n Παράδειγμα 2.3.Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης

Χ- tg (x)= 0. (2.18)

Το πρώτο στάδιο της λύσης (στάδιο διαχωρισμός ριζών) εφαρμόστηκε στην ενότητα 2.1 (παράδειγμα 2.2). Η απαιτούμενη ρίζα της εξίσωσης βρίσκεται στο τμήμα ΧÎ, όπως φαίνεται στο γράφημα (Εικ. 2.9).

Εικ.2.9. Στάδιο διαχωρισμού ριζών

Στάδιο τελειοποίησης ρίζαςΤο υλοποιούμε χρησιμοποιώντας το Excel. Ας το δείξουμε αυτό με ένα παράδειγμα μέθοδος μισή διαίρεση . Σχέδια υπολογισμού για εφαπτομενικές μεθόδουςΚαι συγχορδίεςδεν διαφέρει πολύ από το παρακάτω διάγραμμα.

Αλληλουχία:

1. Ετοιμάστε έναν πίνακα όπως φαίνεται στην Εικ. 2.10 και εισαγάγετε τις τιμές ένα, σι, ε αντίστοιχα στα κελιά Β3, Β4, Β5.

2. Συμπληρώστε την πρώτη σειρά του πίνακα:

D4=0 αριθμός επανάληψης;

E4=B3, F4=B4, για υπολογισμό φά): G4=E4-TAN(E4),

Ομοίως, στα κελιά H4, I4, J4 εισάγουμε τύπους για υπολογισμό, αντίστοιχα φά(σι), x n=(α+β)/2 και φά(x n);

Στο κελί K4 υπολογίζουμε το μήκος του τμήματος [ ένα, σι]: K4=ABS(E4-F4).

3. D5=D4+1, για να σχηματιστεί ο αριθμός επανάληψης.

4. Στα κελιά E5, F5 εισάγουμε τύπους για το σχηματισμό των άκρων των ένθετων τμημάτων σύμφωνα με τον αλγόριθμο που περιγράφεται στην ενότητα 2.2.1:

E5=IF(J4*H4<0;I4;E4);

F5=IF(J4*H4>0;I4;F4).

5. Επιλέξτε κελιά G4:K4 και αντιγράψτε τα σε μία γραμμή.

6. Επιλέξτε τα κελιά D5:K5 και αντιγράψτε τα μέχρι το τέλος του πίνακα.

Εικ.2.10. Σχέδιο επίλυσης μη γραμμικής εξίσωσης με τη μέθοδο της διχοτόμησης

Συνεχίζουμε να διαιρούμε τα τμήματα μέχρι το μήκος του τελευταίου να γίνει μικρότερο από το δεδομένο ε, δηλ. μέχρι να εκπληρωθεί η προϋπόθεση.

Για να γίνει σαφές το τέλος της επαναληπτικής διαδικασίας, θα χρησιμοποιήσουμε Μορφοποίηση υπό όρους

Μορφοποίηση υπό όρους -Αυτή είναι η μορφοποίηση επιλεγμένων κελιών με βάση κάποιο κριτήριο, το οποίο θα έχει ως αποτέλεσμα τον χρωματισμό των κελιών των οποίων το περιεχόμενο ικανοποιεί μια δεδομένη συνθήκη (στην περίπτωσή μας).

Για να το κάνετε αυτό, εκτελέστε τα ακόλουθα βήματα:

Ας επιλέξουμε τα κελιά της τελευταίας στήλης (K) του σχήματος υπολογισμού (Εικ. 2.10), όπου θα οριστεί το κριτήριο για τον τερματισμό της επαναληπτικής διαδικασίας.

Ας εκτελέσουμε την εντολή

Αρχική \ Στυλ \ Μορφοποίηση υπό όρους.

Εικ.2.11. Παράθυρο στο μορφοποίηση λέξης

Στο παράθυρο που εμφανίζεται (Εικ. 2.11), επιλέξτε τη γραμμή:

Κανόνες για την επιλογή κελιών\Λιγότερο;

Στην αριστερή πλευρά του πλαισίου διαλόγου που εμφανίζεται Πιο λιγο (Εικ. 2.12) ορίζουμε την τιμή που θα χρησιμοποιηθεί ως κριτήριο (στο παράδειγμά μας αυτή είναι η διεύθυνση του κελιού B5, όπου βρίσκεται η τιμή ε ).

Εικ.2.12. Παράθυρο διαλόγου Πιο λιγο

Στη δεξιά πλευρά του παραθύρου Πιο λιγο επιλέξτε το χρώμα που θα χρησιμοποιηθεί για το χρωματισμό των κελιών που πληρούν την καθορισμένη συνθήκη. και πατήστε το κουμπί ΕΝΤΑΞΕΙ.

Ως αποτέλεσμα αυτής της μορφοποίησης, τα κελιά στη στήλη K , των οποίων οι αξίες λιγότερο από 0,1,φιμέ, Εικ. 2.10.

Έτσι, για μια κατά προσέγγιση τιμή της ρίζας της εξίσωσης Χ- tg (x)= 0 με ακρίβεια e=0,1, γίνεται δεκτή η 3η επανάληψη, δηλ. x * "4,46875. Για e=0,01 - x * » 4,49609(6η επανάληψη).

Λύση Δεν γραμμικές εξισώσειςχρησιμοποιώντας το πρόσθετο "Επιλογή παραμέτρων".

Η επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων μπορεί να εφαρμοστεί στην εφαρμογή MS Προέχωχρησιμοποιώντας πρόσθετα Επιλογή παραμέτρων, όπου εφαρμόζεται κάποια επαναληπτική διαδικασία.

Ας βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης (2.18) που συζητήθηκε παραπάνω.

Ως μηδενική προσέγγιση της λύσης στην εξίσωση, όπως φαίνεται από το Σχ. 2.13, μπορούμε να πάρουμε Χ 0 =4 ή Χ 0 =4,5.

Αλληλουχία

1. Ετοιμάστε έναν πίνακα όπως φαίνεται στην Εικ. 2.13. Στο κελί Α2 ας βάλουμε κάποια τιμή x 0 (Για παράδειγμα Χ 0 =4) από τη συνάρτηση ODZ y=f(x). Αυτή θα είναι η αρχική προσέγγιση για την επαναληπτική διαδικασία που εφαρμόζεται από την εφαρμογή Επιλογή παραμέτρου.

2. Κύτταρο ΣΤΙΣ 2 είναι μεταβλητό κελί ενώ εκτελείται το πρόσθετο. Ας εισάγουμε αυτήν την τιμή σε αυτό x 0 , και στο κελί C3 ας υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης f(x n) για αυτή την προσέγγιση.

3. Επιλέξτε μια εντολή:

Data\Working with data\What-if analysis\Επιλογή παραμέτρων.

4. Στο παράθυρο «Επιλογή παραμέτρων», κάντε τις ρυθμίσεις όπως φαίνεται στην Εικ. 2.13 και κάντε κλικ στο OK.

Εικ.2.13. Επίλυση μη γραμμικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας το πρόσθετο "Επιλογή παραμέτρων".

Αν όλα έγιναν σωστά, τότε στο κελί Β2 (Εικ. 2.13) θα προκύψει μια κατά προσέγγιση τιμή της ρίζας της εξίσωσής μας.

Κάντε όλες αυτές τις λειτουργίες ξανά με διαφορετική αρχική τιμή εικασίας, για παράδειγμα x 0 =4,5.

Ερωτήσεις ελέγχου

1. Ποια εξίσωση ονομάζεται μη γραμμική. Ποια είναι η λύση μιας μη γραμμικής εξίσωσης.

2. Γεωμετρική ερμηνεία της λύσης μιας μη γραμμικής εξίσωσης.

3. Μέθοδοι επίλυσης μη γραμμικής εξίσωσης (άμεση και επαναληπτική), ποια είναι η διαφορά.

4. Δύο στάδια αριθμητική λύσημη γραμμική εξίσωση. Ποιες εργασίες ορίζονται στο πρώτο και στο δεύτερο στάδιο.

5. Το πρώτο στάδιο επίλυσης μη γραμμικής εξίσωσης. Πώς επιλέγεται η μηδενική προσέγγιση (μηδενική επανάληψη).

6. Κατασκευή επαναληπτικής ακολουθίας. Η έννοια της σύγκλισης μιας ακολουθίας επανάληψης. Εύρεση της κατά προσέγγιση τιμής της ρίζας μιας μη γραμμικής εξίσωσης με ακρίβεια ε.

7. Γεωμετρική ερμηνεία αριθμητικών μεθόδων επίλυσης μη γραμμικής εξίσωσης: μισή διαίρεση, Newton (εφαπτομένες), συγχορδίες.

Κεφάλαιο 3.

Δίνεται η εξίσωση F(x)=0. Αυτό - γενική μορφήμη γραμμική εξίσωση με έναν άγνωστο. Κατά κανόνα, ο αλγόριθμος για την εύρεση της ρίζας αποτελείται από δύο στάδια:

1. Εύρεση της κατά προσέγγιση τιμής της ρίζας ή του τμήματος στον άξονα x που την περιέχει.

2. Βελτίωση της κατά προσέγγιση τιμής της ρίζας σε κάποια ακρίβεια.

Στο πρώτο στάδιο, χρησιμοποιείται η σταδιακή μέθοδος διαχωρισμού ριζών, στο δεύτερο - μία από τις μεθόδους τελειοποίησης (μέθοδος μισής διαίρεσης, μέθοδος Newton, μέθοδος χορδής ή μέθοδος απλής επανάληψης).

Μέθοδος βήματος

Ως παράδειγμα, θεωρήστε την εξίσωση x 2 - 11x + 30 = 0. Διάστημα αναζήτησης, βήμα = 0,3. Ας το λύσουμε χρησιμοποιώντας ειδικές ικανότητεςπακέτο Excel. Ακολουθία ενεργειών (βλ. Εικ. 1):

1. Ορίστε τον τίτλο στη γραμμή 1 " Αριθμητικές μέθοδοιλύσεις μη γραμμικών εξισώσεων."

2. Δημιουργήστε μια επικεφαλίδα στη γραμμή 3, "Μέθοδος βήμα προς βήμα".

3. Γράψτε δεδομένα για την εργασία στα κελιά A6 και C6 και B6.

4. Γράψτε τις επικεφαλίδες σειρών στα κελιά B9 και C9, αντίστοιχα x και F(x).

5. Στα κελιά B10 και B11, εισαγάγετε τις δύο πρώτες τιμές του ορίσματος - 3 και 3.3.

6. Επιλέξτε τα κελιά B5-B6 και σύρετε τη σειρά δεδομένων στην τελική τιμή (3,3), φροντίζοντας να σχηματιστεί σωστά η αριθμητική πρόοδος.

7. Στο κελί C10 εισαγάγετε τον τύπο"=B10*B10-11*B10+30".

8. Αντιγράψτε τον τύπο στα υπόλοιπα στοιχεία της σειράς χρησιμοποιώντας την τεχνική μεταφοράς. Στο διάστημα C10:C18, ελήφθη ένας αριθμός αποτελεσμάτων για τον υπολογισμό της συνάρτησης F(x). Μπορεί να φανεί ότι η συνάρτηση αλλάζει πρόσημο μία φορά. Η ρίζα της εξίσωσης βρίσκεται στο διάστημα.

9. Να σχεδιάσετε την εξάρτηση F(x) χρησιμοποιήστε Insert - Diagram (τύπος "Point", οι δείκτες συνδέονται με ομαλές καμπύλες).

Μέθοδος διαίρεσης τμήματος στο μισό

Ως παράδειγμα, θεωρήστε την εξίσωση x 2 - 11x + 30 = 0. Διάστημα αναζήτησης, με ακρίβεια ε=0,01. Ας το λύσουμε χρησιμοποιώντας τις ειδικές δυνατότητες του πακέτου Excel.

1. Εισαγάγετε την επικεφαλίδα «Μέθοδος διαίρεσης τμημάτων στη μέση» στο κελί B21.

2. Εισαγάγετε δεδομένα εργασιών στα κελιά A23, C23, E23.

3. Στην περιοχή B25:H25, δημιουργήστε μια κεφαλίδα πίνακα (σειρά B - το αριστερό περίγραμμα του τμήματος "a", σειρά C - το μέσο του τμήματος "x", σειρά D - το δεξί περίγραμμα του τμήματος "b", σειρά E - η τιμή της συνάρτησης στο αριστερό περίγραμμα του τμήματος "F( a)", σειρά F - η τιμή της συνάρτησης στη μέση του τμήματος "F(x)", σειρά G - το γινόμενο "F( a)*F(x)", σειρά H - έλεγχος εάν έχει επιτευχθεί η ακρίβεια "ê F(x)ê<е».

4. Εισαγάγετε τις αρχικές τιμές των άκρων του τμήματος: στο κελί B26 "4.8", στο κελί D26 "5.1".

5. Εισαγάγετε τον τύπο "=(B26+D26)/2" στο κελί C26.

6. Εισαγάγετε τον τύπο στο κελί E26"=B26*B26-11*B26+30".

7. Εισαγάγετε τον τύπο στο κελί F26"=C26*C26-11*C26+30".

8. Εισαγάγετε τον τύπο "=E26*F26" στο κελί G26.

9. Εισαγάγετε στο κελί H26 τον τύπο "=IF(ABS(F26)<0.01; ²ρίζα²)".

1 0. Επιλέξτε την περιοχή B21:H21 και σύρετέ την κατακόρυφα μέχρι να εμφανιστεί το μήνυμα «root» στη σειρά H (κελί H29, H30).

Μέθοδος εφαπτομένης (Newton)

1. Εισαγάγετε την επικεφαλίδα "Tangential Method (Newton)" στο κελί J23.

2. Εισαγάγετε το κείμενο "e=" στο κελί L23 και την τιμή ακρίβειας "0,00001" στο κελί M23.

3. Στην περιοχή K25:N25, δημιουργήστε έναν τίτλο πίνακα (σειρά K - η τιμή του ορίσματος "x", σειρά L - η τιμή της συνάρτησης "F(x)", σειρά M - η παράγωγος της συνάρτησης "F¢ (x)", σειρά N - έλεγχος για την επίτευξη ακρίβειας "ê F(x)ê<е».

4. Στο κελί K26 εισάγετε το πρώτο αρχική τιμήδιαφωνία"-2".

5. Εισαγάγετε τον τύπο "=K26*K26*K26+2*K26*K26+3*K26+5" στο κελί L26.

6. Εισαγάγετε τον τύπο "=3*K26*K26+4*K26+3" στο κελί M26.

7. Εισαγάγετε στο κελί N26 τον τύπο "=IF(ABS(L26)<$M$23;"корень")».

8. Εισαγάγετε τον τύπο στο κελί K27"=K26-L26/M26".

9. Επιλέξτε την περιοχή L27:N27 και σύρετέ την κάθετα μέχρι να εμφανιστεί το μήνυμα «root» στη σειρά N (κελί N30).

Μέθοδος συγχορδίας

Ως παράδειγμα, θεωρήστε την εξίσωση x 3 +2x 2 +3x+5= 0. Ακρίβεια ε=0,01. Ας το λύσουμε χρησιμοποιώντας τις ειδικές δυνατότητες του πακέτου Excel.

1. Εισαγάγετε την επικεφαλίδα «Μέθοδος συγχορδίας» στο κελί B32.

2. Εισαγάγετε το κείμενο "e=" στο κελί C34 και την τιμή ακρίβειας "0,00001" στο κελί E34.

3. Στην περιοχή B36:D36, δημιουργήστε έναν τίτλο πίνακα (σειρά B - η τιμή του ορίσματος "x", σειρά C - η τιμή της συνάρτησης "F(x)", σειρά D - έλεγχος εάν έχει επιτευχθεί η ακρίβεια "ê F(x)ê<е».

4. Στα κελιά B37 και B38 εισαγάγετε την αρχική τιμή του ορίσματος"-2" και. "-1"

5. Εισαγάγετε τον τύπο "=B37*B37*B37+2*B37*B37+3*B37+5" στο κελί C37.

6. Εισαγάγετε τον τύπο στο κελί D37"=IF(ABS(B38-B37)<$D$34;"корень")».

7. Εισαγάγετε τον τύπο στο κελί B39"=B38-C38*(B38-B37)/(C38-C37)"

8. Επιλέξτε την περιοχή C39:D39 και σύρετέ την κάθετα μέχρι να εμφανιστεί το μήνυμα «root» στη σειρά D (κελί D43).

Απλή μέθοδος επανάληψης

Ως παράδειγμα, θεωρήστε την εξίσωση x 2 - 11x + 30 = 0. Διάστημα αναζήτησης, με ακρίβεια =0,05.

1. Εισαγάγετε την επικεφαλίδα "Απλή μέθοδος επανάληψης" στο κελί K32

2. Εισαγάγετε το κείμενο "e=" στο κελί N34 και την τιμή ακρίβειας "0,05" στο κελί O34.

3. Επιλέξτε μια συνάρτηση j (x) που ικανοποιεί τη συνθήκη σύγκλισης. Στην περίπτωσή μας, μια τέτοια συνάρτηση είναι η συνάρτηση S(x)=(x*x+30)/11.

4. Στην περιοχή K38:N38, δημιουργήστε μια κεφαλίδα πίνακα (σειρά K - η τιμή του ορίσματος "x", σειρά L - η τιμή της συνάρτησης "F(x)", σειρά M - η τιμή της βοηθητικής συνάρτησης "S( x)", σειρά N - έλεγχος εάν έχει επιτευχθεί η ακρίβεια "ê F(x)ê<е».

5. Στο κελί K39, εισαγάγετε την αρχική τιμή του ορίσματος "4.8".

6. Εισαγάγετε τον τύπο στο κελί L39"=K39*K39-11*K39+30".

7. Εισαγάγετε τον τύπο "=(K39*K39+30)/11" στο κελί M39.

8. Εισαγάγετε στο κελί N39 τον τύπο "=IF(ABS(L39)<$O$34;"корень")».

9. Εισαγάγετε τον τύπο "=M39" στο κελί K40.

1 0. Αντιγράψτε τα κελιά L39:N39 στα κελιά L40:N40.

έντεκα . Επιλέξτε την περιοχή L40:N40 και σύρετέ την κάθετα μέχρι να εμφανιστεί το μήνυμα "root" στη σειρά N (κελί N53).

Εικ.1 Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων στο Excel

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ Ρ.Φ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΚΟΥ ΚΡΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ

ΑΝΩΤΕΡΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

«ΣΑΜΑΡΑ ΠΟΛΙΤΕΙΑ

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ»

Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Πληροφορικής

ΠροέχωΚαιMathcad

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ

για την εκτέλεση εργαστηριακών εργασιών

στο γνωστικό αντικείμενο "Υπολογιστικά Μαθηματικά"

Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων σεExcel καιMathcad: Μέθοδος. διάταγμα. / Σύνθ. , - Σαμαρά: SGASU, 20π.

Οι κατευθυντήριες γραμμές έχουν αναπτυχθεί σύμφωνα με το κρατικό εκπαιδευτικό πρότυπο για τη μελέτη του κλάδου «Υπολογιστικά Μαθηματικά».

Εξετάζεται η εφαρμογή αριθμητικών μεθόδων επίλυσης μη γραμμικών εξισώσεων και συστημάτων εξισώσεων σε Excel και MathCad. Παρέχονται επιλογές για εργασίες για ατομική ολοκλήρωση και ερωτήσεις για αυτοέλεγχο και δοκιμή.

Απευθύνεται σε φοιτητές της ειδικότητας 230201 – «Πληροφοριακά συστήματα και τεχνολογίες» όλων των μορφών εκπαίδευσης.

Κριτής Ph.D. n.

Ó, συλλογή, 2012

ã SGASU, 2012

1.2 Διαχωρισμός ρίζας
1.5 Μέθοδος συγχορδίας
1.6 Μέθοδος του Νεύτωνα (εφαπτομένες)
1.7 Συνδυασμένη μέθοδος
1.8 Μέθοδος επανάληψης
2.2 Επίλυση συστημάτων μη γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του Newton
3 Εργαστηριακές εργασίες
Εργαστήριο Νο. 1. Διαχωρισμός ρίζας και τυπικά εργαλεία για την επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων
Εργαστήριο Νο. 2. Σύγκριση μεθόδων για τον καθαρισμό των ριζών μιας μη γραμμικής εξίσωσης
Εργαστήριο Νο. 3. Επίλυση συστημάτων μη γραμμικών εξισώσεων
Εργαστήριο Νο. 4. Μέθοδοι προγραμματισμού για την επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων και συστημάτων
4 Ερωτήσεις και τεστ για τον αυτοέλεγχο

1 Επίλυση μη γραμμικής εξίσωσης

1.1 Γενικές πληροφορίες για την επίλυση μη γραμμικής εξίσωσης

Κατά κανόνα, μια μη γραμμική εξίσωση γενικής μορφής f(x)=0αδύνατο να λυθεί αναλυτικά. Για πρακτικά προβλήματα αρκεί να βρεθεί η κατά προσέγγιση τιμή Χ, κατά μια έννοια κοντά στην ακριβή λύση της εξίσωσης xtochn.

Στις περισσότερες περιπτώσεις, η αναζήτηση μιας κατά προσέγγιση λύσης περιλαμβάνει δύο στάδια. Επί πρώτο στάδιο ξεχωριστόςρίζες, δηλ. βρίσκουν τμήματα εντός των οποίων υπάρχει αυστηρά μία ρίζα. Επί δεύτερο επίπεδο διευκρινίζωρίζα σε ένα από αυτά τα τμήματα, δηλ. βρείτε την τιμή του με την απαιτούμενη ακρίβεια.

Η επιτυγχανόμενη ακρίβεια μπορεί να εκτιμηθεί είτε «κατά συνάρτηση» (στο σημείο που βρέθηκε Χ, η συνάρτηση είναι αρκετά κοντά στο 0, δηλαδή η συνθήκη | φά(x)|≤μιφά, Οπου μιφάαπαιτείται ακρίβεια κατά μήκος του άξονα τεταγμένων), ή «με όρισμα» (βρέθηκε ένα αρκετά μικρό τμήμα [ ένα,σι], μέσα στο οποίο υπάρχει ρίζα, δηλ. | σι-α|≤μιΧ, Οπου μιΧαπαιτούμενη ακρίβεια κατά μήκος του άξονα x).

1.2 Διαχωρισμός ρίζας

Ο διαχωρισμός των ριζών μπορεί να γίνει με συνδυασμό γραφικόςΚαι αναλυτικόςμελέτες λειτουργίας. Μια τέτοια μελέτη βασίζεται στο θεώρημα του Weierstrass, σύμφωνα με το οποίο για μια συνεχή γραμμή σε ένα διάστημα [ ένα,σι]λειτουργίες f(x) και οποιονδήποτε αριθμό y, πληρώντας την προϋπόθεση φά(α)≤y≤φά(σι), υπάρχει ένα σημείο σε αυτό το τμήμα Χ, στην οποία η συνάρτηση είναι ίση y. Επομένως, για μια συνεχή συνάρτηση, αρκεί να βρείτε ένα τμήμα στα άκρα του οποίου η συνάρτηση έχει διαφορετικά πρόσημα και μπορείτε να είστε σίγουροι ότι σε αυτό το τμήμα υπάρχει μια ρίζα της εξίσωσης f(x)=0.

Για έναν αριθμό μεθόδων βελτίωσης, είναι επιθυμητό το τμήμα που βρέθηκε στο πρώτο στάδιο να περιέχει μόνο μια ρίζα της εξίσωσης. Αυτή η συνθήκη ικανοποιείται εάν η συνάρτηση στο τμήμα είναι μονότονη. Η μονοτονία μπορεί να ελεγχθεί είτε από το γράφημα της συνάρτησης είτε από το πρόσημο της παραγώγου.

ΠαράδειγμαΒρείτε μέχρι ακέραιους αριθμούς Ολαρίζες μη γραμμικής εξίσωσης y(x)=x3 - 10x+7=0α) με την κατασκευή πίνακα και β) με την κατασκευή γραφήματος. Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης στο επιλεγμένο τμήμα χρησιμοποιώντας τις επιλογές "Επιλογή παραμέτρων" και "Αναζήτηση λύσεων".

ΛύσηΑς δημιουργήσουμε έναν πίνακα στο Excel που περιέχει τα ορίσματα και τις τιμές της συνάρτησης και ας τον χρησιμοποιήσουμε για τη δημιουργία διάγραμμα διασποράς . Το σχήμα 1 δείχνει ένα στιγμιότυπο της λύσης.

Το γράφημα δείχνει ότι η εξίσωση έχει τρεις ρίζες που ανήκουν στα τμήματα [-4, -3] και . Αυτά τα τμήματα μπορούν να αναγνωριστούν παρατηρώντας την αλλαγή των πρόσημάτων της συνάρτησης στον πίνακα. Με βάση το διαγραμμένο γράφημα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι στα υποδεικνυόμενα τμήματα η συνάρτηση φά(Χ) είναι μονότονο και, επομένως, το καθένα από αυτά περιέχει μόνο μία ρίζα.

Η ίδια ανάλυση μπορεί να γίνει και στο Mathcad. Για να το κάνετε αυτό, απλώς πληκτρολογήστε τον ορισμό της συνάρτησης φά(Χ) , χρησιμοποιώντας τον τελεστή εκχώρησης (:=) και φυσικούς συμβατικούς συμβολισμούς για μαθηματικές πράξεις και τυπικές συναρτήσεις, ορίστε έναν βρόχο για να αλλάξετε το όρισμα, για παράδειγμα, και στη συνέχεια εμφανίστε έναν πίνακα τιμών συναρτήσεων​​(βρίσκεται σε μία γραμμή με εντολές Χ= φά(Χ)= ) και το χρονοδιάγραμμα. Ο κύκλος μπορεί να καθοριστεί, για παράδειγμα, με την εντολή Χ:=-5,-4.5…5 . Το βήμα του κύκλου διαμορφώνεται καθορίζοντας τις αρχικές και τις επόμενες τιμές της μεταβλητής και τοποθετείται ένα ερωτηματικό πριν από την τελική τιμή της μεταβλητής, η οποία θα εμφανίζεται οπτικά στην οθόνη ως έλλειψη.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image002_56.jpg" width="640" height="334">

Σχήμα 1 – Πίνακας και γράφημα για τον διαχωρισμό των ριζών μιας μη γραμμικής εξίσωσης

1.3 Βελτιώστε τις ρίζες χρησιμοποιώντας τυπικά εργαλεία Excel και Mathcad

Σε όλες τις μεθόδους εξευγενισμού ριζών, είναι απαραίτητο να καθοριστεί μια αρχική προσέγγιση, η οποία στη συνέχεια θα εξευγενιστεί. Εάν η εξίσωση έχει πολλές ρίζες, ανάλογα με την επιλεγμένη αρχική προσέγγιση, θα βρεθεί μία από αυτές. Εάν η αρχική προσέγγιση δεν έχει επιλεγεί σωστά, η λύση ενδέχεται να μην βρεθεί. Εάν, ως αποτέλεσμα του πρώτου σταδίου των υπολογισμών, έχει ήδη επιλεγεί ένα τμήμα που περιέχει μία μόνο ρίζα της εξίσωσης, οποιοδήποτε σημείο αυτού του τμήματος μπορεί να ληφθεί ως αρχική προσέγγιση.

Στο Excel, για να διευκρινίσετε τις τιμές των ριζών, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις επιλογές "Επιλογή παραμέτρου" και "Αναζήτηση λύσης". Ένα παράδειγμα του σχεδιασμού της λύσης φαίνεται στα σχήματα 2 και 3.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image004_31.jpg" width="501" height="175 src=">

Εικόνα 3 – Αποτελέσματα χρήσης εργαλείων επίλυσης εξισώσεων στοΠροέχω

Στο Mathcad, για να διευκρινίσετε τις ρίζες μιας εξίσωσης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση ρίζα(….) ή μπλοκ διαλύματος. Ένα παράδειγμα χρήσης της συνάρτησης root(...) φαίνεται στο Σχήμα 4 και το μπλοκ λύσης στο Σχήμα 5. Λάβετε υπόψη ότι στο μπλοκ λύσης (μετά την κεφαλίδα του μπλοκ Δεδομένος) μεταξύ της αριστερής και της δεξιάς πλευράς της εξίσωσης πρέπει να είναι τολμηρό σύμβολο ίσου(ταυτότητες), οι οποίες μπορούν να ληφθούν επιλέγοντας από την αντίστοιχη παλέτα εργαλείων ή πατώντας ταυτόχρονα το πλήκτρο CtrlΚαι = .

243" height="31">

Εικόνα 5 – Επίλυση μιας εξίσωσης χρησιμοποιώντας το μπλοκ λύσηςMathcad

Όπως μπορείτε να δείτε, κάθε τυπικό εργαλείο βρίσκει μια λύση στην εξίσωση με συγκεκριμένη ακρίβεια. Αυτή η ακρίβεια εξαρτάται από τη μέθοδο που χρησιμοποιείται στη συσκευασία και, σε κάποιο βαθμό, από τις ρυθμίσεις της συσκευασίας. Η διαχείριση της ακρίβειας του αποτελέσματος εδώ είναι αρκετά δύσκολη και συχνά αδύνατη.

Ταυτόχρονα, είναι πολύ εύκολο να φτιάξετε το δικό σας τραπέζι ή να γράψετε ένα πρόγραμμα που εφαρμόζει μία από τις μεθόδους για τον καθαρισμό των ριζών. Εδώ μπορείτε να χρησιμοποιήσετε κριτήρια ακρίβειας υπολογισμού που καθορίζονται από τον χρήστη. Ταυτόχρονα, η κατανόηση της διαδικασίας υπολογισμού επιτυγχάνεται χωρίς να βασίζεται στην αρχή της Mitrofanushka: "Υπάρχει ένας οδηγός ταξί, θα σας πάει εκεί".

Μερικές από τις πιο κοινές μεθόδους συζητούνται παρακάτω. Ας σημειώσουμε το προφανές σημείο: άλλα πράγματα ίσους όρους αυτή η μέθοδοςΗ βελτίωση των ριζών θα είναι πιο αποτελεσματική, στην οποία το αποτέλεσμα με το ίδιο σφάλμα βρίσκεται με μικρότεροςαριθμός αξιολογήσεων συναρτήσεων f(x)(Ταυτόχρονα, επιτυγχάνεται μέγιστη ακρίβεια με τον ίδιο αριθμόυπολογισμοί συναρτήσεων).

1.4 Μέθοδος διαίρεσης τμήματος στο μισό

Σε αυτή τη μέθοδο, σε κάθε βήμα το τμήμα χωρίζεται σε δύο ίσα μέρη. Στη συνέχεια συγκρίνονται τα σημάδια της συνάρτησης στα άκρα καθενός από τα δύο μισά (για παράδειγμα, με το πρόσημο του γινομένου των τιμών των συναρτήσεων στα άκρα), προσδιορίζεται αυτό που περιέχει τη λύση (το τα σημάδια της συνάρτησης στα άκρα πρέπει να είναι διαφορετικά), και. περιορίστε το τμήμα μετακινώντας τα όριά του στο σημείο που βρέθηκε ( ΕΝΑή σι). Η συνθήκη τερματισμού είναι η μικρότητα του τμήματος που περιέχει τη ρίζα ("accuracy in Χ"), ή η εγγύτητα στο 0 της τιμής της συνάρτησης στο μέσο του τμήματος ("ακρίβεια σε y"). Η λύση της εξίσωσης θεωρείται ότι είναι το μέσο του τμήματος που βρέθηκε στο τελευταίο βήμα.

Παράδειγμα. Δημιουργήστε έναν πίνακα για να διευκρινίσετε τη ρίζα της εξίσωσης Χ3 –10 Χ+7=0 στο τμήμα [-4, -3] διαιρώντας ένα τμήμα στη μέση. Προσδιορίστε πόσα βήματα πρέπει να γίνουν χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διαίρεσης ενός τμήματος στο μισό και ποια ακρίβεια επιτυγχάνεται σε αυτήν την περίπτωση Χ,για να επιτευχθεί η ακρίβεια σύμφωνα με y, ίσο με 0,1; 0,01; 0,001.

ΛύσηΓια να λύσετε, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν πίνακα Επεξεργαστής Excel, που σας επιτρέπει να συνεχίζετε αυτόματα τις γραμμές. Στο πρώτο βήμα, εισάγουμε στον πίνακα τις τιμές του αριστερού και δεξιού άκρου του επιλεγμένου αρχικού τμήματος και υπολογίζουμε την τιμή του μέσου του τμήματος Με=(ένα+σι)/2 και, στη συνέχεια, εισαγάγετε τον τύπο για τον υπολογισμό της συνάρτησης στο σημείο ένα (φά(ένα)) και τεντώστε το (αντιγράψτε) για να υπολογίσετε φά(ντο) Και φά(σι). Στην τελευταία στήλη υπολογίζουμε την έκφραση ( σι-ένα)/2, χαρακτηρίζοντας τον βαθμό ακρίβειας των υπολογισμών. Όλοι οι πληκτρολογημένοι τύποι μπορούν να αντιγραφούν στη δεύτερη σειρά του πίνακα.

Στο δεύτερο βήμα, πρέπει να αυτοματοποιήσετε τη διαδικασία αναζήτησης αυτού του μισού τμήματος που περιέχει τη ρίζα. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τη λογική συνάρτηση IF ( Μενού: InsertFunctionLogical). Για το νέο αριστερό άκρο του τμήματος, ελέγχουμε την αλήθεια της συνθήκης φά(ένα)*φά(ντο)>0, εάν είναι αληθές, τότε παίρνουμε τον αριθμό ως τη νέα τιμή του αριστερού άκρου του τμήματος ντο ένα, ντο ένα. Ομοίως, για τη νέα δεξιά άκρη του τμήματος ελέγχουμε την αλήθεια της συνθήκης φά(ντο)* φά(σι)>0, αν είναι αληθές, τότε παίρνουμε τον αριθμό ως τη νέα τιμή του δεξιού άκρου του τμήματος ντο(καθώς αυτή η συνθήκη δείχνει ότι οι ρίζες στο τμήμα [ ντο, σι] όχι), διαφορετικά αφήνουμε την τιμή σι.

Η δεύτερη σειρά του πίνακα μπορεί να συνεχιστεί (αντιγραφεί) για τον απαιτούμενο αριθμό επόμενων σειρών.

Η επαναληπτική διαδικασία τελειώνει όταν η επόμενη τιμή στην τελευταία στήλη γίνει μικρότερη από την καθορισμένη ακρίβεια π.χ. Στην περίπτωση αυτή, η τιμή του μέσου του τμήματος στην τελευταία προσέγγιση λαμβάνεται ως κατά προσέγγιση τιμή της επιθυμητής ρίζας της μη γραμμικής εξίσωσης. Το σχήμα 6 δείχνει ένα στιγμιότυπο της λύσης. Για να δημιουργήσετε μια παρόμοια διαδικασία στο Mathcad, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια φόρμα παρόμοια με αυτή που φαίνεται στο Σχήμα 7. Ο αριθμός των βημάτων N μπορεί να ποικίλλει μέχρι να επιτευχθεί η απαιτούμενη ακρίβεια στον πίνακα αποτελεσμάτων. Σε αυτήν την περίπτωση, ο πίνακας θα επιμηκυνθεί ή θα βραχυνθεί αυτόματα.

Άρα, μία από τις τρεις ρίζες της μη γραμμικής εξίσωσης Χ 3 – 10Χ+ 7=0, που βρέθηκε με ακρίβεια e=0,0001, είναι Χ= - 3,46686. Όπως βλέπουμε, ανήκει πραγματικά στο τμήμα [-4; -3].

https://pandia.ru/text/78/157/images/image018_6.jpg" width="563" height="552 src=">

Εικόνα 7 – Βελτιστοποίηση της ρίζας με διαίρεση του τμήματος στη μέσηMathcad

1.5 Μέθοδος συγχορδίας

Σε αυτή τη μέθοδο μη γραμμική συνάρτηση f(x)στο διαχωρισμένο διάστημα [ α, β] αντικαθίσταται από μια γραμμική - την εξίσωση χορδής, δηλαδή μια ευθεία γραμμή που συνδέει τα οριακά σημεία του γραφήματος σε ένα τμήμα. Προϋπόθεση για την εφαρμογή της μεθόδου είναι η μονοτονία της συνάρτησης στο αρχικό τμήμα, διασφαλίζοντας τη μοναδικότητα της ρίζας σε αυτό το τμήμα. Ο υπολογισμός με τη μέθοδο της χορδής είναι παρόμοιος με τον υπολογισμό που χρησιμοποιεί τη μέθοδο διαίρεσης ενός τμήματος στο μισό, αλλά τώρα σε κάθε βήμα νέο σημείο Χμέσα στο τμήμα [ ένα, σι] υπολογίζεται χρησιμοποιώντας οποιονδήποτε από τους παρακάτω τύπους:

(x) > 0), ή το δεξιό του όριο: x0 = β(Αν f(b) f"(x)>0). Υπολογισμός νέας προσέγγισης στο επόμενο βήμα Εγώ+1 παράγεται σύμφωνα με τον τύπο:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image021_4.jpg" width="596" height="265 src=">

Εικόνα 8 – Εξευγενισμός της ρίζας με τη μέθοδο της εφαπτομένης στο Εxcel

Οι υπολογισμοί στο Mathcad εκτελούνται με παρόμοιο τρόπο. Σε αυτή την περίπτωση, μια σημαντική ανακούφιση είναι η παρουσία σε αυτό το πακέτο ενός τελεστή που υπολογίζει αυτόματα την παράγωγο μιας συνάρτησης.

Το πιο χρονοβόρο στοιχείο των υπολογισμών με τη μέθοδο του Newton είναι ο υπολογισμός της παραγώγου σε κάθε βήμα.

Μπορεί να χρησιμοποιηθεί υπό ορισμένες συνθήκες απλοποίησε τη μέθοδο του Νεύτωνα, στο οποίο η παράγωγος υπολογίζεται μόνο μία φορά - στο αρχικό σημείο. Σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιείται ένας τροποποιημένος τύπος

.

Φυσικά, η απλοποιημένη μέθοδος συνήθως απαιτεί περισσότεροβήματα.

Εάν ο υπολογισμός της παραγώγου συνεπάγεται σοβαρές δυσκολίες (για παράδειγμα, εάν η συνάρτηση δεν καθορίζεται από μια αναλυτική έκφραση, αλλά από ένα πρόγραμμα που υπολογίζει τις τιμές της), χρησιμοποιήστε τροποποιημένη μέθοδοςΟ Νεύτων, κάλεσε μέθοδος τομής. Εδώ η παράγωγος υπολογίζεται κατά προσέγγιση από τις τιμές της συνάρτησης σε δύο διαδοχικά σημεία, δηλαδή χρησιμοποιείται ο τύπος

.

Στη μέθοδο τέμνουσας, είναι απαραίτητο να καθορίσετε όχι ένα, αλλά δύο σημεία εκκίνησης - Χ0 Και Χ1 . Τελεία x1συνήθως καθορίζεται από μια μετατόπιση x0στο άλλο όριο του τμήματος κατά ένα μικρό ποσό, για παράδειγμα, κατά 0,01.

1.7 Συνδυασμένη μέθοδος

Μπορεί να φανεί ότι αν στο αρχικό τμήμα η συνάρτηση f(x)Εάν τα πρόσημα του πρώτου και του δεύτερου παραγώγου παραμένουν αμετάβλητα, τότε οι μέθοδοι χορδής και Newton προσεγγίζουν τη ρίζα από διαφορετικές κατευθύνσεις. Η συνδυασμένη μέθοδος χρησιμοποιεί και τους δύο αλγόριθμους ταυτόχρονα σε κάθε βήμα για τη βελτίωση της αποτελεσματικότητας. Σε αυτήν την περίπτωση, το διάστημα που περιέχει τη ρίζα μειώνεται και στις δύο πλευρές, γεγονός που καθορίζει μια άλλη προϋπόθεση για τον τερματισμό της αναζήτησης. Η αναζήτηση μπορεί να διακοπεί μόλις στο μέσο του διαστήματος που λαμβάνεται στο επόμενο βήμα η τιμή της συνάρτησης γίνει μικρότερη σε απόλυτη τιμή από το προκαθορισμένο σφάλμα μιφά.

Εάν, σύμφωνα με τον κανόνα που διατυπώθηκε παραπάνω, η μέθοδος του Newton εφαρμόζεται στο δεξιό όριο του τμήματος, οι τύποι χρησιμοποιούνται για υπολογισμούς:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image025_10.gif" width="107" height="45 src=">.

Εάν η μέθοδος του Νεύτωνα εφαρμοστεί στο αριστερό όριο, οι ονομασίες στους προηγούμενους τύπους ανταλλάσσονται έναΚαι σι.

1.8 Μέθοδος επανάληψης

Για την εφαρμογή αυτής της μεθόδου, η αρχική εξίσωση f(x)=0μετατροπή στη μορφή: Χ=y(Χ). Στη συνέχεια επιλέξτε την αρχική τιμή x0και αντικαταστήστε το στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, μπαίνοντας μέσα γενική περίπτωση, Χ1 = y(x0)¹ x0¹ y(x1), επειδή η x0λαμβάνεται αυθαίρετα και δεν είναι η ρίζα της εξίσωσης. Ληφθείσα αξία x1θεωρείται ως μια άλλη προσέγγιση στη ρίζα. Τον πλαισιώνουν ξανά σωστη πλευραεξισώσεις και πάρτε επόμενη τιμή x2=y(x1)). Ο υπολογισμός συνεχίζεται σύμφωνα με τον τύπο xi+1=y(xi). Η ακολουθία που προκύπτει είναι: x0, x1, x2, x3 x4,...υπό ορισμένες συνθήκες συγκλίνουν στη ρίζα xtochn.

Μπορεί να φανεί ότι η επαναληπτική διαδικασία συγκλίνει υπό την συνθήκη
|y’ (Χ) | < 1 на [ένα, σι].

Υπάρχει διάφορους τρόπουςεξίσωση μετασχηματισμού f(x)= 0 για προβολή y(Χ) = Χ, και σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, μερικά από αυτά θα οδηγήσουν σε μια συγκλίνουσα και άλλα σε μια αποκλίνουσα υπολογιστική διαδικασία.

Ένας τρόπος είναι να χρησιμοποιήσετε τον τύπο

https://pandia.ru/text/78/157/images/image027_10.gif" width="188" height="44 src=">

Οπου Μ= μέγιστο | y’ (Χ)| επί [ ένα, σι].

2 Επίλυση συστημάτων μη γραμμικών εξισώσεων

2.1 Γενικές πληροφορίες για την επίλυση συστημάτων μη γραμμικών εξισώσεων

Σύστημα nμη γραμμικές εξισώσεις με nάγνωστος x1, x2, ..., xnγραμμένο με τη μορφή:

Οπου F1, F2,…, Fn– συναρτήσεις ανεξάρτητων μεταβλητών, συμπεριλαμβανομένων των μη γραμμικών.

Όπως και στην περίπτωση των συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, η λύση του συστήματος είναι το ακόλουθο διάνυσμα Χ*, το οποίο, κατά την αντικατάσταση, μετατρέπει ταυτόχρονα όλες τις εξισώσεις του συστήματος σε ταυτότητες.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image030_8.gif" width="191" height="56">

Αρχικές τιμές Χ0 Και y0 καθορίζονται γραφικά. Για να βρείτε κάθε επόμενη προσέγγιση (xi+1 , yi+1 ) χρησιμοποιήστε ένα διάνυσμα τιμών συνάρτησης και έναν πίνακα τιμών των πρώτων παραγώγων τους, που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο σημείο (xi, yi) .

https://pandia.ru/text/78/157/images/image032_5.gif" width="276" height="63 src=">

Για να υπολογίσετε νέες προσεγγίσεις σε ένα βήμα i+1χρησιμοποιείται ο τύπος μήτρας

https://pandia.ru/text/78/157/images/image034_4.gif" width="303" height="59 src=">.

Οι παραπάνω τύποι είναι ιδιαίτερα εύκολο να γραφτούν στο Mathcad, όπου υπάρχουν τελεστές για τον υπολογισμό παραγώγων και πράξεων με πίνακες. Ωστόσο, όταν σωστή χρήση λειτουργίες μήτραςΑυτοί οι τύποι μπορούν να γραφτούν πολύ απλά στο Excel. Είναι αλήθεια ότι εδώ θα πρέπει να λάβετε τύπους για τον υπολογισμό των παραγώγων εκ των προτέρων. Το Mathcad μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για αναλυτικό υπολογισμό παραγώγων.

2.3 Επίλυση συστημάτων μη γραμμικών εξισώσεων με χρήση μεθόδων επανάληψης

Για την εφαρμογή αυτών των μεθόδων, το αρχικό σύστημα εξισώσεων είναι απαραίτητο από αλγεβρικοί μετασχηματισμοίεκφράζουν ρητά κάθε μεταβλητή ως προς τις άλλες. Για την περίπτωση δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους νέο σύστημαθα μοιάζει

https://pandia.ru/text/78/157/images/image036_5.gif" width="114" height="57 src=">.

Αν μια από τις λύσεις του συστήματος και οι αρχικές τιμές Χ0 Και y0 βρίσκονται στην περιοχή ρε, που δίνονται από τις ανισότητες: ένα ≤ Χ ≤ σι, ντο ≤ y ≤ ρε, στη συνέχεια ο υπολογισμός με τη μέθοδο απλές επαναλήψειςσυγκλίνει όταν εκτελείται στην περιοχή ρεαναλογίες:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image038_5.gif" width="75 height=48" height="48">< 1.

ΣΕ Μέθοδος επανάληψης SeidelΓια κάθε υπολογισμό, χρησιμοποιούνται οι πιο ακριβείς τιμές κάθε μεταβλητής που έχει ήδη βρεθεί. Για την περίπτωση δύο μεταβλητών που εξετάζονται, αυτή η λογική οδηγεί στους τύπους

0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

Εργαλείο (προαιρετικό)

Αρχική προσέγγιση

ΡίζαΧ

f(x)

3. Ταξινομήστε τα αποτελέσματα που προέκυψαν με βάση την ακρίβεια του διαλύματος.

Ας βρεθεί η κατά προσέγγιση τιμή της ρίζας της εξίσωσης φά(Χ) = 0, ας το συμβολίσουμε x n. Τύπος υπολογισμού Η μέθοδος του Νεύτωνανα καθορίσει την επόμενη προσέγγιση x nΤο +1 μπορεί να ληφθεί με δύο τρόπους.

Ο πρώτος τρόπος εκφράζει γεωμετρική σημασίατη μέθοδο του Νεύτωνα και συνίσταται στο ότι αντί για το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = φά(Χ) με άξονα ΒΟΔΙ, αναζητούμε το σημείο τομής με τον άξονα ΒΟΔΙεφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο ( x n, φά(x n)) όπως φαίνεται στο Σχ. 2.6. Η εφαπτομένη εξίσωση έχει τη μορφή .

Ρύζι. 2.7. Μέθοδος του Νεύτωνα (εφαπτομένες)

Στο σημείο τομής της εφαπτομένης με τον άξονα ΒΟΔΙμεταβλητός y= 0. Εξισώνοντας yμηδέν, ας εκφράσουμε Χκαι παίρνουμε τον τύπο εφαπτομενική μέθοδος:

(2.6)

Δεύτερος τρόπος. Ας επεκτείνουμε τη λειτουργία φά(Χ) σε μια σειρά Taylor κοντά σε ένα σημείο Χ = x n:

Ας περιοριστούμε σε γραμμικό σε σχέση με ( x – x n) όρους, τους εξισώνουμε με μηδέν φά(Χ) και, εκφράζοντας το άγνωστο από την εξίσωση που προκύπτει Χκαι δηλώνοντάς το με x n+1 , παίρνουμε τον τύπο (2.6).

Ας παρουσιάσουμε επαρκείς συνθήκες για τη σύγκλιση της μεθόδου του Νεύτωνα.

Θεώρημα 2.3.Ας πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις στο τμήμα:

1) η συνάρτηση και οι παράγωγοί της είναι συνεχείς.

2) παράγωγα και είναι διαφορετικά από το μηδέν και διατηρούν ορισμένα σταθερά πρόσημα.

3) (η συνάρτηση αλλάζει πρόσημο στο τμήμα).

Στη συνέχεια, υπάρχει ένα τμήμα που περιέχει την επιθυμητή ρίζα της εξίσωσης στην οποία συγκλίνει η ακολουθία επανάληψης. Αν, ως μηδενική προσέγγιση, επιλέξουμε το οριακό σημείο στο οποίο το πρόσημο της συνάρτησης συμπίπτει με το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου, δηλ. , τότε η ακολουθία επανάληψης συγκλίνει μονότονα (Εικ. 2.8).

Απόδειξη. Εφόσον είναι συνεχής, αλλάζει πρόσημο και είναι μονότονο στο , τότε είναι το διάστημα απομόνωσης της ρίζας. Ας συμβολίσουμε την επιθυμητή ρίζα με . Εξετάστε τη συνάρτηση και να βρεις την παράγωγο του. Άρα, το συνεχές on , εξαφανίζεται στο σημείο , αφού σε αυτό το σημείο η συνάρτηση εξαφανίζεται. Επομένως, υπάρχει ένα τμήμα () τέτοιο ώστε . Αν πάρουμε εκείνο το τμήμα του τμήματος όπου , τότε, επομένως, η συνάρτηση αυξάνεται, αλλά τότε η ακολουθία είναι μονότονη.

Ρύζι. 2.8. Επαρκείς προϋποθέσειςσύγκλιση της μεθόδου του Νεύτωνα

Σχόλιο.Σημειώστε ότι η μέθοδος συγχορδίας απλώς συνοδεύεται από αντίθετη πλευρά, και ως εκ τούτου και οι δύο αυτές μέθοδοι μπορούν να αλληλοσυμπληρώνονται και είναι δυνατή η συνδυαστική μέθοδος συγχορδίας-εφαπτομένης.

Παράδειγμα 2.7.Βελτιώστε τη ρίζα της εξίσωσης στο 0,000001 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Newton
αμαρτία 5 Χ+ Χ 2 – 1 = 0. Πάρτε ως αρχική τιμή Χ 0 = – 0,7.

Λύση.Ας βρούμε την παράγωγο .

ΣΕ Πρόγραμμα Excelας εισαγάγουμε τύποι υπολογισμού:

1) Εισαγάγετε τύπους και σημειώσεις στα κελιά περιοχής ΕΝΑ 1:ρε 3 και αντιγράψτε το κελί με τους τύπους με δείκτη πλήρωσης: σι 3 - μέχρι σι 5,
ντο 2 - μέχρι ντο 5, ρε 2 - μέχρι ρε 5;

Πίνακας 2.9

	ΕΝΑ	σι	ντο	ρε
	κ	Χ	f(x)	f"(x)
		–0,7	=SIN(5*B2)+B2^2–1	=5*COS(5*B2)+2*B2
		=B2–C2/D2

Τα αποτελέσματα υπολογισμού φαίνονται στον Πίνακα 2.10. Η τιμή ρίζας που λήφθηκε ήταν – 0,726631609 ≈ – 0,726632 με σφάλμα 0,000001.

Πίνακας 2.10

	ΕΝΑ	σι	ντο	ρε	ΕΝΑ
	κ	Χ	f(x)	f"(x)
		-0,7	-0,159216772	-6,082283436
		-0,726177138	-0,002664771	-5,865681044	0,026177138
		-0,726631437	-1,00787E-06	-5,861240228	0,000454299
		-0,726631609	-1,45328E-13	-5,861238543	1,71955E-07

Ας δημιουργήσουμε συναρτήσεις στο Excelνα λύσετε την εξίσωση από το Παράδειγμα 2.7 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Newton.

«Σε αντίθεση με τη μέθοδο της χορδής, στη μέθοδο της εφαπτομένης, αντί για μια χορδή, σε κάθε βήμα σχεδιάζεται μια εφαπτομένη στην καμπύλη y=F(x)στο x=x nκαι αναζητείται το σημείο τομής της εφαπτομένης με τον άξονα x:

Ο τύπος για την προσέγγιση (n+1) είναι:

Αν F(a)*F"(a)>0, Χ 0 =α, σε διαφορετική περίπτωση Χ 0 =β.

Η επαναληπτική διαδικασία συνεχίζεται μέχρι να ανακαλυφθεί ότι:

Παράδειγμα:

Ας μας δοθεί μια εργασία της ακόλουθης φύσης:Διευκρινίστε τις ρίζες της εξίσωσης cos(2x)+x-5=0χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της εφαπτομένης με ακρίβεια 0,00001.

Αρχικά, πρέπει να αποφασίσετε τι x0 ισούται με: είτε a είτε b. Για να το κάνετε αυτό πρέπει να κάνετε τα εξής:

Να βρείτε την παράγωγο πρώτης τάξης της συνάρτησης f(x)=cos(2x)+x-5. Θα μοιάζει με αυτό: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Να βρείτε την παράγωγο δεύτερης τάξης της συνάρτησης f(x)=cos(2x)+x-5. Θα μοιάζει με αυτό: f2(x)=-4cos(2x).

Το αποτέλεσμα είναι το εξής:

Εφόσον x0=b, πρέπει να κάνετε τα εξής:

Συμπληρώστε τα κελιά ως εξής (προσέξτε τα ονόματα και τους αριθμούς των στηλών κατά τη συμπλήρωση - θα πρέπει να είναι ίδια όπως στο σχήμα):

Στο κελί A6, εισαγάγετε τον τύπο =D5.

Επιλέξτε την περιοχή των κελιών B5:E5 και χρησιμοποιήστε τη μέθοδο μεταφοράς και απόθεσης για να συμπληρώσετε την περιοχή των κελιών B6:E6.

Επιλέξτε το εύρος των κελιών A6:E5 και, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο μεταφοράς και απόθεσης, συμπληρώστε το εύρος των χαμηλότερων κελιών μέχρι να λάβετε ένα αποτέλεσμα σε ένα από τα κελιά της στήλης E (εύρος κελιών A6:E9).

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε τα εξής:

4. Συνδυασμένη μέθοδος συγχορδιών και εφαπτομένων

Για να επιτευχθεί το πιο ακριβές σφάλμα, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν ταυτόχρονα οι μέθοδοι χορδής και εφαπτομένης. «Χρησιμοποιώντας τον τύπο συγχορδίας βρίσκει κανείς Χ n+1και σύμφωνα με τον τύπο της εφαπτομένης - z n+1. Η διαδικασία εύρεσης μιας κατά προσέγγιση ρίζας σταματά μόλις:

Ως ρίζα κατά προσέγγιση, πάρτε την τιμή ίση με (11) :"[2 ]

Ας είναι απαραίτητο να διευκρινιστούν οι ρίζες της εξίσωσης cos(2x)+x-5=0 χρησιμοποιώντας συνδυαστική μέθοδο με ακρίβεια 0,00001.

Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα χρησιμοποιώντας το Excel, πρέπει να εκτελέσετε τα ακόλουθα βήματα:

Δεδομένου ότι στη συνδυασμένη μέθοδο είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί ένας από τους τύπους χορδής και ο τύπος της εφαπτομένης, θα πρέπει να εισαχθεί η ακόλουθη σημείωση για απλοποίηση:

Για τύπους συγχορδίας, δηλώστε:

Η μεταβλητή c θα παίξει το ρόλο του a ή του b ανάλογα με την κατάσταση.

Οι υπόλοιπες σημειώσεις είναι παρόμοιες με αυτές που δίνονται στους τύπους συγχορδίας, λαμβάνοντας υπόψη μόνο τις μεταβλητές που εισήχθησαν παραπάνω.

Για τον τύπο της εφαπτομένης, συμβολίστε:

Οι υπόλοιπες σημειώσεις είναι παρόμοιες με αυτές που δίνονται στον τύπο της εφαπτομένης, λαμβάνοντας υπόψη μόνο τις μεταβλητές που εισήχθησαν παραπάνω.

Να βρείτε την παράγωγο πρώτης τάξης της συνάρτησης f(x)=cos(2x)+x-5. Θα μοιάζει με αυτό: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Να βρείτε την παράγωγο δεύτερης τάξης της συνάρτησης f(x)=cos(2x)+x-5. Θα μοιάζει με αυτό: f2(x)=-4cos(2x).

Συμπληρώστε τα κελιά ως εξής (προσέξτε τα ονόματα και τους αριθμούς των στηλών κατά τη συμπλήρωση - θα πρέπει να είναι ίδια όπως στο σχήμα):

Το αποτέλεσμα είναι το εξής:

Στο κελί G1 πληκτρολογήστε e και στο G2 πληκτρολογήστε τον αριθμό 0,00001.

Στο κελί H1 πληκτρολογήστε c και στο H2 πληκτρολογήστε τον αριθμό 6, αφού c=b (βλ. κελί F2).

Στο κελί I1 πληκτρολογήστε f(c) και στο I2 εισαγάγετε τον τύπο =COS(2*H2)+H2-5.

Συμπληρώστε τα κελιά διαδοχικά ως εξής (προσέξτε τα ονόματα και τους αριθμούς των στηλών κατά τη συμπλήρωση - θα πρέπει να είναι τα ίδια όπως στο σχήμα):

Στο κελί A6, εισαγάγετε τον τύπο =E5.

Στο κελί F6, εισαγάγετε τον τύπο =I5.

Επιλέξτε την περιοχή των κελιών B5:E5 και χρησιμοποιήστε τον δείκτη αυτόματης συμπλήρωσης για να συμπληρώσετε την περιοχή των κελιών B6:E6.

Επιλέξτε την περιοχή των κελιών G5:K5 και χρησιμοποιήστε τον δείκτη αυτόματης συμπλήρωσης για να συμπληρώσετε την περιοχή των κελιών G6:K6.

Επιλέξτε την περιοχή των κελιών A6:K6 και συμπληρώστε όλα τα κάτω κελιά χρησιμοποιώντας τη μέθοδο έλξης μέχρι να λάβετε την απάντηση σε ένα από τα κελιά της στήλης K (εύρος κελιών A6:K9).

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε τα εξής:

Απάντηση: Η ρίζα της εξίσωσης cos(2x)+x-5=0 είναι 5,32976.