» Tund 15. SLE-de lahendamine Crameri meetodil ja Gaussi meetodil.

Tund 15. SLE-de lahendamine Crameri meetodil ja Gaussi meetodil.

Crameri meetod

(SLU)
- süsteemi määraja
Kui SLE determinant erineb nullist, määratakse süsteemi lahendus üheselt Crameri valemite abil:
, , ()
Kus:

	Selleks paneme veergu, kus on muutuja x ja seetõttu esimesse veergu, x koefitsientide asemel vabad koefitsiendid, mis võrrandisüsteemis on võrrandite paremal pool.
	Selleks paneme veergu, kus on muutuja y (veerg 2), y koefitsientide asemele paneme vabad koefitsiendid, mis võrrandisüsteemis on võrrandite paremal pool.
	Selleks paneme veergu, kus on muutuja z ja seega ka kolmas veerg, z koefitsientide asemel vabad koefitsiendid, mis võrrandisüsteemis on võrrandite paremal pool.

Ülesanne 1. Lahendage SLE Crameri valemite abil Excelis

Otsuse edenemine

1. Kirjutame võrrandi maatriksi kujul:

2. Sisestage Excelisse maatriks A ja B.

3. Leidke maatriksi A determinant. See peaks olema võrdne 30-ga.

4. Süsteemi determinant erineb nullist, seetõttu määratakse lahendus üheselt Crameri valemitega.

5. Täitke Exceli lehel väärtused dX, dY, dZ (vt joonist allpool).

6. Lahtrites F8, F12, F16 olevate väärtuste dX, dY, dZ arvutamiseks peate sisestama funktsiooni, mis arvutab vastavalt dX, dY, dZ determinandi.

7. X väärtuse arvutamiseks lahtris I8 tuleb sisestada valem =F8/B5 (kasutades Crameri valemit dX/|A|).

8. Sisestage valemid Y ja Z ise arvutamiseks.

2. ülesanne: leidke iseseisvalt SLE-le lahendus, kasutades Crameri meetodit:

Crameri valemid ja maatriks meetod süsteemilahendused lineaarvõrrandid pole tõsist praktiline rakendus, kuna need on seotud mahukate kuvaritega. Praktikas kasutatakse Gaussi meetodit kõige sagedamini lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks.

Gaussi meetod

Gaussi lahendusprotsess koosneb kahest etapist.

1. Otsene löök: süsteem taandatakse astmeliseks (eriti kolmnurkseks) vormiks.

Võrrandisüsteemi lahendamiseks kirjutage välja selle süsteemi laiendatud maatriks

ja üle selle maatriksi ridade nad toodavad elementaarsed teisendused, viies selle vormile, kus nullid asuvad põhidiagonaali all.
Maatriksitel on lubatud teostada elementaarteisendusi.
Neid teisendusi kasutades saame iga kord laiendatud maatriksi uus süsteem, võrdväärne originaaliga, s.o. süsteem, mille lahendus langeb kokku algse süsteemi lahendusega.

2. Pöördkäik: sellest astmelisest süsteemist on järjestikune tundmatute määramine.

Näide. Looge ühilduvus ja lahendage süsteem

Lahendus.
Sirge löök: Kirjutame välja süsteemi laiendatud maatriksi ning vahetame esimese ja teise rea nii, et element oleks võrdne ühega (see teeb maatriksi teisendamise mugavamaks).



.

Meil on Süsteemi maatriksi ja selle laiendatud maatriksi auastmed langesid kokku tundmatute arvuga. Kroneckeri-Capelli teoreemi järgi on võrrandisüsteem järjekindel ja selle lahendus ainulaadne.
Tagurpidi: Kirjutame välja võrrandisüsteemi, mille laiendatud maatriksi teisenduste tulemusena saime:

Niisiis, meil on.
Järgmisena, asendades kolmanda võrrandiga, leiame .
Asendades teise võrrandisse, saame .
Asendades leitud esimeses võrrandis saame .
Seega on meil süsteemile lahendus.

SLE lahendamine Gaussi meetodil Excelis:

Tekst palub teil sisestada vormi valem lahtrivahemikku: (=A1:B3+$C$2:$C$3) jne, need on nn massiivivalemid. Microsoft Excel sulgeb selle automaatselt lokkis traksidega (( )). Seda tüüpi valemi sisestamiseks peate valima kogu vahemiku, kuhu soovite valemi sisestada, sisestage valem esimesse lahtrisse ilma kõverate sulgudeta (ülaltoodud näite puhul - =A1:B3+$C$2:$C$3) ja vajutage Ctrl+Shift+Enter.
Teeme lineaarsete võrrandite süsteemi:

1. Kirjutame võrrandisüsteemi koefitsiendid lahtritesse A1:D4 ja vabade liikmete veergu lahtritesse E1:E4. Kui kambrisA1on 0, peate read vahetama nii, et see lahter sisaldaks nullist erinevat väärtust. Suurema selguse huvides saate vabaliikmeid sisaldavatele lahtritele lisada täidise.

2. Kõigis võrrandites, välja arvatud esimeses, on vaja koefitsient x1 viia 0-ni. Esiteks teeme seda teise võrrandi jaoks. Kopeerime esimese rea muudatusteta lahtritesse A6:E6, lahtritesse A7:E7 tuleb sisestada valem: (=A2:E2-$A$1:$E$1*(A2/$A$1)). Seega lahutame teisest reast esimese rea, korrutatuna A2/$A$1-ga, s.o. teise ja esimese võrrandi esimeste kordajate suhe. 8. ja 9. ridade täitmise mugavuse huvides peavad viited esimese rea lahtritele olema absoluutsed (kasutage sümbolit $).

3. Kopeerime sisestatud valemi ridadele 8 ja 9, vabanedes nii kõigis võrrandites, välja arvatud esimeses, x1 ees olevatest kordajatest.

4. Nüüd viime kolmanda ja neljanda võrrandi x2 ees olevad koefitsiendid 0-ni. Selleks kopeerige saadud 6. ja 7. rida (ainult väärtused) ridadele 11 ja 12 ning sisestage valem lahtritesse A13:E13 (=A8:E8-$ A$7:$E$7*(B8/$B$7)), mille seejärel kopeerime lahtritesse A14:E14. Seega realiseerub ridade 8 ja 7 vahe, mis on korrutatud koefitsiendiga B8/$B$7. .

5. Jääb üle viia koefitsient x3 neljandas võrrandis 0-ni, selleks teeme uuesti sarnased toimingud: kopeerige saadud 11, 12 ja 13 rida (ainult väärtused) ridadele 16-18 ja sisestage valem. (=A14: E14-$A$13:$E$13*(C14/$C$13)). Seega realiseerub ridade 14 ja 13 vahe, korrutatuna koefitsiendiga C14/$C$13. Ärge unustage ridu ümber korraldada, et vabaneda 0-st murdosa nimetajas.

6. Gaussi meetodil edasipühkimine on lõpetatud. Alustame pöördpühkimist saadud maatriksi viimasest reast. Viimase rea kõik elemendid on vaja jagada koefitsiendiga x4. Selleks sisestage reale 24 valem (=A19:E19/D19).

7. Viime kõik read sarnasele vormile, et seda teha, täitke read 23, 22, 21 järgmiste valemitega:

23: (=(A18:E18-A24:E24*D18)/C18) – lahutage kolmandast reast neljas, mis on korrutatud kolmanda rea ​​x4 koefitsiendiga.

22: (=(A17:E17-A23:E23*C17-A24:E24*D17)/B17) – teisest realt lahutame kolmanda ja neljanda, korrutatuna vastavate koefitsientidega.

21: (=(A16:E16-A22:E22*B16-A23:E23*C16-A24:E24*D16)/A16) – esimeselt realt lahutame teise, kolmanda ja neljanda, korrutatuna vastavate koefitsientidega.

Tulemus (võrrandi juured) arvutatakse lahtrites E21:E24.

Koostanud: Saliy N.A.

Crameri meetod põhineb determinantide kasutamisel lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel. See kiirendab oluliselt lahendusprotsessi.

Crameri meetodi abil saab lahendada nii paljudest lineaarsetest võrranditest koosneva süsteemi kui igas võrrandis on tundmatuid. Kui süsteemi determinant ei ole võrdne nulliga, siis saab lahenduses kasutada Crameri meetodit, aga kui see on võrdne nulliga, siis mitte. Lisaks saab Crameri meetodit kasutada lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks, millel on unikaalne lahendus.

Definitsioon. Tundmatute koefitsientidest koosnevat determinanti nimetatakse süsteemi determinandiks ja seda tähistatakse (delta).

Determinandid

saadakse, asendades vastavate tundmatute koefitsiendid vabade terminitega:

;

.

Crameri teoreem. Kui süsteemi determinant on nullist erinev, siis on lineaarvõrrandisüsteemil üks kordumatu lahend ja tundmatu on võrdne determinantide suhtega. Nimetaja sisaldab süsteemi determinanti ja lugeja sisaldab determinanti, mis on saadud süsteemi determinandist, asendades selle tundmatu koefitsiendid vabade liikmetega. See teoreem kehtib mis tahes järku lineaarvõrrandisüsteemi kohta.

Näide 1. Lahendage lineaarvõrrandisüsteem:

Vastavalt Crameri teoreem meil on:

Niisiis, lahendus süsteemile (2):

Interneti-kalkulaator, otsustav meetod Kramer.

Kolm juhtumit lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel

Nagu selgub Crameri teoreem Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisel võib esineda kolm juhtumit:

Esimene juhtum: lineaarvõrrandisüsteemil on ainulaadne lahendus

(süsteem on järjekindel ja kindel)

Teine juhtum: lineaarvõrrandisüsteemil on lugematu arv lahendusi

(süsteem on järjekindel ja ebakindel)

** ,

need. tundmatute ja vabaliikmete koefitsiendid on võrdelised.

Kolmas juhtum: lineaarvõrrandisüsteemil pole lahendeid

(süsteem on ebaühtlane)

Seega süsteem m lineaarvõrrandid n nimetatakse muutujateks mitteliigeste, kui tal pole ühest lahendust ja liigend, kui sellel on vähemalt üks lahendus. Liigeste süsteem nimetatakse võrrandeid, millel on ainult üks lahend kindel ja rohkem kui üks – ebakindel.

Näited lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisest Crameri meetodil

Süsteem olgu antud

.

Crameri teoreemi alusel

………….
,

Kus
-

süsteemi määraja. Ülejäänud determinandid saame, asendades veeru vastava muutuja (tundmatu) koefitsientidega vabade terminitega:

Näide 2.

.

Seetõttu on süsteem kindel. Selle lahenduse leidmiseks arvutame determinandid

Crameri valemeid kasutades leiame:

Seega on (1; 0; -1) süsteemi ainus lahendus.

Võrrandisüsteemide 3 x 3 ja 4 x 4 lahenduste kontrollimiseks võite kasutada veebikalkulaatorit, kasutades Crameri lahendusmeetodit.

Kui lineaarvõrrandisüsteemis ei ole ühes või mitmes võrrandis muutujaid, siis determinandis on vastavad elemendid võrdsed nulliga! See on järgmine näide.

Näide 3. Lahendage Crameri meetodil lineaarvõrrandisüsteem:

.

Lahendus. Leiame süsteemi determinandi:

Vaadake hoolikalt võrrandisüsteemi ja süsteemi determinanti ning korrake vastust küsimusele, millistel juhtudel on determinandi üks või mitu elementi võrdsed nulliga. Seega ei ole determinant võrdne nulliga, seega on süsteem kindel. Selle lahenduse leidmiseks arvutame tundmatute determinandid

Crameri valemeid kasutades leiame:

Seega on süsteemi lahendus (2; -1; 1).

Võrrandisüsteemide 3 x 3 ja 4 x 4 lahenduste kontrollimiseks võite kasutada veebikalkulaatorit, kasutades Crameri lahendusmeetodit.

Lehe ülaosa

Jätkame koos Crameri meetodil süsteemide lahendamist

Nagu juba mainitud, kui süsteemi determinant on võrdne nulliga ja tundmatute determinandid ei ole nulliga, on süsteem ebajärjekindel, see tähendab, et tal pole lahendusi. Illustreerime seda järgmise näitega.

Näide 6. Lahendage Crameri meetodil lineaarvõrrandisüsteem:

Lahendus. Leiame süsteemi determinandi:

Süsteemi determinant on võrdne nulliga, seetõttu on lineaarvõrrandisüsteem kas ebajärjekindel ja kindel või vastuoluline, see tähendab, et sellel pole lahendusi. Selguse huvides arvutame determinandid tundmatute jaoks

Tundmatute determinandid ei ole võrdsed nulliga, seetõttu on süsteem ebajärjekindel, st tal pole lahendusi.

Võrrandisüsteemide 3 x 3 ja 4 x 4 lahenduste kontrollimiseks võite kasutada veebikalkulaatorit, kasutades Crameri lahendusmeetodit.

Lineaarvõrrandisüsteeme hõlmavates ülesannetes on ka selliseid, kus lisaks muutujaid tähistavatele tähtedele on ka teisi tähti. Need tähed tähistavad numbrit, enamasti päris. Praktikas viivad otsinguprobleemid selliste võrrandite ja võrrandisüsteemideni üldised omadused mis tahes nähtused või objektid. See tähendab, kas olete mõne välja mõelnud uus materjal või seadet ning selle omaduste kirjeldamiseks, mis on levinud olenemata eksemplari suurusest või arvust, tuleb lahendada lineaarvõrrandi süsteem, kus muutujate mõne koefitsiendi asemel on tähed. Näiteid ei pea kaugelt otsima.

Järgmine näide on sarnase ülesande jaoks, suureneb ainult teatud reaalarvu tähistavate võrrandite, muutujate ja tähtede arv.

Näide 8. Lahendage Crameri meetodil lineaarvõrrandisüsteem:

Lahendus. Leiame süsteemi determinandi:

Tundmatute määrajate leidmine

Lineaarsüsteemide lahendus algebralised võrrandid Excelis Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamise meetodeid on hästi kirjeldatud õpikus "Arvutusmatemaatika alused. Demidovich B.P., Maron I.A. 1966." Allalaadimine - 11 MB

1. Pöördmaatriksmeetod (lahendus Excelis)

Arvestades võrrandit:
A*X = B, kus A – ruutmaatriks, X,B - vektorid;
ja B - kuulus vektor(st numbrite veerg), X on tundmatu vektor,
siis saab lahenduse X kirjutada järgmiselt:
X = A -1 *B, kus A -1 on A pöördmaatriks.
MS Excelis arvutatakse pöördmaatriks funktsiooni MOBR() abil ja maatriksid (või maatriks vektoriga) korrutatakse funktsiooniga MULTIPLE().

Nende kasutamisel on "peensusi". maatrikstoimingud Excelis. Maatriksi A pöördmaatriksi arvutamiseks vajate:

1. Kasutage oma hiirt, et valida lahtrite ruudukujuline ala, kuhu pöördmaatriks paigutatakse. 2. Alusta valemi sisestamist =MOBR(3. Vali hiirega maatriks A. Sel juhul sisestatakse sulust paremale vastav lahtrivahemik. 4. Sulge sulg, vajuta klahvikombinatsiooni: Ctrl- Shift-Enter 5. Pöördmaatriks tuleks arvutada ja täita selleks ettenähtud ala Maatriksi korrutamiseks vektoriga: 1. Valige hiirega lahtrite ala, kuhu korrutamise tulemus paigutatakse 2 . Alusta valemi sisestamist =MULTIPLE(3. Vali hiirega maatriks – esimene tegur. Sel juhul sisestatakse sulust paremale vastav lahtrivahemik. 4. Sisesta klaviatuurilt eraldaja ; ( semikoolon) 5. Vali hiirega vektori-sekunditegur Sel juhul sisestatakse sulust paremale vastav lahtrite vahemik 6. Sulgege sulg, vajutage klahvikombinatsiooni: Ctrl-Shift-Enter 7. Toode tuleks välja arvutada ja sellele määratud ala täita. Jah ja teine ​​meetod, mille puhul kasutatakse Exceli funktsioonide koostaja nuppu 4. järgu SLAE näide.

Laadige alla Exceli dokument, milles see näide on lahendatud erinevaid meetodeid.

2. Gaussi meetod

Gaussi meetodit teostatakse üksikasjalikult (samm-sammult) ainult sisse hariduslikel eesmärkidel kui sa pead näitama, et saad hakkama. Ja tõelise SLAE lahendamiseks on parem kasutada meetodit Excelis pöördmaatriks või kasutage spetsiaalseid programme, näiteks seda

Lühikirjeldus.

3. Jacobi meetod (lihtsate iteratsioonide meetod)

Jacobi meetodi (ja Seideli meetodi) rakendamiseks on vajalik, et maatriksi A diagonaalkomponendid oleksid suuremad kui sama rea ​​teiste komponentide summa. Määratud süsteem ei oma seda omadust, seega teostan esialgseid teisendusi.

(1)' = (1) + 0,43*(2) – 0,18*(3) – 0,96*(4) (2)' = (2) + 0,28*(1) – 1,73*(3) + 0,12 *(4) (3)' = (3) – 0,27*(1) – 0,75*(2) + 0,08*(4) (4)' = (4) + 0,04*(1) – 6,50*(2) + 8,04*(3) Märkus: koefitsientide valik tehti lehel “Analüüs”. Lahendatakse võrrandisüsteeme, mille eesmärk on muuta diagonaalivälised elemendid kaduma. Koefitsiendid on selliste võrrandisüsteemide lahendamise ümardatud tulemused. Muidugi pole see asi. Selle tulemusena saan võrrandisüsteemi:
Jacobi meetodi rakendamiseks tuleb võrrandisüsteem teisendada järgmisele kujule:
X = B2 + A2*X teisendus:

Järgmisena jagan iga rea ​​vasakpoolse veeru koefitsiendiga, st vastavalt 16, 7, 3, 70-ga. Siis on maatriksil A2 vorm:


Ja vektor B2:

Lühike teooria algebra kursusest:

Olgu antud lineaarvõrrandisüsteem (1). Maatriksmeetod lineaarvõrrandisüsteemide lahendamist kasutatakse juhtudel, kui võrrandite arv on võrdne muutujate arvuga.

Tutvustame mõnda tähistust. Lase A– muutujate koefitsientide maatriks, B- vabaliikmete vektor, X– muutuvate väärtuste vektor. Siis X = A -1 × B, Kus A -1– maatriks, pöördvõrdeline A. Veelgi enam, pöördmaatriks A -1 eksisteerib, kui maatriksi A determinant ei ole võrdne 0-ga. Algmaatriksi A ja pöördmaatriksi A -1 korrutis peab olema võrdne identsusmaatriksiga:

A -1 A=AA -1 =E.

Harjutus: Lahendage lineaarvõrrandisüsteem:

Töö tehnoloogia:

Olgu vahemikus A11:C13 antud algmaatriks A, mis koosneb süsteemi koefitsientidest. Esmalt leidke maatriksi A determinant. Selleks peate lahtris F15 helistama Funktsiooniviisard, kategoorias " Lingid ja massiivid"Leia funktsioon MOPRED() , määrake selle argumendiks A11:C13. Saime tulemuseks 344. Kuna algmaatriksi A determinant ei ole võrdne 0-ga, s.o. on pöördmaatriks, nii et järgmine samm on pöördmaatriksi leidmine. Selleks vali vahemik A15:C17, kuhu paigutatakse pöördmaatriks. Helistamine Funktsioonide viisardid, kategoorias " Lingid ja massiivid"Leia funktsioon MOBR( ), määrake selle argumendiks A11:C13 ja vajutage klahvikombinatsiooni Shift+Ctrl+Enter. Pöördmaatriksi kehtivuse kontrollimiseks korrutage see funktsiooni abil originaaliga MUMSULT() . Selle funktsiooni kutsumiseks valige esmalt vahemik A19:A21. Argumentidena määrake algne maatriks A, s.t. vahemik A11:C13 ja pöördmaatriks, s.o. vahemikus A15:C17 ja vajutage Shift+Ctrl+Enter. Vastu võetud identiteedi maatriks. Seega leiti pöördmaatriks õigesti. Nüüd, et leida tulemus, valige selle jaoks vahemik F18:F20. Kutsuge funktsioon välja MUMSULT() kasutades Funktsioonide viisardid, märkige kaks vahemiku massiivi, mida korrutate – pöördmaatriks ja vabaliikmete veerg, st. A15:C17 ja E11:E13 ning vajutage Shift+Ctrl+Enter. Tulemus on näidatud joonisel 6.

Nüüd saate kontrollida leitud lahenduste õigsust x 1, x 2 Ja x 3. Selleks arvutage leitud väärtuste abil iga võrrand x 1, x 2 Ja x 3. Näiteks lahtris G11 arvutage väärtus , ja tulemus peaks olema võrdne 3-ga. Sisestame järgmise valemi =A11*$F$18+B11*$F$19+C11*$F$20 . Kopeerige see valem kahte allolevasse lahtrisse, st. G12-s ja G13-s. Hankige jälle tasuta liikmete veerg. Seega on lineaarvõrrandisüsteemi lahendus õigesti lõpetatud (joonis 80).

Joonis 80 - Lineaarvõrrandisüsteemi lahendus

Individuaalsete ülesannete valikud

Ülesanne nr 1. Arvutage Microsoft Exceli abil avaldise väärtus:

Tabel 16 – Laboritööde individuaalsed võimalused