1 nimetatakse kolmnurkade võrdsuse märki. Kolmnurkade võrdsuse kolmas märk

hulgas tohutu hulk hulknurgad, mis on sisuliselt suletud, mittelõikuvad katkendlikud jooned, kolmnurk on kõige vähemate nurkadega kujund. Teisisõnu, see on kõige lihtsam hulknurk. Kuid vaatamata kogu oma lihtsusele on see näitaja tulvil palju saladusi ja huvitavaid avastusi mis on valgustatud spetsiaalne sektsioon matemaatika - geomeetria. Seda distsipliini hakatakse koolides õpetama alates seitsmendast klassist ja siin on antud teema “Kolmnurk” Erilist tähelepanu. Lapsed mitte ainult ei õpi figuuri enda kohta reegleid, vaid võrdlevad neid ka kolmnurkade 1., 2. ja 3. võrdusmärki uurides.

Esimene kohtumine

Üks esimesi reegleid, mida koolilapsed õpivad, on umbes selline: kolmnurga kõigi nurkade väärtuste summa on 180 kraadi. Selle kinnitamiseks piisab, kui kasutada nurgamõõtjat, et mõõta iga tipp ja liita kõik saadud väärtused. Selle põhjal on kahe teadaoleva suuruse korral lihtne määrata kolmas. Näiteks: Kolmnurga üks nurkadest on 70° ja teine 85°, kui suur on kolmas nurk?

180 - 85 - 70 = 25.

Vastus: 25°.

Probleemid võivad olla veelgi keerulisemad, kui on määratud ainult üks nurga väärtus ja teisele väärtusele öeldakse ainult, kui palju või mitu korda see on suurem või väiksem.

Kolmnurga teatud omaduste määramiseks saab tõmmata spetsiaalseid jooni, millest igaühel on oma nimi:

kõrgus – tipust vastasküljele tõmmatud risti sirge;
kõik kolm üheaegselt tõmmatud kõrgust lõikuvad joonise keskel, moodustades ortotsentri, mis olenevalt kolmnurga tüübist võib paikneda nii sees kui väljas;
mediaan - joon, mis ühendab tipu vastaskülje keskkohaga;
mediaanide ristumiskoht on selle raskuspunkt, mis asub joonise sees;
poolitaja - joon, mis kulgeb tipust vastasküljega lõikepunktini, on kolme poolitaja lõikepunkt sissekirjutatud ringi keskpunkt;

Lihtsad tõed kolmnurkade kohta

Kolmnurkadel, nagu kõigil kujunditel, on oma omadused ja omadused. Nagu juba mainitud, on see joonis kõige lihtsam hulknurk, kuid sellel on oma iseloomulikud tunnused:

suurema väärtusega nurk asub alati pikima külje vastas ja vastupidi;
Võrdsed nurgad asetsevad võrdsete külgede vastas, näiteks on võrdhaarne kolmnurk;
sisenurkade summa on alati võrdne 180°-ga, mida on juba näitega näidatud;
Kui kolmnurga üks külg ulatub üle selle piiride, moodustub välisnurk, mis jääb alatiseks võrdne summaga nurgad, mis ei külgne sellega;
kumbki pool on alati väiksem kui kahe teise poole summa, kuid suurem kui nende erinevus.

Kolmnurkade tüübid

Tutvumise järgmine etapp on määrata rühm, kuhu esitatud kolmnurk kuulub. Ühte või teise tüüpi kuulumine sõltub kolmnurga nurkade suurusest.

Võrdhaarsed - kahe võrdse küljega, mida nimetatakse külgmiseks, toimib kolmas sel juhul joonise alusena. Sellise kolmnurga aluse nurgad on samad ja tipust tõmmatud mediaan on poolitaja ja kõrgus.
Õige või Võrdkülgne kolmnurk, on selline, mille kõik küljed on võrdsed.
Ristkülikukujuline: selle üks nurkadest on 90°. Sel juhul nimetatakse selle nurga vastas olevat külge hüpotenuusiks ja ülejäänud kahte jalgadeks.
Terav kolmnurk – kõik nurgad on alla 90°.
Nüri – üks nurkadest on suurem kui 90°.

Kolmnurkade võrdsus ja sarnasus

Õppeprotsessi käigus ei arvesta nad mitte ainult ühte figuuri, vaid võrdlevad ka kahte kolmnurka. Ja see, tundub, lihtne teema on palju reegleid ja teoreeme, mille abil saab tõestada, et kõnealused arvud on võrdsed kolmnurgad. Kolmnurkade võrdsuse kriteeriumidel on järgmine määratlus: kolmnurgad on võrdsed, kui nende vastavad küljed ja nurgad on samad. Sellise võrdsuse korral, kui asetate need kaks kujundit üksteise peale, koonduvad kõik nende jooned. Samuti võivad arvud olla sarnased, eriti see kehtib praktiliselt identsed kujundid, mis erinevad ainult suuruse poolest. Esitatud kolmnurkade kohta sellise järelduse tegemiseks peab olema täidetud üks järgmistest tingimustest:

ühe kujundi kaks nurka on võrdsed teise kujundi kahe nurgaga;
ühe kaks külge on võrdelised teise kolmnurga kahe küljega ja külgede moodustatud nurkade suurused on võrdsed;
teise joonise kolm külge on samad, mis esimesel.

Muidugi, vaieldamatu võrdsuse jaoks, mis ei tekita vähimatki kahtlust, peavad mõlema joonise kõigi elementide väärtused olema samad, kuid teoreemide kasutamisega on ülesanne oluliselt lihtsustatud ja ainult mõned kolmnurkade võrdsuse tõestamiseks on lubatud tingimused.

Kolmnurkade võrdsuse esimene märk

Selleteemalised ülesanded lahendatakse teoreemi tõestuse põhjal, mis kõlab nii: „Kui kolmnurga kaks külge ja nende moodustatud nurk on võrdsed kahe külje ja teise kolmnurga nurgaga, siis on ka arvud võrdsed üksteist."

Kuidas kõlab kolmnurkade esimese võrdusmärgi teoreemi tõestus? Kõik teavad, et kaks lõiku on võrdsed, kui nad on ühepikkused, või ringid on võrdsed, kui neil on sama raadius. Ja kolmnurkade puhul on mitu märki, mille olemasolul võime eeldada, et joonised on identsed, mida on väga mugav kasutada erinevate geomeetriliste ülesannete lahendamisel.

Seda, kuidas kõlab teoreem “Kolmnurkade võrdsuse esimene märk”, on kirjeldatud ülal, kuid siin on selle tõestus:

Oletame, et kolmnurkadel ABC ja A 1 B 1 C 1 on samad küljed AB ja A 1 B 1 ning vastavalt BC ja B 1 C 1 ning nende külgede moodustatud nurgad on ühesuurused, st võrdsed. Seejärel asetades △ ABC △ A 1 B 1 C 1 peale, saame kõigi sirgete ja tippude kokkulangevuse. Sellest järeldub, et need kolmnurgad on absoluutselt identsed ja seega üksteisega võrdsed.

Teoreemi "Kolmnurkade võrdsuse esimene märk" nimetatakse ka "Kahele küljele ja nurgale". Tegelikult on see selle olemus.

Teoreem teise märgi kohta

Sarnasel viisil on tõestatud ka teine võrdsusmärk, et kui kujundid on üksteise peale asetatud, langevad nad täielikult kokku kõikidel tippudel ja külgedel. Ja teoreem kõlab järgmiselt: "Kui üks külg ja kaks nurka, mille moodustamisel see osaleb, vastavad teise kolmnurga küljele ja kahele nurgale, siis on need arvud identsed, see tähendab võrdsed."

Kolmas märk ja tõend

Kui kolmnurkade võrdsuse märgid 2 ja 1 puudutasid nii joonise külgi kui ka nurki, siis 3. tähistab ainult külgi. Seega on teoreemil järgmine sõnastus: "Kui ühe kolmnurga kõik küljed on võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, on arvud identsed."

Selle teoreemi tõestamiseks peame üksikasjalikumalt süvenema võrdsuse definitsiooni. Mida tähendab väljend "kolmnurgad on võrdsed"? Identiteet ütleb, et kui asetada üks kujund teise peale, langevad kõik nende elemendid kokku, see saab juhtuda ainult siis, kui nende küljed ja nurgad on võrdsed. Samal ajal on ühe külje vastasnurk, mis on sama mis teise kolmnurga oma, võrdne teise joonise vastava tipuga. Tuleb märkida, et siinkohal saab tõestuse hõlpsasti tõlkida 1 kolmnurkade võrdsuse kriteeriumiks. Kui sellist järjestust ei järgita, on kolmnurkade võrdsus lihtsalt võimatu, välja arvatud juhtudel, kui joonis on peegelpilt esiteks.

Täisnurksed kolmnurgad

Selliste kolmnurkade struktuuris on alati tipud, mille nurk on 90°. Seetõttu on tõesed järgmised väited:

täisnurgaga kolmnurgad on võrdsed, kui ühe jalad on identsed teise jalgadega;
figuurid on võrdsed, kui nende hüpotenuusid ja üks jalg on võrdsed;
sellised kolmnurgad on võrdsed, kui nende jalad ja terav nurk identsed.

See märk viitab Teoreemi tõestamiseks rakendavad nad üksteisele kujundeid, mille tulemusena volditakse kolmnurgad jalgadega kokku nii, et välja tulevad kaks sirget külgedega CA ja CA 1.

Praktiline kasutamine

Enamikul juhtudel kasutatakse praktikas esimest kolmnurkade võrdsuse märki. Tegelikult kasutatakse sellist pealtnäha lihtsat 7. klassi geomeetria ja planimeetria teemat ka näiteks telefonikaabli pikkuse arvutamiseks, mõõtmata pindala, mida see läbib. Seda teoreemi kasutades on lihtne teha vajalikke arvutusi, et määrata keset jõge asuva saare pikkus ilma sellele üle ujumata. Kas tugevdage piirdeaeda, asetades lati vahemikku nii, et see jagaks selle kaheks võrdseks kolmnurgaks, või arvutage keerulised elemendid puusepatööd või ehitusaegse katusefermisüsteemi arvutamisel.

Kolmnurkade võrdsuse esimest märki kasutatakse laialdaselt päris "täiskasvanute" elus. Kuigi sisse kooliaastaid See on teema, mis tundub paljudele igav ja täiesti ebavajalik.

Kolmas kolme külje kolmnurkade võrdsuse kriteerium on sõnastatud teoreemi kujul.

Teoreem : Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis on sellised kolmnurgad kongruentsed.

Tõestus. Vaatleme ΔABC ja ΔA 1 B 1 C 1, mille puhul AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 . Tõestame, et ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Olgu ABC ja A 1 B 1 C 1 kolmnurgad, mille AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . Paneme ∆ABC peale ∆A 1 B 1 C 1 nii, et tipp A on joondatud A 1 -ga ning tipud B ja B 1 ning tipud C ja C 1 on joondatud erinevad küljed sirgjoonest A 1 B 1. Võimalikud on kolm juhtumit: 1) kiir C 1 C läbib nurga A 1 C 1 B 1 seest (joonis a)); 2) kiir C 1 C langeb kokku selle nurga ühe küljega (joonis b)); kiir C 1 C läbib väljaspool nurka A 1 C 1 B 1 (joonis c)). Vaatleme esimest juhtumit. Kuna teoreemi tingimuste kohaselt on küljed AC ja A 1 C 1, BC ja B 1 C 1 võrdsed, siis kolmnurgad A 1 C 1 C ja B 1 C 1 C on võrdhaarsed. Võrdhaarse kolmnurga nurkade omaduse teoreemi järgi Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4, seega ÐA 1 CB 1 = =ÐA 1 C 1 B 1 . Niisiis, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1, РС = РС 1. Seetõttu on kolmnurgad ABC ja A 1 B 1 C 1 kolmnurkade esimese võrdusmärgi järgi võrdsed.

Kirjuta tahvlile:

Arvestades:ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1 , AB = A 1 B 1 , AC = A 1 C 1 , BC = B 1 C 1

Tõesta:ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Tõestus. Kehtestame ∆ABC ∆A 1 B 1 C 1-le nii, et A →A 1 ja B → B 1 ning C ja C 1 on sirge A 1 B 1 vastaskülgedel. Vaatleme juhtumit. tala C 1 C läbib RA 1 C 1 B 1 seest (joonis a)).

AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 ═> ΔA 1 C 1 C ja ΔB 1 C 1 C - võrdsed. ═> Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4 (vastavalt nurkade olemusele võrdub Δ), ═> ÐA 1 CB 1 =ÐA 1 C 1 B 1 ═> AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1 , ÐС = РС 1 ═>

ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1 kolmnurkade esimese võrdusmärgi järgi.

2.Romb. Definitsioon, omadused, märgid.

Romb on teatud tüüpi nelinurk.

Definitsioon: Romb on rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed.

Joonisel on rööpkülik ABCD, kus AB=BC=CD=DA. Definitsiooni järgi on see rööpkülik romb. AC ja ВD on rombi diagonaalid. Kuna romb on rööpkülik, kehtivad selle puhul kõik rööpküliku omadused ja omadused.

Omadused:

1) Rombis on vastasnurgad võrdsed (ÐA=ÐC, ÐB=ÐD)

2) Rombi diagonaalid jagatakse lõikepunktiga pooleks. (BO=ОD, AO=ОC)

3) Rombi diagonaalid on üksteisega risti ja selle nurgad on poolitatud. (AS DV, ‌‌АБО=РУВС, ADО=РОDC, ‌‌рBСО=РDСО, РДАО=РВАО) ( eriline vara)

4) Ühe küljega külgnevate nurkade summa on 180 0 (ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0)

märgid romb:

1) Kui rööpküliku diagonaalid on üksteisega risti, siis on see rööpkülik romb

2) Kui rööpküliku diagonaal poolitab oma nurgad, siis on rööpkülik romb.

3) Kui rööpküliku kõik küljed on võrdsed, siis on tegemist rombiga.

Tahvlile kirjutamine.

Omadused:

1) ÐA=ÐC, ÐB=ÐD 2) BO=OD, AO=OC

3) AC DV, ‌‌ААBO=РУВС, ADО=РОDC, ‌‌рBСО=РDСО, РДАО=РВАО

4) ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0

Vastupidised väited on märgid romb:

1 ) Kui ABCD on paralleel m ja AC DB, siis ABCD on romb.

2) Kui ABCD on paralleel ning AC ja DB on poolitajad, siis ABCD on romb.

3) Kui ABCD on paralleel ja AC=DB ja BC=AD, siis on ABCD romb.

Ülesanne.

Kaht kolmnurka peetakse kongruentseks, kui neid saab kattudes kokku viia. Joonisel 1 on kujutatud võrdsed kolmnurgad ABC ja A 1 B 1 C 1. Kõiki neid kolmnurki saab üksteise peale asetada, nii et need on täielikult ühilduvad, st nende tipud ja küljed ühilduvad paarikaupa. On selge, et ka nende kolmnurkade nurgad ühtivad paarikaupa.

Seega, kui kaks kolmnurka on kongruentsed, siis on ühe kolmnurga elemendid (st küljed ja nurgad) vastavalt võrdsed teise kolmnurga elementidega. Pange tähele, et V võrdsed kolmnurgad vastavalt võrdsetele külgedele(st kattuvad peale asetamisel) võrdsed nurgad asuvad ja tagasi: vastupidised vastavalt võrdsed nurgad asuvad võrdsed küljed.

Näiteks joonisel 1 kujutatud võrdsetes kolmnurkades ABC ja A 1 B 1 C 1, mis on vastavalt võrdsete külgede AB ja A 1 B 1 vastas, on võrdsed nurgad C ja C 1. Tähistame kolmnurkade ABC ja A 1 B 1 C 1 võrdsust järgmiselt: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Selgub, et kahe kolmnurga võrdsuse saab kindlaks teha nende mõningaid elemente võrreldes.

1. teoreem. Kolmnurkade võrdsuse esimene märk. Kui ühe kolmnurga kaks külge ja nendevaheline nurk on vastavalt võrdne teise kolmnurga kahe külje ja nendevahelise nurgaga, siis on sellised kolmnurgad kongruentsed (joonis 2).

Tõestus. Vaatleme kolmnurki ABC ja A 1 B 1 C 1, milles AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (vt joonis 2). Tõestame, et Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Kuna ∠ A = ∠ A 1, siis saab kolmnurga ABC asetada kolmnurga A 1 B 1 C 1 peale nii, et tipp A joondub tipuga A 1 ning küljed AB ja AC on vastavalt kiirte A 1 B 1 ja A 1 peale. C 1. Kuna AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, siis külg AB joondub küljega A 1 B 1 ja külg AC küljega A 1 C 1; eelkõige langevad punktid B ja B 1, C ja C 1 kokku. Järelikult joonduvad küljed BC ja B 1 C 1. Seega on kolmnurgad ABC ja A 1 B 1 C 1 täiesti ühilduvad, mis tähendab, et need on võrdsed.

Teoreem 2 on tõestatud sarnaselt superpositsioonimeetodiga.

2. teoreem. Kolmnurkade teine võrdsuse märk. Kui ühe kolmnurga külg ja kaks külgnevat nurka on vastavalt võrdsed teise kolmnurga külg- ja kahe külgneva nurgaga, siis on sellised kolmnurgad kongruentsed (joonis 34).

kommenteerida. 2. teoreemi alusel kehtestatakse teoreem 3.

Teoreem 3. Kolmnurga mis tahes kahe sisenurga summa on väiksem kui 180°.

4. teoreem tuleneb viimasest teoreemist.

Teoreem 4. Kolmnurga välisnurk on suurem kui ükskõik milline sisemine nurk, mitte selle kõrval.

5. teoreem. Kolmnurkade võrdsuse kolmas märk. Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis on sellised kolmnurgad kongruentsed ().

Näide 1. Kolmnurkades ABC ja DEF (joonis 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Võrdle kolmnurki ABC ja DEF. Kui suur on nurk kolmnurgas DEF võrdne nurgaga IN?

Lahendus. Need kolmnurgad on esimese märgi järgi võrdsed. Kolmnurga DEF nurk F on võrdne nurgaga B kolmnurk ABC, kuna need nurgad asetsevad vastavate võrdsete külgede DE ja AC vastas.

Näide 2. Lõigud AB ja CD (joonis 5) lõikuvad punktis O, mis on nende keskel. Kui pikk on lõik BD, kui lõik AC on 6 m?

Lahendus. Kolmnurgad AOC ja BOD on võrdsed (vastavalt esimesele kriteeriumile): ∠ AOC = ∠ BOD (vertikaalne), AO = OB, CO = OD (tingimuse järgi).
Nende kolmnurkade võrdsusest järeldub, et nende küljed on võrdsed, st AC = BD. Aga kuna tingimuse järgi AC = 6 m, siis BD = 6 m.

Kolmnurkade teine võrdsuse märk

Kui ühe kolmnurga külg ja kaks külgnevat nurka on vastavalt võrdsed teise kolmnurga külg- ja kahe külgneva nurgaga, siis on sellised kolmnurgad kongruentsed.

MN = PR N = R M = P

Nagu esimese märgi tõestuses, peate veenduma, kas sellest piisab, et kolmnurgad oleksid võrdsed, kas neid saab täielikult kombineerida?

1. Kuna MN = PR, siis need lõigud kombineeritakse, kui nende lõpp-punktid on kombineeritud.

2. Kuna N = R ja M = P, kattuvad kiired \(MK\) ja \(NK\) vastavalt kiirtega \(PT\) ja \(RT\).

3. Kui kiired langevad kokku, siis nende lõikepunktid \(K\) ja \(T\) langevad kokku.

4. Kõik kolmnurkade tipud on ühendatud, st Δ MNK ja Δ PRT on täielikult joondatud, mis tähendab, et need on võrdsed.

Kolmnurkade võrdsuse kolmas märk

Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis on sellised kolmnurgad kongruentsed.

MN = PR KN = TR MK = PT

Proovime uuesti ühendada kolmnurgad Δ MNK ja Δ PRT kattudes ja veendume, et vastavad võrdsed küljed garanteerivad nende kolmnurkade vastavate nurkade võrdsed ja nende täieliku kokkulangemise.

Kombineerime näiteks identsed segmendid \(MK\) ja \(PT\). Oletame, et punktid \(N\) ja \(R\) ei lange kokku.

Olgu \(O\) lõigu \(NR\) keskpunkt. Selle teabe kohaselt on MN = PR, KN = TR. Kolmnurgad \(MNR\) ja \(KNR\) on võrdhaarsed ühisosa\(NR\).

Seetõttu on nende mediaanid \(MO\) ja \(KO\) kõrgused, mis tähendab, et need on \(NR\) risti. Sirged \(MO\) ja \(KO\) ei lange kokku, kuna punktid \(M\), \(K\), \(O\) ei asu samal sirgel. Kuid läbi sirge \(NR\) punkti \(O\) saab tõmmata ainult ühe sellega risti oleva sirge. Oleme jõudnud vastuoluni.

On tõestatud, et tipud \(N\) ja \(R\) peavad kokku langema.

Kolmas märk lubab meil nimetada kolmnurka väga tugevaks, stabiilseks kujundiks, mõnikord öeldakse seda kolmnurk - jäik joonis . Kui külgede pikkused ei muutu, siis ei muutu ka nurgad. Näiteks nelinurgal seda omadust pole. Seetõttu tehakse erinevad toed ja kindlustused kolmnurkseks.

Kuid inimesed on juba pikka aega hinnanud ja esile toonud numbri \(3\) omapärast stabiilsust, stabiilsust ja täiuslikkust.

Muinasjutud räägivad sellest.

Seal kohtame “Kolme karu”, “Kolme tuult”, “Kolm põrsakest”, “Kolm seltsimeest”, “Kolm venda”, “Kolm õnnelikku meest”, “Kolm käsitöölist”, “Kolm printsi”, “Kolm sõpra”, "Kolm kangelast" jne.

Seal antakse "kolm katset", "kolm nõuannet", "kolm juhist", "kolm kohtumist", täidetakse "kolm soovi", tuleb vastu pidada "kolm päeva", "kolm ööd", "kolm aastat", läbida "kolm osariiki", "kolm maa-alust kuningriiki", peavad vastu "kolmele katsele", purjetavad läbi "kolme mere".