Lekcija matematike. Tema: "Funkcija y=sin x, njena svojstva i graf"

U ovoj lekciji ćemo detaljno pogledati funkciju y = sin x, njena osnovna svojstva i graf. Na početku lekcije dat ćemo definiciju trigonometrijske funkcije y = sin t na koordinatnoj kružnici te razmotriti graf funkcije na kružnici i pravcu. Pokažimo periodičnost ove funkcije na grafu i razmotrimo glavna svojstva funkcije. Na kraju lekcije riješit ćemo nekoliko jednostavnih zadataka pomoću grafa funkcije i njezinih svojstava.

Tema: Trigonometrijske funkcije

Lekcija: Funkcija y=sinx, njena osnovna svojstva i graf

Kada razmatramo funkciju, važno je svaku vrijednost argumenta povezati s jednom vrijednošću funkcije. Ovaj zakon dopisivanja a naziva se funkcija.

Definirajmo zakon korespondencije za .

Svaki realni broj odgovara jednoj točki na jediničnoj kružnici koja se naziva sinus broja (slika 1).

Svaka vrijednost argumenta povezana je s jednom vrijednošću funkcije.

Očita svojstva slijede iz definicije sinusa.

Slika to pokazuje jer je ordinata točke na jediničnoj kružnici.

Razmotrite graf funkcije. Prisjetimo se geometrijske interpretacije argumenta. Argument je središnji kut, mjeren u radijanima. Uzduž osi nacrtat ćemo realne brojeve ili kutove u radijanima, uzduž osi odgovarajuće vrijednosti funkcije.

Na primjer, kut na jediničnoj kružnici odgovara točki na grafikonu (slika 2)

Dobili smo graf funkcije u području, ali znajući period sinusa, možemo prikazati graf funkcije u cijeloj domeni definicije (slika 3).

Glavni period funkcije je To znači da se graf može dobiti na segmentu i zatim nastaviti kroz cijelu domenu definicije.

Razmotrite svojstva funkcije:

1) Opseg definicije:

2) Raspon vrijednosti:

3) Neparna funkcija:

4) Najmanje pozitivno razdoblje:

5) Koordinate točaka presjeka grafa s osi apscisa:

6) Koordinate točke presjeka grafa s osi ordinata:

7) Intervali u kojima funkcija poprima pozitivne vrijednosti:

8) Intervali u kojima funkcija poprima negativne vrijednosti:

9) Povećanje intervala:

10) Smanjenje intervala:

11) Minimalni broj bodova:

12) Minimalne funkcije:

13) Maksimalni broj bodova:

14) Maksimalne funkcije:

Pogledali smo svojstva funkcije i njezin graf. Svojstva će se više puta koristiti pri rješavanju problema.

Bibliografija

1. Algebra i početak analize, 10. razred (u dva dijela). Udžbenik za općeobrazovne ustanove (profilna razina), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra i početak analize, 10. razred (u dva dijela). Knjiga problema za obrazovne ustanove (razina profila), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i matematička analiza za 10. razred (udžbenik za učenike škola i razreda s produbljenim proučavanjem matematike).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Detaljno proučavanje algebre i matematičke analize.-M .: Obrazovanje, 1997.

5. Zbirka problema iz matematike za kandidate za visokoškolske ustanove (uredio M.I. Skanavi - M.: Viša škola, 1992.).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebarski simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemi o algebri i principima analize (priručnik za učenike 10-11 razreda općeobrazovnih ustanova - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Zbirka zadataka iz algebre i načela analize: udžbenik. dodatak za 10-11 razred. s dubinom studirao Matematika.-M.: Obrazovanje, 2006.

Domaća zadaća

Algebra i početak analize, 10. razred (u dva dijela). Knjiga problema za obrazovne ustanove (razina profila), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Dodatni web resursi

3. Edukativni portal za pripremu ispita ().

Saznali smo da ponašanje trigonometrijskih funkcija i funkcija y = sin x posebno, na cijeloj brojevnoj liniji (ili za sve vrijednosti argumenta x) potpuno je određen svojim ponašanjem u intervalu 0 < x < π / 2 .

Stoga ćemo prije svega nacrtati funkciju y = sin x upravo u ovom intervalu.

Napravimo sljedeću tablicu vrijednosti naše funkcije;

Označavanjem odgovarajućih točaka na koordinatnoj ravnini i njihovim spajanjem glatkom linijom dobivamo krivulju prikazanu na slici

Rezultirajuća krivulja također se može konstruirati geometrijski, bez sastavljanja tablice vrijednosti funkcije y = sin x .

1. Prvu četvrtinu kružnice polumjera 1 podijelimo na 8 jednakih dijelova.

2. Prva četvrtina kruga odgovara kutovima od 0 do π / 2 . Prema tome, na os x Uzmimo segment i podijelimo ga na 8 jednakih dijelova.

3. Nacrtajmo ravne linije paralelne s osi x, a od diobenih točaka konstruiramo okomice dok se ne sijeku s vodoravnim crtama.

4. Spojite točke raskrižja glatkom linijom.

Sada pogledajmo interval π / 2 < x < π .
Svaka vrijednost argumenta x iz ovog intervala može se prikazati kao

x = π / 2 + φ

Gdje 0 < φ < π / 2 . Prema redukcijskim formulama

grijeh( π / 2 + φ ) = cos φ = grijeh( π / 2 - φ ).

Točke osi x s apscisama π / 2 + φ I π / 2 - φ međusobno simetrične u odnosu na točku osi x s apscisom π / 2 , a sinusi u tim točkama su isti. To nam omogućuje da dobijemo graf funkcije y = sin x u intervalu [ π / 2 , π ] jednostavnim simetričnim prikazom grafa ove funkcije u intervalu u odnosu na ravnu liniju x = π / 2 .

Sada koristi nekretninu funkcija neparnog pariteta y = sin x,

grijeh(- x) = - grijeh x,

lako je nacrtati ovu funkciju u intervalu [- π , 0].

Funkcija y = sin x je periodična s periodom 2π ;. Stoga je za konstruiranje cijelog grafa ove funkcije dovoljno periodički nastaviti krivulju prikazanu na slici lijevo i desno s periodom 2π .

Dobivena krivulja naziva se sinusoida . Predstavlja graf funkcije y = sin x.

Slika dobro ilustrira sva svojstva funkcije y = sin x , što smo prethodno dokazali. Prisjetimo se ovih svojstava.

1) Funkcija y = sin x definiran za sve vrijednosti x , pa je njegova domena skup svih realnih brojeva.

2) Funkcija y = sin x ograničeno. Sve vrijednosti koje prihvaća su između -1 i 1, uključujući ova dva broja. Prema tome, raspon varijacije ove funkcije određen je nejednakošću -1 < na < 1. Kada x = π / 2 + 2k π funkcija uzima najveće vrijednosti jednake 1, a za x = - π / 2 + 2k π - najmanje vrijednosti jednake - 1.

3) Funkcija y = sin x je neparan (sinusni val je simetričan oko ishodišta).

4) Funkcija y = sin x periodički s periodom 2 π .

5) U intervalima 2n π < x < π + 2n π (n je bilo koji cijeli broj) pozitivan je iu intervalima π + 2k π < x < 2π + 2k π (k je bilo koji cijeli broj) negativan je. Na x = k π funkcija ide na nulu. Dakle, ove vrijednosti argumenta x (0; ± π ; ±2 π ; ...) nazivaju se funkcijskim nulama y = sin x

6) U intervalima - π / 2 + 2n π < x < π / 2 + 2n π funkcija y = grijeh x raste monotono iu intervalima π / 2 + 2k π < x < 3π / 2 + 2k π monotono se smanjuje.

Trebali biste obratiti posebnu pozornost na ponašanje funkcije y = sin x blizu točke x = 0 .

Na primjer, sin 0,012 ≈ 0,012; sin(-0,05) ≈ -0,05;

sin 2° = sin π 2 / 180 = grijeh π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Međutim, treba napomenuti da za bilo koju vrijednost x

| grijeh x| < | x | . (1)

Doista, neka polumjer kruga prikazanog na slici bude jednak 1,
a / AOB = x.

Onda grijeh x= AC. Ali AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол x. Duljina ovog luka je očito jednaka x, budući da je polumjer kruga 1. Dakle, na 0< x < π / 2

grijeh x< х.

Dakle, zbog neparnosti funkcije y = sin x lako je pokazati da kada - π / 2 < x < 0

| grijeh x| < | x | .

Konačno, kada x = 0

| grijeh x | = | x |.

Dakle, za | x | < π / 2 nejednakost (1) je dokazana. Zapravo, ova nejednakost vrijedi i za | x | > π / 2 zbog činjenice da | grijeh x | < 1, a π / 2 > 1

Vježbe

1.Prema grafu funkcije y = sin x odredi: a) grijeh 2; b) grijeh 4; c) grijeh (-3).

2.Prema grafu funkcije y = sin x odrediti koji broj iz intervala
[ - π / 2 , π / 2 ] ima sinus jednak: a) 0,6; b) -0,8.

3. Prema grafu funkcije y = sin x odrediti koji brojevi imaju sinus,
jednako 1/2.

4. Odredi približno (bez tablica): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) sin (-2°30").

X y O Jedinična trigonometrijska kružnica

3 =180 3.14 rad R R O R M R Razmotrimo kružnicu radijusa R. Konstruirajte MOP: MR = R 1 radijan Vrijednost MOR je jednaka 1 radijanu MR =1rad MOR 57 17= 1rad Radijanska mjera kuta

4 Opseg kruga izražava se formulom C=2 R, gdje je R polumjer kruga. 3, Kružnica čiji je radijus jednak 1 zove se... Točke M, P, K, N - nazovimo ih čvorne točke. Označimo točke A, B, C. Pogodno je mjeriti duljinu jedinične kružnice u radijanima. Ako je R=1, onda je C=2 rad! Naziv radijani obično se izostavlja. y x K R S V A Duljina luka polukružnice jednaka je rad. M N rad – četvrtina opsega rad – tri četvrtine opsega Oko 1 jedinice Radijanska mjera kuta uk-badge uk-margin-small-right"> 5 Mjera stupnja Radijanska mjera0 Dakle, vrijednost kuta rotacije točke, kao i veličina luka jedinične kružnice, može se odrediti: I četvrtina II četvrtina III četvrtina IV četvrtina O u stupnjskoj mjeri u radijanskoj mjeri Radijanska mjera kuta 0 2 I četvrtina II četvrtina III četvrtina IV četvrtina O 2

6 „Odmotajte“ kružnicu poput niti na koordinatnu zraku s početkom u točki 0. Uspostavimo podudarnost između skupa realnih brojeva na brojevnom pravcu i točaka jedinične kružnice. Ovo "odmotavanje" može se nastaviti unedogled. 3.14 0 Crtanje grafa x y=sin x

13 Transformacija grafova Funkcija Transformacija 1 y= f (x) + mParalelni prijenos po osi OY za m jedinica 2 y= f (x – n) Paralelni prijenos po osi OX za n jedinica 3 y=A f (x) Istezanje duž osi OY u odnosu na os OX za A puta 4 y= f (k x) Kompresija duž osi OX u odnosu na os OY za k puta 5 y= – f (x) Simetrična refleksija u odnosu na os OX 6 y= f (– x) Simetrična refleksija u odnosu na os OY y =f(x)

20 Izgradimo graf funkcije y= 3 sin(2x+ /3)–2 Faze konstrukcije: 1. y= sin x – sinusoida 3. y= sin(2x+ /3) – pomakni /3 jedinice ulijevo 4. y= 3 sin( 2x+ /3) – istezanje 3 puta duž Oy osi 2. y= sin 2x – sabijanje 2 puta duž Ox osi 5. y= 3 sin(2x+ /3)–2 – prijenos za 2 jedinice dolje

26 Transformacija grafova Funkcija Transformacija 1 y=sin(kx) Kompresija duž osi OX u odnosu na os OY k puta 2 y=sin(x–m) Paralelni transport duž osi OX za m jedinica 3 y=A sin x Rastezanje duž osi OY relativna os OX u A puta 4 y=sin x+nParalelna translacija duž osi OY za n jedinica 5 y= – sin x Simetrična refleksija u odnosu na os OX 6 y= sin (–x) Simetrična refleksija u odnosu na os OY y = Asin(kx–n )+m
28 1. Funkcija y=sin x postoji za sve realne vrijednosti x, a njen graf je puna linija (bez prijeloma), tj. funkcija je kontinuirana. 2. Funkcija y=sin x je neparna, njen graf je simetričan oko ishodišta 3. Najveća i najmanja vrijednost. Sve moguće vrijednosti funkcije sinx ograničene su nejednakošću -1 sinx 1, i 4. Nule funkcije (točke presjeka grafa funkcije s osi apscisa): sinx=0, ako je x= n. (n Z) Neka svojstva funkcije y=sinx sin x= – 1, ako je sin x=1, ako

Lekcija i prezentacija na temu: "Funkcija y=sin(x). Definicije i svojstva"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u internetskoj trgovini Integral za razred 10 od 1C
Rješavamo zadatke iz geometrije. Interaktivni konstrukcijski zadaci za razrede 7-10
Softversko okruženje "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Što ćemo proučavati:

• Svojstva funkcije Y=sin(X).
• Grafikon funkcije.
• Kako izgraditi graf i njegovu skalu.
• Primjeri.

Svojstva sinusa. Y=sin(X)

Dečki, već smo se upoznali s trigonometrijskim funkcijama numeričkog argumenta. Sjećate li ih se?

Pogledajmo pobliže funkciju Y=sin(X)

Zapišimo neka svojstva ove funkcije:
1) Područje definicije je skup realnih brojeva.
2) Funkcija je neparna. Prisjetimo se definicije neparne funkcije. Funkcija se naziva neparnom ako vrijedi jednakost: y(-x)=-y(x). Kao što se sjećamo iz formula duhova: sin(-x)=-sin(x). Definicija je ispunjena, što znači da je Y=sin(X) neparna funkcija.
3) Funkcija Y=sin(X) raste na segmentu, a pada na segmentu [π/2; π]. Kada se krećemo duž prve četvrtine (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu), ordinata se povećava, a kada se krećemo kroz drugu četvrtinu, smanjuje se.

4) Funkcija Y=sin(X) ograničena je odozdo i odozgo. Ovo svojstvo proizlazi iz činjenice da
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Najmanja vrijednost funkcije je -1 (pri x = - π/2+ πk). Najveća vrijednost funkcije je 1 (pri x = π/2+ πk).

Iskoristimo svojstva 1-5 za iscrtavanje funkcije Y=sin(X). Gradit ćemo naš graf uzastopno, primjenjujući naša svojstva. Počnimo graditi graf na segmentu.

Posebnu pozornost treba obratiti na ljestvicu. Na osi ordinata prikladnije je uzeti jedinični segment jednak 2 ćelije, a na osi apscise prikladnije je uzeti jedinični segment (dvije ćelije) jednak π/3 (vidi sliku).

Crtanje funkcije sinusa x, y=sin(x)

Izračunajmo vrijednosti funkcije na našem segmentu:

Izgradimo graf pomoću naših točaka, uzimajući u obzir treće svojstvo.

Tablica pretvorbe za ghost formule

Upotrijebimo drugo svojstvo, koje kaže da je naša funkcija neparna, što znači da se može reflektirati simetrično u odnosu na ishodište:

Znamo da je sin(x+ 2π) = sin(x). To znači da na intervalu [- π; π] graf izgleda isto kao na segmentu [π; 3π] ili ili [-3π; - π] i tako dalje. Sve što trebamo učiniti je pažljivo ponovno nacrtati graf na prethodnoj slici duž cijele x-osi.

Graf funkcije Y=sin(X) naziva se sinusoida.

Napišimo još nekoliko svojstava prema konstruiranom grafu:
6) Funkcija Y=sin(X) raste na bilo kojem segmentu oblika: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k je cijeli broj i opada na bilo kojem segmentu oblika: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – cijeli broj.
7) Funkcija Y=sin(X) je kontinuirana funkcija. Pogledajmo graf funkcije i uvjerimo se da naša funkcija nema prekida, to znači kontinuitet.
8) Raspon vrijednosti: segment [- 1; 1]. To je također jasno vidljivo iz grafa funkcije.
9) Funkcija Y=sin(X) - periodična funkcija. Pogledajmo ponovno graf i vidimo da funkcija uzima iste vrijednosti u određenim intervalima.

Primjeri problema sa sinusom

1. Riješite jednadžbu sin(x)= x-π

Rješenje: Izgradimo 2 grafa funkcije: y=sin(x) i y=x-π (vidi sliku).
Naši se grafovi sijeku u jednoj točki A(π;0), ovo je odgovor: x = π

2. Grafički nacrtajte funkciju y=sin(π/6+x)-1

Rješenje: Željeni graf ćemo dobiti pomicanjem grafa funkcije y=sin(x) π/6 jedinica ulijevo i 1 jedinicu prema dolje.

Rješenje: Nacrtajmo funkciju i razmotrimo naš segment [π/2; 5π/4].
Grafikon funkcije pokazuje da se najveća i najmanja vrijednost postižu na krajevima segmenta, u točkama π/2 odnosno 5π/4.
Odgovor: sin(π/2) = 1 – najveća vrijednost, sin(5π/4) = najmanja vrijednost.

Sinusni zadaci za samostalno rješavanje

• Riješite jednadžbu: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Grafički nacrtajte funkciju y=sin(π/3+x)-2
• Grafički nacrtajte funkciju y=sin(-2π/3+x)+1
• Odredi najveću i najmanju vrijednost funkcije y=sin(x) na segmentu
• Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije y=sin(x) na intervalu [- π/3; 5π/6]

, Natjecanje "Prezentacija za lekciju"

Prezentacija za lekciju

Natrag naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve značajke prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Željezo hrđa ne nalazeći nikakvu upotrebu,
stajaća voda trune ili se smrzava na hladnoći,
i čovjekov um, ne nalazeći nikakvu korist za sebe, klone.
Leonardo da Vinci

Korištene tehnologije: problemsko učenje, kritičko mišljenje, komunikativna komunikacija.

Ciljevi:

• Razvoj kognitivnog interesa za učenje.
• Proučavanje svojstava funkcije y = sin x.
• Formiranje praktičnih vještina konstruiranja grafa funkcije y = sin x na temelju proučenog teorijskog materijala.

Zadaci:

1. Iskoristiti postojeći potencijal znanja o svojstvima funkcije y = sin x u konkretnim situacijama.

2. Primijeniti svjesno uspostavljanje veza između analitičkih i geometrijskih modela funkcije y = sin x.

Razvijati inicijativu, određenu volju i interes za pronalaženje rješenja; sposobnost donošenja odluka, ne zaustavljanja na tome i obrane vašeg stajališta.

Poticati kod učenika kognitivnu aktivnost, osjećaj odgovornosti, poštovanje jednih prema drugima, međusobno razumijevanje, uzajamnu podršku i samopouzdanje; kultura komunikacije.

Tijekom nastave

1. faza. Obnavljanje temeljnih znanja, motiviranje za učenje novog gradiva

"Ulazak u lekciju."

Na ploči su napisane 3 izjave:

1. Trigonometrijska jednadžba sin t = a uvijek ima rješenja.
2. Graf neparne funkcije može se konstruirati pomoću transformacije simetrije oko osi Oy.
3. Trigonometrijska funkcija može se prikazati pomoću jednog glavnog poluvala.

Učenici u parovima raspravljaju: jesu li tvrdnje točne? (1 minuta). Rezultati početne rasprave (da, ne) zatim se unose u tablicu u stupcu "Prije".

Učitelj postavlja ciljeve i zadatke lekcije.

2. Obnavljanje znanja (frontalno na modelu trigonometrijske kružnice).

Već smo se upoznali s funkcijom s = sin t.

1) Koje vrijednosti može poprimiti varijabla t. Koji je opseg ove funkcije?

2) U kojem se intervalu nalaze vrijednosti izraza sin t? Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije s = sin t.

3) Riješite jednadžbu sin t = 0.

4) Što se događa s ordinatom točke dok se pomiče duž prve četvrtine? (ordinata raste). Što se događa s ordinatom točke dok se pomiče duž druge četvrtine? (ordinata se postupno smanjuje). Kako je to povezano s monotonošću funkcije? (funkcija s = sin t raste na segmentu i pada na segmentu ).

5) Napišimo funkciju s = sin t u obliku y = sin x koji nam je poznat (konstruirat ćemo je u uobičajenom xOy koordinatnom sustavu) i sastavimo tablicu vrijednosti ove funkcije.

x	0
na	0			1			0

Faza 2. Percepcija, razumijevanje, primarna konsolidacija, nehotično pamćenje

Faza 4. Primarna sistematizacija znanja i načina djelovanja, njihov prijenos i primjena u novim situacijama

6. br. 10.18 (b,c)

Faza 5. Završna kontrola, ispravak, ocjenjivanje i samoocjenjivanje

7. Vratite se na tvrdnje (početak lekcije), raspravite korištenje svojstava trigonometrijske funkcije y = sin x i popunite stupac “Nakon” u tablici.

8. D/z: klauzula 10, br. 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)