Ivanova Anastazija

Zadatak broj 15 stručnog ispita iz matematike je zadatak povećanog stupnja složenosti koji predstavlja nejednakost. Pri rješavanju ovih nejednadžbi studenti moraju pokazati poznavanje teorema o ekvivalentnosti nejednadžbi određenog tipa, te sposobnost korištenja standardnih i nestandardnih metoda rješavanja. Analiza sadržaja školskih udžbenika pokazuje da se u većini njih metodama rješavanja nejednakosti pomoću svojstava funkcija ne pridaje dužna pozornost, au zadacima Jedinstvenog državnog ispita gotovo svake godine predlažu se nejednadžbe čije je rješavanje pojednostavljeno ako se primijene svojstva funkcija. Prema statistikama predstavljenim na web stranici Federalnog zavoda za pedagoška mjerenja, u 2017. godini oko 15% sudionika ispita dobilo je bodove različite od nule za ovaj zadatak; maksimalni rezultat je oko 11%. Sve navedeno ukazuje da učenici imaju velike poteškoće u rješavanju zadatka br. 15 Jedinstvenog državnog ispita. Cilj: Istražite različite načine rješavanja nejednakosti.

:

1. Proučite teorijski materijal o ovoj temi.

2. Razmotrite primjere ponuđene u banci zadataka Jedinstvenog državnog ispita na web stranici Saveznog instituta za pedagoška mjerenja.

3. Proučiti funkcionalno-grafičke metode rješavanja nejednadžbi.

4. Usporedite različite metode rješavanja nejednadžbi.

5. Eksperimentalno provjerite koji je način rješavanja nejednadžbi najracionalniji.

Metode istraživanja: anketa, ispitivanje, analiza, usporedba i sinteza rezultata.

U radu smo proučavali funkcionalno-grafičke metode rješavanja nejednadžbi. Uspoređivane su različite metode rješavanja nejednadžbi. Eksperimentalno smo provjerili koji je način rješavanja nejednadžbi najracionalniji. I došli su do zaključka da učenik mora znati nekoliko načina rješavanja nejednadžbi kako bi uštedio vrijeme i smanjio rizik od logičkih i računskih pogrešaka.

Preuzimanje datoteka:

Pregled:

Proučavanje različitih metoda rješavanja nejednadžbi

Ivanova Anastasia Evgenevna

Općinska proračunska obrazovna ustanova
"Srednja škola br. 30 s produbljenim proučavanjem pojedinih predmeta"

11b razred

Znanstveni članak (opis posla)

1. Uvod

Relevantnost.

Zadatak broj 15 stručnog ispita iz matematike je zadatak povećanog stupnja složenosti koji predstavlja nejednakost (racionalnu, iracionalnu, eksponencijalnu, logaritamsku). Pri rješavanju ovih nejednadžbi studenti moraju pokazati poznavanje teorema o ekvivalentnosti nejednadžbi određenog tipa, te sposobnost korištenja standardnih i nestandardnih metoda rješavanja.

Potpuno točno rješenje ovog zadatka vrijedi 2 boda. Pri rješavanju problema prihvatljive su sve matematičke metode - algebarske, funkcionalne, grafičke, geometrijske itd.

Prema statistikama predstavljenim na web stranici Federalnog zavoda za pedagoška mjerenja, u 2017. godini oko 15% sudionika ispita dobilo je bodove različite od nule za ovaj zadatak; maksimalni rezultat je oko 11%. Tipične pogreške povezane su s nepažljivim čitanjem matematičkog zapisa nejednadžbi, nerazumijevanjem algoritma za rješavanje agregata i sustava logaritamskih nejednadžbi. Ispitnici su puno griješili pri rješavanju razlomačkih racionalnih nejednadžbi (zaboravljen je nazivnik).

Rezultati rješavanja zadatka br. 15 učenika naše škole na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike prikazani su u tablici 1. i dijagramu (slika 1.).

stol 1

Rezultati zadatka br. 15 učenika naše škole

Sl. 1. Rezultati zadatka br. 15 učenika naše škole

Rezultati zadatka br. 15 na probnom gradskom ispitu 11.a,b razreda u školskoj godini 2017.-2018. godine prikazani su u tablici 2. i na dijagramu (sl. 2.).

tablica 2

Rezultati zadatka br. 15 na probnom gradskom ispitu

u akademskoj godini 2017-2018. godine od strane učenika naše škole

sl.2. Rezultati zadatka br. 15 na probnom ispitu u akademskoj 2017.-2018. godine od strane učenika naše škole

Proveli smo anketu među profesorima matematike u našoj školi i identificirali glavne probleme s kojima se učenici susreću pri rješavanju nejednakosti: netočno određivanje raspona prihvatljivih vrijednosti nejednakosti; razmatranje ne svih slučajeva prijelaza iz logaritamske nejednakosti u racionalnu; pretvaranje logaritamskih izraza; greške u korištenju metode intervala itd.

Niz tipičnih pogrešaka povezan je s uporabom metode intervala i uvođenjem pomoćne varijable. Na primjer, pogreška u određivanju predznaka na intervalima ili netočno postavljanje brojeva na koordinatnoj liniji, prema kriterijima, može se protumačiti kao računska pogreška. Ostali koji se odnose na preskakanje koraka algoritma ili njihovo netočno izvođenje ocjenjuju se s 0 bodova.

Sve navedeno ukazuje da učenici imaju velike poteškoće u rješavanju zadatka br. 15 Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. U tom smo smislu iznijeli hipoteza : ako učenik zna nekoliko načina rješavanja nejednadžbi, tada će moći izabrati najracionalniji.

Predmet proučavanja: nejednakosti.

Predmet proučavanja: razni načini rješavanja nejednadžbi.

Cilj : Istražite različite načine rješavanja nejednakosti.

Za postizanje ovog cilja riješeni su sljedeći zadaci:

1. Proučite teoretski materijal o ovoj temi.
2. Razmotrite primjere ponuđene u banci zadataka Jedinstvenog državnog ispita na web stranici Saveznog zavoda za pedagoška mjerenja.
3. Proučiti funkcionalno-grafičke metode rješavanja nejednadžbi.
4. Usporedite različite metode rješavanja nejednadžbi.
5. Eksperimentalno provjerite koji je način rješavanja nejednadžbi najracionalniji.

2. Glavni dio

2.1. Teorijski dio

1. Linearne nejednadžbe

Linearne nejednadžbesu nejednakosti oblika: ax + b 0; ax+b≥0; ax+b≤0, gdje su a i b – bilo koji brojevi, i a≠0, x - nepoznata varijabla.

Pravila za transformaciju nejednakosti:

1. Bilo koji član nejednadžbe može se prenijeti s jednog dijela nejednadžbe na drugi, mijenjajući predznak u suprotan.

2. Obje strane nejednadžbe mogu se pomnožiti/podijeliti s istim pozitivnim brojem da bi se dobila nejednadžba ekvivalentna danoj.

3. Obje strane nejednakosti mogu se pomnožiti/podijeliti s istim negativnim brojem, mijenjajući predznak nejednakosti.

2. Kvadratne nejednadžbe

Nejednakost oblika

gdje je x varijabla, a, b, c su brojevi, , se zove kvadrat. Pri rješavanju kvadratne nejednadžbe potrebno je pronaći korijene odgovarajućekvadratna jednadžba . Da biste to učinili, morate pronaćidiskriminirajući ove kvadratne jednadžbe. Možete dobiti 3 kućišta: 1) D=0 , kvadratna jednadžba ima jedan korijen; 2) D>0 kvadratna jednadžba ima dva korijena; 3)D kvadratna jednadžba nema korijena. Ovisno o dobivenim korijenima i predznaku koeficijenta a jedna od šest mogućih lokacijafunkcijska grafika (Prilog 1).

3. Racionalne nejednakosti

Racionalna nejednakosts jednom varijablom x nazivamo nejednadžbom oblika f(x) izrazi, tj. algebarski izrazi sastavljeni od brojeva, varijable x i matematičkih operacija, tj. operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i dizanja na prirodne potencije.Algoritam za rješavanje racionalnih nejednadžbi metodom intervala(Prilog 1).

4. Eksponencijalne nejednadžbe

Eksponencijalna nejednakost- ovo je nejednakost , u kojem je nepoznanica u eksponentu. Najjednostavnijieksponencijalna nejednakost ima oblik: a x ‹ b ili a x › b, gdje je a> 0, a ≠ 1, x je nepoznato.

5. Logaritamske nejednadžbe

Logaritamska nejednakostzove se nejednadžba u kojoj je nepoznata veličina pod predznakomlogaritam .

1. Nejednakost ako svodi na ekvivalentnu nejednakost. Ako - zatim na nejednakost.

Slično nejednakostije ekvivalentna nejednakostima za: ; Za : .

Rješenja dobivenih nejednadžbi moraju se presjeći s ODZ:

2. Rješavanje logaritamske nejednadžbe oblikaje ekvivalentan rješavanju sljedećih sustava:

A) b)

Nejednakost u svakom od dva slučaja svodi se na jedan od sustava:

A) b)

6. Iracionalne nejednadžbe

Ako nejednadžba sadrži funkcije pod predznakom korijena, tada se takve nejednadžbe nazivaju iracionalan.

.

2.2. Praktični dio

Studija #1

Cilj : Naučite metodu ograničene funkcije.

Napredak:

1. Proučiti metodu ograničenih funkcija.

2. Riješite nejednadžbe ovom metodom.

Da biste koristili ograničenost funkcije, morate biti u mogućnosti pronaći skup vrijednosti funkcije i znati procjene raspona vrijednosti standardnih funkcija (na primjer,) .

Primjer #1 . Riješite nejednadžbu:

Riješenje:

Domena:

Za sve x iz rezultirajućeg skupa imamo:

Dakle, rješenje nejednadžbe

Odgovor:

Primjer br. 2. Riješite nejednadžbu:

Riješenje:

Jer

Ova nejednakost je ekvivalentna

Prva jednadžba sustava ima jedan korijen x = - 0,4, koji također zadovoljava drugu jednadžbu.

Odgovor: - 0,4

Zaključak: Ova metoda je najučinkovitija ako nejednadžba sadrži funkcije kao što sui drugi, čiji su rasponi ograničeni iznad ili ispod.

Studija #2

Cilj : proučiti metodu racionalizacije rješavanja nejednadžbi.

Napredak:

1. Proučiti metodu racionalizacije.

2. Riješite nejednadžbe ovom metodom.

Metoda racionalizacije sastoji se od zamjene složenog izraza F(x) jednostavnijim izrazom G(x), u kojem je nejednadžba G(x) v 0 ekvivalentna nejednadžbi F(x) v 0 na domeni definiranja izraz F(x) (simbol "v" zamjenjuje jedan od znakova nejednakosti: ≤, ≥, >,

Istaknimo neke tipične izraze F i odgovarajuće racionalizirajuće izraze G (Tablica 1), gdje su f, g, h, p, q izrazi s varijablom x (h>0, h≠1,f>0,g>0) , a -fiksni broj (a>0, a≠1). (Prilog 2).

Primjer br. 1. Riješite nejednadžbu:

O.D.Z:

Odgovor:

Primjer br. 2. Riješite nejednadžbu:

O.D.Z:

Uzimajući u obzir domenu definicije, dobivamo

Odgovor:

Zaključak : Nejednadžbe s logaritmima na varijabilnu bazu su najteže. Metoda racionalizacije omogućuje vam prijelaz s nejednakosti koje sadrže složene eksponencijalne, logaritamske itd. izraz, na njegovu ekvivalentnu jednostavniju racionalnu nejednakost. Metoda racionalizacije ne samo da štedi vrijeme, već i smanjuje rizik od logičkih i računskih pogrešaka.

Studija #3

Cilj : u postupku rješavanja nejednadžbi usporediti različite metode.

Napredak:

1. Riješite nejednadžbukoristeći različite metode.

2. Usporedite rezultate i izvedite zaključak.

Primjer br. 1. Riješite nejednadžbu

Riješenje:

1 način. Algebarska metoda

Rješenje prvog sustava:

Rješavamo drugu nejednadžbu drugog sustava:

2 način . Korištenje opsega funkcije

Domena:

Za ove x vrijednosti dobivamo:

Desna strana nejednakosti je negativna u domeni definicije. Dakle, nejednakost vrijedi za

Odgovor:

3 načina. Grafička metoda

Zaključak : rješavajući nejednadžbu algebarskom metodom, došao sam do nejednadžbe šestog stupnja, uložio dosta vremena rješavajući je, ali je nisam uspio riješiti. Racionalna metoda, po mom mišljenju, je korištenje domene funkcije ili grafički.

Primjer br. 2. Riješite nejednadžbu:.

Odgovor:

Zaključak: Tu sam nejednadžbu uspio riješiti samo zahvaljujući metodi racionalizacije.

Zaključak

Analiza sadržaja školskih udžbenika pokazuje da se u većini njih metodama rješavanja nejednakosti pomoću svojstava funkcija ne pridaje dužna pozornost, au zadacima Jedinstvenog državnog ispita gotovo svake godine predlažu se nejednadžbe čije je rješavanje pojednostavljeno ako se primijene svojstva funkcija.

Većina učenika rješava nejednadžbe koristeći standardne, algoritamske metode, što ponekad rezultira nezgrapnim izračunima. U tom smislu, postotak ispunjavanja zadatka br. 15 na Jedinstvenom državnom ispitu je nizak.

Opseg primjene svojstava funkcija u rješavanju nejednadžbi vrlo je širok. Korištenje svojstava (ograničenost, monotonost, itd.) funkcija uključenih u nejednadžbe omogućuje korištenje nestandardnih metoda rješavanja. Po našem mišljenju, sposobnost korištenja potrebnih svojstava funkcija pri rješavanju nejednadžbi može omogućiti učenicima odabir racionalnijeg rješenja.

U radu smo proučavali funkcionalno-grafičke metode rješavanja nejednadžbi. Uspoređivane su različite metode rješavanja nejednadžbi. Eksperimentalno smo provjerili koji je način rješavanja nejednadžbi najracionalniji.

I došli su do zaključka da učenik mora znati nekoliko načina rješavanja nejednadžbi kako bi uštedio vrijeme i smanjio rizik od logičkih i računskih pogrešaka.

Ciljevi našeg rada su ispunjeni, cilj je postignut, hipoteza je potvrđena.

Književnost:

1. Alimov Sh. A, Kolyagin Yu. M., Sidorov Yu. V. i dr. Algebra i počeci analize: Udžbenik za razrede 10-11. opće obrazovanje institucije / Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov i drugi - 15. izd. – M.: Obrazovanje, 2007. – 384 str.
2. Koryanov A.G., Prokofjev A.A. Materijali kolegija "Priprema dobrih i odličnih učenika za jedinstveni državni ispit": predavanja 1-4. - M.: Pedagoško sveučilište "Prvi rujan", 2012. - 104 str.
3. Web stranica http://www.fipi.ru/.
4. Web stranica https://ege.sdamgia.ru/.
5. Yashchenko I. V. Jedinstveni državni ispit. Matematika. Razina profila: standardne opcije ispita: 36 opcija / ur. I. V. Jaščenko. - M.: Izdavačka kuća "Narodno obrazovanje", 2018. - 256 str.

Pregled:

Kako biste koristili preglede prezentacije, stvorite Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Proučavanje različitih metoda za rješavanje nejednakosti Ivanova Anastasia Evgenievna MBOU "Srednja škola br. 30 s produbljenim proučavanjem pojedinih predmeta"

Rezultati zadatka br. 15 učenika naše škole

Rezultati zadatka br. 15 na probnom ispitu u akademskoj 2017.-2018. godine od strane učenika naše škole

Hipoteza: ako učenik zna nekoliko načina rješavanja nejednadžbi, tada će moći odabrati najracionalniji Objekt proučavanja: nejednadžbe Predmet proučavanja: različiti načini rješavanja nejednadžbi

Cilj: Istražiti različite načine rješavanja nejednakosti. Za postizanje ovog cilja riješeni su sljedeći zadaci: Proučiti teoretski materijal o ovoj temi. Razmotrite primjere ponuđene u banci zadataka Jedinstvenog državnog ispita na web stranici Saveznog zavoda za pedagoška mjerenja. Proučiti funkcionalno-grafičke metode rješavanja nejednadžbi. Usporedite različite metode rješavanja nejednadžbi. Eksperimentalno provjerite koji je način rješavanja nejednadžbi najracionalniji.

Studija br. 1 Svrha: Proučiti metodu ograničene funkcije. Napredak: 1. Proučite metodu ograničenih funkcija. 2. Ovom metodom riješite nejednadžbe. Primjer br. 1. Riješite nejednadžbu: Rješenje: Domena: Za sve x iz dobivenog skupa imamo: Dakle, rješenje nejednadžbe Odgovor:

Primjer br. 2. Riješite nejednadžbu: Rješenje: Jer Ova nejednadžba je ekvivalentna. Prva jednadžba sustava ima jedan korijen x = - 0,4, koji također zadovoljava drugu jednadžbu. Odgovor: - 0,4 Zaključak: ova metoda je najučinkovitija ako nejednadžba sadrži funkcije, kao i druge, čiji su rasponi vrijednosti ograničeni iznad ili ispod.

Studija br. 2 Svrha: proučiti metodu za racionalizaciju rješenja nejednadžbi. Napredak: 1. Proučiti metodu racionalizacije. 2. Ovom metodom riješite nejednadžbe. Primjer br. 1. Riješite nejednadžbu: O.D.Z: Uzimajući u obzir domenu definicije, dobivamo Odgovor:

Primjer br. 2. Riješite nejednadžbu: O.D.Z: Uzimajući u obzir domenu definicije, dobivamo Odgovor: Zaključak: najveće poteškoće predstavljaju nejednadžbe s logaritmima na varijabilnu bazu. Metoda racionalizacije omogućuje vam prijelaz s nejednakosti koje sadrže složene eksponencijalne, logaritamske itd. izraz, na njegovu ekvivalentnu jednostavniju racionalnu nejednakost. Metoda racionalizacije ne samo da štedi vrijeme, već i smanjuje rizik od logičkih i računskih pogrešaka.

Studija br. 3 Svrha: u procesu rješavanja nejednadžbi usporediti različite metode. Napredak: 1. Riješite nejednadžbu različitim metodama. 2. Usporedite rezultate i izvedite zaključak. Primjer br. 1. Riješite nejednadžbu na 1 način. Algebarska metoda Rješavanje prvog sustava: Rješavanje druge nejednadžbe drugog sustava: 2. metoda. Korištenje domene definicije funkcije Domena definicije: Za ove vrijednosti od x dobivamo: Desna strana nejednadžbe je negativna u svojoj domeni definicije. Dakle, nejednakost vrijedi za

3 načina. Grafička metoda Zaključak: rješavajući nejednadžbu algebarskom metodom došao sam do nejednadžbe šestog stupnja, uložio dosta vremena rješavajući je, ali je nisam uspio riješiti. Racionalna metoda, po mom mišljenju, je korištenje domene funkcije ili grafički.

Primjer br. 2. Riješite nejednadžbu: Odgovor: Zaključak: Ovu nejednadžbu sam uspio riješiti samo zahvaljujući metodi racionalizacije.

Opseg primjene svojstava funkcija u rješavanju nejednadžbi vrlo je širok. Korištenje svojstava (ograničenost, monotonost, itd.) funkcija uključenih u nejednadžbe omogućuje korištenje nestandardnih metoda rješavanja. Po našem mišljenju, sposobnost korištenja potrebnih svojstava funkcija pri rješavanju nejednadžbi može omogućiti učenicima odabir racionalnijeg rješenja. U radu smo proučavali funkcionalno-grafičke metode rješavanja nejednadžbi. Uspoređivane su različite metode rješavanja nejednadžbi. Eksperimentalno smo provjerili koji je način rješavanja nejednadžbi najracionalniji. I došli su do zaključka da učenik mora znati nekoliko načina rješavanja nejednadžbi kako bi uštedio vrijeme i smanjio rizik od logičkih i računskih pogrešaka. Ciljevi našeg rada su ispunjeni, cilj je postignut, hipoteza je potvrđena.

Hvala na pozornosti!

Općinska obrazovna ustanova

Yuryevskaya osnovna srednja škola

Ostrovski okrug

Općinska faza regionalnog metodičkog natjecanja

Imenovanje

Alati

Predmet

Funkcionalno-grafička metoda rješavanja jednadžbi i nejednadžbi u srednjoškolskom kolegiju algebre.

Rad pripremili:

profesorica matematike

Uvod

Analiza školske lektire

Analiza jedinstvenog državnog ispita

1. Opći teorijski dio

1.1. Grafička metoda

1.2. Funkcionalna metoda

2. Rješavanje jednadžbi i nejednadžbi korištenjem svojstava ulaza

funkcije u njima

2.1. Upotreba DZ

2.2. Upotreba ograničenja značajki

2.3. Korištenje monotonosti funkcije

2.4. Korištenje grafova funkcija

2.5. Korištenje parnih ili neparnih svojstava i periodičnosti funkcija .

3. Rješavanje jednadžbi i nejednadžbi

3.1. Rješavanje jednadžbi

3.2. Rješavanje nejednadžbi

Radionica

Bibliografija

Primjena

Uvod

Tema mog rada je “Funkcionalno-grafička metoda rješavanja jednadžbi i nejednadžbi u srednjoškolskom predmetu algebre”. Jedna od glavnih tema srednjoškolskog tečaja algebre. Rješavanje jednadžbi i nejednadžbi igra važnu ulogu u srednjoškolskim tečajevima matematike. Učenici počinju učiti o nejednakostima i jednadžbama u osnovnoj školi.

Sadržaj tema “Jednadžbe” i “Nejednadžbe” postupno se produbljuje i proširuje. Tako je, na primjer, postotak nejednakosti od ukupnog materijala koji se proučava u 7. razredu 20%, u 8. razredu - 25%, u 9. razredu - 30%, u 10.-11. razredu - 35%.

Završno proučavanje nejednakosti i jednadžbi odvija se u algebri i početnim tečajevima analize u 10.-11. Neka sveučilišta u ispitne radove uključuju jednadžbe i nejednadžbe, koje su često vrlo složene i zahtijevaju različite pristupe rješavanju. U školi se jedan od najtežih dijelova školskog predmeta matematika obrađuje tek na nekoliko izbornih sati.

Težište ovog rada je pružiti potpunije otkrivanje primjene funkcionalne grafičke metode za rješavanje jednadžbi i nejednadžbi u srednjoškolskom kolegiju algebre.

Relevantnost ovog rada je u tome što je ova tema uključena u Jedinstveni državni ispit.

U pripremi ovog rada zadao sam si cilj razmotriti što više vrsta jednadžbi i nejednadžbi rješavanih funkcionalno-grafičkom metodom. Također dublje proučite ovu temu, identificirajući najracionalnije rješenje koje brzo vodi do odgovora.

Predmet studije je algebra za razrede 10-11, uređena i varijante Jedinstvenog državnog ispita.

Ovaj rad govori o vrstama jednadžbi i nejednakosti koje se često susreću; nadam se da će mi znanje koje sam stekao u procesu rada pomoći pri polaganju školskih ispita i pri upisu na fakultet. Također može poslužiti kao nastavna pomoć za pripremu učenika za polaganje jedinstvenog državnog ispita.

Analiza školske lektire

U metodičkoj literaturi uobičajeno je podijeliti sve metode na kojima je školska linija jednadžbi i nejednakosti od 7. do 11. razreda podijeljena u tri skupine:

metoda faktorizacije;

ümetoda uvođenja novih varijabli;

Funkcionalna grafička metoda.

Razmotrimo treću metodu, naime korištenje grafova funkcija i raznih svojstava funkcija.

Učenike je potrebno učiti koristiti funkcionalno-grafičku metodu od samog početka proučavanja teme "Jednadžbe".

Rješenje nekih problema može se temeljiti na svojstvima monotonosti, periodičnosti, parnosti ili neparnosti itd. funkcija uključenih u njih.

Analizom udžbenika može se zaključiti da se ova tematika obrađuje samo u udžbenicima matematike novije generacije, a konstrukcija kolegija u tim udžbenicima temelji se na prioritetu funkcionalno-grafičke linije. U ostalim udžbenicima funkcionalno-grafička metoda rješavanja jednadžbi i nejednadžbi nije istaknuta kao posebna tema. Korištenje svojstava funkcije za rješavanje problema spominje se uzgred kada se proučavaju druge teme. Novi udžbenici također sadrže dovoljan broj zadataka ovog tipa. Udžbenik sadrži zadatke napredne razine. Prikazan je najcjelovitiji sustav zadataka sistematiziran za svako svojstvo funkcije.

Udžbenik	“Algebra i počeci analize 10-11”, udžbenik za obrazovne ustanove,	, “Algebra i počeci analize 11”, udžbenik za općeobrazovne ustanove (profilna razina)		i dr. “Algebra i počeci analize 11”, udžbenik za obrazovne ustanove	i dr. “Algebra i počeci analize 10-11”, udžbenik za obrazovne ustanove
Mjesto u znanju	Poglavlje 8 “Jednadžbe i nejednadžbe. Sustavi jednadžbi i nejednadžbi" (zadnja tema kolegija)	Poglavlje 6 “Jednadžbe i nejednadžbe. Sustavi jednadžbi i nejednadžbi" (zadnja tema kolegija)	Poglavlje II “Jednadžbe, nejednadžbe, sustavi”	Nema posebne teme. Ali u temi “Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi i nejednadžbi” formuliran je korijenski teorem koji se koristi u daljnjem učenju	Nema posebne teme
	§ §56 Opće metode rješavanja jednadžbi i nejednadžbi (funkcionalno-grafička metoda: teorem o korijenu, ograničenost funkcije)	§ §27 Opće metode rješavanja jednadžbi i nejednadžbi (funkcionalno-grafička metoda: teorem o korijenu, ograničenost funkcije)	§ Jednadžbe (nejednadžbe) oblika ; § §12*Nestandardne metode rješavanja jednadžbi i nejednadžbi (korištenje područja postojanja funkcija, nenegativnost funkcija, ograničenost, korištenje svojstava sin i cos, korištenje derivacije)	Svojstvo monotonosti funkcije, par-nepar (pri izvođenju formula za korijene trigonometrijskih jednadžbi)	Svojstvo monotonosti spominje se pri analizi primjera u temi “Eksponencijalna funkcija”
Primjeri razmatranih jednadžbi i nejednadžbi	(;		Riješite jednadžbu. Koliko korijena ima jednadžba u tom intervalu?	Riješite jednadžbu

Analiza Jedinstvenog državnog ispita (tekstovi i rezultati)

Jedinstveni državni ispit kao oblik certificiranja, koji je uveden u praksu ruskog obrazovanja 2002. godine, prelazi iz eksperimentalnog u redoviti način rada od 2009. godine.

Analiza tekstova Jedinstvenog državnog ispita pokazala je da se svake godine susreću zadaci u kojima se koriste svojstva funkcija.

2003. u zadacima A9 i C2 pri rješavanju možete primijeniti svojstva funkcija:

· A9. Označite interval kojemu pripadaju korijeni jednadžbe .

· C2. Pronađite sve vrijednosti str, za koju je jednadžba nema korijena.

· 2004. – zadatak B2. Koliko korijena ima jednadžba? .

· 2005. zadatak C2 (riješi jednadžbu ) završilo 37% učenika.

U 2007. godini, kada su rješavali zadatak “Riješi jednadžbu” u dijelu B, maturanti su razmatrali dva slučaja kada su rješavali jednadžbu, uobičajeno otkrivajući da znak modula..gif" width="81" height="24"> poprima samo pozitivne vrijednosti.

Čak i dobro pripremljeni učenici često dovršavaju zadatke korištenjem metoda rješavanja "kolačića" koje dovode do glomaznih transformacija i izračuna.

Očito je da je dobro pripremljeni maturant pri rješavanju navedenih zadataka morao pokazati ne samo poznavanje poznatih metoda rješavanja jednadžbi ili transformacije izraza, već i sposobnost analize uvjeta, korelacije podataka i zahtjeva zadatka, izvođenja različitih posljedica. iz stanja itd. odnosno pokazuju određeni stupanj razvijenosti matematičkog mišljenja.

Dakle, kada poučavate dobre učenike, morate voditi računa ne samo o svladavanju osnovne komponente kolegija algebre i početaka analize (svladavanje naučenih pravila, formula, metoda), već io ostvarenju jednog od glavnih ciljeva nastave matematike - razvoj mišljenja učenika, posebice matematičkog mišljenja. Postizanju ovog cilja mogu poslužiti izborni predmeti.

Doista, tijekom studija matematike učenici općeobrazovnih ustanova tradicionalno se upoznaju s grafičkom metodom rješavanja jednadžbi, nejednadžbi i njihovih sustava. Međutim, posljednjih godina u sadržaju nastave matematike pojavljuju se nove klase jednadžbi (nejednadžbi) i nove funkcionalne metode za njihovo rješavanje. Međutim, zadaci sadržani u ispitnim materijalima Jedinstvenog državnog ispita (USE) (tzv. Kombinirane jednadžbe), čija rješenja zahtijevaju korištenje samo funkcionalno-grafičke metode, stvaraju poteškoće studentima.

1. Opći teorijski dio

Neka su X i Y dva proizvoljna numerička skupa. Elemente tih skupova označavat ćemo s x odnosno y i nazivat ćemo ih varijablama.

Definicija. Numerička funkcija definirana na skupu X i uzima vrijednosti u skupu Y naziva se korespondencija (pravilo, zakon) koja svakom x iz skupa X pridružuje jednu i samo jednu vrijednost y iz skupa Y.

Varijabla x naziva se nezavisna varijabla ili argument, a varijabla y je zavisna varijabla. Također se kaže da je varijabla y funkcija iz varijable x. Vrijednosti zavisne varijable nazivaju se vrijednostima funkcije.

Uvedeni pojam numeričke funkcije poseban je slučaj općeg pojma funkcije kao korespondencije između elemenata dvaju ili više proizvoljnih skupova.

Neka su X i Y dva proizvoljna skupa.

Definicija. Funkcija definirana na skupu X koja uzima vrijednosti u skupu Y je korespondencija koja svakom elementu skupa X pridružuje jedan i samo jedan element iz skupa Y.

Definicija. Definirati funkciju znači naznačiti opseg njezine definicije i korespondenciju (pravilo) uz pomoć koje se, s obzirom na vrijednost nezavisne varijable, pronalaze odgovarajuće vrijednosti funkcije.

Postoje dva načina rješavanja jednadžbi povezanih s konceptom funkcije: grafički I funkcionalni. Poseban slučaj funkcionalne metode je metoda funkcionalni, odnosno univerzalni zamjene.

Definicija. Rješavanje zadane jednadžbe znači pronalaženje skupa svih njezinih korijena (rješenja). Skup korijena (rješenja) može biti prazan, konačan ili beskonačan. U sljedećim poglavljima teorijskog dijela analizirat ćemo gore opisane metode rješavanja jednadžbi, au dijelu “Praksa” prikazat ćemo njihovu primjenu u različitim situacijama.

1.1. Grafička metoda.

U praksi, za konstruiranje grafikona nekih funkcija, oni sastavljaju tablicu vrijednosti funkcija za neke vrijednosti argumenata, zatim iscrtavaju odgovarajuće točke na koordinatnoj ravnini i uzastopno ih povezuju linijom. Pretpostavlja se da točke dovoljno točno pokazuju napredak promjene funkcije.

Definicija. Graf funkcije y = f(x) je skup svih točaka

(x, f(x) | x https://pandia.ru/text/78/500/images/image024_0.jpg" width="616" height="403">

Sjecište grafova ima koordinate (0,5; 0). Stoga, x=0,5

Odgovor: x=0,5

Primjer 2.

10| sinx|=10|cosx|-1

Ova se jednadžba može racionalno riješiti grafičko-analitičkom metodom.

Budući da je 10>1, ova jednadžba je ekvivalentna sljedećoj:

Sjecišta grafova imaju koordinate ();. Prema tome x=.

Odgovor: x=

1.2. Funkcionalna metoda

Ne može se svaka jednadžba oblika f(x)=g(x) kao rezultat transformacija svesti na jednadžbu jednog ili drugog standardnog oblika, za što su prikladne konvencionalne metode rješenja. U takvim slučajevima ima smisla koristiti takva svojstva funkcija f(x) i g(x) kao što su monotonost, ograničenost, parnost, periodičnost itd. Dakle, ako jedna od funkcija raste, a druga opada u određenom intervalu , onda jednadžba f(x) = g(x) ne može imati više od jednog korijena, koji se, u načelu, može pronaći selekcijom. Nadalje, ako je funkcija f(x) ograničena odozgo, a funkcija g(x) odozdo tako da je f(x) zamahnuti=A g(x) mu=A, onda je jednadžba f(x)=g(x) ekvivalentna sustavu jednadžbi

Također, kada se koristi funkcionalna metoda, racionalno je koristiti neke od niže navedenih teorema. Za njihovo dokazivanje i korištenje potrebne su sljedeće opće jednadžbe:

(2)

Teorem 1. Korijeni jednadžbe (1) su korijeni jednadžbe (2).

Teorem 2. Ako je f(x) rastuća funkcija na intervalu a

Posljednji teorem daje korolar koji se također koristi u rješenjima:

Korolar 1. Ako f(x) raste kroz cijelo područje definicije, tada su na danom intervalu jednadžbe (1) i (2) ekvivalentne. Ako f(x) opada u cijeloj svojoj domeni definicije, n je neparan, tada su na danom intervalu jednadžbe (1) i (2) ekvivalentne.

Teorem 3. Ako su u jednadžbi f(x)=g(x) za bilo koji dopustivi x zadovoljeni uvjeti f(x)≥a, g(x)≤a, gdje je a neki realni broj, tada je dana jednadžba ekvivalentna sustav

Korolar 2. Ako je u jednadžbi f(x)+g(x)=a+b za bilo koji dopustivi x f(x)≤a, g(x)≤b, tada je ova jednadžba ekvivalentna sustavu

Funkcionalna metoda rješavanja jednadžbi često se koristi u kombinaciji s grafičkom, budući da se obje metode temelje na istim svojstvima funkcija. Ponekad se poziva kombinacija ovih metoda grafičko-analitički metoda.

Primjer 1.

coshttps://pandia.ru/text/78/500/images/image033_3.gif" width="64" height="41 src=">≤1 x2+1≥1 =>

coshttps://pandia.ru/text/78/500/images/image035_3.gif" width="121" height="48">

=> x=π, pri k=0

Odgovor: x=π

1.3. Metoda funkcionalne supstitucije

Poseban slučaj funkcionalne metode je metoda funkcionalne supstitucije - možda najčešća metoda za rješavanje složenih problema u matematici. Suština metode je uvođenje nove varijable y=ƒ(x), čijom se upotrebom dolazi do jednostavnijeg izraza. Poseban slučaj funkcionalne supstitucije je trigonometrijska supstitucija.

Trigonometrijska jednadžba oblika

R(grijeh kx,cos nx, tg mx,ctg lx) = 0 (3)

gdje je R racionalna funkcija, k,n,m,l OZ, koristeći trigonometrijske formule za dvostruke i trostruke argumente, kao i formule zbrajanja, može se svesti na racionalnu jednadžbu za argumente sin x,cos x, tg x,ctg x, nakon čega se jednadžba (3) može svesti na racionalnu jednadžbu za t=tg( x/2) pomoću univerzalnih trigonometrijskih formula za zamjenu

2tg(x/2) 1-tg²(x/2)

Grijeh x=cos x=

1+tg²(x/2) 1+tg²(x/2)

2tg(x/2) 1-tg²(x/2)

Tg x=ctg x=

1-tg²(x/2) 2tg(x/2)

Treba napomenuti da uporaba formula (4) može dovesti do sužavanja OD izvorne jednadžbe, budući da tan(x/2) nije definiran u točkama x=π+2πk, kÎZ, stoga u takvim slučajevima potrebno je provjeriti jesu li kutovi x=π+ 2πk, kÎZ korijeni izvorne jednadžbe.

Primjer 1.

grijeh x+√2-sin² x+ grijeh x√2-grijeh² x = 3

Neka je sada r = u+v i s=uv, tada iz sustava jednadžbi slijedi

Budući da je u = sin x i u = 1, tada sin x= 1 i x = π/2+2πk, kO Z

Odgovor: x = π/2+2πk, kOZ

Primjer 2.

5 grijeh x-5 tg x

+4(1- cos x)=0

grijeh x+ tg x

Ova se jednadžba može racionalno riješiti metodom funkcionalne supstitucije.

Od tg x nije definirano pri x = π/2+πk, kO Z, i grijeh x+tg x=0 pri x = πk, kO Z, tada su kutovi x = πk/2, kO Z nisu uključeni u ODZ jednadžbe.

Koristimo formule za tangens polukuta i označavamo t=tg( x/2), a prema uvjetima zadatka t≠0;±1, tada dobivamo

https://pandia.ru/text/78/500/images/image055_2.gif" width="165"> +4 1- =0

Budući da je t≠0;±1, ova jednadžba je ekvivalentna jednadžbi

5t² + = 0 ó-5-5t² + 8 = 0

odakle je t = ± ..gif" width="27" height="47"> +2πk, kÎ Z

Primjer 3.

tg x+ ctg x+ tg²x+ ctg²x+ tg³x+ ctg³x=6

Ova se jednadžba može racionalno riješiti metodom funkcionalne supstitucije.

Neka je y=tg x+ctg x, zatim tg² x+ctg² x=y²-2, tg³ x+ctg³ x=y³-3y

Od tg x+ctg x=2, tada tg x+1/ tg x=2. Slijedi da tg x=1 i x = π/4+πk, kO Z

Odgovor: x = π/2+2πk, kO Z

2. Rješavanje jednadžbi i nejednadžbi korištenjem svojstava funkcija koje su u njima uključene

2. 1. Korištenje ODZ.

Ponekad vam poznavanje ODZ-a omogućuje da dokažete da jednadžba (ili nejednadžba) nema rješenja, a ponekad vam omogućuje da pronađete rješenja jednadžbe (ili nejednadžbe) izravnom zamjenom brojeva iz ODZ-a.

Primjer 1. Riješite jednadžbu

Riješenje. ODZ ove jednadžbe sastoji se od svih x koji istovremeno zadovoljavaju uvjete 3-x0 i x-3>0, odnosno ODZ je prazan skup. Time je rješenje jednadžbe završeno, jer je utvrđeno da niti jedan broj ne može biti rješenje, odnosno da jednadžba nema korijena.

Odgovor: nema rješenja.

Primjer 2. Riješite jednadžbu

(1)

Riješenje. ODZ ove jednadžbe sastoji se od svih x koji istovremeno zadovoljavaju uvjete, odnosno ODZ je Zamjenom ovih vrijednosti x u jednadžbu (1) nalazimo da su njena lijeva i desna strana jednake 0, što znači da sve https://pandia.ru/ text/78/500/images/image065_2.gif" width="93 height=21" height="21">

Primjer 3. Riješite nejednadžbu

Riješenje. ODZ nejednadžbe (2) sastoji se od svih x koji istovremeno zadovoljavaju uvjete odnosno ODZ se sastoji od dva broja i . Zamjenom u nejednadžbu (2) nalazimo da je njezina lijeva strana jednaka 0, a desna strana jednaka https://pandia.ru/text/78/500/images/image070_1.gif" width="53" height ="23">. gif" width="117 height=41" height="41">.

Odgovor: x=1.

Primjer 4. Riješite nejednadžbu

(3)

Riješenje. ODZ nejednadžbe (3) je sve x koje zadovoljava uvjet 0<х1. Ясно, что х=1 не является решением неравенства (3). Для х из промежутка 0

Odgovor: 0

Primjer 5. Riješite nejednadžbu

Rješenje..gif" width="73" height="19"> i .

Za x iz intervala https://pandia.ru/text/78/500/images/image082_1.gif" width="72" height="24 src=">.gif" width="141 height=24" height = "24"> na tom intervalu, pa stoga nejednadžba (4) nema rješenja na tom intervalu.

Neka x pripada intervalu, tada https://pandia.ru/text/78/500/images/image087_1.gif" width="141 height=24" height="24"> za takav x, i, prema tome, on U tom intervalu nejednadžba (4) također nema rješenja.

Dakle, nejednadžba (4) nema rješenja.

Odgovor: nema rješenja.

Bilješke.

Kod rješavanja jednadžbi nije potrebno pronaći ODZ. Ponekad je lakše prijeći na istragu i provjeriti pronađene korijene. Pri rješavanju nejednadžbi ponekad je moguće ne pronaći ODZ, već riješiti nejednadžbu prelaskom na ekvivalentni sustav nejednadžbi, u kojem ili jedna od nejednadžbi nema rješenja, ili poznavanje njezina rješenja pomaže u rješavanju sustava nejednadžbi. .

Primjer 6. Riješite nejednadžbu

Riješenje. Naći ODZ nejednakosti nije lak zadatak, pa ćemo to učiniti drugačije. Nejednadžba (5) je ekvivalentna sustavu nejednadžbi

(6)

Treća nejednadžba ovog sustava je ekvivalentna nejednadžbi koja nema rješenja. Prema tome, sustav nejednadžbi (6) nema rješenja, što znači da nejednadžba (5) nema rješenja.

Odgovor: nema rješenja.

Primjer 7. Riješite nejednadžbu

. (7)

Riješenje. Određivanje ODZ nejednadžbe (7) je težak zadatak. Stoga, učinimo stvari drugačije. Nejednadžba (7) je ekvivalentna sustavu nejednadžbi

(8)

Treća nejednadžba ovog sustava ima rješenja za sve x iz intervala -1

2.2. Iskorištavanje ograničene funkcionalnosti.

Pri rješavanju jednadžbi i nejednadžbi svojstvo ograničenosti funkcije odozdo ili odozgo na određenom skupu često ima odlučujuću ulogu.

Na primjer, ako za sve x iz nekog skupa M vrijede sljedeće nejednakosti: f(x)>A i g(x)

Uočimo da ulogu broja A često igra nula; u ovom slučaju kažu da je očuvan predznak funkcija f(x) i g(x) na skupu M.

Primjer 1. Riješite jednadžbu

Rješenje..gif" width="191" height="24 src="> Budući da za bilo koju vrijednost x lijeva strana jednadžbe ne prelazi jedan, a desna strana uvijek nije manja od dva, tada ova jednadžba ima nema rješenja.

Odgovor: nema rješenja.

Primjer 2. Riješite jednadžbu

(9)

Riješenje. Očito je da su x=0, x=1, x=-1 rješenja jednadžbe (9)..gif" width="36" height="19">, jer ako je njezino rješenje, tada je (-) također njegova odluka.

Podijelimo skup x>0, , na dva intervala (0;1) i (1;+∞).

Prepišimo jednadžbu (9) u obliku https://pandia.ru/text/78/500/images/image103_1.gif" width="104" height="28">.gif" width="99" height= "25 src=">samo pozitivni. Prema tome, na tom intervalu jednadžba (9) nema rješenja.

Neka x pripada intervalu (1;+∞). Za svaku od ovih vrijednosti x funkcija uzima pozitivne vrijednosti, funkcija https://pandia.ru/text/78/500/images/image105_1.gif" width="99" height="25 src="> nije pozitivna. Stoga, na ovom intervalu, jednadžba (9) nema rješenja.

Ako je x>2, tada je , a to znači da na intervalu (2;+∞) jednadžba (9) također nema rješenja.

Dakle, x=0, x=1 i x=-1 i samo su to rješenja izvorne jednadžbe.

Odgovor:

Primjer 3. Riješite nejednadžbu

Riješenje. ODZ nejednadžbe (10) su svi realni x, osim x=-1. Podijelimo ODZ na tri skupa: -∞<х<-1, -1

Neka -∞<х<-1..gif" width="93" height="24 src=">. Prema tome, svi ovi x su rješenja nejednadžbe (10).

Neka -1 , A . Prema tome, nijedan od ovih x nije rješenje nejednadžbe (10).

Neka 0 , A . Prema tome, svi ovi x su rješenja nejednadžbe (10).

Odgovor: -∞<х<-1; 0

Primjer 4. Riješite jednadžbu

(11)

Riješenje. Označimo preko f(x). Iz definicije apsolutne vrijednosti slijedi da je f(x)= at , https://pandia.ru/text/78/500/images/image120_1.gif" width="84" height="41 src=">. gif" width="43" height="41 src=">. Stoga, ako je , tada se jednadžba (11) može prepisati u obliku , odnosno u obliku ..gif" width="53" height="41"> zadovoljava samo . Ako je , tada se jednadžba (11) može prepisati kao https://pandia.ru/text/78/500/images/image128_0.gif" width="73 height=41" height="41">. Ova jednadžba ima rješenja . Od ovih x vrijednosti, samo .

Razmotrimo x iz intervala . Na tom se intervalu jednadžba (11) može prepisati u obliku , odnosno u obliku

Jasno je da je x = 0 rješenje jednadžbe (12), pa je stoga izvornoj jednadžbi..gif" width="39" height="19"> jednadžba (12) ekvivalentna jednadžbi

Za bilo koju vrijednost , funkcija poprima samo pozitivne vrijednosti, stoga jednadžba (12) nema rješenja na skupu .

Odgovor: x=0, ; https://pandia.ru/text/78/500/images/image139_0.gif" width="211" height="41">. (13)

Riješenje. Neka postoji rješenje jednadžbe (13), tada vrijedi jednakost: (14)

i nejednakosti https://pandia.ru/text/78/500/images/image142_1.gif" width="68" height="27 src=">. Iz valjanosti nejednakosti dobivamo da je lijeva strana jednakosti (14) ima isti predznak kao , To jest, isti predznak kao , a desna strana je isti predznak kao , ali budući da i zadovoljavaju jednakost (14), imaju iste predznake.

Prepišimo jednakost (14) u obliku

https://pandia.ru/text/78/500/images/image147_0.gif" width="284" height="24">

Prepišimo jednakost (15) u obliku

Budući da imaju iste znakove, onda ..gif" width="95" height="24">. (17)

Očito je da je svako rješenje jednadžbe (17) rješenje jednadžbe (13). Stoga je jednadžba (13) ekvivalentna jednadžbi (17). Rješenja jednadžbe (17) su , oni i samo oni su rješenja jednadžbe (13).

Odgovor:

Komentar. Baš kao u primjeru 5, može se dokazati da je jednadžba

gdje su n, m bilo koji prirodni brojevi, ekvivalentna je jednadžbi, a zatim riješite ovu jednostavniju jednadžbu.

2. 3. Korištenje monotonosti funkcije.

Rješavanje jednadžbi i nejednadžbi korištenjem svojstva monotonosti temelji se na sljedećim izjavama.

Neka je f(x) kontinuirana i strogo monotona funkcija na intervalu L, tada jednadžba f(x)=C, gdje je C zadana konstanta, može imati najviše jedno rješenje na intervalu L. Neka je f(x) i g(x) su neprekidne funkcije na intervalu L, f(x) striktno raste, a g(x) striktno opada na tom intervalu, tada jednadžba f(x)=g(x) može imati najviše jedno rješenje na interval L.

Primijetimo da interval L može biti beskonačni interval (-∞; +∞), polubeskonačni intervali (a; +∞), (-∞; a), [a; +∞), (-∞; a], segmenti, intervali i poluintervali.

Primjer 1. Riješite jednadžbu

(18)

Riješenje. Očito, od tada x0 ne može biti rješenje jednadžbe (18). . Za x>0 funkciju kontinuirano i strogo rastuće, kao produkt dviju kontinuiranih pozitivnih strogo rastućih funkcija f=x i https://pandia.ru/text/78/500/images/image157_0.gif" width="119" height="34" > uzima svaku svoju vrijednost u točno jednoj točki. Lako je vidjeti da je x=1 rješenje jednadžbe (18), dakle, ovo je njezino jedino rješenje.

Odgovor: x=1.

Primjer 2. Riješite nejednadžbu

. (19)

Riješenje. Svaka od funkcija , , kontinuirana je i strogo rastuća na cijeloj osi. To znači da je izvorna funkcija ista . Lako je vidjeti da za x=0 funkcija poprima vrijednost 3. Zbog kontinuiteta i stroge monotonosti ove funkcije za x>0 imamo , na x<0 имеем . Prema tome, sva rješenja nejednadžbe (19) su x<0.

Odgovor: -∞

Primjer 3. Riješite jednadžbu

(20)

Riješenje. Raspon dopuštenih vrijednosti jednadžbe (20) je interval . Na području važećih vrijednosti funkcije I su kontinuirane i strogo padajuće, dakle, funkcija je kontinuirana i padajuća. Stoga funkcija h(x) poprima svaku vrijednost samo u jednoj točki. Kako je h(2)=2, onda je x=2 jedini korijen izvorne jednadžbe.

Odgovor: x=2.

Primjer 4. Riješite nejednadžbu

Rješenje... gif" width="95" height="25 src="> prikazano je na slici 7. Iz slike proizlazi da za sve x iz ODZ vrijedi nejednakost (26).

Dokažimo to. Za svaki imamo , i za svaki takav x imamo da https://pandia.ru/text/78/500/images/image211_1.gif" width="63 height=23" height="23"> mi imati . Posljedično, rješenja nejednadžbe (26) bit će svi x iz intervala [-1;1].

Primjer 2. Riješite jednadžbu

. (27)

Rješenje..gif" width="123" height="24"> i prikazani su na slici 8. Nacrtajmo ravnu liniju y=2. Iz slike proizlazi da graf funkcije f(x) ne leži niže od ove crte, a graf funkcije g(x) ne više. Štoviše, ovi grafikoni dodiruju ravnu liniju y=2 u različitim točkama. Dakle, jednadžba nema rješenja. Dokažimo to. Za svaki imamo , a . U ovom slučaju, f(x)=2 samo za x=-1, a g(x)=2 samo za x=0. To znači da jednadžba (27) nema rješenja.

Odgovor: nema rješenja.

Primjer 3. Riješite jednadžbu

. (28)

Rješenje..gif" width="95" height="25 src="> prikazani su na slici 9. Lako je provjeriti da je točka (-1; -2) sjecište grafova funkcija f( x) i g(x), odnosno x=-1 je rješenje jednadžbe (28).Povucimo ravnu liniju y=x-1.Iz slike proizlazi da se ona nalazi između grafova funkcija y=f(x) i y=g(x).Ovo opažanje pomaže dokazati da jednadžba (28) nema drugih rješenja.

Da bismo to učinili, dokazujemo da je x iz intervala (-1; +∞) nejednakosti i , a za x iz intervala (-∞; -1) nejednakosti https://pandia.ru/text/78/500 /images/image229_1 .gif" width="89" height="21 src=">. Očito, nejednakost vrijedi za x>-1, a nejednakost https://pandia.ru/text/78/500/ images/image228_1.gif" width="93" height="24">..gif" width="145" height="25">. Sva rješenja ove nejednakosti su x<-1. Точно так же показывается, что решениями неравенства являются все х>-1.

Posljedično, tražena tvrdnja je dokazana, a jednadžba (28) ima jedan korijen x=-1.

Odgovor: x=-1.

Primjer 4. Riješite nejednadžbu

. (29)

Rješenje..gif" width="39" height="19 src=">, odnosno ODZ se sastoji od tri razmaka, , https://pandia.ru/text/78/500/images/image234_1.gif" width= "52" height="41">, je ekvivalent nejednakosti

, (30)

a u području x>0 ekvivalentna je nejednakosti

. (31)

Skice grafa funkcije a prikazani su na slici 10..gif" width="56" height="45"> i .

Dakle, nejednadžba (31) nema rješenja, a nejednadžba (30) će imati rješenja za sve x iz intervala .

Dokažimo to.

A) Neka . Nejednadžba (29) je ekvivalentna nejednadžbi (30) na ovom intervalu. Lako je vidjeti da za svaki x iz ovog intervala vrijede nejednakosti

,

.

Prema tome, nejednadžba (30), a s njom i izvorna nejednadžba (29), nemaju rješenja na intervalu .

B) Neka . Tada je nejednadžba (29) također ekvivalentna nejednadžbi (30). Za svaki x iz ovog intervala

,

Posljedično, svaki takav x je rješenje nejednadžbe (30), a time i izvorne nejednadžbe (29).

C) Neka je x>0. Na ovom skupu je izvorna nejednadžba ekvivalentna nejednadžbi (31). Očito, za bilo koji x iz ovog skupa vrijede sljedeće nejednakosti:

,

Iz čega slijedi:

1) nejednadžba (31) nema rješenja na skupu gdje , odnosno nejednadžba (31) nema rješenja na skupu ;

2) nejednadžba (31) nema rješenja na skupu gdje https://pandia.ru/text/78/500/images/image253_1.gif" width="60" height="19">. Ostaje pronaći rješenja nejednadžbe (31 ) koji pripada intervalu 1