Interpolacijske formule Lagrangea, Newtona i Stirlinga itd. kada se koristi veliki broj interpolacijskih čvorova na cijelom segmentu [ a, b] često dovode do loše aproksimacije zbog gomilanja pogrešaka tijekom procesa izračuna. Osim toga, zbog divergentnosti procesa interpolacije, povećanje broja čvorova ne mora nužno poboljšati točnost. Kako bi se smanjile pogreške, cijeli segment [ a, b] je podijeljen na parcijalne segmente i na svakom od njih je funkcija zamijenjena približno polinomom niskog stupnja. To se zove piecewise polinomska interpolacija.

Jedna od metoda interpolacije preko cijelog segmenta [ a, b] je spline interpolacija.

Spline je djelomično polinomska funkcija definirana na intervalu [ a, b] i ima određeni broj kontinuiranih izvodnica na ovom segmentu. Prednosti spline interpolacije u usporedbi s konvencionalnim metodama interpolacije su konvergencija i stabilnost računskog procesa.

Razmotrimo jedan od najčešćih slučajeva u praksi - interpolaciju funkcije kubni spline.
Neka na segmentu [ a, b] određena je kontinuirana funkcija. Uvedimo particiju segmenta:

i označavaju, .

Spline koji odgovara zadanoj funkciji i interpolacijskim čvorovima (6) je funkcija koja zadovoljava sljedeće uvjete:

1) na svakom segmentu funkcija je kubni polinom;

2) funkcija, kao i njena prva i druga derivacija, su neprekidne na intervalu [ a, b] ;

Treći uvjet je tzv uvjet interpolacije. Poziva se spline definiran uvjetima 1) – 3). interpolirajući kubni splajn.

Razmotrimo metodu za konstruiranje kubičnog splajna.

Na svakom od segmenata, Potražit ćemo spline funkciju u obliku polinoma trećeg stupnja:

(7)

Gdje tražene koeficijente.

Diferencirajmo (7) tri puta s obzirom na x:

odakle slijedi

Iz uvjeta interpolacije 3) dobivamo:

To proizlazi iz uvjeta neprekidnosti funkcije.

Krivulje i površine koje se susreću u praktičnim problemima često imaju prilično složen oblik, što ne dopušta univerzalni analitički zadatak u cjelini korištenjem elementarnih funkcija. Stoga se sastavljaju od relativno jednostavnih glatkih fragmenata - segmenata (krivulja) ili rezova (ploha), od kojih se svaki može sasvim zadovoljavajuće opisati pomoću elementarnih funkcija jedne ili dvije varijable. U ovom slučaju, sasvim je prirodno zahtijevati da glatke funkcije koje se koriste za konstruiranje parcijalnih krivulja ili površina budu slične prirode, na primjer, trebaju biti polinomi istog stupnja. A kako bi rezultirajuća krivulja ili površina bila dovoljno glatka, morate biti posebno pažljivi gdje se odgovarajući fragmenti spajaju. Stupanj polinoma bira se iz jednostavnih geometrijskih razmatranja i u pravilu je mali. Za glatku promjenu tangente duž cijele složene krivulje dovoljno je spojene krivulje opisati polinomima trećeg stupnja, kubnim polinomima. Koeficijenti takvih polinoma uvijek se mogu odabrati tako da je zakrivljenost odgovarajuće složene krivulje kontinuirana. Kubični splinovi, koji nastaju pri rješavanju jednodimenzionalnih problema, mogu se prilagoditi konstrukciji fragmenata kompozitnih ploha. I ovdje se bikubični splineovi pojavljuju sasvim prirodno, opisani pomoću polinoma trećeg stupnja u svakoj od dvije varijable. Rad s takvim splajnovima zahtijeva znatno veću količinu izračuna. Ali pravilno organiziran proces omogućit će da se u najvećoj mjeri uzmu u obzir stalno rastuće mogućnosti računalne tehnologije. Spline funkcije Neka na segmentu, tj. Napomena. Na to ukazuje indeks (t) brojeva a^. da je skup koeficijenata koji određuje funkciju 5(x) na svakom parcijalnom segmentu D različit. Na svakom od segmenta D1, spline 5(x) je polinom stupnja p i određen je na ovom segmentu s p + 1 koeficijentom. Ukupni parcijalni segmenti - zatim. To znači da je za potpuno određivanje spline-a potrebno pronaći (p + 1), a zatim brojevima znači kontinuitet funkcije 5(x) i njezinih izvodnica u svim unutarnjim čvorovima mreže w. Broj takvih čvorova je m - 1. Dakle, da bi se pronašli koeficijenti svih polinoma, dobiva se p(m - 1) uvjeta (jednadžbi). Za potpuno definiranje splinea nema dovoljno uvjeta (jednadžbi) određen prirodom problema koji se razmatra, a ponekad jednostavno željom korisnika. TEORIJA SPLINE Primjeri rješenja Problemi interpolacije i izglađivanja najčešće se razmatraju kada je potrebno konstruirati jedan ili drugi spline iz zadanog niza točaka na ravnini Problemi interpolacije zahtijevaju da spline graf prolazi kroz točke, što nameće m + 1 dodatnih uvjete (jednadžbe) na njegove koeficijente. Preostali p - 1 uvjeti (jednadžbe) za jedinstvenu konstrukciju splinea najčešće su navedeni u obliku vrijednosti nižih derivacija splinea na krajevima segmenta koji se razmatra [a, 6] - granica ( rub) uvjeti. Mogućnost odabira različitih rubnih uvjeta omogućuje vam da konstruirate splineove s različitim svojstvima. U problemima izglađivanja, spline se konstruira tako da njegov graf prolazi blizu točaka (i""Y"), * = 0, 1,..., t, a ne kroz njih. Mjera ove blizine može se definirati na različite načine, što dovodi do značajne raznolikosti izglađujućih splajnova. Opisane mogućnosti izbora pri konstrukciji splajn funkcija ne iscrpljuju svu njihovu raznolikost. A ako su se u početku razmatrale samo podjelno polinomne spline funkcije, onda su se, kako se proširio opseg njihove primjene, spline počeli pojavljivati, "zalijepljeni" od drugih elementarnih funkcija. Interpolacijski kubični spline Izjava problema interpolacije Neka je mreža w dana na segmentu [a, 6). Razmotrimo skup brojeva Problem. Konstruirajte glatku funkciju na segmentu (a, 6] koja uzima određene vrijednosti u čvorovima mreže o", to jest Napomena: Formulirani problem interpolacije sastoji se od vraćanja glatke funkcije navedene u tablici (slika 2). Jasno je da takav problem ima mnogo različitih rješenja. Nametanjem dodatnih uvjeta konstruiranoj funkciji moguće je postići potrebnu jedinstvenost. U primjenama često postoji potreba za aproksimacijom analitički definirane funkcije s propisanom dovoljno dobrom svojstva, na primjer, u slučajevima kada se vrijednosti zadane funkcije /(x) izračunavaju u točkama [a, 6] povezana je sa značajnim poteškoćama i/ili zadana funkcija /(x) nema potrebna glatkoća, pogodno je koristiti drugu funkciju koja bi prilično dobro aproksimirala datu funkciju i bila bi lišena svojih nedostataka u čvorovima mreže w sa zadanom funkcijom f(x). Definicija interpolirajućeg kubičnog splajna Interpolirajući kubični splajn S(x) na mreži w je funkcija koja je 1) na svakom od segmenata polinom trećeg stupnja, 2) dvaput je kontinuirano diferencijabilna na segmentu [a, b ], odnosno pripada klasi C2[ a, 6], i 3) zadovoljava uvjete Na svakom od segmenata, spline S(x) je polinom trećeg stupnja i određen je na ovom segmentu s četiri koeficijenta. . Ukupan broj segmenata je m. To znači da je za potpuno definiranje spline potrebno pronaći 4m brojeva. (x) na svim unutarnjim čvorovima mreže w. Broj takvih čvorova je m - 1. Dakle, da bi se pronašli koeficijenti svih polinoma, dobiju se još 3 (m - 1) uvjeta (jednadžbi). Zajedno s uvjetima (2) dobivaju se uvjeti (jednadžbe). Rubni (rubni) uvjeti Dva nedostajuća uvjeta navedena su u obliku ograničenja vrijednosti splinea i/ili njegovih izvodnica na krajevima intervala [a, 6]. Pri konstruiranju interpolirajućeg kubičnog splajna najčešće se koriste sljedeće četiri vrste rubnih uvjeta. A. Rubni uvjeti 1. vrste. - na krajevima intervala [a, b] navedene su vrijednosti prve derivacije željene funkcije. B. Rubni uvjeti 2. vrste. - na krajevima intervala (a, 6) navedene su vrijednosti druge derivacije željene funkcije. B. Rubni uvjeti 3. vrste. nazivaju se periodičnim. Prirodno je zahtijevati ispunjenje ovih uvjeta u slučajevima kada je interpolirana funkcija periodična s periodom T = b-a. D. Rubni uvjeti 4. vrste. zahtijevaju poseban komentar. Komentar. U unutarnjim sepsi čvorovima treća derivacija funkcije S(x), općenito govoreći, je diskontinuirana. Međutim, broj diskontinuiteta treće derivacije može se smanjiti pomoću uvjeta tipa 4. U ovom slučaju, konstruirani spline će biti kontinuirano diferencijabilan tri puta na intervalima. Konstrukcija interpolirajućeg kubičnog splina. Opišimo metodu za izračunavanje koeficijenata kubičnog splina, u kojem je broj veličina koje treba odrediti jednak. Na svakom od intervala traži se interpolacijska spline funkcija u sljedećem obliku. Ovdje su TEORIJA SPLINE rješenja i brojevi rješenja sustava linearnih algebarskih jednadžbi, čiji oblik ovisi o vrsti rubnih uvjeta. Za rubne uvjete tipa 1 i 2 ovaj sustav ima sljedeći oblik gdje koeficijenti ovise o izboru rubnih uvjeta. Rubni uvjeti 1. vrste: Rubni uvjeti 2. vrste: U slučaju rubnih uvjeta 3. vrste sustav za određivanje brojeva zapisuje se na sljedeći način: Broj nepoznanica u posljednjem sustavu jednak je mn, jer je iz uvjeta periodičnosti slijedi po = nm. Za rubne uvjete 4. tipa sustav za određivanje brojeva ima oblik gdje se Na temelju pronađenog rješenja sustava brojevi po i n mogu odrediti pomoću formula. Matrice sva tri linearna algebarska sustava su dijagonalno dominantne matrice. Matrice nisu singularne, pa stoga svaki od ovih sustava ima jedinstveno rješenje. Teorema. Interpolacijski kubični spline koji zadovoljava uvjete (2) i rubni uvjet jednog od četiri gore navedena tipa postoji i jedinstven je. Dakle, konstruirati interpolirajući kubični splajn znači pronaći njegove koeficijente. Kada se pronađu koeficijenti splajna, vrijednost splajna S(x) u proizvoljnoj točki segmenta [a, b] može se pronaći pomoću formule (3). . Međutim, za praktične izračune prikladniji je sljedeći algoritam za pronalaženje vrijednosti 5(g). Neka je x 6 [x", Prvo se vrijednosti A i B izračunaju pomoću formula, a zatim se pronađe vrijednost 5(x): Korištenje ovog algoritma značajno smanjuje računske troškove određivanja vrijednosti. Savjeti za korisnik Izbor graničnih (rubnih) uvjeta i interpolacijskih čvorova omogućuje vam da u određenoj mjeri kontrolirate svojstva interpolacijskih splajnova. A. Izbor rubnih (rubnih) uvjeta. Izbor rubnih uvjeta jedan je od središnjih problema u interpolaciji funkcija. To postaje posebno važno u slučaju kada je potrebno osigurati visoku točnost aproksimacije funkcije f(x) splajnom 5(g) u blizini krajeva segmenta [a, 6). Granične vrijednosti imaju primjetan učinak na ponašanje splajna 5(g) u blizini točaka a i b, a taj utjecaj brzo slabi kako se čovjek udaljava od njih. Odabir rubnih uvjeta često je određen dostupnošću dodatnih informacija o ponašanju aproksimirane funkcije f(x). Ako su vrijednosti prve derivacije f"(x) poznate na krajevima segmenta (a, 6), tada je prirodno koristiti rubne uvjete 1. tipa. Ako su vrijednosti druge derivacije f"(x) su poznati na krajevima segmenta [a, 6], onda su to granični uvjeti prirodne uporabe tipa 2. Ako postoji izbor između rubnih uvjeta tipa 1 i 2, prednost treba dati uvjetima tipa 1. Ako je f(x) periodična funkcija, tada bismo se trebali zaustaviti na rubnim uvjetima tipa 3. Ako nema dodatnih podataka o ponašanju aproksimirane funkcije, često se koriste tzv. prirodni rubni uvjeti. Međutim, treba imati na umu da se takvim izborom rubnih uvjeta smanjuje točnost aproksimacije funkcije f(. x) splineom S(x) blizu krajeva segmenta (a, ft] naglo se smanjuje. Ponekad se koriste rubni uvjeti 1. ili 2. tipa, ali ne s točnim vrijednostima odgovarajućih izvodnica, već s njihovim razlika aproksimacija. Praktično iskustvo proračuna pokazuje da je to najprikladniji izbor rubnih uvjeta. B. Izbor interpolacijskih čvorova. Ako treća derivacija f""(x) funkcije ima diskontinuitet u nekim točkama segmenta [a, b], tada za poboljšanje kvalitete aproksimacije te točke treba uključiti u broj interpolacijskih čvorova. Ako je druga derivacija /"(x) diskontinuirana, tada je potrebno poduzeti posebne mjere da bi se izbjeglo osciliranje splinea u blizini točaka diskontinuiteta. Tipično se interpolacijski čvorovi biraju tako da točke diskontinuiteta druge derivacije padaju unutar intervala \xif), tako da se vrijednost a može odabrati pomoću numeričkog eksperimenta (često je dovoljno postaviti a = 0,01). (x) je diskontinuirana. Kao jedan od najjednostavnijih, možemo predložiti ovo: podijelite segment aproksimacije na intervale gdje je derivacija kontinuirana, i konstruirajte spline na svakom od tih intervala. Odabir funkcije interpolacije (za i protiv) Pristup 1. Lagrangeov interpolacijski polinom Za dani niz TEORIJA SPLINE primjera rješenja (slika 3), Lagrangeov interpolacijski polinom određen je formulom. Preporučljivo je razmotriti svojstva Lagrangeovog interpolacijskog polinoma s dvije suprotne pozicije, raspravljajući o glavnim prednostima odvojeno od nedostatke. Glavne prednosti 1. pristupa: 1) graf Lagrangeovog interpolacijskog polinoma prolazi kroz svaku točku niza, 2) konstruirana funkcija se lako opisuje (broj koeficijenata Lagrangeovog interpolacijskog polinoma na mreži koji treba odrediti je jednako m + 1), 3) konstruirana funkcija ima kontinuirane derivacije bilo kojeg reda, 4) interpolacijski polinom jednoznačno je određen danim nizom. Glavni nedostaci 1. pristupa: 1) stupanj Lagrangeovog interpolacijskog polinoma ovisi o broju čvorova mreže, a što je taj broj veći, to je veći stupanj interpolacijskog polinoma i, prema tome, potrebno je više izračuna, 2) promjena barem jedne točke u nizu zahtijeva potpuni ponovni izračun koeficijenata Lagrangeovog interpolacijskog polinoma, 3) dodavanje nove točke u niz povećava stupanj Lagrangeova interpolacijskog polinoma za jedan i također dovodi do potpunog ponovnog izračuna njegovih koeficijenata , 4) s neograničenim usklađivanjem mreže, stupanj Lagrangeova interpolacijskog polinoma raste neograničeno. Ponašanje Lagrangeovog interpolacijskog polinoma s neograničenim usklađivanjem mreže općenito zahtijeva posebnu pozornost. Komentari A. O aproksimaciji kontinuirane funkcije polinomom. Poznato je (Weierstrass, 1885) da se bilo koja kontinuirana (a još više glatka) funkcija na intervalu može aproksimirati kao i željeti na tom intervalu polinomom. Opišimo tu činjenicu jezikom formula. Neka je f(x) funkcija kontinuirana na intervalu [a, 6]. Tada za bilo koji e > 0 postoji polinom R„(x) takav da će za bilo koji x iz intervala [a, 6] nejednakost biti zadovoljena (slika 4). Primijetite da polinomi čak i istog stupnja koji aproksimiraju funkciju f(x) s navedenom točnošću ima beskonačno mnogo. Konstruirajmo mrežu w na segmentu [a, 6]. Jasno je da se njegovi čvorovi, općenito govoreći, ne poklapaju sa sjecištima grafova polinoma Pn(x) i funkcije f(x) (slika 5). Stoga, za danu mrežu, polinom Pn(x) nije interpolacija. Kada se kontinuirana funkcija aproksimira Jla-graczovim interpolacijskim polinomom, njezin graf ne samo da ne mora biti blizu grafa funkcije f(x) u svakoj točki segmenta [a, b), nego može odstupati od ovu funkciju onoliko koliko želite. Navedimo dva primjera. Primjer 1 (Rung, 1901). S neograničenim povećanjem broja čvorova za funkciju na intervalu [-1, 1] granična jednakost je zadovoljena (slika 6) Primjer 2 (Beristein, 1912). Niz Lagrangeovih interpolacijskih polinoma konstruiranih na uniformnim mrežama za kontinuiranu funkciju /(x) = |x| na segmentu s rastućim brojem čvorova m ne teži funkciji /(x) (slika 7). Pristup 2. Komadno linearna interpolacija Ako se odustane od glatkoće interpolirane funkcije, omjer broja prednosti i broja nedostataka može se primjetno promijeniti prema prvome. Konstruirajmo komadno linearnu funkciju uzastopnim povezivanjem točaka (xit y) s ravnim segmentima (slika 8). Glavne prednosti 2. pristupa: 1) graf komadno-linearne funkcije prolazi kroz svaku točku niza, 2) konstruirana funkcija se lako opisuje (broj koeficijenata odgovarajućih linearnih funkcija treba odrediti za mrežu ( 1) je 2m), 3) konstruirana funkcija definirana je zadanim nizom jedinstveno, 4) stupanj polinoma korištenih za opisivanje funkcije interpolacije ne ovisi o broju čvorova mreže (jednak 1), 5) mijenjanje jedna točka u nizu zahtijeva izračunavanje četiri broja (koeficijenti dviju ravnih veza koje izlaze iz nove točke), 6) dodavanje dodavanje dodatne točke nizu zahtijeva izračunavanje četiri koeficijenta. Djelomično linearna funkcija također se prilično dobro ponaša pri pročišćavanju mreže. Glavni nedostatak 2. pristupa: aproksimirajuća podjelno linearna funkcija nije glatka: prve derivacije trpe diskontinuitet u čvorovima mreže (uši interpolacije). Pristup 3. Spline interpolacija Predloženi pristupi mogu se kombinirati tako da se očuva niz navedenih prednosti oba pristupa uz istovremeno smanjenje broja nedostataka. To se može učiniti konstruiranjem glatke interpolacijske spline funkcije stupnja p. Glavne prednosti 3. pristupa: 1) graf konstruirane funkcije prolazi kroz svaku točku niza, 2) konstruiranu funkciju je relativno lako opisati (broj koeficijenata odgovarajućih polinoma treba odrediti za mrežu ( 1) jednaka je 3) konstruirana funkcija je jedinstveno definirana zadanim nizom, 4) polinom stupnja ne ovisi o broju čvorova mreže i stoga se ne mijenja kako raste, 5) konstruirana funkcija ima kontinuiranu derivacije do reda p - 1 uključivo, 6) konstruirana funkcija ima dobra svojstva aproksimacije. Kratke informacije. Predloženi naziv - spline - nije slučajan - glatke komadno polinomske funkcije koje smo uveli i crtanje splineova usko su povezani. Razmotrimo fleksibilno idealno tanko ravnalo koje prolazi kroz referentne točke niza smještene na (x, y) ravnini. Prema Bernoulli-Eulerovom zakonu, linearizirana jednadžba zakrivljenog ravnala ima oblik gdje je S(x) savijanje, M(x) moment savijanja koji linearno varira od oslonca do oslonca, E1 je krutost ravnala . Funkcija S(x), koja opisuje crte formula, je polinom trećeg stupnja između svake i dvije susjedne točke niza (nosača) i dva puta je kontinuirano diferencijabilna na cijelom intervalu (a, 6). Komentar. 06 interpoliranje kontinuirane funkcije Za razliku od Lagrangeovih interpolacijskih polinoma, slijed interpolirajućih kubičnih splineova na uniformnoj mreži uvijek konvergira interpolirajućoj kontinuiranoj funkciji, a kako se diferencijalna svojstva ove funkcije poboljšavaju, brzina konvergencije raste. Primjer. Za funkciju, kubični spline na mreži s brojem čvorova m = 6 daje pogrešku aproksimacije istog reda kao interpolacijski polinom Ls(z), a na mreži s brojem čvorova m = 21 ta je pogreška jednaka toliko mali da se u mjerilu običnog crteža knjige jednostavno ne može prikazati (slika 10) (interpolacijski polinom 1>2o(r) daje u ovom slučaju pogrešku od oko 10 000 J). Svojstva interpolacijskog kubičnog splajna A. Alproksimativna svojstva kubičnog splajna. Svojstva aproksimacije interpolacijskog splajna ovise o glatkoći funkcije f(x) - što je veća glatkoća interpolirane funkcije, to je viši red aproksimacije i, kod pročišćavanja mreže, veća je brzina konvergencije. Ako je interpolirana funkcija f(x) kontinuirana na intervalu Ako interpolirana funkcija f(x) ima kontinuiranu prvu derivaciju na intervalu [a, 6], odnosno interpolacijski spline koji zadovoljava rubne uvjete 1. ili 3. tipa, tada za h O imamo U ovom slučaju, ne samo da spline konvergira interpoliranoj funkciji, već i derivacija splinea konvergira derivaciji te funkcije. Ako spline S(x) aproksimira funkciju f(x) na segmentu [a, b], a njegova prva i druga derivacija aproksimiraju funkciju B, redom Ekstremno svojstvo kubičnog splina. Interpolacijski kubični spline ima još jedno korisno svojstvo. Razmotrite sljedeći primjer. primjer. Konstruirajte funkciju /(x) koja minimizira funkcional na klasi funkcija iz prostora C2, čiji grafovi prolaze kroz točke niza između svih funkcija koje prolaze kroz referentne točke (x;, /(x,. )) i pripada navedenom prostoru, to je kubični spline 5(x), koji zadovoljava rubne uvjete, daje ekstrem (minimum) funkcionalu. Često se ovo ekstremno svojstvo uzima kao definicija interpolirajućeg kubika spline. Opaska 2. Zanimljivo je uočiti da interpolacijski kubični spline ima svojstvo ekstremnosti opisano gore na vrlo širokoj klasi funkcija, naime na klasi |o, 5]. 1.2. Izglađivanje kubičnih splineova O formulaciji problema izglađivanja Neka su zadani mreža i skup brojeva Komentar početnih podataka U praksi se često moramo suočiti sa slučajem kada su vrijednosti y u nizu navedene s nekim greška. Zapravo, to znači da je za svaki određen interval i bilo koji broj iz tog intervala može se uzeti kao vrijednost y, . Prikladno je tumačiti vrijednosti y, na primjer, kao rezultate mjerenja neke funkcije y(x) za zadane vrijednosti varijable x, koja sadrži slučajnu pogrešku. Prilikom rješavanja problema vraćanja funkcije iz takvih "eksperimentalnih" vrijednosti, teško da je preporučljivo koristiti interpolaciju, budući da će interpolacijska funkcija poslušno reproducirati bizarne oscilacije uzrokovane slučajnom komponentom u nizu (y,). Prirodniji pristup temelji se na postupku izglađivanja koji je dizajniran da nekako smanji element slučajnosti u rezultatima mjerenja. Obično se u takvim problemima traži pronaći funkciju čije bi vrijednosti za x = x, * = 0, 1,.... m spadale u odgovarajuće intervale i koja bi, osim toga, imala prilično dobra svojstva. Na primjer, imao bi kontinuiranu prvu i drugu derivaciju ili mu graf ne bi bio previše zakrivljen, odnosno ne bi imao jake oscilacije. Problem ove vrste također nastaje kada je za zadani (točno) niz potrebno konstruirati funkciju koja ne prolazi kroz zadane točke, već blizu njih i, štoviše, mijenja se sasvim glatko. Drugim riječima, činilo se da tražena funkcija izglađuje dani niz, umjesto da ga interpolira. Neka su zadana mreža w i dva skupa brojeva. TEORIJA SPLAJNA Primjeri rješenja. Konstruirajte glatku funkciju na segmentu [a, A] čije se vrijednosti u čvorovima mreže u razlikuju od brojeva y za zadane vrijednosti. Formulirani problem zaglađivanja je obnova glatka funkcija navedena u tablici. Jasno je da takav problem ima mnogo različitih rješenja. Postavljanjem dodatnih uvjeta na konstruiranu funkciju može se postići potrebna jednoznačnost. Definicija izglađujućeg kubičnog splajna Izglađujući kubični splajn S(x) na rešetki w je funkcija koja je 1) na svakom od segmenata polinom trećeg stupnja, 2) dvaput je kontinuirano diferencijabilna na segmentu [a, 6 ], odnosno pripada klasi C2 [a , b], 3) daje minimum funkcionalu gdje su zadani brojevi, 4) zadovoljava rubne uvjete jednog od tri dolje navedena tipa. Rubni (rubni) uvjeti Rubni uvjeti navedeni su u obliku ograničenja vrijednosti splinea i njegovih izvodnica na graničnim čvorovima mreže w. A. Rubni uvjeti tipa 1. - na krajevima intervala [a, b) navedene su vrijednosti prve derivacije željene funkcije. Rubni uvjeti tipa 2. - druge derivacije željene funkcije na krajevima intervala (a, b] jednake su nuli. B. Rubni uvjeti 3. tipa nazivaju se periodičkim. Teorem. Kubni spline S(x), minimizirajući funkcional (4) i koji zadovoljava rubne uvjete jednog od gornja tri tipa, je jedinstveno definiran. Napomena: Ukupan broj segmenata je m izvodnice u svim unutarnjim čvorovima mreže o ". Broj takvih čvorova je m - 1. Dakle, za izračunavanje koeficijenata svih polinoma, dobivamo 3(m - 1) uvjeta (jednadžbi). funkcija se traži u Ovdje su brojevi i rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi, čiji oblik ovisi o vrsti rubnih uvjeta. Najprije opišimo kako se pronalaze vrijednosti n*. Za rubne uvjete 1. i 2. tipa, sustav linearnih jednadžbi za određivanje vrijednosti Hi zapisan je u sljedećem obliku gdje su poznati brojevi). Koeficijenti ovise o izboru rubnih uvjeta. Rubni uvjeti 1. vrste: Rubni uvjeti 2. vrste: U slučaju rubnih uvjeta 3. vrste, sustav za određivanje brojeva zapisan je na sljedeći način: a svi koeficijenti se izračunavaju prema formulama (5) (vrijednosti s indeksima k i m + k smatraju se jednakima: Važna* napomena. Matrice sustava nisu degenerirane i stoga svaki od tih sustava ima jedinstveno rješenje. Ako se pronađu brojevi n, - tada se veličine lako određuju formulama gdje U slučaju periodičnih rubnih uvjeta, izbor njegovih koeficijenata p, - uključenih u funkcional (4), omogućuje vam da do određene mjere kontrolirate svojstva izglađujućih linija. Ako sve i izglađujući spline ispadne interpolacija. To posebno znači da što su točnije navedene vrijednosti, očekuje se da će odgovarajući težinski koeficijenti biti manji. Ako je potrebno da spline prolazi kroz točku (x^, Vk), onda težinski faktor p\ koji mu odgovara treba postaviti jednak nuli. U praktičnim proračunima najvažniji je izbor vrijednosti pi- Neka D, - pogreška u mjerenju vrijednosti y,. Tada je prirodno zahtijevati da izglađujući splajn zadovoljava uvjet ili, što je isto, težinski koeficijenti pi mogu se specificirati, na primjer, u obliku - gdje je c neka dovoljno mala konstanta. Međutim, ovaj izbor težina p ne dopušta korištenje "hodnika" zbog pogrešaka u vrijednostima y, -. Racionalniji, ali i radno intenzivniji algoritam za određivanje p vrijednosti može izgledati ovako. Ako su vrijednosti pronađene u fc-toj iteraciji, tada se pretpostavlja da gdje je e mali broj koji je odabran eksperimentalno uzimajući u obzir bitnu mrežu računala, vrijednosti D i točnost rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Ako se u fc-toj iteraciji u točki i prekrši uvjet (6), tada će zadnja formula osigurati smanjenje odgovarajućeg težinskog koeficijenta p,. Ako zatim u sljedećoj iteraciji, povećanje p dovodi do potpunijeg korištenja "koridora" (6) i, u konačnici, do glatko mijenjajućeg splajna. Malo teorije A. Obrazloženje formula za izračunavanje koeficijenata interpolacijskog kubičnog splajna. Uvedimo oznaku gdje su m trenutno nepoznate veličine. Njihov broj je jednak m + 1. Spline napisan u obliku gdje zadovoljava uvjete interpolacije i kontinuiran je na cijelom intervalu [a, b\: stavljajući ga u formulu, dobivamo, redom, da ima a kontinuirana prva derivacija na intervalu [a, 6]: Diferenciranjem relacije (7) i njezinim stavljanjem dobivamo odgovarajuću zapravo. Pokažimo da se brojevi m mogu odabrati tako da spline funkcija (7) ima kontinuiranu drugu derivaciju na intervalu [a, 6]. Izračunajmo drugu derivaciju spline-a na intervalu: U točki x, - 0 (pri t = 1) imamo Izračunajmo drugu derivaciju spline-a na intervalu U točki imamo Iz uvjeta neprekidnosti spline-a. druga derivacija u unutarnjim čvorovima mreže a; dobivamo m - 1 relaciju gdje Dodavanjem ovih m - 1 jednadžbi još dvije, koje slijede iz rubnih uvjeta, dobivamo sustav od m + 1 linearnih algebarskih jednadžbi s m + I nepoznatim miy i = 0, 1. ... , m. Sustav jednadžbi za izračunavanje vrijednosti rsh u slučaju rubnih uvjeta 1. i 2. tipa ima oblik gdje je (rubni uvjeti 1. tipa), (rubni uvjeti 2. tipa). Za periodične rubne uvjete (rubni uvjeti tipa 3), mreža o; proširiti za još jedan čvor i pretpostaviti Tada će sustav za određivanje vrijednosti σ* imati kontinuitet oblika u drugom i (th - !)-tom čvoru mreže. Imamo Iz posljednje dvije relacije dobivamo nedostajuće dvije jednadžbe koje odgovaraju rubnim uvjetima 4. tipa: Isključivanjem nepoznatog goo iz jednadžbi, te nepoznatog pc iz jednadžbi, kao rezultat dobivamo sustav jednadžbi. Imajte na umu da je broj nepoznanica u ovom sustavu th - I. 6. Obrazloženje formula za izračun učinkovitosti izglađujućeg podšahovskog splajna. Uvedimo oznaku gdje su Zi i nj trenutno nepoznate veličine. Njihov broj je 2m + 2. Spline funkcija zapisana u obliku je kontinuirana na cijelom intervalu 8), imala je kontinuiranu prvu derivaciju na intervalu [a, 6]. Izračunajmo prvu derivaciju splajna S(x) na intervalu: U točki x^ - 0 (pri t = 1) imamo Izračunajmo prvu derivaciju splajna 5(x) na intervalu: U točki imamo Iz uvjeta neprekidnosti prve derivacije splinea na unutarnjim čvorovima mreže i --> dobivamo relaciju m - 1. Dodatno se koristi sljedeća oznaka na intervalu [a, 6). ima kontinuiranu drugu derivaciju: diferenciranjem relacije (8) i njezinim stavljanjem dobivamo, odnosno, matričnu relaciju dobivamo iz uvjeta za minimum funkcionala (4). Imamo Posljednje dvije matrične jednakosti mogu se smatrati linearnim sustavom od 2m + 2 linearne algebarske jednadžbe za 2m + 2 nepoznanice. Zamjenom stupca r u prvoj jednakosti s njegovim izrazom dobivenim iz relacije (9) dolazimo do matrične jednadžbe TEORIJA SPLINE primjeri rješenja za određivanje stupca M. Ova jednadžba ima jedinstveno rješenje zbog činjenice da je matrica A + 6HRH7 uvijek nedegeneriran. Nakon što smo ga pronašli, lako možemo identificirati grad Eamshine. Elementi nitmagolnih matrica A i H određeni su samo parametrima mreže i (s koracima hi) i ne ovise o vrijednostima y^. Linearni prostor kubičnih spline funkcija Skup kubičnih splineova konstruiranih na segmentu [a, 6) duž mreže wcra+l čvor je linearni prostor dimenzije m + 3: 1) zbroj dvaju kubičnih splineova konstruiranih na mreži u >, i umnožak kubičnog splajna , konstruiranog na rešetki i>, s proizvoljnim brojem tajnije, su kubični splajnovi konstruirani na ovoj mreži, 2) svaki kubični splajn konstruiran na mreži i iz čvora potpuno je određen m + 1 vrijednost vrijednosti y" u tim čvorovima i dva rubna uvjeta - samo + 3 parametra. Odabirom baze u tom prostoru koja se sastoji od m + 3 linearno neovisna splajna, proizvoljan kubični splajn a(x) možemo napisati kao njihovu linearnu kombinaciju na jedinstven način. Komentar. Ova vrsta dodjele spline raširena je u računalnoj praksi. Osobito je prikladna baza podataka koja se sastoji od takozvanih kubičnih B-splajnova (osnovnih ili fundamentalnih splinova). Korištenje D-splineova može značajno smanjiti zahtjeve za memorijom računala. L-splineovi. B-splin nultog stupnja, konstruiran na brojevnom pravcu duž mreže w, naziva se B-splin stupnja k ^ I, konstruiran na brojevnom pravcu duž mreže u, a određuje se pomoću rekurentne funkcije. formula Grafovi B-splina prvog B, -1 "(g) i drugog in\7\x) stupnja prikazani su na sl. 11 odnosno 12. B-splin proizvoljnog stupnja k može biti različit od nule samo na određenom segmentu (definiranom s k + 2 čvora). slučaj uniformne mreže (s korakom A). ​​U drugim slučajevima, tipični graf kubičnog B-splajna prikazan je na slici 13. Posuđujući*, funkcija je dva puta kontinuirano diferencijabilna na intervalu, tj. pripada klasi C2[a, "), i b) je različit od nule samo na četiri uzastopna intervala (Dopunimo mrežu w pomoćnim čvorovima uzetim potpuno proizvoljno. Pomoću proširene mreže w* možemo konstruirati familija od m + 3 kubičnih B-splajnova: Ova familija čini bazu u prostoru kubičnih splajnova na segmentu (a, b]. Dakle, proizvoljni kubični spline S(z), konstruiran na segmentu |b, 6] mreže o; izm+1 čvor, može se prikazati na ovom segmentu u obliku linearne kombinacije. Uvjetima zadatka koeficijenti ft ove ekspanzije određuju se jednoznačno. ... U slučaju kada su dane vrijednosti y* funkcije u čvorovima mreže i vrijednosti y o i Vm prve derivacije funkcije na krajevima mreže (problem interpolacije s granicom uvjeti prve vrste), ti se koeficijenti izračunavaju iz sustava sljedećeg oblika. Nakon eliminacije vrijednosti b- i i &m+i, dobiva se linearni sustav s nepoznanicama 5q, ..., bm i tri- dimenzionalna matrica osigurava dijagonalnu dominaciju i, prema tome, mogućnost korištenja metode sweep-a za njegovo rješavanje. U usporedbi s algoritmima opisanim u odjeljku 1.1, uporaba R-splinea u * problemima interpolacije omogućuje nam smanjenje * količine pohranjenih informacija, odnosno značajno smanjenje zahtjeva za memorijom računala, iako dovodi do povećanja broj operacija. Konstrukcija spline krivulja korištenjem spline funkcija Gore smo razmatrali nizove čije su točke bile numerirane tako da njihove apscise tvore strogo rastući niz. Na primjer, slučaj prikazan na Sl. 14, kada različite točke niza imaju istu apscisu, nije bilo dopušteno. Ta je okolnost odredila kako izbor klase aproksimirajućih krivulja (prometnih funkcija), tako i način njihove konstrukcije. Međutim, gore predložena metoda omogućuje prilično uspješnu konstrukciju interpolacijske krivulje u općenitijem slučaju, kada numeriranje točaka niza i njihov položaj na ravnini, u pravilu, nisu povezani (slika 15). Štoviše, kada postavljamo zadatak konstruiranja interpolacijske krivulje, možemo smatrati dani niz neplanarnim, odnosno jasno je da je za rješavanje ovog općeg problema potrebno značajno proširiti klasu dopuštenih krivulja, uključujući zatvorene krivulje, krivulje sa samosjecištima i prostorne krivulje. Pogodno je opisati takve krivulje pomoću parametarskih jednadžbi. osim toga, funkcije moraju imati dovoljnu glatkoću, na primjer, pripadaju klasi C1 [a, /0] ili klasi Da biste pronašli parametarske jednadžbe krivulje koja uzastopno prolazi kroz sve točke niza, postupite na sljedeći način. 1. korak. Na proizvoljno uzetom segmentu na kojem je potrebno zamijeniti funkciju f(x) velik, može se primijeniti spline interpolacija.

1.1. Kubični splineovi.

Interpolacijski splinovi 3 red - to su funkcije koje se sastoje od dijelova polinoma 3 th narudžba. U čvorovima sučelja osiguran je kontinuitet funkcije i njezine prve i druge derivacije. Aproksimirajuća funkcija je sastavljena od pojedinačnih polinoma, obično jednako malog stupnja, svaki definiran na svom dijelu segmenta.

Neka na segmentu [ a, b] realna os x određena je mreža u čijim se čvorovima određuju vrijednosti
funkcije f(x). Potrebno je konstruirati na segmentu [ a, b] kontinuirana spline funkcija S(x), koji zadovoljava sljedeće uvjete:

Da biste konstruirali željeni spline, morate pronaći koeficijente
polinomi
,ja=1,… n, tj. 4 n nepoznati koeficijenti koji zadovoljavaju 4 n-2 jednadžbe (1), (2), (3). Da bi sustav jednadžbi imao rješenje dodaju se dva dodatna (rubna) uvjeta. Koriste se tri vrste rubnih uvjeta:

Uvjeti (1), (2), (3) i jedan od uvjeta (4), (5), (6) čine SLAE reda 4 n. Sustav se može riješiti Gaussovom metodom. Međutim, odabirom posebnog oblika pisanja kubnog polinoma možete značajno smanjiti redoslijed sustava jednadžbi koje treba riješiti.

1.2. Poseban oblik pisanja splajna.

Razmotrite segment
. Uvedimo sljedeće oznake varijabli:

Ovdje
- duljina segmenta
,

,
- pomoćne varijable,

x– međutočka na segmentu
.

Kada x prolazi kroz sve vrijednosti u intervalu
, varijabla varira od 0 do 1, i
varira od 1 do 0.

Neka kubni polinom
na segmentu
ima oblik:

Varijable I
određuju se u odnosu na određeni segment interpolacije.

Nađimo vrijednost splinea
na krajevima segmenta
. Točka
je početna točka za segment
, Zato =0,
=1 iu skladu s (3.8):
.

Na kraju segmenta
=1,
=0 i
.

Za interval
točka
je konačan, dakle =1,
=0 i iz formule (9) dobivamo:
. Dakle, uvjet neprekidnosti funkcije je zadovoljen S(x) na spojnim točkama kubnih polinoma, bez obzira na izbor brojeva  i.

Za određivanje koeficijenata  i, ja=0,… n Diferencirajmo (8) dvaput kao složenu funkciju od x. Zatim

Definirajmo druge izvodnice splajna
I
:

Za polinom
točka je početak segmenta interpolacije i =0,
=1, dakle

Iz (15) i (16) slijedi da je na intervalu [ a,b]spline funkcija, “zalijepljena” od dijelova polinoma 3. reda, ima kontinuiranu derivaciju 2. reda.

Da bi se dobila kontinuitet prve derivacije funkcije S(x), Zahtijevamo da sljedeći uvjeti budu ispunjeni u interpolacijskim čvorovima:

Za prirodni kubični spline
, stoga će sustav jednadžbi izgledati ovako:

a sustav jednadžbi (17) će izgledati ovako:

Primjer.

Početni podaci:

Funkcija zamjene
interpolacijski kubični spline, čije se vrijednosti u danim čvornim točkama (vidi tablicu) podudaraju s vrijednostima funkcije u istim točkama. Razmotrite različite rubne uvjete.

Izračunajmo vrijednost funkcije u čvornim točkama. Da biste to učinili, zamijenite vrijednosti iz tablice u zadanu funkciju.

Za različite rubne uvjete (4), (5), (6) nalazimo koeficijente kubičnih splajnova.

1. Razmotrimo prve rubne uvjete.

U našem slučaju n=3,
,
,
. Pronaći
koristimo sustav jednadžbi (3.18):

Izračunajmo I , koristeći formule (7) i (11):

Zamijenimo dobivene vrijednosti u sustav jednadžbi:

.

Sustavno rješenje:

Uzimajući u obzir prve rubne uvjete, koeficijenti splajna su:

Razmotrimo definiciju koeficijenata splajna uzimajući u obzir rubne uvjete (3.5):

Nađimo izvod funkcije
:

Izračunajmo
I
:

Zamijenimo u sustav jednadžbi (21) vrijednosti I :

Pomoću formule (20) određujemo  0 i  3:

Uzimajući u obzir specifične vrijednosti:

i vektor koeficijenata:

Izračunajmo vrijednosti kubičnog splajna S(x) u središtima interpolacijskih segmenata.

Sredine segmenata:

Za izračunavanje vrijednosti kubičnog splajna u sredinama interpolacijskih segmenata koristimo formule (7) i (9).

3.1.

Naći ćemo I
:

U formuli (3.9) zamijenimo koeficijente

3.2.

Naći ćemo I
:

, za rubne uvjete (4), (5), (6):

3.3.

Naći ćemo I
:

U formuli (9) zamjenjujemo koeficijente
, za rubne uvjete (4), (5), (6):

Napravimo tablicu:

	(1 cr.cond.)	(2 kredita)	(3 kredita)

Neka je dana tablica vrijednosti funkcije y i u čvorovima x 0 < х 1 < ... < х п .Označiti h i = x i – x i -1 , ja= 1, 2, ... , P.

Spline– glatka krivulja koja prolazi kroz zadane točke ( x i, y i), ja = 0, 1, ... , P. Spline interpolacija je to na svakom segmentu [ x i -1 , x i] koristi se polinom određenog stupnja. Najčešće se koristi polinom trećeg stupnja, rjeđe drugog ili četvrtog. U ovom slučaju za određivanje koeficijenata polinoma koriste se uvjeti neprekidnosti derivacija u interpolacijskim čvorovima.

Interpolacija kubičnim splajnovima predstavlja lokalnu interpolaciju, kada je na svakom segmentu [ x i -1 , x i], ja = 1, 2, ... , P koristi se kubična krivulja koja zadovoljava određene uvjete glatkoće, naime, kontinuitet same funkcije i njezine prve i druge derivacije u čvornim točkama. Upotreba kubne funkcije je posljedica sljedećih razmatranja. Ako pretpostavimo da krivulja interpolacije odgovara elastičnom ravnalu učvršćenom u točkama ( x i, y i), tada je iz kolegija Čvrstoća materijala poznato da je ova krivulja definirana kao rješenje diferencijalne jednadžbe f(IV) ( x) = 0 na intervalu [ x i -1 , x i](radi jednostavnosti prikaza, ne razmatramo pitanja vezana uz fizičke dimenzije). Opće rješenje takve jednadžbe je polinom 3. stupnja s proizvoljnim koeficijentima, koji se prikladno zapisuje u obliku
S i(x) = i ja + b i(x - x i -1) +sa i(x - x i -1) 2 + d i(x - x i -1) 3 ,
x i-1 £ x £ x i, ja = 1, 2, ... , P.(4.32)

Funkcijski koeficijenti S i(x) određuju se iz uvjeta neprekidnosti funkcije i njezine prve i druge derivacije u unutarnjim čvorovima x i,ja= 1, 2,..., P - 1.

Iz formula (4.32) na x = x i-1 dobivamo

S i(xi- 1) = y i -1 = a i, ja = 1, 2,..., P,(4.33)

i kada x = x i

S i(x i) = i ja + b i h i +sa i h i 2 + d i h i 3 ,(4.34)

ja= 1, 2,..., n.

Uvjeti kontinuiteta za interpolacijsku funkciju zapisani su kao S i(x i) = S i -1 (x i), ja= 1, 2, ... , n- 1 i iz uvjeta (4.33) i (4.34) slijedi da su oni zadovoljivi.

Nađimo derivacije funkcije S i(x):

S" i(x) =b i + 2sa i(x - x i -1) + 3di(x – x i -1) 2 ,

S" i(x) = 2c i + 6d i(x - xi -1).

Na x = x i-1, imamo S" i(x i -1) = b i, S" (x i -1) = 2sa i, i kada x = x i dobivamo

S" i(x i) = b i+ 2sa i h i+ 3dih ja 2 , S" (x i) = 2s i + 6d i h i.

Uvjeti neprekidnosti derivacija dovode do jednadžbi

S" i(x i) =S" i +1 (x i) Þ b i+ 2sa i h i+ 3dih ja 2 = b i +1 ,

ja= l, 2,... , P - 1. (4.35)

S" i (x i) = S" i +1 (x i) Þ 2 s i + 6d i h i= 2c i +1 ,

ja= l, 2,..., n- 1. (4.36)

Ukupno imamo 4 n– 2 jednadžbe za određivanje 4 n nepoznato. Da bi se dobile još dvije jednadžbe, koriste se dodatni rubni uvjeti, na primjer, zahtjev da interpolacijska krivulja ima nultu zakrivljenost na krajnjim točkama, tj. da druga derivacija bude jednaka nuli na krajevima segmenta [ A, b]A = x 0 , b= x n:

S" 1 (x 0) = 2c 1 = 0 Þ S 1 = 0,

S n(x n) = 2s n + 6d n h n = 0 Þ s n + 3d n h n = 0. (4.37)

Sustav jednadžbi (4.33)–(4.37) može se pojednostaviti i dobiti rekurentne formule za izračun koeficijenata splinea.

Iz uvjeta (4.33) imamo eksplicitne formule za izračunavanje koeficijenata a ja:

a ja = y i -1 , i= 1,..., n. (4.38)

Izrazimo se d i kroz c i koristeći (4.36), (4.37):

; ja = 1, 2,...,n; .

Stavimo s n+1 = 0, zatim za d i dobivamo jednu formulu:

, ja = 1, 2,...,n. (4.39)

Zamijenimo izraze za i ja I d i u jednakost (4.34):

, ja= 1, 2,..., n.

i izraziti b i, kroz sa i:

, ja= 1, 2,..., n. (4.40)

Isključimo koeficijente iz jednadžbi (4.35) b i I d i koristeći (4.39) i (4.40):

ja= 1, 2,..., n -1.

Odavde dobivamo sustav jednadžbi za određivanje sa i:

Sustav jednadžbi (4.41) može se prepisati kao

Ovdje se uvodi notacija

, ja =1, 2,..., n- 1.

Riješimo sustav jednadžbi (4.42) metodom prelaska. Iz prve jednadžbe izražavamo S 2 kroz S 3:

c 2 = a 2 c 3 + b 2 , , . (4,43)

Zamijenimo (4.43) u drugu jednadžbu (4.42):

h 2 (a 2 c 3 + b 2) + 2( h 2 + h 3)c 3 +h 3 c 4 = g 2 ,

i izraziti S 3 kroz S 4:

S 3 = 3 S 4 + b 3 , (4,44)

Pod pretpostavkom da sa i-1 = a ja -1 c i+b ja-1 od ja th jednadžbe (4.42) dobivamo

c i= a ja sa ja+1+b ja

, ja = 3,..., n– 1, a n= 0, (4.45) c n +1 = 0,

c i= a ja sa ja+1+b ja, ja= n, n -1,..., 2, (4.48)

c 1 = 0.

3. Izračun koeficijenata i ja, b i,d i:

a ja = y i -1 ,

ja= 1, 2,..., n.

4. Izračunajte vrijednost funkcije pomoću splinea. Da biste to učinili, pronađite sljedeću vrijednost ja, da je zadana vrijednost varijable x pripada segmentu [ x i -1 , x i] i izračunajte

S i(x) = i ja + b i(x - x i -1) +sa i(x - x i -1) 2 + d i(x - x i -1) 3 . (4.50)

2.2 Interpolacija pomoću kubičnog splajna

Kubični interpolacijski spline koji odgovara danoj funkciji f(x) i danim čvorovima x i je funkcija S(x) koja zadovoljava sljedeće uvjete:

1. Na svakom segmentu , i = 1, 2, ..., N, funkcija S(x) je polinom trećeg stupnja,

2. Funkcija S(x), kao i njezina prva i druga derivacija, kontinuirane su na intervalu,

3. S(x i) = f(x i), i = 0, 1, ..., N.

Na svakom od odsječaka , i = 1, 2, ..., N, tražit ćemo funkciju S(x) = S i (x) u obliku polinoma trećeg stupnja:

S i (x) = a i + b i (x - x i - 1) + c i (x - x i - 1) 2 + d i (x - 1) 3,

x i - 1 J x J x i ,

gdje su a i, b i, c i, d i koeficijenti koje treba odrediti na svih n elementarnih segmenata. Da bi sustav algebarskih jednadžbi imao rješenje, broj jednadžbi mora biti točno jednak broju nepoznanica. Stoga bismo trebali dobiti 4n jednadžbi.

Prvih 2n jednadžbi dobivamo iz uvjeta da graf funkcije S(x) mora prolaziti kroz zadane točke, tj.

S i (x i - 1) = y i - 1, S i (x i) = y i.

Ovi se uvjeti mogu napisati kao:

S i (x i - 1) = a i = y i - 1,

S i (x i) = a i + b i h i + c i h + d i h = y i,

h i = x i - x i - 1, i = 1, 2, ..., n.

Sljedećih 2n - 2 jednadžbi proizlaze iz uvjeta kontinuiteta prve i druge derivacije u čvorovima interpolacije, tj. uvjeta glatkoće krivulje u svim točkama.

S i + 1 (x i) = S i (x i), i = 1, ..., n - 1,

S i (x) = b i + 2 c i (x - x i - 1) + 3 d i (x - x i - 1),

S i + 1 (x) = b i + 1 + 2 c i + 1 (x - x i) + 3 d i + 1 (x - x i).

Izjednačavajući na svakom unutarnjem čvoru x = x i vrijednosti ovih derivata, izračunatih u intervalima lijevo i desno od čvora, dobivamo (uzimajući u obzir h i = x i - x i - 1):

b i + 1 = b i + 2 h i c i + 3h d i , i = 1, ..., n - 1,

S i (x) = 2 c i + 6 d i (x - x i - 1),

S i + 1 (x) = 2 c i + 1 + 6 d i + 1 (x - x i),

ako je x = x i

c i + 1 = c i + 3 h i d i , i = 1,2, ..., n - 1.

U ovoj fazi imamo 4n nepoznanica i 4n - 2 jednadžbe. Stoga je potrebno pronaći još dvije jednadžbe.

Kada su krajevi labavo pričvršćeni, zakrivljenost linije u tim točkama može se postaviti na nulu. Iz uvjeta nulte zakrivljenosti na krajevima slijedi da su druge derivacije u tim točkama jednake nuli:

S 1 (x 0) = 0 i S n (x n) = 0,

c i = 0 i 2 c n + 6 d n h n = 0.

Jednadžbe čine sustav linearnih algebarskih jednadžbi za određivanje 4n koeficijenata: a i, b i, c i, d i (i = 1, 2, . . ., n).

Ovaj sustav se može dovesti u prikladniji oblik. Iz uvjeta možete odmah pronaći sve koeficijente a i.

i = 1, 2, ..., n - 1,

Zamjenom dobivamo:

b i = - (c i + 1 + 2c i) , i = 1,2, ..., n - 1,

b n = - (h n c n)

Isključujemo koeficijente b i i d i iz jednadžbe. Konačno, samo za koeficijente s i dobivamo sljedeći sustav jednadžbi:

c 1 = 0 i c n + 1 = 0:

h i - 1 c i - 1 + 2 (hi - 1 + h i) c i + h i c i + 1 = 3,

i = 2, 3, ..., n.

Iz pronađenih koeficijenata s i lako je izračunati d i,b i.

Izračunavanje integrala Monte Carlo metodom

Ovaj softverski proizvod implementira mogućnost postavljanja dodatnih ograničenja na područje integracije pomoću dvije dvodimenzionalne spline površine (za funkciju integranda dimenzije 3)...

Interpolacija funkcije

Neka je dana tablica vrijednosti funkcije f(xi) = yi (), u kojoj su raspoređene uzlaznim redoslijedom vrijednosti argumenata: x0< x1 < … < xn. Чтобы построить кубический сплайн, требуется определить коэффициенты ai0, ai1, ai2, ai3...

Spline interpolacija

Spline interpolacija

Spline interpolacija

Upoznajmo se s algoritmom programa. 1. Izračunajte vrijednosti i 2. Na temelju ovih vrijednosti izračunajte radne koeficijente i o. 3. Na temelju dobivenih podataka izračunavamo koeficijente 4...

Matematičko modeliranje tehničkih objekata

Ugrađene MathCAD funkcije omogućuju interpolaciju za crtanje krivulja različitih stupnjeva složenosti kroz eksperimentalne točke. Linearna interpolacija...

Metode aproksimacije funkcija

Na svakom segmentu interpolacijski polinom jednak je konstanti, odnosno lijevoj ili desnoj vrijednosti funkcije. Za lijevu komadno linearnu interpolaciju F(x)= fi-1, ako je xi-1 ?x

Metode aproksimacije funkcija

Na svakom intervalu funkcija je linearna Fi(x)=kix+li. Vrijednosti koeficijenata se nalaze ispunjavanjem uvjeta interpolacije na krajevima segmenta: Fi(xi-1)=fi-1, Fi(xi-1)=fi. Dobivamo sustav jednadžbi: kixi-1+ li= fi-1, kixi+ li= fi , odakle nalazimo ki=li= fi- kixi...

Metode rješavanja sustava linearnih jednadžbi. Interpolacija

Postavka problema interpolacije. Na intervalu je zadan sustav točaka (interpolacijski čvorovi) xi, i=0,1,…,N; a? x i ? b, te vrijednosti nepoznate funkcije u tim čvorovima fn i=0,1,2,…,N. Mogu se postaviti sljedeći zadaci: 1) Konstruirati funkciju F (x)...

Konstrukcija matematičkog modela koji opisuje proces rješavanja diferencijalne jednadžbe

3.1 Konstrukcija Lagrangeovog interpolacijskog polinoma i kondenzacija vrijednosti Očigledna metoda za rješavanje ovog problema je izračunavanje vrijednosti ѓ(x) pomoću analitičkih vrijednosti funkcije ѓ. U tu svrhu - prema prvim informacijama...

Ako su to potencije (1, x, x2, ..., xn), tada govorimo o algebarskoj interpolaciji, a funkcija se naziva interpolacijski polinom i označava se kao: (4) Ako () (5), tada možemo konstruirajte interpolacijski polinom stupnja n i, štoviše, samo jedan...

Praktična primjena interpolacije glatkih funkcija

Razmotrimo primjer interpolacije za elemente skupa. Radi jednostavnosti i sažetosti, uzmimo =[-1;1], . Neka se točke razlikuju jedna od druge. Postavimo sljedeći problem: (12) konstruirajte polinom koji zadovoljava ove uvjete...

Primjena numeričkih metoda za rješavanje matematičkih problema

Numeričke metode

Dakle, kao što je gore spomenuto, zadatak interpolacije je pronaći polinom čiji graf prolazi kroz zadane točke. Neka je funkcija y=f(x) određena pomoću tablice (tablica 1)...

Numeričke metode rješavanja matematičkih problema