Rješenje funkcija s modulima. Transformacije grafova s ​​modulom

Prijepis

1 Regionalna znanstvena i praktična konferencija obrazovnih i istraživačkih radova učenika 6-11 razreda „Primijenjena i temeljna pitanja matematike” Metodološki aspekti proučavanja matematike Konstrukcija grafova funkcija koji sadrže modul Gabova Angela Yuryevna, 10. razred, MOBU „Gimnazija 3 ” Kudymkar, Pikuleva Nadezhda Ivanovna, učiteljica matematike gradske obrazovne ustanove „Gymnasium 3”, Kudymkar Perm, 2016.

2 Sadržaj: Uvod...3 stranice I. Glavni dio...6 stranice 1.1Povijesna pozadina..6 stranica 2.Osnovne definicije i svojstva funkcija stranica 2.1 Kvadratna funkcija..7 stranica 2.2 Linearna funkcija.. .8 str. 2.3 Razlomačko-racionalna funkcija 3. Algoritmi za konstruiranje grafova s ​​modulom 9 str koji sadrži u formuli “ugniježđenih modula”.10 str.. 3.4 Algoritam za konstrukciju grafova funkcija oblika y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b...13 str funkcija s modulom.14 str. 3.6 Algoritam crtanja razlomljene racionalne funkcije s modulom. 15 str. 4. Promjene na grafu kvadratne funkcije ovisno o mjestu predznaka apsolutne vrijednosti..17str. II. Zaključak...26 str. III. Popis literature i izvora...27 str. IV. Dodatak....28str. 2

3 Uvod Konstrukcija grafova funkcija jedna je od najzanimljivijih tema u školskoj matematici. Najveći matematičar našeg vremena, Israel Moiseevich Gelfand, napisao je: “Proces konstruiranja grafikona način je pretvaranja formula i opisa u geometrijske slike. Ovaj grafikon je način da vidite formule i funkcije i vidite kako se te funkcije mijenjaju. Na primjer, ako je napisano y =x 2, tada odmah vidite parabolu; ako je y = x 2-4, vidite parabolu spuštenu za četiri jedinice; ako je y = -(x 2 4), tada vidite prethodnu parabolu okrenutu prema dolje. Ova sposobnost da se odmah vidi formula i njezina geometrijska interpretacija važna je ne samo za proučavanje matematike, već i za druge predmete. To je vještina koja ostaje s vama cijeli život, poput vožnje bicikla, tipkanja ili vožnje automobila.” Osnove rješavanja jednadžbi s modulima stječu se u 6.-7. Odabrao sam ovu temu jer smatram da zahtijeva dublje i temeljitije istraživanje. Želim steći više znanja o modulima brojeva, različitim načinima konstruiranja grafova koji sadrže predznak apsolutne vrijednosti. Kada se znak modula uključi u "standardne" jednadžbe pravaca, parabola i hiperbola, njihovi grafikoni postaju neobični, pa čak i lijepi. Da biste naučili kako graditi takve grafikone, morate svladati tehnike konstruiranja osnovnih figura, kao i čvrsto znati i razumjeti definiciju modula broja. U školskom kolegiju matematike o grafovima uz modul se ne govori dovoljno detaljno, zbog čega sam želio proširiti svoje znanje o ovoj temi i provesti vlastito istraživanje. Bez poznavanja definicije modula nemoguće je konstruirati čak ni najjednostavniji graf koji sadrži apsolutnu vrijednost. Karakteristična značajka grafova funkcija koji sadrže izraze s predznakom modula je 3

4 je prisutnost pregiba u onim točkama u kojima izraz pod znakom modula mijenja predznak. Svrha rada: razmotriti konstrukciju grafa linearne, kvadratne i frakciono racionalne funkcije koja sadrži varijablu pod znakom modula. Ciljevi: 1) Proučiti literaturu o svojstvima apsolutne vrijednosti linearnih, kvadratnih i frakcijskih racionalnih funkcija. 2) Istražite promjene u grafovima funkcija ovisno o položaju predznaka apsolutne vrijednosti. 3) Naučite grafički crtati jednadžbe. Predmet proučavanja: grafovi linearnih, kvadratnih i frakciono racionalnih funkcija. Predmet istraživanja: promjene u grafu linearne, kvadratne i razlomačko racionalne funkcije ovisno o položaju predznaka apsolutne vrijednosti. Praktični značaj mog rada je u: 1) korištenju stečenog znanja o ovoj temi, kao i produbljivanju i primjeni na druge funkcije i jednadžbe; 2) u korištenju istraživačkih vještina u daljnjim obrazovnim aktivnostima. Relevantnost: Grafički zadaci tradicionalno su jedna od najtežih tema u matematici. Naši maturanti suočeni su s problemom uspješnog polaganja državnog ispita i Jedinstvenog državnog ispita. Problem istraživanja: konstruirati grafove funkcija s predznakom modula iz drugog dijela GIA. Hipoteza istraživanja: korištenje metodologije za rješavanje zadataka u drugom dijelu GIA, razvijene na temelju općih metoda za konstruiranje grafova funkcija s predznakom modula, omogućit će studentima rješavanje ovih zadataka 4

5 svjesno birati najracionalniji način rješavanja, primjenjivati ​​različite načine rješavanja i uspješnije položiti Državni ispit. Metode istraživanja korištene u radu: 1. Analiza matematičke literature i internetskih izvora na ovu temu. 2. Reproduktivno umnožavanje proučavanog materijala. 3. Kognitivne i tragačke aktivnosti. 4.Analiza i usporedba podataka u potrazi za rješenjima problema. 5. Postavljanje hipoteza i njihova provjera. 6. Usporedba i generalizacija matematičkih činjenica. 7. Analiza dobivenih rezultata. Prilikom izrade ovog rada korišteni su sljedeći izvori: internetski izvori, OGE testovi, matematička literatura. 5

6 I. Glavni dio 1.1 Povijesna pozadina. U prvoj polovici 17. stoljeća počela se javljati ideja o funkciji kao ovisnosti jedne varijable o drugoj. Tako su francuski matematičari Pierre Fermat () i Rene Descartes () zamislili funkciju kao ovisnost ordinate točke na krivulji o njezinoj apscisi. A engleski znanstvenik Isaac Newton () shvatio je funkciju kao koordinatu pokretne točke koja se mijenja ovisno o vremenu. Pojam “funkcija” (od latinske riječi function izvršenje, ostvarenje) prvi je uveo njemački matematičar Gottfried Leibniz(). Funkciju je povezao s geometrijskom slikom (grafom funkcije). Nakon toga su švicarski matematičar Johann Bernoulli() i član Sanktpeterburške akademije znanosti, slavni matematičar iz 18. stoljeća Leonard Euler(), razmatrali funkciju kao analitički izraz. Euler također ima općenito razumijevanje funkcije kao ovisnosti jedne varijable o drugoj. Riječ “modul” dolazi od latinske riječi “modulus”, što znači “mjera”. Ovo je višeznačna riječ (homonim), koja ima mnogo značenja i koristi se ne samo u matematici, već iu arhitekturi, fizici, tehnologiji, programiranju i drugim egzaktnim znanostima. U arhitekturi, ovo je početna mjerna jedinica uspostavljena za danu arhitektonsku strukturu i koristi se za izražavanje višestrukih omjera njezinih sastavnih elemenata. U tehnici je to pojam koji se koristi u raznim područjima tehnike, a nema univerzalno značenje i služi za označavanje raznih koeficijenata i veličina, npr. modula zahvata, modula elastičnosti itd. 6

7 Modul volumena (u fizici) je omjer normalnog naprezanja u materijalu i relativnog istezanja. 2. Osnovne definicije i svojstva funkcija Funkcija je jedan od najvažnijih matematičkih pojmova. Funkcija je ovisnost varijable y o varijabli x tako da svaka vrijednost varijable x odgovara jednoj vrijednosti varijable y. Metode zadavanja funkcije: 1) analitička metoda (funkcija se zadaje matematičkom formulom); 2) tabularna metoda (funkcija se zadaje pomoću tablice); 3) deskriptivna metoda (funkcija se specificira verbalnim opisom); 4) grafička metoda (funkcija se zadaje pomoću grafa). Graf funkcije je skup svih točaka koordinatne ravnine, čije su apscise jednake vrijednosti argumenta, a ordinate jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije. 2.1 Kvadratna funkcija Funkcija definirana formulom y = ax 2 + in + c, gdje su x i y varijable, a parametri a, b i c bilo koji realni brojevi, a = 0, naziva se kvadratnom. Graf funkcije y=ax 2 +in+c je parabola; os simetrije parabole y=ax 2 +in+c je ravna linija, za a>0 "grane" parabole su usmjerene prema gore, za a<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7

8 (za funkcije jedne varijable). Glavno svojstvo linearnih funkcija: prirast funkcije proporcionalan je prirastu argumenta. To jest, funkcija je generalizacija izravne proporcionalnosti. Graf linearne funkcije je prava linija, otkud joj i naziv. Ovo se odnosi na realnu funkciju jedne realne varijable. 1) Kada ravna crta s pozitivnim smjerom osi apscise tvori oštar kut. 2) Kada ravna crta tvori tupi kut s pozitivnim smjerom x-osi. 3) je indikator ordinate točke presjeka pravca s osi ordinata. 4) Kada pravac prolazi kroz ishodište. , 2.3 Razlomačko-racionalna funkcija je razlomak čiji su brojnik i nazivnik polinomi. Ima oblik gdje, polinomi u bilo kojem broju varijabli. Poseban slučaj su racionalne funkcije jedne varijable:, gdje su i polinomi. 1) Svaki izraz koji se može dobiti iz varijabli pomoću četiri aritmetičke operacije je racionalna funkcija. 8

9 2) Skup racionalnih funkcija zatvoren je prema aritmetičkim operacijama i operaciji kompozicije. 3) Bilo koja racionalna funkcija može se prikazati kao zbroj jednostavnih razlomaka - to se koristi u analitičkoj integraciji.. , 3. Algoritmi za konstruiranje grafova s ​​modulom 3.1 Definicija modula Modul realnog broja a je sam broj a, ako on je nenegativan, a broj nasuprot a, ako je a negativan. a = 3.2 Algoritam za konstruiranje grafa linearne funkcije s modulom Za konstruiranje grafova funkcija y = x morate znati da za pozitivno x imamo x = x. To znači da se za pozitivne vrijednosti argumenta graf y= x poklapa s grafom y=x, odnosno ovaj dio grafa je zraka koja izlazi iz ishodišta pod kutom od 45 stupnjeva u odnosu na os apscise. . Na x< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9

10 Za konstrukciju uzimamo točke (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2). Sada izgradimo graf y= x-1 Ako je A točka na grafu y= x s koordinatama (a; a), tada će točka na grafu y= x-1 s istom vrijednošću Y ordinate. biti točka A1(a+1; a). Ova točka drugog grafa može se dobiti iz točke A(a; a) prvog grafa pomicanjem paralelno s Ox osi udesno. To znači da se cijeli graf funkcije y= x-1 dobiva iz grafa funkcije y= x pomicanjem paralelno s osi Ox udesno za 1. Konstruirajmo grafove: y= x-1 Za konstruiranje , uzmite bodove (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1). 3.3 Konstruiranje grafova funkcija koje sadrže "ugniježđene module" u formuli. Razmotrimo algoritam konstrukcije na konkretnom primjeru. Konstruirajte graf funkcije: 10

11 y=i-2-ix+5ii 1. Izgradite graf funkcije. 2. Graf donje poluravnine prikažemo prema gore simetrično u odnosu na os OX i dobijemo graf funkcije. jedanaest

12 3. Graf funkcije prikažemo prema dolje simetrično u odnosu na os OX i dobijemo graf funkcije. 4. Graf funkcije prikažemo prema dolje simetrično u odnosu na os OX i dobijemo graf funkcije 5. Prikažemo graf funkcije u odnosu na os OX i dobijemo graf. 12

13 6. Kao rezultat toga, graf funkcije izgleda ovako 3.4. Algoritam za konstruiranje grafova funkcija oblika y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b. U prethodnom primjeru bilo je prilično lako otkriti predznake modula. Ako ima više zbrojeva modula, onda je problematično razmotriti sve moguće kombinacije predznaka submodularnih izraza. Kako u tom slučaju konstruirati graf funkcije? Imajte na umu da je graf isprekidana linija, s vrhovima u točkama koje imaju apscise -1 i 2. Pri x = -1 i x = 2, submodularni izrazi su jednaki nuli. U praksi smo se približili pravilu za konstruiranje takvih grafova: Graf funkcije oblika y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b je isprekidana linija s beskonačnim krajnjim vezama. Za konstrukciju takve izlomljene linije dovoljno je poznavati sve njene vrhove (apscise vrhova su nulte točke submodularnih izraza) i po jednu kontrolnu točku na lijevoj i desnoj beskonačnoj karici. 13

14 Problem. Grafički nacrtajte funkciju y = x + x 1 + x + 1 i pronađite njezinu najmanju vrijednost. Rješenje: 1. Nule submodularnih izraza: 0; -1; Vrhovi polilinije (0; 2); (-13); (1; 3 (zamjenjujemo nule submodularnih izraza u jednadžbu) 3 Kontrolna točka desno (2; 6), lijevo (-2; 6). Gradimo graf (slika 7), najmanja vrijednost funkcije je Algoritam za izradu grafa kvadratne funkcije s modulom Izrada algoritama za pretvorbu grafova funkcija. 1. Crtanje grafa funkcije y= f(x). Prema definiciji modula, ova funkcija je podijeljena u skup od dvije funkcije. Prema tome, graf funkcije y= f(x) sastoji se od dva grafa: y= f(x) u desnoj poluravnini, y= f(-x) u lijevoj poluravnini. Na temelju toga može se formulirati pravilo (algoritam). Graf funkcije y= f(x) dobiva se iz grafa funkcije y= f(x) na sljedeći način: pri x 0 graf se čuva, a pri x< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14

15 3. Da biste izgradili graf funkcije y= f(x), prvo morate izgraditi graf funkcije y= f(x) za x> 0, zatim za x< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15

16 Da biste dobili ovaj graf, potrebno je samo prethodno dobiveni graf pomaknuti tri jedinice udesno. Imajte na umu da kad bi nazivnik razlomka sadržavao izraz x + 3, tada bismo graf pomaknuli ulijevo: Sada trebamo pomnožiti sve ordinate s dva da bismo dobili graf funkcije dvije jedinice: Posljednje što moramo učiniti je konstruirati graf zadane funkcije ako je ona zatvorena ispod znaka modula. Da bismo to učinili, reflektiramo simetrično prema gore cijeli dio grafa čije su ordinate negativne (onaj dio koji se nalazi ispod x-osi): Slika 4 16

17 4.Promjene u grafu kvadratne funkcije ovisno o položaju predznaka apsolutne vrijednosti. Konstruirajte graf funkcije y = x 2 - x -3 1) Kako je x = x u točki x 0, traženi graf se poklapa s parabolom y = 0,25 x 2 - x - 3. Ako je x<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. b) Stoga dovršavam konstrukciju za x<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17

18 sl. 4 Graf funkcije y = f (x) podudara se s grafom funkcije y = f (x) na skupu nenegativnih vrijednosti argumenta i simetričan mu je u odnosu na os OU na skupu negativnih vrijednosti argumenta. Dokaz: Ako je x 0, onda je f (x) = f (x), tj. na skupu nenegativnih vrijednosti argumenta, grafovi funkcija y = f (x) i y = f (x) se podudaraju. Budući da je y = f (x) parna funkcija, njezin je grafikon simetričan u odnosu na op-amp. Dakle, graf funkcije y = f (x) može se dobiti iz grafa funkcije y = f (x) na sljedeći način: 1. konstruirati graf funkcije y = f (x) za x>0; 2. Za x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. Za x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х

19 Ako je x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 i simetrično reflektirani dio y = f(x) na y<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, tada je f (x) = f (x), što znači da se u ovom dijelu graf funkcije y = f (x) poklapa s grafom same funkcije y = f (x). Ako je f(x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19

20 Slika 5. Zaključak: Za izradu grafa funkcije y= f(x) 1. Izgradite graf funkcije y=f(x) ; 2. U područjima gdje se graf nalazi u donjoj poluravnini, tj. gdje je f(x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20

21 Istraživački rad na konstruiranju grafova funkcije y = f (x) Koristeći definiciju apsolutne vrijednosti i prethodno obrađene primjere, konstruirat ćemo grafove funkcije: y = 2 x - 3 y = x 2-5 x y = x 2 -2 i izvući zaključke. Da biste izgradili graf funkcije y = f (x) potrebno je: 1. Izgraditi graf funkcije y = f (x) za x>0. 2. Konstruirajte drugi dio grafa, tj. reflektirajte konstruirani graf simetrično u odnosu na op-amp, jer Ova funkcija je parna. 3. Pretvorite dijelove dobivenog grafa smještene u donjoj poluravnini u gornju poluravninu simetrično na os OX. Konstruirajte graf funkcije y = 2 x - 3 (1. metoda za određivanje modula) 1. Konstruirajte y = 2 x - 3, za 2 x - 3 > 0, x >1,5 t.j. x< -1,5 и х>1.5 a) y = 2x - 3, za x>0 b) za x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 b) za x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) Gradimo ravnu liniju, simetričnu onoj konstruiranoj u odnosu na os op-amp. 3) Prikazujem dijelove grafa koji se nalaze u donjoj poluravnini simetrično u odnosu na os OX. Uspoređujući oba grafikona vidimo da su isti. 21

22 Primjeri zadataka Primjer 1. Promotrimo graf funkcije y = x 2 6x +5. Budući da je x na kvadrat, bez obzira na predznak broja x, nakon kvadriranja bit će pozitivan. Iz toga slijedi da će graf funkcije y = x 2-6x +5 biti identičan grafu funkcije y = x 2-6x +5, tj. graf funkcije koji ne sadrži predznak apsolutne vrijednosti (slika 2). Sl.2 Primjer 2. Razmotrimo graf funkcije y = x 2 6 x +5. Koristeći definiciju modula broja, zamjenjujemo formulu y = x 2 6 x +5 Sada se bavimo nama poznatim dodjeljivanjem ovisnosti po komadima. Izgradit ćemo graf ovako: 1) izgraditi parabolu y = x 2-6x +5 i zaokružiti dio koji je 22

23 odgovara nenegativnim vrijednostima x, tj. dio koji se nalazi desno od osi Oy. 2) u istoj koordinatnoj ravnini konstruirajte parabolu y = x 2 +6x +5 i zaokružite dio koji odgovara negativnim vrijednostima x, tj. dio koji se nalazi lijevo od osi Oy. Zaokruženi dijelovi parabola zajedno čine graf funkcije y = x 2-6 x +5 (slika 3). Sl.3 Primjer 3. Razmotrimo graf funkcije y = x 2-6 x +5. Jer graf jednadžbe y = x 2 6x +5 jednak je grafu funkcije bez predznaka modula (o kojemu je riječ u primjeru 2), slijedi da je graf funkcije y = x 2 6 x +5 identičan na graf funkcije y = x 2 6 x +5 , razmatran u primjeru 2 (slika 3). Primjer 4. Izgradimo graf funkcije y = x 2 6x +5. Da bismo to učinili, izgradimo graf funkcije y = x 2-6x. Da biste iz nje dobili graf funkcije y = x 2-6x, potrebno je svaku točku parabole s negativnom ordinatom zamijeniti točkom s istom apscisom, ali sa suprotnom (pozitivnom) ordinatom. Drugim riječima, dio parabole koji se nalazi ispod x-osi mora se zamijeniti linijom simetričnom na x-osu. Jer trebamo izgraditi graf funkcije y = x 2-6x +5, tada graf funkcije koju smo razmatrali y = x 2-6x samo treba podići duž y-osi za 5 jedinica prema gore (Sl. 4 ). 23

24 Sl.4 Primjer 5. Nacrtajmo funkciju y = x 2-6x+5. Da bismo to učinili, koristit ćemo dobro poznatu funkciju po komadu. Nađimo nulte točke funkcije y = 6x +5 6x + 5 = 0 at. Razmotrimo dva slučaja: 1) Ako, tada će jednadžba poprimiti oblik y = x 2 6x -5. Konstruirajmo ovu parabolu i zaokružimo dio gdje. 2) Ako, tada jednadžba ima oblik y = x 2 + 6x +5. Postavimo tu parabolu i zaokružimo onaj njezin dio koji se nalazi lijevo od točke s koordinatama (sl. 5). 24

25 sl.5 Primjer6. Izgradimo graf funkcije y = x 2 6 x +5. Da bismo to učinili, izgradit ćemo graf funkcije y = x 2-6 x +5. Ovaj graf smo izgradili u primjeru 3. Budući da je naša funkcija potpuno pod znakom modula, da bismo izgradili graf funkcije y = x 2 6 x +5, trebamo svaku točku grafa funkcije y = x 2 6 x + 5 s negativnom ordinatom treba zamijeniti točkom s istom apscisom, ali sa suprotnom (pozitivnom) ordinatom, tj. dio parabole koji se nalazi ispod osi Ox mora se zamijeniti linijom simetričnom na nju u odnosu na os Ox (slika 6). Sl.6 25

26 II.Zaključak “Matematičke informacije mogu se vješto i korisno koristiti samo ako se njima kreativno vladaju, tako da učenik sam vidi kako bi do njih mogao sam doći.” A.N. Kolmogorov. Ovi problemi su od velikog interesa za učenike devetog razreda, jer su vrlo česti u OGE testovima. Sposobnost konstruiranja podatkovnih grafova funkcija omogućit će vam uspješnije polaganje ispita. Francuski matematičari Pierre Fermat () i Rene Descartes () zamislili su funkciju kao ovisnost ordinate točke na krivulji o njezinoj apscisi. A engleski znanstvenik Isaac Newton () shvatio je funkciju kao koordinatu pokretne točke koja se mijenja ovisno o vremenu. 26

27 III.Popis literature i izvora 1. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Zbirka zadataka iz algebre za 8.-9. razred: Udžbenik. priručnik za učenike šk. i napredne razrede studirao Matematika 2. izd. M.: Prosvjetljenje, Dorofeev G.V. Algebra. Funkcije. Analiza podataka. 9. razred: m34 Obrazovni. za općeobrazovne studije. uspostavljanje 2. izd. stereotip. M.: Bustard, Solomonik V.S. Zbirka pitanja i problema iz matematike M.: “Viša škola”, Yashchenko I.V. GIA. Matematika: standardne ispitne opcije: O opcijama.m.: “Narodno obrazovanje”, str. 5. Jaščenko I.V. OGE. Matematika: standardne ispitne opcije: O opcijama.m.: “Narodno obrazovanje”, str. 6. Yashchenko I.V. OGE. Matematika: standardne opcije ispita: O opcijama.m.: “Narodno obrazovanje”, sa

28 Dodatak 28

29 Primjer 1. Grafički nacrtajte funkciju y = x 2 8 x Rješenje. Odredimo parnost funkcije. Vrijednost za y(-x) je ista kao vrijednost za y(x), tako da je ova funkcija parna. Tada je njegov graf simetričan u odnosu na os Oy. Nacrtamo funkciju y = x 2 8x + 12 za x 0 i simetrično prikažemo graf u odnosu na Oy za negativni x (slika 1). Primjer 2. Sljedeći graf oblika y = x 2 8x To znači da se graf funkcije dobiva na sljedeći način: izgraditi graf funkcije y = x 2 8x + 12, ostaviti dio grafa koji se nalazi iznad os Ox nepromijenjena, te dio grafa koji leži ispod osi apscise i simetrično je prikazan u odnosu na os Ox (slika 2). Primjer 3. Da bi se nacrtao graf funkcije y = x 2 8 x + 12, provodi se kombinacija transformacija: y = x 2 8x + 12 y = x 2 8 x + 12 y = x 2 8 x Odgovor: Slika 3. Primjer 4. Izraz pod predznakom modula, mijenja predznak u točki x=2/3. Na x<2/3 функция запишется так: 29

30 Za x>2/3 funkcija će biti zapisana ovako: To jest, točka x=2/3 dijeli našu koordinatnu ravninu na dva područja, u jednom od kojih (desno) gradimo funkciju, au drugom (lijevo) gradimo graf funkcije: Primjer 5 Dalje Graf je također izlomljen, ali ima dvije lomne točke, budući da sadrži dva izraza pod predznacima modula: Pogledajmo u kojim točkama submodularni izrazi mijenjaju predznak: Hajde rasporedite znakove za submodularne izraze na koordinatnoj liniji: 30

31 Proširujemo module na prvom intervalu: Na drugom intervalu: Na trećem intervalu: Dakle, na intervalu (- ; 1.5] imamo graf napisan prvom jednadžbom, na intervalu graf napisan drugom jednadžbom , i na intervalu)