Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών ανισώσεων και τα συστήματά τους. Οι απλούστερες και πολύπλοκες τριγωνομετρικές ανισώσεις

Οι ανισότητες είναι σχέσεις της μορφής a › b, όπου a και b είναι εκφράσεις που περιέχουν τουλάχιστον μία μεταβλητή. Οι ανισότητες μπορεί να είναι αυστηρές - ‹, › και μη αυστηρές - ≥, ≤.

Οι τριγωνομετρικές ανισότητες είναι εκφράσεις της μορφής: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, στις οποίες η F(x) αντιπροσωπεύεται από μία ή περισσότερες τριγωνομετρικές συναρτήσεις .

Ένα παράδειγμα της απλούστερης τριγωνομετρικής ανισότητας είναι: sin x ‹ 1/2. Είναι σύνηθες να επιλύονται τέτοια προβλήματα γραφικά· δύο μέθοδοι έχουν αναπτυχθεί για αυτό.

Μέθοδος 1 - Επίλυση ανισώσεων σχεδιάζοντας μια συνάρτηση

Για να βρείτε ένα διάστημα που να ικανοποιεί τις συνθήκες της ανισότητας sin x ‹ 1/2, πρέπει να κάνετε τα εξής:

1. Στο άξονα συντεταγμένωνχτίστε ένα ημιτονοειδές y = sin x.
2. Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση στον ίδιο άξονα αριθμητικό όρισμαανισότητα, δηλ. μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο ½ της τεταγμένης y.
3. Σημειώστε τα σημεία τομής των δύο γραφημάτων.
4. Σκιάστε το τμήμα που είναι η λύση του παραδείγματος.

Όταν υπάρχουν ισχυρά σημάδια σε μια έκφραση, τα σημεία τομής δεν είναι λύσεις. Από το μικρότερο θετική περίοδοςΗμιτονοειδής είναι 2π, τότε γράφουμε την απάντηση ως εξής:

Εάν τα σημάδια της έκφρασης δεν είναι αυστηρά, τότε πρέπει να περικλείεται το διάστημα των λύσεων αγκύλες- . Η απάντηση στο πρόβλημα μπορεί επίσης να γραφτεί ως μια άλλη ανισότητα:

Μέθοδος 2 - Επίλυση τριγωνομετρικών ανισώσεων χρησιμοποιώντας τον μοναδιαίο κύκλο

Παρόμοια προβλήματα μπορούν εύκολα να λυθούν με τη βοήθεια του τριγωνομετρικός κύκλος. Ο αλγόριθμος αναζήτησης είναι πολύ απλός:

1. Αρχικά, σχεδιάστε έναν κύκλο μονάδας.
2. Στη συνέχεια, πρέπει να σημειώσετε την τιμή της συνάρτησης τόξου του ορίσματος της δεξιάς πλευράς της ανισότητας στο τόξο του κύκλου.
3. Είναι απαραίτητο να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από την τιμή της συνάρτησης τόξου παράλληλη προς τον άξονα x (OX).
4. Μετά από αυτό, μένει μόνο να επιλέξετε το τόξο ενός κύκλου, το οποίο είναι το σύνολο των λύσεων στην τριγωνομετρική ανισότητα.
5. Γράψτε την απάντηση στην απαιτούμενη φόρμα.

Ας αναλύσουμε τα βήματα λύσης χρησιμοποιώντας την ανισότητα sin x › 1/2 ως παράδειγμα. Τα σημεία α και β σημειώνονται στον κύκλο – οι τιμές

Τα σημεία του τόξου που βρίσκονται πάνω από το α και το β είναι το διάστημα για την επίλυση της δεδομένης ανισότητας.

Εάν πρέπει να λύσετε ένα παράδειγμα για το cos, τότε το τόξο των απαντήσεων θα βρίσκεται συμμετρικά προς τον άξονα OX και όχι OY. Μπορείτε να εξετάσετε τη διαφορά μεταξύ των διαστημάτων λύσης για το sin και το cos στα παρακάτω διαγράμματα του κειμένου.

Οι γραφικές λύσεις για τις εφαπτομενικές και συνεφαπτομενικές ανισότητες θα διαφέρουν τόσο από ημιτονοειδές όσο και από συνημίτονο. Αυτό οφείλεται στις ιδιότητες των συναρτήσεων.

Η εφαπτομένη τόξου και η εφαπτομένη τόξου εφάπτονται σε τριγωνομετρικός κύκλος, και η ελάχιστη θετική περίοδος και για τις δύο συναρτήσεις είναι π. Για να χρησιμοποιήσετε γρήγορα και σωστά τη δεύτερη μέθοδο, πρέπει να θυμάστε σε ποιον άξονα αξίες αμαρτίας, cos, tg και ctg.

Η εφαπτομένη είναι παράλληλη με τον άξονα OY. Αν σχεδιάσουμε την τιμή του arctg a στον μοναδιαίο κύκλο, τότε το δεύτερο απαιτούμενο σημείο θα βρίσκεται στο διαγώνιο τέταρτο. γωνίες

Είναι σημεία διακοπής για τη συνάρτηση, καθώς το γράφημα τείνει προς αυτά αλλά δεν τα φτάνει ποτέ.

Στην περίπτωση της συνεφαπτομένης, η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς τον άξονα ΟΧ και η συνάρτηση διακόπτεται στα σημεία π και 2π.

Μιγαδικές τριγωνομετρικές ανισώσεις

Εάν το όρισμα της συνάρτησης ανισότητας αντιπροσωπεύεται όχι μόνο από μια μεταβλητή, αλλά από μια ολόκληρη παράσταση που περιέχει έναν άγνωστο, τότε μιλάμε ήδη για σύνθετη ανισότητα. Η πορεία και η σειρά της επίλυσής του είναι κάπως διαφορετική από τις μεθόδους που περιγράφονται παραπάνω. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε μια λύση στην ακόλουθη ανισότητα:

Η γραφική λύση προβλέπει την κατασκευή ενός συνηθισμένου ημιτονοειδούς y = sin x για αυθαίρετα επιλεγμένες τιμές του x. Ας υπολογίσουμε έναν πίνακα με συντεταγμένες για τα σημεία αναφοράς του γραφήματος:

Το αποτέλεσμα πρέπει να είναι μια ωραία καμπύλη.

Για ευκολία εύρεσης λύσης, αντικαθιστούμε το όρισμα σύνθετης συνάρτησης

Ο αλγόριθμος για την επίλυση του απλούστερου τριγωνομετρικές ανισότητεςκαι αναγνωρίζοντας τρόπους επίλυσης τριγωνομετρικών ανισώσεων.

Δάσκαλοι των ανώτατων κατηγορίας προσόντων:

Shirko F.M. Χωριό προόδου, MOBU-SOSH №6

Sankina L.S. Armavir, γυμνάσιο PEI " Νέος τρόπος»

Δεν υπάρχει καθολικά κόλπαδιδασκαλία των κλάδων του φυσικομαθηματικού κύκλου. Κάθε δάσκαλος βρίσκει τους δικούς του τρόπους διδασκαλίας αποδεκτούς μόνο από αυτόν.

Η πολυετής διδακτική μας εμπειρία δείχνει ότι οι μαθητές μπορούν να μάθουν πιο εύκολα υλικό που απαιτεί συγκέντρωση προσοχής και αποθήκευση μεγάλου όγκου πληροφοριών στη μνήμη, εάν διδαχθούν να χρησιμοποιούν αλγόριθμους στην εργασία τους. αρχικό στάδιομάθηση δύσκολο θέμα. Ένα τέτοιο θέμα, κατά τη γνώμη μας, είναι το θέμα της επίλυσης τριγωνομετρικών ανισώσεων.

Έτσι, πριν ξεκινήσουμε με τους μαθητές να προσδιορίζουμε τεχνικές και μεθόδους για την επίλυση τριγωνομετρικών ανισώσεων, επεξεργαζόμαστε και διορθώνουμε τον αλγόριθμο για την επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών ανισώσεων.

Αλγόριθμος για την επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών ανισώσεων

Σημειώνουμε σημεία στον αντίστοιχο άξονα ( Για αμαρτία Χ- άξονας y, γιαcos Χ- Άξονας OX)

Επαναφέρουμε την κάθετο στον άξονα, που θα τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία.

Πρώτα στον κύκλο υπογράφουμε το σημείο που ανήκει εξ ορισμού στο διάστημα του εύρους τιμών της συνάρτησης τόξου.

Ξεκινώντας από το σημασμένο σημείο, σκιάζουμε το τόξο ενός κύκλου που αντιστοιχεί στο σκιασμένο τμήμα του άξονα.

Γυρίζουμε Ιδιαίτερη προσοχήπρος την κατεύθυνση της παράκαμψης. Εάν η διέλευση είναι δεξιόστροφη (δηλαδή υπάρχει μετάβαση στο 0), τότε το δεύτερο σημείο του κύκλου θα είναι αρνητικό, εάν αριστερόστροφα - θετικό.

Γράφουμε την απάντηση ως διάστημα, λαμβάνοντας υπόψη την περιοδικότητα της συνάρτησης.

Ας εξετάσουμε τη λειτουργία του αλγορίθμου με παραδείγματα.

1) αμαρτία ≥ 1/2;

Λύση:

Σχεδιάστε έναν κύκλο μονάδας.

Σημειώνουμε ένα σημείο ½ στον άξονα y.

Επαναφέρετε την κάθετο στον άξονα,

που τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία.

Με τον ορισμό του τόξου, σημειώνουμε πρώτα

σημείο π/6.

Σκιάζουμε το τμήμα του άξονα που αντιστοιχεί

δεδομένης ανισότητας, πάνω από το σημείο ½.

Σκιάζουμε το τόξο ενός κύκλου που αντιστοιχεί στο σκιασμένο τμήμα του άξονα.

Η παράκαμψη γίνεται αριστερόστροφα, πήραμε το σημείο 5π/6.

Γράφουμε την απάντηση ως ένα διάστημα, λαμβάνοντας υπόψη την περιοδικότητα της συνάρτησης.

Απάντηση:Χ;[π/6 + 2π n, 5π/6 + 2π n], nΖ.

Η απλούστερη ανισότητα επιλύεται χρησιμοποιώντας τον ίδιο αλγόριθμο εάν δεν υπάρχει πίνακας τιμής στην εγγραφή απαντήσεων.

Οι μαθητές, στα πρώτα μαθήματα, λύνοντας ανισότητες στον πίνακα, προφέρουν κάθε βήμα του αλγορίθμου δυνατά.

2) 5 cos Χ – 1 ≥ 0;

R Λύση:στο

5 cos Χ – 1 ≥ 0;

cos Χ ≥ 1/5;

Σχεδιάστε έναν κύκλο μονάδας.

Σημειώνουμε στον άξονα ΟΧ ένα σημείο με τη συντεταγμένη 1/5.

Επαναφέρουμε την κάθετη στον άξονα, η οποία

τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία.

Πρώτα στον κύκλο υπογράφουμε το σημείο που ανήκει στο διάστημα του εύρους τιμών της αρκοσίνης εξ ορισμού (0; π).

Σκιάζουμε το τμήμα του άξονα που αντιστοιχεί σε αυτή την ανισότητα.

Ξεκινώντας από υπογεγραμμένο σημείο τόξα 1/5, σκιάστε το τόξο ενός κύκλου που αντιστοιχεί στο σκιασμένο τμήμα του άξονα.

Η παράκαμψη γίνεται δεξιόστροφα (δηλαδή υπάρχει μετάβαση στο 0), πράγμα που σημαίνει ότι το δεύτερο σημείο στον κύκλο θα είναι αρνητικό - τόξα 1/5.

Γράφουμε την απάντηση ως ένα διάστημα, λαμβάνοντας υπόψη την περιοδικότητα της συνάρτησης, από μια μικρότερη τιμή σε μια μεγαλύτερη.

Απάντηση: Χ  [-τόξα 1/5 + 2π n, τόξα 1/5 + 2π n], nΖ.

Η βελτίωση της ικανότητας επίλυσης τριγωνομετρικών ανισώσεων διευκολύνεται από τις ερωτήσεις: "Πώς θα λύσουμε μια ομάδα ανισώσεων;"; «Πώς διαφέρει μια ανισότητα από την άλλη;» "Πώς είναι μια ανισότητα παρόμοια με μια άλλη;"; Πώς θα άλλαζε η απάντηση αν δινόταν μια αυστηρή ανισότητα; Πώς θα άλλαζε η απάντηση αν υπήρχε ένα σημάδι αντί για το σύμβολο ""

Το έργο της ανάλυσης της λίστας των ανισοτήτων από τη σκοπιά των τρόπων επίλυσής τους σάς επιτρέπει να επεξεργαστείτε την αναγνώρισή τους.

Δίνονται στους μαθητές ανισότητες για να λύσουν στην τάξη.

Ερώτηση:Επισημάνετε τις ανισότητες που πρέπει να εφαρμοστούν ισοδύναμους μετασχηματισμούςόταν ανάγεται η τριγωνομετρική ανισότητα στην απλούστερη;

Απάντηση 1, 3, 5.

Ερώτηση:Ποιες είναι οι ανισότητες στις οποίες απαιτείται να θεωρηθεί ένα σύνθετο όρισμα ως απλό;

Απάντηση: 1, 2, 3, 5, 6.

Ερώτηση:Ονομάστε τις ανισότητες στις οποίες μπορείτε να εφαρμόσετε τριγωνομετρικούς τύπους?

Απάντηση: 2, 3, 6.

Ερώτηση:Ποιες είναι οι ανισότητες στις οποίες μπορείτε να εφαρμόσετε τη μέθοδο εισαγωγής μιας νέας μεταβλητής;

Απάντηση: 6.

Το έργο της ανάλυσης της λίστας των ανισοτήτων από τη σκοπιά των τρόπων επίλυσής τους σάς επιτρέπει να επεξεργαστείτε την αναγνώρισή τους. Κατά την ανάπτυξη δεξιοτήτων, είναι σημαντικό να ξεχωρίσετε τα στάδια της εφαρμογής του και να τα διατυπώσετε γενική εικόνα, που παρουσιάζεται στον αλγόριθμο επίλυσης των απλούστερων τριγωνομετρικών ανισώσεων.