Κατασκευαστικά, το ACF είναι μια άρτια συνάρτηση, δηλ. . Λόγω της ισοτιμίας, το ACF υπολογίζεται συνήθως μόνο για .

Για το , η τιμή ACF είναι μια εκτίμηση της διακύμανσης του υπό μελέτη πεδίου· για το ACF, εκφράζει τη σχέση μεταξύ των τιμών πεδίου για γειτονικές πιέτες (διακριτές) και αντιπροσωπεύει μια εκτίμηση του συντελεστή συσχέτισης για αυτές τις τιμές· για ACF, εκφράζει τη σχέση μεταξύ τιμών πεδίων που χωρίζονται από δύο διακριτές κ.λπ. δ.

Στην πράξη, χρησιμοποιούνται συχνά κανονικοποιημένες τιμές συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης R n. (Μ). Σε αυτή την περίπτωση, η κανονικοποίηση πραγματοποιείται R(0):

(4.5)

Μπορεί να αποδειχθεί ότι η εκτίμηση των κανονικοποιημένων τιμών του auto συνάρτηση συσχέτισης, με επαρκές μέγεθος δείγματος (τον αριθμό των πόντων στο προφίλ) έχει τα εξής ιδιότητες :

3. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι άρτια, δηλαδή R n. (m)= R n. (-m), επομένως, κατά την αξιολόγηση των συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης, συνήθως περιορίζονται στις τιμές της για μη αρνητικές τιμές του ορίσματος m>=0.

4. Δύο τυχαίες διεργασίες F 1 =(f 1 , f 2 ,…..f n ) και F 2 =(kf 1 , kf 2 ,…..kf n ) που διαφέρουν μόνο κατά έναν σταθερό παράγοντα k, έχουν τον ίδιο τύπο κανονικοποιημένη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R n (m).

5. Δύο τυχαίες διεργασίες F 1 = (f 1 , f 2 ,…..f n ) και F 2 = (f 1 +k, f 2 +k,…..f n +k) μετατοπισμένες μεταξύ τους κατά σταθερή τιμή k, έχουν την ίδια μορφή της κανονικοποιημένης συνάρτησης αυτοσυσχέτισης R n (m).

Αναλύοντας τις εκφράσεις 4.1 και 4.5, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι κανονικοποιημένες τιμές της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης R n. (Μ)δεν είναι τίποτα περισσότερο από ένας συντελεστής συσχέτισης που υπολογίζεται για σημεία που είναι απομακρυσμένα μεταξύ τους κατά Μπικετοφορίες. Έτσι, οι τιμές της συσχέτισης συναρτούν ένα συγκεκριμένο όρισμα Μδείχνει πόσο διαχωρίζονται οι τιμές του πεδίου μεταξύ τους Μπικετοφορίες, συσχετισμένες μεταξύ τους. Οπότε αν R(5)=0,85, τότε αυτό δείχνει ότι οι τιμές του πεδίου, οι οποίες απέχουν 5 πιέτες μεταξύ τους, είναι, γενικά, αρκετά συσχετισμένες αν R(9)=0,05, τότε οι τιμές του πεδίου που αφαιρέθηκαν από 9 πιέτες είναι πρακτικά ανεξάρτητες (μη συσχετισμένες). Τέλος, αν, για παράδειγμα, R(13)=-0,9, τότε υπάρχει μια ισχυρή αντίστροφη συσχέτιση μεταξύ των τιμών των πεδίων που απέχουν 13 πιέτες μεταξύ τους. τυχαία διαδικασία, για το οποίο έστω και με μία μόνο μετατόπιση R(1)<=0 , ονομαζόταν απολύτως ασύνδετη διαδικασία ("λευκός θόρυβος") .

Το Σχήμα 4.1 δείχνει παραδείγματα υπολογισμού κανονικοποιημένων συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης για διάφορες τυχαίες διεργασίες που είναι κοντά σε μια σταθερά (1), ένα ημιτονοειδές (2), μια απολύτως ασύνδετη διεργασία (3), μια τετραγωνική (4) και μια γραμμική (5). λειτουργία. Από το δεύτερο σχήμα προκύπτει ότι η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μιας περιοδικής διαδικασίας είναι επίσης περιοδική. Σε αυτή την περίπτωση, η περίοδος της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης συμπίπτει με την περίοδο της διαδικασίας. Για ένα απολύτως μη συσχετισμένο σήμα, οι τιμές της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης είναι κοντά στο μηδέν για οποιεσδήποτε μη μηδενικές τιμές του ορίσματος.

Οι κανονικοποιημένες τιμές της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης μιας σταθερής διεργασίας είναι πανομοιότυπα ίσες με ένα, αφού για τυχόν προκαταλήψεις Μοι τιμές της τυχαίας διαδικασίας συμπίπτουν πλήρως, δηλαδή είναι απόλυτα συσχετισμένες.

Το ACF καθορίζει ένα τόσο σημαντικό χαρακτηριστικό όπως το διάστημα συσχέτισης. Υπό διάστημα ή ακτίνα συσχέτισης κατανοήσουν μια τέτοια απόσταση μεταξύ των τιμών των πεδίων r, ξεκινώντας από το οποίο οι τιμές του πεδίου και μπορούν να θεωρηθούν μη συσχετισμένες, και σύμφωνα με τον νόμο της κανονικής κατανομής - ανεξάρτητα μεταξύ τους. Διάφορες ευρετικές τεχνικές χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση του διαστήματος συσχέτισης. Η πιο κοινή τεχνική είναι η εκτίμηση της τιμής του r από μια δεδομένη τιμή , όπου . Εν rλαμβάνεται ίσο με το όρισμα ACF, Μ, ξεκινώντας από το οποίο εκπληρώνεται η σχέση.

Για την εκτίμηση του διαστήματος συσχέτισης, χρησιμοποιούνται επίσης οι ακόλουθες σχέσεις:

ή .

Στην πράξη, η ακτίνα συσχέτισης υπολογίζεται από την ελάχιστη τιμή του επιχειρήματος Μ,στην οποία η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης διασχίζει τον άξονα x για πρώτη φορά.

Το σχήμα του ACF και το διάστημα συσχέτισης χρησιμοποιούνται για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων επεξεργασίας γεωφυσικών δεδομένων, από τα οποία επισημαίνουμε τα ακόλουθα:

1) Αξιολόγηση των ιδιοτήτων συσχέτισης σημάτων και θορύβου. Εάν δεν υπάρχει συσχέτιση μεταξύ του σήματος και του θορύβου, που συνήθως υποτίθεται, δηλ. η εμφάνιση ενός σήματος δεν εξαρτάται από την παρεμβολή, το ACF αντιπροσωπεύεται από το άθροισμα του ACF του σήματος και του ACF του θορύβου, αφού:

Από αυτή την έκφραση προκύπτει ότι σε μια χαμηλή ένταση θορύβου σε σύγκριση με την ένταση του σήματος, το ACF αντιπροσωπεύει μια εκτίμηση των ιδιοτήτων συσχέτισης του σήματος και, αντιστρόφως, στο διάστημα όπου το σήμα απουσιάζει, το ACF εκτιμά τις ιδιότητες του θόρυβος;

2) το ACF του σήματος και του θορύβου είναι η βάση για τον υπολογισμό όλων των βέλτιστων φίλτρων που αναφέρονται στο Κεφάλαιο VII.

3) Εάν το σχήμα του σήματος και το σχήμα ACF της παρεμβολής ταιριάζουν, καμία πρόσθετη επεξεργασία για τον διαχωρισμό τους δεν θα εισαγάγει κάτι νέο, καθώς σε αυτήν την περίπτωση τα εύρη συχνοτήτων του σήματος και της παρεμβολής επικαλύπτονται πλήρως μεταξύ τους.

4) Διαίρεση σε στατιστικά ομοιογενείς περιοχές με σκοπό τη γεωλογική χαρτογράφηση. Για το σκοπό αυτό, η μέση τιμή, η διακύμανση και το διάστημα συσχέτισης, που υπολογίζονται σε συρόμενα παράθυρα, χρησιμοποιούνται συνήθως ταυτόχρονα.

5) Αξιολόγηση της ανάλυσης της σεισμικής καταγραφής με την τιμή του λόγου , όπου Τ- περίοδος εγγραφής. Στο Hκοντά στην ενότητα, η ανάλυση είναι υψηλή, με H 0,5 £ - χαμηλό;

6) Χρήση του διαστήματος συσχέτισης για την εκτίμηση του βάθους εμφάνισης ηαντικείμενα κατά δυναμικά πεδία.

Σε αυτή την απλή σχέση μεταξύ του βάθους ηκαι το διάστημα συσχέτισης r, που εκτελούνται ακριβώς για αντικείμενα με τη μορφή κυλίνδρων άπειρης έκτασης, βασίζονται οι μέθοδοι βαρύτητας, που προτείνονται από τον A.M. Petrishchevsky, και η συσχέτιση, που προτείνεται από τον A.V. Petrov, η ανίχνευση δυνητικών πεδίων.

7) Εκτίμηση της διάρκειας της υλοποίησης, για παράδειγμα, το μήκος του προφίλ, για το οποίο υπολογίζεται το ACF. Στη γενική περίπτωση, η διασπορά του ACF προσδιορίζεται από την έκφραση , από το οποίο προκύπτει η δυνατότητα εκτίμησης της διάρκειας της ίδιας της υλοποίησης n.

3.2. Βρείτε τον μέσο όρο της σειράς και την τυπική απόκλιση s t, σχεδιάστε τα στο γράφημα:

3.3. Βρείτε συντελεστές αυτοσυσχέτισης για καθυστερήσεις τ = 1;2.

Λύση. Θα κάνουμε τον υπολογισμό σύμφωνα με τον τύπο

Για τ = 1 και τις τιμές μας, ο τύπος παίρνει τη μορφή:

Σχήμα 4.1 - Μη στάσιμη τυχαία διαδικασία αύξησης εσόδων

Δείτε τον πίνακα 4.2 για όλους τους ενδιάμεσους υπολογισμούς. Τελικά:

Ομοίως για το r(2), βλέπε πίνακα 4.3:

Πίνακας 4.2 - Καθυστέρηση τ = 1

3.4. Κατασκευάστε μια συνάρτηση αυτοσυσχέτισης για τρία σημεία (0,00; 1,00), (1,00; 0,32), (2,00; 0,10).

Λύση. Βλέπε σχήμα 4.1.

Εικόνα 4.1 Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης για μια τυχαία διαδικασία

Σημείωση: Τα σημεία 4 και 5 είναι προαιρετικά.

Πίνακας 4.3 - Καθυστέρηση τ = 2

1. Mnatsakanyan, A.G. Οδηγίες για το σχεδιασμό εργασιών εκπαιδευτικού κειμένου (περιλήψεις, έλεγχος, εργασίες, τελικές εργασίες) / A.G. Mnatsakanyan, Yu.Ya. Νάστιν, Ε.Σ. Κρούγκλοφ. - Καλίνινγκραντ, εκδοτικός οίκος KSTU, 2017. - 22 σελ.

2. Kremer, N.Sh. Οικονομετρία: σχολικό βιβλίο / Ν.Σχ. Kremer, Β.Α. Πούτκο. – Οικονομετρία: σχολικό βιβλίο. – Μ.: UNITI-DANA, 2012. – 387 σελ.

3. Nastin, Yu, Ya. Οικονομετρία: εγχειρίδιο pos. / Yu. Ya. Nastin. - Kaliningrad: NOU VPO BIEF, 2004. - 82 p.

4. Nastin, Yu.Ya. Οικονομετρία: Μέθοδος. διάταγμα. και αναθέσεις για εργασίες ελέγχου / Yu.Ya. Ναστίν. - Καλίνινγκραντ: FGOU VPO KSTU, 2015. - 40 σελ.

5. Παχνούτοφ, Ι.Α. Εισαγωγή στην οικονομετρία: εκπαιδευτική μέθοδος pos. / Ι.Α. Ο Παχνούτοφ. - Kaliningrad: FGOU VPO "KSTU", 2009. - 108 p.

6. Buravlev, A.I. Οικονομετρία: σχολικό βιβλίο / A.I. Μπουράβλεφ. – Μ.: Binom. Εργαστήριο Γνώσης, 2012. - 164 σελ.

7. Utkin, V.B. Οικονομετρία: σχολικό βιβλίο / V.B. Utkin - επιμ. 2ο - Μ.: Dashkov i K, 2011. - 564 σελ.

8. Οικονομετρία: σχολικό βιβλίο / επιμ. Ι.Ι. Ελισέεβα. –Μ.: Prospekt, 2011.-288 σελ.

9. Valentinov, V.A. Οικονομετρία: σχολικό βιβλίο / V.A. Valentinov - επιμ. 2ο - Μ.: Dashkov i K, 2010. - 448 σελ.

10. Magnus, Ya.R. Οικονομετρία: μια αρχική πορεία / Ya.R. Magnus, P.K. Katyshev, A.A. Περεσέτσκι. - 8η έκδοση, Μ .: Delo, 2008. - 504 σελ.

11. http://window.edu.ru/resource/022/45022 Sklyarov Yu.S. Οικονομετρία. Σύντομο μάθημα: Σχολικό βιβλίο. - Αγία Πετρούπολη: GUAP, 2007. - 140 σελ.

12. http://window.edu.ru/resource/537/74537 Shanchenko, N. I. Econometrics: εργαστήριο εργαστηρίου: οδηγός μελέτης / N. I. Shanchenko. - Ulyanovsk: UlGTU, 2011. - 117 σελ.

13. Berndt, E.R. Η πρακτική της οικονομετρίας: κλασικά και νεωτερικότητα: Εγχειρίδιο / μετάφραση από τα αγγλικά / E.R. Berndt. - Μ.: UNITI-DANA, 2005. - 863 σελ.

Παράρτημα Α

Τιμές της συνάρτησης Laplace

Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης- εξάρτηση της σχέσης μεταξύ της συνάρτησης (σήμα) και του μετατοπισμένου αντιγράφου της από το μέγεθος της χρονικής μετατόπισης.

Για ντετερμινιστικά σήματα συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (ACF) σήμα f (t) (\displaystyle f(t))καθορίζεται από το ολοκλήρωμα:

όπου E ( ) (\displaystyle \mathbb (E) \(\ \))- μαθηματική προσδοκία, ο αστερίσκος σημαίνει σύνθετη σύζευξη.

Εάν η αρχική συνάρτηση είναι αυστηρά περιοδική, τότε το γράφημα της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης θα έχει επίσης αυστηρά περιοδική συνάρτηση. Έτσι, από αυτό το γράφημα, μπορεί κανείς να κρίνει την περιοδικότητα της αρχικής συνάρτησης και, κατά συνέπεια, τα χαρακτηριστικά συχνότητάς της. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης χρησιμοποιείται για την ανάλυση πολύπλοκων διακυμάνσεων, για παράδειγμα, ένα ανθρώπινο ηλεκτροεγκεφαλογράφημα.

Εγκυκλοπαιδικό YouTube

1 / 3

Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης

Τι είναι η αυτοσυσχέτιση;

Συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης

Υπότιτλοι

Δυστυχώς, οι συντελεστές της διαδικασίας του κινητού μέσου όρου ερμηνεύονται ελάχιστα. Το τι σημαίνει 2ε(t- 1) + 3ε(t- 2) είναι εντελώς ακατανόητο. Και για ερμηνεία, χρησιμοποιείται η λεγόμενη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της διαδικασίας: ρk ή Corr(Yt, Yt-k) - αυτή η συνάρτηση ονομάζεται συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της διαδικασίας. Σύμφωνα με το νόημα για μια στατική διαδικασία με κανονικά κατανεμημένους παίκτες, το ρk δείχνει πόσο θα αλλάξει κατά μέσο όρο το σημερινό Y, αν οι Y k περίοδοι πριν, δηλαδή το Yt-k, αυξήθηκαν κατά 1. Ας χρησιμοποιήσουμε το ίδιο MA (2)- διαδικασία ως παράδειγμα, ο κινούμενος μέσος όρος της διαδικασίας τάξης 2, υπολογίζουμε και ερμηνεύουμε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης αυτή τη φορά. Άρα, μας ενδιαφέρει το ρk, δηλαδή είναι Corr (συσχέτιση) μεταξύ Yt και Y k-περιόδων πριν. Αρχικά, θα παρατηρήσουμε ορισμένες γενικές σκέψεις σχετικά με τον τρόπο υπολογισμού της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης για οποιαδήποτε διεργασία. Εξ ορισμού της συσχέτισης: Corr(Yt, Yt-k) είναι Cov(Yt, Yt-k) διαιρούμενο με τη ρίζα του γινομένου των διακυμάνσεων: Var(Yt) * Var(Yt-k). Ωστόσο, έχουμε μια στατική διαδικασία. Εδώ χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι η διαδικασία είναι ακίνητη, δηλαδή, οι διακυμάνσεις της είναι οι ίδιες. Var(Yt) = Var(Yt-k). Λοιπόν, κατά συνέπεια, εφόσον αυτές οι δύο διακυμάνσεις είναι ίσες, τότε η ρίζα τους είναι απλώς ίση με - μία από αυτές, οποιαδήποτε - Cov (Yt, Yt- k) στον αριθμητή παραμένει η ίδια και στον παρονομαστή, η ρίζα του το γινόμενο δύο όμοιων αριθμών δίνει απλώς τον πρώτο από αυτούς τους αριθμούς. Και, κατά συνέπεια, συμφωνήσαμε ότι αυτή είναι - αυτή είναι η συνάρτηση αυτοσυνδιακύμανσης - αυτή είναι γk, και αυτή είναι η διακύμανση ή γ0. Κατά συνέπεια, λάβαμε ότι το ρk είναι, στην πραγματικότητα, μια συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. Είναι απλώς μια κλιμακωτή αυτοδιακύμανση. Θα θυμηθώ τα προηγούμενα αποτελέσματα. Στην προηγούμενη άσκηση, ανακαλύψαμε ότι γk = 14ς στο τετράγωνο, αν k = 0, αυτή είναι η διακύμανση. - 3ς τετράγωνο εάν k = 1, - 2ς τετράγωνο εάν k = 2 και 0 για μεγάλες τιμές του k, δηλαδή μεγαλύτερες ή ίσες με 3. Με βάση τον γενικό τύπο, παίρνουμε ότι το ρ0 είναι γ0 στο γ0, αυτό πάντα 1 για οποιαδήποτε διαδικασία, επομένως αυτός είναι ένας μη ενδιαφέροντος δείκτης, αλλά τα υπόλοιπα είναι ήδη πιο ενδιαφέροντα. Το ρ1 είναι γ1/γ0, στην περίπτωσή μας παίρνουμε 3/14. ρ2 - αυτό είναι γ2/γ0, αυτό είναι - 2/14. Και, κατά συνέπεια, ρ3 = ρ4 =... = 0. Κατά συνέπεια, μπορούμε να ερμηνεύσουμε αυτούς τους συντελεστές. Τι σημαίνει το p1; Σημαίνει ότι αν γνωρίζουμε ότι το Yt-1 (το χθεσινό Υ) έχει αυξηθεί κατά μία μονάδα, τότε αυτό οδηγεί στο γεγονός ότι, κατά μέσο όρο, το Yt πέφτει κατά 3/14. Αυτό μπορούμε να ερμηνεύσουμε το ρ1. Και, κατά συνέπεια, ερμηνεύουμε το ρ2 με παρόμοιο τρόπο. Αν είναι γνωστό ότι το Yt- 2 (δηλαδή η τιμή του Y προχθές) αποδείχθηκε, ας πούμε, περισσότερο από το μέσο όρο κατά 1, δηλαδή αυξήθηκε κατά μία μονάδα σε σύγκριση με κάποια μέση τιμή, τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το Yt θα πέσει κατά μέσο όρο κατά 2/14. Έτσι ερμηνεύουμε αυτόν τον συντελεστή. Λοιπόν, αντίστοιχα, τα ρ3, ρ4 και ούτω καθεξής ερμηνεύονται ως εξής, ότι οι πληροφορίες σχετικά με την τιμή του Yt-3 δεν φέρουν πλέον καμία πληροφορία για το τρέχον Yt και, ειδικότερα, είναι άχρηστες στην πρόβλεψη. Αλλά οι δύο προηγούμενες αξίες είναι σημαντικές για εμάς.

Εφαρμογή στην τεχνολογία

Οι ιδιότητες συσχέτισης των αλληλουχιών κώδικα που χρησιμοποιούνται σε συστήματα ευρείας ζώνης εξαρτώνται από τον τύπο της ακολουθίας κωδικών, το μήκος της, τη συχνότητα των συμβόλων της και τη δομή της ανά σύμβολο.

Η μελέτη ACFπαίζει σημαντικό ρόλο στην επιλογή των αλληλουχιών κώδικα όσον αφορά τη μικρότερη πιθανότητα δημιουργίας ψευδούς συγχρονισμού.

Άλλες χρήσεις

Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης παίζει σημαντικό ρόλο στη μαθηματική μοντελοποίηση και την ανάλυση χρονοσειρών, δείχνοντας τους χαρακτηριστικούς χρόνους για τις υπό μελέτη διαδικασίες (βλ., για παράδειγμα: Turchin P. V.Ιστορική δυναμική. Μόσχα: URSS, 2007. ISBN 978-5-382-00104-3). Συγκεκριμένα, οι κύκλοι στη συμπεριφορά των δυναμικών συστημάτων αντιστοιχούν στα μέγιστα της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης κάποιας χαρακτηριστικής παραμέτρου.

Υπολογισμός Ταχύτητας

Συχνά είναι απαραίτητος ο υπολογισμός της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης για μια χρονολογική σειρά x i (\displaystyle x_(i)). Ο μετωπικός υπολογισμός λειτουργεί για O (T 2) (\displaystyle O(T^(2))). Ωστόσο, υπάρχει τρόπος να το κάνετε για .

Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι η εξής. Μπορείτε να κάνετε κάποιου είδους αντίστροφο μετασχηματισμό ενός προς ένα των δεδομένων, που ονομάζεται μετασχηματισμός Fourier, ο οποίος θα τα βάλει σε μια αντιστοιχία ένα προς ένα με ένα σύνολο δεδομένων σε έναν άλλο χώρο, που ονομάζεται χώρος συχνότητας. Οι πράξεις σε δεδομένα στον συνηθισμένο μας χώρο, όπως η πρόσθεση, ο πολλαπλασιασμός και, το πιο σημαντικό, η αυτοσυσχέτιση, έχουν αντιστοιχίες ένα προς ένα στο χώρο συχνοτήτων Fourier. Αντί να υπολογίσουμε την αυτοσυσχέτιση "head-on" στα αρχικά μας δεδομένα, θα εκτελέσουμε την αντίστοιχη πράξη στα αντίστοιχα δεδομένα στο χώρο συχνοτήτων του φάσματος Fourier, η οποία γίνεται σε γραμμικό χρόνο O(T) - η αυτοσυσχέτιση στο χώρο συχνοτήτων αντιστοιχεί σε απλός πολλαπλασιασμός. Μετά από αυτό, σύμφωνα με τα δεδομένα που λάβαμε, θα επαναφέρουμε τα αντίστοιχα σε συνηθισμένο χώρο. Η μετάβαση από τον συνηθισμένο χώρο στον χώρο συχνοτήτων και αντίστροφα γίνεται με τη χρήση του γρήγορου μετασχηματισμού Fourier για O (T log ⁡ T) (\displaystyle O(T\log T)), ο υπολογισμός του αναλόγου της αυτοσυσχέτισης στο χώρο των συχνοτήτων είναι Ο(Τ). Έτσι, έχουμε ένα κέρδος στο χρόνο στους υπολογισμούς. και είναι ευθέως ανάλογο με το πρώτο n (\displaystyle n)στοιχεία ακολουθίας

Το τετράγωνο της σύνθετης ενότητας λαμβάνεται στοιχείο προς στοιχείο: | a → | 2 = ( Re 2 ⁡ a i + Im 2 ⁡ a i ) (\displaystyle \left|(\vec (a))\right|^(2)=\left\(\όνομα χειριστή (Re) ^(2)a_(i )+\όνομα χειριστή (Im) ^(2)a_(i)\right\)). Εάν δεν υπάρχουν σφάλματα υπολογισμού, το φανταστικό μέρος θα είναι μηδέν. Ο συντελεστής αναλογικότητας καθορίζεται από την απαίτηση Ψ (0) = 1 (\displaystyle \Psi (0)=1).

Μελετώντας το ACF ενός πακέτου ορθογώνιων παλμών βίντεο, ο αναγνώστης, φυσικά, επέστησε την προσοχή στο γεγονός ότι το αντίστοιχο γράφημα είχε ένα συγκεκριμένο σχήμα πετάλου. Από πρακτική άποψη, λαμβάνοντας υπόψη τη χρήση του ACF για την επίλυση του προβλήματος της ανίχνευσης ενός τέτοιου σήματος ή της μέτρησης των παραμέτρων του, είναι εντελώς ασήμαντο οι μεμονωμένοι λοβοί να έχουν τριγωνικό σχήμα. Μόνο το σχετικό τους επίπεδο σε σύγκριση με το κεντρικό μέγιστο στο είναι σημαντικό.

Το επόμενο καθήκον μας είναι να αλλάξουμε τον ορισμό της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης με τέτοιο τρόπο ώστε να μπορούμε να εξάγουμε χρήσιμες πληροφορίες από αυτήν, αφαιρώντας από δευτερεύουσες λεπτομέρειες. Η βάση για αυτό είναι η ιδέα ενός μαθηματικού μοντέλου ενός διακριτού σήματος (βλ. Κεφ. 1).

Περιγραφή πολύπλοκων σημάτων με διακριτή δομή.

Ένα πακέτο πανομοιότυπων ορθογώνιων παλμών βίντεο είναι ο απλούστερος εκπρόσωπος της κατηγορίας σύνθετων σημάτων που έχουν κατασκευαστεί σύμφωνα με την ακόλουθη αρχή. Όλο το χρονικό διάστημα της ύπαρξης του σήματος διαιρείται σε έναν ακέραιο αριθμό M > 1 ίσων διαστημάτων, που ονομάζονται θέσεις. Σε κάθε μία από τις θέσεις, το σήμα μπορεί να βρίσκεται σε μία από τις δύο καταστάσεις, που αντιστοιχούν στους αριθμούς +1 και -1.

Ρύζι. 3.6 εξηγεί μερικούς από τους τρόπους δημιουργίας ενός μιγαδικού σήματος πολλαπλών θέσεων. Για βεβαιότητα, εδώ M = 3.

Μπορεί να φανεί ότι η φυσική εμφάνιση ενός διακριτού σήματος μπορεί να είναι διαφορετική.

Ρύζι. 3.6. Σύνθετο σήμα τριών θέσεων: α - κωδικοποίηση πλάτους. β - κωδικοποίηση φάσης

Στην περίπτωση α αντιστοιχεί το σύμβολο θετική αξίατο ύψος του παλμού βίντεο που εκπέμπεται στην αντίστοιχη θέση. Το σύμβολο -1 αντιστοιχεί αρνητικό νόημα- . Λέγεται ότι σε αυτή την περίπτωση εφαρμόζεται η κωδικοποίηση πλάτους ενός σύνθετου σήματος. Στην περίπτωση β, εμφανίζεται η κωδικοποίηση φάσης. Για τη μετάδοση ενός συμβόλου +1 στην αντίστοιχη θέση, δημιουργείται ένα τμήμα ενός αρμονικού σήματος με μηδενική αρχική φάση. Για την εμφάνιση του συμβόλου -1, χρησιμοποιείται ένα τμήμα ημιτονοειδούς κύματος ίδιας διάρκειας και συχνότητας, αλλά η φάση του μετατοπίζεται κατά επιπλέον 180°.

Παρά τη διαφορά στα γραφήματα αυτών των σημάτων daukh, στην ουσία, μπορεί κανείς να δημιουργήσει πλήρη ταυτότητα μεταξύ τους από την άποψη των μαθηματικών τους μοντέλων. Πράγματι, το μοντέλο οποιουδήποτε τέτοιου σήματος είναι μια ακολουθία αριθμών στην οποία κάθε σύμβολο παίρνει μία από τις δύο πιθανές τιμές +1. Για λόγους ευκολίας, θα συμφωνήσουμε στο μέλλον να συμπληρώσουμε μια τέτοια ακολουθία με μηδενικά σε «κενές» θέσεις, όπου το σήμα δεν ορίζεται. Σε αυτήν την περίπτωση, για παράδειγμα, η διευρυμένη μορφή εγγραφής ενός διακριτού σήματος (1 1, -1, 1) θα μοιάζει με

Η πιο σημαντική λειτουργία στην επεξεργασία διακριτά σήματασυνίσταται στη μετατόπιση ενός τέτοιου σήματος κατά έναν ορισμένο αριθμό θέσεων σε σχέση με την αρχική θέση χωρίς. αλλαγή στο σχήμα του. Για παράδειγμα, παρακάτω είναι κάποιο πρωτότυπο σήμα (η πρώτη γραμμή) και τα αντίγραφά του (επόμενες γραμμές), μετατοπισμένα κατά 1, 2 και 3 θέσεις προς την κατεύθυνση της καθυστέρησης:

Συνάρτηση διακριτής αυτοσυσχέτισης.

Θα προσπαθήσουμε να γενικεύσουμε τον τύπο (3.15) με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι δυνατός ο υπολογισμός του διακριτού αναλόγου του ACF όπως εφαρμόζεται σε σήματα πολλαπλών θέσεων. Είναι σαφές ότι η λειτουργία ολοκλήρωσης εδώ θα πρέπει να αντικατασταθεί από την άθροιση και αντί για μια μεταβλητή, θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί ένας ακέραιος (θετικός ή αρνητικός) που υποδεικνύει πόσες θέσεις μετατοπίζεται το αντίγραφο σε σχέση με το αρχικό σήμα.

Εφόσον το μαθηματικό μοντέλο του σήματος περιέχει μηδενικά σε «κενές» θέσεις, γράφουμε το διακριτό ACF ως

Αυτή η συνάρτηση ακέραιου ορίσματος έχει φυσικά πολλές από τις ήδη γνωστές ιδιότητες της συνηθισμένης συνάρτησης αυτοσυσχέτισης. Έτσι, είναι εύκολο να δούμε ότι το διακριτό ACF είναι άρτιο:

Με μια μετατόπιση κουκκίδων, αυτό το ACF καθορίζει την ενέργεια ενός διακριτού σήματος:

Μερικά παραδείγματα.

Για να επεξηγήσουμε τα παραπάνω, ας υπολογίσουμε το διακριτό ACF ενός σήματος τριών θέσεων με τις ίδιες τιμές σε κάθε θέση: Ας γράψουμε αυτό το σήμα μαζί με αντίγραφα μετατοπισμένα κατά 1, 2 και 3 θέσεις:

Μπορεί να φανεί ότι ήδη στο , το σήμα και το αντίγραφο παύουν να επικαλύπτονται, έτσι ώστε τα γινόμενα στον τύπο (3.29) να γίνονται ίσα με μηδέν στο . Υπολογίζοντας τα αθροίσματα, παίρνουμε

Οι πλευρικοί λοβοί της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης μειώνονται γραμμικά με την αύξηση του αριθμού και, ακριβώς όπως στην περίπτωση της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης τριών αναλογικών παλμών βίντεο.

Εξετάστε ένα διακριτό σήμα που διαφέρει από το προηγούμενο στο σύμβολο της αντίστροφης μέτρησης στη δεύτερη θέση:

Προχωρώντας με παρόμοιο τρόπο, υπολογίζουμε τις τιμές της διακριτής συνάρτησης αυτοσυσχέτισης για αυτό το σήμα:

Μπορεί να διαπιστωθεί ότι ο πρώτος πλευρικός λοβός αλλάζει πρόσημο ενώ παραμένει αμετάβλητος σε απόλυτη τιμή.

Τέλος, εξετάστε ένα διακριτό σήμα τριών θέσεων με ένα μαθηματικό μοντέλο της φόρμας

Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του είναι:

Από τα τρία διακριτά σήματα που μελετήθηκαν εδώ, είναι το τρίτο που είναι το πιο τέλειο όσον αφορά τις ιδιότητες συσχέτισης, αφού το χαμηλότερο επίπεδο πλευρικών λοβών της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης πραγματοποιείται σε αυτήν την περίπτωση.

Σήματα κράχτη.

Τα διακριτά σήματα με την καλύτερη δομή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης αποτέλεσαν τη δεκαετία του 1950 και του 1960 αντικείμενο εντατικής έρευνας από ειδικούς στον τομέα της θεωρητική ραδιομηχανικήκαι εφαρμοσμένα μαθηματικά. Βρέθηκαν ολόκληρες κατηγορίες σημάτων με ιδιότητες τέλειας συσχέτισης. Μεταξύ αυτών, τα λεγόμενα σήματα (κώδικες) Barker έχουν κερδίσει μεγάλη δημοτικότητα. Αυτά τα σήματα έχουν μοναδική ιδιοκτησία: ανεξάρτητα από τον αριθμό θέσης M, οι τιμές των συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης που υπολογίζονται με τον τύπο (3.29) δεν υπερβαίνουν τη μονάδα για όλους. Ταυτόχρονα, η ενέργεια αυτών των σημάτων, δηλ., η τιμή είναι αριθμητικά ίση με Μ.

Τα σήματα Barker μπορούν να πραγματοποιηθούν μόνο όταν ο αριθμός των θέσεων M = 2, 3, 4, 5, 7, 11 και 13. Η περίπτωση είναι ασήμαντη. Το σήμα Barker στο εξετάστηκε από εμάς στο τέλος της προηγούμενης ενότητας. Μαθηματικά μοντέλαΤα σήματα Barker και οι αντίστοιχες συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης δίνονται στον Πίνακα. 3.2.

Πίνακας 3.2 Μοντέλα σήματος Barker

Για απεικόνιση στο σχ. Το 3.7 δείχνει το πιο συχνά χρησιμοποιούμενο σήμα Barker 13 θέσεων για δύο μεθόδους κωδικοποίησης, καθώς και γραφική αναπαράσταση ACF του.

Ρύζι. 3.7. Σήμα Barker στο M = 13: a - κωδικοποίηση πλάτους. β - κωδικοποίηση φάσης. γ - συνάρτηση αυτοσυσχέτισης

Συμπερασματικά, σημειώνουμε ότι η μελέτη ορισμένων ιδιοτήτων διακριτών σημάτων και των συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης τους, που πραγματοποιείται σε αυτό το κεφάλαιο, έχει έναν προκαταρκτικό, εισαγωγικό χαρακτήρα. Μια συστηματική μελέτη αυτού του φάσματος ερωτήσεων θα πραγματοποιηθεί στο Κεφ. δεκαπέντε.

Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. Ανορθόγραμμα.

Εάν υπάρχει τάση και κυκλικές αλλαγές στις χρονοσειρές, οι τιμές του επόμενου επιπέδου της σειράς εξαρτώνται από τις προηγούμενες. Η σχέση μεταξύ διαδοχικών επιπέδων της χρονοσειράς ονομάζεται αυτοσυσχέτιση των επιπέδων της σειράς.

Μπορεί να μετρηθεί ποσοτικά χρησιμοποιώντας τον δείκτη συσχέτισης μεταξύ των επιπέδων της αρχικής χρονοσειράς και των επιπέδων αυτής της σειράς, μετατοπισμένα κατά πολλά βήματα στο χρόνο.

Ας δοθεί μια χρονοσειρά: u, u, ... uκαι ας υπάρχει γραμμική συσχέτιση μεταξύ y tκαι y t -1.

Προσδιορίστε τον συντελεστή συσχέτισης μεταξύ των σειρών στο τκαι στο t -1.

Για να το κάνουμε αυτό, χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο τύπο:

επικλινής x j = y t -1, y j = y t -1,παίρνουμε

(5.1)

Οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης της δεύτερης και της υψηλότερης τάξης προσδιορίζονται με παρόμοιο τρόπο. Έτσι, ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης 2ης τάξης χαρακτηρίζει την εγγύτητα της σχέσης μεταξύ των επιπέδων στοκαι στοκαι καθορίζεται από τον τύπο:

(5.2)

Η σειρά του επιπέδου της σειράς αυτοσυσχέτισης ονομάζεται υστέρηση.

Για τον τύπο (5.1) υστέρηση ίσο με ένα, για (5.3) δύο.

Η ακολουθία των συντελεστών αυτοσυσχέτισης των επιπέδων του πρώτου, του δεύτερου κ.λπ. εντολές ονομάζεται συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της χρονοσειράς (ACF).

Το γράφημα της εξάρτησης των τιμών του από το μέγεθος της υστέρησης ονομάζεται συσχετιστικόγραμμα.

Το ACF και το συσχετισμό καθιστούν δυνατό τον προσδιορισμό της υστέρησης στην οποία η αυτοσυσχέτιση είναι η υψηλότερη και, κατά συνέπεια, η υστέρηση στην οποία η σχέση μεταξύ του τρέχοντος και των προηγούμενων επιπέδων της σειράς είναι η πιο κοντινή, δηλ. μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αποκαλύψουν τη δομή της σειράς.

Συνιστάται η χρήση του συντελεστή αυτοσυσχέτισης και του ACF για τον προσδιορισμό της παρουσίας ή της απουσίας μιας συνιστώσας τάσης και μιας κυκλικής συνιστώσας σε μια χρονοσειρά:

εάν ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης της 1ης τάξης αποδείχθηκε ο υψηλότερος, τότε η υπό μελέτη σειρά περιέχει μόνο μια τάση.

εάν ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης της k-ης τάξης αποδείχθηκε ο υψηλότερος, τότε η σειρά περιέχει κυκλικές διακυμάνσεις με περιοδικότητα k-σημείων χρόνου.

εάν κανένας από τους συντελεστές δεν είναι σημαντικός, τότε μπορεί να γίνει μία από τις δύο υποθέσεις σχετικά με τη δομή αυτής της σειράς: είτε η σειρά δεν περιέχει τάσεις και κυκλικές αλλαγές και έχει δομή παρόμοια με τη δομή της σειράς που φαίνεται στο Σχ. 5.1γ , ή η σειρά περιέχει μια ισχυρή μη γραμμική τάση, η οποία απαιτεί πρόσθετη ανάλυση για να προσδιοριστεί.

49. Μοντέλο γενικευμένης παλινδρόμησης. Γενική μέθοδος ελάχιστα τετράγωνα. Το θεώρημα του Aitken

Κατά την κατασκευή ενός μοντέλου, για παράδειγμα, μια γραμμική άποψη

Y \u003d a + b 1 * x 1 + b 2 * x 2 + ... + b p * x p + ε (59,1)

η τυχαία μεταβλητή  είναι μια μη παρατηρήσιμη μεταβλητή. Για διαφορετικές προδιαγραφέςτα μοντέλα της διαφοράς μεταξύ θεωρητικών και πραγματικών τιμών μπορεί να αλλάξουν. Στην εργασία ανάλυση παλινδρόμησηςπεριλαμβάνει όχι μόνο την κατασκευή του ίδιου του μοντέλου, αλλά και τη μελέτη τυχαίες αποκλίσεις δηλ. υπολειμματικές τιμές. Αφού κατασκευάσουμε την εξίσωση παλινδρόμησης, ελέγχουμε αν οι εκτιμήσεις  i έχουν συγκεκριμένες ιδιότητες. Αυτές οι ιδιότητες των εκτιμήσεων που λαμβάνονται από τα ελάχιστα τετράγωνα έχουν μια πολύ σημαντική πρακτική αξίαστη χρήση αποτελεσμάτων παλινδρόμησης και συσχέτισης.

Συντελεστές παλινδρόμησης b βρήκα με βάση το σύστημα κανονικές εξισώσειςκαι αντιπροσωπεύοντας δειγματοληπτικές εκτιμήσειςΤα χαρακτηριστικά της αντοχής του δεσμού πρέπει να έχουν την ιδιότητα της μη μεροληψίας. Η αμερόληπτη εκτίμηση σημαίνει ότι αναμενόμενη αξίατο υπόλοιπο είναι μηδέν.

Αυτό σημαίνει ότι η ευρεθείσα παράμετρος παλινδρόμησης b i μπορεί να θεωρηθεί ως η μέση τιμή των πιθανών τιμών των συντελεστών παλινδρόμησης με αμερόληπτες εκτιμήσεις των υπολειμμάτων.

Για πρακτικούς σκοπούς, δεν είναι μόνο σημαντική η αμερόληπτη συμπεριφορά, αλλά και η αποτελεσματικότητα των εκτιμήσεων. Οι εκτιμήσεις θεωρούνται αποτελεσματικές εάν έχουν τη μικρότερη απόκλιση.

Προς την διαστήματα εμπιστοσύνηςΟι παράμετροι παλινδρόμησης είναι πραγματικές, οι εκτιμήσεις πρέπει να είναι συνεπείς. Η συνέπεια των εκτιμήσεων χαρακτηρίζει την αύξηση της ακρίβειάς τους με την αύξηση του μεγέθους του δείγματος.

Υπολειμματικές μελέτες  i περιλαμβάνουν τη δοκιμή της παρουσίας των ακόλουθων πέντε εγκαταστάσεων OLS:

την τυχαία φύση των υπολειμμάτων·

μηδενική μέση υπολειμματική τιμή, ανεξάρτητα από το x i ;

ομοσκεδαστικότητα - η διακύμανση κάθε απόκλισης  i είναι ίδια για όλες τις τιμές x.

δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση των υπολειμμάτων. Οι τιμές των υπολειμμάτων  i κατανέμονται ανεξάρτητα η μία από την άλλη.

τα υπολείμματα ακολουθούν κανονική κατανομή.

Αν η κατανομή τυχαία υπολείμματα Το i δεν αντιστοιχεί σε ορισμένες από τις παραδοχές LSM, τότε το μοντέλο θα πρέπει να διορθωθεί.

Πρώτα απ 'όλα, ελέγχεται η τυχαία φύση των υπολειμμάτων  i.

Εάν λαμβάνεται μια οριζόντια ζώνη κατανομής των υπολειμμάτων στο γράφημα, τότε τα υπολείμματα είναι τυχαίες μεταβλητέςκαι τα ελάχιστα τετράγωνα είναι δικαιολογημένα, οι θεωρητικές τιμές y του x είναι μια καλή προσέγγιση των πραγματικών τιμών y.

Δυνατόν επόμενες περιπτώσεις: αν  i . εξαρτάται από το y x τότε:

υπολείμματα  i . όχι τυχαία

υπολείμματα  i . δεν έχουν σταθερή διασπορά

υπολείμματα  i . φορούν συστηματικός

Σε αυτές τις περιπτώσεις, πρέπει είτε να εφαρμόσετε άλλη συνάρτηση είτε να εισαγάγετε Επιπλέον πληροφορίεςκαι να φτιάξουμε ξανά την εξίσωση παλινδρόμησης μέχρι τα υπόλοιπα  i να είναι τυχαίες μεταβλητές.

Η δεύτερη προϋπόθεση σημαίνει μηδέν μεσαίο μέγεθοςαποφάγια:

. (59.2)

Η τρίτη υπόθεση των ελαχίστων τετραγώνων απαιτεί η διακύμανση των υπολειμμάτων να είναι ομοσκεδαστική. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε τιμή του παράγοντα x j, τα υπολείμματα  i έχουν την ίδια διακύμανση. Εάν αυτή η προϋπόθεση για την εφαρμογή του LSM δεν πληρούται, τότε εμφανίζεται ετεροσκεδαστικότητα.

50. Προσβάσιμα γενικευμένα ελάχιστα τετράγωνα

Μέθοδος ελάχιστου τετραγώνου.Λίγο ακόμα κοινούς τύπουςΤα μοντέλα παλινδρόμησης συζητούνται στην ενότητα Κύριοι τύποι μη γραμμικά μοντέλα. Μετά την επιλογή ενός μοντέλου, τίθεται το ερώτημα: πώς μπορούν να αξιολογηθούν αυτά τα μοντέλα; Εάν είστε εξοικειωμένοι με μεθόδους γραμμικής παλινδρόμησης(περιγράφεται στην ενότητα Πολλαπλή παλινδρόμηση) ή ανάλυση διακύμανσης (περιγράφεται στην ενότητα Ανάλυση της διακύμανσης), τότε γνωρίζετε ότι όλες αυτές οι μέθοδοι χρησιμοποιούν εκτίμηση ελαχίστων τετραγώνων. Το κύριο σημείο αυτής της μεθόδου είναι η ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των τετραγωνικών αποκλίσεων των παρατηρούμενων τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής από τις τιμές που προβλέπονται από το μοντέλο. (Ο όρος ελάχιστα τετράγωνα χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Legendre - Legendre, 1805.)
Μέθοδος σταθμισμένων ελαχίστων τετραγώνων.Η τρίτη πιο κοινή μέθοδος, εκτός από τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και τη χρήση για την εκτίμηση του αθροίσματος των απόλυτων αποκλίσεων (βλ. παραπάνω), είναι η μέθοδος των σταθμισμένων ελαχίστων τετραγώνων. Η συνηθισμένη μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων υποθέτει ότι η διασπορά των υπολειμμάτων είναι η ίδια για όλες τις τιμές των ανεξάρτητων μεταβλητών. Με άλλα λόγια, η διακύμανση του σφάλματος θεωρείται ότι είναι ίδια για όλες τις μετρήσεις. Συχνά, αυτή η υπόθεση δεν είναι ρεαλιστική. Συγκεκριμένα, αποκλίσεις από αυτήν εντοπίζονται σε επιχειρήσεις, οικονομικά, εφαρμογές στη βιολογία (σημειώστε ότι οι εκτιμήσεις παραμέτρων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των σταθμισμένων ελαχίστων τετραγώνων μπορούν επίσης να ληφθούν χρησιμοποιώντας τη μονάδα πολλαπλής παλινδρόμησης).

Για παράδειγμα, θέλετε να μελετήσετε τη σχέση μεταξύ του προβλεπόμενου κόστους κατασκευής ενός κτιρίου και του ποσού που δαπανήθηκε πραγματικά. Αυτό μπορεί να είναι χρήσιμο για να λάβετε μια εκτίμηση των αναμενόμενων υπερβάσεων. Σε αυτή την περίπτωση είναι λογικό να υποθέσουμε ότι απόλυτη τιμήοι υπερβάσεις κόστους (εκφρασμένες σε δολάρια) είναι ανάλογες με το κόστος του έργου. Επομένως, για να επιλέξετε μια γραμμική μοντέλο παλινδρόμησηςπρέπει να χρησιμοποιούνται σταθμισμένα ελάχιστα τετράγωνα. Η συνάρτηση απώλειας θα μπορούσε να είναι, για παράδειγμα, αυτή (βλ. Neter, Wasserman και Kutner, 1985, σελ. 168):

Απώλεια = (παρατηρητής-πρόβλεψη) 2 * (1/x 2)

Σε αυτή την εξίσωση, το πρώτο μέρος της συνάρτησης απώλειας σημαίνει τυπική λειτουργίααπώλεια για τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (παρατηρηθείσα μείον τα προβλεπόμενα στο τετράγωνο, δηλαδή στο τετράγωνο των υπολειμμάτων) και η δεύτερη ισούται με το «βάρος» αυτής της απώλειας σε κάθε περίπτωση - ένα διαιρούμενο με το τετράγωνο της ανεξάρτητης μεταβλητής (x) για κάθε παρατήρηση. Σε μια κατάσταση πραγματικής εκτίμησης, το πρόγραμμα θα αθροίσει τις τιμές της συνάρτησης απώλειας σε όλες τις παρατηρήσεις (για παράδειγμα, έργα σχεδιασμού) όπως περιγράφεται παραπάνω και θα επιλέξει παραμέτρους που ελαχιστοποιούν το άθροισμα. Επιστρέφοντας στο εξεταζόμενο παράδειγμα, όσο μεγαλύτερο είναι το έργο (x), τόσο λιγότερο σημαίνει για εμάς το ίδιο σφάλμα στην πρόβλεψη του κόστους του. Αυτή η μέθοδος δίνει πιο ισχυρές εκτιμήσεις για τις παραμέτρους παλινδρόμησης (βλ. Neter, Wasserman και Kutner. 1985 για περισσότερες λεπτομέρειες).

51. Τσόου τεστ

Μια επίσημη στατιστική δοκιμή για την αξιολόγηση ενός μοντέλου τάσης χρονοσειράς παρουσία δομικών αλλαγών προτάθηκε από τον Gregory Chow*. Η εφαρμογή αυτού του τεστ περιλαμβάνει τον υπολογισμό των παραμέτρων των εξισώσεων τάσης. Εισάγουμε τη σημειογραφία που δίνεται στον Πίνακα.

Πίνακας 3 - συμβάσειςγια τον αλγόριθμο δοκιμής Chow

Ας υποθέσουμε ότι η υπόθεση H0 επιβεβαιώνει τη δομική σταθερότητα της τάσης της υπό μελέτη χρονολογικής σειράς. Υπολειπόμενη ποσότηταΤα τετράγωνα σύμφωνα με το τμηματικά γραμμικό μοντέλο (C cl ost) μπορούν να βρεθούν ως το άθροισμα των C 1 rev και C 2 rev

C cl ost \u003d C 1 ost + C 2 ost (62.1)

Ο αντίστοιχος αριθμός βαθμών ελευθερίας θα είναι:

(n 1 - k 1) + (n 2 - k 2) = n - k 1 - k 2 (62,2)

Στη συνέχεια η μείωση υπολειμματική διασποράκατά τη μετάβαση της ενοποιημένης εξίσωσης τάσης σε ένα τμηματικά γραμμικό μοντέλο, προσδιορίστε ως εξής:

DC υπόλοιπο = C 3 υπόλοιπο - C cl υπόλοιπο (62,3)

Ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας που αντιστοιχούν στο DC, λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση (23), θα είναι:

n - k 3 - (n - n 1 - k 2) = k 1 + k 2 - k 3 (62,4)

Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον G. Chow, η μέθοδος G. Chow χρησιμοποιείται για να βρεθεί η πραγματική τιμή του κριτηρίου F για τις ακόλουθες διασπορές ανά ένα βαθμό ελευθερίας μεταβολής:

(62.5)

Η τιμή που βρέθηκε του γεγονότος F συγκρίνεται με την πίνακα, (πίνακας κατανομής Fisher για το επίπεδο σημαντικότητας α ‚ a και ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας (k 1 + k 2 - k 3) και (n - k 1 - k 2)

Εάν F fact > F πίνακας, τότε η υπόθεση σχετικά με τη δομική σταθερότητα της τάσης απορρίπτεται και η επίδραση των δομικών αλλαγών στη δυναμική του μελετημένου δείκτη αναγνωρίζεται ως σημαντική. Σε αυτή την περίπτωση, η μοντελοποίηση της τάσης της χρονοσειράς θα πρέπει να γίνει χρησιμοποιώντας ένα τμηματικά γραμμικό μοντέλο. Αν ένα

ΣΤ γεγονός< F табл то μηδενική υπόθεσηη διαρθρωτική σταθερότητα της τάσης δεν απορρίπτεται. Η μοντελοποίησή του θα πρέπει να πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας μια ενιαία εξίσωση τάσης για ολόκληρο τον πληθυσμό.

Χαρακτηριστικά της εφαρμογής του τεστ Chow.

1. Εάν ο αριθμός των παραμέτρων σε όλες τις εξισώσεις από τον Πίνακα 3 (1), (2), (3) είναι ίδιος και ίσος με k, τότε ο τύπος (56) απλοποιείται:

(62.6)

2. Το τεστ Chow καθιστά δυνατή την εξαγωγή συμπερασμάτων σχετικά με την παρουσία ή την απουσία δομικής σταθερότητας στη μελετημένη χρονοσειρά. Αν το F είναι γεγονός< F табл, то это означает, что уравнения (1) и (2) описывают одну и ту же тенденцию, а различия численных оценок их пара метров а 1 и а 2 , а также b 1 и b 2 соответственно статистически не значимы. Если же F факт >Πίνακας F τότε απορρίπτεται η υπόθεση της δομικής σταθερότητας, που σημαίνει στατιστική σημασίαδιαφορές στις εκτιμήσεις των παραμέτρων των εξισώσεων (1) και (2).

3. Η εφαρμογή του τεστ Chow προϋποθέτει ότι οι υποθέσεις για κανονική κατανομήυπολείμματα στις εξισώσεις (1) και (2) και την ανεξαρτησία των κατανομών τους.

Εάν η υπόθεση της δομικής σταθερότητας της τάσης της σειράς y απορριφθεί, περαιτέρω ανάλυση μπορεί να συνίσταται στην εξέταση των αιτιών αυτών των δομικών διαφορών και στη μελέτη της φύσης της αλλαγής της τάσης. ΣΤΟ αποδεκτοί χαρακτηρισμοίαυτοί οι λόγοι καθορίζουν τις διαφορές στις εκτιμήσεις των παραμέτρων των εξισώσεων (1) και (2).

Είναι δυνατοί οι ακόλουθοι συνδυασμοί αλλαγών στις αριθμητικές εκτιμήσεις των παραμέτρων αυτών των εξισώσεων:

Αλλαγή της Αριθμητικής Εκτίμησης του Ελεύθερου Όρου της Εξίσωσης Τάσεων Α2σε σύγκριση με α 1 υπό την προϋπόθεση ότι οι διαφορές β 1και β 2στατιστικά ασήμαντο. Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι οι ευθείες (1) (2) είναι παράλληλες. Υπάρχει μια απότομη αλλαγή στο επίπεδο της σειράς y t, τη στιγμή του χρόνου t‚ και αμετάβλητη μέση απόλυτη ανάπτυξη για την περίοδο.

Αλλαγή της αριθμητικής εκτίμησης μιας παραμέτρου β 2σε σύγκριση με το β 1υπό τον όρο ότι οι διαφορές μεταξύ ενός 1 και ενός 2 δεν είναι στατιστικά σημαντικές. Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι οι ευθείες (1) και (2) τέμνουν τον άξονα συντεταγμένων σε ένα σημείο. Μια αλλαγή στην τάση συμβαίνει μέσω μιας αλλαγής στη μέση απόλυτη αύξηση της χρονοσειράς, ξεκινώντας από τη χρονική στιγμή t‚ με σταθερό αρχικό επίπεδο της σειράς εκείνη τη στιγμή t=0

Αλλαγή στις αριθμητικές εκτιμήσεις των παραμέτρων a 1 και a 2 , καθώς και β 1και β 2. Αυτό φαίνεται στο γράφημα από την αλλαγή επίπεδο εισόδουκαι μέσο όρο για την περίοδο απόλυτης ανάπτυξης