Οποιος ταλαντευτικό κύκλωμαεκπέμπει ενέργεια. Ένα μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο διεγείρει ένα εναλλασσόμενο μαγνητικό πεδίο στον περιβάλλοντα χώρο και το αντίστροφο. Μαθηματικές εξισώσεις, που περιγράφουν τη σχέση μεταξύ μαγνητικών και ηλεκτρικών πεδίων, προήλθαν από τον Maxwell και φέρουν το όνομά του. Ας γράψουμε τις εξισώσεις του Maxwell μέσα διαφορική μορφήγια την περίπτωση που δεν υπάρχουν ηλεκτρικά φορτία () και ρεύματα ( ι= 0 ):

Τα μεγέθη και είναι οι ηλεκτρικές και μαγνητικές σταθερές, αντίστοιχα, που σχετίζονται με την ταχύτητα του φωτός στο κενό από τη σχέση

Σταθερά και χαρακτηρίζουν ηλεκτρικά και μαγνητικές ιδιότητεςπεριβάλλον, το οποίο θα θεωρήσουμε ομοιογενές και ισότροπο.

Ελλείψει φορτίων και ρευμάτων, η ύπαρξη στατικών ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων είναι αδύνατη. Ωστόσο, ένα εναλλασσόμενο ηλεκτρικό πεδίο διεγείρει ένα μαγνητικό πεδίο και αντίστροφα, ένα εναλλασσόμενο μαγνητικό πεδίο δημιουργεί ένα ηλεκτρικό πεδίο. Επομένως, υπάρχουν λύσεις στις εξισώσεις του Maxwell στο κενό, απουσία φορτίων και ρευμάτων, όπου τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία είναι άρρηκτα δεμένος φίλοςμε έναν φίλο. Η θεωρία του Maxwell ήταν η πρώτη που συνδύασε δύο θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις, που προηγουμένως θεωρούνταν ανεξάρτητες. Επομένως μιλάμε τώρα για ηλεκτρομαγνητικό πεδίο.

Ταλαντωτική διαδικασίαστο κύκλωμα συνοδεύεται από αλλαγή στο πεδίο που το περιβάλλει. Οι αλλαγές που συμβαίνουν στον περιβάλλοντα χώρο διαδίδονται από σημείο σε σημείο με μια ορισμένη ταχύτητα, δηλαδή, το κύκλωμα ταλάντωσης εκπέμπει ηλεκτρική ενέργεια στον χώρο που το περιβάλλει. μαγνητικό πεδίο.

Όταν τα διανύσματα και είναι αυστηρά αρμονικά χρονικά, το ηλεκτρομαγνητικό κύμα ονομάζεται μονοχρωματικό.

Ας πάρουμε από τις εξισώσεις του Maxwell τις κυματικές εξισώσεις για τα διανύσματα και .

Κυματική εξίσωση για ηλεκτρομαγνητικά κύματα

Όπως σημειώθηκε στο προηγούμενο μέρος του μαθήματος, ο ρότορας (σαπίλα)και απόκλιση (div)- αυτές είναι μερικές πράξεις διαφοροποίησης που εκτελούνται σύμφωνα με ορισμένους κανόνες για διανύσματα. Παρακάτω θα τους ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά.

Ας πάρουμε τον ρότορα και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης

Σε αυτήν την περίπτωση, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο που αποδείχθηκε στο μάθημα των μαθηματικών:

πού είναι η Λαπλάσια που εισήχθη παραπάνω. Ο πρώτος όρος στη δεξιά πλευρά είναι μηδέν λόγω μιας άλλης εξίσωσης Maxwell:

Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:

Ας εκφραστούμε σαπίλα σι μέσω ηλεκτρικού πεδίου χρησιμοποιώντας την εξίσωση Maxwell:

και χρησιμοποιήστε αυτήν την έκφραση στη δεξιά πλευρά του (2.93). Ως αποτέλεσμα, φτάνουμε στην εξίσωση:

Λαμβάνοντας υπόψη τη σύνδεση

και μπαίνοντας δείκτη διάθλασης περιβάλλον

ας γράψουμε την εξίσωση για το διάνυσμα τάσης ηλεκτρικό πεδίοόπως και:

Συγκρίνοντας με το (2.69), είμαστε πεπεισμένοι ότι έχουμε λάβει την εξίσωση κύματος, όπου v- ταχύτητα φάσηςφως στο περιβάλλον:

Λαμβάνοντας τον ρότορα και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης Maxwell

και ενεργώντας με παρόμοιο τρόπο, φτάνουμε στην κυματική εξίσωση για το μαγνητικό πεδίο:

Οι εξισώσεις κύματος που προκύπτουν και σημαίνουν ότι το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο μπορεί να υπάρχει με τη μορφή ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, η ταχύτητα φάσης των οποίων είναι ίση με

Απουσία μέσου (στο ), η ταχύτητα των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων συμπίπτει με την ταχύτητα του φωτός στο κενό.

Βασικές ιδιότητεςΗλεκτρομαγνητικά κύματα

Ας εξετάσουμε ένα επίπεδο μονοχρωματικό ηλεκτρομαγνητικό κύμα που διαδίδεται κατά μήκος του άξονα Χ:

Η πιθανότητα ύπαρξης τέτοιων λύσεων προκύπτει από τις εξισώσεις κυμάτων που προκύπτουν. Ωστόσο, οι εντάσεις του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Η σύνδεση μεταξύ τους μπορεί να γίνει αντικαθιστώντας τις λύσεις (2.99) στις εξισώσεις του Maxwell. Διαφορική λειτουργία σαπίλα, εφαρμόζεται σε ορισμένους διανυσματικό πεδίο ΕΝΑμπορεί να γραφεί συμβολικά ως ορίζουσα:

Αντικαθιστώντας εδώ τις εκφράσεις (2.99), οι οποίες εξαρτώνται μόνο από τη συντεταγμένη Χ, βρίσκουμε:

Η διαφοροποίηση των επίπεδων κυμάτων σε σχέση με το χρόνο δίνει:

Στη συνέχεια, από τις εξισώσεις του Maxwell προκύπτει:

Συνάγεται, πρώτον, ότι τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία ταλαντώνονται σε φάση:

Με άλλα λόγια, και σε ένα ισότροπο περιβάλλον,

Τότε μπορείτε να επιλέξετε άξονες συντεταγμένωνώστε το διάνυσμα να κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα στο(Εικ. 2.27) :

Ρύζι. 2.27. Ταλαντώσεις ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων σε επίπεδο ηλεκτρομαγνητικό κύμα

Σε αυτήν την περίπτωση, οι εξισώσεις (2.103) έχουν τη μορφή:

Από αυτό προκύπτει ότι το διάνυσμα κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα z:

Με άλλα λόγια, τα διανύσματα ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου είναι ορθογώνια μεταξύ τους και και τα δύο είναι ορθογώνια προς την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος. Λαμβάνοντας υπόψη αυτό το γεγονός, οι εξισώσεις (2.104) απλοποιούνται περαιτέρω:

Αυτό οδηγεί στη συνήθη σχέση μεταξύ διανύσματος κύματος, συχνότητας και ταχύτητας:

καθώς και η σύνδεση μεταξύ των πλάτη των ταλαντώσεων πεδίου:

Σημειώστε ότι η σύνδεση (2.107) ισχύει όχι μόνο για μέγιστες τιμές(πλάτη) των μεγεθών των διανυσμάτων έντασης ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου του κύματος, αλλά και για τα τρέχοντα - ανά πάσα στιγμή.

Έτσι, από τις εξισώσεις του Maxwell προκύπτει ότι τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα διαδίδονται στο κενό με την ταχύτητα του φωτός. Τότε, αυτό το συμπέρασμα έκανε τεράστια εντύπωση. Έγινε σαφές ότι δεν είναι μόνο ο ηλεκτρισμός και ο μαγνητισμός διάφορες εκδηλώσειςτην ίδια αλληλεπίδραση. Ολα φωτεινά φαινόμενα, οπτική, έγινε επίσης αντικείμενο της θεωρίας του ηλεκτρομαγνητισμού. Οι διαφορές στην ανθρώπινη αντίληψη των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σχετίζονται με τη συχνότητα ή το μήκος κύματός τους.

Η κλίμακα ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων είναι μια συνεχής ακολουθία συχνοτήτων (και μηκών κύματος) ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία. Η θεωρία του Maxwell για τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα μας επιτρέπει να διαπιστώσουμε ότι στη φύση υπάρχουν ηλεκτρομαγνητικά κύματα διαφόρων μηκών, που σχηματίζονται από διάφορους δονητές (πηγές). Ανάλογα με το πώς παράγονται τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα, χωρίζονται σε διάφορες περιοχές συχνοτήτων (ή μήκη κύματος).

Στο Σχ. Το σχήμα 2.28 δείχνει την κλίμακα των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων.

Ρύζι. 2.28. Κλίμακα ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων

Μπορεί να φανεί ότι το κύμα κυμαίνεται διάφοροι τύποιαλληλοεπικαλύπτονται. Επομένως, μπορούν να ληφθούν κύματα τέτοιου μήκους διαφορετικοί τρόποι. Δεν υπάρχουν θεμελιώδεις διαφορές μεταξύ τους, καθώς είναι όλα ηλεκτρομαγνητικά κύματα που παράγονται από ταλαντούμενα φορτισμένα σωματίδια.

Οι εξισώσεις του Maxwell οδηγούν επίσης στο συμπέρασμα ότι εγκάρσιαηλεκτρομαγνητικά κύματα σε κενό (και σε ισότροπο μέσο): τα διανύσματα έντασης ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου είναι ορθογώνια μεταξύ τους και ως προς την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος.

Επιπλέον πληροφορίες

http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0560.html – Εξίσωση κυμάτων. Υλικό από τη Φυσική Εγκυκλοπαίδεια.

http://fvl.fizteh.ru/courses/ovchinkin3/ovchinkin3-10.html – Οι εξισώσεις του Maxwell. Διαλέξεις βίντεο.

http://elementy.ru/trefil/24 – Οι εξισώσεις του Maxwell. Υλικό από τα «Στοιχεία».

http://nuclphys.sinp.msu.ru/enc/e092.htm – Πολύ σύντομα για τις εξισώσεις του Maxwell.

http://telecomclub.org/?q=node/1750 – Οι εξισώσεις του Maxwell και η φυσική τους σημασία.

http://principact.ru/content/view/188/115/ – Συνοπτικά για τις εξισώσεις του Maxwell για το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο.

Φαινόμενο Doppler για ηλεκτρομαγνητικά κύματα

Αφήστε μερικά αδρανειακό σύστημααντίστροφη μέτρηση ΠΡΟΣ ΤΗΝΈνα επίπεδο ηλεκτρομαγνητικό κύμα διαδίδεται. Η κυματική φάση έχει τη μορφή:

Παρατηρητής σε άλλο αδρανειακό πλαίσιο ΠΡΟΣ ΤΗΝ", κινούμενος σε σχέση με το πρώτο με ταχύτητα Vκατά μήκος του άξονα Χ, παρατηρεί επίσης αυτό το κύμα, αλλά χρησιμοποιεί διαφορετικές συντεταγμένες και χρόνο: t", r".Η σύνδεση μεταξύ των συστημάτων αναφοράς δίνεται από τους μετασχηματισμούς Lorentz:

Ας αντικαταστήσουμε αυτές τις εκφράσεις στην έκφραση για φάση, για να πάρει τη φάση κύματα σε ένα κινούμενο πλαίσιο αναφοράς:

Αυτή η έκφραση μπορεί να γραφτεί ως

Οπου και - κυκλική συχνότητα και διάνυσμα κύματος σε σχέση με το κινούμενο πλαίσιο αναφοράς. Συγκρίνοντας με το (2.110), βρίσκουμε τους μετασχηματισμούς Lorentz για τη συχνότητα και το διάνυσμα κύματος:

Για ηλεκτρομαγνητικό κύμαστο κενό

Αφήστε τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος να σχηματίσει γωνία με τον άξονα στο πρώτο σύστημα αναφοράς Χ:

Τότε η έκφραση για τη συχνότητα του κύματος στο κινούμενο πλαίσιο αναφοράς παίρνει τη μορφή:

Αυτό είναι Ο τύπος Doppler για τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα.

Εάν , τότε ο παρατηρητής απομακρύνεται από την πηγή ακτινοβολίας και η συχνότητα κύματος που αντιλαμβάνεται μειώνεται:

Εάν , τότε ο παρατηρητής πλησιάζει την πηγή και η συχνότητα ακτινοβολίας για αυτήν αυξάνεται:

Σε ταχύτητες V<< с μπορούμε να αγνοήσουμε την απόκλιση της τετραγωνικής ρίζας στους παρονομαστές από τη μονάδα και καταλήγουμε σε τύπους παρόμοιους με τους τύπους (2.85) για το φαινόμενο Doppler σε ένα ηχητικό κύμα.

Ας σημειώσουμε ένα βασικό χαρακτηριστικό του φαινομένου Doppler για ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Η ταχύτητα του κινούμενου πλαισίου αναφοράς παίζει εδώ το ρόλο της σχετικής ταχύτητας του παρατηρητή και της πηγής. Οι τύποι που προκύπτουν ικανοποιούν αυτόματα την αρχή της σχετικότητας του Αϊνστάιν και με τη βοήθεια πειραμάτων είναι αδύνατο να προσδιοριστεί τι ακριβώς κινείται - η πηγή ή ο παρατηρητής. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι για τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα δεν υπάρχει μέσο (αιθέρας) που θα έπαιζε τον ίδιο ρόλο με τον αέρα για ένα ηχητικό κύμα.

Σημειώστε επίσης ότι για ηλεκτρομαγνητικά κύματα έχουμε εγκάρσιο φαινόμενο Doppler. Όταν αλλάζει η συχνότητα ακτινοβολίας:

ενώ για τα ηχητικά κύματα, η κίνηση σε κατεύθυνση ορθογώνια προς τη διάδοση του κύματος δεν οδήγησε σε μετατόπιση συχνότητας. Αυτό το φαινόμενο σχετίζεται άμεσα με τη σχετικιστική χρονική διαστολή σε ένα κινούμενο πλαίσιο αναφοράς: ένας παρατηρητής σε έναν πύραυλο βλέπει μια αύξηση στη συχνότητα της ακτινοβολίας ή, γενικά, μια επιτάχυνση όλων των διεργασιών που συμβαίνουν στη Γη.

Ας βρούμε τώρα την ταχύτητα φάσης του κύματος

σε ένα κινούμενο πλαίσιο αναφοράς. Από τους μετασχηματισμούς Lorentz για το διάνυσμα κύματος έχουμε:

Ας αντικαταστήσουμε την αναλογία εδώ:

Παίρνουμε:

Από εδώ βρίσκουμε την ταχύτητα κύματος στο κινούμενο πλαίσιο αναφοράς:

Βρήκαμε ότι η ταχύτητα του κύματος στο κινούμενο πλαίσιο αναφοράς δεν έχει αλλάξει και εξακολουθεί να είναι ίση με την ταχύτητα του φωτός Με. Ας σημειώσουμε, ωστόσο, ότι, με σωστούς υπολογισμούς, αυτό δεν θα μπορούσε να μην συμβεί, αφού η αναλλοίωτη ταχύτητα του φωτός (ηλεκτρομαγνητικά κύματα) στο κενό είναι το κύριο αξίωμα της θεωρίας της σχετικότητας που έχει ήδη «ενσωματωθεί» στους μετασχηματισμούς Lorentz. χρησιμοποιήσαμε για συντεταγμένες και χρόνο (3.109).

Παράδειγμα 1.Ο πύραυλος φωτονίου κινείται με ταχύτητα V = 0,9 s, που κατευθύνεται προς ένα αστέρι που παρατηρείται από τη Γη στο οπτικό εύρος (μήκος κύματος μm). Ας βρούμε το μήκος κύματος της ακτινοβολίας που θα παρατηρήσουν οι αστροναύτες.

Το μήκος κύματος είναι αντιστρόφως ανάλογο με τη συχνότητα δόνησης. Από τον τύπο (2.115) για το φαινόμενο Doppler στην περίπτωση προσέγγισης της φωτεινής πηγής και του παρατηρητή, βρίσκουμε τον νόμο της μετατροπής του μήκους κύματος:

από το οποίο προκύπτει το αποτέλεσμα:

Σύμφωνα με το Σχ. 2.28 προσδιορίζουμε ότι για τους αστροναύτες η ακτινοβολία του αστεριού έχει μετατοπιστεί στην υπεριώδη περιοχή.

Ενέργεια και ορμή του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου

Ογκομετρική ενεργειακή πυκνότητα wτο ηλεκτρομαγνητικό κύμα αποτελείται από ογκομετρικές πυκνότητες ηλεκτρικού και μαγνητικά πεδία.

Οι εξισώσεις του Maxwell και η κυματική εξίσωση

Ηλεκτρομαγνητικά κύματα

Κατά τη διάδοση ενός μηχανικού κύματος σε ένα ελαστικό μέσο, ​​τα σωματίδια του μέσου εμπλέκονται σε ταλαντωτική κίνηση. Ο λόγος για αυτή τη διαδικασία είναι η παρουσία αλληλεπιδράσεων μεταξύ μορίων.

Εκτός από τα ελαστικά κύματα, υπάρχει μια κυματική διαδικασία διαφορετικής φύσης. Μιλάμε για ηλεκτρομαγνητικά κύματα, που είναι η διαδικασία διάδοσης των ταλαντώσεων του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Ουσιαστικά ζούμε σε έναν κόσμο ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Το εύρος τους είναι απίστευτα ευρύ - αυτά είναι ραδιοκύματα, υπέρυθρη ακτινοβολία, υπεριώδης ακτινοβολία, ακτίνες Χ, ακτίνες γ. Ξεχωριστή θέση σε αυτή τη διαφορετικότητα κατέχει το ορατό μέρος της γκάμας - το φως. Είναι με τη βοήθεια αυτών των κυμάτων που λαμβάνουμε μια συντριπτική ποσότητα πληροφοριών για τον κόσμο γύρω μας.

Τι είναι ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα; Ποια είναι η φύση του, μηχανισμός διανομής, ιδιότητες; Υπάρχουν γενικά μοτίβα που είναι χαρακτηριστικά τόσο των ελαστικών όσο και των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων;

Οι εξισώσεις του Maxwell και η κυματική εξίσωση

Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα είναι ενδιαφέροντα επειδή αρχικά «ανακαλύφθηκαν» από τον Maxwell σε χαρτί. Με βάση το σύστημα εξισώσεων που πρότεινε, ο Maxwell έδειξε ότι ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία μπορούν να υπάρχουν απουσία φορτίων και ρευμάτων, που διαδίδεται με τη μορφή κύματος με ταχύτητα 3∙10 8 m/s. Σχεδόν 40 χρόνια αργότερα, το υλικό αντικείμενο που είχε προβλεφθεί από τον Maxwell—EMW—ανακαλύφθηκε πειραματικά από τον Hertz.

Οι εξισώσεις του Maxwell είναι αξιώματα της ηλεκτροδυναμικής, που διατυπώνονται με βάση μια ανάλυση πειραματικών γεγονότων. Οι εξισώσεις καθορίζουν τη σχέση μεταξύ φορτίων, ρευμάτων και πεδίων - ηλεκτρικών και μαγνητικών. Ας δούμε δύο εξισώσεις.

1. Κυκλοφορία του διανύσματος έντασης ηλεκτρικού πεδίου κατά μήκος ενός αυθαίρετου κλειστού βρόχου μεγάλοείναι ανάλογος με τον ρυθμό μεταβολής της μαγνητικής ροής μέσω μιας επιφάνειας που εκτείνεται σε ένα περίγραμμα (αυτός είναι ο νόμος του Faraday για την ηλεκτρομαγνητική επαγωγή):

(1)

Η φυσική έννοια αυτής της εξίσωσης είναι ότι ένα μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο δημιουργεί ένα ηλεκτρικό πεδίο.

2. Κυκλοφορία του διανύσματος έντασης μαγνητικού πεδίου κατά μήκος ενός αυθαίρετου κλειστού βρόχου μεγάλοείναι ανάλογος με τον ρυθμό μεταβολής της ροής του διανύσματος ηλεκτρικής επαγωγής μέσω της επιφάνειας που τεντώνεται πάνω από το περίγραμμα:

Η φυσική έννοια αυτής της εξίσωσης είναι ότι το μαγνητικό πεδίο δημιουργείται από ρεύματα και ένα μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο.

Ακόμη και χωρίς μαθηματικούς μετασχηματισμούς αυτών των εξισώσεων, είναι σαφές: εάν το ηλεκτρικό πεδίο αλλάξει σε κάποιο σημείο, τότε σύμφωνα με το (2) εμφανίζεται ένα μαγνητικό πεδίο. Αυτό το μαγνητικό πεδίο, μεταβαλλόμενο, δημιουργεί ένα ηλεκτρικό πεδίο σύμφωνα με το (1). Τα πεδία προκαλούν αμοιβαία το ένα το άλλο, δεν συνδέονται πλέον με φορτία και ρεύματα!

Επιπλέον, η διαδικασία της αμοιβαίας επαγωγής των πεδίων θα διαδοθεί στο χώρο με πεπερασμένη ταχύτητα, δηλαδή εμφανίζεται ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Για να αποδειχθεί η ύπαρξη μιας κυματικής διαδικασίας στο σύστημα, στην οποία η τιμή S κυμαίνεται, είναι απαραίτητο να ληφθεί η εξίσωση κύματος

Ας θεωρήσουμε ένα ομοιογενές διηλεκτρικό με διηλεκτρική σταθερά ε και μαγνητική διαπερατότητα μ. Ας υπάρχει μαγνητικό πεδίο σε αυτό το μέσο. Για λόγους απλότητας, θα υποθέσουμε ότι το διάνυσμα της έντασης του μαγνητικού πεδίου βρίσκεται κατά μήκος του άξονα OY και εξαρτάται μόνο από τη συντεταγμένη z και τον χρόνο t: .

Γράφουμε τις εξισώσεις (1) και (2) λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση μεταξύ των χαρακτηριστικών των πεδίων σε ένα ομοιογενές ισότροπο μέσο: και :

Ας βρούμε τη διανυσματική ροή μέσω της ορθογώνιας περιοχής KLMN και τη διανυσματική κυκλοφορία κατά μήκος του ορθογώνιου περιγράμματος KLPQ (KL = dz, LP= KQ = σι, LM = KN = ένα)

Είναι προφανές ότι η διανυσματική ροή μέσω της θέσης KLMN και η κυκλοφορία κατά μήκος του κυκλώματος KLPQ είναι διαφορετική από το μηδέν. Τότε η κυκλοφορία του διανύσματος κατά μήκος του περιγράμματος KLMN και η ροή του διανύσματος μέσω της επιφάνειας KLPQ είναι επίσης μη μηδενικές. Αυτό είναι δυνατό μόνο υπό την προϋπόθεση ότι όταν αλλάζει το μαγνητικό πεδίο, εμφανίζεται ένα ηλεκτρικό πεδίο κατευθυνόμενο κατά μήκος του άξονα OX.

Συμπέρασμα 1:Όταν το μαγνητικό πεδίο αλλάζει, δημιουργείται ένα ηλεκτρικό πεδίο, η ισχύς του οποίου είναι κάθετη προς την επαγωγή του μαγνητικού πεδίου.

Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω, το σύστημα των εξισώσεων θα ξαναγραφεί

Μετά από μετασχηματισμούς παίρνουμε:

Οι εξισώσεις του Maxwell περιέχουν μια εξίσωση συνέχειας που εκφράζει το νόμο της διατήρησης του φορτίου. 3. Οι εξισώσεις του Maxwell ικανοποιούνται σε όλα τα αδρανειακά συστήματα της αναφοράς. 4. Οι εξισώσεις του Maxwell είναι συμμετρικές.

6.3.4. Ηλεκτρομαγνητικά κύματα

Από τις εξισώσεις του Maxwell προκύπτει ότι το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο είναι ικανό να υπάρχει ανεξάρτητα, χωρίς ηλεκτρικά φορτία και ρεύματα. Το μεταβαλλόμενο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο έχει κυματικό χαρακτήρα και διαδίδεται στο κενό με τη μορφή ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων με την ταχύτητα του φωτός.

Η ύπαρξη ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων προκύπτει από τις εξισώσεις του Maxwell, οι οποίες περιγράφονται με κυματικές εξισώσεις για διανύσματα και αντίστοιχα:

, (5.18)

, (5.19)

Μια αλλαγή στο χρόνο ενός μαγνητικού πεδίου διεγείρει ένα εναλλασσόμενο ηλεκτρικό πεδίο και, αντιστρόφως, μια αλλαγή στο χρόνο ενός ηλεκτρικού πεδίου διεγείρει ένα εναλλασσόμενο μαγνητικό πεδίο. Δίνη ηλεκτρικό πεδίο που προκαλείται από εναλλασσόμενο μαγνητικό πεδίο , σχηματίζει με το διάνυσμα αριστερόστροφο σύστημα (Εικ. 7.2) και το μαγνητικό πεδίο της δίνης που προκαλείται από το ηλεκτρικό πεδίο , σχηματίζει με το διάνυσμα σύστημα δεξιόβιδων (Εικ. 5.2).

Η συνεχής αλληλομετατροπή τους συμβαίνει, γεγονός που το καθιστά δυνατό

υπάρχουν και εξαπλώνονται στο χώρο και στο χρόνο απουσία φορτίων και ρευμάτων.

Έτσι, η θεωρία του Maxwell όχι μόνο προέβλεψε την ύπαρξη ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, αλλά καθιέρωσε επίσης τις πιο σημαντικές ιδιότητές τους:

Ταχύτητα διάδοσης ηλεκτρομαγνητικού κύματος σε ουδέτερο μη αγώγιμο και μη σιδηρομαγνητικό μέσο

(5.20)

όπου c είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό.

Ρύζι. 5.3 Εικ. 5.4

3. Σε ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα, διανύσματα Και ταλαντώνονται πάντα στις ίδιες φάσεις (Εικ. 5.4) και μεταξύ των στιγμιαίων τιμών των E και B σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου

υπάρχει μια σύνδεση, δηλαδή: E = vB ή
. (5.21)

Η ύπαρξη ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων επέτρεψε στον Maxwell να εξηγήσει την κυματική φύση του φωτός. Το φως είναι ηλεκτρομαγνητικά κύματα.

6.3.5. Ροή ενέργειας ηλεκτρομαγνητικού πεδίου

Καθώς τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα διαδίδονται στο χώρο και τον χρόνο, μεταφέρουν ενέργεια μαζί τους. Περιέχεται σε αμοιβαία μετασχηματιζόμενα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία.

Πυκνότητα ενέργειας ογκομετρικού ηλεκτρικού πεδίου

, (5.22)

όπου Ε είναι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου.

Πυκνότητα ενέργειας ογκομετρικού μαγνητικού πεδίου

, (5.23)

όπου Β είναι η επαγωγή του μαγνητικού πεδίου.

Κατά συνέπεια, η ογκομετρική ενεργειακή πυκνότητα του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου στην περιοχή του χώρου όπου βρίσκεται το ηλεκτρομαγνητικό κύμα σε μια αυθαίρετη χρονική στιγμή,

W= w e + w m =
. (5.24)

Ή λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι E = cB και
, έχουμε

w =  o E 2 , (5.25)

ή
. (5.26)

Η ενέργεια που μεταφέρεται από ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα ανά μονάδα χρόνου μέσω μιας μονάδας επιφάνειας ονομάζεται πυκνότητα ροής ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας. Το διάνυσμα πυκνότητας ροής ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας ονομάζεται διάνυσμα Poynting.

Poynting διανυσματική κατεύθυνση συμπίπτει με την κατεύθυνση διάδοσης του ηλεκτρομαγνητικού κύματος, δηλαδή με την κατεύθυνση μεταφοράς ενέργειας. Η ταχύτητα μεταφοράς ενέργειας είναι ίση με την ταχύτητα φάσης αυτού του κύματος.

Εάν ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα, όταν διαδίδεται, διέρχεται από μια ορισμένη περιοχή S, κάθετα προς την κατεύθυνση διάδοσής του, για παράδειγμα, κατά μήκος του άξονα Χ, τότε σε μια ορισμένη χρονική περίοδο dt το κύμα θα διανύσει μια απόσταση dx = cdt, όπου c είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

Δεδομένου ότι η ογκομετρική ενεργειακή πυκνότητα ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος

τότε η συνολική ενέργεια dW του ηλεκτρομαγνητικού κύματος που περιέχεται στον όγκο

dW = wdV =  o E 2 cdtS. (5.27)

Κατά συνέπεια, η πυκνότητα ροής της ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας που διέρχεται από την περιοχή S κατά τη διάρκεια του χρόνου dt

. (5.28)

Διάνυσμα Poynting συμπίπτει κατά διεύθυνση με την ταχύτητα διάδοσης του ηλεκτρομαγνητικού κύματος, η οποία είναι κάθετη Και , δηλ.

. (5.29)

Μια ομάδα διαφορικών εξισώσεων. Οι διαφορικές εξισώσεις που κάθε ένα από τα διανύσματα πεδίου πρέπει να ικανοποιεί χωριστά μπορούν να ληφθούν εξαλείφοντας τα υπόλοιπα διανύσματα. Για την περιοχή πεδίου που δεν περιέχει δωρεάν χρεώσεις και ρεύματα ($\overrightarrow(j)=0,\ \rho =0$), οι εξισώσεις για τα διανύσματα $\overrightarrow(B)$ και $\overrightarrow(E)$ έχουν τη μορφή:

Οι εξισώσεις (1) και (2) είναι συνηθισμένες εξισώσεις κυματικής κίνησης, οι οποίες δείχνουν ότι τα κύματα φωτός διαδίδονται σε ένα μέσο με ταχύτητα ($v$) ίση με:

Σημείωση 1

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η έννοια της ταχύτητας ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος έχει ορισμένο νόημα μόνο σε σχέση με κύματα απλού τύπου, για παράδειγμα, επίπεδα. Η ταχύτητα $v$ δεν είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος στην περίπτωση μιας αυθαίρετης λύσης των εξισώσεων (1) και (2), αφού αυτές οι εξισώσεις δέχονται λύσεις με τη μορφή στάσιμων κυμάτων.

Σε κάθε κυματική θεωρία του φωτός, ένα αρμονικό κύμα στο χώρο και στο χρόνο θεωρείται στοιχειώδης διαδικασία. Εάν η συχνότητα αυτού του κύματος βρίσκεται στο διάστημα $4\cdot (10)^(-14)\frac(1)(c)\le \nu \le 7,5\cdot (10)^(-14)\frac(1 ) (γ)$, ένα τέτοιο κύμα προκαλεί μια φυσιολογική αίσθηση ενός συγκεκριμένου χρώματος σε ένα άτομο.

Για διαφανείς ουσίες, η διηλεκτρική σταθερά $\varepsilon $ είναι συνήθως μεγαλύτερη από τη μονάδα, η μαγνητική διαπερατότητα του μέσου $\mu $ είναι σχεδόν ίση με τη μονάδα, αποδεικνύεται ότι, σύμφωνα με την εξίσωση (3), η ταχύτητα $v $ είναι μικρότερη από την ταχύτητα του φωτός στο κενό. Τι απέδειξαν για πρώτη φορά πειραματικά για την περίπτωση διάδοσης φωτός στο νερό από επιστήμονες ΦουκώΚαι Fizeau.

Συνήθως δεν καθορίζεται η ίδια η τιμή της ταχύτητας ($v$), αλλά η αναλογία $\frac(v)(c)$, για την οποία χρησιμοποιούν νόμος της διάθλασης . Σύμφωνα με αυτόν τον νόμο, όταν ένα επίπεδο ηλεκτρομαγνητικό κύμα προσπίπτει σε ένα επίπεδο όριο που χωρίζει δύο ομοιογενή μέσα, ο λόγος του ημιτόνου της γωνίας πρόσπτωσης $(\theta )_1$ προς το ημίτονο της γωνίας διάθλασης $( Το \theta )_2$ (Εικ. 1) είναι σταθερό και ίσο με τον λόγο των ταχυτήτων διάδοσης των κυμάτων σε δύο μέσα ($v_1\ και (\v)_2$):

Η τιμή του σταθερού λόγου της έκφρασης (4) συνήθως συμβολίζεται ως $n_(12)$. Λένε ότι το $n_(12)$ είναι ο σχετικός δείκτης διάθλασης της δεύτερης ουσίας σε σχέση με την πρώτη, τον οποίο βιώνει το μέτωπο του κύματος (κύμα) όταν περνά από το πρώτο μέσο στο δεύτερο.

Εικόνα 1.

Ορισμός 1

Απόλυτος δείκτης διάθλασης(απλά ο δείκτης διάθλασης) ενός μέσου $n$ είναι ο δείκτης διάθλασης μιας ουσίας σε σχέση με το κενό:

Μια ουσία με υψηλότερο δείκτη διάθλασης είναι οπτικά πιο πυκνή. Ο σχετικός δείκτης διάθλασης δύο ουσιών ($n_(12)$) σχετίζεται με τους απόλυτους δείκτες τους ($n_1,n_2$) ως:

Η φόρμουλα του Maxwell

Ορισμός 2

Ο Maxwell ανακάλυψε ότι ο δείκτης διάθλασης ενός μέσου εξαρτάται από τις διηλεκτρικές και μαγνητικές του ιδιότητες. Αν αντικαταστήσουμε την έκφραση για την ταχύτητα διάδοσης του φωτός από την εξίσωση (3) στον τύπο (5), παίρνουμε:

\ \

Η έκφραση (7) ονομάζεται Η φόρμουλα του Maxwell. Για τις περισσότερες μη μαγνητικές διαφανείς ουσίες που εξετάζονται στην οπτική, η μαγνητική διαπερατότητα της ουσίας μπορεί να είναι περίπου ίση με τη μονάδα, επομένως η ισότητα (7) χρησιμοποιείται συχνά με τη μορφή:

Συχνά θεωρείται ότι το $\varepsilon$ είναι σταθερό. Ωστόσο, γνωρίζουμε καλά τα πειράματα του Νεύτωνα με ένα πρίσμα για την αποσύνθεση του φωτός, ως αποτέλεσμα αυτών των πειραμάτων, γίνεται προφανές ότι ο δείκτης διάθλασης εξαρτάται από τη συχνότητα του φωτός. Συνεπώς, αν υποθέσουμε ότι ο τύπος του Maxwell είναι έγκυρος, τότε θα πρέπει να αναγνωρίσουμε ότι η διηλεκτρική σταθερά μιας ουσίας εξαρτάται από τη συχνότητα πεδίου. Η σύνδεση μεταξύ $\varepsilon $ και της συχνότητας πεδίου μπορεί να εξηγηθεί μόνο εάν λάβουμε υπόψη την ατομική δομή της ουσίας.

Ωστόσο, πρέπει να ειπωθεί ότι ο τύπος του Maxwell με μια σταθερή διηλεκτρική σταθερά μιας ουσίας μπορεί σε ορισμένες περιπτώσεις να χρησιμοποιηθεί ως καλή προσέγγιση. Ένα παράδειγμα είναι τα αέρια με απλή χημική δομή, στα οποία δεν υπάρχει σημαντική διασπορά του φωτός, πράγμα που σημαίνει ότι οι οπτικές ιδιότητες εξαρτώνται ασθενώς από το χρώμα. Ο τύπος (8) λειτουργεί επίσης καλά για υγρούς υδρογονάνθρακες. Από την άλλη πλευρά, τα περισσότερα στερεά, για παράδειγμα τα γυαλιά, και τα περισσότερα υγρά παρουσιάζουν ισχυρή απόκλιση από τον τύπο (8), αν θεωρήσουμε σταθερό το $\varepsilon$.

Παράδειγμα 1

Ασκηση:Ποια είναι η συγκέντρωση των ελεύθερων ηλεκτρονίων στην ιονόσφαιρα αν είναι γνωστό ότι για ραδιοκύματα με συχνότητα $\nu$ ο δείκτης διάθλασής τους είναι ίσος με $n$.

Λύση:

Ας πάρουμε τον τύπο του Maxwell ως βάση για την επίλυση του προβλήματος:

\[\varepsilon =1+\varkappa =1+\frac(P)((\varepsilon )_0E)\αριστερά(1.2\δεξιά),\]

όπου $\varkappa$ είναι η διηλεκτρική επιδεκτικότητα, P είναι η τιμή στιγμιαίας πόλωσης. Από τις (1.1) και (1.2) προκύπτει ότι:

Εάν η συγκέντρωση των ατόμων στην ιονόσφαιρα είναι ίση με $n_0, τότε η στιγμιαία τιμή της πόλωσης είναι ίση με:

Από τις εκφράσεις (1.3) και (1.4) έχουμε:

όπου $\omega $ είναι η κυκλική συχνότητα. Η εξίσωση των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων ενός ηλεκτρονίου χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η δύναμη αντίστασης μπορεί να γραφτεί ως:

\[\ddot(x)+((\omega )_0)^2x=\frac(q_eE_0)(m_e)cos\omega t\left(1.7\δεξιά),\]

όπου $m_e$ είναι η μάζα του ηλεκτρονίου, $q_e$ είναι το φορτίο του ηλεκτρονίου. Η λύση της εξίσωσης (1.7) είναι η έκφραση:

\ \

Γνωρίζουμε τη συχνότητα των ραδιοκυμάτων, επομένως μπορούμε να βρούμε την κυκλική συχνότητα:

\[\omega =2\pi \nu \αριστερά(1.10\δεξιά).\]

Ας αντικαταστήσουμε τη δεξιά πλευρά της έκφρασης (1.9) σε (1.5) αντί για $x_(max)$ και χρησιμοποιώντας το (1.10), λαμβάνουμε:

Απάντηση:$n_0=\frac(E_0m_e4\pi ^2\nu ^2)((q_e)^2)\αριστερά(1-n^2\δεξιά).$

Παράδειγμα 2

Ασκηση:Εξηγήστε γιατί ο τύπος του Maxwell έρχεται σε αντίθεση με ορισμένα πειραματικά δεδομένα.

Λύση:

Από την κλασική ηλεκτρομαγνητική θεωρία του Maxwell προκύπτει ότι ο δείκτης διάθλασης ενός μέσου μπορεί να εκφραστεί ως:

όπου στην οπτική περιοχή του φάσματος για τις περισσότερες ουσίες μπορούμε να υποθέσουμε ότι $\mu \περίπου 1$. Αποδεικνύεται ότι ο δείκτης διάθλασης για μια ουσία πρέπει να είναι μια σταθερή τιμή, αφού $\varepsilon $ - η διηλεκτρική σταθερά του μέσου είναι σταθερή. Ενώ το πείραμα δείχνει ότι ο δείκτης διάθλασης εξαρτάται από τη συχνότητα. Οι δυσκολίες που συνάντησε η θεωρία του Maxwell σε αυτό το θέμα εξαλείφονται από την ηλεκτρονική θεωρία του Lorentz. Ο Λόρεντς θεώρησε τη διασπορά του φωτός ως αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων με φορτισμένα σωματίδια που αποτελούν μέρος της ουσίας και εκτελούν εξαναγκασμένες ταλαντώσεις στο εναλλασσόμενο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο του φωτεινού κύματος. Χρησιμοποιώντας την υπόθεσή του, ο Lorentz έλαβε έναν τύπο που συσχετίζει τον δείκτη διάθλασης με τη συχνότητα ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος (βλ. παράδειγμα 1).

Απάντηση:Το πρόβλημα με τη θεωρία του Maxwell είναι ότι είναι μακροσκοπική και δεν εξετάζει τη δομή της ύλης.

Στην τεχνολογία μικροκυμάτων, το ενδιαφέρον είναι κυρίως σε πεδία που ποικίλλουν με το χρόνο σύμφωνα με έναν αρμονικό νόμο (δηλαδή είναι ημιτονοειδής φύσης).

Χρησιμοποιώντας τη μιγαδική μέθοδο, γράφουμε τα διανύσματα των ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων:

,
, (33)

Οπου – γωνιακή συχνότητα
.

Ας αντικαταστήσουμε αυτές τις εκφράσεις με τις εξισώσεις I και II – Maxwell

,
.

Μετά τη διαφοροποίηση έχουμε:

, (34)

. (35)

Η εξίσωση (34) μπορεί να μετατραπεί στη μορφή:

,

Οπου
– σύνθετη σχετική διηλεκτρική σταθερά λαμβάνοντας υπόψη τις απώλειες στο μέσο.

Ο λόγος του φανταστικού μέρους της μιγαδικής σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς προς το πραγματικό μέρος αντιπροσωπεύει την εφαπτομένη της διηλεκτρικής απώλειας
. Έτσι, οι εξισώσεις του Maxwell για αρμονικές δονήσεις απουσία ελεύθερων χρεώσεων
έχουν τη μορφή:

,(36)

, (37)

, (38)

. (39)

Σε αυτή τη μορφή, οι εξισώσεις του Maxwell είναι άβολες και πρέπει να μετασχηματιστούν.

Οι εξισώσεις του Maxwell ανάγεται εύκολα σε εξισώσεις κυμάτων, οι οποίες περιλαμβάνουν μόνο ένα από τα διανύσματα πεδίου. Καθορισμός
από το (37) και αντικαθιστώντας το με το (36), παίρνουμε:

Ας επεκτείνουμε την αριστερή πλευρά χρησιμοποιώντας τον τύπο III:

Ας εισάγουμε τη σημειογραφία
, στη συνέχεια λαμβάνοντας υπόψη
, παίρνουμε:

. (40)

Η ίδια εξίσωση μπορεί να ληφθεί για

. (41)

Οι εξισώσεις (40) – (41) ονομάζονται εξισώσεις Helmholtz. Περιγράφουν τη διάδοση των κυμάτων στο διάστημα και αποτελούν απόδειξη ότι οι αλλαγές στα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία με την πάροδο του χρόνου οδηγούν στη διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στο διάστημα.

Αυτές οι εξισώσεις ισχύουν για οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων. Όταν χρησιμοποιούμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων θα έχουμε:

, (42)

, (43)

Οπου
– μοναδιαία διανύσματα

Αν αντικαταστήσουμε τις σχέσεις (42) και (43) με τις εξισώσεις (40) και (41), τότε οι τελευταίες αναλύονται σε έξι ανεξάρτητες εξισώσεις:

,
,

, (44)
, (45)

,
,

Οπου
.

Στη γενική περίπτωση, σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, για να βρεθούν τα συστατικά του πεδίου, είναι απαραίτητο να λυθεί μια γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης

,

Οπου – ένα από τα στοιχεία του πεδίου, δηλ.
. Η γενική λύση αυτής της εξίσωσης είναι

, (46)

Οπου
– συνάρτηση κατανομής πεδίου στο επίπεδο του μετώπου κύματος, ανεξάρτητα από .

Ενεργειακές σχέσεις στο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Θεώρημα Umov-Poynting

Ένα από τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου είναι η ενέργειά του. Για πρώτη φορά, το ζήτημα της ενέργειας του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου εξετάστηκε από τον Maxwell, ο οποίος έδειξε ότι η συνολική ενέργεια του πεδίου που περιέχεται μέσα στον όγκο , αποτελείται από την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου:

, (47)

και ενέργεια μαγνητικού πεδίου:

. (48)

Έτσι, η συνολική ενέργεια του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου είναι ίση με:

. (49)

Το 1874 καθ. Ο N.A. Umov εισήγαγε την έννοια της ροής ενέργειας και το 1880. αυτή η έννοια εφαρμόστηκε από τον Poynting στη μελέτη των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Η διαδικασία ακτινοβολίας στην ηλεκτροδυναμική συνήθως χαρακτηρίζεται από τον προσδιορισμό του διανύσματος Umov-Poynting σε κάθε σημείο του χώρου.

Φυσικά σωστά αποτελέσματα, συμβατά τόσο με το νόμο της διατήρησης της ενέργειας όσο και με τις εξισώσεις του Maxwell, λαμβάνονται εάν εκφράσουμε το διάνυσμα Umov-Poynting με όρους στιγμιαίες τιμές
Και
με τον εξής τρόπο:

.

Ας πάρουμε την πρώτη και τη δεύτερη εξίσωση του Maxwell και ας πολλαπλασιάσουμε την πρώτη με , και το δεύτερο επάνω
και προσθέστε:

,

Οπου .

Έτσι, η εξίσωση (50) μπορεί να γραφτεί ως

,

ενσωμάτωση σε όγκο και αλλάζοντας τα σημάδια, έχουμε:

Ας περάσουμε από το ολοκλήρωμα πάνω από τον όγκο στο ολοκλήρωμα πάνω από την επιφάνεια

,

ή λαμβάνοντας υπόψη
παίρνουμε:

, Οτι
,
,

. (51)

Η εξίσωση που προκύπτει εκφράζει το νόμο της διατήρησης της ενέργειας σε ένα ηλεκτρομαγνητικό πεδίο (θεώρημα Umov-Poynting). Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης αντιπροσωπεύει τον ρυθμό μεταβολής με την πάροδο του χρόνου του συνολικού ενεργειακού αποθέματος του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου στον εξεταζόμενο όγκο
. Ο πρώτος όρος στη δεξιά πλευρά είναι η ποσότητα της θερμότητας , που απελευθερώνεται στα αγώγιμα μέρη του τόμου ανά μονάδα χρόνου. Ο δεύτερος όρος αντιπροσωπεύει τη ροή του διανύσματος Umov-Poynting μέσω της επιφάνειας που οριοθετεί τον όγκο .Διάνυσμα
είναι η πυκνότητα της ενεργειακής ροής του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου.Επειδή
, μετά την κατεύθυνση του διανύσματος
μπορεί να προσδιοριστεί από τον κανόνα του διανυσματικού προϊόντος /κανόνας gimlet/ (Εικ. 9). Στο σύστημα ΣΙδιάνυσμα
έχει διάσταση
.

Εικόνα 9 – Προς τον ορισμό του διανύσματος Umov-Poynting