Võrrandi juurte summa ja korrutis on võrdsed. Kuidas leida võrrandi juurte summat

saab leida korrutamise abil. Näiteks: 5+5+5+5+5+5=5x6. Väidetavalt on selline avaldis, et võrdsete liikmete summa volditakse korrutiseks. Ja vastupidi, kui loeme seda võrdsust paremalt vasakule, leiame, et oleme võrdsete liikmete summat laiendanud. Samamoodi saate ahendada mitme võrdse teguri korrutist 5x5x5x5x5x5=5 6.

See tähendab, et kuue korrutamise asemel identsed kordajad 5x5x5x5x5x5 kirjutage 5 6 ja öelge "viis kuni kuuenda astmeni".

Avaldis 5 6 on arvu aste, kus:

5 - kraadi alus;

6 - eksponent.

Nimetatakse toiminguid, millega võrdsete tegurite korrutis taandatakse astmeks võimule tõstmine.

IN üldine vaade aste alusega "a" ja astendajaga "n" kirjutatakse nii

Arvu a tõstmine astmeni n tähendab n teguri korrutise leidmist, millest igaüks on võrdne a-ga

Kui astme “a” alus on võrdne 1-ga, siis on mis tahes naturaalarvu n astme väärtus võrdne 1-ga. Näiteks 1 5 =1, 1 256 =1

Kui tõstate numbri "a" väärtusele esimene kraad, siis saame numbri a ise: a 1 = a

Kui tõstate suvalise numbri null kraadi, siis arvutuste tulemusena saame ühe. a 0 = 1

Arvu teist ja kolmandat astet peetakse eriliseks. Nad mõtlesid neile välja nimed: kutsutakse teist kraadi ruudus number, kolmas - kuubik see number.

Mis tahes arvu saab tõsta astmeni – positiivseks, negatiivseks või nulliks. Sel juhul järgmised reeglid ei kehti:

Positiivse arvu astme leidmisel on tulemuseks positiivne arv.

Null tolli arvutamisel loomulik kraad saame nulli.

x m · x n = x m + n

näiteks: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7 + (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

To jagada võimu samade alustega Me ei muuda alust, vaid lahutame eksponendid:

x m / x n = x m - n , Kus, m > n,

näiteks: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Arvutamisel võimu tõstmine võimuks Me ei muuda alust, vaid korrutame eksponendid üksteisega.

(kell m ) n = y m n

näiteks: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · a m ,

näiteks: (2 3) 3 = 2 n 3 m,

Arvutuste tegemisel vastavalt murdosa astmeks tõstmine tõstame murru lugeja ja nimetaja etteantud astmeni

(x/y)n = x n / a n

näiteks: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

Arvutuste jada kraadi sisaldavate avaldistega töötamisel.

Sulgudeta, kuid astmeid sisaldavate avaldiste arvutuste tegemisel sooritavad nad ennekõike astendamise, seejärel korrutamise ja jagamise ning alles seejärel liitmise ja lahutamise tehteid.

Kui teil on vaja arvutada sulgusid sisaldav avaldis, tehke esmalt sulgudes olevad arvutused ülaltoodud järjekorras ja seejärel ülejäänud toimingud samas järjekorras vasakult paremale.

Väga laialdaselt kasutatakse praktilistes arvutustes arvutuste lihtsustamiseks valmis võimsustabeleid.

Jätkates vestlust arvu võimsuse üle, on loogiline välja mõelda, kuidas võimsuse väärtust leida. Seda protsessi nimetatakse astendamine. Selles artiklis uurime, kuidas eksponentsimist tehakse, samas puudutame kõiki võimalikke eksponente - loomulikke, täisarvulisi, ratsionaalseid ja irratsionaalseid. Ja vastavalt traditsioonile kaalume üksikasjalikult lahendusi numbrite suurendamise näidetele erinevatele võimudele.

Leheküljel navigeerimine.

Mida tähendab "astendamine"?

Alustuseks selgitame, mida nimetatakse eksponentsimiseks. Siin on asjakohane määratlus.

Definitsioon.

Astendamine- see on arvu astme väärtuse leidmine.

Seega on arvu a astme väärtuse leidmine astendajaga r ja arvu a tõstmine astmele r sama asi. Näiteks kui ülesandeks on "arvuta võimsuse (0,5) väärtus 5", saab selle ümber sõnastada järgmiselt: "Tõstke arv 0,5 astmeni 5."

Nüüd saate minna otse reeglite juurde, mille järgi astendamine toimub.

Arvu tõstmine loomuliku astmeni

Praktikas rakendatakse võrdsust tavaliselt kujul . See tähendab, et arvu a tõstmisel murdarvuni m/n võetakse esmalt arvu a n-s juur, misjärel tõstetakse saadud tulemus täisarvuks m.

Vaatame näiteid murdarvulise astmeni tõstmise lahendustest.

Näide.

Arvutage kraadi väärtus.

Lahendus.

Näitame kahte lahendust.

Esimene viis. Murdastendajaga kraadi määratluse järgi. Arvutame juurmärgi all oleva kraadi väärtuse ja eraldame seejärel kuupjuur: .

Teine viis. Murruastendajaga astme määratluse järgi ja juurte omaduste põhjal on tõesed järgmised võrdsused: . Nüüd ekstraheerime juure , lõpuks tõstame selle täisarvuni .

Ilmselt langevad murdarvuni tõstmise tulemused kokku.

Vastus:

Pange tähele, et murdosa eksponendi saab kirjutada kujul kümnend või seganumber, nendel juhtudel tuleks see asendada vastava hariliku murruga ja seejärel tõsta astmeni.

Näide.

Arvuta (44,89) 2.5.

Lahendus.

Kirjutame eksponendi vormile harilik murd(vajadusel vaadake artiklit): . Nüüd teostame tõstmise murdarvuni:

Vastus:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Samuti tuleb öelda, et arvude tõstmine ratsionaalsete astmeteni on üsna töömahukas protsess (eriti kui lugeja ja nimetaja murdosa indikaator kraadid on piisavad suured numbrid), mida tavaliselt tehakse arvutitehnoloogia abil.

Selle punkti lõpetuseks peatume arvu nulli tõstmisel murdarvuni. Murdjärguline aste vormi nullile andsime järgmise tähenduse: kui meil on , ja nulli juures m/n võimsust ei ole määratletud. Niisiis, murdosas null positiivne aste võrdne nulliga, näiteks . Ja null murdosa negatiivses astmes pole mõtet, näiteks avaldised 0 -4,3 ei oma mõtet.

Tõstmine irratsionaalseks jõuks

Mõnikord on vaja välja selgitada irratsionaalse astendajaga arvu astme väärtus. Samal ajal sisse praktilistel eesmärkidel Tavaliselt piisab kraadi väärtuse saamiseks kuni teatud märgini. Pangem kohe tähele, et see väärtus arvutatakse praktikas elektroonilise arvutitehnoloogia abil, kuna selle tõstmine väärtuseni ir ratsionaalne aste käsitsi nõuab suur kogus tülikad arvutused. Kuid ikkagi kirjeldame seda üldine ülevaade tegevuse olemus.

Arvu a astme ligikaudse väärtuse saamiseks irratsionaalse astendajaga võetakse astendaja mõni kümnendlähendus ja arvutatakse astme väärtus. See väärtus on arvu a astme ligikaudne väärtus irratsionaalse astendajaga. Mida täpsem on algselt võtta arvu kümnendlähendus, seda täpsem on lõpuks astme väärtus.

Näitena arvutame 2 astme ligikaudse väärtuse 1,174367... . Võtame järgmise kümnendarvutuse irratsionaalne näitaja: . Nüüd tõstame 2 ratsionaalse astmeni 1,17 (kirjeldasime selle protsessi olemust eelmises lõigus), saame 2 1,17 ≈2,250116. Seega 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Kui võtame näiteks irratsionaalse astendaja täpsema kümnendväärtuse, saame algse eksponendi täpsema väärtuse: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliograafia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemaatika õpik 5. klassile. õppeasutused.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 7. klassile. õppeasutused.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 8. klassile. õppeasutused.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 9. klassile. õppeasutused.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ja teised Algebra ja analüüsi alged: Õpik üldharidusasutuste 10. - 11. klassile.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse astujatele).

Tund ja ettekanne teemal: "Eksponent negatiivse astendajaga. Probleemide lahendamise definitsioon ja näited"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove. Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.

Õppevahendid ja simulaatorid Integrali veebipoes 8. klassile
Käsiraamat õpikule Muravin G.K.    Õpiku käsiraamat Alimov Sh.A.

Kraadi määramine negatiivse eksponendiga

Poisid, me suudame arvusid võimsusteni tõsta.
Näiteks: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Teame hästi, et mis tahes arv nulliastmeni on võrdne ühega. $a^0=1$, $a≠0$.
Tekib küsimus, mis juhtub, kui tõstate arvu negatiivse astmeni? Näiteks millega võrdub arv $2^(-2)$?
Esimesed matemaatikud, kes selle küsimuse esitasid, otsustasid, et ratast ei tasu uuesti leiutada ja hea, et kõik kraadide omadused jäid samaks. See tähendab, kui korrutada võimsused samal alusel, liidetakse eksponendid.
Vaatleme seda juhtumit: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Leidsime, et selliste arvude korrutis peaks andma ühe. Korrutise ühik saadakse pöördarvude korrutamisel, st $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Selline arutluskäik viis järgmise määratluseni.
Definitsioon. Kui $n$ – naturaalarv ja $a≠0$, siis kehtib võrdus: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Oluline identiteet, mida sageli kasutatakse, on: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Eelkõige $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Näited lahendustest

Näide 1.
Arvutage: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Lahendus.
Vaatleme iga terminit eraldi.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4) $.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Jääb teha liitmise ja lahutamise toimingud: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4) $.
Vastus: $6\frac(1)(4)$.

Näide 2.
Esitage antud arv astmena algarv$\frac(1)(729)$.

Lahendus.
Ilmselgelt $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Kuid 729 ei ole 9-ga lõppev algarv. Võib eeldada, et see arv on kolme aste. Jagage 729 järjekindlalt 3-ga.
1) $\frac(729)(3)=243 $;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Tehti kuus operatsiooni ja see tähendab: $729=3^6$.
Meie ülesande jaoks:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Vastus: $3^(-6)$.

Näide 3. Väljendage avaldist astmena: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Lahendus. Esimene toiming tehakse alati sulgudes, seejärel korrutamine $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Vastus: $a$.

Näide 4. Tõestage identiteet:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 ) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Lahendus.
Vasakul pool käsitleme iga sulgudes olevat tegurit eraldi.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Liigume edasi murdosa juurde, millega jagame.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Teeme jagamise.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Saime õige identiteedi, mida pidime tõestama.

Tunni lõpus paneme veel kord kirja astmetega töötamise reeglid, siin on eksponendiks täisarv.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Iseseisvalt lahendatavad probleemid

1. Arvutage: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Esitage antud arv algarvu $\frac(1)(16384)$ astmena.
3. Väljendage avaldist astmena:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Tõestage isikut:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.