Online λύση αντικατάστασης. Βίντεο μάθημα "Μέθοδος αλγεβρικής πρόσθεσης

Με αυτό το βίντεο, ξεκινάω μια σειρά μαθημάτων για συστήματα εξισώσεων. Σήμερα θα μιλήσουμε για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων μέθοδος προσθήκης- είναι ένα από τα πιο απλούς τρόπουςαλλά και ένα από τα πιο αποτελεσματικά.

Η μέθοδος προσθήκης αποτελείται από τρία απλά βήματα:

1. Κοιτάξτε το σύστημα και επιλέξτε μια μεταβλητή που έχει τους ίδιους (ή αντίθετους) συντελεστές σε κάθε εξίσωση.
2. Τρέξιμο αλγεβρική αφαίρεση(Για αντίθετους αριθμούς- πρόσθεση) των εξισώσεων μεταξύ τους, και στη συνέχεια να φέρει σαν όρους;
3. Λύστε τη νέα εξίσωση που προέκυψε μετά το δεύτερο βήμα.

Εάν όλα γίνονται σωστά, τότε στην έξοδο θα πάρουμε μια ενιαία εξίσωση με μία μεταβλητή- Δεν θα είναι δύσκολο να λυθεί. Τότε μένει μόνο να αντικαταστήσουμε τη ρίζα που βρέθηκε στο αρχικό σύστημα και να λάβουμε την τελική απάντηση.

Ωστόσο, στην πράξη δεν είναι τόσο απλό. Υπάρχουν διάφοροι λόγοι για αυτό:

• Η επίλυση εξισώσεων με πρόσθεση σημαίνει ότι όλες οι σειρές πρέπει να περιέχουν μεταβλητές με τους ίδιους/αντίθετους συντελεστές. Τι γίνεται αν αυτή η απαίτηση δεν πληρούται;
• Όχι πάντα, αφού προσθέσουμε / αφαιρέσουμε εξισώσεις με αυτόν τον τρόπο, θα έχουμε μια όμορφη κατασκευή που λύνεται εύκολα. Είναι δυνατόν να απλοποιηθούν με κάποιο τρόπο οι υπολογισμοί και να επιταχυνθούν οι υπολογισμοί;

Για να λάβετε απάντηση σε αυτές τις ερωτήσεις και ταυτόχρονα για να αντιμετωπίσετε μερικές επιπλέον λεπτές αποχρώσεις που πολλοί μαθητές «πέφτουν πάνω τους», παρακολουθήστε το εκπαιδευτικό μου βίντεο:

Με αυτό το μάθημα, ξεκινάμε μια σειρά διαλέξεων για συστήματα εξισώσεων. Και θα ξεκινήσουμε με τα πιο απλά από αυτά, δηλαδή αυτά που περιέχουν δύο εξισώσεις και δύο μεταβλητές. Κάθε ένα από αυτά θα είναι γραμμικό.

Τα συστήματα είναι ένα υλικό της 7ης τάξης, αλλά αυτό το μάθημα θα είναι επίσης χρήσιμο για μαθητές γυμνασίου που θέλουν να εμπλουτίσουν τις γνώσεις τους σχετικά με αυτό το θέμα.

Γενικά, υπάρχουν δύο μέθοδοι για την επίλυση τέτοιων συστημάτων:

1. Μέθοδος προσθήκης;
2. Μια μέθοδος έκφρασης μιας μεταβλητής με όρους μιας άλλης.

Σήμερα θα ασχοληθούμε με την πρώτη μέθοδο - θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της αφαίρεσης και της πρόσθεσης. Αλλά για αυτό πρέπει να κατανοήσετε το εξής γεγονός: αφού έχετε δύο ή περισσότερες εξισώσεις, μπορείτε να πάρετε οποιαδήποτε από αυτές και να τις προσθέσετε μαζί. Προστίθενται όρο προς όρο, δηλ. Τα "Χ" προστίθενται στα "Χ" και δίνονται παρόμοια.

Τα αποτελέσματα τέτοιων μηχανορραφιών θα είναι μια νέα εξίσωση, η οποία, αν έχει ρίζες, σίγουρα θα είναι μεταξύ των ριζών της αρχικής εξίσωσης. Έτσι, το καθήκον μας είναι να κάνουμε την αφαίρεση ή την πρόσθεση με τέτοιο τρόπο ώστε είτε το $x$ είτε το $y$ να εξαφανιστεί.

Πώς να το πετύχετε και ποιο εργαλείο να χρησιμοποιήσετε για αυτό - θα μιλήσουμε για αυτό τώρα.

Επίλυση εύκολων προβλημάτων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης

Έτσι, μαθαίνουμε να εφαρμόζουμε τη μέθοδο πρόσθεσης χρησιμοποιώντας το παράδειγμα δύο απλών εκφράσεων.

Εργασία #1

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Σημειώστε ότι το $y$ έχει συντελεστή $-4$ στην πρώτη εξίσωση και $+4$ στη δεύτερη. Είναι αμοιβαία αντίθετα, οπότε είναι λογικό να υποθέσουμε ότι αν τα αθροίσουμε, τότε στο ποσό που προκύπτει, τα «παιχνίδια» θα εκμηδενιστούν αμοιβαία. Προσθέτουμε και παίρνουμε:

Επιλύουμε την πιο απλή κατασκευή:

Τέλεια, βρήκαμε το X. Τι να τον κάνεις τώρα; Μπορούμε να το αντικαταστήσουμε σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις. Ας το βάλουμε στο πρώτο:

\[-4y=12\αριστερά| :\αριστερά(-4 \δεξιά) \δεξιά.\]

Απάντηση: $\αριστερά(2;-3\δεξιά)$.

Εργασία #2

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Εδώ, η κατάσταση είναι εντελώς παρόμοια, μόνο με τα Xs. Ας τα συνδυάσουμε:

Έχουμε το πιο απλό γραμμική εξίσωση, ας το λύσουμε:

Τώρα ας βρούμε $x$:

Απάντηση: $\αριστερά(-3;3\δεξιά)$.

Σημαντικά Σημεία

Έτσι, μόλις λύσαμε δύο απλά συστήματα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης. Για άλλη μια φορά τα βασικά σημεία:

1. Εάν υπάρχουν αντίθετοι συντελεστές για μία από τις μεταβλητές, τότε είναι απαραίτητο να προσθέσετε όλες τις μεταβλητές στην εξίσωση. Σε αυτή την περίπτωση, ένα από αυτά θα καταστραφεί.
2. Αντικαθιστούμε τη μεταβλητή που βρέθηκε σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις του συστήματος για να βρούμε τη δεύτερη.
3. Η τελική καταγραφή της απάντησης μπορεί να παρουσιαστεί με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα, όπως αυτό - $x=...,y=...$, ή με τη μορφή συντεταγμένων σημείων - $\left(...;... \right)$. Η δεύτερη επιλογή είναι προτιμότερη. Το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι η πρώτη συντεταγμένη είναι $x$ και η δεύτερη είναι $y$.
4. Ο κανόνας για τη σύνταξη της απάντησης με τη μορφή συντεταγμένων σημείων δεν ισχύει πάντα. Για παράδειγμα, δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν ο ρόλος των μεταβλητών δεν είναι $x$ και $y$, αλλά, για παράδειγμα, $a$ και $b$.

Στα παρακάτω προβλήματα, θα εξετάσουμε την τεχνική της αφαίρεσης όταν οι συντελεστές δεν είναι αντίθετοι.

Επίλυση εύκολων προβλημάτων με τη μέθοδο της αφαίρεσης

Εργασία #1

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Σημειώστε ότι εδώ δεν υπάρχουν αντίθετοι συντελεστές, αλλά υπάρχουν πανομοιότυποι. Επομένως, αφαιρούμε τη δεύτερη εξίσωση από την πρώτη εξίσωση:

Τώρα αντικαθιστούμε την τιμή $x$ σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις του συστήματος. Πάμε πρώτα:

Απάντηση: $\αριστερά(2;5\δεξιά)$.

Εργασία #2

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Βλέπουμε πάλι τον ίδιο συντελεστή $5$ για $x$ στην πρώτη και δεύτερη εξίσωση. Επομένως, είναι λογικό να υποθέσουμε ότι πρέπει να αφαιρέσετε τη δεύτερη από την πρώτη εξίσωση:

Έχουμε υπολογίσει μία μεταβλητή. Τώρα ας βρούμε το δεύτερο, για παράδειγμα, αντικαθιστώντας την τιμή $y$ στη δεύτερη κατασκευή:

Απάντηση: $\αριστερά(-3;-2 \δεξιά)$.

Αποχρώσεις της λύσης

Τι βλέπουμε λοιπόν; Στην ουσία, το σχήμα δεν διαφέρει από τη λύση των προηγούμενων συστημάτων. Η μόνη διαφορά είναι ότι δεν προσθέτουμε εξισώσεις, αλλά τις αφαιρούμε. Κάνουμε αλγεβρική αφαίρεση.

Με άλλα λόγια, μόλις δείτε ένα σύστημα που αποτελείται από δύο εξισώσεις με δύο αγνώστους, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κοιτάξετε είναι οι συντελεστές. Αν είναι ίδιες οπουδήποτε, οι εξισώσεις αφαιρούνται και αν είναι αντίθετες, εφαρμόζεται η μέθοδος πρόσθεσης. Αυτό γίνεται πάντα για να εξαφανιστεί ένα από αυτά και στην τελική εξίσωση που παραμένει μετά την αφαίρεση, θα παρέμενε μόνο μία μεταβλητή.

Φυσικά, δεν είναι μόνο αυτό. Τώρα θα εξετάσουμε συστήματα στα οποία οι εξισώσεις είναι γενικά ασυνεπείς. Εκείνοι. δεν υπάρχουν τέτοιες μεταβλητές σε αυτές που θα ήταν είτε ίδιες είτε αντίθετες. Στην περίπτωση αυτή, για την επίλυση τέτοιων συστημάτων, επιπλέον υποδοχή, δηλαδή τον πολλαπλασιασμό καθεμιάς από τις εξισώσεις με έναν ειδικό συντελεστή. Πώς να το βρείτε και πώς να λύσετε τέτοια συστήματα γενικά, τώρα θα μιλήσουμε για αυτό.

Επίλυση προβλημάτων πολλαπλασιάζοντας με έναν συντελεστή

Παράδειγμα #1

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Βλέπουμε ότι ούτε για $x$ ούτε για $y$ οι συντελεστές όχι μόνο είναι αμοιβαία αντίθετοι, αλλά γενικά δεν συσχετίζονται με κανένα τρόπο με άλλη εξίσωση. Αυτοί οι συντελεστές δεν θα εξαφανιστούν με κανέναν τρόπο, ακόμα κι αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τις εξισώσεις μεταξύ τους. Επομένως, είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί ο πολλαπλασιασμός. Ας προσπαθήσουμε να απαλλαγούμε από τη μεταβλητή $y$. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με τον συντελεστή $y$ από τη δεύτερη εξίσωση και τη δεύτερη εξίσωση με τον συντελεστή $y$ από την πρώτη εξίσωση, χωρίς να αλλάξουμε το πρόσημο. Πολλαπλασιάζουμε και παίρνουμε ένα νέο σύστημα:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Ας το δούμε: για $y$, αντίθετοι συντελεστές. Σε μια τέτοια περίπτωση, είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί η μέθοδος προσθήκης. Ας προσθέσουμε:

Τώρα πρέπει να βρούμε το $y$. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε το $x$ στην πρώτη έκφραση:

\[-9y=18\αριστερά| :\αριστερά(-9 \δεξιά) \δεξιά.\]

Απάντηση: $\αριστερά(4;-2\δεξιά)$.

Παράδειγμα #2

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Και πάλι, οι συντελεστές για καμία από τις μεταβλητές δεν είναι συνεπείς. Ας πολλαπλασιάσουμε με τους συντελεστές στο $y$:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 11x+4y=-18\αριστερά| 6 \δεξιά. \\& 13x-6y=-32\αριστερά| 4 \δεξιά. \\\τέλος (στοίχιση) \δεξιά .\]

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Μας νέο σύστημαείναι ισοδύναμο με το προηγούμενο, αλλά οι συντελεστές στο $y$ είναι αμοιβαία αντίθετοι, και επομένως είναι εύκολο να εφαρμοστεί η μέθοδος πρόσθεσης εδώ:

Τώρα βρείτε το $y$ αντικαθιστώντας το $x$ στην πρώτη εξίσωση:

Απάντηση: $\αριστερά(-2;1\δεξιά)$.

Αποχρώσεις της λύσης

Ο βασικός κανόνας εδώ είναι: πολλαπλασιάζετε πάντα μόνο με θετικούς αριθμούς- αυτό θα σας σώσει από ανόητα και προσβλητικά λάθη που σχετίζονται με την αλλαγή των ζωδίων. Γενικά, το σχέδιο λύσης είναι αρκετά απλό:

1. Εξετάζουμε το σύστημα και αναλύουμε κάθε εξίσωση.
2. Αν δούμε ότι ούτε για το $y$ ούτε για το $x$ οι συντελεστές είναι συνεπείς, π.χ. δεν είναι ούτε ίσες ούτε αντίθετες, τότε κάνουμε τα εξής: επιλέξτε τη μεταβλητή που θέλετε να απαλλαγείτε και μετά κοιτάξτε τους συντελεστές σε αυτές τις εξισώσεις. Αν πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση με τον συντελεστή της δεύτερης και τη δεύτερη αντίστοιχη με τον συντελεστή της πρώτης, τότε στο τέλος θα πάρουμε ένα σύστημα που είναι εντελώς ισοδύναμο με το προηγούμενο και οι συντελεστές είναι $y $ θα είναι συνεπής. Όλες οι ενέργειες ή οι μετασχηματισμοί μας στοχεύουν μόνο στο να πάρουμε μία μεταβλητή σε μία εξίσωση.
3. Βρίσκουμε μία μεταβλητή.
4. Αντικαθιστούμε τη μεταβλητή που βρέθηκε σε μία από τις δύο εξισώσεις του συστήματος και βρίσκουμε τη δεύτερη.
5. Γράφουμε την απάντηση με τη μορφή συντεταγμένων σημείων, αν έχουμε μεταβλητές $x$ και $y$.

Αλλά ακόμη και ένας τόσο απλός αλγόριθμος έχει τις δικές του λεπτές αποχρώσεις, για παράδειγμα, οι συντελεστές $x$ ή $y$ μπορεί να είναι κλάσματα και άλλοι "άσχημοι" αριθμοί. Τώρα θα εξετάσουμε αυτές τις περιπτώσεις ξεχωριστά, γιατί σε αυτές μπορείτε να ενεργήσετε με ελαφρώς διαφορετικό τρόπο από ό,τι σύμφωνα με τον τυπικό αλγόριθμο.

Επίλυση προβλημάτων με κλασματικούς αριθμούς

Παράδειγμα #1

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Αρχικά, σημειώστε ότι η δεύτερη εξίσωση περιέχει κλάσματα. Αλλά σημειώστε ότι μπορείτε να διαιρέσετε $4$ με $0,8$. Παίρνουμε 5$. Ας πολλαπλασιάσουμε τη δεύτερη εξίσωση επί $5$:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Αφαιρούμε τις εξισώσεις η μία από την άλλη:

$n$ βρήκαμε, τώρα υπολογίζουμε $m$:

Απάντηση: $n=-4;m=5$

Παράδειγμα #2

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 2,5p+1,5k=-13\αριστερά| 4 \δεξιά. \\& 2p-5k=2\αριστερά| 5 \δεξιά. \\\end(στοίχιση )\ σωστά.\]

Εδώ, όπως και στο προηγούμενο σύστημα, υπάρχουν κλασματικές πιθανότητες, ωστόσο, για καμία από τις μεταβλητές οι συντελεστές δεν χωρούν μεταξύ τους κατά ακέραιο αριθμό φορών. Επομένως, χρησιμοποιούμε τον τυπικό αλγόριθμο. Ξεφορτωθείτε το $p$:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της αφαίρεσης:

Ας βρούμε το $p$ αντικαθιστώντας το $k$ στη δεύτερη κατασκευή:

Απάντηση: $p=-4;k=-2$.

Αποχρώσεις της λύσης

Αυτό είναι όλο βελτιστοποίηση. Στην πρώτη εξίσωση, δεν πολλαπλασιάσαμε καθόλου με τίποτα, και η δεύτερη εξίσωση πολλαπλασιάστηκε με $5$. Ως αποτέλεσμα, έχουμε λάβει μια συνεπή και ομοιόμορφη εξίσωση για την πρώτη μεταβλητή. Στο δεύτερο σύστημα, ενεργήσαμε σύμφωνα με τον τυπικό αλγόριθμο.

Αλλά πώς να βρείτε τους αριθμούς με τους οποίους πρέπει να πολλαπλασιάσετε τις εξισώσεις; Άλλωστε, αν πολλαπλασιάσετε με κλασματικοί αριθμοί, παίρνουμε νέα κλάσματα. Επομένως, τα κλάσματα πρέπει να πολλαπλασιαστούν με έναν αριθμό που θα έδινε έναν νέο ακέραιο και μετά, οι μεταβλητές θα πρέπει να πολλαπλασιαστούν με συντελεστές, ακολουθώντας τον τυπικό αλγόριθμο.

Εν κατακλείδι, θα ήθελα να επιστήσω την προσοχή σας στη μορφή του αρχείου απάντησης. Όπως είπα ήδη, δεδομένου ότι εδώ δεν έχουμε $x$ και $y$ εδώ, αλλά άλλες τιμές, χρησιμοποιούμε μια μη τυπική σημείωση της φόρμας:

Επίλυση πολύπλοκων συστημάτων εξισώσεων

Ως τελευταία συγχορδία στο σημερινό βίντεο εκμάθησης, ας δούμε μερικά πραγματικά πολύπλοκα συστήματα. Η πολυπλοκότητά τους θα συνίσταται στο γεγονός ότι θα περιέχουν μεταβλητές τόσο στα αριστερά όσο και στα δεξιά. Επομένως, για να τα λύσουμε, θα πρέπει να εφαρμόσουμε προεπεξεργασία.

Σύστημα #1

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 3\αριστερά(2x-y \δεξιά)+5=-2\αριστερά(x+3y \δεξιά)+4 \\& 6\αριστερά(y+1 \δεξιά )-1=5\αριστερά(2x-1 \δεξιά)+8 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Κάθε εξίσωση έχει μια ορισμένη πολυπλοκότητα. Επομένως, με κάθε έκφραση, ας κάνουμε όπως με μια κανονική γραμμική κατασκευή.

Συνολικά, παίρνουμε το τελικό σύστημα, το οποίο είναι ισοδύναμο με το αρχικό:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Ας δούμε τους συντελεστές του $y$: το $3$ ταιριάζει σε $6$ δύο φορές, οπότε πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση επί $2$:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Οι συντελεστές του $y$ είναι τώρα ίσοι, οπότε αφαιρούμε το δεύτερο από την πρώτη εξίσωση: $$

Τώρα ας βρούμε το $y$:

Απάντηση: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Σύστημα #2

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 4\αριστερά(a-3b \δεξιά)-2a=3\αριστερά(b+4 \δεξιά)-11 \\& -3\αριστερά(b-2a \δεξιά )-12=2\αριστερά(a-5 \δεξιά)+b \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Ας μετατρέψουμε την πρώτη έκφραση:

Ας ασχοληθούμε με το δεύτερο:

\[-3\αριστερά(b-2a \δεξιά)-12=2\αριστερά(a-5 \δεξιά)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Συνολικά, το αρχικό μας σύστημα θα έχει την ακόλουθη μορφή:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Εξετάζοντας τους συντελεστές του $a$, βλέπουμε ότι η πρώτη εξίσωση πρέπει να πολλαπλασιαστεί με $2$:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Αφαιρούμε τη δεύτερη από την πρώτη κατασκευή:

Τώρα βρείτε το $a$:

Απάντηση: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Αυτό είναι όλο. Ελπίζω ότι αυτό το εκπαιδευτικό βίντεο θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε αυτό το δύσκολο θέμα, δηλαδή την επίλυση συστημάτων απλών γραμμικών εξισώσεων. Θα υπάρξουν πολλά περισσότερα μαθήματα σχετικά με αυτό το θέμα περαιτέρω: θα αναλύσουμε περισσότερα σύνθετα παραδείγματα, όπου θα υπάρχουν περισσότερες μεταβλητές και οι ίδιες οι εξισώσεις θα είναι ήδη μη γραμμικές. Τα λέμε σύντομα!

Πολύ συχνά, οι μαθητές δυσκολεύονται να επιλέξουν μια μέθοδο για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων.

Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε έναν από τους τρόπους επίλυσης συστημάτων - τη μέθοδο αντικατάστασης.

Εάν βρεθεί μια κοινή λύση δύο εξισώσεων, τότε αυτές οι εξισώσεις λέγεται ότι σχηματίζουν ένα σύστημα. Σε ένα σύστημα εξισώσεων, κάθε άγνωστος αντιπροσωπεύει τον ίδιο αριθμό σε όλες τις εξισώσεις. Για να δείξουμε ότι αυτές οι εξισώσεις σχηματίζουν ένα σύστημα, συνήθως γράφονται η μία κάτω από την άλλη και συνδυάζονται με μια σγουρή αγκύλη, για παράδειγμα

Σημειώνουμε ότι για x = 15, και y = 5, και οι δύο εξισώσεις του συστήματος είναι σωστές. Αυτό το ζεύγος αριθμών είναι η λύση στο σύστημα των εξισώσεων. Κάθε ζεύγος άγνωστων τιμών που ικανοποιεί ταυτόχρονα και τις δύο εξισώσεις του συστήματος ονομάζεται λύση του συστήματος.

Ένα σύστημα μπορεί να έχει μία λύση (όπως στο παράδειγμά μας), άπειρες λύσεις και καμία λύση.

Πώς να λύσετε συστήματα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης; Αν οι συντελεστές για κάποιο άγνωστο και στις δύο εξισώσεις είναι ίσοι σε απόλυτη τιμή(αν δεν είναι ίσα, τότε εξισώνουμε), τότε προσθέτοντας και τις δύο εξισώσεις (ή αφαιρώντας τη μία από την άλλη), μπορείτε να πάρετε μια εξίσωση με έναν άγνωστο. Τότε λύνουμε αυτή την εξίσωση. Ορίζουμε ένα άγνωστο. Αντικαθιστούμε την λαμβανόμενη τιμή του αγνώστου σε μία από τις εξισώσεις του συστήματος (στην πρώτη ή στη δεύτερη). Βρίσκουμε ένα άλλο άγνωστο. Ας δούμε παραδείγματα εφαρμογής αυτής της μεθόδου.

Παράδειγμα 1Επίλυση Συστήματος Εξισώσεων

Εδώ οι συντελεστές για y κατά απόλυτη τιμήείναι ίσα αλλά αντίθετα σε πρόσημο. Ας προσπαθήσουμε όρο προς όρο να προσθέσουμε τις εξισώσεις του συστήματος.

Την τιμή που προκύπτει x \u003d 4, αντικαθιστούμε σε κάποια εξίσωση του συστήματος (για παράδειγμα, στην πρώτη) και βρίσκουμε την τιμή του y:

2 * 4 + y \u003d 11, y \u003d 11 - 8, y \u003d 3.

Το σύστημά μας έχει λύση x = 4, y = 3. Ή η απάντηση μπορεί να γραφτεί σε παρένθεση, ως συντεταγμένες ενός σημείου, στην πρώτη θέση x, στη δεύτερη y.

Απάντηση: (4; 3)

Παράδειγμα 2. Λύστε ένα σύστημα εξισώσεων

Εξισώνουμε τους συντελεστές για τη μεταβλητή x, για αυτό πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με 3 και τη δεύτερη με (-2), παίρνουμε

Να είστε προσεκτικοί κατά την προσθήκη εξισώσεων

Τότε y \u003d - 2. Αντικαθιστούμε τον αριθμό (-2) αντί για y στην πρώτη εξίσωση, παίρνουμε

4x + 3 (-2) \u003d - 4. Λύνουμε αυτήν την εξίσωση 4x \u003d - 4 + 6, 4x \u003d 2, x \u003d ½.

Απάντηση: (1/2; - 2)

Παράδειγμα 3Επίλυση Συστήματος Εξισώσεων

Πολλαπλασιάστε την πρώτη εξίσωση με (-2)

Επίλυση του συστήματος

παίρνουμε 0 = - 13.

Δεν υπάρχει σύστημα λύσης, αφού το 0 δεν ισούται με (-13).

Απάντηση: Δεν υπάρχουν λύσεις.

Παράδειγμα 4Επίλυση Συστήματος Εξισώσεων

Σημειώστε ότι όλοι οι συντελεστές της δεύτερης εξίσωσης διαιρούνται με το 3,

ας διαιρέσουμε τη δεύτερη εξίσωση με το τρία και παίρνουμε ένα σύστημα που αποτελείται από δύο ίδιες εξισώσεις.

Αυτό το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, αφού η πρώτη και η δεύτερη εξίσωση είναι ίδιες (πήραμε μόνο μια εξίσωση με δύο μεταβλητές). Πώς παρουσιάζεται η λύση αυτού του συστήματος; Ας εκφράσουμε τη μεταβλητή y από την εξίσωση x + y = 5. Παίρνουμε y = 5 - x.

Τότε απάντησηθα γραφτεί ως εξής: (x; 5-x), x είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Εξετάσαμε τη λύση συστημάτων εξισώσεων με τη μέθοδο της πρόσθεσης. Εάν έχετε ερωτήσεις ή κάτι δεν είναι ξεκάθαρο, εγγραφείτε για ένα μάθημα και θα διορθώσουμε όλα τα προβλήματα μαζί σας.

blog.site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων σε δύο άγνωστα είναι δύο ή περισσότερες γραμμικές εξισώσεις για τις οποίες πρέπει να τις βρείτε όλες γενικές λύσεις. Θα εξετάσουμε συστήματα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους. Γενική μορφήΈνα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Εδώ οι x και y είναι άγνωστες μεταβλητές, οι a1, a2, b1, b2, c1, c2 είναι μερικές πραγματικούς αριθμούς. Μια λύση σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους είναι ένα ζεύγος αριθμών (x, y) έτσι ώστε αν αυτοί οι αριθμοί αντικατασταθούν στις εξισώσεις του συστήματος, τότε καθεμία από τις εξισώσεις του συστήματος μετατρέπεται σε αληθινή ισότητα. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι επίλυσης ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Εξετάστε έναν από τους τρόπους επίλυσης ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων, δηλαδή τη μέθοδο πρόσθεσης.

Αλγόριθμος επίλυσης με μέθοδο πρόσθεσης

Αλγόριθμος επίλυσης συστήματος γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστες μεθόδους πρόσθεσης.

1. Εάν απαιτείται, από ισοδύναμους μετασχηματισμούςεξισώσει τους συντελεστές για μία από τις άγνωστες μεταβλητές και στις δύο εξισώσεις.

2. Προσθέτοντας ή αφαιρώντας τις εξισώσεις που προκύπτουν για να πάρετε μια γραμμική εξίσωση με έναν άγνωστο

3. Λύστε την εξίσωση που προκύπτει με έναν άγνωστο και βρείτε μια από τις μεταβλητές.

4. Αντικαταστήστε την παράσταση που προκύπτει σε οποιαδήποτε από τις δύο εξισώσεις του συστήματος και λύστε αυτήν την εξίσωση, λαμβάνοντας έτσι τη δεύτερη μεταβλητή.

5. Ελέγξτε το διάλυμα.

Ένα παράδειγμα λύσης με τη μέθοδο προσθήκης

Για μεγαλύτερη σαφήνεια, λύνουμε με τη μέθοδο της πρόσθεσης επόμενο σύστημαγραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Εφόσον καμία από τις μεταβλητές δεν έχει τους ίδιους συντελεστές, εξισώνουμε τους συντελεστές της μεταβλητής y. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε την πρώτη εξίσωση επί τρία και τη δεύτερη εξίσωση επί δύο.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Παίρνω το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Τώρα αφαιρέστε την πρώτη από τη δεύτερη εξίσωση. Παρουσιάζουμε όμοιους όρους και λύνουμε τη γραμμική εξίσωση που προκύπτει.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Αντικαθιστούμε την προκύπτουσα τιμή στην πρώτη εξίσωση από το αρχικό μας σύστημα και λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;

Το αποτέλεσμα είναι ένα ζεύγος αριθμών x=6 και y=14. Ελέγχουμε. Κάνουμε αντικατάσταση.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Όπως μπορείτε να δείτε, έχουμε δύο αληθινές ισότητες, επομένως, βρήκαμε τη σωστή λύση.

Θα αναλύσουμε δύο τύπους συστημάτων επίλυσης εξισώσεων:

1. Λύση του συστήματος με τη μέθοδο υποκατάστασης.
2. Λύση του συστήματος με όρο προς όρο πρόσθεση (αφαίρεση) των εξισώσεων του συστήματος.

Για να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων μέθοδος αντικατάστασηςπρέπει να ακολουθήσετε έναν απλό αλγόριθμο:
1. Εκφράζουμε. Από οποιαδήποτε εξίσωση, εκφράζουμε μία μεταβλητή.
2. Υποκατάστατο. Αντικαθιστούμε σε άλλη εξίσωση αντί της εκφρασμένης μεταβλητής, την τιμή που προκύπτει.
3. Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει με μία μεταβλητή. Βρίσκουμε μια λύση στο σύστημα.

Για να λύσω σύστημα με πρόσθεση (αφαίρεση) όρου προς όροπρέπει να:
1. Επιλέξτε μια μεταβλητή για την οποία θα κάνουμε τους ίδιους συντελεστές.
2. Προσθέτουμε ή αφαιρούμε τις εξισώσεις, με αποτέλεσμα να έχουμε εξίσωση με μία μεταβλητή.
3. Λύνουμε τη γραμμική εξίσωση που προκύπτει. Βρίσκουμε μια λύση στο σύστημα.

Η λύση του συστήματος είναι τα σημεία τομής των γραφημάτων της συνάρτησης.

Ας εξετάσουμε λεπτομερώς τη λύση των συστημάτων χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Παράδειγμα #1:

Ας λύσουμε με τη μέθοδο αντικατάστασης

Επίλυση του συστήματος εξισώσεων με τη μέθοδο της αντικατάστασης

2x+5y=1 (1 εξίσωση)
x-10y=3 (2η εξίσωση)

1. Εξπρές
Μπορεί να φανεί ότι στη δεύτερη εξίσωση υπάρχει μια μεταβλητή x με συντελεστή 1, επομένως αποδεικνύεται ότι είναι ευκολότερο να εκφραστεί η μεταβλητή x από τη δεύτερη εξίσωση.
x=3+10y

2. Αφού εκφράσουμε, αντικαθιστούμε 3 + 10y στην πρώτη εξίσωση αντί της μεταβλητής x.
2(3+10y)+5y=1

3. Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει με μία μεταβλητή.
2(3+10y)+5y=1 (ανοιχτές αγκύλες)
6+20ε+5ε=1
25ε=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Η λύση του συστήματος εξισώσεων είναι τα σημεία τομής των γραφημάτων, επομένως πρέπει να βρούμε τα x και y, γιατί το σημείο τομής αποτελείται από x και y. Ας βρούμε το x, στην πρώτη παράγραφο όπου εκφράσαμε αντικαθιστούμε εκεί το y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Συνηθίζεται να γράφουμε σημεία στην πρώτη θέση, γράφουμε τη μεταβλητή x και στη δεύτερη τη μεταβλητή y.
Απάντηση: (1; -0,2)

Παράδειγμα #2:

Ας λύσουμε με πρόσθεση κατά όρο (αφαίρεση).

Επίλυση συστήματος εξισώσεων με τη μέθοδο της πρόσθεσης

3x-2y=1 (1 εξίσωση)
2x-3y=-10 (2η εξίσωση)

1. Επιλέξτε μια μεταβλητή, ας πούμε ότι επιλέξαμε x. Στην πρώτη εξίσωση, η μεταβλητή x έχει συντελεστή 3, στη δεύτερη - 2. Πρέπει να κάνουμε τους συντελεστές ίδιους, για αυτό έχουμε το δικαίωμα να πολλαπλασιάσουμε τις εξισώσεις ή να διαιρέσουμε με οποιονδήποτε αριθμό. Πολλαπλασιάστε την πρώτη εξίσωση με 2 και τη δεύτερη με 3 για να πάρετε συνολική αναλογία 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Από την πρώτη εξίσωση αφαιρέστε τη δεύτερη για να απαλλαγείτε από τη μεταβλητή x. Λύστε τη γραμμική εξίσωση.
__6x-4y=2

5y=32 | :πέντε
y=6,4

3. Βρείτε το x. Αντικαθιστούμε το y που βρέθηκε σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις, ας πούμε στην πρώτη εξίσωση.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Το σημείο τομής θα είναι x=4,6. y=6,4
Απάντηση: (4.6; 6.4)

Θέλετε να προετοιμαστείτε για εξετάσεις δωρεάν; Δάσκαλος σε απευθείας σύνδεση δωρεάν. Δεν αστειεύομαι.

Με τη μέθοδο της πρόσθεσης, οι εξισώσεις του συστήματος προστίθενται κάθε φορά, ενώ 1 ή και οι δύο (πολλές) εξισώσεις μπορούν να πολλαπλασιαστούν με οποιονδήποτε αριθμό. Ως αποτέλεσμα, καταλήγουν σε ένα ισοδύναμο SLE , όπου μία από τις εξισώσεις έχει μόνο μία μεταβλητή.

Για να λύσουμε το σύστημα όρος προς όρο πρόσθεση (αφαίρεση)ακολουθήστε τα επόμενα βήματα:

1. Επιλέγουμε μια μεταβλητή για την οποία θα γίνουν οι ίδιοι συντελεστές.

2. Τώρα πρέπει να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε τις εξισώσεις και να πάρετε μια εξίσωση με μία μεταβλητή.

Λύση συστήματοςείναι τα σημεία τομής των γραφημάτων της συνάρτησης.

Ας δούμε παραδείγματα.

Παράδειγμα 1

Δεδομένο σύστημα:

Αφού αναλύσετε αυτό το σύστημα, μπορείτε να δείτε ότι οι συντελεστές της μεταβλητής είναι ίσοι σε απόλυτη τιμή και διαφορετικοί στο πρόσημο (-1 και 1). Σε αυτήν την περίπτωση, οι εξισώσεις μπορούν εύκολα να προστεθούν ανά όρο:

Οι ενέργειες που κυκλώνονται με κόκκινο εκτελούνται στο μυαλό.

Το αποτέλεσμα της προσθήκης κατά τον όρο ήταν η εξαφάνιση της μεταβλητής y. Είναι σε αυτό και Αυτό, στην πραγματικότητα, είναι το νόημα της μεθόδου - να απαλλαγούμε από την πρώτη από τις μεταβλητές.

-4 - y + 5 = 0 → y = 1,

Ως σύστημα, η λύση μοιάζει με αυτό:

Απάντηση: Χ = -4 , y = 1.

Παράδειγμα 2

Δεδομένο σύστημα:

Σε αυτό το παράδειγμα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο "σχολείο", αλλά έχει ένα αρκετά μεγάλο μείον - όταν εκφράζετε οποιαδήποτε μεταβλητή από οποιαδήποτε εξίσωση, θα λάβετε μια λύση σε συνηθισμένα κλάσματα. Και η επίλυση κλασμάτων απαιτεί αρκετό χρόνο και η πιθανότητα να γίνουν λάθη αυξάνεται.

Ως εκ τούτου, είναι καλύτερο να χρησιμοποιείτε πρόσθεση (αφαίρεση) εξισώσεων κατά όρο. Ας αναλύσουμε τους συντελεστές των αντίστοιχων μεταβλητών:

Βρείτε έναν αριθμό που μπορεί να διαιρεθεί με 3 και επάνω 4 , ενώ είναι απαραίτητο ο αριθμός αυτός να είναι όσο το δυνατόν μικρότερος. το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο. Εάν σας είναι δύσκολο να βρείτε τον σωστό αριθμό, τότε μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τους συντελεστές:.

Το επόμενο βήμα:

Πολλαπλασιάστε την 1η εξίσωση με,

Πολλαπλασιάστε την 3η εξίσωση με,