες, θα δώσουν παρόμοιο τύπο γραφήματος.

Ορισμός 16

Ιδιότητες μιας λογαριθμικής συνάρτησης όταν η βάση είναι μικρότερη από μία:

τομέας ορισμού: x ∈ 0 ; + ∞ . Καθώς το x τείνει στο μηδέν από τα δεξιά, οι τιμές της συνάρτησης τείνουν στο +∞.
εύρος τιμών: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
λογαριθμική
η συνάρτηση έχει μια κοιλότητα για x ∈ 0; + ∞ ;
δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?

Ας δούμε τώρα την ειδική περίπτωση όταν η βάση της λογαριθμικής συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από μία: a > 1 . Το παρακάτω σχέδιο δείχνει γραφήματα λογαριθμικών συναρτήσεων y = log 3 2 x και y = ln x (μπλε και κόκκινα χρώματα των γραφημάτων, αντίστοιχα).

Άλλες τιμές της βάσης μεγαλύτερες από μία θα δώσουν παρόμοιο τύπο γραφήματος.

Ορισμός 17

Ιδιότητες μιας λογαριθμικής συνάρτησης όταν η βάση είναι μεγαλύτερη από μία:

τομέας ορισμού: x ∈ 0 ; + ∞ . Καθώς το x τείνει στο μηδέν από τα δεξιά, οι τιμές της συνάρτησης τείνουν σε - ∞ ;
εύρος τιμών: y ∈ - ∞ ; + ∞ (ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών).
αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
η λογαριθμική συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ 0; + ∞ ;
η συνάρτηση είναι κυρτή για x ∈ 0; + ∞ ;
δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
σημείο διέλευσης της συνάρτησης: (1; 0) .

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη. Ας δούμε τις ιδιότητες καθενός από αυτά και τα αντίστοιχα γραφικά.

Γενικά, όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις χαρακτηρίζονται από την ιδιότητα της περιοδικότητας, δηλ. όταν οι τιμές των συναρτήσεων επαναλαμβάνονται για διαφορετικές τιμές του ορίσματος, που διαφέρουν μεταξύ τους κατά την περίοδο f (x + T) = f (x) (T είναι η περίοδος). Έτσι, το στοιχείο "μικρότερη θετική περίοδος" προστίθεται στη λίστα των ιδιοτήτων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Επιπλέον, θα υποδείξουμε τις τιμές του ορίσματος στο οποίο η αντίστοιχη συνάρτηση γίνεται μηδέν.

Ημιτονοειδής συνάρτηση: y = sin(x)

Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης ονομάζεται ημιτονοειδές κύμα.

Ορισμός 18

Ιδιότητες της ημιτονοειδούς συνάρτησης:

πεδίο ορισμού: ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
η συνάρτηση εξαφανίζεται όταν x = π · k, όπου k ∈ Z (Z είναι το σύνολο των ακεραίων).
η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z και φθίνουσα για x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
η ημιτονοειδής συνάρτηση έχει τοπικά μέγιστα στα σημεία π 2 + 2 π · k; 1 και τοπικά ελάχιστα στα σημεία - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
η ημιτονοειδής συνάρτηση είναι κοίλη όταν x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z και κυρτό όταν x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
δεν υπάρχουν ασύμπτωτα.

Συνάρτηση συνημίτονου: y = cos(x)

Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης ονομάζεται συνημιτονικό κύμα.

Ορισμός 19

Ιδιότητες της συνημίτονος:

τομέας ορισμού: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
μικρότερη θετική περίοδος: T = 2 π;
εύρος τιμών: y ∈ - 1 ; 1 ;
αυτή η συνάρτηση είναι άρτια, αφού y (- x) = y (x);
η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z και φθίνουσα για x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
η συνημίτονο έχει τοπικά μέγιστα στα σημεία 2 π · k ; 1, k ∈ Z και τοπικά ελάχιστα στα σημεία π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
η συνημίτονο είναι κοίλη όταν x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z και κυρτό όταν x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
Τα σημεία καμπής έχουν συντεταγμένες π 2 + π · k. 0 , k ∈ Z
δεν υπάρχουν ασύμπτωτα.

Συνάρτηση εφαπτομένης: y = t g (x)

Το γράφημα αυτής της συνάρτησης καλείται εφαπτομένη γραμμή.

Ορισμός 20

Ιδιότητες της εφαπτομένης συνάρτησης:

τομέας ορισμού: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, όπου k ∈ Z (Z είναι το σύνολο των ακεραίων).
Συμπεριφορά της εφαπτομένης συνάρτησης στο όριο του πεδίου ορισμού lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Έτσι, οι ευθείες x = π 2 + π · k k ∈ Z είναι κάθετες ασύμπτωτες.
η συνάρτηση εξαφανίζεται όταν x = π · k για k ∈ Z (Z είναι το σύνολο των ακεραίων).
εύρος τιμών: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
αυτή η συνάρτηση είναι περιττή, αφού y (- x) = - y (x) ;
η συνάρτηση αυξάνεται ως - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
η συνάρτηση εφαπτομένης είναι κοίλη για x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z και κυρτό για x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
Τα σημεία καμπής έχουν συντεταγμένες π · k ; 0 , k ∈ Z ;

Συνεφαπτομένη συνάρτηση: y = c t g (x)

Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης ονομάζεται συνεφαπτοειδές. .

Ορισμός 21

Ιδιότητες της συνεπαπτομένης συνάρτησης:

πεδίο ορισμού: x ∈ (π · k ; π + π · k) , όπου k ∈ Z (Z είναι το σύνολο των ακεραίων);

Συμπεριφορά της συνεπαπτομένης στο όριο του πεδίου ορισμού lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Έτσι, οι ευθείες x = π · k k ∈ Z είναι κάθετες ασύμπτωτες.

μικρότερη θετική περίοδος: T = π;
η συνάρτηση εξαφανίζεται όταν x = π 2 + π · k για k ∈ Z (Z είναι το σύνολο των ακεραίων).
εύρος τιμών: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
αυτή η συνάρτηση είναι περιττή, αφού y (- x) = - y (x) ;
η συνάρτηση είναι φθίνουσα για x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
η συνεπαπτομένη είναι κοίλη για x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z και κυρτή για x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
Τα σημεία καμπής έχουν συντεταγμένες π 2 + π · k. 0 , k ∈ Z ;
Δεν υπάρχουν λοξές ή οριζόντιες ασύμπτωτες.

Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι το τόξο, η αρκοσίνη, η τοξοεφαπτομένη και η τοξοεφαπτομένη. Συχνά, λόγω της παρουσίας του προθέματος "τόξο" στο όνομα, οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις ονομάζονται συναρτήσεις τόξου .

Συνάρτηση ημιτονοειδούς τόξου: y = a r c sin (x)

Ορισμός 22

Ιδιότητες της συνάρτησης τόξου:

αυτή η συνάρτηση είναι περιττή, αφού y (- x) = - y (x) ;
η συνάρτηση τόξου έχει μια κοιλότητα για x ∈ 0; 1 και κυρτότητα για x ∈ - 1 ; 0 ;
Τα σημεία καμπής έχουν συντεταγμένες (0; 0), που είναι επίσης το μηδέν της συνάρτησης.
δεν υπάρχουν ασύμπτωτα.

Συνάρτηση συνημιτόνου τόξου: y = a r c cos (x)

Ορισμός 23

Ιδιότητες της συνημίτονος τόξου:

τομέας ορισμού: x ∈ - 1 ; 1 ;
εύρος: y ∈ 0 ; π;
αυτή η συνάρτηση είναι γενικής μορφής (ούτε ζυγή ούτε περιττή).
η συνάρτηση μειώνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.
η συνάρτηση τόξου συνημιτόνου έχει κοιλότητα στο x ∈ - 1; 0 και κυρτότητα για x ∈ 0; 1 ;
Τα σημεία καμπής έχουν συντεταγμένες 0. π 2;
δεν υπάρχουν ασύμπτωτα.

Συνάρτηση εφαπτομένης τόξου: y = a r c t g (x)

Ορισμός 24

Ιδιότητες της συνάρτησης τόξου:

τομέας ορισμού: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
εύρος τιμών: y ∈ - π 2 ; π 2;
αυτή η συνάρτηση είναι περιττή, αφού y (- x) = - y (x) ;
η συνάρτηση αυξάνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.
η συνάρτηση του τόξου έχει κοιλότητα για x ∈ (- ∞ ; 0 ] και κυρτότητα για x ∈ [ 0 ; + ∞);
το σημείο καμπής έχει συντεταγμένες (0; 0), που είναι επίσης το μηδέν της συνάρτησης.
Οι οριζόντιες ασύμπτωτες είναι ευθείες γραμμές y = - π 2 ως x → - ∞ και y = π 2 ως x → + ∞ (στο σχήμα, οι ασύμπτωτες είναι πράσινες γραμμές).

Συνάρτηση εφαπτομένης τόξου: y = a r c c t g (x)

Ορισμός 25

Ιδιότητες της συνάρτησης τόξου εφαπτομένης:

τομέας ορισμού: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
εύρος: y ∈ (0; π) ;
Αυτή η συνάρτηση είναι γενικής μορφής.
η συνάρτηση μειώνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.
η συνάρτηση συνεφαπτομένης τόξου έχει μια κοιλότητα για x ∈ [ 0 ; + ∞) και κυρτότητα για x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
το σημείο καμπής έχει συντεταγμένες 0. π 2;
Οι οριζόντιες ασύμπτωτες είναι ευθείες γραμμές y = π στο x → - ∞ (πράσινη γραμμή στο σχέδιο) και y = 0 στο x → + ∞.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Πλήρης λίστα βασικών βασικών λειτουργιών

Η κλάση των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων περιλαμβάνει τα ακόλουθα:

Συνάρτηση σταθερής $y=C$, όπου η $C$ είναι μια σταθερά. Μια τέτοια συνάρτηση παίρνει την ίδια τιμή $C$ για οποιοδήποτε $x$.
Συνάρτηση ισχύος $y=x^(a) $, όπου ο εκθέτης $a$ είναι πραγματικός αριθμός.
Εκθετική συνάρτηση $y=a^(x) $, όπου η βάση είναι βαθμός $a>0$, $a\ne 1$.
Λογαριθμική συνάρτηση $y=\log _(a) x$, όπου η βάση του λογάριθμου είναι $a>0$, $a\ne 1$.
Τριγωνομετρικές συναρτήσεις $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=tg\, x$, $y=ctg\, x$, $y=\sec x$, $y=A>\ sec\,x$.
Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις $y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=arctgx$, $y=arcctgx$, $y=arc\sec x$, $y=arc\, \cos ec\ , x$.

Λειτουργίες ισχύος

Θα εξετάσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης ισχύος $y=x^(a) $ για εκείνες τις απλούστερες περιπτώσεις όπου ο εκθέτης της καθορίζει την εκθέτηση ακεραίων και την εξαγωγή ρίζας.

Περίπτωση 1

Ο εκθέτης της συνάρτησης $y=x^(a) $ είναι ένας φυσικός αριθμός, δηλαδή $y=x^(n) $, $n\σε N$.

Εάν το $n=2\cdot k$ είναι ζυγός αριθμός, τότε η συνάρτηση $y=x^(2\cdot k) $ είναι άρτια και αυξάνεται απεριόριστα σαν το όρισμα $\left(x\to +\infty \ right )$, και με την απεριόριστη μείωση του $\left(x\to -\infty \right)$. Αυτή η συμπεριφορά της συνάρτησης μπορεί να περιγραφεί από τις εκφράσεις $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $ και $\mathop(\lim )\ limits_(x\to -\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $, που σημαίνει ότι η συνάρτηση και στις δύο περιπτώσεις αυξάνεται χωρίς όριο ($\lim $ είναι το όριο). Παράδειγμα: γράφημα της συνάρτησης $y=x^(2) $.

Εάν το $n=2\cdot k-1$ είναι περιττός αριθμός, τότε η συνάρτηση $y=x^(2\cdot k-1) $ είναι περιττή, αυξάνεται επ' αόριστον καθώς το όρισμα αυξάνεται επ' αόριστον και μειώνεται επ' αόριστον ως το όρισμα μειώνεται επ' αόριστον. Αυτή η συμπεριφορά της συνάρτησης μπορεί να περιγραφεί από τις εκφράσεις $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k-1) =+\infty $ και $\mathop(\lim )\limits_(x \to -\infty ) x^(2\cdot k-1) =-\infty $. Παράδειγμα: γράφημα της συνάρτησης $y=x^(3) $.

Περίπτωση 2

Ο εκθέτης της συνάρτησης $y=x^(a) $ είναι αρνητικός ακέραιος, δηλαδή $y=\frac(1)(x^(n) ) $, $n\σε N$.

Εάν το $n=2\cdot k$ είναι ζυγός αριθμός, τότε η συνάρτηση $y=\frac(1)(x^(2\cdot k) ) $ είναι άρτια και ασυμπτωτικά (σταδιακά) πλησιάζει το μηδέν όπως με το όρισμα απεριόριστης αύξησης , και με την απεριόριστη μείωση του. Αυτή η συμπεριφορά της συνάρτησης μπορεί να περιγραφεί από μια έκφραση $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =0$, που σημαίνει ότι με απεριόριστη αύξηση του ορίσματος σε απόλυτη τιμή, το όριο της συνάρτησης είναι μηδέν. Επιπλέον, καθώς το όρισμα τείνει στο μηδέν τόσο στα αριστερά $\left(x\to 0-0\right)$ όσο και στα δεξιά $\left(x\to 0+0\right)$, η συνάρτηση αυξάνεται χωρίς όριο. Επομένως, οι εκφράσεις $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $ και $\mathop(\lim )\ τα όρια_ είναι έγκυρα (x\to 0+0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $, που σημαίνει ότι η συνάρτηση $y=\frac(1)(x^(2 \cdot k ) ) Το $ και στις δύο περιπτώσεις έχει ένα άπειρο όριο ίσο με $+\infty $. Παράδειγμα: γράφημα της συνάρτησης $y=\frac(1)(x^(2) ) $.

Εάν το $n=2\cdot k-1$ είναι περιττός αριθμός, τότε η συνάρτηση $y=\frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) $ είναι περιττή και ασυμπτωτικά πλησιάζει το μηδέν σαν και τα δύο όταν το όρισμα αυξάνεται και όταν μειώνεται χωρίς όριο. Αυτή η συμπεριφορά της συνάρτησης μπορεί να περιγραφεί με μια μοναδική έκφραση $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) =0$. Επιπλέον, καθώς το όρισμα πλησιάζει το μηδέν στα αριστερά, η συνάρτηση μειώνεται χωρίς όριο και καθώς το όρισμα πλησιάζει το μηδέν στα δεξιά, η συνάρτηση αυξάνεται χωρίς όριο, δηλαδή $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x ^(2\cdot k-1) ) =-\infty $ και $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \frac(1)( x^(2\cdot k-1) ) =+\infty $. Παράδειγμα: γράφημα της συνάρτησης $y=\frac(1)(x) $.

Περίπτωση 3

Ο εκθέτης της συνάρτησης $y=x^(a) $ είναι το αντίστροφο του φυσικού αριθμού, δηλαδή $y=\sqrt[(n)](x) $, $n\σε N$.

Εάν το $n=2\cdot k$ είναι ζυγός αριθμός, τότε η συνάρτηση $y=\pm \sqrt[(2\cdot k)](x) $ έχει δύο τιμές και ορίζεται μόνο για $x\ge 0 $. Με μια απεριόριστη αύξηση στο όρισμα, η τιμή της συνάρτησης $y=+\sqrt[(2\cdot k)](x) $ αυξάνεται απεριόριστα και η τιμή της συνάρτησης $y=-\sqrt[(2\ cdot k)](x) $ μειώνεται απεριόριστα , δηλαδή, $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(+\sqrt[(2\cdot k)](x) \right )=+\infty $ και $\mathop( \lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(-\sqrt[(2\cdot k)](x) \right)=-\infty $. Παράδειγμα: γράφημα της συνάρτησης $y=\pm \sqrt(x) $.

Εάν το $n=2\cdot k-1$ είναι περιττός αριθμός, τότε η συνάρτηση $y=\sqrt[(2\cdot k-1)](x) $ είναι περιττή, αυξάνεται απεριόριστα με απεριόριστη αύξηση στο όρισμα και μειώνεται απεριόριστα όταν είναι απεριόριστο, μειώνεται, δηλαδή $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =+\infty $ και $\mathop(\ lim )\limits_(x\to -\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =-\infty $. Παράδειγμα: γράφημα της συνάρτησης $y=\sqrt[(3)](x) $.

Εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις

Οι εκθετικές συναρτήσεις $y=a^(x) $ και οι λογαριθμικές συναρτήσεις $y=\log _(a) x$ είναι αμοιβαία αντίστροφες. Οι γραφικές παραστάσεις τους είναι συμμετρικές ως προς την κοινή διχοτόμο της πρώτης και τρίτης γωνίας συντεταγμένων.

Καθώς το όρισμα $\left(x\to +\infty \right)$ αυξάνεται επ' αόριστον, η εκθετική συνάρτηση ή $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =+\infty Το $ αυξάνεται επ' αόριστον , εάν το $a>1$ ή ασυμπτωτικά πλησιάζει το μηδέν $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =0$, εάν $a1$ ή $\mathop αυξάνεται χωρίς όριο (\lim )\limits_(x\to -\infty ) a^(x) =+\infty $, εάν $a

Η χαρακτηριστική τιμή για τη συνάρτηση $y=a^(x) $ είναι η τιμή $x=0$. Σε αυτήν την περίπτωση, όλες οι εκθετικές συναρτήσεις, ανεξαρτήτως $a$, τέμνουν αναγκαστικά τον άξονα $Oy$ στο $y=1$. Παραδείγματα: γραφήματα των συναρτήσεων $y=2^(x) $ και $y = \left (\frac(1)(2) \right)^(x) $.

Η λογαριθμική συνάρτηση $y=\log _(a) x$ ορίζεται μόνο για $x > 0$.

Καθώς το όρισμα $\left(x\to +\infty \right)$ αυξάνεται επ' αόριστον, η λογαριθμική συνάρτηση ή $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=+ \ αυξάνεται επ' αόριστον infty $, εάν $a>1$, ή μειώνεται χωρίς όριο $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=-\infty $, εάν $a1 $, ή χωρίς όριο $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \log _(a) x=+\infty $ αυξάνεται εάν $a

Η χαρακτηριστική τιμή για τη συνάρτηση $y=\log _(a) x$ είναι η τιμή $y=0$. Σε αυτήν την περίπτωση, όλες οι λογαριθμικές συναρτήσεις, ανεξάρτητα από το $a$, τέμνουν απαραίτητα τον άξονα $Ox$ στο $x=1$. Παραδείγματα: γραφήματα των συναρτήσεων $y=\log _(2) x$ και $y=\log _(1/2) x$.

Ορισμένες λογαριθμικές συναρτήσεις έχουν ειδική σήμανση. Συγκεκριμένα, εάν η βάση του λογάριθμου είναι $a=10$, τότε ένας τέτοιος λογάριθμος ονομάζεται δεκαδικός και η αντίστοιχη συνάρτηση γράφεται ως $y=\lg x$. Και αν ο παράλογος αριθμός $e=2.7182818\ldots $ επιλεχθεί ως βάση του λογάριθμου, τότε ένας τέτοιος λογάριθμος ονομάζεται φυσικός και η αντίστοιχη συνάρτηση γράφεται ως $y=\ln x$. Το αντίστροφό της είναι η συνάρτηση $y=e^(x) $, που ονομάζεται εκθέτης.

Η ενότητα περιέχει υλικό αναφοράς για τις κύριες στοιχειώδεις συναρτήσεις και τις ιδιότητές τους. Δίνεται μια ταξινόμηση των στοιχειωδών συναρτήσεων. Παρακάτω υπάρχουν σύνδεσμοι προς υποενότητες που συζητούν τις ιδιότητες συγκεκριμένων συναρτήσεων - γραφήματα, τύπους, παράγωγα, αντιπαράγωγα (ολοκληρώματα), επεκτάσεις σειρών, εκφράσεις μέσω μιγαδικών μεταβλητών.

Περιεχόμενο

Σελίδες αναφοράς για βασικές λειτουργίες

Ταξινόμηση στοιχειωδών συναρτήσεων

Αλγεβρική συνάρτησηείναι μια συνάρτηση που ικανοποιεί την εξίσωση:
,
όπου είναι ένα πολυώνυμο στην εξαρτημένη μεταβλητή y και στην ανεξάρτητη μεταβλητή x. Μπορεί να γραφτεί ως:
,
όπου είναι τα πολυώνυμα.

Οι αλγεβρικές συναρτήσεις χωρίζονται σε πολυώνυμα (ολόκληρες ορθολογικές συναρτήσεις), ορθολογικές και ανορθολογικές συναρτήσεις.

Ολόκληρη ορθολογική λειτουργία, που λέγεται και πολυώνυμοςή πολυώνυμος, προκύπτει από τη μεταβλητή x και πεπερασμένος αριθμός αριθμών χρησιμοποιώντας τις αριθμητικές πράξεις της πρόσθεσης (αφαίρεσης) και του πολλαπλασιασμού. Μετά το άνοιγμα των παρενθέσεων, το πολυώνυμο ανάγεται σε κανονική μορφή:
.

Κλασματική ορθολογική συνάρτηση, ή απλά λογική λειτουργία, προκύπτει από τη μεταβλητή x και πεπερασμένος αριθμός αριθμών χρησιμοποιώντας τις αριθμητικές πράξεις της πρόσθεσης (αφαίρεσης), του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. Η ορθολογική συνάρτηση μπορεί να αναχθεί στη μορφή
,
όπου και είναι πολυώνυμα.

Παράλογη λειτουργίαείναι μια αλγεβρική συνάρτηση που δεν είναι ορθολογική. Κατά κανόνα, μια παράλογη συνάρτηση νοείται ως ρίζες και οι συνθέσεις τους με ορθολογικές συναρτήσεις. Μια ρίζα βαθμού n ορίζεται ως η λύση της εξίσωσης
.
Ορίζεται ως εξής:
.

Υπερβατικές λειτουργίεςονομάζονται μη αλγεβρικές συναρτήσεις. Αυτές είναι οι εκθετικές, τριγωνομετρικές, υπερβολικές και οι αντίστροφες συναρτήσεις τους.

Επισκόπηση βασικών στοιχειωδών λειτουργιών

Όλες οι στοιχειώδεις συναρτήσεις μπορούν να αναπαρασταθούν ως ένας πεπερασμένος αριθμός πράξεων πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης που εκτελούνται σε μια έκφραση της μορφής:
z t .
Οι αντίστροφες συναρτήσεις μπορούν επίσης να εκφραστούν με όρους λογαρίθμων. Οι βασικές στοιχειώδεις λειτουργίες παρατίθενται παρακάτω.

Λειτουργία ισχύος:
y(x) = x p,
όπου p είναι ο εκθέτης. Εξαρτάται από τη βάση του βαθμού x.
Το αντίστροφο της συνάρτησης ισχύος είναι επίσης η συνάρτηση ισχύος:
.
Για μια ακέραια μη αρνητική τιμή του εκθέτη p, είναι πολυώνυμο. Για μια ακέραια τιμή p - μια ορθολογική συνάρτηση. Με μια λογική έννοια - μια παράλογη λειτουργία.

Υπερβατικές λειτουργίες

Εκθετικη συναρτηση :
y(x) = a x,
όπου α είναι η βάση του βαθμού. Εξαρτάται από τον εκθέτη x.
Η αντίστροφη συνάρτηση είναι ο λογάριθμος που βασίζεται σε:
x = log a y.

Εκθέτης, e στη δύναμη x:
y(x) = e x,
Αυτή είναι μια εκθετική συνάρτηση της οποίας η παράγωγος είναι ίση με την ίδια τη συνάρτηση:
.
Η βάση του εκθέτη είναι ο αριθμός e:
≈ 2,718281828459045... .
Η αντίστροφη συνάρτηση είναι ο φυσικός λογάριθμος - ο λογάριθμος στη βάση του αριθμού e:
x = ln y ≡ log e y.

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις:
Sine: ;
Συνημίτονο: ;
Εφαπτομένη: ;
Συμεφαπτομένη: ;
Εδώ το i είναι η φανταστική μονάδα, i 2 = -1.

Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις:
Αρξίνη: x = arcsin y, ;
Συνημίτονο τόξου: x = arccos y, ;
Arctagent: x = arctan y, ;
Εφαπτομένη τόξου: x = arcctg y, .