Kuidas teisendada logaritm ühiseks baasiks. Logaritmide omadused ja nende lahenduste näited

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmete all mõeldakse andmeid, mille abil saab tuvastada konkreetse isiku või temaga ühendust võtta.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me sellist teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja sõnumite saatmiseks.
Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile meie teenuste kohta soovitusi.
Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

Vajadusel – vastavalt seadusele, kohtulik kord, kohtumenetluses ja/või avalike taotluste või taotluste alusel valitsusagentuurid Vene Föderatsiooni territooriumil - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikes huvides.
Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas halduslikke, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.

\(a^(b)=c\) \(\Leftparemnool\) \(\log_(a)(c)=b\)

Selgitame seda lihtsamalt. Näiteks \(\log_(2)(8)\) võrdne kraadiga, millele \(2\) tuleb tõsta, et saada \(8\). Sellest on selge, et \(\log_(2)(8)=3\).

Näited:	\(\log_(5)(25)=2\)	sest \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	sest \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	sest \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Logaritmi argument ja alus

Igal logaritmil on järgmine "anatoomia":

Logaritmi argument kirjutatakse tavaliselt selle tasemel ja alus kirjutatakse logaritmi märgile lähemale alamindeksis. Ja seda kirjet loetakse järgmiselt: "kahekümne viie logaritm viie baasini."

Kuidas logaritmi arvutada?

Logaritmi arvutamiseks peate vastama küsimusele: mil määral tuleks argumendi saamiseks baasi tõsta?

näiteks, arvuta logaritm: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Millise astmeni tuleb \(4\) tõsta, et saada \(16\)? Ilmselgelt teine. Niisiis:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Millise astmeni tuleb \(\sqrt(5)\) tõsta, et saada \(1\)? Ja mis aste teeb igast arvust ühiku? Null, muidugi!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Millise astmeni tuleb \(\sqrt(7)\) suurendada, et saada \(\sqrt(7)\)? Esimeses - mis tahes arv esimeses astmes võrdub iseendaga.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Millise astmeni tuleb \(3\) tõsta, et saada \(\sqrt(3)\)? Sellest, et me teame, mis on murdosa aste, ja seega on ruutjuur \(\frac(1)(2)\) aste.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Näide : Arvutage logaritm \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Otsus :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Peame leidma logaritmi väärtuse, tähistame seda kui x. Nüüd kasutame logaritmi definitsiooni: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Nool vasakule\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Mis seob \(4\sqrt(2)\) ja \(8\)? Kaks, sest mõlemat numbrit saab esitada kahega: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Vasakul kasutame kraadi atribuute: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) ja \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Alused on võrdsed, jätkame näitajate võrdsusega
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Korrutage võrrandi mõlemad pooled arvuga \(\frac(2)(5)\)
		Saadud juur on logaritmi väärtus

Vastus : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Miks leiutati logaritm?

Selle mõistmiseks lahendame võrrandi: \(3^(x)=9\). Võrdõiguslikkuse toimimiseks tehke lihtsalt vaste \(x\). Muidugi, \(x=2\).

Nüüd lahendage võrrand: \(3^(x)=8\). Mis võrdub x-ga? See on asja mõte.

Kõige geniaalsem ütleb: "X on natuke vähem kui kaks." Kuidas see number täpselt kirjutada tuleb? Sellele küsimusele vastamiseks mõtlesid nad välja logaritmi. Tänu temale saab siin vastuse kirjutada kujul \(x=\log_(3)(8)\).

Tahan rõhutada, et \(\log_(3)(8)\), samuti iga logaritm on vaid arv. Jah, see näeb välja ebatavaline, kuid on lühike. Sest kui me tahtsime seda vormis kirjutada kümnendmurd, siis näeks see välja selline: \(1.892789260714.....\)

Näide : lahendage võrrand \(4^(5x-4)=10\)

Otsus :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) ja \(10\) ei saa taandada samale alusele. Nii et siin ei saa te ilma logaritmita hakkama. Kasutame logaritmi definitsiooni: \(a^(b)=c\) \(\Leftparemnool\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Pöörake võrrandit nii, et x on vasakul
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Enne meid. Liigutage \(4\) paremale. Ja ärge kartke logaritmi, käsitlege seda kui tavalist arvu.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Jagage võrrand 5-ga
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Siin on meie juur. Jah, see tundub ebatavaline, kuid vastust ei valita.

Vastus : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Kümnend- ja naturaallogaritmid

Nagu logaritmi määratluses öeldud, võib selle alus olla mis tahes positiivne arv, välja arvatud ühik \((a>0, a\neq1)\). Ja kõigi võimalike aluste hulgas on kaks, mis esinevad nii sageli, et nendega töötati logaritmide jaoks välja spetsiaalne lühike tähistus:

Naturaalne logaritm: logaritm, mille alus on Euleri arv \(e\) (võrdub ligikaudu \(2,7182818…\)) ja logaritm on kirjutatud kujul \(\ln(a)\).

St \(\ln(a)\) on sama mis \(\log_(e)(a)\)

Kümnendlogaritm: Logaritm, mille alus on 10, kirjutatakse \(\lg(a)\).

St \(\lg(a)\) on sama mis \(\log_(10)(a)\), kus \(a\) on mingi arv.

Põhiline logaritmiline identiteet

Logaritmidel on palju omadusi. Üks neist kannab nime "Main logaritmiline identiteet ja näeb välja selline:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

See omadus tuleneb otseselt määratlusest. Vaatame, kuidas see valem tekkis.

Jätame meelde lühike märkus logaritmi määratlused:

kui \(a^(b)=c\), siis \(\log_(a)(c)=b\)

See tähendab, et \(b\) on sama mis \(\log_(a)(c)\). Siis saame valemis \(a^(b)=c\) \(b\) asemel kirjutada \(\log_(a)(c)\) . Selgus \(a^(\log_(a)(c))=c\) - peamine logaritmiline identiteet.

Ülejäänud logaritmide omadused leiate. Nende abiga saate lihtsustada ja arvutada avaldiste väärtusi logaritmidega, mida on raske otse arvutada.

Näide : leidke avaldise \(36^(\log_(6)(5))\) väärtus

Otsus :

Vastus : \(25\)

Kuidas kirjutada arv logaritmina?

Nagu eespool mainitud, on iga logaritm vaid arv. Tõsi on ka vastupidi: logaritmina saab kirjutada mis tahes arvu. Näiteks teame, et \(\log_(2)(4)\) on võrdne kahega. Siis saab kahe asemel kirjutada \(\log_(2)(4)\).

Kuid \(\log_(3)(9)\) on samuti võrdne \(2\), nii et võite kirjutada ka \(2=\log_(3) (9)\) . Samamoodi \(\log_(5)(25)\) ja \(\log_(9)(81)\) jne. See tähendab, et selgub

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Seega, kui meil on vaja, saame need kaks kirjutada logaritmina mis tahes alusega kõikjal (isegi võrrandis, isegi avaldises, isegi ebavõrdsuses) - me lihtsalt kirjutame ruudukujulise aluse argumendina.

Sama on kolmikuga – selle saab kirjutada \(\log_(2)(8)\) või \(\log_(3)(27)\) või \(\log_(4)( 64) \) ... Siin kirjutame argumendina kuubi aluse:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Ja neljaga:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Ja miinus ühega:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1) (7)\)\(...\)

Ja ühe kolmandikuga:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Mis tahes arvu \(a\) saab esitada logaritmina alusega \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Näide : avaldise väärtuse leidmine \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Otsus :

Vastus : \(1\)

(kreeka keelest λόγος - "sõna", "seos" ja ἀριθμός - "arv") b põhjusega a(log α b) nimetatakse selliseks numbriks c, ja b= a c, see tähendab log α b=c ja b=ac on samaväärsed. Logaritm on mõttekas, kui a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Teisisõnu logaritm numbrid b põhjusega a sõnastatud astendajana, milleni tuleb arv tõsta a numbri saamiseks b(logaritm eksisteerib ainult positiivsete arvude puhul).

Sellest sõnastusest järeldub, et arvutus x= log α b, võrdub võrrandi a x =b lahendamisega.

Näiteks:

log 2 8 = 3, sest 8 = 2 3 .

Märgime, et näidatud logaritmi sõnastus võimaldab kohe määrata logaritmi väärtus kui logaritmi märgi all olev arv on aluse teatud aste. Tõepoolest, logaritmi sõnastus võimaldab põhjendada, et kui b=a c, siis arvu logaritm b põhjusega a võrdub koos. Samuti on selge, et logaritmi teema on teemaga tihedalt seotud arvu aste.

Viidatakse logaritmi arvutamisele logaritm. Logaritm on matemaatiline tehe logaritmi võtmine. Logaritmi võtmisel teisendatakse tegurite korrutised liikmete summadeks.

Potentsieerimine on logaritmile pöördvõrdeline matemaatiline tehe. Potentsimisel tõstetakse antud alus avaldise astmeni, millel potentseerimine sooritatakse. Sel juhul muudetakse terminite summad tegurite korrutiseks.

Üsna sageli kasutatakse reaallogaritme alustega 2 (binaarne), e Euleri arv e ≈ 2,718 ( naturaallogaritm) ja 10 (kümnend).

peal see etapp asjakohane kaaluda logaritmide näidised logi 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Ja kirjetel lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 pole mõtet, kuna esimeses neist asetatakse negatiivne arv logaritmi märgi alla, teises - negatiivne arv aluses ja kolmandas - negatiivne arv logaritmi märgi all ja üks aluses.

Logaritmi määramise tingimused.

Eraldi tasub kaaluda tingimusi a > 0, a ≠ 1, b > 0. logaritmi määratlus. Mõelgem, miks need piirangud kasutusele võetakse. See aitab meil saavutada võrdsust kujul x = log α b, mida nimetatakse põhilogaritmiliseks identiteediks, mis tuleneb otseselt ülaltoodud logaritmi definitsioonist.

Võtke tingimus a≠1. Kuna üks on võrdne ühega mis tahes astmega, siis võrdus x=log α b saab eksisteerida ainult siis, kui b = 1, kuid log 1 1 on mis tahes reaalarv. Selle ebaselguse kõrvaldamiseks võtame a≠1.

Tõestame tingimuse vajalikkust a>0. Kell a=0 logaritmi sõnastuse järgi saab eksisteerida ainult siis, kui b = 0. Ja siis vastavalt logi 0 0 võib olla mis tahes nullist erinev reaalarv, kuna nullist mis tahes nullist erinev aste on null. Selle ebaselguse kõrvaldamiseks tingimus a≠0. Ja millal a<0 peaksime logaritmi ratsionaalsete ja irratsionaalsete väärtuste analüüsi tagasi lükkama, kuna ratsionaalse ja irratsionaalse astendajaga astendaja on määratletud ainult mittenegatiivsete aluste jaoks. Just sel põhjusel on tingimus a>0.

Ja viimane tingimus b>0 tuleneb ebavõrdsusest a>0, kuna x = log α b, ja positiivse baasiga kraadi väärtus a alati positiivne.

Logaritmide omadused.

Logaritmid iseloomustab eristav Funktsioonid, mis viis nende laialdase kasutamiseni, et hõlbustada märkimisväärselt hoolikaid arvutusi. Üleminekul "logaritmide maailma" muudetakse korrutamine palju lihtsamaks liitmiseks, jagamine lahutamiseks ning astmeni tõstmine ja juure võtmine vastavalt astendajaga korrutamiseks ja jagamiseks.

Logaritmide sõnastuse ja nende väärtuste tabeli (trigonomeetriliste funktsioonide jaoks) avaldas esmakordselt 1614. aastal Šoti matemaatik John Napier. Teiste teadlaste poolt suurendatud ja üksikasjalikult kirjeldatud logaritmilisi tabeleid kasutati laialdaselt teaduslikes ja tehnilistes arvutustes ning need jäid oluliseks seni, kuni hakati kasutama elektroonilisi kalkulaatoreid ja arvuteid.

põhiomadused.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

samadel alustel

log6 4 + log6 9.

Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks.

Näited logaritmide lahendamisest

Mis siis, kui logaritmi baasis või argumendis on aste? Seejärel saab selle astme eksponendi logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:

Loomulikult on kõik need reeglid mõttekad, kui järgitakse ODZ logaritmi: a > 0, a ≠ 1, x >

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:

Üleminek uuele vundamendile

Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdsus tõene mis tahes arvu c korral, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:

Vaata ka:

Logaritmi põhiomadused

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent on 2,718281828…. Eksponenti meeldejätmiseks võite uurida reeglit: eksponent on 2,7 ja kaks korda Lev Tolstoi sünniaasta.

Logaritmide põhiomadused

Seda reeglit teades saate teada nii eksponendi täpset väärtust kui ka Lev Tolstoi sünnikuupäeva.

Logaritmide näited

Võtke avaldiste logaritm

Näide 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Arvutame omaduste 3,5 järgi

4. kus .

Näide 2 Leia x kui

Näide 3. Olgu antud logaritmide väärtus

Arvuta log(x), kui

Logaritmide põhiomadused

Logaritme, nagu iga arvu, saab igal võimalikul viisil liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, siis siin kehtivad reeglid, mida kutsutakse põhiomadused.

Neid reegleid tuleb teada – ilma nendeta pole ühtegi tõsist logaritmiline ülesanne. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.

Logaritmide liitmine ja lahutamine

Vaatleme kahte sama alusega logaritmi: logaksi ja logaritmi. Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Seega on logaritmide summa võrdne korrutise logaritmiga ja erinevus on jagatise logaritm. Pange tähele: võtmepunkt siin on - samadel alustel. Kui alused on erinevad, siis need reeglid ei tööta!

Need valemid aitavad arvutada logaritmi avaldise isegi siis, kui selle üksikuid osi ei arvestata (vt õppetundi "Mis on logaritm"). Vaadake näiteid ja vaadake:

Kuna logaritmide alused on samad, kasutame summa valemit:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log2 48 − log2 3.

Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log3 135 − log3 5.

Jällegi on alused samad, seega on meil:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Nagu näete, koosnevad algsed avaldised "halbadest" logaritmidest, mida eraldi ei käsitleta. Kuid pärast teisendusi ilmnevad üsna tavalised numbrid. Selle fakti põhjal paljud proovipaberid. Jah, kontroll – sarnaseid väljendeid täie tõsidusega (mõnikord – praktiliselt ilma muudatusteta) pakutakse eksamil.

Astendaja eemaldamine logaritmist

Seda on lihtne näha viimane reegel järgneb kahele esimesele. Kuid parem on see ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.

Muidugi on kõik need reeglid mõttekad, kui järgida ODZ logaritmi: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja veel üks asi: õppige rakendama kõiki valemeid mitte ainult vasakult paremale, vaid ka vastupidi, s.t. logaritmi endasse saab sisestada arvud enne logaritmi märki. See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log7 496.

Vabaneme argumendi astmest esimese valemi järgi:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:

Pange tähele, et nimetaja on logaritm, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 24; 49 = 72. Meil on:

ma arvan, et viimane näide selgitus on vajalik. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni viimase hetkeni töötame ainult nimetajaga.

Logaritmide valemid. Logaritmid on lahenduste näited.

Nad esitasid seal seisva logaritmi aluse ja argumendi kraadidena ning võtsid välja indikaatorid - nad said “kolmekorruselise” murru.

Vaatame nüüd põhifraktsiooni. Lugejal ja nimetajal on sama arv: log2 7. Kuna log2 7 ≠ 0, saame murdosa vähendada - 2/4 jääb nimetajasse. Aritmeetika reeglite järgi saab nelja üle kanda lugejasse, mis ka tehti. Tulemuseks on vastus: 2.

Üleminek uuele vundamendile

Rääkides logaritmide liitmise ja lahutamise reeglitest, rõhutasin konkreetselt, et need töötavad ainult samade alustega. Mis siis, kui alused on erinevad? Mis siis, kui need ei ole sama arvu täpsed astmed?

Appi tulevad valemid uuele baasile üleminekuks. Sõnastame need teoreemi kujul:

Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdsus tõene mis tahes arvu c korral, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:

Täpsemalt, kui paneme c = x, saame:

Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti on võimalik omavahel vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm on nimetajas.

Neid valemeid leidub tavalistes harva numbrilised avaldised. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata alles otsustamisel logaritmilised võrrandid ja ebavõrdsused.

Siiski on ülesandeid, mida ei saa üldse lahendada peale uue sihtasutuse kolimise. Vaatleme paari neist:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log5 16 log2 25.

Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid on täpsed eksponendid. Võtame välja näitajad: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nüüd pöörame teise logaritmi ümber:

Kuna korrutis tegurite permutatsioonist ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning siis mõtlesime välja logaritmid.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log9 100 lg 3.

Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme näitajatest:

Nüüd vabaneme kümnendlogaritmist, liikudes uuele alusele:

Põhiline logaritmiline identiteet

Sageli on lahendamise käigus vaja esitada arv antud baasi logaritmina. Sel juhul aitavad meid valemid:

Esimesel juhul saab arvust n argumendi astendaja. Arv n võib olla absoluutselt ükskõik milline, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus.

Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetatakse nii:

Tõepoolest, mis juhtub, kui arvu b tõstetakse sellisel määral, et arv b selles astmes annab arvu a? Täpselt nii: see on sama number a. Lugege see lõik uuesti hoolikalt läbi - paljud inimesed ripuvad selle küljes.

Nagu uued baasteisendusvalemid, on ka põhilogaritmiline identiteet mõnikord ainus võimalik lahendus.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:

Pange tähele, et log25 64 = log5 8 - lihtsalt võttis ruudu välja logaritmi baasist ja argumendist. Arvestades volituste korrutamise reegleid sama alus, saame:

Kui keegi pole kursis, siis see oli ühtse riigieksami tõeline ülesanne 🙂

Logaritmiline ühik ja logaritmiline null

Kokkuvõtteks annan kaks identiteeti, mida on raske omadusteks nimetada – pigem on need logaritmi definitsioonist tulenevad tagajärjed. Neid leitakse pidevalt probleemidest ja üllataval kombel tekitavad need probleeme isegi "edasijõudnud" õpilastele.

logaa = 1 on. Pidage üks kord meeles: logaritm mis tahes baasile a sellest baasist endast on võrdne ühega.
loga 1 = 0 on. Alus a võib olla mis tahes, kuid kui argument on üks, on logaritm null! Kuna a0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg.

See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist! Laadige tunni alguses petuleht alla, printige see välja ja lahendage probleemid.

Vaata ka:

Arvu b logaritm alusele a tähistab avaldist. Logaritmi arvutamine tähendab sellise astme x () leidmist, mille korral võrdsus on tõene

Logaritmi põhiomadused

Ülaltoodud omadusi on vaja teada, kuna nende põhjal lahendatakse peaaegu kõik ülesanded ja näited logaritmide põhjal. Ülejäänud eksootilised omadused saab tuletada nende valemitega matemaatiliste manipulatsioonide abil

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Logaritmide (3.4) summa ja erinevuse valemite arvutamisel kohtab üsna sageli. Ülejäänud on mõnevõrra keerulised, kuid paljude ülesannete puhul on need asendamatud keerukate avaldiste lihtsustamiseks ja nende väärtuste arvutamiseks.

Levinud logaritmide juhtumid

Mõned levinumad logaritmid on need, mille alus on isegi kümme, eksponentsiaalne või kahekordne.
Kümne baaslogaritmi nimetatakse tavaliselt kümne baaslogaritmiks ja seda tähistatakse lihtsalt lg(x).

Plaadilt on näha, et põhitõed pole protokollis kirjas. Näiteks

Naturaalne logaritm on logaritm, mille aluseks on astendaja (tähistatakse ln(x)).

Eksponent on 2,718281828…. Eksponenti meeldejätmiseks võite uurida reeglit: eksponent on 2,7 ja kaks korda Lev Tolstoi sünniaasta. Seda reeglit teades saate teada nii eksponendi täpset väärtust kui ka Lev Tolstoi sünnikuupäeva.

Ja veel üks oluline kahe aluse logaritm on

Funktsiooni logaritmi tuletis võrdub ühega, mis on jagatud muutujaga

Integraal- ehk antiderivatiivne logaritm määratakse sõltuvuse järgi

Ülaltoodud materjalist piisab paljude logaritmide ja logaritmidega seotud ülesannete lahendamiseks. Materjali mõistmise huvides toon vaid mõned levinud näited kooli õppekava ja ülikoolid.

Logaritmide näited

Võtke avaldiste logaritm

Näide 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Arvutame omaduste 3,5 järgi

2.
Logaritmide erinevusomaduse järgi on meil

3.
Kasutades omadusi 3.5 leiame

4. kus .

Välimuse järgi liitavaldis rea reeglite kasutamine on vormile lihtsustatud

Logaritmi väärtuste leidmine

Näide 2 Leia x kui

Otsus. Arvutamiseks kasutame omadusi 5 ja 13 kuni viimase tähtajani

Asendage protokollis ja leinake

Kuna alused on võrdsed, võrdsustame avaldised

Logaritmid. Esimene tase.

Olgu logaritmide väärtus antud

Arvuta log(x), kui

Lahendus: võtke muutuja logaritm, et kirjutada logaritm läbi liikmete summa

See on alles logaritmide ja nende omadustega tutvumise algus. Harjuta arvutusi, rikasta oma praktilisi oskusi – peagi läheb sul omandatud teadmisi vaja logaritmvõrrandite lahendamiseks. Olles uurinud selliste võrrandite lahendamise põhimeetodeid, laiendame teie teadmisi teise jaoks oluline teema- logaritmiline ebavõrdsus ...

Logaritmide põhiomadused

Logaritme, nagu iga arvu, saab igal võimalikul viisil liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, siis siin kehtivad reeglid, mida kutsutakse põhiomadused.

Neid reegleid tuleb teada – ilma nendeta ei saa lahendada ühtegi tõsist logaritmilist ülesannet. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.

Logaritmide liitmine ja lahutamine

Vaatleme kahte sama alusega logaritmi: logaksi ja logaritmi. Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Need valemid aitavad arvutada logaritmi avaldise isegi siis, kui selle üksikuid osi ei arvestata (vt õppetundi "Mis on logaritm"). Vaadake näiteid ja vaadake:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log6 4 + log6 9.

Kuna logaritmide alused on samad, kasutame summa valemit:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log2 48 − log2 3.

Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log3 135 − log3 5.

Jällegi on alused samad, seega on meil:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Nagu näete, koosnevad algsed avaldised "halbadest" logaritmidest, mida eraldi ei käsitleta. Kuid pärast teisendusi ilmnevad üsna tavalised numbrid. Paljud testid põhinevad sellel faktil. Jah, kontroll – sarnaseid väljendeid täie tõsidusega (mõnikord – praktiliselt ilma muudatusteta) pakutakse eksamil.

Astendaja eemaldamine logaritmist

Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks. Mis siis, kui logaritmi baasis või argumendis on aste? Seejärel saab selle astme eksponendi logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:

On lihtne mõista, et viimane reegel järgib nende kahte esimest. Kuid parem on see ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.

Kuidas lahendada logaritme

See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log7 496.

Vabaneme argumendi astmest esimese valemi järgi:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:

Pange tähele, et nimetaja on logaritm, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 24; 49 = 72. Meil on:

Ma arvan, et viimane näide vajab selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni viimase hetkeni töötame ainult nimetajaga. Nad esitasid seal seisva logaritmi aluse ja argumendi kraadidena ning võtsid välja indikaatorid - nad said “kolmekorruselise” murru.

Üleminek uuele vundamendile

Appi tulevad valemid uuele baasile üleminekuks. Sõnastame need teoreemi kujul:

Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdsus tõene mis tahes arvu c korral, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:

Täpsemalt, kui paneme c = x, saame:

Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti on võimalik omavahel vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm on nimetajas.

Neid valemeid leidub tavalistes arvavaldistes harva. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata ainult logaritmiliste võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Siiski on ülesandeid, mida ei saa üldse lahendada peale uue sihtasutuse kolimise. Vaatleme paari neist:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log5 16 log2 25.

Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid on täpsed eksponendid. Võtame välja näitajad: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nüüd pöörame teise logaritmi ümber:

Kuna korrutis tegurite permutatsioonist ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning siis mõtlesime välja logaritmid.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log9 100 lg 3.

Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme näitajatest:

Nüüd vabaneme kümnendlogaritmist, liikudes uuele alusele:

Põhiline logaritmiline identiteet

Sageli on lahendamise käigus vaja esitada arv antud baasi logaritmina. Sel juhul aitavad meid valemid:

Esimesel juhul saab arvust n argumendi astendaja. Arv n võib olla absoluutselt ükskõik milline, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus.

Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetatakse nii:

Nagu uued baasteisendusvalemid, on ka põhilogaritmiline identiteet mõnikord ainus võimalik lahendus.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:

Pange tähele, et log25 64 = log5 8 - lihtsalt võttis ruudu välja logaritmi baasist ja argumendist. Arvestades sama baasiga võimsuste korrutamise reegleid, saame:

Kui keegi pole kursis, siis see oli ühtse riigieksami tõeline ülesanne 🙂

Logaritmiline ühik ja logaritmiline null

logaa = 1 on. Pidage üks kord meeles: logaritm mis tahes baasile a sellest baasist endast on võrdne ühega.
loga 1 = 0 on. Alus a võib olla mis tahes, kuid kui argument on üks, on logaritm null! Kuna a0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg.

See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist! Laadige tunni alguses petuleht alla, printige see välja ja lahendage probleemid.

Juhend

Kirjutage antud logaritmiline avaldis üles. Kui avaldis kasutab logaritmi 10, siis selle tähistus lühendatakse ja näeb välja selline: lg b on kümnendlogaritm. Kui logaritmi aluseks on arv e, siis kirjutatakse avaldis: ln b on naturaallogaritm. On arusaadav, et mis tahes tulemuseks on aste, milleni tuleb baasarvu tõsta, et saada arv b.

Kahe funktsiooni leidmisel summast tuleb need lihtsalt ükshaaval eristada ja tulemused kokku liita: (u+v)" = u"+v";

Kahe funktsiooni korrutise tuletise leidmisel on vaja korrutada esimese funktsiooni tuletis teisega ja liita teise funktsiooni tuletis, korrutatud esimese funktsiooniga: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Kahe funktsiooni jagatise tuletise leidmiseks on vaja dividendi tuletise korrutisest jagajafunktsiooniga lahutada jagaja tuletise korrutis jagajafunktsiooniga ja jagada seda kõike jagaja funktsiooni ruudus. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Kui antakse keeruline funktsioon, siis on vaja korrutada sisemise funktsiooni tuletis ja välimise funktsiooni tuletis. Olgu y=u(v(x)), siis y"(x)=y"(u)*v"(x).

Ülaltoodu abil saate eristada peaaegu kõiki funktsioone. Vaatame siis mõnda näidet:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Samuti on ülesanded tuletise arvutamiseks punktis. Olgu funktsioon y=e^(x^2+6x+5) antud, tuleb leida funktsiooni väärtus punktist x=1.
1) Leia funktsiooni tuletis: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Arvutage funktsiooni väärtus in antud punkt y"(1)=8*e^0=8

Seotud videod

Abistavad nõuanded

Õppige elementaartuletiste tabelit. See säästab palju aega.

Allikad:

konstantne tuletis

Mis siis on teisiti ir ratsionaalne võrrand ratsionaalsest? Kui tundmatu muutuja on märgi all ruutjuur, siis peetakse võrrandit irratsionaalseks.

Juhend

Peamine meetod selliste võrrandite lahendamiseks on mõlema poole tõstmise meetod võrrandid ruudu sisse. Kuid. see on loomulik, esimene samm on märgist lahti saada. Tehniliselt pole see meetod keeruline, kuid mõnikord võib see põhjustada probleeme. Näiteks võrrand v(2x-5)=v(4x-7). Mõlema külje ruudustamisel saad 2x-5=4x-7. Sellist võrrandit pole raske lahendada; x=1. Aga numbrit 1 ei anta võrrandid. Miks? Asendage võrrandis ühik x väärtuse asemel Ja parem ja vasak pool sisaldavad avaldisi, millel pole mõtet, st. Ruutjuure puhul selline väärtus ei kehti. Seetõttu on 1 kõrvaline juur ja seetõttu antud võrrand pole juuri.

Seega lahendatakse irratsionaalne võrrand selle mõlema osa ruudustamiseks. Ja pärast võrrandi lahendamist on vaja tingimata ära lõigata kõrvalised juured. Selleks asendage leitud juured algse võrrandiga.

Kaaluge veel üht.
2x+vx-3=0
Loomulikult saab seda võrrandit lahendada sama võrrandi abil, mis eelmine. Ülekandeühendid võrrandid, millel pole ruutjuurt, parem pool ja seejärel kasutage ruutude meetodit. lahendage saadud ratsionaalne võrrand ja juured. Aga teine, elegantsem. Sisestage uus muutuja; vx=y. Sellest lähtuvalt saate võrrandi nagu 2y2+y-3=0. Ehk siis tavaline ruutvõrrand. Otsige üles selle juured; y1=1 ja y2=-3/2. Järgmisena lahendage kaks võrrandid vx=1; vx \u003d -3/2. Teisel võrrandil pole juuri, esimesest leiame, et x=1. Ärge unustage juurte kontrollimise vajadust.

Identiteetide lahendamine on üsna lihtne. See nõuab tegemist identsed teisendused kuni sihtmärk on saavutatud. Seega lihtsa abiga aritmeetilised tehtedülesanne saab lahendatud.

Sa vajad

- paber;
- pliiats.

Juhend

Lihtsaimad sellised teisendused on algebralised lühendatud korrutised (näiteks summa ruut (vahe), ruutude vahe, summa (vahe), summa kuup (vahe)). Lisaks on palju trigonomeetrilised valemid, mis on sisuliselt samad identiteedid.

Tõepoolest, kahe liikme summa ruut on võrdne esimese plussi ruuduga kahekordne toode esimene teiseks ja pluss teise ruut, st (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+2ab +b^2 .

Lihtsustage mõlemat

Lahenduse üldpõhimõtted

Korda õpikut matemaatiline analüüs või kõrgem matemaatika, mis on kindel integraal. Nagu teate, lahendus kindel integraal on funktsioon, mille tuletis annab integrandi. See funktsioon nimetatakse primitiivseks. Selle põhimõtte järgi konstrueeritakse põhiintegraalid.
Määrake integrandi tüübi järgi, milline tabeli integraal sobib sel juhul. Seda ei ole alati võimalik kohe kindlaks teha. Sageli muutub tabelivorm märgatavaks alles pärast mitut teisendust integrandi lihtsustamiseks.

Muutuja asendusmeetod

Kui integrand on trigonomeetriline funktsioon, mille argument on mõni polünoom, siis proovige kasutada muutuja asendusmeetodit. Selleks asenda integrandi argumendis olev polünoom mõne uue muutujaga. Uue ja vana muutuja suhte põhjal määrake integreerimise uued piirid. Seda avaldist eristades leidke uus diferentsiaal . Nii saate uut tüüpi endine integraal, mis on mis tahes tabelile lähedane või isegi vastav.

Teist tüüpi integraalide lahendus

Kui integraal on teist tüüpi integraal, integrandi vektorkuju, siis peate kasutama nendelt integraalidelt skalaarsetele liikumiseks reegleid. Üks selline reegel on Ostrogradsky-Gaussi suhe. See seadus võimaldab teil minna rootori voolust mõnele vektorfunktsioon kolmikintegraalile antud vektorvälja lahknemise kohal.

Integratsiooni piiride asendamine

Pärast antiderivaadi leidmist on vaja integratsiooni piirid asendada. Sisestage esmalt väärtus ülempiir antiderivaadi väljendisse. Saate mõne numbri. Järgmisena lahutage saadud arvust teine arv, saadud antiderivaadi alampiir. Kui üks integratsioonipiiridest on lõpmatus, siis asendades selle antiderivatiivne funktsioon tuleb minna piirini ja leida, millele väljend kipub.
Kui integraal on kahe- või kolmemõõtmeline, peate integraali arvutamise mõistmiseks esitama integratsiooni geomeetrilised piirid. Lõppude lõpuks võivad näiteks kolmemõõtmelise integraali puhul integreerimise piirid olla terved tasapinnad, mis piiravad integreeritavat helitugevust.