Εξισώσεις με ειδική δεξιά πλευρά. Γραμμικές ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές

Βασικές αρχές επίλυσης γραμμικών ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης (LNDE-2) με σταθερούς συντελεστές(Η/Υ)

Ένα CLDE δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές $p$ και $q$ έχει τη μορφή $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, όπου $f\left( x \right)$ είναι μια συνεχής συνάρτηση.

Οι ακόλουθες δύο δηλώσεις είναι αληθείς όσον αφορά το 2ο LNDE με PC.

Ας υποθέσουμε ότι κάποια συνάρτηση $U$ είναι μια αυθαίρετη συγκεκριμένη λύση μιας ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης. Ας υποθέσουμε επίσης ότι κάποια συνάρτηση $Y$ είναι μια γενική λύση (OR) της αντίστοιχης γραμμικής ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Τότε το OR του Το LNDE-2 είναι ίσο με το άθροισμα των υποδεικνυόμενων ιδιωτικών και γενικών λύσεων, δηλαδή $y=U+Y$.

Αν η δεξιά πλευρά του LIDE 2ης τάξης είναι το άθροισμα των συναρτήσεων, δηλαδή $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+. ..+f_(r) \left(x\right)$, τότε πρώτα μπορείτε να βρείτε το PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ που αντιστοιχεί σε κάθε από τις συναρτήσεις $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, και μετά γράψτε το LNDE-2 PD ως $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Λύση LNDE 2ης τάξης με Η/Υ

Προφανώς, η μορφή ενός ή του άλλου PD $U$ ενός δεδομένου LNDE-2 εξαρτάται από τη συγκεκριμένη μορφή της δεξιάς πλευράς του $f\left(x\right)$. Οι απλούστερες περιπτώσεις αναζήτησης του PD του LNDE-2 διατυπώνονται ως οι ακόλουθοι τέσσερις κανόνες.

Κανόνας αριθμός 1.

Η δεξιά πλευρά του LNDE-2 έχει τη μορφή $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, όπου $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, δηλαδή ονομάζεται α πολυώνυμο βαθμού $n$. Στη συνέχεια, το PR $U$ του αναζητείται με τη μορφή $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, όπου το $Q_(n) \left(x\right)$ είναι άλλο πολυώνυμο του ίδιου βαθμού με το $P_(n) \left(x\right)$ και το $r$ είναι ο αριθμός των ριζών χαρακτηριστική εξίσωσηπου αντιστοιχεί στο LODU-2, ίσο με μηδέν. Οι συντελεστές του πολυωνύμου $Q_(n) \left(x\right)$ βρίσκονται με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών (NC).

Κανόνας αριθμός 2.

Η δεξιά πλευρά του LNDE-2 έχει τη μορφή $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, όπου $P_(n) Το \left( x\right)$ είναι ένα πολυώνυμο βαθμού $n$. Στη συνέχεια, το PD του $U$ αναζητείται με τη μορφή $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, όπου $Q_(n ) \ left(x\right)$ είναι ένα άλλο πολυώνυμο του ίδιου βαθμού με το $P_(n) \left(x\right)$ και το $r$ είναι ο αριθμός των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης του αντίστοιχου LODE-2 ίσο με $\alpha $. Οι συντελεστές του πολυωνύμου $Q_(n) \left(x\right)$ βρίσκονται με τη μέθοδο NK.

Κανόνας αριθμός 3.

Το δεξί μέρος του LNDE-2 έχει τη μορφή $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \δεξιά) $ όπου είναι τα $a$, $b$ και $\beta $ γνωστούς αριθμούς. Στη συνέχεια, το PD $U$ του αναζητείται με τη μορφή $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right )\right )\cdot x^(r) $, όπου $A$ και $B$ είναι άγνωστοι συντελεστές, και $r$ είναι ο αριθμός των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης του αντίστοιχου LODE-2 ίσος με $i\cdot \beta $. Οι συντελεστές $A$ και $B$ βρίσκονται με τη μέθοδο NDT.

Κανόνας αριθμός 4.

Η δεξιά πλευρά του LNDE-2 έχει τη μορφή $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, όπου $P_(n) \left(x\right)$ είναι ένα πολυώνυμο βαθμού $ n$ και το $P_(m) \left(x\right)$ είναι ένα πολυώνυμο βαθμού $m$. Στη συνέχεια, το PD $U$ του αναζητείται με τη μορφή $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, όπου $Q_(s) \left(x\right) $ και $ R_(s) \left(x\right)$ είναι πολυώνυμα βαθμού $s$, ο αριθμός $s$ είναι ο μέγιστος αριθμός δύο αριθμών $n$ και $m$ και $r$ είναι ο αριθμός των ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης του αντίστοιχου LODE-2, ίσες με $\alpha +i\cdot \beta $. Οι συντελεστές των πολυωνύμων $Q_(s) \left(x\right)$ και $R_(s) \left(x\right)$ βρίσκονται με τη μέθοδο NK.

Η μέθοδος NK συνίσταται στην εφαρμογή του ακόλουθου κανόνα. Για να βρεθούν οι άγνωστοι συντελεστές του πολυωνύμου, που αποτελούν μέρος της συγκεκριμένης λύσης της ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης LNDE-2, είναι απαραίτητο:

• Αντικαταστήστε το PD $U$, γραμμένο σε γενική μορφή, στο αριστερό μέρος του LNDE-2.
• στην αριστερή πλευρά του LNDE-2, εκτελέστε απλοποιήσεις και ομαδοποιήστε όρους με τις ίδιες δυνάμεις $x$.
• Στην ταυτότητα που προκύπτει, εξισώστε τους συντελεστές των όρων με τις ίδιες δυνάμεις $x$ της αριστερής και της δεξιάς πλευράς.
• λύσει το σύστημα που προκύπτει γραμμικές εξισώσειςσε σχέση με άγνωστους συντελεστές.

Παράδειγμα 1

Εργασία: βρείτε το OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Βρείτε επίσης το PR , ικανοποιώντας τις αρχικές συνθήκες $y=6$ για $x=0$ και $y"=1$ για $x=0$.

Γράψτε το αντίστοιχο LODA-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Χαρακτηριστική εξίσωση: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Αυτές οι ρίζες είναι πραγματικές και διακριτές. Έτσι, το OR του αντίστοιχου LODE-2 έχει τη μορφή: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Το δεξί μέρος αυτού του LNDE-2 έχει τη μορφή $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ο συντελεστής του εκθέτη του εκθέτη $\alpha =3$. Αυτός ο συντελεστής δεν συμπίπτει με καμία από τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Επομένως, το PR αυτού του LNDE-2 έχει τη μορφή $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Θα αναζητήσουμε τους συντελεστές $A$, $B$ χρησιμοποιώντας τη μέθοδο NK.

Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο του CR:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο του CR:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Αντικαθιστούμε τις συναρτήσεις $U""$, $U"$ και $U$ αντί των $y""$, $y"$ και $y$ στο δεδομένο LNDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Ταυτόχρονα, αφού περιλαμβάνεται ο εκθέτης $e^(3\cdot x) $ ως παράγοντας σε όλα τα συστατικά, τότε μπορεί να παραλειφθεί.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Εκτελούμε ενέργειες στην αριστερή πλευρά της ισότητας που προκύπτει:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο NC. Παίρνουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστους:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Η λύση σε αυτό το σύστημα είναι: $A=-2$, $B=-1$.

Το CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ για το πρόβλημά μας μοιάζει με αυτό: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.

Το OR $y=Y+U$ για το πρόβλημά μας μοιάζει με αυτό: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ αριστερά(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Για να αναζητήσουμε ένα PD που ικανοποιεί τις δεδομένες αρχικές συνθήκες, βρίσκουμε την παράγωγο $y"$ OR:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Αντικατάσταση σε $y$ και $y"$ αρχικές συνθήκες$y=6$ για $x=0$ και $y"=1$ για $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6,$

Το λύνουμε. Βρίσκουμε το $C_(1) $ χρησιμοποιώντας τον τύπο του Cramer και το $C_(2) $ προσδιορίζεται από την πρώτη εξίσωση:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ start(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Έτσι, το PD αυτής της διαφορικής εξίσωσης είναι: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Ετερογενής διαφορικές εξισώσειςδεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές

Δομή της γενικής λύσης Γραμμική ανομοιογενής εξίσωση αυτού του τύπουμοιάζει με: όπου Π, q − σταθερούς αριθμούς(που μπορεί να είναι είτε πραγματικό είτε σύνθετο). Για κάθε τέτοια εξίσωση, μπορεί κανείς να γράψει την αντίστοιχη ομοιογενής εξίσωση: Θεώρημα: Κοινή απόφαση ανομοιογενής εξίσωσηείναι το άθροισμα της γενικής λύσης y 0 (Χ) της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης και μιας συγκεκριμένης λύσης y 1 (Χ) της ανομοιογενούς εξίσωσης: Παρακάτω εξετάζουμε δύο μεθόδους για την επίλυση μη ομοιογενών διαφορικών εξισώσεων. Μέθοδος σταθερής μεταβολής Αν ένα κοινή απόφαση yΤο 0 της σχετικής ομοιογενούς εξίσωσης είναι γνωστό, τότε η γενική λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας μέθοδος σταθερής μεταβολής. Έστω η γενική λύση μιας ομογενούς διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης να έχει τη μορφή: Αντί για μόνιμη ντο 1 και ντο 2 θα εξετάσουμε τις βοηθητικές συναρτήσεις ντο 1 (Χ) και ντο 2 (Χ). Θα αναζητήσουμε αυτές τις συναρτήσεις έτσι ώστε η λύση ικανοποιεί την ανομοιογενή εξίσωση με τη δεξιά πλευρά φά(Χ). Άγνωστα χαρακτηριστικά ντο 1 (Χ) και ντο 2 (Χ) προσδιορίζονται από το σύστημα δύο εξισώσεων: Μέθοδος απροσδιόριστων συντελεστών Δεξί μέρος φά(Χ) μιας ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης είναι συχνά ένα πολυώνυμο, μια εκθετική ή τριγωνομετρική συνάρτηση ή κάποιος συνδυασμός αυτών των συναρτήσεων. Σε αυτή την περίπτωση, είναι πιο βολικό να βρείτε μια λύση χρησιμοποιώντας μέθοδος αβέβαιων συντελεστών. Το τονίζουμε αυτό αυτή τη μέθοδολειτουργεί μόνο για μια περιορισμένη κατηγορία συναρτήσεων στη δεξιά πλευρά, όπως π.χ Και στις δύο περιπτώσεις, η επιλογή μιας συγκεκριμένης λύσης πρέπει να αντιστοιχεί στη δομή της δεξιάς πλευράς της ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης. Στην περίπτωση 1, εάν ο αριθμός α στην εκθετική συνάρτηση συμπίπτει με τη ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης, τότε η συγκεκριμένη λύση θα περιέχει έναν επιπλέον παράγοντα Χ μικρό, όπου μικρό− πολλαπλότητα της ρίζας α στη χαρακτηριστική εξίσωση. Στην περίπτωση 2, αν ο αριθμός α + βiσυμπίπτει με τη ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης, τότε η έκφραση για τη συγκεκριμένη λύση θα περιέχει έναν πρόσθετο παράγοντα Χ. Άγνωστοι συντελεστές μπορούν να προσδιοριστούν αντικαθιστώντας την ευρεθείσα έκφραση για μια συγκεκριμένη λύση στην αρχική ανομοιογενή διαφορική εξίσωση. Αρχή υπέρθεσης Αν η δεξιά πλευρά της ανομοιογενούς εξίσωσης είναι ποσόδιάφορες λειτουργίες της φόρμας τότε η συγκεκριμένη λύση της διαφορικής εξίσωσης θα είναι επίσης το άθροισμα συγκεκριμένων λύσεων που κατασκευάζονται χωριστά για κάθε όρο στη δεξιά πλευρά.

Παράδειγμα 1

Επίλυση διαφορικής εξίσωσης y"" + y= αμαρτία (2 Χ). Λύση. Λύνουμε πρώτα την αντίστοιχη ομοιογενή εξίσωση y"" + y= 0. Σε αυτή η υπόθεσηοι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι καθαρά φανταστικές: Επομένως, η γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης δίνεται από το Ας επιστρέψουμε ξανά στην ανομοιογενή εξίσωση. Θα αναζητήσουμε τη λύση του στη μορφή χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μεταβολής των σταθερών. Λειτουργίες ντο 1 (Χ) και ντο 2 (Χ) μπορεί να βρεθεί από επόμενο σύστημαεξισώσεις: Εκφράζουμε την παράγωγο ντο 1 " (Χ) από την πρώτη εξίσωση: Αντικαθιστώντας στη δεύτερη εξίσωση, βρίσκουμε την παράγωγο ντο 2 " (Χ): Ως εκ τούτου προκύπτει ότι Ολοκλήρωση παραστάσεων για παράγωγα ντο 1 " (Χ) και ντο 2 " (Χ), παίρνουμε: όπου ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 2 − σταθερές ολοκλήρωσης. Τώρα αντικαθιστούμε τις συναρτήσεις που βρέθηκαν ντο 1 (Χ) και ντο 2 (Χ) στον τύπο για y 1 (Χ) και γράψτε τη γενική λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης:

Παράδειγμα 2

Βρείτε μια γενική λύση της εξίσωσης y"" + y" −6y = 36Χ. Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών. Δεξί μέρος ανά δεδομένη εξίσωσηαντιπροσωπεύει γραμμική συνάρτηση φά(Χ)= τσεκούρι + β. Επομένως, θα αναζητήσουμε μια συγκεκριμένη λύση στη φόρμα Τα παράγωγα είναι: Αντικαθιστώντας αυτό στη διαφορική εξίσωση, παίρνουμε: Η τελευταία εξίσωση είναι ταυτότητα, ισχύει δηλαδή για όλους Χ, οπότε εξισώνουμε τους συντελεστές των όρων με τις ίδιες δυνάμεις Χστην αριστερή και δεξιά πλευρά: Από το σύστημα που προκύπτει βρίσκουμε: ΕΝΑ = −6, σι= −1. Ως αποτέλεσμα, η συγκεκριμένη λύση γράφεται στη φόρμα Ας βρούμε τώρα τη γενική λύση της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης. Ας υπολογίσουμε τις ρίζες της βοηθητικής χαρακτηριστικής εξίσωσης: Επομένως, η γενική λύση της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης έχει τη μορφή: Άρα, η γενική λύση της αρχικής ανομοιογενούς εξίσωσης εκφράζεται με τον τύπο

Γενικό ολοκλήρωμα ΔΕ.

Επίλυση διαφορικής εξίσωσης

Αλλά το αστείο είναι ότι η απάντηση είναι ήδη γνωστή:, πιο συγκεκριμένα, πρέπει να προσθέσουμε και μια σταθερά: Το γενικό ολοκλήρωμα είναι μια λύση στη διαφορική εξίσωση.

Μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών. Παραδείγματα λύσεων

Η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών χρησιμοποιείται για την επίλυση ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων. Αυτό το μάθημα προορίζεται για εκείνους τους μαθητές που γνωρίζουν ήδη λίγο πολύ καλά το θέμα. Εάν μόλις αρχίζετε να εξοικειωθείτε με το τηλεχειριστήριο, π.χ. Εάν είστε τσαγιέρα, προτείνω να ξεκινήσετε με το πρώτο μάθημα: Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Παραδείγματα λύσεων. Και αν τελειώνετε ήδη, απορρίψτε την πιθανή προκαταλήψεις ότι η μέθοδος είναι δύσκολη. Γιατί είναι απλός.

Σε ποιες περιπτώσεις χρησιμοποιείται η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών;

1) Για την επίλυση μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς γραμμική ανομοιογενής ΔΕ 1ης τάξης. Εφόσον η εξίσωση είναι πρώτης τάξης, τότε η σταθερά (σταθερά) είναι επίσης μία.

2) Η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών χρησιμοποιείται για την επίλυση ορισμένων γραμμικές ανομοιογενείς εξισώσεις δεύτερης τάξης. Εδώ, δύο σταθερές (σταθερές) ποικίλλουν.

Είναι λογικό να υποθέσουμε ότι το μάθημα θα αποτελείται από δύο παραγράφους .... Έγραψα αυτήν την πρόταση και για περίπου 10 λεπτά σκεφτόμουν με οδυνηρά τρόπο τι άλλο έξυπνο χάλι να προσθέσω για μια ομαλή μετάβαση σε πρακτικά παραδείγματα. Αλλά για κάποιο λόγο δεν υπάρχουν σκέψεις μετά τις γιορτές, αν και φαίνεται ότι δεν κατάχρασα τίποτα. Ας μεταβούμε λοιπόν κατευθείαν στην πρώτη παράγραφο.

Μέθοδος αυθαίρετης σταθερής μεταβολής για μια γραμμική ανομοιογενή εξίσωση πρώτης τάξης

Πριν εξετάσετε τη μέθοδο μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς, είναι επιθυμητό να εξοικειωθείτε με το άρθρο Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Σε εκείνο το μάθημα εξασκηθήκαμε πρώτος τρόπος επίλυσηςανομοιογενής ΔΕ 1ης τάξης. Αυτή η πρώτη λύση, θυμίζω, λέγεται μέθοδος αντικατάστασηςή Μέθοδος Bernoulli(δεν πρέπει να συγχέεται με Εξίσωση Bernoulli!!!)

Θα εξετάσουμε τώρα δεύτερος τρόπος επίλυσης– μέθοδος μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς. Θα δώσω μόνο τρία παραδείγματα και θα τα πάρω από το παραπάνω μάθημα. Γιατί τόσο λίγοι; Γιατί στην πραγματικότητα η λύση με τον δεύτερο τρόπο θα μοιάζει πολύ με τη λύση με τον πρώτο τρόπο. Επιπλέον, σύμφωνα με τις παρατηρήσεις μου, η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών χρησιμοποιείται λιγότερο συχνά από τη μέθοδο αντικατάστασης.

Παράδειγμα 1

Βρείτε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (Διαφορά από το Παράδειγμα Νο. 2 του μαθήματος Γραμμική ανομοιογενής ΔΕ 1ης τάξης)

Λύση:Αυτή η εξίσωση είναι γραμμική ανομοιογενής και έχει μια γνωστή μορφή:

Στο πρώτο στάδιο, είναι απαραίτητο να λύσουμε μια απλούστερη εξίσωση: Δηλαδή, ηλίθια θέτουμε τη δεξιά πλευρά στο μηδέν - αντίθετα γράφουμε μηδέν. Η εξίσωση που θα ονομάσω βοηθητική εξίσωση.

Σε αυτό το παράδειγμα, πρέπει να λύσετε την ακόλουθη βοηθητική εξίσωση:

Πριν από εμάς διαχωρίσιμη εξίσωση, η λύση του οποίου (ελπίζω) να μην είναι πλέον δύσκολη για εσάς:

Έτσι: είναι η γενική λύση της βοηθητικής εξίσωσης .

Στο δεύτερο σκαλοπάτι αντικαθιστώμια σταθερά ορισμένων Ακόμηάγνωστη συνάρτηση που εξαρτάται από το "x":

Εξ ου και το όνομα της μεθόδου - μεταβάλλουμε τη σταθερά . Εναλλακτικά, η σταθερά μπορεί να είναι κάποια συνάρτηση που πρέπει να βρούμε τώρα.

ΣΤΟ πρωτότυπομη ομοιογενής εξίσωση, θα κάνουμε την αντικατάσταση:

Αντικαταστήστε στην εξίσωση:

στιγμή ελέγχου - οι δύο όροι στην αριστερή πλευρά ακυρώνονται. Εάν αυτό δεν συμβεί, θα πρέπει να αναζητήσετε το παραπάνω σφάλμα.

Ως αποτέλεσμα της αντικατάστασης, προκύπτει μια εξίσωση με διαχωρίσιμες μεταβλητές. Διαχωρίστε τις μεταβλητές και ενσωματώστε.

Τι ευλογία, οι εκθέτες συρρικνώνονται επίσης:

Προσθέτουμε μια «κανονική» σταθερά στη συνάρτηση που βρέθηκε:

Στο τελικό στάδιο, υπενθυμίζουμε τον αντικαταστάτη μας:

Η λειτουργία μόλις βρέθηκε!

Η γενική λύση λοιπόν είναι:

Απάντηση:κοινή απόφαση:

Εάν εκτυπώσετε τις δύο λύσεις, θα παρατηρήσετε εύκολα ότι και στις δύο περιπτώσεις βρήκαμε τα ίδια ολοκληρώματα. Η μόνη διαφορά είναι στον αλγόριθμο επίλυσης.

Τώρα κάτι πιο περίπλοκο, θα σχολιάσω και το δεύτερο παράδειγμα:

Παράδειγμα 2

Βρείτε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (Διάφορα από το Παράδειγμα Νο. 8 του μαθήματος Γραμμική ανομοιογενής ΔΕ 1ης τάξης)

Λύση:Ας φέρουμε την εξίσωση στη μορφή:

Μηδενίστε τη δεξιά πλευρά και λύστε τη βοηθητική εξίσωση:

Διαχωρίστε τις μεταβλητές και ενσωματώστε: Γενική λύση της βοηθητικής εξίσωσης:

Στην ανομοιογενή εξίσωση, θα κάνουμε την αντικατάσταση:

Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντων:

Αντικαταστήστε και στην αρχική ανομοιογενή εξίσωση:

Οι δύο όροι στην αριστερή πλευρά ακυρώνονται, πράγμα που σημαίνει ότι είμαστε στο σωστό δρόμο:

Ενσωματώνουμε με ανταλλακτικά. Ένα νόστιμο γράμμα από τον τύπο για την ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα περιλαμβάνεται ήδη στη λύση, επομένως χρησιμοποιούμε, για παράδειγμα, τα γράμματα "a" και "be":

Τελικά:

Ας δούμε τώρα την αντικατάσταση:

Απάντηση:κοινή απόφαση:

Μέθοδος Μεταβολής Αυθαίρετων Σταθερών για μια γραμμική ανομοιογενή εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές

Συχνά ακούγεται η άποψη ότι η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών για μια εξίσωση δεύτερης τάξης δεν είναι εύκολη υπόθεση. Υποθέτω όμως το εξής: πιθανότατα, η μέθοδος φαίνεται δύσκολη σε πολλούς, αφού δεν είναι τόσο διαδεδομένη. Αλλά στην πραγματικότητα, δεν υπάρχουν ιδιαίτερες δυσκολίες - η πορεία της απόφασης είναι σαφής, διαφανής και κατανοητή. Και όμορφη.

Για να κυριαρχήσετε τη μέθοδο, είναι επιθυμητό να μπορείτε να λύσετε ανομοιογενείς εξισώσεις δεύτερης τάξης επιλέγοντας μια συγκεκριμένη λύση σύμφωνα με τη μορφή της δεξιάς πλευράς. Αυτή η μέθοδοςσυζητείται λεπτομερώς στο άρθρο. Ανομοιογενής ΔΕ 2ης τάξης. Υπενθυμίζουμε ότι μια δεύτερης τάξης γραμμική ανομοιογενής εξίσωση με σταθερούς συντελεστές έχει τη μορφή:

Η μέθοδος επιλογής, η οποία εξετάστηκε στο παραπάνω μάθημα, λειτουργεί μόνο σε περιορισμένο αριθμό περιπτώσεων, όταν πολυώνυμα, εκθέτες, ημίτονο, συνημίτονα βρίσκονται στη δεξιά πλευρά. Αλλά τι να κάνουμε όταν στα δεξιά, για παράδειγμα, ένα κλάσμα, λογάριθμος, εφαπτομένη; Σε μια τέτοια κατάσταση, η μέθοδος μεταβολής των σταθερών έρχεται στη διάσωση.

Παράδειγμα 4

Να βρείτε τη γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης

Λύση:Υπάρχει ένα κλάσμα στη δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης, οπότε μπορούμε να πούμε αμέσως ότι η μέθοδος επιλογής μιας συγκεκριμένης λύσης δεν λειτουργεί. Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο μεταβολής αυθαίρετων σταθερών.

Τίποτα δεν προμηνύει μια καταιγίδα, η αρχή της λύσης είναι αρκετά συνηθισμένη:

Ας βρούμε κοινή απόφασηαντίστοιχος ομοιογενήςεξισώσεις:

Συνθέτουμε και λύνουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση: – λαμβάνονται συζευγμένες σύνθετες ρίζες, οπότε η γενική λύση είναι:

Δώστε προσοχή στην εγγραφή της γενικής λύσης - εάν υπάρχουν αγκύλες, ανοίξτε τις.

Τώρα κάνουμε σχεδόν το ίδιο κόλπο με την εξίσωση πρώτης τάξης: μεταβάλλουμε τις σταθερές, αντικαθιστώντας τις με άγνωστες συναρτήσεις. Αυτό είναι, γενική λύση του ανομοιογενούςΘα αναζητήσουμε εξισώσεις με τη μορφή:

Οπου - Ακόμηάγνωστες λειτουργίες.

Μοιάζει με σκουπιδότοπο, αλλά τώρα θα τακτοποιήσουμε τα πάντα.

Οι παράγωγοι συναρτήσεων λειτουργούν ως άγνωστες. Στόχος μας είναι να βρούμε παραγώγους και οι ευρεθείσες παράγωγοι πρέπει να ικανοποιούν τόσο την πρώτη όσο και τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος.

Από πού προέρχονται τα «παιχνίδια»; Τα φέρνει ο πελαργός. Εξετάζουμε τη γενική λύση που ελήφθη προηγουμένως και γράφουμε:

Ας βρούμε παράγωγα:

Ασχολήθηκε με την αριστερή πλευρά. Τι είναι στα δεξιά;

είναι η δεξιά πλευρά της αρχικής εξίσωσης, σε αυτήν την περίπτωση:

Η διάλεξη πραγματεύεται LNDE - γραμμικές ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις. Θεωρείται η δομή της γενικής λύσης, η λύση της LNDE με τη μέθοδο της μεταβολής αυθαίρετων σταθερών, η λύση της LNDE με σταθερούς συντελεστές και η δεξιά πλευρά ιδιαίτερο είδος. Τα θέματα που εξετάζονται χρησιμοποιούνται στη μελέτη των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων στη φυσική, την ηλεκτρολογία και την ηλεκτρονική και τη θεωρία του αυτόματου ελέγχου.

1. Η δομή της γενικής λύσης γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης 2ης τάξης.

Ας εξετάσουμε πρώτα μια γραμμική ανομοιογενή εξίσωση αυθαίρετης τάξης:

Δεδομένου του συμβολισμού, μπορούμε να γράψουμε:

Σε αυτή την περίπτωση, θα υποθέσουμε ότι οι συντελεστές και η δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης είναι συνεχείς σε ένα συγκεκριμένο διάστημα.

Θεώρημα. Η γενική λύση μιας γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης σε κάποιο τομέα είναι το άθροισμα οποιασδήποτε από τις λύσεις της και η γενική λύση της αντίστοιχης γραμμικής ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης.

Απόδειξη.Έστω Y κάποια λύση ανομοιογενούς εξίσωσης.

Στη συνέχεια, αντικαθιστώντας αυτή τη λύση στην αρχική εξίσωση, λαμβάνουμε την ταυτότητα:

Αφήνω
- θεμελιώδες σύστημαλύσεις της γραμμικής ομογενούς εξίσωσης
. Τότε η γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης μπορεί να γραφτεί ως:

Ειδικότερα, για μια γραμμική ανομοιογενή διαφορική εξίσωση 2ης τάξης, η δομή της γενικής λύσης έχει τη μορφή:

όπου
είναι το θεμελιώδες σύστημα λύσεων της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης, και
- οποιαδήποτε συγκεκριμένη λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης.

Έτσι, για να λυθεί μια γραμμική ανομοιογενής διαφορική εξίσωση, είναι απαραίτητο να βρεθεί μια γενική λύση της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης και με κάποιο τρόπο να βρεθεί μια συγκεκριμένη λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης. Συνήθως βρίσκεται με επιλογή. Οι μέθοδοι επιλογής μιας συγκεκριμένης λύσης θα εξεταστούν στις ακόλουθες ερωτήσεις.

2. Μέθοδος παραλλαγής

Στην πράξη, είναι βολικό να εφαρμόζεται η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών.

Για να το κάνετε αυτό, βρείτε πρώτα τη γενική λύση της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης με τη μορφή:

Στη συνέχεια, ορίζοντας τους συντελεστές ντο Εγώλειτουργίες από Χ, αναζητείται η λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης:

Μπορεί να φανεί ότι για να βρεθούν οι συναρτήσεις ντο Εγώ (Χ) πρέπει να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων:

Παράδειγμα.λύσει την εξίσωση

Λύνουμε μια γραμμική ομοιογενή εξίσωση

Η λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης θα μοιάζει με:

Συνθέτουμε ένα σύστημα εξισώσεων:

Ας λύσουμε αυτό το σύστημα:

Από τη σχέση βρίσκουμε τη συνάρτηση Ω).

Τώρα βρίσκουμε Β(χ).

Αντικαθιστούμε τις λαμβανόμενες τιμές στον τύπο για τη γενική λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης:

Τελική απάντηση:

Σε γενικές γραμμές, η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών είναι κατάλληλη για την εύρεση λύσεων σε οποιαδήποτε γραμμική ανομοιογενή εξίσωση. Αλλά από τότε Η εύρεση του θεμελιώδους συστήματος λύσεων της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης μπορεί να είναι αρκετά δύσκολη υπόθεση, αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται κυρίως για μη ομοιογενείς εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές.

3. Εξισώσεις με σωστη πλευραιδιαίτερο είδος

Φαίνεται δυνατό να αναπαραστήσουμε τη μορφή μιας συγκεκριμένης λύσης ανάλογα με τη μορφή της δεξιάς πλευράς της ανομοιογενούς εξίσωσης.

Υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις:

I. Η δεξιά πλευρά της γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης έχει τη μορφή:

όπου είναι ένα πολυώνυμο βαθμού Μ.

Στη συνέχεια αναζητείται μια συγκεκριμένη λύση με τη μορφή:

Εδώ Q(Χ) είναι πολυώνυμο του ίδιου βαθμού με Π(Χ) , αλλά με απροσδιόριστους συντελεστές, και r- έναν αριθμό που δείχνει πόσες φορές ο αριθμός  είναι η ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης για την αντίστοιχη γραμμική ομοιογενή διαφορική εξίσωση.

Παράδειγμα.λύσει την εξίσωση
.

Λύνουμε την αντίστοιχη ομοιογενή εξίσωση:

Τώρα ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση της αρχικής ανομοιογενούς εξίσωσης.

Ας συγκρίνουμε τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης με τη μορφή της δεξιάς πλευράς που συζητήθηκε παραπάνω.

Αναζητούμε μια συγκεκριμένη λύση με τη μορφή:
, όπου

Εκείνοι.

Τώρα ορίζουμε τους άγνωστους συντελεστές ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ.

Ας αντικαταστήσουμε μια συγκεκριμένη λύση σε γενική μορφή στην αρχική ανομοιογενή διαφορική εξίσωση.

Λοιπόν, μια ιδιωτική λύση:

Τότε η γενική λύση της γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης:

II. Η δεξιά πλευρά της γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης έχει τη μορφή:

Εδώ R 1 (Χ)και R 2 (Χ)είναι πολυώνυμα βαθμού Μ 1 και Μ 2 αντίστοιχα.

Τότε η συγκεκριμένη λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης θα έχει τη μορφή:

όπου αριθμός rδείχνει πόσες φορές ένας αριθμός
είναι η ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης για την αντίστοιχη ομοιογενή εξίσωση, και Q 1 (Χ) και Q 2 (Χ) – πολυώνυμα βαθμού το πολύ Μ, όπου Μ- το μεγαλύτερο από τα πτυχία Μ 1 και Μ 2 .

Συνοπτικός πίνακας τύπων συγκεκριμένων λύσεων

για διαφορετικά είδη σωστών εξαρτημάτων

	Η δεξιά πλευρά της διαφορικής εξίσωσης	χαρακτηριστική εξίσωση	Τύποι ιδιωτικών
		1. Ο αριθμός δεν είναι η ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης
		2. Ο αριθμός είναι η ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης πολλαπλότητας
		1. Αριθμός δεν είναι ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης
		2. Αριθμός είναι η ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης πολλαπλότητας
		1. Αριθμοί
		2. Αριθμοί είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης πολλαπλότητας
		1. Αριθμοί δεν είναι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης πολλαπλότητας
		2. Αριθμοί είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης πολλαπλότητας

Σημειώστε ότι εάν η δεξιά πλευρά της εξίσωσης είναι ένας συνδυασμός παραστάσεων της μορφής που εξετάστηκε παραπάνω, τότε η λύση βρίσκεται ως συνδυασμός λύσεων βοηθητικών εξισώσεων, καθεμία από τις οποίες έχει μια δεξιά πλευρά που αντιστοιχεί στην παράσταση που περιλαμβάνεται στον συνδυασμό.

Εκείνοι. αν η εξίσωση μοιάζει με:
, τότε μια συγκεκριμένη λύση αυτής της εξίσωσης θα είναι
όπου στο 1 και στο 2 είναι ιδιαίτερες λύσεις βοηθητικών εξισώσεων

και

Για να το καταλάβουμε, ας λύσουμε το παραπάνω παράδειγμα με διαφορετικό τρόπο.

Παράδειγμα.λύσει την εξίσωση

Αντιπροσωπεύουμε τη δεξιά πλευρά της διαφορικής εξίσωσης ως το άθροισμα δύο συναρτήσεων φά 1 (Χ) + φά 2 (Χ) = Χ + (- αμαρτία Χ).

Συνθέτουμε και λύνουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση:

Παίρνουμε: δηλ.

Σύνολο:

Εκείνοι. η επιθυμητή συγκεκριμένη λύση έχει τη μορφή:

Η γενική λύση της ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης:

Ας εξετάσουμε παραδείγματα εφαρμογής των περιγραφόμενων μεθόδων.

Παράδειγμα 1..λύσει την εξίσωση

Ας συνθέσουμε μια χαρακτηριστική εξίσωση για την αντίστοιχη γραμμική ομοιογενή διαφορική εξίσωση:

Τώρα βρίσκουμε μια συγκεκριμένη λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης με τη μορφή:

Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών.

Αντικαθιστώντας την αρχική εξίσωση, παίρνουμε:

Η συγκεκριμένη λύση μοιάζει με:

Η γενική λύση της γραμμικής ανομοιογενούς εξίσωσης:

Παράδειγμα.λύσει την εξίσωση

Χαρακτηριστική εξίσωση:

Η γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης:

Ειδική λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης:
.

Βρίσκουμε τις παραγώγους και τις αντικαθιστούμε στην αρχική ανομοιογενή εξίσωση:

Λαμβάνουμε τη γενική λύση της ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης:

Αυτό το άρθρο αποκαλύπτει το ζήτημα της επίλυσης γραμμικών μη ομοιογενών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Η θεωρία θα εξεταστεί μαζί με παραδείγματα των δεδομένων προβλημάτων. Για την αποκρυπτογράφηση ακατανόητων όρων, είναι απαραίτητο να αναφερθούμε στο θέμα των βασικών ορισμών και εννοιών της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων.

Θεωρήστε μια γραμμική διαφορική εξίσωση (LDE) δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές της μορφής y "" + p y " + q y \u003d f (x) , όπου p και q είναι αυθαίρετοι αριθμοί και η υπάρχουσα συνάρτηση f (x) είναι συνεχής στο διάστημα ολοκλήρωσης x .

Ας περάσουμε στη διατύπωση του γενικού θεωρήματος λύσης για το LIDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Γενικό θεώρημα λύσης για LDNU

Θεώρημα 1

Η γενική λύση, που βρίσκεται στο διάστημα x, μιας ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης της μορφής y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) με συνεχείς συντελεστές ολοκλήρωσης στο x διάστημα f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) και συνεχής λειτουργίαΗ f (x) ισούται με το άθροισμα της γενικής λύσης y 0 , που αντιστοιχεί στη LODE και σε κάποια συγκεκριμένη λύση y ~ , όπου η αρχική ανομοιογενής εξίσωση είναι y = y 0 + y ~ .

Αυτό δείχνει ότι η λύση μιας τέτοιας εξίσωσης δεύτερης τάξης έχει τη μορφή y = y 0 + y ~ . Ο αλγόριθμος για την εύρεση του y 0 εξετάζεται στο άρθρο για τις γραμμικές ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Μετά από αυτό, θα πρέπει να προχωρήσουμε στον ορισμό του y ~ .

Η επιλογή μιας συγκεκριμένης λύσης στο LIDE εξαρτάται από τον τύπο της διαθέσιμης συνάρτησης f (x) που βρίσκεται στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης. Για αυτό, είναι απαραίτητο να εξεταστούν χωριστά οι λύσεις γραμμικών ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.

Όταν η f (x) θεωρείται ότι είναι πολυώνυμο του n βαθμού f (x) = P n (x) , προκύπτει ότι μια συγκεκριμένη λύση του LIDE βρίσκεται από έναν τύπο της μορφής y ~ = Q n (x ) x γ , όπου Q n ( x) είναι πολυώνυμο βαθμού n, r είναι ο αριθμός των μηδενικών ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Η τιμή του y ~ είναι μια συγκεκριμένη λύση y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , τότε οι διαθέσιμοι συντελεστές, οι οποίοι ορίζονται από το πολυώνυμο
Q n (x) , βρίσκουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών από την ισότητα y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Παράδειγμα 1

Υπολογίστε χρησιμοποιώντας το θεώρημα Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Λύση

Με άλλα λόγια, είναι απαραίτητο να περάσουμε σε μια συγκεκριμένη λύση μιας γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές y "" - 2 y " = x 2 + 1 , η οποία θα ικανοποιεί τις δεδομένες συνθήκες y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Η γενική λύση μιας γραμμικής ανομοιογενούς εξίσωσης είναι το άθροισμα της γενικής λύσης που αντιστοιχεί στην εξίσωση y 0 ή σε μια συγκεκριμένη λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης y ~ , δηλαδή y = y 0 + y ~ .

Πρώτα, ας βρούμε μια γενική λύση για το LNDE, και μετά μια συγκεκριμένη.

Ας προχωρήσουμε στην εύρεση του y 0 . Η σύνταξη της χαρακτηριστικής εξίσωσης θα σας βοηθήσει να βρείτε τις ρίζες. Το καταλαβαίνουμε

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

Βρήκαμε ότι οι ρίζες είναι διαφορετικές και πραγματικές. Ως εκ τούτου, γράφουμε

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

Ας βρούμε το y ~ . Μπορεί να φανεί ότι η δεξιά πλευρά της δεδομένης εξίσωσης είναι ένα πολυώνυμο του δεύτερου βαθμού, τότε μία από τις ρίζες είναι ίση με μηδέν. Από εδώ παίρνουμε ότι μια συγκεκριμένη λύση για το y ~ θα είναι

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, όπου οι τιμές των A, B, C πάρτε απροσδιόριστους συντελεστές.

Ας τα βρούμε από μια ισότητα της μορφής y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Τότε παίρνουμε ότι:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Εξισώνοντας τους συντελεστές με τους ίδιους εκθέτες x , παίρνουμε ένα σύστημα γραμμικών παραστάσεων - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Όταν λύνουμε με οποιονδήποτε από τους τρόπους, βρίσκουμε τους συντελεστές και γράφουμε: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 και y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Αυτή η καταχώρηση ονομάζεται γενική λύση της αρχικής γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.

Για να βρεθεί μια συγκεκριμένη λύση που να ικανοποιεί τις συνθήκες y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , απαιτείται ο προσδιορισμός των τιμών Γ1και Γ2, με βάση μια ισότητα της μορφής y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Καταλαβαίνουμε ότι:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Δουλεύουμε με το προκύπτον σύστημα εξισώσεων της μορφής C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , όπου C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

Εφαρμόζοντας το θεώρημα Cauchy, έχουμε αυτό

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Απάντηση: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Όταν η συνάρτηση f (x) παριστάνεται ως γινόμενο ενός πολυωνύμου με βαθμό n και εκθέτη f (x) = P n (x) e a x, τότε από εδώ προκύπτει ότι μια συγκεκριμένη λύση του LIDE δεύτερης τάξης θα είναι μια εξίσωση της μορφής y ~ = e a x Q n ( x) · x γ , όπου Q n (x) είναι πολυώνυμο n ου βαθμού, και r είναι ο αριθμός των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης ίσος με α .

Οι συντελεστές που ανήκουν στο Q n (x) βρίσκονται με την ισότητα y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Παράδειγμα 2

Να βρείτε τη γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης της μορφής y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Λύση

Η εξίσωση γενική εικόνα y = y 0 + y ~ . Καθορισμένη εξίσωσηαντιστοιχεί στο LOD y "" - 2 y " = 0. Το προηγούμενο παράδειγμα δείχνει ότι οι ρίζες του είναι ίσες με k1 = 0και k 2 = 2 και y 0 = C 1 + C 2 e 2 x σύμφωνα με τη χαρακτηριστική εξίσωση.

Φαίνεται ότι η δεξιά πλευρά της εξίσωσης είναι x 2 + 1 · e x . Από εδώ, το LNDE βρίσκεται μέσω y ~ = e a x Q n (x) x γ , όπου Q n (x) , που είναι πολυώνυμο δεύτερου βαθμού, όπου α = 1 και r = 0 , επειδή η χαρακτηριστική εξίσωση δεν έχουν ρίζα ίση με 1 . Ως εκ τούτου το καταλαβαίνουμε

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .

Οι A, B, C είναι άγνωστοι συντελεστές, οι οποίοι μπορούν να βρεθούν από την ισότητα y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .

Το κατάλαβα

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Εξισώνουμε τους δείκτες για τους ίδιους συντελεστές και παίρνουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Από εδώ βρίσκουμε τα Α, Β, Γ:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Απάντηση:μπορεί να φανεί ότι y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 είναι μια συγκεκριμένη λύση του LIDE, και y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

Όταν η συνάρτηση γράφεται ως f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x , και Α'1και ΣΕ 1είναι αριθμοί, τότε μια εξίσωση της μορφής y ~ = A cos β x + B sin β x x γ , όπου τα Α και Β θεωρούνται αόριστοι συντελεστές, και r ο αριθμός των μιγαδικών συζυγών ριζών που σχετίζονται με τη χαρακτηριστική εξίσωση, ίσος με ± i β . Στην περίπτωση αυτή, η αναζήτηση συντελεστών πραγματοποιείται με την ισότητα y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Παράδειγμα 3

Να βρείτε τη γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης της μορφής y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Λύση

Πριν γράψουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση, βρίσκουμε y 0 . Επειτα

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i

Έχουμε ένα ζευγάρι σύνθετων συζυγών ριζών. Ας μεταμορφωθούμε και πάρουμε:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Οι ρίζες από τη χαρακτηριστική εξίσωση θεωρούνται συζευγμένο ζεύγος ± 2 i , τότε f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Αυτό δείχνει ότι η αναζήτηση για y ~ θα γίνει από y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Άγνωστα Οι συντελεστές Α και Β θα αναζητηθούν από μια ισότητα της μορφής y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Ας μεταμορφώσουμε:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Τότε φαίνεται ότι

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

Είναι απαραίτητο να εξισωθούν οι συντελεστές ημιτόνων και συνημιτόνων. Παίρνουμε ένα σύστημα της μορφής:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Έπεται ότι y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .

Απάντηση:η γενική λύση του αρχικού LIDE δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές θεωρείται ότι είναι

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Όταν f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , τότε y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x ) cos (β x) x γ Έχουμε ότι r είναι ο αριθμός των μιγαδικών συζυγών ζευγών ριζών που σχετίζονται με τη χαρακτηριστική εξίσωση, ίσος με α ± i β , όπου P n (x) , Q k (x) , L m ( x) και N m (x)είναι πολυώνυμα βαθμού n, k, m, όπου m = m a x (n, k). Εύρεση συντελεστών L m (x)και N m (x)παράγεται με βάση την ισότητα y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Παράδειγμα 4

Να βρείτε τη γενική λύση y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Λύση

Είναι σαφές από την προϋπόθεση ότι

α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

Τότε m = m a x (n , k) = 1 . Βρίσκουμε το y 0 γράφοντας πρώτα τη χαρακτηριστική εξίσωση της μορφής:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Βρήκαμε ότι οι ρίζες είναι πραγματικές και διακριτές. Επομένως y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Στη συνέχεια, είναι απαραίτητο να αναζητήσουμε μια γενική λύση που βασίζεται σε μια ανομοιογενή εξίσωση y ~ της μορφής

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

Είναι γνωστό ότι τα Α, Β, Γ είναι συντελεστές, r = 0, γιατί δεν υπάρχει ζεύγος συζυγών ριζών που να σχετίζονται με τη χαρακτηριστική εξίσωση με α ± i β = 3 ± 5 · i . Αυτοί οι συντελεστές βρίσκονται από την ισότητα που προκύπτει:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + Δ) αμαρτία (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) αμαρτία (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Εύρεση της παραγώγου και παρόμοιους όρουςδίνει

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

Αφού εξισώσουμε τους συντελεστές, παίρνουμε ένα σύστημα της μορφής

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Από όλα προκύπτει ότι

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1) αμαρτία (5x))

Απάντηση:τώρα έχει ληφθεί η γενική λύση της δεδομένης γραμμικής εξίσωσης:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) αμαρτία (5 x))

Αλγόριθμος επίλυσης LDNU

Ορισμός 1

Οποιοδήποτε άλλο είδος συνάρτησης f (x) για τη λύση παρέχει τον αλγόριθμο λύσης:

• βρίσκοντας τη γενική λύση της αντίστοιχης γραμμικής ομογενούς εξίσωσης, όπου y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , όπου y 1και y2είναι γραμμικά ανεξάρτητες συγκεκριμένες λύσεις του LODE, Από 1και Από 2θεωρούνται αυθαίρετες σταθερές.
• αποδοχή ως γενική λύση του LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• ορισμός παραγώγων μιας συνάρτησης μέσω συστήματος της μορφής C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) , και εύρεση συναρτήσεων C 1 (x)και C 2 (x) μέσω ολοκλήρωσης.

Παράδειγμα 5

Βρείτε τη γενική λύση για το y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .

Λύση

Προχωράμε στη σύνταξη της χαρακτηριστικής εξίσωσης, έχοντας προηγουμένως γράψει y 0 , y "" + 36 y = 0 . Ας γράψουμε και ας λύσουμε:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = αμαρτία (6 x)

Έχουμε ότι η εγγραφή της γενικής λύσης της δεδομένης εξίσωσης θα πάρει τη μορφή y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . Είναι απαραίτητο να περάσουμε στον ορισμό των παραγώγων συναρτήσεων C 1 (x)και C2(x)σύμφωνα με το σύστημα με εξισώσεις:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Πρέπει να ληφθεί απόφαση σχετικά C 1 "(x)και C2" (x)χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε μέθοδο. Στη συνέχεια γράφουμε:

C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Κάθε μία από τις εξισώσεις πρέπει να ενσωματωθεί. Στη συνέχεια γράφουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x αμαρτία (6 x) + C 4

Από αυτό προκύπτει ότι η γενική λύση θα έχει τη μορφή:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 αμαρτία (6 x)

Απάντηση: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter