Kaks võrdse pikkusega varda liiguvad üksteise poole. Relativistlik mehaanika

M.: Kõrgkool, 2001. - 669 lk.
Lae alla(otselink) : .djvu Eelmine 1 .. 260 > .. >> Järgmine
Lahendus. Varda pikkus võrdlussüsteemides "Maa" ja "rakett" on võrdne
1o = ^(x2-x])2 + (y2-Y1)2"
/ = vastavalt V(^-x,")2 + (v"-y;)2 (rns. 16.3).
Kuna düna vähendamise mõju ilmneb ainult suunas
liikumine, siis_________
X" = X, ^ 1 - U2/c2 *2 = X2 V 1 - U2/c2
У1=У(", Ур~Ур Seetõttu
K K
Ah ¦-Uh
U\ -U
Oh oh"
X X"
Riis. 16.3
ma =< (Xj-х,)2(1 -и2/с2) + (y2-yf.
RNS-ist. 16.3 on selge, et
x1-xi = l0cos a0, y2 ~y1 = /0 sin a0.
Siis
/ = /0 V (1 - u2/c2) cos2 a + sin2 a = /0 V 1 - u2/c2 cos2 a * 0,88 m, a
vajalik nurk
. . >2-^1 . *8" o
a = arctg ------- = arctg ------- ¦**- y, = arctg
*2~x (*2 - Xj) \ 1 - ja /c
2/s2
53,3°
Vastus: /= /0 V 1 - u2/c2 cos2 a * 0,88 m; a = arctg -y- ^ I y * 53,3°.
^1-uW
16.3. Vaatlejast mööda lendaval kosmoselaeval on kiirus ja =
2,4 108 m/s. Vaatleja mõõtmiste järgi on laeva pikkus võrdne / = 90 m.
Kui pikk on laev puhkeolekus?
16.4. Täisnurkse kolmnurga haru AB pikkus on a = 5 m ja nurk
selle jala ja hüpotenuusi vahel - a = 30°. Leidke selle nurga väärtus,
hüpotenuusi pikkus ja selle seos oma pikkusega võrdlussüsteemis,
liikudes mööda jalga AB kiirusega ja = 2,6-108 m/s.
16.5. Kui kaua võtab aega maa peal vaatlejal ja astronautidel?
kosmosereis tähe juurde ja sealt lendava raketiga tagasi
kiirus ja = 2,9108 m/s? Kaugus tähest (maise vaatleja jaoks)
võrdub 40 valgusaastaga.
Lahendus. Kaugus S, mille kosmoselaev süsteemis lendab
Maaga seotud viide on 5= 40 3-108 m/s-365-24-3600 s * 3,8
1017 m Seega maise vaatleja kella järgi laeva lend
kestab
D/ = -*2,62-10(r) s* 83 aastat ja
Kosmoselaeva pardal oleva kella järgi mõõdetud aeg, tollides
vastavalt aja dilatatsiooni efektile
A/0 = A/V 1-i2/s\
16.6. Millise kiirusega peab pojeng lendama, enne kui see laguneb?
kaugus / = 20 m? Pojengi keskmine eluiga puhkeolekus on
AtQ = 26 ns.
16.7. Kosmoselaeval on kell, mis sünkroniseeritakse enne lendu
maistega. Kui aeglane on kell Maal tehtud mõõtmiste järgi laeval?
vaatleja, aja jooksul D/0 = 0,5 aastat, kui laeva kiirus on o = 7,9
km/s?
16.8. Võrdlusraamis K on kahel paralleelsel vardal sama
oma pikkus /0 = 1 m ja liikuda pikisuunas suunas
üksteist võrdsete kiirustega o = 2-10* m/s, mõõdetuna selles süsteemis
tagasiarvestus. Mis on iga varda pikkus võrdlusraamistikus, millega on seotud
teine ​​ritv?
Lahendus. Statsionaarsele vaatlejale laiendatud kehade liikumise ajal
suurtel kiirustel on nende mõõtmed liikumissuunas oluliselt
vähendatakse. Ühendagem võrdlussüsteem K" ühe vardaga, suunates ühte
telgedest mööda varda (joon. 16.4). Siis on selles süsteemis varras 1
olema puhkeasendis ja selle pikkus võrdub tema enda pikkusega /0. Pikkus /
varras 2 suhteline-joon. 16.4, eriti võrdlussüsteem K"
/=/oVi-i4/^
kus iotn on varda 2 kiirus süsteemi K suhtes.
Iooni kiiruse saab leida kiiruste liitmise valemi abil
IV + ja"
rel ~ , . 2
1 + l)0 neid,/s
Kuna tugisüsteem K" on ühendatud varraste ühe NS-ga, siis kiirus u0
võrdlussüsteemi K liikumisest kaadri K suhtes suurusjärgus on
võrdne kiiruse ja vardaga
1 ja on suunatud vastassuunas. Kiirus ja*. varras 2,
liikumine kaadri K suhtes", võrdluskaadris K on samuti võrdne u-ga.
Kui O"X" telg on suunatud piki varda 1 liikumist, siis kiiruste projektsioonid
u0 ja \>x, on sellel teljel negatiivne (rns. 16.4). Seetõttu kiirus
süsteemi suhtes liikuv varras K\ on võrdne
- ja - ja iotn - , . 2¦
1 + ja i/s
Seega
,= / V7Tl^I-i
1 - "P"
I s4 + 2 u2 s2 + u4 - 4 u2 s2
/2 2Ч2 - "о 2 2 -"0 2 2 * ^ SM"
(c + u) C+U C+U
s2-i2
Vastus." I = 10 ---x * 38 cm.
16.9. Kiirendi andis radioaktiivsele tuumale kiiruse u = 0,4 s (kus c =
3-108 m/s). Gaasipedaalilt väljumise hetkel visati tuum suunas
selle liikumisest osake kiirusega o2 = 0,75 s kiirendi suhtes.
Kui suur on osakese kiirus tuuma suhtes?
16.10. Kaks osakest liiguvad üksteise suhtes täisnurga all
kiirused u = 0,5 s ja o2 = 0,75 s (kus c = 3108 m/s), mõõdetud
sugulane
596
sama võrdlussüsteemi suhtes K. Mis on suhteline
osakeste kiirus?
16.11. Kui keha liigub, vähenevad selle pikisuunalised mõõtmed n = 2 võrra
korda. Mitu korda teie kehakaal muutus?
Lahendus. Kui osake liigub kiirusega ja selle relativistlik
mass m suureneb võrreldes ülejäänud massiga m0 V 1 - u2/c2 korda:
t0
""Vi-u2/c2"
On teada, et ühelt tugiraamilt teisele üleminekul keha mõõtmed
muutus, sel juhul toimub Lorentzi kontraktsioon ainult suunas
liigutused. Kui kehaga seotud võrdlussüsteemis, siis selle pikisuunaline
mõõtmetel on teatud väärtus /0, siis võrdlussüsteemis suhteliselt
mida keha liigub kiirusega u, tõmbuvad need kokku V 1 - u2/s2 korda:

7. RELATIVISTILINE MEHAANIKA

Kiiruste lisamise reegel:

1 V c2

Kaks kiirust

Inertsiaalsed koordinaatsüsteemid, mis liiguvad üksteise suhtes kiirusega V.

Lorentzi pikkuse kokkutõmbumine ja liikuva kella aeglustumine:

								Kus		Oma pikkus,

liikuva kella õige aeg.

Relativistlik mass ja relativistlik impulss:

Osakese puhkemass.

Relativistliku osakese kogu- ja kineetilised energiad:

				T E E0
					Kus E 0			Osakese puhkeenergia.

7.1. Vee maht ookeanis on V=1,37·109 km3. Kui palju muutub vee mass ookeanis, kui selle temperatuuri tõsta 1 °C?

7.2. Liikuva elektroni laengu ja selle massi suhe, määratud katsega q/m=0,88·10 11 C/kg. Määrake elektroni relativistlik mass ja selle kiirus. Vastus: m=2m0 ; v=0,87c.

7.3. Laboratoorses võrdlusraamistikus on üks kahest identsest

osakesed massiga m0 on puhkeolekus, teine ​​liigub kiirusega v = 0,8c liikumatu osakese suunas. Defineeri relativistlik mass

liikuva osakese kohta laboratoorses tugiraamistikus ja selle kineetilisest energiast. Vastus: m=1,67 m0 ; E=0,67 m0 s2.

7.4. Elektron liigub kiirusega v=0,6s. Defineeri see

relativistlik impulss ja kineetiline energia E. Vastus:

р=2,05·10-22 kg·m/s; E = 0,128 MeV.

7.5. Relativistliku osakese impulss p võrdub m-ga 0 s (m0 - puhkemass). Määrake osakese v kiirus valguse kiiruse murdosades ja

liikuva osakese massi ja puhkemassi suhe m/m0. Vastus: v=0,71s; m/m0 = 1,41.

7.6. α-osakese koguenergia suurenes kiirendamise ajal

osakeste liikumine?

E = 56,4 MeV. Kui palju ja millise kiirusega see liigub?

kas osakese mass muutub? puhkemass α-

osakesed m0 =4 a.m.u. Vastus: m=1,5m0 ; v = 0,917 s.

7.7. Oletame, et saame varda pikkust mõõta täpsusega l = 0,1 μm. Millise kahe inertsiaalse tugisüsteemi suhtelise kiiruse u juures oleks võimalik tuvastada varda pikkuse relativistlik vähenemine, mille enda pikkus l 0 =1 m? Mitu korda muutub varda mass, kui see liigub arvutatud kiirusega u fikseeritud võrdlusraami suhtes?

Vastus: u=134 km/s; m/m0 = 1,114.

7.8. Mõne ebastabiilse osakese õige eluiga

20ns. Vastus: v = 0,87c; S = 5,2 m.

7.9. Maa atmosfääri ülemistes kihtides sündinud μ-meson liigub maa suhtes kiirusega V = 0,99 s ja lendab oma sünnikohast lagunemispunkti l = 3 km kaugusele. Määrake selle mesoni eluiga ja vahemaa, mille see selles aruandlussüsteemis lendab, "oma vaatenurgast". Vastus: τ0 =1,4 µs; l 0 =420 m.

7.10. Kaks sama pikkusega varda l 0 liiguvad pikisuunas üksteise poole paralleelselt ühisteljega sama kiirusega v=0,8s laboratoorse tugisüsteemi suhtes. Mitu korda erineb teise vardaga seotud võrdlussüsteemi iga varda l pikkus tema enda pikkusest? Vastus: l 0 /l =4,6.

7.11. Kosmoselaeval-satelliidil on kell, mis sünkroniseeritakse enne lendu maa omaga. Satelliidi kiirus v=7,9 km/s. Kui palju satelliidil olev kell maa peal vaatleja mõõtmiste põhjal 0,5 aasta jooksul maha jääb. Kuidas erinevad satelliidi kineetilise energia väärtused, kui arvutus toimub vastavalt klassikalisele ja

relativistlikud valemid? Satelliidi ülejäänud mass on 10 tonni. Vastus: τ=5,4·10-3 s; need ei erine.

7.12. Milline suhteline viga on lubatud, kui arvutatakse kiirusega 1) 10 km/s, 2) 103 km/s, 3) 105 km/s, 4) 0,9 s liikuva osakese impulss. Tootma klassikalise mehaanika raames?

Vastus: 1) rrel/rclass =1; 2) rrel /rclass = 1; 3) rrel/rclass = 1,06; 4) rrel /rclass =

7.13. Kui palju tööd tuleb teha, et osakeste kiirus puhkemassiga m0 muutuks 0,6s-lt 0,8s-le? Võrrelge saadud tulemust klassikalise valemi abil arvutatud tööväärtusega. Vastus: Arel =0,417m0 c2 ; A klass =0,14 m0 c2 .

7.14. Footonrakett liigub maa suhtes sellise kiirusega, et Maal viibiva vaatleja kella järgi aeglustub aja kulg selles 1,25 korda. Kui suur osa valguse kiirusest on raketi kiirus? Kui palju muutuvad selle lineaarsed mõõtmed liikumissuunas, kui raketi esialgne pikkus oli

35 m? Vastus: v=0,6c ; l = 7 m.

7.15. Osake puhkemassiga m 0 ajahetkel t = 0 hakkab liikuma konstantse jõu F toimel. Leia osakese kiiruse V sõltuvus ajast t. Koostage V(t) kvalitatiivne graaf.

7.18. Kiirendatud prootoni kineetiline energia suurenes kuni 3·10-10 J. Mitu korda prootoni mass muutus? Mis on prootoni kiirus? Vastus: m/m0 =3; v=2,8∙108 m/s.

7.19. Laboris liiguvad kaks relativistlikku osakest

võrdlussüsteem kiirustega v1 =0,6s ja v2 =0,9s mööda üht sirget. Määrake nende suhteline kiirus kahel juhul: 1) osakesed liiguvad vastassuundades, 2) osakesed liiguvad samas suunas. Kui suur on esimese osakese kineetiline energia võrdlusraamistikus teisega, kui esimene osake on prooton?

Vastus: 1) v=0,974s, E1,2 =510 pJ; 2) v = 0,195 s, E1,2 = 300 pJ.

7.20. Millise kiirusega (fraktsioonides valguse kiirusest) peab elektron liikuma, et tema mass suureneks 6·10-31 kg? Milline kineetiline energia on elektronil sellisel kiirusel? Vastus: v=0,8c ; E = 0,34 MeV.

7.21. Liikuva keha kineetiline energia on 2 korda suurem kui puhkeenergia. Mitu korda näiv suurus väheneb?

kehad liikumissuunas? Mis on keha kiirus? Vastus: l 0 /l =3; v=0,94c.

7.22. Liikuva osakese mass suurenes 1,5 korda. Mis kiirus on osakesel? Millise suhtelise vea tehakse, kui osakese kineetiline energia nendes tingimustes arvutatakse klassikalisel viisil? Vastus: v=0,75 c ; E/Erel =0,44.

7.23. Elektroni kiirendatakse elektriväljas potentsiaalide erinevusega U=106 V. Arvutage elektroni kiirus ja tema kineetiline energia järgmiste meetoditega: 1) klassikaline mehaanika, 2)

relativistlik mehaanika. Hinnake saadud andmeid. Vastus: 1) v=6·108 m/s; E=106 eV. 2) v = 0,94c; E=10 6 eV.

7.24. Kiirendis olev elektron on läbinud kiirendava erinevuse

potentsiaal U=102 kV. Mitu korda on osakese mass suurenenud? Arvutage selle kineetiline energia. Vastus: m/m0 =1,2; 1,6∙10-14 J.

7.25. Esialgu oli relativistliku osakese kineetiline energia võrdne tema puhkeenergiaga ja seejärel suurenes see kiirendatud liikumisega 4 korda. Kui palju suureneb osakese hoog? Millise kiirusega (fraktsioonides valguse kiirusest) osake algselt liikus? Vastus: r 2 /р1 = 2,84; v=0,87c.

1.5.1. On täisnurkne kolmnurk, mille külg a= 5,00 m ning selle jala ja hüpotenuusi vaheline nurk α = 30°. Leia viitesüsteemist K", liigub selle kolmnurga suhtes kiirusega = 0,866· c mööda jalga A:

a) nurga α vastav väärtus;

b) pikkus l" hüpotenuus ja selle seos oma pikkusega.

1.5.2. Leidke varda õige pikkus, kui see on sees K-referentssüsteem selle kiirus = c/2, pikkus l= 1,00 m ning selle ja liikumissuuna vaheline nurk = 45°.

1.5.3. Varras lendab püsiva kiirusega mööda märgist, mis seisab paigal K-viitesüsteem. Lennuaeg = 20 ns K-süsteem. Vardaga seotud võrdlussüsteemis liigub märk mööda seda " = 25 ns. Leidke varda õige pikkus.

1.5.4. Kaks osakest, mis liiguvad laboratoorses tugiraamistikus mööda sama sirgjoont sama kiirusega, tabavad paigalseisvat sihtmärki ajaintervalliga = 50 ns. Enne sihtmärgi tabamist leidke oma osakeste vaheline kaugus.

1.5.5. Kaks sama pikkusega varda l 0 liiguvad üksteise poole paralleelselt ühise horisontaalteljega. Ühe vardaga seotud võrdlussüsteemis osutus varraste vasaku ja parema otsa kokkulangemise hetkede vaheline ajavahemik võrdseks. Kui suur on ühe varda kiirus teise suhtes?

1.5.6. Kernel AB, orienteeritud piki telge x K x A, tagasi - punkt B. Leidke õige varda pikkus, kui hetkel t Punkti koordinaat A võrdne x A , ja hetkel t B-punkti koordinaat B võrdne X B.

1.5.7. Kernel AB, orienteeritud piki telge x K-referentssüsteem, liigub püsiva kiirusega telje positiivses suunas x. Varda esiots on teravik A, tagasi - punkt B. Mis aja möödudes tuleb ridva alguse ja lõpu koordinaadid kirja panna K-süsteem nii, et koordinaatide erinevus on võrdne varda enda pikkusega.

1.5.8. K"-võrdlusraam liigub telje positiivses suunas x K- süsteemid kiirusega V viimase suhtes. Olgu koordinaatide alguspunktide O ja O" kokkulangemise hetkel mõlema süsteemi kella näidud nendes punktides nulliga. Leia K-süsteem, selle punkti liikumiskiirus, kus mõlema võrdlussüsteemi kella näidud on kogu aeg samad. Veendu, et .

1.5.9. Kahes punktis K-süsteemi sündmused toimusid ajavahemikuga eraldatuna. Näidake, et kui need sündmused on põhjuslikus seoses K-süsteem (näiteks lask ja sihtmärgi tabamine), siis on need põhjuslikus seoses mis tahes muus inertsiaalis K"-viitesüsteem.

1.5.10. Lennukis xy K- tugiraam, osake, mille kiirusprojektsioonid on võrdsed ja . Leia kiirus " see osake sisse K'-süsteem, mis liigub kiirusega V suhteliselt K-süsteem oma telje positiivses suunas x.

1.5.11. Kaks osakest liiguvad üksteise poole kiirusega = 0,50 c u = 0,75 c seoses labori tugiraamistikuga. Leia:

a) kiirus, millega osakeste vaheline kaugus laboratoorses võrdlusraamistikus väheneb;

b) osakeste suhteline kiirus.

1.5.12. Kaks relativistlikku osakest liiguvad laboratoorses võrdlusraamistikus üksteise suhtes täisnurga all, üks kiirusega ja teine ​​kiirusega . Leidke nende suhteline kiirus.

1.5.13. Osake liigub sisse K-süsteem kiirusega telje suhtes nurga all x. Leidke sisse vastav nurk K"-kiirusega liikuv süsteem V suhteliselt K-süsteem oma telje positiivses suunas x, kui teljed x Ja x" mõlemad süsteemid on samad.

1.5.14. K"- süsteem liigub ühtlase kiirusega V suhteliselt K- süsteemid. Otsige kiirendust a" osakesed sisse K"-süsteem, kui sees K-süsteemis liigub see kiiruse ja kiirendusega a sirgjooneliselt:

a) vektori suunas V;

b) risti vektoriga V.

1.5.15. Kui palju tööd tuleb teha massiga osakese kiiruse suurendamiseks m alates 0.60 c kuni 0,80 c? Võrrelge saadud tulemust mitterelativistliku valemi abil arvutatud väärtusega.

1.5.16. Leidke osakese kiirus, mille kineetiline energia on T= 500 MeV ja impulss lk= 865 MeV/ c, Kus c- valguse kiirus.

1.5.17. Massi osake m liigub mööda telge x K-referentssüsteemid vastavalt seadusele , Kus d- mõni konstantne, c- valguse kiirus, t- aeg. Leidke selles võrdlussüsteemis osakesele mõjuv jõud.

1.5.18. Kineetilise energiaga neutron T = 2mc 2 kus m- selle mass põrkab kokku teise, seisva neutroniga. Leidke nende massikese süsteemist:

a) neutronite kogu kineetiline energia;

b) iga neutroni impulss.

1.5.19. Massi osake m hetkel t= 0 hakkab liikuma püsiva jõu mõjul F. Leia osakese kiirus ja läbitud vahemaa sõltuvalt ajast t.

1.5.20. Relativistlik rakett kiirgab gaasivoogu mitterelativistliku kiirusega u, konstantne raketi suhtes. Leia raketi kiiruse sõltuvus selle massist m, kui alghetkel on raketi mass võrdne m 0 .