Y x βρείτε την περίοδο της συνάρτησης. Περιοδικότητα συναρτήσεων y = sin x, y = cos x - Υπεραγορά γνώσης
Το όρισμα x, τότε ονομάζεται περιοδικό αν υπάρχει αριθμός Τ τέτοιος ώστε για κάθε x F(x + T) = F(x). Αυτός ο αριθμός Τ ονομάζεται περίοδος της συνάρτησης.
Μπορεί να υπάρχουν αρκετές περίοδοι. Για παράδειγμα, η συνάρτηση F = const παίρνει την ίδια τιμή για οποιαδήποτε τιμή του ορίσματος, και επομένως οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί περίοδός του.
Συνήθως σας ενδιαφέρει η μικρότερη μη μηδενική περίοδος μιας συνάρτησης. Για συντομία, ονομάζεται απλώς περίοδος.
Ένα κλασικό παράδειγμα περιοδικών συναρτήσεων είναι οι τριγωνομετρικές: ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη. Η περίοδός τους είναι ίδια και ίση με 2π, δηλαδή sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) κ.ο.κ. Ωστόσο, φυσικά, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις δεν είναι οι μόνες περιοδικές.
Για απλές, βασικές συναρτήσεις, ο μόνος τρόπος για να προσδιοριστεί εάν είναι περιοδικές ή μη είναι μέσω υπολογισμού. Αλλά για πολύπλοκες λειτουργίες υπάρχουν ήδη αρκετοί απλοί κανόνες.
Εάν η F(x) είναι με περίοδο T και ορίζεται μια παράγωγος για αυτήν, τότε αυτή η παράγωγος f(x) = F′(x) είναι επίσης περιοδική συνάρτηση με περίοδο T. Εξάλλου, η τιμή της παραγώγου στο σημείο Το x ισούται με την εφαπτομένη της γωνίας εφαπτομένης της γραφικής παράστασης του αντιπαραγώγου του σε αυτό το σημείο στον άξονα x, και εφόσον το αντιπαράγωγο επαναλαμβάνεται περιοδικά, η παράγωγος πρέπει επίσης να επαναλαμβάνεται. Για παράδειγμα, η παράγωγος της συνάρτησης sin(x) είναι ίση με cos(x), και είναι περιοδική. Λαμβάνοντας την παράγωγο του cos(x) σας δίνει –sin(x). Η συχνότητα παραμένει αμετάβλητη.
Ωστόσο, δεν ισχύει πάντα το αντίθετο. Έτσι, η συνάρτηση f(x) = const είναι περιοδική, αλλά η αντιπαράγωγός της F(x) = const*x + C δεν είναι.
Αν η F(x) είναι μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο T, τότε η G(x) = a*F(kx + b), όπου τα a, b και k είναι σταθερές και το k δεν είναι ίσο με μηδέν - είναι επίσης περιοδική συνάρτηση , και η περίοδος του είναι Τ/κ. Για παράδειγμα, η sin(2x) είναι μια περιοδική συνάρτηση και η περίοδος της είναι π. Αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί οπτικά ως εξής: πολλαπλασιάζοντας το x με κάποιο αριθμό, φαίνεται να συμπιέζετε το γράφημα της συνάρτησης οριζόντια ακριβώς τόσες φορές
Αν οι F1(x) και F2(x) είναι περιοδικές συναρτήσεις και οι περίοδοι τους είναι ίσες με T1 και T2, αντίστοιχα, τότε το άθροισμα αυτών των συναρτήσεων μπορεί επίσης να είναι περιοδικό. Ωστόσο, η περίοδός του δεν θα είναι ένα απλό άθροισμα των περιόδων Τ1 και Τ2. Εάν το αποτέλεσμα της διαίρεσης T1/T2 είναι ρητός αριθμός, τότε το άθροισμα των συναρτήσεων είναι περιοδικό και η περίοδος του είναι ίση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) των περιόδων T1 και T2. Για παράδειγμα, εάν η περίοδος της πρώτης συνάρτησης είναι 12 και η περίοδος της δεύτερης είναι 15, τότε η περίοδος του αθροίσματος τους θα είναι ίση με LCM (12, 15) = 60.
Αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί οπτικά ως εξής: οι συναρτήσεις έρχονται με διαφορετικά "πλάτη βημάτων", αλλά εάν η αναλογία των πλάτη τους είναι ορθολογική, τότε αργά ή γρήγορα (ή μάλλον, ακριβώς μέσω του LCM των βημάτων), θα γίνουν ξανά ίσες και το άθροισμά τους θα ξεκινήσει μια νέα περίοδο.
Ωστόσο, εάν ο λόγος των περιόδων είναι παράλογος, τότε η συνολική συνάρτηση δεν θα είναι καθόλου περιοδική. Για παράδειγμα, έστω F1(x) = x mod 2 (το υπόλοιπο όταν το x διαιρείται με το 2) και F2(x) = sin(x). Το T1 εδώ θα είναι ίσο με 2 και το T2 θα είναι ίσο με 2π. Ο λόγος των περιόδων είναι ίσος με π - ένας άρρητος αριθμός. Επομένως, η συνάρτηση sin(x) + x mod 2 δεν είναι περιοδική.
Το μάθημα βίντεο "Περιοδικότητα συναρτήσεων y = sin x, y = cos x" αποκαλύπτει την έννοια της περιοδικότητας μιας συνάρτησης, εξετάζει μια περιγραφή παραδειγμάτων επίλυσης προβλημάτων στα οποία χρησιμοποιείται η έννοια της περιοδικότητας μιας συνάρτησης. Αυτό το βίντεο μάθημα είναι ένα οπτικό βοήθημα για την εξήγηση του θέματος στους μαθητές. Επίσης, αυτό το εγχειρίδιο μπορεί να γίνει ανεξάρτητο μέρος του μαθήματος, απελευθερώνοντας τον δάσκαλο να διεξάγει ατομική εργασία με τους μαθητές.
Η ορατότητα στην παρουσίαση αυτού του θέματος είναι πολύ σημαντική. Για να αναπαραστήσετε τη συμπεριφορά μιας συνάρτησης, σχεδιάζοντας την, πρέπει να οπτικοποιηθεί. Δεν είναι πάντα δυνατό να γίνουν κατασκευές χρησιμοποιώντας μαυροπίνακα και κιμωλία με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι κατανοητές από όλους τους μαθητές. Στο εκπαιδευτικό βίντεο, είναι δυνατό να επισημάνετε με χρώμα μέρη του σχεδίου κατά την κατασκευή και να κάνετε μετασχηματισμούς χρησιμοποιώντας κινούμενα σχέδια. Έτσι, οι κατασκευές γίνονται πιο κατανοητές στους περισσότερους μαθητές. Επίσης, οι δυνατότητες του μαθήματος βίντεο συμβάλλουν στην καλύτερη απομνημόνευση της ύλης.
Η επίδειξη ξεκινάει εισάγοντας το θέμα του μαθήματος, καθώς και υπενθυμίζοντας στους μαθητές το υλικό που έμαθαν σε προηγούμενα μαθήματα. Συγκεκριμένα, συνοψίζεται ο κατάλογος των ιδιοτήτων που προσδιορίστηκαν στις συναρτήσεις y = sin x, καθώς και y = cos x. Μεταξύ των ιδιοτήτων των υπό εξέταση συναρτήσεων, σημειώνονται το πεδίο ορισμού, το εύρος τιμών, η ισοτιμία (περίπτωση), άλλα χαρακτηριστικά - περιορισμός, μονοτονία, συνέχεια, σημεία ελάχιστης (μεγαλύτερης) τιμής. Οι μαθητές ενημερώνονται ότι σε αυτό το μάθημα μελετάται μια άλλη ιδιότητα μιας συνάρτησης - η περιοδικότητα.
Ο ορισμός μιας περιοδικής συνάρτησης y=f(x), όπου xϵX, στην οποία παρουσιάζεται η συνθήκη f(x-Т)= f(x)= f(x+Т) για κάποια Т≠0. Διαφορετικά, ο αριθμός Τ ονομάζεται περίοδος της συνάρτησης.
Για τις υπό εξέταση συναρτήσεις ημιτονοειδούς και συνημιτονοειδούς, η εκπλήρωση της συνθήκης ελέγχεται χρησιμοποιώντας τύπους αναγωγής. Είναι προφανές ότι η μορφή της ταυτότητας sin(x-2π)=sinx=sin(x+2π) αντιστοιχεί στη μορφή της έκφρασης που ορίζει την συνθήκη περιοδικότητας της συνάρτησης. Η ίδια ισότητα μπορεί να σημειωθεί για το συνημίτονο cos (x-2π)= cos x= cos (x+2π). Αυτό σημαίνει ότι αυτές οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές.
Σημειώνεται περαιτέρω πώς η ιδιότητα της περιοδικότητας βοηθά στη δημιουργία γραφημάτων περιοδικών συναρτήσεων. Θεωρείται η συνάρτηση y = sin x. Στην οθόνη κατασκευάζεται ένα επίπεδο συντεταγμένων, στο οποίο σημειώνονται τετμημένα από -6π έως 8π με βήμα π. Ένα μέρος του ημιτονογράφου σχεδιάζεται στο επίπεδο, που αντιπροσωπεύεται από ένα κύμα στο τμήμα. Το σχήμα δείχνει πώς σχηματίζεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού μετατοπίζοντας το κατασκευασμένο τμήμα, με αποτέλεσμα ένα μακρύ ημιτονοειδές.
Μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = cos x κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της περιοδικότητάς της. Για να γίνει αυτό, κατασκευάζεται ένα επίπεδο συντεταγμένων στο σχήμα, στο οποίο απεικονίζεται ένα τμήμα του γραφήματος. Σημειώνεται ότι ένα τέτοιο θραύσμα κατασκευάζεται συνήθως στο τμήμα [-π/2;3π/2]. Παρόμοια με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ημιτόνου, η κατασκευή της γραφικής παράστασης συνημιτόνου εκτελείται με μετατόπιση του θραύσματος. Ως αποτέλεσμα της κατασκευής, σχηματίζεται ένα μακρύ ημιτονοειδές.
Η γραφική παράσταση μιας περιοδικής συνάρτησης έχει χαρακτηριστικά που μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Επομένως δίνονται σε γενικευμένη μορφή. Σημειώνεται ότι για να κατασκευαστεί ένα γράφημα μιας τέτοιας συνάρτησης, κατασκευάζεται πρώτα ένας κλάδος του γραφήματος σε ένα ορισμένο διάστημα μήκους T. Στη συνέχεια είναι απαραίτητο να μετατοπιστεί ο κατασκευασμένος κλάδος δεξιά και αριστερά κατά T, 2T, 3T, και τα λοιπά. Ταυτόχρονα, επισημαίνεται ένα άλλο χαρακτηριστικό της περιόδου - για κάθε ακέραιο k≠0, ο αριθμός kT είναι και η περίοδος της συνάρτησης. Ωστόσο, η Τ ονομάζεται κύρια περίοδος, αφού είναι η μικρότερη από όλες. Για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο η βασική περίοδος είναι 2π. Οι περίοδοι όμως είναι και 4π, 6π κ.λπ.
Στη συνέχεια, προτείνεται να εξεταστεί η εύρεση της κύριας περιόδου της συνάρτησης y = cos 5x. Η λύση ξεκινά με την υπόθεση ότι T είναι η περίοδος της συνάρτησης. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να πληρούται η συνθήκη f(x-T)= f(x)= f(x+T). Σε αυτήν την ταυτότητα, f(x)= cos 5x και f(x+T)=cos 5(x+T)= cos (5x+5T). Στην περίπτωση αυτή cos (5x+5T)= cos 5x, άρα 5T=2πn. Τώρα μπορείτε να βρείτε T=2π/5. Το πρόβλημα λύθηκε.
Στο δεύτερο πρόβλημα, πρέπει να βρείτε την κύρια περίοδο της συνάρτησης y=sin(2x/7). Υποτίθεται ότι η κύρια περίοδος της συνάρτησης T για μια δεδομένη συνάρτηση είναι f(x)= sin(2x/7) και μετά από μια περίοδο f(x+T)=sin(2x/7)(x+T) = sin(2x/7 +(2/7)T). μετά τη μείωση παίρνουμε (2/7)Т=2πn. Ωστόσο, πρέπει να βρούμε την κύρια περίοδο, οπότε παίρνουμε τη μικρότερη τιμή (2/7)T=2π, από την οποία βρίσκουμε T=7π. Το πρόβλημα λύθηκε.
Στο τέλος της επίδειξης, τα αποτελέσματα των παραδειγμάτων συνοψίζονται για να σχηματιστεί ένας κανόνας για τον προσδιορισμό της βασικής περιόδου της συνάρτησης. Σημειώνεται ότι για τις συναρτήσεις y=sinkx και y=coskx οι κύριες περίοδοι είναι 2π/k.
Το μάθημα βίντεο «Περιοδικότητα συναρτήσεων y = sin x, y = cos x» μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε ένα παραδοσιακό μάθημα μαθηματικών για να αυξηθεί η αποτελεσματικότητα του μαθήματος. Συνιστάται επίσης αυτό το υλικό να χρησιμοποιείται από έναν δάσκαλο που παρέχει εξ αποστάσεως εκπαίδευση για να αυξηθεί η σαφήνεια της εξήγησης. Το βίντεο μπορεί να προταθεί σε έναν μαθητή που αγωνίζεται για να εμβαθύνει την κατανόησή του για το θέμα.
ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ:
"Περιοδικότητα των συναρτήσεων y = cos x, y = sin x."
Για την κατασκευή γραφημάτων των συναρτήσεων y = sin x και y = cos x, χρησιμοποιήθηκαν οι ιδιότητες των συναρτήσεων:
1 περιοχή ορισμού,
Περιοχή 2 αξίας,
3 ζυγός ή περιττός,
4 μονοτονία,
5 περιορισμός,
6 συνέχεια,
7 υψηλότερη και χαμηλότερη τιμή.
Σήμερα θα μελετήσουμε μια άλλη ιδιότητα: την περιοδικότητα μιας συνάρτησης.
ΟΡΙΣΜΟΣ. Η συνάρτηση y = f (x), όπου x ϵ X (η ελληνική ισούται με ef του x, όπου x ανήκει στο σύνολο x), ονομάζεται περιοδική αν υπάρχει ένας μη μηδενικός αριθμός Τ τέτοιος ώστε για οποιοδήποτε x από το σύνολο X ισχύει η διπλή ισότητα: f (x - T)= f (x) = f (x + T)(eff από το x μείον το te είναι ίσο με το ef από το x και ίσο με το ef από το x συν te). Ο αριθμός Τ που ικανοποιεί αυτή τη διπλή ισότητα ονομάζεται περίοδος της συνάρτησης
Και δεδομένου ότι το ημίτονο και το συνημίτονο ορίζονται σε ολόκληρη την αριθμητική ευθεία και για κάθε x ικανοποιούνται οι ισότητες sin(x - 2π)= sin x= sin(x+ 2π) (ημίτονο του x μείον δύο pi είναι ίσο με το ημίτονο του x και ίσο σε ημίτονο του x συν δύο pi ) Και
cos (x- 2π)= cos x = cos (x+ 2π) (το συνημίτονο του x μείον δύο pi είναι ίσο με το συνημίτονο του x και ίσο με το συνημίτονο του x συν δύο pi), τότε το ημίτονο και το συνημίτονο είναι περιοδικές συναρτήσεις με περίοδος 2π.
Η περιοδικότητα σάς επιτρέπει να δημιουργήσετε γρήγορα ένα γράφημα μιας συνάρτησης. Πράγματι, για να κατασκευάσουμε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = sin x, αρκεί να σχεδιάσουμε ένα κύμα (τις περισσότερες φορές σε ένα τμήμα (από μηδέν σε δύο pi) και στη συνέχεια μετατοπίζοντας το κατασκευασμένο τμήμα του γραφήματος κατά μήκος του x -άξονας προς τα δεξιά και αριστερά κατά 2π, μετά κατά 4π και ούτω καθεξής για να πάρετε ένα ημιτονοειδές κύμα.
(εμφάνιση μετατόπισης δεξιά και αριστερά κατά 2π, 4π)
Ομοίως για το γράφημα της συνάρτησης
y = cos x, αλλά χτίζουμε ένα κύμα πιο συχνά στο τμήμα [; ] (από μείον pi πάνω από δύο σε τρία pi πάνω από δύο).
Ας συνοψίσουμε τα παραπάνω και ας βγάλουμε ένα συμπέρασμα: για να κατασκευάσετε μια γραφική παράσταση μιας περιοδικής συνάρτησης με περίοδο T, πρέπει πρώτα να κατασκευάσετε έναν κλάδο (ή κύμα, ή μέρος) του γραφήματος σε οποιοδήποτε διάστημα μήκους T (τις περισσότερες φορές αυτό είναι ένα διάστημα με άκρα στα σημεία 0 και T ή - και (μείον te κατά δύο και te κατά δύο), και στη συνέχεια μετακινήστε αυτόν τον κλάδο κατά μήκος του άξονα x(x) δεξιά και αριστερά κατά T, 2T, 3T, κ.λπ.
Προφανώς, εάν μια συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο T, τότε για οποιονδήποτε ακέραιο k0 (ka όχι ίσο με μηδέν) ένας αριθμός της μορφής kT (ka te) είναι επίσης η περίοδος αυτής της συνάρτησης. Συνήθως προσπαθούν να απομονώσουν τη μικρότερη θετική περίοδο, η οποία ονομάζεται κύρια περίοδος.
Ως περίοδος των συναρτήσεων y = cos x, y = sin x, θα μπορούσε κανείς να πάρει - 4π, 4π, - 6π, 6π, κ.λπ. (μείον τέσσερα pi, τέσσερα pi, μείον έξι pi, έξι pi, και ούτω καθεξής) . Αλλά ο αριθμός 2π είναι η κύρια περίοδος και των δύο συναρτήσεων.
Ας δούμε παραδείγματα.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Να βρείτε την κύρια περίοδο της συνάρτησης y = cos5x (το y είναι ίσο με το συνημίτονο του πέντε x).
Λύση. Έστω T η κύρια περίοδος της συνάρτησης y = cos5x. Ας βάλουμε
f (x) = cos5x, τότε f (x + T) = cos5(x + T) = cos (5x + 5T) (eff του x συν te ισούται με το συνημίτονο του πέντε πολλαπλασιασμένο με το άθροισμα του x και το te είναι ίσο με το συνημίτονο του αθροίσματος πέντε x και πέντε te).
cos (5x + 5T) = cos5x. Ως εκ τούτου, 5T = 2πn (πέντε te ισούται με δύο pi en), αλλά σύμφωνα με τη συνθήκη πρέπει να βρείτε την κύρια περίοδο, που σημαίνει 5T = 2π. Παίρνουμε T=
(η περίοδος αυτής της συνάρτησης είναι δύο pi διαιρούμενη με πέντε).
Απάντηση: Τ=.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2. Να βρείτε την κύρια περίοδο της συνάρτησης y = sin (το y ισούται με το ημίτονο του πηλίκου των δύο x επί επτά).
Λύση. Έστω T η κύρια περίοδος της συνάρτησης y = sin. Ας βάλουμε
f (x) = sin, τότε f (x + T) = sin (x + T) = sin (x + T) (ef του x συν te ισούται με το ημίτονο του γινομένου των δύο έβδομων και το άθροισμα του x και το te είναι ίσο με το ημίτονο του αθροίσματος δύο έβδομων x και δύο έβδομων te).
Για να είναι ο αριθμός T η περίοδος της συνάρτησης, πρέπει να ικανοποιείται η ταυτότητα
αμαρτία (χ + Τ) = αμαρτία. Ως εκ τούτου T= 2πn (δύο έβδομα te είναι ίσα με δύο pi en), αλλά σύμφωνα με τη συνθήκη πρέπει να βρείτε την κύρια περίοδο, που σημαίνει T= 2π. Παίρνουμε T=7
(η περίοδος αυτής της συνάρτησης είναι επτά pi).
Απάντηση: Τ=7.
Συνοψίζοντας τα αποτελέσματα που προέκυψαν στα παραδείγματα, μπορούμε να συμπεράνουμε: η κύρια περίοδος των συναρτήσεων y = sin kx ή y = cos kx (y είναι ίσο με sine ka x ή y είναι ίσο με συνημίτονο ka x) είναι ίση με (δύο pi διαιρούμενο με κα).
Στόχος: να συνοψίσει και να συστηματοποιήσει τις γνώσεις των μαθητών σχετικά με το θέμα "Περιοδικότητα των συναρτήσεων". να αναπτύξουν δεξιότητες στην εφαρμογή των ιδιοτήτων μιας περιοδικής συνάρτησης, στην εύρεση της μικρότερης θετικής περιόδου μιας συνάρτησης, στην κατασκευή γραφημάτων περιοδικών συναρτήσεων. να προωθήσουν το ενδιαφέρον για τη μελέτη των μαθηματικών· καλλιεργούν την παρατηρητικότητα και την ακρίβεια.
Εξοπλισμός: υπολογιστής, προβολέας πολυμέσων, κάρτες εργασιών, διαφάνειες, ρολόγια, τραπέζια με στολίδια, στοιχεία λαϊκής χειροτεχνίας
«Τα μαθηματικά είναι αυτά που χρησιμοποιούν οι άνθρωποι για να ελέγχουν τη φύση και τον εαυτό τους».
ΕΝΑ. Κολμογκόροφ
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων
Ι. Οργανωτικό στάδιο.
Έλεγχος της ετοιμότητας των μαθητών για το μάθημα. Αναφέρετε το θέμα και τους στόχους του μαθήματος.
II. Έλεγχος εργασιών για το σπίτι.
Ελέγχουμε την εργασία χρησιμοποιώντας δείγματα και συζητάμε τα πιο δύσκολα σημεία.
III. Γενίκευση και συστηματοποίηση της γνώσης.
1. Προφορική μετωπική εργασία.
Θεωρητικά θέματα.
1) Να σχηματίσετε έναν ορισμό της περιόδου της συνάρτησης
2) Ονομάστε τη μικρότερη θετική περίοδο των συναρτήσεων y=sin(x), y=cos(x)
3). Ποια είναι η μικρότερη θετική περίοδος των συναρτήσεων y=tg(x), y=ctg(x)
4) Χρησιμοποιώντας έναν κύκλο, να αποδείξετε την ορθότητα των σχέσεων:
y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+180º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)
tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z
sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z
5) Πώς να σχεδιάσετε μια περιοδική συνάρτηση;
Προφορικές ασκήσεις.
1) Να αποδείξετε τις παρακάτω σχέσεις
α) αμαρτία (740º) = αμαρτία (20º)
β) cos(54º ) = cos(-1026º)
γ) αμαρτία (-1000º) = αμαρτία (80º)
2. Να αποδείξετε ότι μια γωνία 540º είναι μία από τις περιόδους της συνάρτησης y= cos(2x)
3. Να αποδείξετε ότι μια γωνία 360º είναι μία από τις περιόδους της συνάρτησης y=tg(x)
4. Μετατρέψτε αυτές τις παραστάσεις έτσι ώστε οι γωνίες που περιλαμβάνονται σε αυτές να μην υπερβαίνουν τις 90º σε απόλυτη τιμή.
α) tg375º
β) ctg530º
γ) αμαρτία1268º
δ)cos(-7363º)
5. Πού βρήκατε τις λέξεις ΠΕΡΙΟΔΟΣ, ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΤΗΤΑ;
Ο μαθητής απαντά: Μια περίοδος στη μουσική είναι μια δομή στην οποία παρουσιάζεται μια περισσότερο ή λιγότερο ολοκληρωμένη μουσική σκέψη. Μια γεωλογική περίοδος είναι μέρος μιας εποχής και χωρίζεται σε εποχές με περίοδο από 35 έως 90 εκατομμύρια χρόνια.
Χρόνος ημιζωής ραδιενεργού ουσίας. Περιοδικό κλάσμα. Τα περιοδικά είναι έντυπες εκδόσεις που εμφανίζονται εντός αυστηρά καθορισμένων προθεσμιών. Το περιοδικό σύστημα του Μεντελέεφ.
6. Τα σχήματα δείχνουν μέρη των γραφημάτων περιοδικών συναρτήσεων. Προσδιορίστε την περίοδο της συνάρτησης. Προσδιορίστε την περίοδο της συνάρτησης.
Απάντηση: T=2; T=2; T=4; Τ=8.
7. Πού στη ζωή σας έχετε συναντήσει την κατασκευή επαναλαμβανόμενων στοιχείων;
Απάντηση μαθητή: Στοιχεία στολιδιών, λαϊκή τέχνη.
IV. Συλλογική επίλυση προβλημάτων.
(Επίλυση προβλημάτων σε διαφάνειες.)
Ας εξετάσουμε έναν από τους τρόπους μελέτης μιας συνάρτησης για περιοδικότητα.
Αυτή η μέθοδος αποφεύγει τις δυσκολίες που σχετίζονται με την απόδειξη ότι μια συγκεκριμένη περίοδος είναι η μικρότερη, και επίσης εξαλείφει την ανάγκη αντιμετώπισης ερωτήσεων σχετικά με αριθμητικές πράξεις σε περιοδικές συναρτήσεις και την περιοδικότητα μιας σύνθετης συνάρτησης. Ο συλλογισμός βασίζεται μόνο στον ορισμό μιας περιοδικής συνάρτησης και στο εξής γεγονός: αν T είναι η περίοδος της συνάρτησης, τότε nT(n?0) είναι η περίοδος της.
Πρόβλημα 1. Να βρείτε τη μικρότερη θετική περίοδο της συνάρτησης f(x)=1+3(x+q>5)
Λύση: Ας υποθέσουμε ότι η περίοδος Τ αυτής της συνάρτησης. Τότε f(x+T)=f(x) για όλα τα x € D(f), δηλ.
1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)
Ας βάλουμε x=-0,25 παίρνουμε
(T)=0 T=n, n € Ζ
Καταλήξαμε ότι όλες οι περίοδοι της εν λόγω συνάρτησης (αν υπάρχουν) είναι μεταξύ των ακεραίων. Ας επιλέξουμε τον μικρότερο θετικό αριθμό από αυτούς τους αριθμούς. Αυτό είναι 1. Ας ελέγξουμε αν όντως θα είναι η περίοδος 1.
f(x+1) =3(x+1+0,25)+1
Εφόσον (T+1)=(T) για οποιοδήποτε Τ, τότε f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), δηλ. 1 – περίοδος στ. Εφόσον το 1 είναι ο μικρότερος από όλους τους θετικούς ακέραιους, τότε T=1.
Πρόβλημα 2. Δείξτε ότι η συνάρτηση f(x)=cos 2 (x) είναι περιοδική και βρείτε την κύρια περίοδο της.
Πρόβλημα 3. Να βρείτε την κύρια περίοδο της συνάρτησης
f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Ας υποθέσουμε την περίοδο Τ της συνάρτησης, τότε για οποιοδήποτε x η σχέση ισχύει
sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Αν x=0, τότε
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5
Αν x=-T, τότε
sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)
5= – sin(1,5T)+5cos(0,75T)
| sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 – sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 |
Προσθέτοντας το, παίρνουμε:
10cos(0,75T)=10
2π n, n € Ζ
Ας επιλέξουμε τον μικρότερο θετικό αριθμό από όλους τους «ύποπτους» αριθμούς για την περίοδο και ας ελέγξουμε αν είναι τελεία για f. Αυτός ο αριθμός
f(x+)=sin(1,5x+4π )+5cos(0,75x+2π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)
Αυτό σημαίνει ότι αυτή είναι η κύρια περίοδος της συνάρτησης f.
Πρόβλημα 4. Ας ελέγξουμε αν η συνάρτηση f(x)=sin(x) είναι περιοδική
Έστω T η περίοδος της συνάρτησης f. Τότε για οποιοδήποτε x
sin|x+Т|=αμαρτία|x|
Αν x=0, τότε sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.
Ας υποθέσουμε. Ότι για μερικά n ο αριθμός π n είναι η περίοδος
η υπό εξέταση συνάρτηση π n>0. Τότε sin|π n+x|=sin|x|
Αυτό σημαίνει ότι το n πρέπει να είναι τόσο άρτιος όσο και περιττός αριθμός, αλλά αυτό είναι αδύνατο. Επομένως, αυτή η συνάρτηση δεν είναι περιοδική.
Εργασία 5. Ελέγξτε εάν η συνάρτηση είναι περιοδική
f(x)= 
Έστω T η περίοδος της f, λοιπόν
, άρα sinT=0, Т=π n, n € Z. Ας υποθέσουμε ότι για μερικά n ο αριθμός π n είναι όντως η περίοδος αυτής της συνάρτησης. Τότε ο αριθμός 2π n θα είναι η περίοδος
Εφόσον οι αριθμητές είναι ίσοι, οι παρονομαστές τους είναι ίσοι, επομένως
Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση f δεν είναι περιοδική.
Εργασία σε ομάδες.
Εργασίες για την ομάδα 1.
Εργασίες για την ομάδα 2.
Ελέγξτε αν η συνάρτηση f είναι περιοδική και βρείτε τη θεμελιώδη περίοδο της (αν υπάρχει).
f(x)=cos(2x)+2sin(2x)
Εργασίες για την ομάδα 3.
Στο τέλος της εργασίας τους οι ομάδες παρουσιάζουν τις λύσεις τους.
VI. Συνοψίζοντας το μάθημα.
Αντανάκλαση.
Ο δάσκαλος δίνει στους μαθητές κάρτες με σχέδια και τους ζητά να χρωματίσουν μέρος του πρώτου σχεδίου ανάλογα με τον βαθμό στον οποίο πιστεύουν ότι έχουν κατακτήσει τις μεθόδους μελέτης μιας συνάρτησης για περιοδικότητα και σε μέρος του δεύτερου σχεδίου - σύμφωνα με τους συμβολή στην εργασία στο μάθημα.
VII. Εργασία για το σπίτι
1). Ελέγξτε αν η συνάρτηση f είναι περιοδική και βρείτε τη θεμελιώδη περίοδο της (αν υπάρχει)
σι). f(x)=x 2 -2x+4
ντο). f(x)=2tg(3x+5)
2). Η συνάρτηση y=f(x) έχει περίοδο T=2 και f(x)=x 2 +2x για x € [-2; 0]. Βρείτε την τιμή της παράστασης -2f(-3)-4f(3.5)
Βιβλιογραφία/
Τον Ιούλιο του 2020, η NASA ξεκινά μια αποστολή στον Άρη. Το διαστημόπλοιο θα παραδώσει στον Άρη ένα ηλεκτρονικό μέσο με τα ονόματα όλων των εγγεγραμμένων συμμετεχόντων στην αποστολή.
Οι εγγραφές των συμμετεχόντων είναι ανοιχτές. Πάρτε το εισιτήριό σας για τον Άρη χρησιμοποιώντας αυτόν τον σύνδεσμο.
Εάν αυτή η ανάρτηση έλυσε το πρόβλημά σας ή απλά σας άρεσε, μοιραστείτε το σύνδεσμο με τους φίλους σας στα κοινωνικά δίκτυα.
Μία από αυτές τις επιλογές κώδικα πρέπει να αντιγραφεί και να επικολληθεί στον κώδικα της ιστοσελίδας σας, κατά προτίμηση μεταξύ ετικετών και ή αμέσως μετά την ετικέτα. Σύμφωνα με την πρώτη επιλογή, το MathJax φορτώνει πιο γρήγορα και επιβραδύνει λιγότερο τη σελίδα. Αλλά η δεύτερη επιλογή παρακολουθεί αυτόματα και φορτώνει τις πιο πρόσφατες εκδόσεις του MathJax. Εάν εισάγετε τον πρώτο κωδικό, θα πρέπει να ενημερώνεται περιοδικά. Εάν εισαγάγετε τον δεύτερο κώδικα, οι σελίδες θα φορτώνονται πιο αργά, αλλά δεν θα χρειάζεται να παρακολουθείτε συνεχώς τις ενημερώσεις του MathJax.
Ο ευκολότερος τρόπος σύνδεσης του MathJax είναι στο Blogger ή στο WordPress: στον πίνακα ελέγχου του ιστότοπου, προσθέστε ένα γραφικό στοιχείο σχεδιασμένο για την εισαγωγή κώδικα JavaScript τρίτου μέρους, αντιγράψτε την πρώτη ή τη δεύτερη έκδοση του κώδικα λήψης που παρουσιάζεται παραπάνω σε αυτό και τοποθετήστε το γραφικό στοιχείο πιο κοντά στην αρχή του προτύπου (παρεμπιπτόντως, αυτό δεν είναι καθόλου απαραίτητο, καθώς το σενάριο MathJax φορτώνεται ασύγχρονα). Αυτό είναι όλο. Τώρα μάθετε τη σύνταξη σήμανσης των MathML, LaTeX και ASCIIMathML και είστε έτοιμοι να εισαγάγετε μαθηματικούς τύπους στις ιστοσελίδες του ιστότοπού σας.
Άλλο ένα ρεβεγιόν... παγωμένος καιρός και νιφάδες χιονιού στο τζάμι... Όλα αυτά με ώθησαν να γράψω ξανά για τα... φράκταλ, και όσα γνωρίζει ο Wolfram Alpha για αυτό. Υπάρχει ένα ενδιαφέρον άρθρο για αυτό το θέμα, το οποίο περιέχει παραδείγματα δισδιάστατων δομών φράκταλ. Εδώ θα δούμε πιο σύνθετα παραδείγματα τρισδιάστατων φράκταλ.
Ένα φράκταλ μπορεί να αναπαρασταθεί (περιγραφεί) οπτικά ως γεωμετρικό σχήμα ή σώμα (που σημαίνει ότι και τα δύο είναι ένα σύνολο, στην περίπτωση αυτή, ένα σύνολο σημείων), οι λεπτομέρειες του οποίου έχουν το ίδιο σχήμα με το ίδιο το αρχικό σχήμα. Δηλαδή, πρόκειται για μια αυτο-όμοια δομή, εξετάζοντας τις λεπτομέρειες της οποίας όταν μεγεθύνονται, θα δούμε το ίδιο σχήμα με χωρίς μεγέθυνση. Ενώ στην περίπτωση ενός συνηθισμένου γεωμετρικού σχήματος (όχι φράκταλ), κατά τη μεγέθυνση θα δούμε λεπτομέρειες που έχουν απλούστερο σχήμα από το ίδιο το αρχικό σχήμα. Για παράδειγμα, σε αρκετά υψηλή μεγέθυνση, μέρος μιας έλλειψης μοιάζει με ευθύγραμμο τμήμα. Αυτό δεν συμβαίνει με τα φράκταλ: με οποιαδήποτε αύξηση τους, θα δούμε ξανά το ίδιο σύνθετο σχήμα, το οποίο θα επαναλαμβάνεται ξανά και ξανά με κάθε αύξηση.
Ο Benoit Mandelbrot, ο ιδρυτής της επιστήμης των φράκταλ, έγραψε στο άρθρο του Fractals and Art in the Name of Science: «Τα φράκταλ είναι γεωμετρικά σχήματα που είναι τόσο περίπλοκα στις λεπτομέρειες όσο και στη συνολική τους μορφή. Δηλαδή, αν μέρος του φράκταλ θα διευρυνθεί στο μέγεθος του συνόλου, θα εμφανιστεί ως σύνολο, είτε ακριβώς, είτε ίσως με μια μικρή παραμόρφωση».
Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές, δηλαδή επαναλαμβάνονται μετά από μια ορισμένη περίοδο. Ως αποτέλεσμα, αρκεί να μελετήσουμε τη συνάρτηση σε αυτό το διάστημα και να επεκτείνουμε τις ιδιότητες που ανακαλύφθηκαν σε όλες τις άλλες περιόδους.
Οδηγίες1. Εάν σας δοθεί μια πρωτόγονη έκφραση στην οποία υπάρχει μόνο μία τριγωνομετρική συνάρτηση (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), και η γωνία μέσα στη συνάρτηση δεν πολλαπλασιάζεται με κανέναν αριθμό και η ίδια δεν αυξάνεται σε οποιοδήποτε βαθμό - χρησιμοποιήστε τον ορισμό. Για εκφράσεις που περιέχουν sin, cos, sec, cosec, ορίστε με τόλμη την περίοδο σε 2P και αν η εξίσωση περιέχει tg, ctg, τότε P. Ας πούμε, για τη συνάρτηση y=2 sinx+5, η περίοδος θα είναι ίση με 2P .
2. Αν η γωνία x κάτω από το πρόσημο μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης πολλαπλασιαστεί με κάποιον αριθμό, τότε, για να βρείτε την περίοδο αυτής της συνάρτησης, διαιρέστε την τυπική περίοδο με αυτόν τον αριθμό. Ας υποθέσουμε ότι σας δίνεται μια συνάρτηση y = sin 5x. Η τυπική περίοδος για ένα ημίτονο είναι 2P· διαιρώντας το με 5, παίρνετε 2P/5 - αυτή είναι η επιθυμητή περίοδος αυτής της έκφρασης.
3. Για να βρείτε την περίοδο μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης ανυψωμένης σε δύναμη, υπολογίστε την ισοτιμία της ισχύος. Για ομοιόμορφο βαθμό, μειώστε την τυπική περίοδο στο μισό. Ας υποθέσουμε ότι εάν σας δοθεί η συνάρτηση y = 3 cos^2x, τότε η τυπική περίοδος 2P θα μειωθεί κατά 2 φορές, άρα η περίοδος θα είναι ίση με P. Σημειώστε ότι οι συναρτήσεις tg, ctg είναι περιοδικές στο P σε κάθε βαθμός.
4. Εάν σας δοθεί μια εξίσωση που περιέχει το γινόμενο ή το πηλίκο δύο τριγωνομετρικών συναρτήσεων, βρείτε πρώτα την περίοδο για όλες ξεχωριστά. Μετά από αυτό, βρείτε τον ελάχιστο αριθμό που θα περιέχει τον ακέραιο και των δύο περιόδων. Ας υποθέσουμε ότι δίνεται η συνάρτηση y=tgx*cos5x. Για την εφαπτομένη η περίοδος είναι P, για το συνημίτονο 5x η περίοδος είναι 2P/5. Ο ελάχιστος αριθμός στον οποίο μπορούν να φιλοξενηθούν και οι δύο αυτές περίοδοι είναι 2P, επομένως η επιθυμητή περίοδος είναι 2P.
5. Εάν δυσκολεύεστε να κάνετε όπως προτείνεται ή αμφιβάλλετε για το αποτέλεσμα, προσπαθήστε να το κάνετε όπως ορίζεται. Πάρτε το T ως περίοδο της συνάρτησης, είναι μεγαλύτερη από το μηδέν. Αντικαταστήστε την παράσταση (x + T) αντί για x στην εξίσωση και λύστε την ισότητα που προκύπτει σαν να ήταν το T μια παράμετρος ή ένας αριθμός. Ως αποτέλεσμα, θα ανακαλύψετε την τιμή της τριγωνομετρικής συνάρτησης και θα μπορείτε να βρείτε τη μικρότερη περίοδο. Ας πούμε, ως αποτέλεσμα της ανακούφισης, λαμβάνετε την ταυτότητα αμαρτίας (T/2) = 0. Η ελάχιστη τιμή του T στην οποία εκτελείται είναι 2P, αυτό θα είναι το αποτέλεσμα της εργασίας.
Μια περιοδική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που επαναλαμβάνει τις τιμές της μετά από κάποια μη μηδενική περίοδο. Η περίοδος μιας συνάρτησης είναι ένας αριθμός που, όταν προστεθεί στο όρισμα μιας συνάρτησης, δεν αλλάζει την τιμή της συνάρτησης.
Θα χρειαστείτε
- Γνώσεις στοιχειωδών μαθηματικών και βασική κριτική.
1. Ας υποδηλώσουμε την περίοδο της συνάρτησης f(x) με τον αριθμό K. Το καθήκον μας είναι να ανακαλύψουμε αυτήν την τιμή του K. Για να το κάνουμε αυτό, φανταστείτε ότι η συνάρτηση f(x), χρησιμοποιώντας τον ορισμό μιας περιοδικής συνάρτησης, εξισώνουμε f(x+K)=f(x).
2. Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει ως προς το άγνωστο Κ, σαν το x να ήταν σταθερά. Ανάλογα με την τιμή του K, θα υπάρχουν αρκετές επιλογές.
3. Αν K>0 – τότε αυτή είναι η περίοδος της συνάρτησής σας Αν K=0 – τότε η συνάρτηση f(x) δεν είναι περιοδική Αν η λύση της εξίσωσης f(x+K)=f(x) κάνει δεν υπάρχει για κανένα Κ που δεν ισούται με μηδέν, τότε μια τέτοια συνάρτηση ονομάζεται απεριοδική και επίσης δεν έχει περίοδο.
Βίντεο σχετικά με το θέμα
Σημείωση!
Όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές και όλες οι πολυωνυμικές συναρτήσεις με βαθμό μεγαλύτερο από 2 είναι απεριοδικές.
Χρήσιμες συμβουλές
Η περίοδος μιας συνάρτησης που αποτελείται από 2 περιοδικές συναρτήσεις είναι το λιγότερο καθολικό πολλαπλάσιο των περιόδων αυτών των συναρτήσεων.
Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις είναι εξισώσεις που περιέχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις ενός άγνωστου ορίσματος (για παράδειγμα: 5sinx-3cosx =7). Για να μάθετε πώς να τα λύσετε, πρέπει να γνωρίζετε μερικούς τρόπους για να το κάνετε αυτό.
1. Η λύση τέτοιων εξισώσεων αποτελείται από 2 στάδια: Το πρώτο είναι η αναμόρφωση της εξίσωσης για να αποκτήσει την απλούστερη μορφή της. Οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις είναι: Sinx=a; Cosx=a, κ.λπ.
2. Η δεύτερη είναι η λύση της απλούστερης τριγωνομετρικής εξίσωσης που προκύπτει. Υπάρχουν βασικοί τρόποι επίλυσης εξισώσεων αυτού του τύπου: Επίλυση αλγεβρικά. Αυτή η μέθοδος είναι περίφημα γνωστή από το σχολείο, από ένα μάθημα άλγεβρας. Ονομάζεται αλλιώς η μέθοδος αντικατάστασης και αντικατάστασης μεταβλητής. Χρησιμοποιώντας τύπους αναγωγής, μετασχηματίζουμε, κάνουμε μια αντικατάσταση και μετά βρίσκουμε τις ρίζες.
3. Παραγοντοποίηση της εξίσωσης. Αρχικά, μετακινούμε όλους τους όρους προς τα αριστερά και τους συνυπολογίζουμε.
4. Αναγωγή της εξίσωσης σε ομοιογενή. Οι εξισώσεις ονομάζονται ομοιογενείς εξισώσεις εάν όλοι οι όροι είναι του ίδιου βαθμού και το ημίτονο και το συνημίτονο της ίδιας γωνίας.Για να το λύσετε θα πρέπει: πρώτα να μεταφέρετε όλους τους όρους του από τη δεξιά πλευρά στην αριστερή πλευρά. μετακινήστε όλους τους καθολικούς παράγοντες εκτός παρενθέσεων. εξισώνουν τους παράγοντες και τις αγκύλες στο μηδέν. Οι εξισωμένες αγκύλες δίνουν μια ομοιογενή εξίσωση χαμηλότερου βαθμού, η οποία πρέπει να διαιρεθεί με cos (ή sin) στον υψηλότερο βαθμό. να λύσετε την αλγεβρική εξίσωση που προκύπτει σχετικά με το μαύρισμα.
5. Η επόμενη μέθοδος είναι να μετακινηθείτε σε μισή γωνία. Πείτε, λύστε την εξίσωση: 3 sin x – 5 cos x = 7. Ας προχωρήσουμε στη μισή γωνία: 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos; (x / 2) + 5 αμαρτία ; (x / 2) = 7 αμαρτία ? (x / 2) + 7 cos ? (x/ 2) , μετά την οποία ανάγουμε όλους τους όρους σε ένα μέρος (κατά προτίμηση τη δεξιά πλευρά) και λύνουμε την εξίσωση.
6. Είσοδος βοηθητικής γωνίας. Όταν αντικαταστήσουμε την ακέραια τιμή cos(a) ή sin(a). Το σύμβολο "a" είναι μια βοηθητική γωνία.
7. Μέθοδος μετατροπής ενός προϊόντος σε άθροισμα. Εδώ πρέπει να εφαρμόσετε τους κατάλληλους τύπους. Ας πούμε δεδομένο: 2 sin x · sin 3x = cos 4x Λύστε το μετατρέποντας την αριστερή πλευρά σε άθροισμα, δηλαδή: cos 4x – cos 8x = cos 4x ,cos 8x = 0 ,8x = p / 2 + pk , x = p / 16 + pk / 8.
8. Η τελική μέθοδος ονομάζεται πολυλειτουργική υποκατάσταση. Μετασχηματίζουμε την παράσταση και κάνουμε μια αλλαγή, λέμε Cos(x/2)=u, και μετά λύνουμε την εξίσωση με την παράμετρο u. Όταν αγοράζουμε το σύνολο, μετατρέπουμε την αξία στο αντίθετο.
Βίντεο σχετικά με το θέμα
Αν θεωρήσουμε σημεία σε έναν κύκλο, τότε σημεία x, x + 2π, x + 4π, κ.λπ. συμπίπτουν μεταξύ τους. Έτσι, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις σε μια ευθεία επαναλαμβάνουν περιοδικά την τιμή τους. Εάν η περίοδος μιας συνάρτησης είναι γνωστή, είναι δυνατό να κατασκευαστεί η συνάρτηση σε αυτήν την περίοδο και να επαναληφθεί σε άλλες.
1. Η περίοδος είναι ένας αριθμός Τ τέτοιος ώστε f(x) = f(x+T). Για να βρείτε την περίοδο, λύστε την αντίστοιχη εξίσωση, αντικαθιστώντας τα x και x+T ως όρισμα. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιούν τις ήδη γνωστές περιόδους για συναρτήσεις. Για τις συναρτήσεις ημιτονοειδούς και συνημιτονοειδούς η περίοδος είναι 2π, και για τις συναρτήσεις εφαπτομένης και συνεφαπτομένης είναι π.
2. Έστω η συνάρτηση f(x) = sin^2(10x). Θεωρήστε την έκφραση sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Χρησιμοποιήστε τον τύπο για να μειώσετε το βαθμό: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. Τότε παίρνετε 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) ή cos 20x = cos (20x+20T). Γνωρίζοντας ότι η περίοδος του συνημιτόνου είναι 2π, 20T = 2π. Αυτό σημαίνει T = π/10. Το T είναι η ελάχιστη σωστή περίοδος και η συνάρτηση θα επαναληφθεί μετά από 2T και μετά από 3T και προς την άλλη κατεύθυνση κατά μήκος του άξονα: -T, -2T, κ.λπ.
Χρήσιμες συμβουλές
Χρησιμοποιήστε τύπους για να μειώσετε το βαθμό μιας συνάρτησης. Εάν γνωρίζετε ήδη τις περιόδους ορισμένων συναρτήσεων, προσπαθήστε να μειώσετε την υπάρχουσα συνάρτηση σε γνωστές.
Η εξέταση μιας συνάρτησης ως προς την ομοιότητα και την περιττότητα βοηθά στη δημιουργία γραφήματος της συνάρτησης και στην κατανόηση της φύσης της συμπεριφοράς της. Για αυτήν την έρευνα, πρέπει να συγκρίνετε αυτήν τη συνάρτηση που γράφτηκε για το όρισμα "x" και για το όρισμα "-x".
1. Γράψτε τη συνάρτηση που θέλετε να μελετήσετε με τη μορφή y=y(x).
2. Αντικαταστήστε το όρισμα της συνάρτησης με “-x”. Αντικαταστήστε αυτό το όρισμα σε μια συναρτησιακή έκφραση.
3. Απλοποιήστε την έκφραση.
4. Έτσι, έχετε την ίδια συνάρτηση γραμμένη για τα ορίσματα "x" και "-x". Κοιτάξτε αυτές τις δύο εγγραφές. Αν y(-x)=y(x), τότε είναι άρτια συνάρτηση. Εάν y(-x)=-y(x), τότε είναι περιττή συνάρτηση. Εάν είναι αδύνατο να πείτε για μια συνάρτηση ότι y (-x)=y(x) ή y(-x)=-y(x), τότε με την ιδιότητα της ισοτιμίας αυτή είναι συνάρτηση καθολικής μορφής. Δηλαδή δεν είναι ούτε ζυγός ούτε περίεργος.
5. Καταγράψτε τα ευρήματά σας. Τώρα μπορείτε να τα χρησιμοποιήσετε για την κατασκευή ενός γραφήματος μιας συνάρτησης ή σε μια μελλοντική αναλυτική μελέτη των ιδιοτήτων μιας συνάρτησης.
6. Είναι επίσης δυνατό να μιλήσουμε για την ομοιότητα και την περιττότητα μιας συνάρτησης στην περίπτωση που η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι ήδη δεδομένη. Ας υποθέσουμε ότι η γραφική παράσταση χρησίμευσε ως αποτέλεσμα ενός φυσικού πειράματος. Εάν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα τεταγμένης, τότε η y(x) είναι άρτια συνάρτηση. Εάν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα της τετμημένης, τότε Το x(y) είναι άρτια συνάρτηση. Η x(y) είναι συνάρτηση αντίστροφη της συνάρτησης y(x).Αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή (0,0), τότε η y(x) είναι περιττή συνάρτηση. Η αντίστροφη συνάρτηση x(y) θα είναι επίσης περιττή.
7. Είναι σημαντικό να θυμάστε ότι η ιδέα της άρτιας και περιττότητας μιας συνάρτησης έχει άμεση σχέση με το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Αν, ας πούμε, μια άρτια ή περιττή συνάρτηση δεν υπάρχει στο x=5, τότε δεν υπάρχει στο x=-5, κάτι που δεν μπορεί να ειπωθεί για μια συνάρτηση καθολικής μορφής. Κατά τον καθορισμό άρτια και περιττή ισοτιμία, δώστε προσοχή στον τομέα της συνάρτησης.
8. Η εύρεση μιας συνάρτησης για την ομοιότητα και την περιττότητα συσχετίζεται με την εύρεση ενός συνόλου τιμών συνάρτησης. Για να βρείτε το σύνολο τιμών μιας άρτιας συνάρτησης, αρκεί να κοιτάξετε τη μισή συνάρτηση, δεξιά ή αριστερά του μηδενός. Εάν στο x>0 η άρτια συνάρτηση y(x) παίρνει τιμές από το A έως το B, τότε θα πάρει τις ίδιες τιμές και στο x0 η περιττή συνάρτηση y(x) παίρνει το εύρος τιμών από το A στο Β, μετά στο x sin^2 ? + cos^2 ? = 1. Η τρίτη και η τέταρτη ταυτότητα προκύπτουν με διαίρεση, αντίστοιχα, με b^2 και a^2: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/αμαρτία^ ? ή 1 + ctg^2 ; = 1/sin^2 ?. Η πέμπτη και η έκτη κύρια ταυτότητα αποδεικνύονται με τον προσδιορισμό του αθροίσματος των οξειών γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου, το οποίο είναι ίσο με 90° ή;/2. Πιο δύσκολες τριγωνομετρικές ταυτότητες: τύποι για την προσθήκη ορισμάτων, διπλές και τριπλές γωνίες, μείωση του βαθμού, αναμόρφωση του αθροίσματος ή των γινομένων των συναρτήσεων, καθώς και τύποι για τριγωνομετρική αντικατάσταση, συγκεκριμένα εκφράσεις βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων ως προς τη μισή γωνία: sin ?= (2*tg ?/2)/ (1 + tan^2 ?/2);cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).
Η ανάγκη να βρεθεί η ελάχιστη τιμή μιας μαθηματικής συνάρτησης έχει πραγματικό ενδιαφέρον για την επίλυση εφαρμοσμένων προβλημάτων, ας πούμε, στα οικονομικά. Η ελαχιστοποίηση των ζημιών έχει μεγάλη σημασία για τις επιχειρηματικές δραστηριότητες.
1. Για να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί σε ποια τιμή του ορίσματος x0 θα ικανοποιηθεί η ανισότητα y(x0); y(x), πού x; x0. Ως συνήθως, αυτό το πρόβλημα επιλύεται σε ένα συγκεκριμένο διάστημα ή σε κάθε εύρος τιμών της συνάρτησης, εάν δεν έχει καθοριστεί. Μια πτυχή της λύσης είναι η εύρεση σταθερών σημείων.
2. Στατικό σημείο είναι η τιμή του ορίσματος στο οποίο η παράγωγος της συνάρτησης γίνεται μηδέν. Σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat, εάν μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση λάβει μια ακραία τιμή σε κάποιο σημείο (στην περίπτωση αυτή, ένα τοπικό ελάχιστο), τότε αυτό το σημείο είναι ακίνητο.
3. Η συνάρτηση παίρνει συχνά την ελάχιστη τιμή της ακριβώς σε αυτό το σημείο, αλλά δεν μπορεί να προσδιοριστεί αμετάβλητα. Επιπλέον, δεν είναι πάντα δυνατό να πούμε με ακρίβεια με ποιο είναι το ελάχιστο της συνάρτησης ή αν παίρνει μια απείρως μικρή τιμή. Στη συνέχεια, ως συνήθως, βρίσκουν το όριο στο οποίο τείνει καθώς μειώνεται.
4. Για να προσδιοριστεί η ελάχιστη τιμή μιας συνάρτησης, είναι απαραίτητο να εκτελέσετε μια ακολουθία ενεργειών που αποτελείται από τέσσερα στάδια: εύρεση του τομέα ορισμού της συνάρτησης, απόκτηση σταθερών σημείων, επανεξέταση των τιμών της συνάρτησης σε αυτά σημεία και στα άκρα του διαστήματος, βρίσκοντας το ελάχιστο.
5. Αποδεικνύεται ότι έστω κάποια συνάρτηση y(x) που δίνεται σε ένα διάστημα με όρια στα σημεία Α και Β. Βρείτε το πεδίο ορισμού της και βρείτε αν το διάστημα είναι υποσύνολο του.
6. Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης. Εξισώστε την έκφραση που προκύπτει με μηδέν και βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης. Ελέγξτε εάν αυτά τα ακίνητα σημεία εμπίπτουν στο κενό. Εάν όχι, τότε δεν λαμβάνονται υπόψη σε επόμενο στάδιο.
7. Εξετάστε το κενό για τον τύπο των ορίων: ανοιχτό, κλειστό, σύνθετο ή αμέτρητο. Αυτό καθορίζει τον τρόπο αναζήτησης της ελάχιστης τιμής. Ας υποθέσουμε ότι το τμήμα [A, B] είναι ένα κλειστό διάστημα. Συνδέστε τα στη συνάρτηση και υπολογίστε τις τιμές. Κάντε το ίδιο με ένα ακίνητο σημείο. Επιλέξτε το χαμηλότερο σύνολο.
8. Με ανοιχτά και αμέτρητα διαστήματα η κατάσταση είναι κάπως πιο δύσκολη. Εδώ θα πρέπει να αναζητήσετε μονόπλευρα όρια που δεν δίνουν πάντα ένα σαφές αποτέλεσμα. Ας πούμε, για ένα διάστημα με ένα κλειστό και ένα διάτρητο όριο [A, B), θα πρέπει να βρει κανείς μια συνάρτηση στο x = A και ένα μονόπλευρο όριο y στο x; Β-0.
Συναρτήσεις Bessel Μειώστε τη συνάρτηση Bessel σε στοιχειώδεις συναρτήσεις
Ο προκατακλυσμιαίος πολιτισμός ήταν πιο προηγμένος
Σειρά Georg Johansson "Mulle Meck - ένας ικανός άνδρας"