Φασματική πυκνότητα. Βασική ορολογία στον τομέα των ψηφιακών επικοινωνιών

Στη στατιστική ραδιομηχανική και τη φυσική, κατά τη μελέτη ντετερμινιστικών σημάτων και τυχαίων διεργασιών, η φασματική τους αναπαράσταση με τη μορφή φασματικής πυκνότητας, η οποία βασίζεται στον μετασχηματισμό Fourier, χρησιμοποιείται ευρέως.

Εάν η διεργασία έχει πεπερασμένη ενέργεια και είναι τετραγωνικά ολοκληρωμένη (και αυτή είναι μια μη στάσιμη διαδικασία), τότε για μία υλοποίηση της διαδικασίας ο μετασχηματισμός Fourier μπορεί να οριστεί ως τυχαίος σύνθετη λειτουργίασυχνότητες:

X (f) = ∫ − ∞ ∞ x (t) e − i 2 π f t d t . (\displaystyle X(f)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )x(t)e^(-i2\pi ft)dt.)

(1)

Ωστόσο, αποδεικνύεται σχεδόν άχρηστο για την περιγραφή του συνόλου. Η διέξοδος από αυτήν την κατάσταση είναι να απορρίψουμε ορισμένες παραμέτρους του φάσματος, δηλαδή το φάσμα φάσης, και να κατασκευάσουμε μια συνάρτηση που χαρακτηρίζει την κατανομή της ενέργειας της διεργασίας κατά μήκος του άξονα συχνότητας. Στη συνέχεια, σύμφωνα με το θεώρημα του Parseval, η ενέργεια

E x = ∫ − ∞ ∞ | x(t) | 2 d t = ∫ − ∞ ∞ | X (στ) | 2 d f . (\displaystyle E_(x)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )|x(t)|^(2)dt=\int \limits _(-\infty )^(\infty ) |X(f)|^(2)df.)

(2)

Λειτουργία S x (f) = | X (στ) | 2 (\displaystyle S_(x)(f)=|X(f)|^(2))χαρακτηρίζει έτσι την κατανομή της ενέργειας υλοποίησης κατά μήκος του άξονα συχνότητας και ονομάζεται φασματική πυκνότηταεκτέλεση. Με τον μέσο όρο αυτής της συνάρτησης σε όλες τις υλοποιήσεις, μπορεί να ληφθεί η φασματική πυκνότητα της διαδικασίας.

Ας προχωρήσουμε τώρα στο στατικό με ευρεία έννοιακεντραρισμένη τυχαία διαδικασία x (t) (\displaystyle x(t)), των οποίων οι πραγματοποιήσεις με πιθανότητα 1 έχουν άπειρη ενέργεια και, επομένως, δεν έχουν μετασχηματισμό Fourier. Η φασματική πυκνότητα ισχύος μιας τέτοιας διαδικασίας μπορεί να βρεθεί με βάση το θεώρημα Wiener-Khinchin ως ο μετασχηματισμός Fourier του συνάρτηση συσχέτισης:

S x (f) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) e − i 2 π f τ d τ . (\displaystyle S_(x)(f)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )k_(x)(\tau)e^(-i2\pi f\tau )d\tau .)

(3)

Αν υπάρχει άμεση μετατροπή, τότε υπάρχει και ένας αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier, ο οποίος, σύμφωνα με τον γνωστό ορισμό, καθορίζει k x (τ) (\displaystyle k_(x)(\tau)):

k x (τ) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) e i 2 π f τ d f . (\displaystyle k_(x)(\tau)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )S_(x)(f)e^(i2\pi f\tau )df.)

(4)

Αν υποθέσουμε στους τύπους (3) και (4) αντίστοιχα f = 0 (\displaystyle f=0)Και τ = 0 (\displaystyle \tau =0), έχουμε

S x (0) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) d τ , (\displaystyle S_(x)(0)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )k_(x)(\tau )d\tau,)

(5)

σ x 2 = k x (0) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) d f . (\displaystyle \sigma _(x)^(2)=k_(x)(0)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )S_(x)(f)df.)

(6)

Ο τύπος (6) λαμβάνοντας υπόψη το (2) δείχνει ότι η διασπορά καθορίζει γεμάτη ενέργειαστατική τυχαία διαδικασία, η οποία είναι ίση με την περιοχή κάτω από την καμπύλη φασματικής πυκνότητας. Τιμή διαστάσεων S x (f) d f (\displaystyle S_(x)(f)df)μπορεί να ερμηνευθεί ως το κλάσμα της ενέργειας που συγκεντρώνεται σε ένα μικρό εύρος συχνοτήτων από f − d f / 2 (\displaystyle f-df/2)πριν f + d f / 2 (\displaystyle f+df/2). Αν εννοούμε με x (t) (\displaystyle x(t))τυχαίο ρεύμα (διακύμανση) ρεύμα ή τάση, μετά την τιμή S x (f) (\displaystyle S_(x)(f))θα έχει ενεργειακή διάσταση [V 2 /Hz] = [V 2 s]. Να γιατί S x (f) (\displaystyle S_(x)(f))μερικές φορές ονομάζεται ενεργειακό φάσμα. Στη βιβλιογραφία μπορείτε συχνά να βρείτε μια άλλη ερμηνεία: σ x 2 (\displaystyle \sigma _(x)^(2))– θεωρείται ως η μέση ισχύς που απελευθερώνεται από ρεύμα ή τάση σε αντίσταση 1 ohm. Ταυτόχρονα, η αξία S x (f) (\displaystyle S_(x)(f))που ονομάζεται φάσμα ισχύοςτυχαία διαδικασία.

Εγκυκλοπαιδικό YouTube

1 / 3

Φάσμα και φασματική πυκνότητα

Ορθογώνια φασματική πυκνότητα παλμού

Φασματική πυκνότητα τριγωνικού παλμού

Κατά τη μελέτη συστημάτων αυτόματου ελέγχου, είναι βολικό να χρησιμοποιείται ένα άλλο χαρακτηριστικό μιας στατικής τυχαίας διαδικασίας, που ονομάζεται φασματική πυκνότητα. Σε πολλές περιπτώσεις, ειδικά κατά τη μελέτη του μετασχηματισμού στατικών τυχαίων διεργασιών γραμμικά συστήματαέλεγχος, η φασματική πυκνότητα αποδεικνύεται πιο βολικό χαρακτηριστικό από τη συνάρτηση συσχέτισης. Η φασματική πυκνότητα μιας τυχαίας διαδικασίας ορίζεται ως ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης συσχέτισης, δηλ.

Αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του Euler, τότε το (9.52) μπορεί να αναπαρασταθεί ως

Επειδή περιττή συνάρτησητότε στην τελευταία παράσταση το δεύτερο ολοκλήρωμα είναι ίσο με μηδέν. Λαμβάνοντας υπόψη ότι η συνάρτηση είναι άρτια, παίρνουμε

Εφόσον από την (9.53) προκύπτει ότι

Έτσι, η φασματική πυκνότητα είναι πραγματική και ομοιόμορφη λειτουργίασυχνότητα o). Επομένως, στο γράφημα, η φασματική πυκνότητα είναι πάντα συμμετρική ως προς τον άξονα των τεταγμένων.

Εάν η φασματική πυκνότητα είναι γνωστή, τότε χρησιμοποιώντας τον τύπο αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier μπορείτε να βρείτε την αντίστοιχη συνάρτηση συσχέτισης:

Χρησιμοποιώντας τα (9.55) και (9.38), μπορούμε να δημιουργήσουμε μια σημαντική σχέση μεταξύ της διασποράς και της φασματικής πυκνότητας μιας τυχαίας διαδικασίας:

Ο όρος «φασματική πυκνότητα» οφείλει την προέλευσή του στη θεωρία ηλεκτρικές δονήσεις. Η φυσική έννοια της φασματικής πυκνότητας μπορεί να εξηγηθεί ως εξής.

Έστω η τάση που εφαρμόζεται σε μια ωμική αντίσταση 1 Ohm, τότε η μέση ισχύς που διαχέεται σε αυτήν την αντίσταση με την πάροδο του χρόνου είναι ίση με

Αν αυξήσουμε το διάστημα παρατήρησης σε άπειρα όρια και χρησιμοποιήσουμε (9,30), (9,38) και (9,55) τότε μπορούμε να γράψουμε τον τύπο για τη μέση ισχύ ως εξής:

Η ισότητα (9,57) δείχνει ότι η μέση ισχύς σήματος μπορεί να αναπαρασταθεί ως άπειρο άθροισμααπειροελάχιστοι όροι, που εκτείνεται σε όλες τις συχνότητες από το 0 έως το

Κάθε στοιχειώδης όρος αυτού του αθροίσματος παίζει το ρόλο της ισχύος που αντιστοιχεί σε ένα απειροελάχιστο τμήμα του φάσματος, που περιέχεται στην περιοχή από έως. Κάθε στοιχειώδης ισχύς είναι ανάλογη με την τιμή της συνάρτησης για μια δεδομένη συχνότητα. φυσική έννοιαΗ φασματική πυκνότητα είναι ότι χαρακτηρίζει την κατανομή της ισχύος του σήματος στο φάσμα συχνοτήτων.

Η φασματική πυκνότητα μπορεί να βρεθεί πειραματικά μέσω μέση αξίατο τετράγωνο του αρμονικού πλάτους της υλοποίησης μιας τυχαίας διαδικασίας. Τα όργανα που χρησιμοποιούνται για το σκοπό αυτό και αποτελούνται από έναν αναλυτή φάσματος και έναν υπολογιστή για τη μέση τιμή του τετραγωνικού αρμονικού πλάτους ονομάζονται φασματόμετρα. Είναι πιο δύσκολο να βρεθεί η φασματική πυκνότητα πειραματικά από τη συνάρτηση συσχέτισης, επομένως στην πράξη, η φασματική πυκνότητα υπολογίζεται συχνότερα χρησιμοποιώντας μια γνωστή συνάρτηση συσχέτισης χρησιμοποιώντας τον τύπο (9.52) ή (9.53).

Η αμοιβαία φασματική πυκνότητα δύο στατικών τυχαίων διεργασιών ορίζεται ως ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης διασταυρούμενης συσχέτισης, δηλ.

Από την αμοιβαία φασματική πυκνότητα είναι δυνατό, με εφαρμογή στο (9.58) αντίστροφη μετατροπή Fourier, βρείτε μια έκφραση για τη συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης:

Η διασταυρούμενη φασματική πυκνότητα είναι ένα μέτρο της στατιστικής σχέσης μεταξύ δύο στατικών τυχαίων διεργασιών: Εάν οι διεργασίες είναι ασυσχετισμένες και έχουν μηδενικές μέσες τιμές, τότε η διασταυρούμενη φασματική πυκνότητα είναι μηδέν, δηλ.

Σε αντίθεση με τη φασματική πυκνότητα, η διασταυρούμενη φασματική πυκνότητα δεν είναι άρτια συνάρτηση του o και δεν είναι πραγματική, αλλά σύνθετη συνάρτηση.

Ας εξετάσουμε μερικές ιδιότητες των φασματικών πυκνοτήτων

1 Η φασματική πυκνότητα μιας καθαρής τυχαίας διεργασίας ή λευκού θορύβου είναι σταθερή σε όλο το εύρος συχνοτήτων (βλ. Εικ. 9.5, δ):

Πράγματι, αντικαθιστώντας την έκφραση (9.47) για τη συνάρτηση συσχέτισης λευκού θορύβου σε (9.52), λαμβάνουμε

Η σταθερότητα της φασματικής πυκνότητας του λευκού θορύβου σε ολόκληρο το άπειρο εύρος συχνοτήτων, που προκύπτει στην τελευταία έκφραση, σημαίνει ότι η ενέργεια του λευκού θορύβου κατανέμεται ομοιόμορφα σε ολόκληρο το φάσμα και η συνολική ενέργεια της διαδικασίας είναι ίση με το άπειρο. Αυτό δείχνει τη φυσική αδυναμία μιας τυχαίας διαδικασίας όπως ο λευκός θόρυβος. Ο λευκός θόρυβος είναι μια μαθηματική εξιδανίκευση μιας πραγματικής διαδικασίας. Στην πραγματικότητα, το φάσμα συχνοτήτων πέφτει σε πολύ υψηλές συχνότητες (όπως φαίνεται από τη διακεκομμένη γραμμή στο Σχ. 9.5, δ). Εάν, ωστόσο, αυτές οι συχνότητες είναι τόσο υψηλές ώστε όταν εξετάζουμε κάποια συγκεκριμένη συσκευή δεν παίζουν ρόλο (επειδή βρίσκονται εκτός της ζώνης συχνοτήτων που εκπέμπει αυτή η συσκευή), τότε η εξιδανίκευση του σήματος με τη μορφή λευκού θορύβου απλοποιεί την εξέταση και είναι επομένως αρκετά κατάλληλο.

Η προέλευση του όρου «λευκός θόρυβος» εξηγείται από την αναλογία μιας τέτοιας διαδικασίας με το λευκό φως, το οποίο έχει τις ίδιες εντάσεις όλων των συστατικών, και από το γεγονός ότι τυχαίες διεργασίες όπως ο λευκός θόρυβος εντοπίστηκαν για πρώτη φορά στη μελέτη του θερμικού θόρυβος διακύμανσης σε συσκευές ραδιομηχανικής.

2. Η φασματική πυκνότητα ενός σταθερού σήματος είναι μια -συνάρτηση που βρίσκεται στην αρχή των συντεταγμένων (βλ. Εικ. 9.5, α), δηλ.

Για να το αποδείξουμε αυτό, ας υποθέσουμε ότι η φασματική πυκνότητα έχει τη μορφή (9,62) και από την (9,55) την αντίστοιχη συνάρτηση συσχέτισης. Επειδή

τότε όταν φτάσουμε

Αυτό (σύμφωνα με την ιδιότητα 5 των συναρτήσεων συσχέτισης) σημαίνει ότι το σήμα που αντιστοιχεί στη φασματική πυκνότητα που ορίζεται από το (9.62) είναι ένα σταθερό σήμα ίσο με

Το γεγονός ότι η φασματική πυκνότητα είναι συνάρτηση σημαίνει ότι όλη η ισχύς του σήματος συνεχούς ρεύματος συγκεντρώνεται σε μηδενική συχνότητα, όπως θα ήταν αναμενόμενο.

3. Η φασματική πυκνότητα ενός περιοδικού σήματος αντιπροσωπεύει δύο συναρτήσεις που βρίσκονται συμμετρικά σε σχέση με την αρχή των συντεταγμένων στο (βλ. Εικ. 9.5, e), δηλ.

Για να το αποδείξουμε αυτό, ας υποθέσουμε ότι η φασματική πυκνότητα έχει τη μορφή (9.63) και χρησιμοποιώντας το (9.55) βρίσκουμε την αντίστοιχη συνάρτηση συσχέτισης:

Αυτό (σύμφωνα με την ιδιότητα των 6 συναρτήσεων συσχέτισης) σημαίνει ότι το σήμα που αντιστοιχεί στη φασματική πυκνότητα που καθορίζεται από το (9.63) είναι ένα περιοδικό σήμα ίσο με

Το γεγονός ότι η φασματική πυκνότητα αντιπροσωπεύει δύο -συναρτήσεις που βρίσκονται στο σημαίνει ότι όλη η ισχύς του περιοδικού σήματος συγκεντρώνεται σε δύο συχνότητες: Αν θεωρήσουμε τη φασματική πυκνότητα μόνο στην περιοχή των θετικών συχνοτήτων, παίρνουμε:

ότι όλη η ισχύς ενός περιοδικού σήματος θα συγκεντρωθεί σε μία συχνότητα.

4. Με βάση τα παραπάνω, η φασματική πυκνότητα της συνάρτησης χρόνου που διευρύνεται σε μια σειρά Fourier έχει τη μορφή

Αυτή η φασματική πυκνότητα αντιστοιχεί σε ένα φάσμα γραμμής (Εικ. 9.9) με -συναρτήσεις που βρίσκονται σε θετικές και αρνητικές αρμονικές συχνότητες. Στο Σχ. 9.9 -οι συναρτήσεις απεικονίζονται συμβατικά με τέτοιο τρόπο ώστε τα ύψη τους να εμφανίζονται ανάλογα με τους συντελεστές της συνάρτησης μονάδας, δηλαδή οι τιμές και

που συμπίπτει πλήρως με τη συνάρτηση συσχέτισης που προσδιορίζεται από το (9.45).

Από το Σχ. 9.5, b, c είναι σαφές ότι όσο ευρύτερο είναι το γράφημα φασματικής πυκνότητας, τόσο στενότερο είναι το γράφημα της αντίστοιχης συνάρτησης συσχέτισης και αντίστροφα. Αντιστοιχεί φυσική οντότηταδιαδικασία: όσο ευρύτερο είναι το γράφημα φασματικής πυκνότητας, δηλαδή τόσο περισσότερο υψηλές συχνότητεςπου παρουσιάζονται σε φασματική πυκνότητα, τόσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός μεταβλητότητας της τυχαίας διαδικασίας και τα ίδια γραφήματα της συνάρτησης συσχέτισης. Με άλλα λόγια, η σχέση μεταξύ του τύπου της φασματικής πυκνότητας και του τύπου της συνάρτησης χρόνου είναι αντίστροφη σε σύγκριση με τη σχέση μεταξύ της συνάρτησης συσχέτισης και του τύπου της συνάρτησης χρόνου. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα όταν εξετάζουμε σταθερό σήμα και λευκό θόρυβο. Στην πρώτη περίπτωση, η συνάρτηση συσχέτισης έχει τη μορφή μιας οριζόντιας ευθείας γραμμής και η φασματική πυκνότητα έχει τη μορφή μιας συνάρτησης (βλ. Εικ. 9.5, α). Στη δεύτερη περίπτωση (βλ. Εικ. 9.5, δ) εμφανίζεται η αντίθετη εικόνα.

6. Η φασματική πυκνότητα μιας τυχαίας διεργασίας, στην οποία υπερτίθενται περιοδικές συνιστώσες, περιέχει ένα συνεχές μέρος και ξεχωριστές -συναρτήσεις που αντιστοιχούν στις συχνότητες των περιοδικών συνιστωσών.

Οι επιμέρους κορυφές στο διάγραμμα φασματικής πυκνότητας δείχνουν ότι τυχαία διαδικασίααναμεμειγμένα με κρυμμένα περιοδικά στοιχεία που μπορεί να μην ανιχνευθούν με την πρώτη ματιά σε μεμονωμένες εγγραφές διεργασιών. Εάν, για παράδειγμα, ένα περιοδικό σήμα με συχνότητα υπερτίθεται σε μια τυχαία διεργασία, τότε το γράφημα. Η φασματική πυκνότητα έχει τη μορφή που φαίνεται στο Σχ. 9.10,

Μερικές φορές ένα κανονικοποιημένο πρότυπο εισάγεται υπόψη

φασματική πυκνότητα που είναι η εικόνα Fourier της κανονικοποιημένης συνάρτησης συσχέτισης (9.48):

Η κανονικοποιημένη φασματική πυκνότητα έχει τη διάσταση του χρόνου.

Μια ποσότητα που χαρακτηρίζει την κατανομή της ενέργειας στο φάσμα ενός σήματος και ονομάζεται ενεργειακή φασματική πυκνότητα υπάρχει μόνο για σήματα στα οποία η ενέργεια σε ένα άπειρο χρονικό διάστημα είναι πεπερασμένη και, επομένως, ο μετασχηματισμός Fourier είναι εφαρμόσιμος σε αυτά.

Για σήματα που δεν διασπώνται στο χρόνο, η ενέργεια είναι απείρως μεγάλη και το ολοκλήρωμα (1,54) αποκλίνει. Δεν είναι δυνατός ο καθορισμός του φάσματος πλάτους. Ωστόσο, η μέση ισχύς Рср, καθορίζεται από τη σχέση

αποδεικνύεται πεπερασμένο. Επομένως, περισσότερα ευρεία έννοια«φασματική πυκνότητα ισχύος». Ας το ορίσουμε ως την παράγωγο της μέσης ισχύος σήματος σε σχέση με τη συχνότητα και ας το χαρακτηρίσουμε ως Сk(п):

Ο δείκτης k τονίζει ότι εδώ θεωρούμε τη φασματική πυκνότητα ισχύος ως χαρακτηριστικό μιας ντετερμινιστικής συνάρτησης u(t) που περιγράφει την υλοποίηση του σήματος.

Αυτό το χαρακτηριστικό σήματος είναι λιγότερο σημαντικό από τη φασματική πυκνότητα πλάτους, καθώς στερείται πληροφοριών φάσης [βλ. (1.38)]. Επομένως, είναι αδύνατο να ανακατασκευαστεί αναμφίβολα η αρχική υλοποίηση σήματος από αυτό. Ωστόσο, η απουσία πληροφοριών φάσης μας επιτρέπει να εφαρμόσουμε αυτήν την έννοια σε σήματα για τα οποία η φάση δεν έχει οριστεί.

Για να δημιουργήσουμε μια σύνδεση μεταξύ της φασματικής πυκνότητας Сk(х) και του φάσματος πλάτους, θα χρησιμοποιήσουμε το σήμα u(t) που υπάρχει σε ένα περιορισμένο χρονικό διάστημα (-T<. t

όπου είναι η φασματική πυκνότητα ισχύος ενός χρονικά περιορισμένου σήματος.

Θα φανεί αργότερα (βλ. § 1.11) ότι με τον μέσο όρο αυτού του χαρακτηριστικού σε πολλές πραγματοποιήσεις, είναι δυνατό να ληφθεί η φασματική πυκνότητα ισχύος για μια μεγάλη κατηγορία τυχαίων διεργασιών.

Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ντετερμινιστικού σήματος

Υπάρχουν τώρα δύο χαρακτηριστικά στον τομέα της συχνότητας: η φασματική απόκριση και η φασματική πυκνότητα ισχύος. Το φασματικό χαρακτηριστικό, το οποίο περιέχει πλήρεις πληροφορίες για το σήμα u(t), αντιστοιχεί στον μετασχηματισμό Fourier με τη μορφή συνάρτησης χρόνου. Ας μάθουμε σε τι αντιστοιχεί η φασματική πυκνότητα ισχύος, χωρίς πληροφορίες φάσης, στο πεδίο του χρόνου.

Θα πρέπει να υποτεθεί ότι η ίδια φασματική πυκνότητα ισχύος αντιστοιχεί σε πολλές χρονικές συναρτήσεις που διαφέρουν σε φάση. Ο Σοβιετικός επιστήμονας L.Ya. Ο Khinchin και ο Αμερικανός επιστήμονας N. Wiener βρήκαν σχεδόν ταυτόχρονα τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier της φασματικής πυκνότητας ισχύος:

Ας ονομάσουμε τη γενικευμένη συνάρτηση χρόνου r(), η οποία δεν περιέχει πληροφορίες φάσης, συνάρτηση αυτοσυσχέτισης χρόνου. Δείχνει τον βαθμό συσχέτισης μεταξύ των τιμών μιας συνάρτησης u(t) που χωρίζονται από ένα χρονικό διάστημα και μπορεί να προκύψει από τη στατιστική θεωρία αναπτύσσοντας την έννοια του συντελεστή συσχέτισης. Σημειώστε ότι στη συνάρτηση χρονικής συσχέτισης, ο μέσος όρος πραγματοποιείται με την πάροδο του χρόνου μέσα σε μία υλοποίηση αρκετά μεγάλης διάρκειας.

Αφήστε το σήμα μικρό(t) καθορίζεται ως μη περιοδική συνάρτηση και υπάρχει μόνο στο διάστημα ( t 1 ,t 2) (παράδειγμα - μονός παλμός). Ας επιλέξουμε ένα αυθαίρετο χρονικό διάστημα Τ, συμπεριλαμβανομένου του διαστήματος ( t 1 ,t 2) (βλ. Εικ. 1).

Ας υποδηλώσουμε το περιοδικό σήμα που λαμβάνεται από μικρό(t), όπως και s T(t). Τότε μπορούμε να γράψουμε τη σειρά Fourier για αυτό

Οπου

Ας αντικαταστήσουμε την έκφραση στη σειρά:

Για να μεταβείτε στη συνάρτηση μικρό(t) ακολουθεί στην έκφραση s T(t) κατευθύνουν την περίοδο στο άπειρο. Σε αυτή την περίπτωση, ο αριθμός των αρμονικών συνιστωσών με συχνότητες w =n 2Π /Τθα είναι απείρως μεγάλη, η απόσταση μεταξύ τους θα τείνει στο μηδέν (σε μια απειροελάχιστη τιμή: , τα πλάτη των συστατικών θα είναι επίσης απειροελάχιστα. Επομένως, δεν είναι πλέον δυνατό να μιλάμε για το φάσμα ενός τέτοιου σήματος, γιατί το φάσμα γίνεται στερεός.

Κατά τη μετάβαση στο όριο στη θήκη Τ=> , έχουμε:

Έτσι, στο όριο που έχουμε

Το εσωτερικό ολοκλήρωμα είναι συνάρτηση της συχνότητας. Ονομάζεται φασματική πυκνότητα του σήματος ή απόκριση συχνότητας του σήματος και συμβολίζεται με

Ο άμεσος (*) και ο αντίστροφος (**) μετασχηματισμός Fourier ονομάζονται μαζί ζεύγος μετασχηματισμών Fourier. Η μονάδα φασματικής πυκνότητας καθορίζει την απόκριση πλάτους-συχνότητας (AFC) του σήματος και το όρισμά του ονομάζεται απόκριση συχνότητας φάσης (PFC) του σήματος. Η απόκριση συχνότητας του σήματος είναι μια άρτια συνάρτηση και η απόκριση φάσης είναι περιττή.

Το νόημα της ενότητας μικρό(w) ορίζεται ως το πλάτος ενός σήματος (ρεύματος ή τάσης) ανά 1 Hz σε μια απείρως στενή ζώνη συχνοτήτων που περιλαμβάνει την εν λόγω συχνότητα w. Η διάστασή του είναι [σήμα/συχνότητα].

9. Ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier. Ιδιότητες γραμμικότητας, αλλαγές στη χρονική κλίμακα, άλλα. Θεώρημα παραγώγου φάσματος. Θεώρημα για το φάσμα του ολοκληρώματος.

10. Διακριτός μετασχηματισμός Fourier. Παρεμβολές στη λήψη ραδιοφώνου. Ταξινόμηση παρεμβολών.

Διακριτός μετασχηματισμός Fourier μπορεί να ληφθεί απευθείας από τον ολοκληρωτικό μετασχηματισμό των διακριτοποιήσεων των ορισμάτων (t k = kDt, f n = nDf):

S(f) = s(t) exp(-j2pft) dt, S(f n) = Dt s(t k) exp(-j2pf n kDt), (6.1.1)

s(t) = S(f) exp(j2pft) df, s(t k) = Df S(f n) exp(j2pnDft k). (6.1.2)

Ας θυμηθούμε ότι η διακριτοποίηση μιας συνάρτησης με το χρόνο οδηγεί σε περιοδοποίηση του φάσματος της και η διακριτοποίηση του φάσματος κατά συχνότητα οδηγεί σε περιοδοποίηση της συνάρτησης. Δεν πρέπει επίσης να ξεχνάμε ότι οι τιμές (6.1.1) της σειράς αριθμών S(f n) είναι διακριτοποιήσεις της συνεχούς συνάρτησης S"(f) του φάσματος της διακριτής συνάρτησης s(t k), καθώς και της Οι τιμές (6.1.2) της σειράς αριθμών s(t k) είναι μια διακριτοποίηση της συνεχούς συνάρτησης s"(t) και κατά την ανακατασκευή αυτών των συνεχών συναρτήσεων S"(f) και s"(t) από τα διακριτά τους δείγματα , η αντιστοιχία S"(f) = S(f) και s"(t) = s (t) είναι εγγυημένη μόνο εάν το θεώρημα Kotelnikov-Shannon ικανοποιείται.

Για διακριτούς μετασχηματισμούς s(kDt) Û S(nDf), τόσο η συνάρτηση όσο και το φάσμα της είναι διακριτά και περιοδικά και οι αριθμητικοί πίνακες της αναπαράστασής τους αντιστοιχούν στην εργασία στις κύριες περιόδους T = NDt (από 0 έως T ή από - T/2 έως T/ 2), και 2f N = NDf (από -f N έως f N), όπου N είναι ο αριθμός των δειγμάτων, σε αυτήν την περίπτωση:

Df = 1/T = 1/(NDt), Dt = 1/2f N = 1/(NDf), DtDf = 1/N, N = 2Tf N. (6.1.3)

Οι σχέσεις (6.1.3) είναι προϋποθέσεις για την πληροφοριακή ισοδυναμία των μορφών δυναμικής και συχνότητας αναπαράστασης διακριτών σημάτων. Με άλλα λόγια: ο αριθμός των δειγμάτων της συνάρτησης και το φάσμα της πρέπει να είναι ο ίδιος. Αλλά κάθε δείγμα του μιγαδικού φάσματος αντιπροσωπεύεται από δύο πραγματικούς αριθμούς και, κατά συνέπεια, ο αριθμός των δειγμάτων του μιγαδικού φάσματος είναι 2 φορές μεγαλύτερος από τα δείγματα συνάρτησης; Αυτό είναι αλήθεια. Ωστόσο, η αναπαράσταση του φάσματος σε μιγαδική μορφή δεν είναι τίποτα άλλο από μια βολική μαθηματική αναπαράσταση της φασματικής συνάρτησης, τα πραγματικά δείγματα της οποίας σχηματίζονται με την προσθήκη δύο συζυγών μιγαδικών δειγμάτων και πλήρεις πληροφορίες για το φάσμα της συνάρτησης σε μιγαδική μορφή είναι περιέχονται μόνο στο ένα μισό του - τα δείγματα των πραγματικών και φανταστικών μερών μιγαδικών αριθμών στο διάστημα συχνοτήτων από 0 έως f N, επειδή οι πληροφορίες του δεύτερου μισού του εύρους από 0 έως -f N είναι συζευγμένες με το πρώτο μισό και δεν φέρουν πρόσθετες πληροφορίες.

Κατά την αναπαράσταση σημάτων διακριτά, το όρισμα t k συνήθως συμπληρώνεται με αριθμούς δείγματος k (από προεπιλογή Dt = 1, k = 0,1,...N-1) και οι μετασχηματισμοί Fourier εκτελούνται στο όρισμα n (αριθμός βήματος συχνότητας) στο κύριες περιόδους. Για τιμές του N που είναι πολλαπλάσια του 2:

S(f n) º S n = s k exp(-j2pkn/N), n = -N/2,…,0,…,N/2. (6.1.4)

s(t k) º s k = (1/N) S n exp(j2pkn/N), k = 0,1,…,N-1. (6.1.5)

Η κύρια περίοδος του φάσματος στο (6.1.4) για κυκλικές συχνότητες από -0,5 έως 0,5, για γωνιακές συχνότητες από -p έως p. Για μια περιττή τιμή του N, τα όρια της κύριας περιόδου στη συχνότητα (τιμές ±f N) είναι το ήμισυ του βήματος συχνότητας πίσω από τα δείγματα ±(N/2) και, κατά συνέπεια, το ανώτερο όριο άθροισης στο (6.1.5 ) ορίζεται ίσο με N/2.

Κατά τον υπολογισμό των εργασιών σε έναν υπολογιστή, για την εξάλειψη των αρνητικών ορισμάτων συχνότητας (αρνητικές τιμές των αριθμών n) και τη χρήση πανομοιότυπων αλγορίθμων για άμεσους και αντίστροφους μετασχηματισμούς Fourier, η κύρια περίοδος του φάσματος λαμβάνεται συνήθως στην περιοχή από 0 έως 2f N ( 0 £ n £ N), και το άθροισμα στο (6.1 .5) παράγεται αναλόγως από 0 έως N-1. Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι τα σύνθετα συζευγμένα δείγματα S n * του διαστήματος (-N,0) του φάσματος δύο όψεων στο διάστημα 0-2f N αντιστοιχούν στα δείγματα S N+1- n (δηλ. συζευγμένα δείγματα στο διάστημα 0-2f N είναι τα δείγματα S n και S N+1- n).

Παράδειγμα:Στο διάστημα T=, N=100, δίνεται ένα διακριτό σήμα s(k) = d(k-i) - ένας ορθογώνιος παλμός με μοναδιαίες τιμές στα σημεία k από 3 έως 8. Το σχήμα του σήματος και ο συντελεστής το φάσμα του στην κύρια περιοχή συχνοτήτων, υπολογισμένο με τον τύπο S (n) = s(k)×exp(-j2pkn/100) αριθμημένο με n από -50 έως +50 με βήματα συχνότητας, αντίστοιχα, Dw=2p/100, φαίνονται στο Σχ. 6.1.1.

Ρύζι. 6.1.1. Διακριτό σήμα και μονάδα του φάσματος του.

Στο Σχ. Το 6.1.2 δείχνει το περίβλημα των τιμών μιας άλλης μορφής αναπαράστασης του κύριου εύρους του φάσματος. Ανεξάρτητα από τη μορφή αναπαράστασης, το φάσμα είναι περιοδικό, κάτι που είναι εύκολο να επαληθευτεί εάν υπολογίζετε τις τιμές του φάσματος για μεγαλύτερο διάστημα του ορίσματος n διατηρώντας το ίδιο βήμα συχνότητας, όπως φαίνεται στο Σχήμα. 6.1.3 για το περίβλημα των τιμών του φάσματος.

Ρύζι. 6.1.2. Μονάδα φάσματος. Ρύζι. 6.1.3. Μονάδα φάσματος.

Στο Σχ. 6.1.4. δείχνει τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier για ένα διακριτό φάσμα, που εκτελείται χρησιμοποιώντας τον τύπο s"(k) =(1/100) S(n)×exp(j2pkn/100), ο οποίος δείχνει την περιοδοποίηση της αρχικής συνάρτησης s(k), αλλά η κύρια περίοδος k=( 0,99) αυτής της συνάρτησης συμπίπτει πλήρως με το αρχικό σήμα s(k).

Ρύζι. 6.1.4. Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier.

Οι μετασχηματισμοί (6.1.4-6.1.5) ονομάζονται διακριτοί μετασχηματισμοί Fourier (DFT). Για το DFT, καταρχήν, όλες οι ιδιότητες των ολοκληρωτικών μετασχηματισμών Fourier είναι έγκυρες, αλλά η περιοδικότητα των διακριτών συναρτήσεων και φασμάτων θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη. Το γινόμενο των φασμάτων δύο διακριτών συναρτήσεων (κατά την εκτέλεση οποιωνδήποτε λειτουργιών κατά την επεξεργασία σημάτων σε αναπαράσταση συχνότητας, όπως φιλτράρισμα σημάτων απευθείας σε μορφή συχνότητας) θα αντιστοιχεί στη συνέλιξη των περιοδικών συναρτήσεων σε αναπαράσταση χρόνου (και αντίστροφα). Μια τέτοια συνέλιξη ονομάζεται κυκλική (βλ. Ενότητα 6.4) και τα αποτελέσματά της στα τελικά τμήματα των διαστημάτων πληροφοριών μπορεί να διαφέρουν σημαντικά από τη συνέλιξη πεπερασμένων διακριτών συναρτήσεων (γραμμική συνέλιξη).

Από τις εκφράσεις DFT μπορεί κανείς να δει ότι για τον υπολογισμό κάθε αρμονικής χρειάζονται N μιγαδικές πράξεις πολλαπλασιασμού και πρόσθεσης και, κατά συνέπεια, απαιτούνται πράξεις N 2 για να ολοκληρωθεί η DFT. Με μεγάλο όγκο δεδομένων, αυτό μπορεί να οδηγήσει σε σημαντικό κόστος χρόνου. Η επιτάχυνση των υπολογισμών επιτυγχάνεται με τη χρήση του γρήγορου μετασχηματισμού Fourier.

Παρέμβαση

Οι παρεμβολές ονομάζονται συνήθως εξωτερικές ηλεκτρικές διαταραχές που παρεμβαίνουν στο εκπεμπόμενο σήμα και δυσχεραίνουν τη λήψη. Εάν η ένταση της παρεμβολής είναι υψηλή, η λήψη γίνεται σχεδόν αδύνατη.

Ταξινόμηση παρεμβολών:

α) παρεμβολές από γειτονικούς ραδιοπομπούς (σταθμούς).

β) παρεμβολές από βιομηχανικές εγκαταστάσεις.

γ) ατμοσφαιρικές παρεμβολές (καταιγίδες, βροχοπτώσεις).

δ) παρεμβολές που προκαλούνται από τη διέλευση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων μέσα από τα στρώματα της ατμόσφαιρας: τροπόσφαιρα, ιονόσφαιρα.

ε) θερμικός και πυροβολικός θόρυβος σε στοιχεία ραδιοκυκλωμάτων, που προκαλείται από τη θερμική κίνηση ηλεκτρονίων.

Μαθηματικά, το σήμα στην είσοδο του δέκτη μπορεί να αναπαρασταθεί είτε ως το άθροισμα του μεταδιδόμενου σήματος και της παρεμβολής, και στη συνέχεια η παρεμβολή καλείται πρόσθετος, ή απλά θόρυβος, ή με τη μορφή ενός γινόμενου του μεταδιδόμενου σήματος και της παρεμβολής, και τότε ονομάζεται τέτοια παρεμβολή πολλαπλασιαστικός. Αυτή η παρεμβολή οδηγεί σε σημαντικές αλλαγές στην ένταση του σήματος στην είσοδο του δέκτη και εξηγεί τέτοια φαινόμενα όπως ξεθώριασμα.

Η παρουσία παρεμβολών καθιστά δύσκολη τη λήψη σημάτων όταν η ένταση της παρεμβολής είναι υψηλή, η αναγνώριση σήματος μπορεί να γίνει σχεδόν αδύνατη. Η ικανότητα ενός συστήματος να αντέχει τις παρεμβολές του θορύβου ονομάζεται θόρυβος.

Οι εξωτερικές φυσικές ενεργές παρεμβολές είναι ο θόρυβος που προκύπτει από την εκπομπή ραδιοφώνου από την επιφάνεια της γης και τα διαστημικά αντικείμενα και τη λειτουργία άλλου ραδιοηλεκτρονικού εξοπλισμού. Ένα σύνολο μέτρων που στοχεύουν στη μείωση της επίδρασης της αμοιβαίας παρεμβολής μεταξύ ηλεκτρονικών ζωνών ονομάζεται ηλεκτρομαγνητική συμβατότητα. Αυτό το συγκρότημα περιλαμβάνει τόσο τεχνικά μέτρα για τη βελτίωση του ραδιοεξοπλισμού, την επιλογή του σχήματος του σήματος και τη μέθοδο επεξεργασίας του, όσο και οργανωτικά μέτρα: ρύθμιση συχνότητας, διανομή ραδιοηλεκτρονικών ζωνών στο διάστημα, τυποποίηση του επιπέδου των εκτός ζώνης και των ψευδών εκπομπών , και τα λοιπά.

11. Δειγματοληψία συνεχών σημάτων. Θεώρημα Kotelnikov (δείγματα). Η έννοια της συχνότητας Nyquist. Η έννοια του διαστήματος δειγματοληψίας.

Για πληρότητα, συζητάμε εν συντομία τις έννοιες του φάσματος και της φασματικής πυκνότητας παρακάτω. Η εφαρμογή αυτών των σημαντικών εννοιών περιγράφεται με περισσότερες λεπτομέρειες στο. Δεν τα χρησιμοποιούμε για ανάλυση χρονοσειρών σε αυτό το βιβλίο, επομένως μπορείτε να παραλείψετε αυτήν την ενότητα κατά την πρώτη σας ανάγνωση.

Φάσμα δειγμάτων. Κατά τον ορισμό του περιοδογραφήματος (2.2.5), θεωρείται ότι οι συχνότητες είναι αρμονικές της θεμελιώδους συχνότητας. Εισάγοντας ένα φάσμα, χαλαρώνουμε αυτή την υπόθεση και αφήνουμε τη συχνότητα να μεταβάλλεται συνεχώς στην περιοχή 0-0,5 Hz. Ο ορισμός του περιοδογραφήματος μπορεί να τροποποιηθεί ως εξής:

, , (2.2.7)

όπου ονομάζεται φάσμα δείγματος. Όπως ένα περιοδόγραμμα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ανιχνεύσει και να εκτιμήσει τα πλάτη της ημιτονοειδούς συνιστώσας μιας άγνωστης συχνότητας που κρύβεται στο θόρυβο, και πράγματι είναι ακόμη πιο βολικό εκτός εάν είναι γνωστό ότι η συχνότητα σχετίζεται αρμονικά με το μήκος της σειράς, δηλ. Επιπλέον, αποτελεί το σημείο εκκίνησης για τη θεωρία της φασματικής ανάλυσης, χρησιμοποιώντας τη σημαντική σχέση που δίνεται στο Παράρτημα Α2.1. Αυτή η σχέση δημιουργεί μια σύνδεση μεταξύ της ανάλυσης του φάσματος του δείγματος και των εκτιμήσεων της συνάρτησης αυτοσυνδιακύμανσης:

. (2.2.8)

Έτσι, το φάσμα του δείγματος είναι ο μετασχηματισμός συνημιτόνου Fourier της συνάρτησης αυτοσυνδιακύμανσης του δείγματος.

Εύρος. Το περιοδόγραμμα και το φάσμα δειγμάτων είναι βολικές έννοιες για την ανάλυση χρονοσειρών που σχηματίζονται από ένα μείγμα ημιτονοειδών και συνημιτονικών κυμάτων με σταθερές συχνότητες κρυμμένες στο θόρυβο. Ωστόσο, σταθερές χρονοσειρές του τύπου που περιγράφεται στην Ενότητα. 2.1, χαρακτηρίζονται από τυχαίες αλλαγές στη συχνότητα, το πλάτος και τη φάση. Για τέτοιες σειρές, το φάσμα του δείγματος παρουσιάζει μεγάλες διακυμάνσεις και δεν επιτρέπει καμία λογική ερμηνεία.

Ας υποθέσουμε, ωστόσο, ότι το φάσμα του δείγματος υπολογίστηκε για μια χρονοσειρά από παρατηρήσεις που είναι μια πραγματοποίηση μιας σταθερής κανονικής διαδικασίας. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, μια τέτοια διαδικασία δεν έχει ντετερμινιστικές συνιστώσες ημιτονοειδούς ή συνημιτονοειδούς, αλλά μπορούμε επίσημα να εκτελέσουμε μια ανάλυση Fourier και να λάβουμε τιμές για , για οποιαδήποτε συχνότητα. Εάν οι επαναλαμβανόμενες παρατηρήσεις δημιουργούνται από μια στοχαστική διαδικασία, μπορούμε να συλλέξουμε έναν πληθυσμό τιμών και . Τότε μπορούμε να βρούμε τον μέσο όρο σε σχέση με τις επαναλαμβανόμενες πραγματοποιήσεις του μήκους, δηλαδή

. (2.2.9)

Για μεγάλες τιμές, μπορεί να φανεί (βλ., για παράδειγμα,) ότι η μέση τιμή της αυτοσυνδιακύμανσης σε επαναλαμβανόμενες υλοποιήσεις τείνει στη θεωρητική αυτοσυνδιακύμανση, δηλ.

Περνώντας στο όριο στο (2.2.9) για , ορίζουμε το φάσμα ισχύος ως

, . (2.2.10)

Σημειώστε ότι από τότε

τότε για να συγκλίνει το φάσμα πρέπει να μειώνεται με την ανάπτυξη τόσο γρήγορα ώστε να εξασφαλίζει τη σύγκλιση της σειράς (2.2.11). Δεδομένου ότι το φάσμα ισχύος είναι ο συνημίτονος μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης αυτοσυνδιακύμανσης, η γνώση της συνάρτησης αυτοσυνδιακύμανσης είναι μαθηματικά ισοδύναμη με τη γνώση του φάσματος ισχύος και αντίστροφα. Στο εξής θα αναφερόμαστε απλώς στο φάσμα ισχύος ως φάσμα.

Ενσωματώνοντας το (2.2.10) στην περιοχή από 0 έως 1/2, βρίσκουμε τη διασπορά της διαδικασίας

. (2.2.12)

Επομένως, ακριβώς όπως ένα περιοδόγραμμα δείχνει πώς η διασπορά (2.2.6) μιας σειράς που αποτελείται από ένα μείγμα ημιτονοειδών και συνημιτονικών κυμάτων κατανέμεται μεταξύ των διαφόρων αρμονικών συνιστωσών, ένα φάσμα δείχνει πώς η διασπορά μιας στοχαστικής διαδικασίας κατανέμεται σε μια συνεχή εύρος συχνοτήτων. Μπορεί να ερμηνευθεί ως μια κατά προσέγγιση τιμή της διακύμανσης της διαδικασίας στο εύρος συχνοτήτων από έως .

Κανονικοποιημένο φάσμα. Μερικές φορές είναι πιο βολικό να ορίσουμε το φάσμα (2.2.10) χρησιμοποιώντας αυτοσυσχετίσεις παρά αυτοσυνδιακυμάνσεις. Συνάρτηση που προκύπτει

, (2.2.13). Ωστόσο, μπορεί να φανεί (βλέπε) ότι το φάσμα του δείγματος μιας σταθερής χρονοσειράς κυμαίνεται έντονα γύρω από το θεωρητικό φάσμα. Η διαισθητική εξήγηση για αυτό το γεγονός είναι ότι το φάσμα του δείγματος αντιστοιχεί στη χρήση ενός πολύ στενού διαστήματος στον τομέα συχνότητας. Αυτό είναι ανάλογο με τη χρήση ενός πολύ στενού διαστήματος binning για ένα ιστόγραμμα κατά την εκτίμηση μιας κανονικής κατανομής πιθανότητας χρησιμοποιώντας έναν τροποποιημένο ή εξομαλυνόμενο εκτιμητή

, (2.2.14)

όπου - ειδικά επιλεγμένα βάρη, που ονομάζεται παράθυρο συσχέτισης, μπορούν να αυξήσουν το «εύρος ζώνης» της εκτίμησης και να αποκτήσουν μια εξομαλυνόμενη εκτίμηση του φάσματος.

Στο Σχ. Το Σχήμα 2.8 δείχνει μια δειγματοληπτική αξιολόγηση του φάσματος των δεδομένων παρτίδας προϊόντων. Φαίνεται ότι η διασπορά της σειράς συγκεντρώνεται κυρίως σε υψηλές συχνότητες. Αυτό προκαλείται από γρήγορες ταλαντώσεις της αρχικής σειράς που φαίνεται στο Σχ. 2.1.