Ostrograd Gaussi teoreem elektrilise induktsiooni vektori jaoks. Ostrogradsky-Gaussi teoreem

Tunni eesmärk: Ostrogradski–Gaussi teoreemi koostasid vene matemaatik ja mehaanik Mihhail Vassiljevitš Ostrogradski üldise matemaatilise teoreemina ning saksa matemaatik Carl Friedrich Gauss. Seda teoreemi saab kasutada füüsika erialal õppimisel, kuna see võimaldab elektriväljade ratsionaalsemaid arvutusi.

Elektriline induktsiooni vektor

Ostrogradsky-Gaussi teoreemi tuletamiseks on vaja kasutusele võtta sellised olulised abimõisted nagu elektriinduktsiooni vektor ja selle vektori F voog.

On teada, et elektrostaatilist välja kujutatakse sageli jõujoonte abil. Oletame, et määrame pinge punktis, mis asub kahe keskkonna – õhu (=1) ja vee (=81) – vahelisel liidesel. Siinkohal õhust vette liikudes elektrivälja tugevus valemi järgi väheneb 81 korda. Kui jätame tähelepanuta vee juhtivuse, väheneb jõujoonte arv sama palju. Väljade arvutamise erinevate ülesannete lahendamisel tekivad pingevektori katkestuse tõttu kandjate ja dielektrikute liideses teatud ebamugavused. Nende vältimiseks võetakse kasutusele uus vektor, mida nimetatakse elektriliseks induktsioonivektoriks:

Elektriinduktsiooni vektor on võrdne vektori ja keskkonna elektrikonstandi ja dielektrilise konstandi korrutisega antud punktis.

On ilmne, et kahe dielektriku piiri läbimisel ei muutu elektriliste induktsioonijoonte arv punktlaengu välja jaoks (1).

SI-süsteemis mõõdetakse elektrilise induktsiooni vektorit kulonides ruutmeetri kohta (C/m2). Avaldis (1) näitab, et vektori arvväärtus ei sõltu kandja omadustest. Vektorväli on graafiliselt kujutatud sarnaselt intensiivsusväljaga (näiteks punktlaengu kohta vt joonis 1). Vektorvälja puhul kehtib superpositsiooni põhimõte:

Elektriline induktsioonvoog

Elektriline induktsioonivektor iseloomustab elektrivälja igas ruumipunktis. Teise suuruse, mis sõltub vektori väärtustest, saate sisestada mitte ühes punktis, vaid kõigis tasase suletud kontuuriga piiratud pinna punktides.

Selleks vaadeldakse tasapinnalist suletud juhti (ahelat), mille pindala on S, mis on paigutatud ühtlasesse elektrivälja. Juhi tasapinna normaal loob elektrilise induktsiooni vektori suunaga nurga (joonis 2).

Elektrilise induktsiooni voog läbi pinna S on suurus, mis võrdub induktsioonivektori mooduli pindala S ning vektori ja normaalnurga vahelise nurga koosinusega korrutisega:

Ostrogradski-Gaussi teoreemi tuletamine

See teoreem võimaldab leida elektrilise induktsioonivektori voolu läbi suletud pinna, mille sees on elektrilaengud.

Olgu esmalt üks punktlaeng q paigutatud suvalise raadiusega r 1 sfääri keskpunkti (joonis 3). Siis ; . Arvutame kogu selle sfääri pinda läbiva induktsiooni koguvoo: ; (). Kui võtta raadiusega kera , siis ka Ф = q. Kui joonistada kera, mis ei kata laengut q, siis koguvoog Ф = 0 (kuna iga joon siseneb pinnale ja lahkub sellest mõni teine ​​kord).

Seega Ф = q, kui laeng asub suletud pinna sees ja Ф = 0, kui laeng asub väljaspool suletud pinda. Vooluvool Ф ei sõltu pinna kujust. See ei sõltu ka laengute paigutusest pinnal. See tähendab, et saadud tulemus ei kehti ainult ühe laengu, vaid ka suvalise arvu suvaliselt paiknevate laengute kohta, kui q all mõeldakse ainult kõigi pinna sees paiknevate laengute algebralist summat.

Gaussi teoreem: elektrilise induktsiooni voog läbi mis tahes suletud pinna on võrdne kõigi pinna sees paiknevate laengute algebralise summaga: .

Valemist selgub, et elektrivoolu mõõde on sama, mis elektrilaengul. Seetõttu on elektrilise induktsioonivoo ühikuks kulon (C).

Märkus: kui väli on ebaühtlane ja pind, mille kaudu vooluhulk määratakse, ei ole tasapind, siis saab selle pinna jagada lõpmata väikesteks elementideks ds ja iga elementi võib lugeda tasaseks ning selle lähedal olev väli on ühtlane. Seetõttu on mis tahes elektrivälja korral elektrilise induktsioonivektori vool läbi pinnaelemendi: dФ=. Integreerimise tulemusena on suletud pinna S läbiv summaarne voog mis tahes mittehomogeenses elektriväljas võrdne: , kus q on kõigi suletud pinnaga S ümbritsetud laengute algebraline summa. Avaldame viimast võrrandit elektrivälja tugevuse (vaakumi puhul): .

See on üks Maxwelli elektromagnetvälja põhivõrranditest, mis on kirjutatud terviklikul kujul. See näitab, et ajas püsiva elektrivälja allikaks on statsionaarsed elektrilaengud.

Gaussi teoreemi rakendamine

Pidevalt jaotatud laengute väli

Määrame nüüd väljatugevuse mitmel juhul Ostrogradsky-Gaussi teoreemi abil.

1. Ühtlaselt laetud sfäärilise pinna elektriväli.

Sfäär raadiusega R. Olgu laeng +q jaotunud ühtlaselt üle raadiusega R sfäärilise pinna. Laengu jaotust üle pinna iseloomustab pinnalaengu tihedus (joonis 4). Pinnalaengu tihedus on laengu suhe pindalasse, mille peale see jaotub. . SI-s.

Määrame välja tugevuse:

a) väljaspool sfäärilist pinda,
b) sfäärilise pinna sees.

a) Võtke punkt A, mis asub laetud sfäärilise pinna keskpunktist kaugusel r>R. Joonistame mõtteliselt läbi selle raadiusega r sfäärilise pinna S, millel on ühine kese laetud sfäärilise pinnaga. Sümmeetria kaalutlustel on ilmne, et jõujooned on pinnaga S risti olevad radiaalsed jooned ja tungivad ühtlaselt sellele pinnale, s.o. pinge kõigis selle pinna punktides on suurusjärgus konstantne. Sellele sfäärilisele pinnale S raadiusega r rakendame Ostrogradski-Gaussi teoreemi. Seega on kogu sfääri läbiv voog N = E? S; N=E. Teisel pool . Me võrdsustame: . Seega: r>R jaoks.

Seega: ühtlaselt laetud sfäärilise pinna tekitatud pinge väljaspool seda on sama, kui kogu laeng oleks selle keskmes (joonis 5).

b) Leiame väljatugevuse punktides, mis asuvad laetud sfäärilise pinna sees. Võtame punkti B sfääri keskpunktist kaugel . Siis on E = 0 r juures

2. Ühtlaselt laetud lõpmatu tasandi väljatugevus

Vaatleme elektrivälja, mille tekitab lõpmatu tasapind, mis on laetud tiheduskonstandiga kõigis tasandi punktides. Sümmeetria huvides võime eeldada, et tõmbejooned on tasapinnaga risti ja sellelt mõlemas suunas suunatud (joonis 6).

Valime tasapinnast paremal asuv punkt A ja arvutame selles punktis Ostrogradski-Gaussi teoreemi abil. Suletud pinnaks valime silindrilise pinna nii, et silindri külgpind on paralleelne jõujoontega ning selle põhi on paralleelne tasapinnaga ja alus läbib punkti A (joon. 7). Arvutame pingevoolu läbi vaadeldava silindrilise pinna. Külgpinda läbiv voog on 0, sest tõmbejooned on paralleelsed külgpinnaga. Siis koosneb koguvool vooludest ja silindri aluste läbimisest ja . Mõlemad vood on positiivsed =+; =; =; ==; N=2.

– tasapinna osa, mis asub valitud silindrilise pinna sees. Selle pinna sees olev laeng on q.

Siis ; – võib võtta punktlaenuna) punktiga A. Koguvälja leidmiseks on vaja geomeetriliselt liita kõik iga elemendi poolt tekitatud väljad: ; .

Elektrilaengute vastastikmõju seadust – Coulombi seadust – saab sõnastada erinevalt, nn Gaussi teoreemi kujul. Gaussi teoreem saadakse Coulombi seaduse ja superpositsiooni põhimõtte tulemusena. Tõestus põhineb kahe punktlaengu vastastikuse jõu pöördvõrdelisusel nendevahelise kauguse ruuduga. Seetõttu on Gaussi teoreem rakendatav igale füüsikalisele väljale, kus näiteks gravitatsiooniväljale kehtib pöördruuduseadus ja superpositsiooniprintsiip.

Riis. 9. Suletud pinda X lõikuva punktlaengu elektrivälja tugevuse jooned

Gaussi teoreemi sõnastamiseks pöördume tagasi statsionaarse punktlaengu elektrivälja jõujoonte pildi juurde. Üksiku punktlaengu väljajooned on sümmeetriliselt paiknevad radiaalsed sirged (joon. 7). Saate joonistada suvalise arvu selliseid jooni. Tähistame nende koguarvu järgmiselt: Siis on väljajoonte tihedus laengust kaugusel, st raadiusega sfääri ühikulist pinda läbivate joonte arv on võrdne Võrreldes selle seose väljatugevuse avaldisega. punktlaeng (4), näeme, et joonte tihedus on võrdeline väljatugevusega. Neid koguseid saame arvuliselt võrdseks teha, valides õigesti välja ridade koguarvu N:

Seega punktlaengu ümbritsev mis tahes raadiusega sfääri pind lõikub sama arvu jõujoontega. See tähendab, et jõujooned on pidevad: mis tahes kahe erineva raadiusega kontsentrilise sfääri vahelises intervallis ei katke ühtki joont ega lisata uusi. Kuna väljajooned on pidevad, lõikub sama arv väljajooni mis tahes laengut katva suletud pinnaga (joonis 9).

Jõujoontel on suund. Positiivse laengu korral väljuvad need laengut ümbritsevast suletud pinnast, nagu on näidatud joonisel fig. 9. Negatiivse laengu korral lähevad need pinna sisse. Kui väljaminevate ridade arv loetakse positiivseks ja sissetulevate ridade arv negatiivseks, siis valemis (8) võime jätta laengu mooduli märgi ära ja kirjutada selle kujule

Pingevoog. Tutvustame nüüd pinda läbiva väljatugevuse vektori voolu mõistet. Suvalise välja saab mõtteliselt jagada väikesteks aladeks, mille intensiivsus muutub nii suuruses kui ka suunas nii vähe, et selle piirkonna piires võib välja lugeda ühtlaseks. Igas sellises piirkonnas on jõujooned paralleelsed sirged ja neil on konstantne tihedus.

Riis. 10. Saidi läbiva väljatugevuse vektori voo määramine

Vaatleme, mitu jõujoont läbib väikese ala, mille normaaljoone suund moodustab pingejoonte suunaga nurga a (joon. 10). Laskma olla projektsioon tasapinnale, mis on risti jõujoontega. Kuna ristuvate joonte arv on sama ja joonte tihedus vastavalt aktsepteeritud tingimusele on võrdne väljatugevuse E mooduliga, siis

Väärtus a on vektori E projektsioon koha normaalsuunale

Seetõttu on ala läbivate elektriliinide arv võrdne

Korrutist nimetatakse pinda läbivaks väljatugevuse vooks.Valem (10) näitab, et vektori E voog läbi pinna on võrdne seda pinda läbivate väljajoonte arvuga. Pange tähele, et intensiivsusvektori voog, nagu ka pinda läbivate väljajoonte arv, on skalaar.

Riis. 11. Pingevektori E vool läbi koha

Voolu sõltuvust koha orientatsioonist jõujoonte suhtes on illustreeritud joonisel fig.

Väljatugevuse voog läbi suvalise pinna on elementaaralasid läbivate voogude summa, milleks selle pinna saab jagada. Seoste (9) ja (10) põhjal võib väita, et punktlaengu väljatugevuse voog läbi mis tahes laengut ümbritseva suletud pinna 2 (vt joonis 9) kui laengust väljuvate väljajoonte arv. see pind on võrdne Sel juhul peaks elementaaralade suletud pinna normaalvektor olema suunatud väljapoole. Kui pinna sees olev laeng on negatiivne, siis väljajooned sisenevad selle pinna sisse ja laenguga seotud väljatugevuse vektori voog on samuti negatiivne.

Kui suletud pinna sees on mitu laengut, siis superpositsiooni põhimõtte kohaselt nende väljatugevuste vood summeeruvad. Koguvoog on võrdne sellega, kus tuleb mõista kõigi pinna sees olevate laengute algebralist summat.

Kui suletud pinna sees ei ole elektrilaenguid või nende algebraline summa on null, siis seda pinda läbiv väljatugevuse summaarne voog on null: nii palju jõujooni siseneb pinnaga piiratud ruumalasse, sama palju väljub.

Nüüd saame lõpuks sõnastada Gaussi teoreemi: elektrivälja tugevusvektori E vool vaakumis läbi mis tahes suletud pinna on võrdeline selle pinna sees asuva kogulaenguga. Matemaatiliselt väljendatakse Gaussi teoreemi sama valemiga (9), kus all mõeldakse laengute algebralist summat. Absoluutses elektrostaatilises

SGSE ühikute süsteemis on koefitsient ja Gaussi teoreem kirjutatud kujul

SI-s ja pingevoogu läbi suletud pinna väljendatakse valemiga

Gaussi teoreemi kasutatakse elektrostaatikas laialdaselt. Mõnel juhul saab seda kasutada sümmeetriliselt paiknevate laengute tekitatud väljade arvutamiseks.

Sümmeetriliste allikate väljad. Kasutame Gaussi teoreemi, et arvutada raadiusega kuuli pinnal ühtlaselt laetud elektrivälja intensiivsus. Kindluse mõttes eeldame, et selle laeng on positiivne. Välja loovate laengute jaotus on sfäärilise sümmeetriaga. Seetõttu on ka väljal sama sümmeetria. Sellise välja jõujooned on suunatud piki raadiusi ja intensiivsuse moodul on kõigis punktides, mis on kuuli keskpunktist võrdsel kaugusel.

Väljatugevuse leidmiseks palli keskpunktist kaugel joonistagem mõtteliselt palliga kontsentrilise raadiusega sfääriline pind, kuna selle sfääri kõigis punktides on väljatugevus suunatud selle pinnaga risti ja on absoluutväärtuses sama, intensiivsusega voog on lihtsalt võrdne väljatugevuse ja sfääri pindala korrutisega:

Kuid seda suurust saab väljendada ka Gaussi teoreemi abil. Kui meid huvitab väljak väljaspool palli, st näiteks SI ja (13) võrreldes leiame

SGSE ühikute süsteemis on ilmselgelt

Seega on väljaspool palli väljatugevus sama, mis palli keskele asetatud punktlaengul. Kui meid huvitab palli sees olev väli, st kuna kogu palli pinnale jaotatud laeng asub väljaspool sfääri, mille oleme mõtteliselt joonistanud. Seetõttu ei ole palli sees välja:

Samamoodi saab Gaussi teoreemi kasutades arvutada elektrostaatilise välja, mille tekitab lõpmatult laetud

tasapinna kõigis punktides konstantse tihedusega tasapind. Sümmeetria kaalutlustel võime eeldada, et jõujooned on tasapinnaga risti, on sellelt mõlemas suunas suunatud ja neil on kõikjal sama tihedus. Tõepoolest, kui väljajoonte tihedus erinevates punktides oleks erinev, siis laetud tasapinna liigutamine mööda iseennast tooks nendes punktides kaasa välja muutuse, mis läheb vastuollu süsteemi sümmeetriaga – selline nihe ei tohiks välja muuta. Teisisõnu, lõpmatu ühtlaselt laetud tasandi väli on ühtlane.

Suletud pinnaks Gaussi teoreemi rakendamisel valime silindri pinna, mis on konstrueeritud järgmiselt: silindri generaator on paralleelne jõujoontega ning aluste alad on paralleelsed laetud tasapinnaga ja asuvad selle vastaskülgedel. (joonis 12). Külgpinda läbiv väljatugevuse voog on null, seega on suletud pinda läbiv koguvoog võrdne silindri aluseid läbivate voogude summaga:

Riis. 12. Ühtlaselt laetud tasapinna väljatugevuse arvutamise suunas

Vastavalt Gaussi teoreemile määrab sama voo selle tasapinna selle osa laeng, mis asub silindri sees ja SI-s võrdub see voo avaldiste võrdlemisel leiame

SGSE süsteemis on ühtlaselt laetud lõpmatu tasandi väljatugevus antud valemiga

Lõplike mõõtmetega ühtlaselt laetud plaadi puhul kehtivad saadud avaldised ligikaudu piirkonnas, mis asub plaadi servadest piisavalt kaugel ja mitte liiga kaugel selle pinnast. Plaadi servade lähedal ei ole väli enam ühtlane ja selle väljajooned painduvad. Võrreldes plaadi suurusega väga suurte vahemaade korral väheneb väli kaugusega samamoodi nagu punktlaengu väli.

Teised näited sümmeetriliselt jaotatud allikatest tekitatud väljadest hõlmavad lõpmatu sirgjoonelise keerme pikkuses ühtlaselt laetud välja, ühtlaselt laetud lõpmatu ringikujulise silindri välja, kuuli välja,

ühtlaselt laetud kogu ruumala ulatuses jne. Gaussi teoreem võimaldab kõigil neil juhtudel väljatugevuse lihtsalt välja arvutada.

Gaussi teoreem annab välja ja selle allikate vahelise seose, mõnes mõttes vastupidise sellele, mida annab Coulombi seadus, mis võimaldab määrata elektrivälja antud laengute põhjal. Gaussi teoreemi abil saate määrata kogulaengu mis tahes ruumipiirkonnas, kus elektrivälja jaotus on teada.

Mille poolest erinevad elektrilaengute vastastikmõju kirjeldamisel kaug- ja lähitoime mõisted? Mil määral saab neid mõisteid rakendada gravitatsiooniliste vastasmõjude suhtes?

Mis on elektrivälja tugevus? Mida need tähendavad, kui seda nimetatakse elektriväljale iseloomulikuks jõuks?

Kuidas saab jõujoonte mustri järgi otsustada väljatugevuse suunda ja suurust teatud punktis?

Kas elektrivälja jooned võivad ristuda? Põhjendage oma vastust.

Joonistage kvalitatiivne pilt kahe laengu elektrostaatilise jõu joontest, nii et .

Elektrivälja tugevuse voolu läbi suletud pinna väljendatakse erinevate valemitega (11) ja (12) GSE ja SI ühikutes. Kuidas saab seda ühitada voolu geomeetrilise tähendusega, mille määrab pinda läbivate jõujoonte arv?

Kuidas kasutada Gaussi teoreemi elektrivälja tugevuse leidmiseks, kui seda tekitavad laengud on jaotunud sümmeetriliselt?

Kuidas rakendada valemeid (14) ja (15) negatiivse laenguga kuuli väljatugevuse arvutamiseks?

Gaussi teoreem ja füüsilise ruumi geomeetria. Vaatame Gaussi teoreemi tõestust veidi teisest vaatenurgast. Pöördume tagasi valemi (7) juurde, millest järeldati, et sama palju jõujooni läbib mis tahes laengut ümbritsevat sfäärilist pinda. See järeldus tuleneb asjaolust, et mõlema võrdsuse poole nimetajad vähenevad.

Paremal pool tekkis see tänu sellele, et Coulombi seadusega kirjeldatud laengute vastastikmõju jõud on pöördvõrdeline laengutevahelise kauguse ruuduga. Vasakul pool on välimus seotud geomeetriaga: sfääri pindala on võrdeline selle raadiuse ruuduga.

Pinna proportsionaalsus lineaarsete mõõtmete ruuduga on eukleidilise geomeetria tunnus kolmemõõtmelises ruumis. Tõepoolest, alade proportsionaalsus täpselt lineaarsete mõõtmete ruutudega, mitte mõne muu täisarvuga, on ruumile iseloomulik

kolm mõõdet. Asjaolu, et see astendaja on täpselt võrdne kahega ega erine kahest isegi tühise summa võrra, näitab, et see kolmemõõtmeline ruum ei ole kõver, st et selle geomeetria on täpselt eukleidiline.

Seega on Gaussi teoreem füüsilise ruumi omaduste ilming elektrilaengute vastastikmõju põhiseaduses.

Füüsika põhiseaduste ja ruumi omaduste vahelise tiheda seose ideed väljendasid paljud silmapaistvad mõistused ammu enne nende seaduste kehtestamist. Nii kirjutas I. Kant kolm aastakümmet enne Coulombi seaduse avastamist ruumi omaduste kohta: „Kolmemõõtmelisus tekib ilmselt seetõttu, et olemasolevas maailmas toimivad ained üksteisele nii, et toimejõud on pöördvõrdeline kauguse ruuduga.

Coulombi seadus ja Gaussi teoreem esindavad tegelikult sama loodusseadust, mis väljendub erinevates vormides. Coulombi seadus peegeldab kaugtegevuse kontseptsiooni, Gaussi teoreem aga tuleneb ruumi täitva jõuvälja ideest, st lühimaategevuse kontseptsioonist. Elektrostaatikas on jõuvälja allikaks laeng ning allikaga seotud välja tunnus - intensiivsuse voog - ei saa muutuda tühjas ruumis, kus muid laenguid pole. Kuna voolu võib visuaalselt ette kujutada väljajoonte kogumina, siis avaldub voolu muutumatus nende joonte järjepidevuses.

Gaussi teoreem, mis põhineb vastastikmõju pöördproportsionaalsusel kauguse ruuduga ja superpositsiooni printsiibil (interaktsiooni liitmine), on rakendatav igale füüsikalisele väljale, milles toimib pöördruuduseadus. Eelkõige kehtib see ka gravitatsioonivälja kohta. On selge, et see pole lihtsalt kokkusattumus, vaid peegeldus tõsiasjast, et kolmemõõtmelises eukleidilises füüsilises ruumis toimuvad nii elektrilised kui ka gravitatsioonilised vastasmõjud.

Millisel elektrilaengute vastastikmõju seaduse tunnusel põhineb Gaussi teoreem?

Tõesta Gaussi teoreemile tuginedes, et punktlaengu elektrivälja tugevus on pöördvõrdeline kauguse ruuduga. Milliseid ruumisümmeetria omadusi selles tõestuses kasutatakse?

Kuidas kajastub füüsilise ruumi geomeetria Coulombi seaduses ja Gaussi teoreemis? Milline nende seaduste tunnus näitab geomeetria eukleidilist olemust ja füüsilise ruumi kolmemõõtmelisust?

Elektrostaatika peamine rakenduslik ülesanne on erinevates seadmetes ja seadmetes tekkivate elektriväljade arvutamine. Üldiselt lahendatakse see probleem Coulombi seaduse ja superpositsiooni printsiibi abil. See ülesanne muutub aga väga keeruliseks, kui arvestada suurt hulka punkt- või ruumiliselt jaotunud laenguid. Veelgi suuremad raskused tekivad siis, kui ruumis on dielektrikuid või juhte, kui välisvälja E 0 mõjul toimub mikroskoopiliste laengute ümberjaotumine, luues oma lisavälja E. Seetõttu on nende probleemide praktiliseks lahendamiseks kasutusele võetud abimeetodid ja -võtted. kasutatakse keerulisi matemaatilisi seadmeid. Vaatleme kõige lihtsamat meetodit, mis põhineb Ostrogradsky-Gaussi teoreemi rakendamisel. Selle teoreemi sõnastamiseks tutvustame mitmeid uusi mõisteid:

A) laengu tihedus

Kui laetud keha on suur, siis peate teadma laengute jaotust keha sees.

Mahu laengu tihedus– mõõdetuna laenguga mahuühiku kohta:

Pinnalaengu tihedus– mõõdetuna laenguna keha pinnaühiku kohta (kui laeng jaotub üle pinna):

Lineaarne laengutihedus(laengu jaotus piki juhti):

b) elektrostaatilise induktsiooni vektor

Elektrostaatilise induktsiooni vektor (elektrilise nihke vektor) on elektrivälja iseloomustav vektorsuurus.

Vektor võrdne vektori korrutisega keskkonna absoluutse dielektrilise konstandi kohta antud punktis:

Kontrollime mõõdet D SI ühikutes:

, sest
,

siis mõõtmed D ja E ei lange kokku ning ka nende arvväärtused on erinevad.

Definitsioonist sellest järeldub, et vektorvälja puhul kehtib sama superpositsiooniprintsiip mis välja puhul :

Väli graafiliselt kujutatud induktsioonijoontega, täpselt nagu väli . Induktsioonijooned tõmmatakse nii, et puutuja igas punktis langeb kokku suunaga , ja ridade arv on võrdne D arvväärtusega antud asukohas.

Et mõista sissejuhatuse tähendust Vaatame näidet.

	ε> 1	Süvendi piiril dielektrikuga koonduvad sellega seotud negatiivsed laengud ja Välja väheneb korda  ja tihedus väheneb järsult.
Samal juhul: D = Eεε 0	, siis: read jätkata pidevalt. Jooned alustada tasuta tasudega (kell mis tahes - seotud või vaba) ja dielektrilisel piiril jääb nende tihedus muutumatuks. Seega– induktsiooniliinide järjepidevus hõlbustab oluliselt arvutamist ja teades seost Koos vektori leiate .

V) elektrostaatilise induktsiooni vektori voog

Vaatleme pinda S elektriväljas ja valime normaalse suuna

1. Kui väli on ühtlane, siis pinda S läbivate väljajoonte arv:

2. Kui väli on ebaühtlane, siis jagatakse pind lõpmata väikesteks elementideks dS, mida loetakse tasaseks ja neid ümbritsev väli on ühtlane. Seetõttu on pinnaelementi läbiv voog: dN = D n dS,

ja kogu vool läbi mis tahes pinna on:

(6)

Induktsioonivoog N on skalaarsuurus; sõltuvalt -st võib olla > 0 või< 0, или = 0.

Elektrivälja tugevuse vektori voog. Laske väike platvorm DS(joon. 1.2) lõikuvad elektrivälja jõujooned, mille suund on normaalsega n nurga all sellele saidile a. Eeldusel, et pingevektor E saidi sees ei muutu DS, defineerime pingevektori vool platvormi kaudu DS Kuidas

DFE =E DS cos a.(1.3)

Kuna elektriliinide tihedus on võrdne pinge arvväärtusega E, siis piirkonda läbivate elektriliinide arvDS, on arvuliselt võrdne voolu väärtusegaDFEläbi pinnaDS. Esitagem avaldise (1.3) paremat poolt vektorite skalaarkorrutisena E JaDS= nDS, Kus n– pinna suhtes normaalne ühikvektorDS. Elementaarse ala jaoks d S avaldis (1.3) võtab kuju

dFE = E d S

Kogu saidil S pingevektori voog arvutatakse pinna integraalina

Elektrilise induktsiooni vektori vool. Elektrilise induktsiooni vektori voog määratakse sarnaselt elektrivälja tugevuse vektori vooga

dFD = D d S

Voogude definitsioonides on mõningast ebaselgust, kuna iga pinna jaoks on kaks normaalsed vastupidises suunas. Suletud pinna puhul loetakse välisnormaal positiivseks.

Gaussi teoreem. Mõelgem punkt positiivne elektrilaeng q, mis asub suvalise suletud pinna sees S(joonis 1.3). Induktsioonivektori voog läbi pinnaelemendi d S võrdub
(1.4)

Komponent d S D = d S cos apinnaelement d S induktsioonivektori suunasDpeetakse raadiusega sfäärilise pinna elemendiks r, mille keskel laeng asubq.

Arvestades, et d S D/ r 2 on võrdne elementaarne kehaline nurk dw, mille all kohast, kus laeng asubqpinnaelement d nähtav S, teisendame avaldise (1.4) vormiks d FD = q d w / 4 lk, kust pärast integreerimist üle kogu laengut ümbritseva ruumi, st ruuminurga piires 0 kuni 4lk, saame

FD = q.

Elektrilise induktsioonivektori vool läbi suvalise kujuga suletud pinna on võrdne selle pinna sees oleva laenguga.

Kui suvaline suletud pind S ei kata punktitasu q(joonis 1.4), siis, olles konstrueerinud koonilise pinna, mille tipp on laengu asukohas, jagame pinna S kaheks osaks: S 1 ja S 2. Vooluvektor D läbi pinna S leiame pindu läbivate voogude algebralise summana S 1 ja S 2:

.

Mõlemad pinnad kohast, kus laeng asub q nähtav ühe tahke nurga alt w. Seetõttu on voolud võrdsed

Kuna suletud pinna läbiva voolu arvutamisel kasutame väline normaalne pinnale on lihtne näha, et vool F 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Koguvool Ф D= 0. See tähendab, et elektrilise induktsioonivektori vool läbi suvalise kujuga suletud pinna ei sõltu väljaspool seda pinda paiknevatest laengutest.

Kui elektrivälja tekitab punktlaengute süsteem q 1 , q 2 ,¼ , qn, mis on kaetud suletud pinnaga S, siis vastavalt superpositsiooni põhimõttele määratakse seda pinda läbiv induktsioonivektori voog iga laengu tekitatud voogude summana. Elektrilise induktsioonivektori vool läbi suvalise kujuga suletud pinna on võrdne selle pinnaga kaetud laengute algebralise summaga:

Tuleb märkida, et tasud q i ei pea olema punktitaolised, vajalik tingimus on, et laetud ala peab olema pinnaga täielikult kaetud. Kui suletud pinnaga piiratud ruumis S, elektrilaeng jaotub pidevalt, siis tuleks eeldada, et iga elementaarruumala d V on tasuline. Sel juhul avaldise (1.5) paremal küljel asendatakse laengute algebraline liitmine integreerimisega suletud pinna sees oleva ruumala ulatuses. S:

(1.6)

Avaldis (1.6) on kõige üldisem sõnastus Gaussi teoreem: elektrilise induktsioonivektori vool läbi suvalise kujuga suletud pinna on võrdne kogulaenguga selle pinnaga kaetud ruumalas ega sõltu vaadeldavast pinnast väljaspool asuvatest laengutest. Gaussi teoreemi saab kirjutada ka elektrivälja tugevuse vektori voolu kohta:

.

Elektrivälja oluline omadus tuleneb Gaussi teoreemist: jõujooned algavad või lõpevad ainult elektrilaengutel või lähevad lõpmatuseni. Rõhutame veel kord, et hoolimata sellest, et elektrivälja tugevus E ja elektriline induktsioon D sõltuvad kõigi laengute asukohast ruumis, nende vektorite vood läbi suvalise suletud pinna S määratakse ainult need laengud, mis asuvad pinna sees S.

Gaussi teoreemi diferentsiaalvorm. Pange tähele, et terviklik vorm Gaussi teoreem iseloomustab seost elektrivälja allikate (laengute) ja elektrivälja omaduste (pinge või induktsioon) vahel ruumalas. V meelevaldne, kuid piisav terviklike seoste moodustamiseks, suurusjärk. Helitugevust jagades V väikeste mahtude jaoks V i, saame väljendi

kehtib nii tervikuna kui ka iga termini kohta. Teisendame saadud avaldise järgmiselt:

(1.7)

ja mõelge piirile, milleni võrdsuse paremal küljel olev avaldis, mis on suletud sulgudes, kaldub piiramatult ruumala jagama V. Matemaatikas nimetatakse seda piiri lahknemine vektor (antud juhul elektrilise induktsiooni vektor D):

Vektori lahknevus D Descartes'i koordinaatides:

Seega teisendatakse avaldis (1.7) järgmisele kujule:

.

Arvestades, et piiramatu jagamise korral läheb viimase avaldise vasakul küljel olev summa mahuintegraaliks, saame

Saadud seos peab olema rahuldatud mis tahes meelevaldselt valitud mahu puhul V. See on võimalik ainult siis, kui integrandide väärtused igas ruumipunktis on samad. Seetõttu vektori lahknemine D on võrdsusega seotud laengutihedusega samas punktis

või elektrostaatilise väljatugevuse vektori jaoks

Need võrdsused väljendavad Gaussi teoreemi diferentsiaalne vorm.

Pange tähele, et Gaussi teoreemi diferentsiaalvormile ülemineku protsessis saadakse seos, millel on üldine iseloom:

.

Avaldist nimetatakse Gaussi-Ostrogradsky valemiks ja see ühendab vektori lahknemise mahuintegraali selle vektori vooluga läbi ruumala piirava suletud pinna.

Küsimused

1) Mis on Gaussi teoreemi füüsikaline tähendus elektrostaatilise välja kohta vaakumis

2) Kuubi keskel on punktlaengq. Mis on vektori voog? E:

a) läbi kuubi kogu pinna; b) läbi kuubi ühe tahu.

Kas vastused muutuvad, kui:

a) laeng ei asu kuubi keskel, vaid selle sees ; b) laeng asub väljaspool kuupi.

3) Mis on lineaar-, pind-, mahulaengutihedused.

4) Märkige ruumala ja pinna laengutiheduse vaheline seos.

5) Kas väli, mis asub väljaspool vastupidiselt ja ühtlaselt laetud paralleelseid lõpmatuid tasapindu, võib olla nullist erinev?

6) Elektriline dipool asetatakse suletud pinna sisse. Milline on vool läbi selle pinna

Kõige keerulisem on uurida elektrinähtusi ebaühtlases elektrikeskkonnas. Sellises keskkonnas on ε erinevad väärtused, mis muutuvad järsult dielektrilise piiril. Oletame, et määrame välja väljatugevuse kahe keskkonna vahelisel liidesel: ε 1 =1 (vaakum või õhk) ja ε 2 =3 (vedelik - õli). Liideses vaakumilt dielektrilisusele üleminekul väheneb väljatugevus kolm korda ja tugevusvektori voog väheneb sama palju (joon. 12.25, a). Elektrostaatilise väljatugevuse vektori järsk muutus kahe keskkonna liideses tekitab väljade arvutamisel teatud raskusi. Mis puutub Gaussi teoreemi, siis nendel tingimustel kaotab see üldiselt oma tähenduse.

Kuna erinevate dielektrikute polariseeritavus ja pinge on erinevad, on ka väljajoonte arv igas dielektrikus erinev. Seda raskust saab kõrvaldada välja uue füüsikalise karakteristiku, elektrilise induktsiooni D (või vektori) kasutuselevõtuga elektriline nihe ).

Vastavalt valemile

ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 =konst

Korrutades kõik nende võrrandite osad elektrikonstandiga ε 0 saame

ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 = ε 0 E 0 = pidev

Võtame kasutusele tähise ε 0 εE=D, siis saab eelviimane seos kuju

D 1 = D 2 = D 0 = konst

Vektorit D, mis võrdub dielektriku elektrivälja tugevuse ja selle absoluutse dielektrilise konstandi korrutisega, nimetatakseelektrilise nihke vektor

(12.45)

Elektriline nihkeseade - ripats ruutmeetri kohta(C/m2).

Elektriline nihe on vektorsuurus ja seda saab väljendada ka kujul

D = εε 0 E = (1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

Erinevalt pingest E on elektriline nihe D kõigis dielektrikutes konstantne (joon. 12.25, b). Seetõttu on ebahomogeenses dielektrilises keskkonnas elektrivälja mugav iseloomustada mitte intensiivsuse E, vaid nihkevektori D järgi. Vektor D kirjeldab vabade laengute (st vaakumis) tekitatud elektrostaatilist välja, kuid nende jaotumisega ruumis nagu dielektriku juuresolekul, kuna dielektrikutes tekkivad seotud laengud võivad põhjustada välja tekitavate vabade laengute ümberjaotumise.

Vektorväli on graafiliselt kujutatud elektrilise nihke joontega samamoodi nagu väli kujutatud jõujoontega.

Elektriline nihkeliin - need on sirged, mille puutujad igas punktis ühtivad elektrilise nihkevektoriga.

Vektori E jooned võivad alata ja lõppeda mis tahes laenguga - vaba ja seotud, samas kui vektori joonedD- ainult tasuta. VektorjoonedDErinevalt pingutusjoontest on need pidevad.

Kuna elektrilise nihkevektori vahel ei esine katkestust kahe kandja liideses, tungivad kõik suletud pinnaga ümbritsetud laengutest lähtuvad induktsioonijooned sellesse. Seetõttu säilitab Gaussi teoreem elektrilise nihke vektori puhul täielikult oma tähenduse ebahomogeense dielektrilise keskkonna jaoks.

Gaussi teoreem elektrostaatilise välja kohta dielektrikus : elektrilise nihkevektori vool läbi suvalise suletud pinna on võrdne selle pinna sees olevate laengute algebralise summaga.

(12.47)