Kuidas lahendada ratsionaalse ebavõrdsuse süsteemi. Murdratsionaalne ebavõrdsus

Otsime üles arvväärtusi x, mille juures need muutuvad tõeseks arvulised ebavõrdsused mitu korraga ratsionaalsed ebavõrdsused. Sellistel juhtudel ütlevad nad, et on vaja lahendada ratsionaalsete ebavõrdsuste süsteem ühe tundmatu x-ga.

Ratsionaalse ebavõrdsuse süsteemi lahendamiseks tuleb leida süsteemi igale ebavõrdsusele kõik lahendused. Siis on kõigi leitud lahenduste ühine osa süsteemi lahendus.

Näide: Lahendage võrratuste süsteem

(x -1) (x - 5) (x - 7)< 0,

Kõigepealt lahendame ebavõrdsuse

(x - 1) (x - 5) (x - 7)< 0.

Kasutades intervallmeetodit (joonis 1), leiame, et ebavõrdsuse (2) kõigi lahendite hulk koosneb kahest intervallist: (-, 1) ja (5, 7).

Joonis 1

Nüüd lahendame ebavõrdsuse

Intervallmeetodit (joonis 2) kasutades leiame, et ebavõrdsuse (3) kõikide lahendite hulk koosneb samuti kahest intervallist: (2, 3) ja (4, +).

Nüüd peame leidma ühine osa ebavõrdsuse (2) ja (3) lahendamine. Joonistame koordinaatide telg x ja märgi sellele leitud lahendused. Nüüd on see selge ühine osa võrratuste (2) ja (3) lahend on intervall (5, 7) (joonis 3).

Järelikult moodustab võrratuste süsteemi (1) kõigi lahendite hulk intervalli (5, 7).

Näide: Lahendage võrratuste süsteem

x2 - 6x + 10< 0,

Lahendame kõigepealt ebavõrdsuse

x 2 - 6x + 10< 0.

Valikumeetodi kasutamine täisruut, me võime seda kirjutada

x 2 - 6x + 10 = x 2 - 2x3 + 3 2 - 3 2 + 10 = (x - 3) 2 +1.

Seetõttu saab ebavõrdsuse (2) kirjutada kujule

(x - 3) 2 + 1< 0,

millest on selge, et sellel pole lahendust.

Nüüd ei pea te ebavõrdsust lahendama

kuna vastus on juba selge: süsteemil (1) pole lahendust.

Näide: Lahendage võrratuste süsteem

Vaatame esmalt esimest ebavõrdsust; meil on

1 < 0, < 0.

Märgkõverat kasutades leiame sellele ebavõrdsusele lahendused: x< -2; 0 < x < 2.

Lahendame nüüd teise ebavõrdsuse antud süsteem. Meil on x 2-64< 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.

Olles märkinud leitud lahendused esimesele ja teisele võrratuse üldarvureal (joonis 6), leiame sellised intervallid, kus need lahendid langevad kokku (lahendi lõikepunkt): -8< x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.

Näide: Lahendage võrratuste süsteem

Teisendame süsteemi esimese ebavõrdsuse:

x 3 (x - 10) (x + 10) 0 või x (x - 10) (x + 10) 0

(kuna paaritute astmete tegurid saab asendada esimese astme vastavate teguritega); Intervallmeetodi abil leiame viimase võrratuse lahendid: -10 x 0, x 10.

Vaatleme süsteemi teist ebavõrdsust; meil on

Leiame (joon. 8) x -9; 3< x < 15.

Leitud lahendusi kombineerides saame (joonis 9) x 0; x > 3.

Näide: Otsi täisarvulised lahendused ebavõrdsuse süsteemid:

x + y< 2,5,

Lahendus: Toome süsteemi vormile

Lisades esimese ja teise võrratuse, saame y< 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим

kus -1< x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.

Tunni teema "Ratsionaalse ebavõrdsuse süsteemide lahendamine"

10. klass

Tunni tüüp: otsing

Eesmärk: leida võimalusi moodulitega võrratuste lahendamiseks, intervallmeetodi rakendamine uues olukorras.

Tunni eesmärgid:

Pange proovile oma oskused ratsionaalse ebavõrdsuse ja nende süsteemide lahendamisel; - näidata õpilastele intervallmeetodi kasutamise võimalust moodulitega võrratuste lahendamisel;

Õpetada loogiliselt mõtlema;

Arendada oma töö enesehindamise oskust;

Õppige oma mõtteid väljendama

Õppige oma seisukohta mõistusega kaitsma;

Kujundada õpilastes positiivne õppimismotiiv;

Arendage õpilaste iseseisvust.

Tunni edenemine

I. Organisatsiooniline moment(1 min)

Tere, täna jätkame teema “Ratsionaalse ebavõrdsuse süsteem” uurimist, rakendame oma teadmisi ja oskusi uues olukorras.

Kirjutage üles tunni "Ratsionaalse ebavõrdsuse süsteemide lahendamine" kuupäev ja teema. Täna kutsun teid rännakule mööda matemaatika teid, kus ootavad teid katsed, jõuproov. Teie töölaudadel on teekaardid ülesannetega, enesehinnangu reisileht, mille annate mulle (dispetšerile) üle reisi lõpus.

Reisi motoks saab olema aforism "Kes kõnnib, suudab teed, aga kes mõtleb matemaatikas". Võtke oma teadmised endaga kaasa. Lülitage sisse mõtteprotsess ja lähme minema. Teel saadab meid maanteeraadio.Mängib fragment muusikast (1 min). Seejärel kostab terav signaali heli.

II. Teadmiste testimise etapp. Töötage rühmades."Pagasikontroll"

Siin tuleb esimene pagasi läbivaatuse test, mis paneb proovile teie teadmised sellel teemal

Nüüd jagatakse teid 3 või 4 inimese rühmadesse. Igaühel on laual paberitükk ülesandega. Jagage need ülesanded omavahel laiali, lahendage need ja kirjutage valmis vastused ühisele lehele. 3-liikmeline rühm valib mis tahes 3 ülesannet. Igaüks, kes täidab kõik ülesanded, annab sellest õpetajale teada. Mina või mu abilised kontrollime vastuseid ja kui vähemalt üks vastus on vale, tagastatakse rühmale leht uuesti kontrollimiseks. (lapsed vastuseid ei näe, neile öeldakse ainult, millises ülesandes on vale vastus).Võidab grupp, kes esimesena kõik ülesanded vigadeta sooritab. Edasi võidule.

Muusika on väga vaikne.

Kui kaks või kolm rühma lõpetavad korraga oma töö, aitab üks teise rühma lastest õpetajal kontrollida. Vastused õpetaja lehel (4 eksemplari).

Töö peatub võitjarühma ilmumisel.

Ärge unustage täita enesehindamise töölehte. Ja liigume edasi.

"Pagasi kontrolli" ülesandeleht

1) 3)

2) 4)

III. Teadmiste värskendamise ja uute teadmiste avastamise etapp. "Eureka"

Kontroll näitas, et teil on palju teadmisi.

Kuid teel tuleb ette igasuguseid olukordi, mõnikord on vaja leidlikkust ja me kontrollime, kas unustasite selle kaasa võtta.

Olete õppinud lahendama ratsionaalsete võrratuste süsteeme intervallmeetodi abil. Täna vaatame, milliste probleemide korral on soovitatav seda meetodit kasutada. Kuid kõigepealt meenutagem, mis on moodul.

1. Jätkake lausetega "Arvu moodul on võrdne arvu endaga, kui..."(suuliselt)

„Arvu moodul on vastupidine number, Kui..."

2. Olgu A(X) polünoom punktis x

Jätka salvestamist:

Vastus:

Kirjutage üles A(x) vastupidine avaldis

A(x) = 5-4x; A(x) = 6x 2-4x + 2

A(x)= -A(x)=

Õpilane kirjutab tahvlile, poisid kirjutavad vihikusse.

3. Nüüd proovime leida viisi, kuidas lahendada ruutvõrratus mooduliga

Millised on teie ettepanekud selle ebavõrdsuse lahendamiseks?

Kuulake poiste ettepanekuid.

Kui ettepanekuid pole, siis esitage küsimus: "Kas seda ebavõrdsust saab lahendada ebavõrdsussüsteemide abil?"

Õpilane tuleb välja ja otsustab.

IV. Uute teadmiste esmase kinnistamise etapp, lahendusalgoritmi koostamine. Pagasi täiendamine.

(Töötage 4-liikmelistes rühmades).

Nüüd soovitan teil pagasit täiendada. Töötate rühmades.Igale rühmale antakse 2 ülesannete kaarti.

Esimesele kaardile tuleb üles kirjutada süsteemid tahvlil esitatud ebavõrdsuste lahendamiseks ja töötada välja algoritm selliste ebavõrdsuste lahendamiseks.

Esimene kaart on rühmade jaoks erinev, teine ​​on sama

Mis juhtus?

Iga tahvli võrrandi alla peate kirjutama süsteemide komplekti.

4 õpilast tulevad välja ja kirjutavad süsteeme. Sel ajal arutame klassiga algoritmi.

V. Teadmiste kinnistamise etapp."Tee koju"

Pagas on täiendatud, nüüd on aeg minna tee tagasi. Nüüd lahendage mis tahes väljapakutud ebavõrdsus mooduliga ise vastavalt koostatud algoritmile.

Maanteeraadio on taas teiega teel.

Esitage vaikset taustamuusikat. Õpetaja kontrollib kavandit ja annab vajadusel nõu.

Ülesanded tahvlil.

Töö on lõpetatud. Kontrollige vastuseid (need on sisse lülitatud tagakülg tahvlid), täitke enesehinnangu reisileht.

Kodutöö seadmine.

Kirjutage see üles kodutöö(kopeerige märkmikusse ebavõrdsused, mida te ei teinud või tegite vigadega, soovi korral lisaks nr 84 (a) õpiku lk 373)

VI. Lõõgastuse etapp.

Kuidas see reis teile kasulik oli?

Mida sa õppisid?

Tehke kokkuvõte. Loendage, mitu punkti igaüks teist teenis.(poisid nimetavad lõppskoori).Andke enesehinnangulehed dispetšerile ehk siis mulle.

Ma tahan õppetunni lõpetada tähendamissõnaga.

“Tark kõndis ja temaga tuli vastu kolm inimest, kes kandsid kuuma päikese all ehituskividega kärusid. Tark peatus ja esitas igaühele küsimuse. Ta küsis esimeselt: "Mida sa terve päeva teinud oled?" Ja too vastas muigega, et on terve päeva neetud kive tassinud. Tark küsis teiselt: "Mida sa terve päeva tegid?" Ja ta vastas: "Tegin oma tööd kohusetundlikult," ja kolmas naeratas, ta nägu säras rõõmust ja mõnust: "Ja mina osalesin ehituses. templist!"

Õppetund on läbi.

Enesehinnangu leht

Perekonnanimi, eesnimi, klass		Punktide arv
Töötamine rühmas ebavõrdsuse või ebavõrdsussüsteemide lahendamiseks.	2 punkti, kui on tehtud õigesti ilma kõrvalise abita; 1 punkt, kui see on õigesti tehtud välise abiga; 0 punkti, kui ülesannet ei täitnud Grupivõidu eest 1 lisapunkt

Kasutades see õppetundõpid tundma ratsionaalset ebavõrdsust ja nende süsteeme. Ratsionaalvõrratuste süsteem lahendatakse ekvivalentteisenduste abil. Vaadeldakse samaväärsuse määratlust, murd-ratsionaalse ebavõrdsuse ruutarvuga asendamise meetodit, samuti mõistetakse erinevust võrratuse ja võrrandi vahel ning kuidas ekvivalentteisendusi tehakse.

Algebra 9. klass

9. klassi algebra kursuse lõppülevaade

Ratsionaalne ebavõrdsus ja nende süsteemid. Ratsionaalse ebavõrdsuse süsteemid.

1.1 Abstraktne.

1. Samaväärsed konversioonid ratsionaalsed ebavõrdsused.

Otsustage ratsionaalne ebavõrdsus tähendab leida kõik selle lahendused. Erinevalt võrrandist tekib võrratuse lahendamisel reeglina lõpmatu arv lahendeid. Lugematu arv lahendusi ei saa asendamisega kontrollida. Seetõttu peate algse võrratuse teisendama nii, et igas järgmises reas saaksite sama lahendikomplektiga võrratuse.

Ratsionaalne ebavõrdsus saab lahendada ainult abiga samaväärne või samaväärsed teisendused. Sellised teisendused ei moonuta lahenduste hulka.

Definitsioon. Ratsionaalne ebavõrdsus helistas samaväärne, kui nende lahenduste hulgad langevad kokku.

Et näidata samaväärsust kasuta märki

2. Väärtussüsteemi lahendus

Esimene ja teine ​​võrratus on murdosaline ratsionaalne ebavõrdsus. Nende lahendamise meetodid on lineaarsete ja ruutvõrratuste lahendamise meetodite loomulik jätk.

Liigutame paremal pool olevaid numbreid vastasmärgiga vasakule.

Selle tulemusena jääb parem pool 0-ks. See teisendus on samaväärne. Seda näitab märk

Teeme toimingud, mida algebra ette näeb. Lahutage esimeses võrratuses "1" ja teises "2".

3. Võrratuste lahendamine intervallmeetodil

1) Tutvustame funktsiooni. Peame teadma, kui see funktsioon on väiksem kui 0.

2) Leiame funktsiooni definitsioonipiirkonna: nimetaja ei tohiks sisaldada 0. "2" on katkestuspunkt. Kui x=2 on funktsioon määratlemata.

3) Leia funktsiooni juured. Funktsioon võrdub 0-ga, kui lugeja sisaldab 0.

Paigutatud punktid jagavad arvutelje kolmeks intervalliks – need on konstantse märgi intervallid. Igal intervallil säilitab funktsioon oma märgi. Määrame esimese intervalli märgi. Asendame mõne väärtuse. Näiteks 100. On selge, et nii lugeja kui ka nimetaja on suuremad kui 0. See tähendab, et kogu murd on positiivne.

Määrame ülejäänud intervallide märgid. Punkti x=2 läbimisel muudab märki ainult nimetaja. See tähendab, et kogu murdosa muudab märki ja on negatiivne. Teeme sarnase arutluskäigu. Punkti x=-3 läbimisel muudab märki ainult lugeja. See tähendab, et murdosa muudab märki ja on positiivne.

Valime ebavõrdsuse tingimusele vastava intervalli. Varjutame selle ja kirjutame selle ebavõrdsusena

4. Võrratuse lahendamine ruutvõrratuse abil

Oluline fakt.

Võrreldes 0-ga (range ebavõrdsuse korral), võib murdosa asendada lugeja ja nimetaja korrutisega või vahetada lugeja või nimetaja.

Seda seetõttu, et kõik kolm ebavõrdsust on täidetud tingimusel, et u ja v erinev märk. Need kolm ebavõrdsust on samaväärsed.

Kasutame seda fakti ja asendame murdosaline ratsionaalne ebavõrdsus ruut.

Lahendame ruutvõrratuse.

Tutvustame ruutfunktsioon. Leiame selle juured ja koostame selle graafiku visandi.

See tähendab, et parabooli oksad on ülespoole. Juurevahemikus säilitab funktsioon oma märgi. Ta on negatiivne.

Väljaspool juurte intervalli on funktsioon positiivne.

Esimese ebavõrdsuse lahendus:

5. Ebavõrdsuse lahendus

Tutvustame funktsiooni:

Leiame selle konstantse märgi intervallid:

Selleks leiame funktsiooni definitsioonipiirkonna juured ja katkestuspunktid. Me torkame alati välja murdepunktid. (x=3/2) Kaevame juured välja sõltuvalt ebavõrdsuse märgist. Meie ebavõrdsus on karm. Seetõttu kaevame juure välja.

Asetame sildid:

Paneme lahenduse kirja:

Lõpetame süsteemi lahendamise. Leiame esimese võrratuse lahendite hulga ja teise võrratuse lahendite hulga lõikepunkti.

Võrratussüsteemi lahendamine tähendab esimese võrratuse lahendite hulga ja teise võrratuse lahendite hulga ristumiskoha leidmist. Seetõttu, olles lahendanud esimese ja teise võrratuse eraldi, peate saadud tulemused kirjutama ühte süsteemi.

Kujutagem esimese võrratuse lahendit üle Härg-telje.