Κανονικός νόμος κατανομής πιθανοτήτων

Χωρίς υπερβολή, μπορεί να ονομαστεί φιλοσοφικός νόμος. Παρατηρώντας διάφορα αντικείμενα και διαδικασίες του κόσμου γύρω μας, συχνά συναντάμε το γεγονός ότι κάτι δεν είναι αρκετό και ότι υπάρχει ένας κανόνας:


Εδώ είναι μια βασική άποψη συναρτήσεις πυκνότηταςκανονική κατανομή πιθανοτήτων, και σας καλωσορίζω σε αυτό το πιο ενδιαφέρον μάθημα.

Ποια παραδείγματα μπορούν να δοθούν; Είναι απλά σκοτάδι. Αυτό, για παράδειγμα, είναι το ύψος, το βάρος των ανθρώπων (και όχι μόνο), η σωματική τους δύναμη, οι νοητικές τους ικανότητες κ.λπ. Υπάρχει μια "μάζα" (με τον ένα ή τον άλλο τρόπο)και υπάρχουν αποκλίσεις και προς τις δύο κατευθύνσεις.

Αυτά είναι διαφορετικά χαρακτηριστικά των άψυχων αντικειμένων (ίδιες διαστάσεις, βάρος). Αυτή είναι μια τυχαία διάρκεια διεργασιών, για παράδειγμα, ο χρόνος ενός αγώνα εκατό μέτρων ή η μετατροπή της ρητίνης σε κεχριμπάρι. Από τη φυσική, ήρθαν στο μυαλό τα μόρια του αέρα: ανάμεσά τους υπάρχουν αργά, υπάρχουν γρήγορα, αλλά τα περισσότερα από αυτά κινούνται με «τυποποιημένες» ταχύτητες.

Στη συνέχεια, αποκλίνουμε από το κέντρο κατά μία ακόμη τυπική απόκλιση και υπολογίζουμε το ύψος:

Σημείωση σημείων στο σχέδιο (πράσινο χρώμα)και βλέπουμε ότι αυτό είναι αρκετά.

Στο τελικό στάδιο, σχεδιάζουμε προσεκτικά ένα γράφημα και ιδιαίτερα προσεκτικάαντανακλούν το κυρτότητα / κοιλότητα! Λοιπόν, μάλλον έχετε συνειδητοποιήσει εδώ και πολύ καιρό ότι ο άξονας της τετμημένης είναι οριζόντια ασύμπτωτη, και είναι απολύτως αδύνατο να «σκαρφαλώσεις» γι' αυτό!

Με την ηλεκτρονική σχεδίαση της λύσης, το γράφημα είναι εύκολο να κατασκευαστεί στο Excel, και απροσδόκητα για τον εαυτό μου, ηχογράφησα ακόμη και ένα σύντομο βίντεο για αυτό το θέμα. Αλλά πρώτα, ας μιλήσουμε για το πώς αλλάζει το σχήμα της κανονικής καμπύλης ανάλογα με τις τιμές των και .

Όταν αυξάνεται ή μειώνεται το "a" (με αμετάβλητο "σίγμα")το γράφημα διατηρεί το σχήμα του και κινείται δεξιά/αριστεράαντίστοιχα. Έτσι, για παράδειγμα, όταν η συνάρτηση παίρνει τη μορφή και το γράφημά μας «μετακινείται» 3 μονάδες προς τα αριστερά - ακριβώς στην αρχή:


Μια κανονικά κατανεμημένη ποσότητα με μηδενική μαθηματική προσδοκία έλαβε ένα εντελώς φυσικό όνομα - κεντραρισμένος; συνάρτηση πυκνότητάς του – ακόμη και, και το γράφημα είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα y.

Σε περίπτωση αλλαγής στο «σίγμα» (με σταθερά "α"), το γράφημα "παραμένει στη θέση του", αλλά αλλάζει σχήμα. Όταν μεγεθύνεται, γίνεται χαμηλότερο και επιμήκη, σαν ένα χταπόδι που τεντώνει τα πλοκάμια του. Και αντίστροφα, όταν μειώνεται το γράφημα γίνεται στενότερο και ψηλότερο- αποδεικνύεται "έκπληκτο χταπόδι". Ναι, στο μείωση"Sigma" δύο φορές: το προηγούμενο γράφημα στενεύει και επεκτείνεται δύο φορές:

Όλα είναι σε πλήρη συμφωνία με γεωμετρικοί μετασχηματισμοί γραφημάτων.

Η κανονική κατανομή με τιμή μονάδας «σίγμα» ονομάζεται κανονικοποιημένη, και αν είναι επίσης κεντραρισμένος(η περίπτωσή μας), τότε μια τέτοια κατανομή ονομάζεται πρότυπο. Έχει μια ακόμη πιο απλή συνάρτηση πυκνότητας, η οποία έχει ήδη συναντηθεί σε τοπικό θεώρημα Laplace: . Η τυπική διανομή έχει βρει ευρεία εφαρμογή στην πράξη και πολύ σύντομα θα καταλάβουμε επιτέλους τον σκοπό της.

Ας δούμε τώρα μια ταινία:

Ναι, πολύ σωστά - κάπως άδικα μείναμε στη σκιά συνάρτηση κατανομής πιθανότητας. Την θυμόμαστε ορισμός:
- η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να πάρει μια τιμή ΛΙΓΟΤΕΡΗ από τη μεταβλητή, η οποία "τρέχει" όλες τις πραγματικές τιμές στο "συν" άπειρο.

Μέσα στο ολοκλήρωμα, χρησιμοποιείται συνήθως διαφορετικό γράμμα, έτσι ώστε να μην υπάρχουν "επικαλύψεις" με τη σημείωση, επειδή εδώ εκχωρείται κάθε τιμή ακατάλληλο ολοκλήρωμα , που ισούται με κάποιους αριθμόςαπό το μεσοδιάστημα.

Σχεδόν όλες οι τιμές δεν μπορούν να υπολογιστούν με ακρίβεια, αλλά όπως είδαμε μόλις, με τη σύγχρονη υπολογιστική ισχύ, αυτό δεν είναι δύσκολο. Έτσι, για τη λειτουργία της τυπικής κατανομής, η αντίστοιχη συνάρτηση excel περιέχει γενικά ένα όρισμα:

=NORMDIST(z)

Ένα, δύο - και τελειώσατε:

Το σχέδιο δείχνει ξεκάθαρα την υλοποίηση όλων ιδιότητες συνάρτησης διανομής, και από τις τεχνικές αποχρώσεις εδώ θα πρέπει να δώσετε προσοχή οριζόντιες ασύμπτωτεςκαι ένα σημείο καμπής.

Τώρα ας θυμηθούμε ένα από τα βασικά καθήκοντα του θέματος, δηλαδή, να μάθετε πώς να βρείτε - την πιθανότητα μια κανονική τυχαία μεταβλητή θα πάρει μια τιμή από το διάστημα. Γεωμετρικά, αυτή η πιθανότητα είναι ίση με περιοχήμεταξύ της κανονικής καμπύλης και του άξονα x στην αντίστοιχη ενότητα:

αλλά κάθε φορά αλέθετε μια κατά προσέγγιση τιμή είναι παράλογο, και επομένως είναι πιο ορθολογικό να το χρησιμοποιήσετε "εύκολη" φόρμουλα:
.

! θυμάται επίσης , τι

Εδώ μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ξανά το Excel, αλλά υπάρχουν μερικά σημαντικά "αλλά": πρώτον, δεν είναι πάντα διαθέσιμο και δεύτερον, οι "έτοιμες" τιμές, πιθανότατα, θα εγείρουν ερωτήσεις από τον δάσκαλο. Γιατί;

Έχω μιλήσει επανειλημμένα για αυτό στο παρελθόν: κάποτε (και όχι πολύ καιρό πριν) μια συνηθισμένη αριθμομηχανή ήταν πολυτέλεια και ο "χειροκίνητος" τρόπος επίλυσης του υπό εξέταση προβλήματος διατηρείται ακόμα στην εκπαιδευτική βιβλιογραφία. Η ουσία του είναι να τυποποιώοι τιμές "άλφα" και "βήτα", δηλαδή, μειώνουν τη λύση στην τυπική κατανομή:

Σημείωση : η συνάρτηση είναι εύκολο να ληφθεί από τη γενική περίπτωσηχρησιμοποιώντας μια γραμμική αντικαταστάσεις. Τότε και:

και από την αντικατάσταση απλώς ακολουθεί ο τύπος μετάβαση από τις τιμές μιας αυθαίρετης κατανομής στις αντίστοιχες τιμές της τυπικής κατανομής.

Γιατί χρειάζεται αυτό; Το γεγονός είναι ότι οι αξίες υπολογίστηκαν σχολαστικά από τους προγόνους μας και συνοψίστηκαν σε έναν ειδικό πίνακα, ο οποίος βρίσκεται σε πολλά βιβλία στο terver. Αλλά ακόμα πιο συνηθισμένος είναι ο πίνακας τιμών, με τον οποίο έχουμε ήδη ασχοληθεί Ολοκληρωτικό θεώρημα Laplace:

Αν έχουμε στη διάθεσή μας έναν πίνακα τιμών της συνάρτησης Laplace , τότε λύνουμε μέσω αυτού:

Οι κλασματικές τιμές στρογγυλοποιούνται παραδοσιακά σε 4 δεκαδικά ψηφία, όπως γίνεται στον τυπικό πίνακα. Και για έλεγχο Στοιχείο 5 διάταξη.

Σας το θυμίζω και για αποφυγή σύγχυσης να έχεις πάντα τον έλεγχο, πίνακας της λειτουργίας WHAT μπροστά στα μάτια σας.

Απάντησηαπαιτείται να δοθεί ως ποσοστό, επομένως η υπολογισμένη πιθανότητα πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί 100 και να δώσει στο αποτέλεσμα ένα σημαντικό σχόλιο:

- με πτήση από 5 έως 70 μέτρα, περίπου το 15,87% των οβίδων θα πέσει

Προπονούμαστε μόνοι μας:

Παράδειγμα 3

Η διάμετρος των ρουλεμάν που κατασκευάζονται στο εργοστάσιο είναι μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται κανονικά με προσδοκία 1,5 cm και τυπική απόκλιση 0,04 cm. Βρείτε την πιθανότητα το μέγεθος ενός ρουλεμάν τυχαία να κυμαίνεται από 1,4 έως 1,6 cm.

Στη λύση του δείγματος και παρακάτω, θα χρησιμοποιήσω τη συνάρτηση Laplace ως την πιο κοινή επιλογή. Παρεμπιπτόντως, σημειώστε ότι σύμφωνα με τη διατύπωση, εδώ μπορείτε να συμπεριλάβετε τα άκρα του διαστήματος στην εξέταση. Ωστόσο, αυτό δεν είναι κρίσιμο.

Και ήδη σε αυτό το παράδειγμα, συναντήσαμε μια ειδική περίπτωση - όταν το διάστημα είναι συμμετρικό σε σχέση με τη μαθηματική προσδοκία. Σε μια τέτοια περίπτωση, μπορεί να γραφτεί με τη μορφή και, χρησιμοποιώντας την περιττότητα της συνάρτησης Laplace, να απλοποιήσει τον τύπο εργασίας:

Καλείται η παράμετρος δέλτα απόκλισηαπό τη μαθηματική προσδοκία, και η διπλή ανισότητα μπορεί να «συσκευαστεί» χρησιμοποιώντας μονάδα μέτρησης:

είναι η πιθανότητα η τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής να αποκλίνει από τη μαθηματική προσδοκία κατά λιγότερο από .

Λοιπόν, η λύση που χωράει σε μια γραμμή :)
είναι η πιθανότητα η διάμετρος ενός ρουλεμάν που λαμβάνεται τυχαία να διαφέρει από 1,5 cm κατά όχι περισσότερο από 0,1 cm.

Το αποτέλεσμα αυτής της εργασίας αποδείχθηκε ότι ήταν κοντά στην ενότητα, αλλά θα ήθελα ακόμη μεγαλύτερη αξιοπιστία - δηλαδή, να μάθω τα όρια στα οποία βρίσκεται η διάμετρος σχεδόν όλοιρουλεμάν. Υπάρχει κάποιο κριτήριο για αυτό; Υπάρχουν! Στο ερώτημα απαντούν οι λεγόμενοι

κανόνας τριών σίγμα

Η ουσία του είναι αυτή πρακτικά αξιόπιστη είναι το γεγονός ότι μια κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή θα πάρει μια τιμή από το διάστημα .

Πράγματι, η πιθανότητα απόκλισης από την προσδοκία είναι μικρότερη από:
ή 99,73%

Όσον αφορά τα "ρουλεμάν" - αυτά είναι 9973 τεμάχια με διάμετρο 1,38 έως 1,62 cm και μόνο 27 "κατώτερα" αντίγραφα.

Στην πρακτική έρευνα, ο κανόνας «τριών σίγμα» εφαρμόζεται συνήθως προς την αντίθετη κατεύθυνση: αν στατιστικώςδιαπίστωσε ότι σχεδόν όλες οι τιμές τυχαία μεταβλητή υπό μελέτηταιριάζει σε ένα διάστημα 6 τυπικών αποκλίσεων, τότε υπάρχουν καλοί λόγοι να πιστεύουμε ότι αυτή η τιμή κατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο. Η επαλήθευση πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τη θεωρία στατιστικές υποθέσεις.

Συνεχίζουμε να επιλύουμε τα σκληρά σοβιετικά καθήκοντα:

Παράδειγμα 4

Η τυχαία τιμή του σφάλματος ζύγισης κατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο με μηδενική μαθηματική προσδοκία και τυπική απόκλιση 3 γραμμαρίων. Βρείτε την πιθανότητα η επόμενη ζύγιση να γίνει με σφάλμα που δεν υπερβαίνει τα 5 γραμμάρια σε απόλυτη τιμή.

Απόφασηπολύ απλό. Με την προϋπόθεση, και αμέσως σημειώνουμε ότι στην επόμενη ζύγιση (κάτι ή κάποιος)θα πάρουμε σχεδόν 100% το αποτέλεσμα με ακρίβεια 9 γραμμαρίων. Αλλά στο πρόβλημα υπάρχει μια στενότερη απόκλιση και σύμφωνα με τον τύπο :

- την πιθανότητα η επόμενη ζύγιση να γίνει με σφάλμα που δεν υπερβαίνει τα 5 γραμμάρια.

Απάντηση:

Ένα λυμένο πρόβλημα είναι θεμελιωδώς διαφορετικό από ένα φαινομενικά παρόμοιο. Παράδειγμα 3μάθημα για ομοιόμορφη κατανομή. Παρουσιάστηκε σφάλμα στρογγύλεμααποτελέσματα μετρήσεων, εδώ μιλάμε για το τυχαίο σφάλμα των ίδιων των μετρήσεων. Τέτοια σφάλματα προκύπτουν λόγω των τεχνικών χαρακτηριστικών της ίδιας της συσκευής. (το εύρος των επιτρεπόμενων σφαλμάτων, κατά κανόνα, αναφέρεται στο διαβατήριό του), και επίσης με υπαιτιότητα του πειραματιστή - όταν, για παράδειγμα, "με το μάτι" παίρνουμε μετρήσεις από το βέλος της ίδιας ζυγαριάς.

Μεταξύ άλλων, υπάρχουν και τα λεγόμενα συστηματικόςσφάλματα μέτρησης. Είναι ήδη μη τυχαίασφάλματα που προκύπτουν λόγω εσφαλμένης εγκατάστασης ή λειτουργίας της συσκευής. Έτσι, για παράδειγμα, οι μη προσαρμοσμένες ζυγαριές δαπέδου μπορούν να "προσθέτουν" σταθερά ένα κιλό, και ο πωλητής συστηματικά λιποβαρείς αγοραστές. Ή όχι συστηματικά γιατί μπορείς να κάνεις shortchange. Ωστόσο, σε κάθε περίπτωση, ένα τέτοιο σφάλμα δεν θα είναι τυχαίο και η προσδοκία του είναι διαφορετική από το μηδέν.

…Αναπτύσσω επειγόντως ένα εκπαιδευτικό σεμινάριο πωλήσεων =)

Ας λύσουμε το πρόβλημα μόνοι μας:

Παράδειγμα 5

Η διάμετρος του κυλίνδρου είναι μια τυχαία κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή, η τυπική της απόκλιση είναι mm. Βρείτε το μήκος του διαστήματος, συμμετρικό ως προς τη μαθηματική προσδοκία, στο οποίο το μήκος της διαμέτρου του σφαιριδίου θα πέσει με πιθανότητα.

Στοιχείο 5* διάταξη σχεδίασηςνα βοηθήσω. Λάβετε υπόψη ότι η μαθηματική προσδοκία δεν είναι γνωστή εδώ, αλλά αυτό δεν παρεμβαίνει καθόλου στην επίλυση του προβλήματος.

Και η εργασία της εξέτασης, την οποία συνιστώ ανεπιφύλακτα για την ενοποίηση της ύλης:

Παράδειγμα 6

Μια κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή δίνεται από τις παραμέτρους της (μαθηματικές προσδοκίες) και (τυπική απόκλιση). Απαιτείται:

α) Καταγράψτε την πυκνότητα πιθανότητας και απεικονίστε σχηματικά τη γραφική παράσταση της.
β) βρείτε την πιθανότητα να πάρει μια τιμή από το διάστημα ;
γ) βρείτε την πιθανότητα ότι το modulo αποκλίνει από όχι περισσότερο από ?
δ) εφαρμόζοντας τον κανόνα των "τριών σίγμα", βρείτε τις τιμές της τυχαίας μεταβλητής.

Τέτοια προβλήματα προσφέρονται παντού και με τα χρόνια της εξάσκησης κατάφερα να λύσω εκατοντάδες και εκατοντάδες από αυτά. Φροντίστε να εξασκηθείτε στο σχέδιο με το χέρι και στη χρήση υπολογιστικών φύλλων χαρτιού ;)

Λοιπόν, θα αναλύσω ένα παράδειγμα αυξημένης πολυπλοκότητας:

Παράδειγμα 7

Η πυκνότητα κατανομής πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής έχει τη μορφή . Βρείτε , μαθηματική προσδοκία , διακύμανση , συνάρτηση κατανομής , συναρτήσεις πυκνότητας γραφήματος και κατανομής, βρείτε .

Απόφαση: πρώτα απ 'όλα, ας προσέξουμε ότι η συνθήκη δεν λέει τίποτα για τη φύση της τυχαίας μεταβλητής. Από μόνη της, η παρουσία του εκθέτη δεν σημαίνει τίποτα: μπορεί να είναι, για παράδειγμα, εκδηλωτικόςή γενικά αυθαίρετα συνεχής διανομή. Και επομένως, η «κανονικότητα» της διανομής πρέπει ακόμη να τεκμηριωθεί:

Από τη λειτουργία καθορίζεται σε όποιοςπραγματική αξία , και μπορεί να μειωθεί στη μορφή , τότε η τυχαία μεταβλητή κατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο.

Παρουσιάζουμε. Για αυτό επιλέξτε ένα πλήρες τετράγωνοκαι οργανώστε τριώροφο κλάσμα:


Φροντίστε να εκτελέσετε έναν έλεγχο, επιστρέφοντας την ένδειξη στην αρχική της μορφή:

που θέλαμε να δούμε.

Ετσι:
- επί κανόνας εξουσίας«τσιμπώντας». Και εδώ μπορείτε να γράψετε αμέσως τα προφανή αριθμητικά χαρακτηριστικά:

Τώρα ας βρούμε την τιμή της παραμέτρου. Εφόσον ο πολλαπλασιαστής κανονικής κατανομής έχει τη μορφή και , τότε:
, από το οποίο εκφράζουμε και αντικαθιστούμε στη συνάρτησή μας:
, μετά από την οποία θα ξαναπεράσουμε την εγγραφή με τα μάτια μας και θα βεβαιωθούμε ότι η συνάρτηση που προκύπτει έχει τη μορφή .

Ας σχηματίσουμε την πυκνότητα:

και το διάγραμμα της συνάρτησης κατανομής :

Εάν δεν υπάρχει Excel και ακόμη και μια κανονική αριθμομηχανή στη διάθεσή σας, τότε το τελευταίο γράφημα δημιουργείται εύκολα χειροκίνητα! Στο σημείο, η συνάρτηση διανομής παίρνει την τιμή και εδώ είναι

Ορισμός. κανονικόςονομάζεται κατανομή πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, η οποία περιγράφεται από την πυκνότητα πιθανότητας

Η κανονική κατανομή ονομάζεται επίσης Νόμος Gauss.

Ο νόμος της κανονικής κατανομής είναι κεντρικός στη θεωρία των πιθανοτήτων. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι αυτός ο νόμος εκδηλώνεται σε όλες τις περιπτώσεις όπου μια τυχαία μεταβλητή είναι το αποτέλεσμα της δράσης ενός μεγάλου αριθμού διαφορετικών παραγόντων. Όλοι οι άλλοι νόμοι κατανομής προσεγγίζουν τον κανονικό νόμο.

Μπορεί εύκολα να φανεί ότι οι παράμετροι και , που περιλαμβάνονται στην πυκνότητα κατανομής είναι, αντίστοιχα, η μαθηματική προσδοκία και η τυπική απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής Χ.

Ας βρούμε τη συνάρτηση διανομής φά(Χ) .

Το διάγραμμα πυκνότητας κανονικής κατανομής ονομάζεται κανονική καμπύληή Γκαουσιανή καμπύλη.

Μια κανονική καμπύλη έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

1) Η συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα.

2) Για όλους Χη συνάρτηση κατανομής παίρνει μόνο θετικές τιμές.

3) Ο άξονας OX είναι η οριζόντια ασύμπτωτη του γραφήματος πυκνότητας πιθανότητας, αφού με απεριόριστη αύξηση της απόλυτης τιμής του επιχειρήματος Χ, η τιμή της συνάρτησης τείνει στο μηδέν.

4) Βρείτε το άκρο της συνάρτησης.

Επειδή στο y’ > 0 στο Χ < Μκαι y’ < 0 στο Χ > Μ, μετά στο σημείο x = tη συνάρτηση έχει μέγιστο ίσο με
.

5) Η συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς μια ευθεία x = α, επειδή διαφορά

(x - α) εισάγει τη συνάρτηση πυκνότητας τετραγωνικής κατανομής.

6) Για να βρούμε τα σημεία καμπής της γραφικής παράστασης, βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης πυκνότητας.

Στο Χ = Μ+  και Χ = Μ-  η δεύτερη παράγωγος ισούται με μηδέν, και όταν διέρχεται από αυτά τα σημεία αλλάζει πρόσημο, δηλ. σε αυτά τα σημεία η συνάρτηση έχει κλίση.

Σε αυτά τα σημεία, η τιμή της συνάρτησης είναι
.

Ας φτιάξουμε ένα γράφημα της συνάρτησης πυκνότητας κατανομής (Εικ. 5).

Τα γραφήματα κατασκευάστηκαν για t=0 και τρεις πιθανές τιμές της τυπικής απόκλισης  = 1,  = 2 και  = 7. Όπως μπορείτε να δείτε, καθώς αυξάνεται η τιμή της τυπικής απόκλισης, το γράφημα γίνεται πιο επίπεδο και η μέγιστη τιμή μειώνεται.

Αν ένα ένα> 0, τότε το γράφημα θα μετατοπιστεί προς τη θετική κατεύθυνση αν ένα < 0 – в отрицательном.

Στο ένα= 0 και  = 1 καλείται η καμπύλη κανονικοποιημένη. Εξίσωση κανονικοποιημένης καμπύλης:

Συνάρτηση Laplace

Βρείτε την πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο να εμπίπτει σε ένα δεδομένο διάστημα.

Σημαίνω

Επειδή αναπόσπαστο
δεν εκφράζεται με όρους στοιχειώδεις συναρτήσεις, τότε η συνάρτηση

,

η οποία ονομάζεται Συνάρτηση Laplaceή ολοκλήρωμα πιθανότητας.

Οι τιμές αυτής της συνάρτησης για διάφορες τιμές Χυπολογίζονται και παρουσιάζονται σε ειδικούς πίνακες.

Στο σχ. Το 6 δείχνει ένα γράφημα της συνάρτησης Laplace.

Η συνάρτηση Laplace έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

1) F(0) = 0;

2) F(-x) = - F(x);

3) ΦΑ( ) = 1.

Καλείται επίσης η συνάρτηση Laplace λειτουργία σφάλματοςκαι δηλώνουν ερφ Χ.

Ακόμα σε χρήση κανονικοποιημένηη συνάρτηση Laplace, η οποία σχετίζεται με τη συνάρτηση Laplace με τη σχέση:

Στο σχ. Το 7 δείχνει μια γραφική παράσταση της κανονικοποιημένης συνάρτησης Laplace.

Π κανόνας τριών σίγμα

Κατά την εξέταση της κανονικής κατανομής, διακρίνεται μια σημαντική ειδική περίπτωση, γνωστή ως κανόνας τριών σίγμα.

Ας γράψουμε την πιθανότητα η απόκλιση μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική προσδοκία να είναι μικρότερη από μια δεδομένη τιμή :

Αν δεχθούμε  = 3, τότε λαμβάνουμε χρησιμοποιώντας τους πίνακες τιμών της συνάρτησης Laplace:

Εκείνοι. η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να αποκλίνει από τη μαθηματική της προσδοκία κατά ένα ποσό μεγαλύτερο από το τριπλάσιο της τυπικής απόκλισης είναι πρακτικά μηδέν.

Αυτός ο κανόνας ονομάζεται κανόνας τριών σίγμα.

Στην πράξη, θεωρείται ότι εάν για οποιαδήποτε τυχαία μεταβλητή ικανοποιείται ο κανόνας των τριών σίγμα, τότε αυτή η τυχαία μεταβλητή έχει κανονική κατανομή.

Συμπέρασμα διάλεξης:

Στη διάλεξη εξετάσαμε τους νόμους της κατανομής των συνεχών ποσοτήτων Κατά την προετοιμασία για την επόμενη διάλεξη και τις πρακτικές ασκήσεις, θα πρέπει να συμπληρώσετε ανεξάρτητα τις σημειώσεις της διάλεξής σας με μια σε βάθος μελέτη της προτεινόμενης βιβλιογραφίας και την επίλυση των προτεινόμενων προβλημάτων.

Σύντομη θεωρία

Κανονική είναι η κατανομή πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, της οποίας η πυκνότητα έχει τη μορφή:

όπου είναι η μαθηματική προσδοκία , είναι η τυπική απόκλιση .

Η πιθανότητα να πάρει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα:

πού είναι η συνάρτηση Laplace:

Η πιθανότητα η απόλυτη τιμή της απόκλισης να είναι μικρότερη από έναν θετικό αριθμό:

Ειδικότερα, για , ισχύει η ακόλουθη ισότητα:

Κατά την επίλυση προβλημάτων που θέτει η πρακτική, πρέπει να ασχοληθεί κανείς με διάφορες κατανομές συνεχών τυχαίων μεταβλητών.

Εκτός από την κανονική κατανομή, οι κύριοι νόμοι κατανομής για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές είναι:

Παράδειγμα λύσης προβλήματος

Το εξάρτημα κατασκευάζεται στο μηχάνημα. Το μήκος της είναι μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο με παραμέτρους , . Βρείτε την πιθανότητα ότι το μήκος του εξαρτήματος θα είναι μεταξύ 22 και 24,2 εκ. Από ποια απόκλιση του μήκους του εξαρτήματος μπορεί να εξασφαλιστεί με πιθανότητα 0,92; 0,98; Μέσα σε ποια όρια, συμμετρικά ως προς το , θα βρίσκονται πρακτικά όλες οι διαστάσεις των εξαρτημάτων;

εγγραφείτε στην ομάδα VK.

Απόφαση:

Η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο θα είναι στο διάστημα:

Παίρνουμε:

Η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή, που κατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο, να αποκλίνει από τον μέσο όρο όχι περισσότερο από:

Κατά συνθήκη

:

Εάν δεν χρειάζεστε βοήθεια τώρα, αλλά μπορεί να τη χρειαστείτε στο μέλλον, τότε για να μην χάσετε την επαφή,

Θα υπάρχουν επίσης εργασίες για μια ανεξάρτητη λύση, στις οποίες μπορείτε να δείτε τις απαντήσεις.

Κανονική κατανομή: θεωρητικές βάσεις

Παραδείγματα τυχαίων μεταβλητών που κατανέμονται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο είναι το ύψος ενός ατόμου, η μάζα των αλιευμένων ψαριών του ίδιου είδους. Η κανονική κατανομή σημαίνει το εξής : υπάρχουν τιμές του ανθρώπινου ύψους, της μάζας των ψαριών του ίδιου είδους, οι οποίες διαισθητικά γίνονται αντιληπτές ως «κανονικές» (και μάλιστα - κατά μέσο όρο) και είναι πολύ πιο κοινές σε ένα αρκετά μεγάλο δείγμα από αυτές που διαφέρουν πάνω ή κάτω.

Η κανονική κατανομή πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής (μερικές φορές η κατανομή Gauss) μπορεί να ονομαστεί κωδωνόσχημη λόγω του γεγονότος ότι η συνάρτηση πυκνότητας αυτής της κατανομής, η οποία είναι συμμετρική ως προς τον μέσο όρο, είναι πολύ παρόμοια με την κοπή ενός κουδουνιού ( κόκκινη καμπύλη στο παραπάνω σχήμα).

Η πιθανότητα να συναντηθούν ορισμένες τιμές στο δείγμα είναι ίση με το εμβαδόν του σχήματος κάτω από την καμπύλη, και σε περίπτωση κανονικής κατανομής, βλέπουμε ότι κάτω από την κορυφή του "καμπάνα" , το οποίο αντιστοιχεί σε τιμές που τείνουν στον μέσο όρο, η περιοχή και επομένως η πιθανότητα είναι μεγαλύτερη από ό,τι κάτω από τις άκρες. Έτσι, παίρνουμε το ίδιο πράγμα που έχει ήδη ειπωθεί: η πιθανότητα να συναντήσετε ένα άτομο "κανονικού" ύψους, να πιάσετε ένα ψάρι "κανονικού" βάρους είναι υψηλότερη από ό, τι για τιμές που διαφέρουν προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Σε πάρα πολλές περιπτώσεις πρακτικής, τα σφάλματα μέτρησης κατανέμονται σύμφωνα με νόμο κοντά στο κανονικό.

Ας σταματήσουμε ξανά στο σχήμα στην αρχή του μαθήματος, που δείχνει τη συνάρτηση πυκνότητας της κανονικής κατανομής. Το γράφημα αυτής της συνάρτησης λήφθηκε με τον υπολογισμό ορισμένων δειγμάτων δεδομένων στο πακέτο λογισμικού ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Σε αυτό, οι στήλες του ιστογράμματος αντιπροσωπεύουν διαστήματα τιμών δείγματος των οποίων η κατανομή είναι κοντά (ή, όπως λένε στα στατιστικά, δεν διαφέρει σημαντικά) στο ίδιο το γράφημα της συνάρτησης πυκνότητας κανονικής κατανομής, το οποίο είναι μια κόκκινη καμπύλη. Το γράφημα δείχνει ότι αυτή η καμπύλη είναι πράγματι σε σχήμα καμπάνας.

Η κανονική κατανομή είναι πολύτιμη από πολλές απόψεις, επειδή γνωρίζοντας μόνο τον μέσο όρο μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής και την τυπική απόκλιση, μπορείτε να υπολογίσετε οποιαδήποτε πιθανότητα σχετίζεται με αυτήν τη μεταβλητή.

Η κανονική κατανομή έχει το πρόσθετο πλεονέκτημα ότι είναι μια από τις πιο εύχρηστες στατιστικά κριτήρια που χρησιμοποιούνται για τον έλεγχο στατιστικών υποθέσεων - Student's t-test- μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο στην περίπτωση που τα δεδομένα του δείγματος υπακούουν στον νόμο κανονικής κατανομής.

Η συνάρτηση πυκνότητας της κανονικής κατανομής μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητήςμπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

,

που Χ- τιμή της μεταβλητής, - μέση τιμή, - τυπική απόκλιση, μι\u003d 2,71828 ... - η βάση του φυσικού λογάριθμου, \u003d 3,1416 ...

Ιδιότητες της συνάρτησης πυκνότητας κανονικής κατανομής

Οι αλλαγές στο μέσο όρο μετακινούν την καμπύλη συνάρτησης πυκνότητας κανονικής κατανομής προς την κατεύθυνση του άξονα Βόδι. Εάν αυξηθεί, η καμπύλη μετακινείται προς τα δεξιά, εάν μειωθεί, τότε προς τα αριστερά.

Εάν αλλάξει η τυπική απόκλιση, τότε αλλάζει το ύψος της κορυφής της καμπύλης. Όταν η τυπική απόκλιση αυξάνεται, η κορυφή της καμπύλης είναι υψηλότερη, όταν μειώνεται, είναι χαμηλότερη.

Η πιθανότητα ότι η τιμή μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής θα εμπίπτει σε ένα δεδομένο διάστημα

Ήδη σε αυτήν την παράγραφο, θα αρχίσουμε να επιλύουμε πρακτικά προβλήματα, η έννοια των οποίων υποδεικνύεται στον τίτλο. Ας αναλύσουμε ποιες δυνατότητες παρέχει η θεωρία για την επίλυση προβλημάτων. Η αρχική ιδέα για τον υπολογισμό της πιθανότητας μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής να πέσει σε ένα δεδομένο διάστημα είναι η αναπόσπαστη συνάρτηση της κανονικής κατανομής.

Ολοκληρωμένη συνάρτηση κανονικής κατανομής:

.

Ωστόσο, είναι προβληματική η λήψη πινάκων για κάθε πιθανό συνδυασμό μέσης και τυπικής απόκλισης. Επομένως, ένας από τους απλούς τρόπους υπολογισμού της πιθανότητας μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής να πέσει σε ένα δεδομένο διάστημα είναι να χρησιμοποιήσετε πίνακες πιθανοτήτων για μια τυποποιημένη κανονική κατανομή.

Μια κανονική κατανομή ονομάζεται τυποποιημένη ή κανονικοποιημένη κατανομή., του οποίου η μέση τιμή είναι και η τυπική απόκλιση είναι .

Συνάρτηση πυκνότητας της τυποποιημένης κανονικής κατανομής:

.

Αθροιστική συνάρτηση της τυποποιημένης κανονικής κατανομής:

.

Το παρακάτω σχήμα δείχνει την ολοκληρωτική συνάρτηση της τυποποιημένης κανονικής κατανομής, η γραφική παράσταση της οποίας προέκυψε με τον υπολογισμό ορισμένων δειγμάτων δεδομένων στο πακέτο λογισμικού ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Το ίδιο το γράφημα είναι μια κόκκινη καμπύλη και οι τιμές του δείγματος το πλησιάζουν.

Για να μεγεθύνετε την εικόνα, μπορείτε να κάνετε κλικ πάνω της με το αριστερό κουμπί του ποντικιού.

Η τυποποίηση μιας τυχαίας μεταβλητής σημαίνει μετάβαση από τις αρχικές μονάδες που χρησιμοποιούνται στην εργασία σε τυποποιημένες μονάδες. Η τυποποίηση πραγματοποιείται σύμφωνα με τον τύπο

Στην πράξη, όλες οι πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής συχνά δεν είναι γνωστές, επομένως οι τιμές της μέσης και τυπικής απόκλισης δεν μπορούν να προσδιοριστούν με ακρίβεια. Αντικαθίστανται από τον αριθμητικό μέσο όρο των παρατηρήσεων και την τυπική απόκλιση μικρό. αξία zεκφράζει τις αποκλίσεις των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής από τον αριθμητικό μέσο όρο κατά τη μέτρηση τυπικών αποκλίσεων.

Ανοιχτό διάστημα

Ο πίνακας πιθανοτήτων για την τυποποιημένη κανονική κατανομή, ο οποίος είναι διαθέσιμος σχεδόν σε κάθε βιβλίο στατιστικών, περιέχει τις πιθανότητες μια τυχαία μεταβλητή να έχει τυπική κανονική κατανομή Ζπαίρνει μια τιμή μικρότερη από έναν ορισμένο αριθμό z. Δηλαδή, θα πέσει στο ανοιχτό διάστημα από μείον άπειρο έως z. Για παράδειγμα, η πιθανότητα ότι η τιμή Ζμικρότερο από 1,5 ισούται με 0,93319.

Παράδειγμα 1Η εταιρεία κατασκευάζει εξαρτήματα που έχουν κανονικά κατανεμημένη διάρκεια ζωής με μέσο όρο 1000 και τυπική απόκλιση 200 ώρες.

Για ένα τυχαία επιλεγμένο μέρος, υπολογίστε την πιθανότητα η διάρκεια ζωής του να είναι τουλάχιστον 900 ώρες.

Απόφαση. Ας εισάγουμε την πρώτη σημειογραφία:

Η επιθυμητή πιθανότητα.

Οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής βρίσκονται στο ανοιχτό διάστημα. Μπορούμε όμως να υπολογίσουμε την πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να πάρει μια τιμή μικρότερη από μια δεδομένη τιμή, και σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, απαιτείται να βρεθεί μια ίση ή μεγαλύτερη τιμή από μια δεδομένη. Αυτό είναι το άλλο μέρος του χώρου κάτω από την καμπύλη καμπάνας. Επομένως, για να βρεθεί η επιθυμητή πιθανότητα, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε από τη μία την αναφερόμενη πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή θα λάβει τιμή μικρότερη από την καθορισμένη 900:

Τώρα η τυχαία μεταβλητή πρέπει να τυποποιηθεί.

Συνεχίζουμε να εισάγουμε τη σημειογραφία:

z = (Χ ≤ 900) ;

Χ= 900 - δεδομένη τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής.

μ = 1000 - μέση τιμή.

σ = 200 - τυπική απόκλιση.

Με βάση αυτά τα δεδομένα, λαμβάνουμε τις συνθήκες του προβλήματος:

.

Σύμφωνα με τους πίνακες μιας τυποποιημένης τυχαίας μεταβλητής (διάστημα όριο) z= −0,5 αντιστοιχεί στην πιθανότητα 0,30854. Αφαιρέστε το από την ενότητα και λάβετε αυτό που απαιτείται στην συνθήκη του προβλήματος:

Άρα, η πιθανότητα η διάρκεια ζωής του εξαρτήματος να είναι τουλάχιστον 900 ώρες είναι 69%.

Αυτή η πιθανότητα μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση MS Excel NORM.DIST (η τιμή της ακέραιης τιμής είναι 1):

Π(Χ≥900) = 1 - Π(Χ≤900) = 1 - NORM.DIST(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0,3085 = 0,6915.

Σχετικά με τους υπολογισμούς στο MS Excel - σε μία από τις επόμενες παραγράφους αυτού του μαθήματος.

Παράδειγμα 2Σε μια συγκεκριμένη πόλη, το μέσο ετήσιο οικογενειακό εισόδημα είναι μια κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή 300.000 και τυπική απόκλιση 50.000. Είναι γνωστό ότι το εισόδημα του 40% των οικογενειών είναι μικρότερο από την τιμή ΕΝΑ. Βρείτε αξία ΕΝΑ.

Απόφαση. Σε αυτό το πρόβλημα, το 40% δεν είναι τίποτα άλλο από την πιθανότητα ότι μια τυχαία μεταβλητή θα πάρει μια τιμή από ένα ανοιχτό διάστημα που είναι μικρότερο από μια συγκεκριμένη τιμή, που υποδεικνύεται με το γράμμα ΕΝΑ.

Για να βρείτε την τιμή ΕΝΑ, πρώτα συνθέτουμε την ολοκληρωτική συνάρτηση:

Σύμφωνα με την εργασία

μ = 300000 - μέση τιμή.

σ = 50000 - τυπική απόκλιση.

Χ = ΕΝΑείναι η τιμή που πρέπει να βρεθεί.

Δημιουργία ισότητας

.

Σύμφωνα με τους στατιστικούς πίνακες, βρίσκουμε ότι η πιθανότητα 0,40 αντιστοιχεί στην τιμή του ορίου του διαστήματος z = −0,25 .

Επομένως, κάνουμε την ισότητα

και βρείτε τη λύση του:

ΕΝΑ = 287300 .

Απάντηση: το εισόδημα του 40% των οικογενειών είναι μικρότερο από 287300.

Κλειστό διάστημα

Σε πολλά προβλήματα, απαιτείται να βρεθεί η πιθανότητα ότι μια κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή παίρνει μια τιμή στο διάστημα από z 1 έως z 2. Δηλαδή θα πέσει στο κλειστό διάστημα. Για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, είναι απαραίτητο να βρείτε στον πίνακα τις πιθανότητες που αντιστοιχούν στα όρια του διαστήματος και στη συνέχεια να βρείτε τη διαφορά μεταξύ αυτών των πιθανοτήτων. Αυτό απαιτεί την αφαίρεση της μικρότερης τιμής από τη μεγαλύτερη. Παραδείγματα για την επίλυση αυτών των κοινών προβλημάτων είναι τα ακόλουθα, και προτείνεται να τα λύσετε μόνοι σας και στη συνέχεια μπορείτε να δείτε τις σωστές λύσεις και απαντήσεις.

Παράδειγμα 3Το κέρδος μιας επιχείρησης για μια ορισμένη περίοδο είναι μια τυχαία μεταβλητή που υπόκειται στον νόμο της κανονικής διανομής με μέση αξία 0,5 εκατ. κ.ε. και τυπική απόκλιση 0,354. Προσδιορίστε, με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων, την πιθανότητα το κέρδος της επιχείρησης να είναι από 0,4 έως 0,6 c.u.

Παράδειγμα 4Το μήκος του κατασκευασμένου εξαρτήματος είναι μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο με παραμέτρους μ =10 και σ =0,071. Βρείτε, με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων, την πιθανότητα γάμου εάν οι επιτρεπόμενες διαστάσεις του εξαρτήματος πρέπει να είναι 10 ± 0,05.

Υπόδειξη: σε αυτό το πρόβλημα, εκτός από την εύρεση της πιθανότητας πτώσης μιας τυχαίας μεταβλητής σε ένα κλειστό διάστημα (η πιθανότητα να ληφθεί ένα μη ελαττωματικό τμήμα), απαιτείται μια ακόμη ενέργεια.

σας επιτρέπει να προσδιορίσετε την πιθανότητα ότι η τυποποιημένη τιμή Ζόχι λιγότερο -zκαι όχι περισσότερο +z, που z- μια αυθαίρετα επιλεγμένη τιμή μιας τυποποιημένης τυχαίας μεταβλητής.

Μια κατά προσέγγιση μέθοδος για τον έλεγχο της κανονικότητας μιας διανομής

Μια κατά προσέγγιση μέθοδος για τον έλεγχο της κανονικότητας της κατανομής των τιμών του δείγματος βασίζεται στα ακόλουθα ιδιότητα κανονικής κατανομής: λοξότητα β 1 και συντελεστής κύρτωσης β 2 μηδέν.

Συντελεστής ασυμμετρίας β 1 χαρακτηρίζει αριθμητικά τη συμμετρία της εμπειρικής κατανομής ως προς τον μέσο όρο. Εάν η λοξότητα είναι ίση με μηδέν, τότε ο αριθμητικός μέσος όρος, ο διάμεσος και ο τρόπος είναι ίσοι: και η καμπύλη πυκνότητας κατανομής είναι συμμετρική ως προς το μέσο όρο. Αν ο συντελεστής ασυμμετρίας είναι μικρότερος από το μηδέν (β 1 < 0 ), τότε ο αριθμητικός μέσος όρος είναι μικρότερος από τον διάμεσο και ο διάμεσος, με τη σειρά του, είναι μικρότερος από τον τρόπο λειτουργίας () και η καμπύλη μετατοπίζεται προς τα δεξιά (σε σύγκριση με την κανονική κατανομή). Αν ο συντελεστής ασυμμετρίας είναι μεγαλύτερος από το μηδέν (β 1 > 0 ), τότε ο αριθμητικός μέσος όρος είναι μεγαλύτερος από τον διάμεσο και ο διάμεσος, με τη σειρά του, είναι μεγαλύτερος από τον τρόπο λειτουργίας () και η καμπύλη μετατοπίζεται προς τα αριστερά (σε σύγκριση με την κανονική κατανομή).

Συντελεστής κύρωσης β 2 χαρακτηρίζει τη συγκέντρωση της εμπειρικής κατανομής γύρω από τον αριθμητικό μέσο όρο στην κατεύθυνση του άξονα Oyκαι ο βαθμός κορύφωσης της καμπύλης πυκνότητας κατανομής. Εάν ο συντελεστής κύρτωσης είναι μεγαλύτερος από το μηδέν, τότε η καμπύλη είναι πιο επιμήκης (σε σύγκριση με την κανονική κατανομή)κατά μήκος του άξονα Oy(το γράφημα είναι πιο μυτερό). Εάν ο συντελεστής κύρτωσης είναι μικρότερος από μηδέν, τότε η καμπύλη είναι πιο πεπλατυσμένη (σε σύγκριση με μια κανονική κατανομή)κατά μήκος του άξονα Oy(το γράφημα είναι πιο αμβλύ).

Ο συντελεστής λοξότητας μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση MS Excel SKRS. Εάν ελέγχετε έναν πίνακα δεδομένων, τότε πρέπει να εισαγάγετε ένα εύρος δεδομένων σε ένα πλαίσιο "Αριθμός".

Ο συντελεστής κύρτωσης μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση MS Excel kurtosis. Όταν ελέγχετε έναν πίνακα δεδομένων, αρκεί επίσης να εισάγετε το εύρος δεδομένων σε ένα πλαίσιο "Αριθμός".

Έτσι, όπως ήδη γνωρίζουμε, με μια κανονική κατανομή, οι συντελεστές λοξότητας και κύρτωσης είναι ίσοι με μηδέν. Τι θα γινόταν όμως αν λάβαμε συντελεστές λοξότητας ίσους με -0,14, 0,22, 0,43 και συντελεστές κύρτωσης ίσους με 0,17, -0,31, 0,55; Το ερώτημα είναι αρκετά δίκαιο, αφού στην πράξη έχουμε να κάνουμε μόνο με κατά προσέγγιση, επιλεκτικές τιμές ασυμμετρίας και κύρτωσης, οι οποίες υπόκεινται σε κάποια αναπόφευκτη, ανεξέλεγκτη διασπορά. Επομένως, είναι αδύνατο να απαιτηθεί αυστηρή ισότητα αυτών των συντελεστών στο μηδέν, θα πρέπει να είναι αρκετά κοντά στο μηδέν. Τι σημαίνει όμως αρκετά;

Απαιτείται η σύγκριση των λαμβανόμενων εμπειρικών τιμών με τις αποδεκτές τιμές. Για να γίνει αυτό, πρέπει να ελέγξετε τις ακόλουθες ανισότητες (συγκρίνετε τις τιμές του συντελεστή συντελεστών με τις κρίσιμες τιμές - τα όρια της περιοχής δοκιμής υποθέσεων).

Για τον συντελεστή ασυμμετρίας β 1 .

Ορισμός. κανονικόςονομάζεται κατανομή πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, η οποία περιγράφεται από την πυκνότητα πιθανότητας

Η κανονική κατανομή ονομάζεται επίσης Νόμος Gauss.

Ο νόμος της κανονικής κατανομής είναι κεντρικός στη θεωρία των πιθανοτήτων. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι αυτός ο νόμος εκδηλώνεται σε όλες τις περιπτώσεις όπου μια τυχαία μεταβλητή είναι το αποτέλεσμα της δράσης ενός μεγάλου αριθμού διαφορετικών παραγόντων. Όλοι οι άλλοι νόμοι κατανομής προσεγγίζουν τον κανονικό νόμο.

Μπορεί εύκολα να φανεί ότι οι παράμετροι και , που περιλαμβάνονται στην πυκνότητα κατανομής είναι, αντίστοιχα, η μαθηματική προσδοκία και η τυπική απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής Χ.

Ας βρούμε τη συνάρτηση διανομής φά(Χ) .

Το διάγραμμα πυκνότητας κανονικής κατανομής ονομάζεται κανονική καμπύληή Γκαουσιανή καμπύλη.

Μια κανονική καμπύλη έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

1) Η συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα.

2) Για όλους Χη συνάρτηση κατανομής παίρνει μόνο θετικές τιμές.

3) Ο άξονας OX είναι η οριζόντια ασύμπτωτη του γραφήματος πυκνότητας πιθανότητας, αφού με απεριόριστη αύξηση της απόλυτης τιμής του επιχειρήματος Χ, η τιμή της συνάρτησης τείνει στο μηδέν.

4) Βρείτε το άκρο της συνάρτησης.

Επειδή στο y’ > 0 στο Χ < Μκαι y’ < 0 στο Χ > Μ, μετά στο σημείο x = tη συνάρτηση έχει μέγιστο ίσο με
.

5) Η συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς μια ευθεία x = α, επειδή διαφορά

(x - α) εισάγει τη συνάρτηση πυκνότητας τετραγωνικής κατανομής.

6) Για να βρούμε τα σημεία καμπής της γραφικής παράστασης, βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης πυκνότητας.

Στο Χ = Μ+  και Χ = Μ-  η δεύτερη παράγωγος ισούται με μηδέν, και όταν διέρχεται από αυτά τα σημεία αλλάζει πρόσημο, δηλ. σε αυτά τα σημεία η συνάρτηση έχει κλίση.

Σε αυτά τα σημεία, η τιμή της συνάρτησης είναι
.

Ας φτιάξουμε ένα γράφημα της συνάρτησης πυκνότητας κατανομής (Εικ. 5).

Τα γραφήματα κατασκευάστηκαν για t=0 και τρεις πιθανές τιμές της τυπικής απόκλισης  = 1,  = 2 και  = 7. Όπως μπορείτε να δείτε, καθώς αυξάνεται η τιμή της τυπικής απόκλισης, το γράφημα γίνεται πιο επίπεδο και η μέγιστη τιμή μειώνεται.

Αν ένα ένα> 0, τότε το γράφημα θα μετατοπιστεί προς τη θετική κατεύθυνση αν ένα < 0 – в отрицательном.

Στο ένα= 0 και  = 1 καλείται η καμπύλη κανονικοποιημένη. Εξίσωση κανονικοποιημένης καμπύλης:

Συνάρτηση Laplace

Βρείτε την πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο να εμπίπτει σε ένα δεδομένο διάστημα.

Σημαίνω

Επειδή αναπόσπαστο
δεν εκφράζεται με όρους στοιχειώδεις συναρτήσεις, τότε η συνάρτηση

,

η οποία ονομάζεται Συνάρτηση Laplaceή ολοκλήρωμα πιθανότητας.

Οι τιμές αυτής της συνάρτησης για διάφορες τιμές Χυπολογίζονται και παρουσιάζονται σε ειδικούς πίνακες.

Στο σχ. Το 6 δείχνει ένα γράφημα της συνάρτησης Laplace.

Η συνάρτηση Laplace έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

1) F(0) = 0;

2) F(-x) = - F(x);

3) ΦΑ( ) = 1.

Καλείται επίσης η συνάρτηση Laplace λειτουργία σφάλματοςκαι δηλώνουν ερφ Χ.

Ακόμα σε χρήση κανονικοποιημένηη συνάρτηση Laplace, η οποία σχετίζεται με τη συνάρτηση Laplace με τη σχέση:

Στο σχ. Το 7 δείχνει μια γραφική παράσταση της κανονικοποιημένης συνάρτησης Laplace.

Π κανόνας τριών σίγμα

Κατά την εξέταση της κανονικής κατανομής, διακρίνεται μια σημαντική ειδική περίπτωση, γνωστή ως κανόνας τριών σίγμα.

Ας γράψουμε την πιθανότητα η απόκλιση μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική προσδοκία να είναι μικρότερη από μια δεδομένη τιμή :

Αν δεχθούμε  = 3, τότε λαμβάνουμε χρησιμοποιώντας τους πίνακες τιμών της συνάρτησης Laplace:

Εκείνοι. η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να αποκλίνει από τη μαθηματική της προσδοκία κατά ένα ποσό μεγαλύτερο από το τριπλάσιο της τυπικής απόκλισης είναι πρακτικά μηδέν.

Αυτός ο κανόνας ονομάζεται κανόνας τριών σίγμα.

Στην πράξη, θεωρείται ότι εάν για οποιαδήποτε τυχαία μεταβλητή ικανοποιείται ο κανόνας των τριών σίγμα, τότε αυτή η τυχαία μεταβλητή έχει κανονική κατανομή.

Συμπέρασμα διάλεξης:

Στη διάλεξη εξετάσαμε τους νόμους της κατανομής των συνεχών ποσοτήτων Κατά την προετοιμασία για την επόμενη διάλεξη και τις πρακτικές ασκήσεις, θα πρέπει να συμπληρώσετε ανεξάρτητα τις σημειώσεις της διάλεξής σας με μια σε βάθος μελέτη της προτεινόμενης βιβλιογραφίας και την επίλυση των προτεινόμενων προβλημάτων.