Kako pronaći derivaciju funkcije u stupnju. Derivacija logaritamske funkcije

Dokaz i izvođenje formula za derivaciju eksponencijala (e na potenciju x) i eksponencijalne funkcije (a na potenciju x). Primjeri izračuna derivacija e^2x, e^3x i e^nx. Formule za derivacije viših redova.

Derivacija eksponenta jednaka je samom eksponentu (derivacija od e na potenciju x jednaka je e na potenciju od x):
(1) (e x )′ = e x.

Derivacija eksponencijalne funkcije s bazom stupnja a jednaka je samoj funkciji, pomnoženoj s prirodnim logaritmom od a:
(2) .

Derivacija formule za derivaciju eksponenta e na potenciju x

Eksponent je eksponencijalna funkcija čija je baza eksponenta jednaka broju e, što je sljedeća granica:
.
Ovdje to može biti prirodan ili realan broj. Zatim izvodimo formulu (1) za derivaciju eksponenta.

Derivacija formule za izvod eksponenta

Razmotrimo eksponent, e na potenciju x:
y = e x.
Ova je funkcija definirana za sve. Nađimo njegovu derivaciju u odnosu na x. Po definiciji, derivat je sljedeća granica:
(3) .

Transformirajmo ovaj izraz da ga svedemo na poznata matematička svojstva i pravila. Za ovo su nam potrebne sljedeće činjenice:
A) Svojstvo eksponenta:
(4) ;
B) Svojstvo logaritma:
(5) ;
U) Kontinuitet logaritma i svojstvo granica za kontinuiranu funkciju:
(6) .
Ovdje je neka funkcija koja ima limit i taj limit je pozitivan.
G) Značenje druge divne granice:
(7) .

Ove činjenice primjenjujemo na našu granicu (3). Koristimo svojstvo (4):
;
.

Napravimo zamjenu. Zatim ; .
Zbog neprekidnosti eksponenta,
.
Stoga, na , . Kao rezultat toga dobivamo:
.

Napravimo zamjenu. Zatim . U , . A mi imamo:
.

Primjenjujemo svojstvo logaritma (5):
. Zatim
.

Primijenimo svojstvo (6). Budući da postoji pozitivna granica i da je logaritam kontinuiran, tada:
.
Ovdje smo također upotrijebili drugu značajnu granicu (7). Zatim
.

Tako smo dobili formulu (1) za derivaciju eksponenta.

Izvod formule za izvod eksponencijalne funkcije

Sada izvodimo formulu (2) za derivaciju eksponencijalne funkcije s bazom stupnja a. Vjerujemo da i . Zatim eksponencijalna funkcija
(8)
Definirano za sve.

Transformirajmo formulu (8). Za ovo koristimo svojstva eksponencijalne funkcije i logaritam.
;
.
Dakle, transformirali smo formulu (8) u sljedeći oblik:
.

Izvodnice višeg reda od e na potenciju x

Nađimo sada derivacije viših redova. Pogledajmo prvo eksponent:
(14) .
(1) .

Vidimo da je derivacija funkcije (14) jednaka samoj funkciji (14). Diferenciranjem (1) dobivamo izvode drugog i trećeg reda:
;
.

Ovo pokazuje da je derivacija n-tog reda također jednaka izvornoj funkciji:
.

Izvodnice višeg reda eksponencijalne funkcije

Sada razmotrite eksponencijalnu funkciju s bazom stupnja a:
.
Pronašli smo njegov derivat prvog reda:
(15) .

Diferenciranjem (15) dobivamo izvode drugog i trećeg reda:
;
.

Vidimo da svako diferenciranje dovodi do množenja izvorne funkcije s . Stoga n-ti izvod ima sljedeći oblik:
.

Definicija eksponencijalne funkcije. Derivacija formule za izračun njezine derivacije. Detaljno se analiziraju primjeri izračuna derivacija eksponencijalnih funkcija.

eksponencijalna funkcija je funkcija koja ima oblik funkcije snage
y = u v ,
čija su baza u i eksponent v neke funkcije varijable x:
u = u (x); v=v (x).
Ova se funkcija također naziva eksponencijalne snage ili .

Imajte na umu da se eksponencijalna funkcija može prikazati u eksponencijalnom obliku:
.
Stoga se i zove složena eksponencijalna funkcija.

Računanje pomoću logaritamske derivacije

Odredite izvod eksponencijalne funkcije
(2) ,
gdje su i funkcije varijable .
Da bismo to učinili, uzimamo logaritam jednadžbe (2), koristeći svojstvo logaritma:
.
Diferenciraj s obzirom na x:
(3) .
primijeniti pravila za razlikovanje složene funkcije i radi:
;
.

Zamjena u (3):
.
Odavde
.

Dakle, pronašli smo izvod eksponencijalne funkcije:
(1) .
Ako je eksponent konstantan, onda je . Tada je derivacija jednaka derivaciji složene funkcije snage:
.
Ako je baza stupnja konstantna, tada je . Tada je derivacija jednaka derivaciji složene eksponencijalne funkcije:
.
Kada su i funkcije x, tada je derivacija eksponencijalne funkcije jednaka zbroju derivacija složene potencije i eksponencijalne funkcije.

Izračunavanje derivacije redukcijom na složenu eksponencijalnu funkciju

Sada nalazimo izvod eksponencijalne funkcije
(2) ,
predstavljajući ga kao složenu eksponencijalnu funkciju:
(4) .

Razlikujmo proizvod:
.
Primjenjujemo pravilo za pronalaženje izvoda složene funkcije:

.
I opet smo dobili formulu (1).

Primjer 1

Pronađite derivaciju sljedeće funkcije:
.

Riješenje

Računamo pomoću logaritamske derivacije. Uzimamo logaritam izvorne funkcije:
(P1.1) .

Iz tablice izvedenica nalazimo:
;
.
Prema formuli za derivat produkta imamo:
.
Razlikujemo (A1.1):
.
Jer
,
Da
.

Odgovor

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije
.

Riješenje

Uzimamo logaritam izvorne funkcije:
(P2.1) .

Operacija nalaženja derivacije naziva se diferenciranje.

Kao rezultat rješavanja problema nalaženja derivacija najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica derivacija i točno definirana pravila diferenciranja. . Isaac Newton (1643.-1727.) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646.-1716.) prvi su radili na polju pronalaženja izvedenica.

Dakle, u naše vrijeme, da bi se našla derivacija bilo koje funkcije, nije potrebno izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već samo koristiti tablicu izvoda i pravila diferenciranja. Sljedeći algoritam prikladan je za pronalaženje derivacije.

Da bismo pronašli izvod, potreban vam je izraz ispod znaka poteza rastaviti jednostavne funkcije i odrediti koje radnje (umnožak, zbroj, kvocijent) te su funkcije povezane. Nadalje, derivacije elementarnih funkcija nalazimo u tablici derivacija, a formule za derivacije umnoška, ​​zbroja i kvocijenta - u pravilima diferenciranja. Nakon prva dva primjera navedena je tablica derivacija i pravila diferenciranja.

Primjer 1 Pronađite izvod funkcije

Riješenje. Iz pravila diferenciranja saznajemo da je derivacija zbroja funkcija zbroj derivacija funkcija, tj.

Iz tablice derivacija saznajemo da je derivacija "X" jednaka jedan, a derivacija sinusa je kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbroju izvoda i pronalazimo izvod koji zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2 Pronađite izvod funkcije

Riješenje. Diferenciraj kao izvod zbroja, u kojem je drugi član s konstantnim faktorom, može se uzeti iz predznaka izvoda:

Ako još uvijek postoje pitanja o tome odakle nešto dolazi, oni, u pravilu, postaju jasni nakon čitanja tablice derivata i najjednostavnijih pravila diferencijacije. Upravo idemo k njima.

Tablica izvoda jednostavnih funkcija

1. Derivacija konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u funkcijskom izrazu. Uvijek nula. Ovo je vrlo važno zapamtiti, jer je potrebno vrlo često
2. Derivacija nezavisne varijable. Najčešće "x". Uvijek jednako jedan. Ovo je također važno zapamtiti
3. Derivacija stupnja. Kada rješavate probleme, trebate pretvoriti nekvadratne korijene u potenciju.
4. Derivacija varijable na potenciju -1
5. Izvod kvadratnog korijena
6. Sinusna derivacija
7. Kosinusna derivacija
8. Tangentna derivacija
9. Derivacija kotangensa
10. Derivacija arcsinusa
11. Derivacija ark kosinusa
12. Derivacija arc tangensa
13. Derivacija inverzne tangense
14. Derivacija prirodnog logaritma
15. Derivacija logaritamske funkcije
16. Derivacija eksponenta
17. Derivacija eksponencijalne funkcije

Pravila razlikovanja

1. Derivacija zbroja ili razlike
2. Derivat proizvoda
2a. Derivacija izraza pomnožena konstantnim faktorom
3. Derivacija kvocijenta
4. Derivacija složene funkcije

Pravilo 1Ako funkcije

diferencijabilne u nekoj točki, tada u istoj točki funkcije

i

oni. derivacija algebarske sume funkcija jednaka je algebarskoj sumi derivacija tih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencijabilne funkcije razlikuju za konstantu, tada su njihove derivacije, tj.

Pravilo 2Ako funkcije

diferencijabilni u nekoj točki, tada je njihov umnožak također diferencijabilan u istoj točki

i

oni. derivacija umnoška dviju funkcija jednaka je zbroju umnožaka svake od tih funkcija i derivacije druge.

Posljedica 1. Konstantni faktor se može uzeti iz predznaka derivacije:

Posljedica 2. Derivacija umnoška nekoliko diferencijabilnih funkcija jednaka je zbroju umnožaka derivacija svakog od faktora i svih ostalih.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3Ako funkcije

diferencijabilan u nekom trenutku I , onda je u ovoj točki njihov kvocijent također diferencijabilan.u/v , i

oni. derivacija kvocijenta dviju funkcija jednaka je razlomku čiji je brojnik razlika umnožaka nazivnika i derivacije brojnika i brojnika i derivacije nazivnika, a nazivnik je kvadrat prethodnog brojnika .

Gdje pogledati na drugim stranicama

Pri pronalaženju derivacije umnoška i kvocijenta u stvarnim zadacima uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferenciranja odjednom, pa više primjera o tim derivacijama možete pronaći u članku."Izvodnica umnoška i kvocijenta".

Komentar. Ne smijete brkati konstantu (odnosno broj) kao pojam u zbroju i kao konstantni faktor! Kod člana njegova je derivacija jednaka nuli, a kod konstantnog faktora izuzima se iz predznaka derivacija. Ovo je tipična pogreška koja se javlja u početnoj fazi učenja izvedenica, no kako prosječan učenik riješi nekoliko jedno-dvokomponentnih primjera, prosječan učenik više ne radi ovu pogrešku.

A ako pri diferenciranju umnoška ili kvocijenta imate pojam u"v, u kojem u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, onda će izvod tog broja biti jednak nuli, a samim tim i cijeli član će biti jednak nuli (takav slučaj je analiziran u primjeru 10) .

Druga česta pogreška je mehaničko rješavanje derivacije složene funkcije kao derivacije jednostavne funkcije. Zato izvod složene funkcije posvetio poseban članak. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacija izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnike za novi Windows Radnje s moćima i korijenima I Akcije s razlomcima .

Ako tražite rješenja izvodnica s potencijama i korijenima, odnosno kako funkcija izgleda , zatim slijedi lekcija "Derivacija zbroja razlomaka s potencijama i korijenima".

Ako imate zadatak poput , onda ste u lekciji "Derivacije jednostavnih trigonometrijskih funkcija".

Korak po korak primjeri - kako pronaći izvedenicu

Primjer 3 Pronađite izvod funkcije

Riješenje. Određujemo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja umnožak, a njegovi faktori su zbrojevi, u drugom od kojih jedan od članova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferenciranja umnoška: derivacija umnoška dviju funkcija jednaka je zbroju umnožaka svake od ovih funkcija i derivacije one druge:

Zatim primjenjujemo pravilo diferenciranja zbroja: derivacija algebarskog zbroja funkcija jednaka je algebarskom zbroju derivacija tih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbroju, drugi član s predznakom minus. U svakom zbroju vidimo i nezavisnu varijablu čija je derivacija jednaka jedinici i konstantu (broj) čija je derivacija jednaka nuli. Dakle, "x" se pretvara u jedan, a minus 5 - u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi s 2, tako da množimo dva s istom jedinicom kao izvod od "x". Dobivamo sljedeće vrijednosti izvedenica:

Pronađene derivacije supstituiramo u zbroj umnožaka i dobijemo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

Primjer 4 Pronađite izvod funkcije

Riješenje. Od nas se traži da nađemo izvod kvocijenta. Primjenjujemo formulu za diferenciranje kvocijenta: derivacija kvocijenta dviju funkcija jednaka je razlomku čiji je brojnik razlika umnožaka nazivnika i derivacije brojnika i brojnika i derivacije nazivnika, a nazivnik je kvadrat prijašnjeg brojnika. Dobivamo:

Već smo pronašli izvod faktora u brojniku u primjeru 2. Ne zaboravimo također da je umnožak, koji je drugi faktor u brojniku u trenutnom primjeru, uzet s predznakom minus:

Ako tražite rješenja takvih problema u kojima trebate pronaći izvod funkcije, gdje postoji kontinuirana gomila korijena i stupnjeva, kao što je npr. onda dobrodošli u razred "Derivacija zbroja razlomaka s potencijama i korijenima" .

Ako trebate naučiti više o izvodnicama sinusa, kosinusa, tangensa i drugih trigonometrijskih funkcija, odnosno kada funkcija izgleda , onda imate lekciju "Derivacije jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5 Pronađite izvod funkcije

Riješenje. U ovoj funkciji vidimo umnožak čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable s čijom smo se derivacijom upoznali u tablici derivacija. Prema pravilu diferenciranja proizvoda i tabličnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena dobivamo:

Primjer 6 Pronađite izvod funkcije

Riješenje. U ovoj funkciji vidimo kvocijent čiji je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Prema pravilu diferenciranja kvocijenta, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabličnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena dobivamo:

Da biste se riješili razlomka u brojniku, pomnožite brojnik i nazivnik s .

Na kojem smo analizirali najjednostavnije derivacije, te se upoznali s pravilima diferenciranja i nekim tehnikama za pronalaženje derivacija. Dakle, ako niste baš dobri s izvedenicama funkcija ili neke točke ovog članka nisu sasvim jasne, onda prvo pročitajte gornju lekciju. Molimo vas da se prilagodite ozbiljnom raspoloženju - gradivo nije lako, ali ću ga ipak pokušati predstaviti jednostavno i jasno.

U praksi se s izvodom složene funkcije morate susresti vrlo često, čak bih rekao gotovo uvijek, kada dobijete zadatke pronaći izvode.

Gledamo u tablici pravilo (br. 5) za razlikovanje složene funkcije:

Razumijemo. Prije svega, pogledajmo notaciju. Ovdje imamo dvije funkcije - i , a funkcija je, slikovito rečeno, ugniježđena u funkciju . Funkcija ove vrste (kada je jedna funkcija ugniježđena unutar druge) naziva se složena funkcija.

Pozvat ću funkciju vanjska funkcija, i funkcija – unutarnja (ili ugniježđena) funkcija.

! Ove definicije nisu teoretske i ne bi se trebale pojavljivati ​​u konačnom dizajnu zadataka. Koristim neformalne izraze "vanjska funkcija", "unutarnja" funkcija samo kako bih vam olakšao razumijevanje gradiva.

Da biste razjasnili situaciju, razmotrite sljedeće:

Primjer 1

Pronađite izvod funkcije

Pod sinusom nemamo samo slovo "x", već cijeli izraz, tako da pronalaženje derivata odmah iz tablice neće uspjeti. Primjećujemo i da je ovdje nemoguće primijeniti prva četiri pravila, čini se da postoji razlika, ali činjenica je da je sinus nemoguće “rastaviti”:

U ovom primjeru, već iz mojih objašnjenja, intuitivno je jasno da je funkcija složena funkcija, a polinom unutarnja funkcija (ugrađivanje), a vanjska funkcija.

Prvi korak, koji se mora izvršiti pri pronalaženju derivacije složene funkcije razumjeti koja je funkcija unutarnja, a koja vanjska.

U slučaju jednostavnih primjera, čini se jasnim da je polinom ugniježđen ispod sinusa. Ali što ako nije očito? Kako točno odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja? Da biste to učinili, predlažem korištenje sljedeće tehnike, koja se može izvesti mentalno ili na nacrtu.

Zamislimo da kalkulatorom trebamo izračunati vrijednost izraza (umjesto jedinice može biti bilo koji broj).

Što ćemo prvo izračunati? Kao prvo morat ćete izvršiti sljedeću radnju: , tako da će polinom biti unutarnja funkcija:

Drugo morat ćete pronaći, pa će sinus - biti vanjska funkcija:

Nakon što smo RAZUMIJETI s unutarnjim i vanjskim funkcijama, vrijeme je za primjenu pravila diferencijacije složenih funkcija .

Počinjemo odlučivati. Iz lekcije Kako pronaći izvedenicu? sjećamo se da dizajn rješenja bilo koje derivacije uvijek počinje ovako - izraz stavljamo u zagrade i stavljamo crtu gore desno:

Isprva nalazimo derivaciju vanjske funkcije (sinus) pogledamo tablicu derivacija elementarnih funkcija i uočimo da . Sve tablične formule primjenjive su čak i ako je "x" zamijenjen složenim izrazom, u ovom slučaju:

Imajte na umu da unutarnja funkcija nije promijenio, ne diramo ga.

Pa, to je sasvim očito

Rezultat primjene formule čisto izgleda ovako:

Konstantni faktor obično se nalazi na početku izraza:

Ukoliko dođe do nesporazuma, zapišite odluku na papir i ponovno pročitajte obrazloženja.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Kao i uvijek, pišemo:

Shvatamo gdje imamo vanjsku funkciju, a gdje unutarnju. Da bismo to učinili, pokušavamo (mentalno ili na nacrtu) izračunati vrijednost izraza za . Što prvo treba učiniti? Prije svega, trebate izračunati čemu je jednaka baza:, što znači da je polinom unutarnja funkcija:

I tek tada se vrši potenciranje, dakle, funkcija stepena je vanjska funkcija:

Prema formuli , prvo morate pronaći izvod vanjske funkcije, u ovom slučaju stupanj. Tražimo željenu formulu u tablici:. Opet ponavljamo: svaka tablična formula vrijedi ne samo za "x", već i za složeni izraz. Dakle, rezultat je primjene pravila diferenciranja složene funkcije Sljedeći:

Ponovno naglašavam da kada uzmemo izvod vanjske funkcije, unutarnja funkcija se ne mijenja:

Sada ostaje pronaći vrlo jednostavnu derivaciju unutarnje funkcije i malo "pročešljati" rezultat:

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Da bih učvrstio razumijevanje izvoda složene funkcije, dat ću primjer bez komentara, pokušajte to sami shvatiti, obrazložite, gdje je vanjska, a gdje unutarnja funkcija, zašto su zadaci tako riješeni?

Primjer 5

a) Pronađite izvod funkcije

b) Pronađite izvod funkcije

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje imamo korijen, a da bismo razlikovali korijen, on mora biti predstavljen kao stupanj. Dakle, prvo dovodimo funkciju u pravilan oblik za razlikovanje:

Analizirajući funkciju dolazimo do zaključka da je zbroj triju članova unutarnja funkcija, a potenciranje vanjska funkcija. Primjenjujemo pravilo diferenciranja složene funkcije :

Stupanj se opet predstavlja kao radikal (korijen), a za derivaciju interne funkcije primjenjujemo jednostavno pravilo diferenciranja zbroja:

Spreman. Također možete dovesti izraz na zajednički nazivnik u zagradama i napisati sve kao jedan razlomak. Lijepo je, naravno, ali kada se dobiju glomazni dugi derivati, bolje je to ne činiti (lako se zbuniti, napraviti nepotrebnu pogrešku, a učitelju će biti nezgodno provjeravati).

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Zanimljivo je primijetiti da se ponekad umjesto pravila za diferenciranje složene funkcije može koristiti pravilo za diferenciranje kvocijenta , ali takvo rješenje će izgledati kao izopačenje neobično. Evo tipičnog primjera:

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete koristiti pravilo diferencijacije kvocijenta , ali mnogo je isplativije pronaći derivaciju pomoću pravila diferenciranja složene funkcije:

Pripremimo funkciju za diferenciranje - izvadimo znak minus izvoda, a kosinus podignemo na brojnik:

Kosinus je unutarnja funkcija, potenciranje je vanjska funkcija.
Iskoristimo naše pravilo :

Pronalazimo izvod unutarnje funkcije, vraćamo kosinus prema dolje:

Spreman. U razmatranom primjeru važno je ne zbuniti se u znakovima. Usput, pokušajte to riješiti pravilom , odgovori se moraju podudarati.

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Do sada smo razmatrali slučajeve u kojima smo imali samo jedno gniježđenje u složenoj funkciji. U praktičnim zadacima često možete pronaći izvedenice, gdje su, poput lutkica, jedna u drugoj, ugniježđene 3 ili čak 4-5 funkcija odjednom.

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Razumijemo priloge ove funkcije. Pokušavamo evaluirati izraz koristeći eksperimentalnu vrijednost. Kako bismo računali na kalkulator?

Prvo morate pronaći, što znači da je arcsinus najdublje ugniježđenje:

Ovaj arkus sinus jedinice treba kvadrirati:

I na kraju, podižemo sedam na potenciju:

To jest, u ovom primjeru imamo tri različite funkcije i dva ugniježđenja, dok je najunutarnja funkcija arkus, a najunutarnja funkcija je eksponencijalna funkcija.

Počinjemo odlučivati

Prema pravilu prvo trebate uzeti izvod vanjske funkcije. Gledamo tablicu derivacija i nalazimo derivaciju eksponencijalne funkcije: Jedina je razlika što umjesto "x" imamo složeni izraz, što ne poništava valjanost ove formule. Dakle, rezultat je primjene pravila diferenciranja složene funkcije Sljedeći.

Derivacija formule za izvod potencije (x na potenciju a). Razmatraju se derivacije korijena iz x. Formula za derivaciju funkcije višeg reda snage. Primjeri izračuna derivacija.

Derivacija od x na potenciju a je a puta x na potenciju minus jedan:
(1) .

Derivacija n-tog korijena od x na m-tu potenciju je:
(2) .

Derivacija formule za izvod potencije

Slučaj x > 0

Razmotrimo funkciju snage varijable x s eksponentom a:
(3) .
Ovdje je a proizvoljni realni broj. Razmotrimo prvo slučaj.

Da bismo pronašli derivaciju funkcije (3), koristimo svojstva funkcije potencije i transformiramo je u sljedeći oblik:
.

Sada nalazimo izvod primjenom:
;
.
ovdje .

Formula (1) je dokazana.

Derivacija formule za derivaciju korijena stupnja n iz x u stupanj m

Sada razmotrite funkciju koja je korijen sljedeće forme:
(4) .

Da bismo pronašli derivaciju, pretvaramo korijen u funkciju potencije:
.
Uspoređujući s formulom (3), vidimo da
.
Zatim
.

Po formuli (1) nalazimo derivaciju:
(1) ;
;
(2) .

U praksi nema potrebe pamtiti formulu (2). Puno je prikladnije prvo pretvoriti korijene u potencne funkcije, a zatim pronaći njihove izvode pomoću formule (1) (vidi primjere na kraju stranice).

Slučaj x = 0

Ako je , tada je eksponencijalna funkcija definirana i za vrijednost varijable x = 0 . Nađimo izvod funkcije (3) za x = 0 . Da bismo to učinili, koristimo se definicijom derivata:
.

Zamjena x = 0 :
.
U ovom slučaju, pod izvodom mislimo na desnu granicu za koju .

Tako smo pronašli:
.
Iz ovoga se vidi da je kod , .
U , .
U , .
Ovaj se rezultat također dobiva pomoću formule (1):
(1) .
Stoga formula (1) vrijedi i za x = 0 .

slučaj x< 0

Ponovno razmotrite funkciju (3):
(3) .
Za neke vrijednosti konstante a definirane su i negativne vrijednosti varijable x. Naime, neka je a racionalan broj. Tada se može prikazati kao nesvodivi razlomak:
,
gdje su m i n cijeli brojevi bez zajedničkog djelitelja.

Ako je n neparan, tada je eksponencijalna funkcija također definirana za negativne vrijednosti varijable x. Na primjer, za n = 3 i m = 1 imamo kubni korijen od x:
.
Također je definiran za negativne vrijednosti x.

Nađimo derivaciju funkcije snage (3) za i za racionalne vrijednosti konstante a za koju je definirana. Da bismo to učinili, predstavljamo x u sljedećem obliku:
.
zatim,
.
Derivaciju nalazimo izuzimanjem konstante iz predznaka derivacije i primjenom pravila diferenciranja složene funkcije:

.
ovdje . Ali
.
Od tad
.
Zatim
.
Odnosno, formula (1) također vrijedi za:
(1) .

Derivati ​​viših redova

Sada nalazimo derivacije višeg reda funkcije potencije
(3) .
Već smo pronašli derivat prvog reda:
.

Izuzimanjem konstante a iz predznaka izvoda nalazimo izvod drugog reda:
.
Slično, nalazimo izvedenice trećeg i četvrtog reda:
;

.

Odavde je jasno da izvod proizvoljnog n-tog reda ima sljedeći oblik:
.

primijeti da ako je a prirodan broj, , tada je n-ti izvod konstantan:
.
Tada su sve sljedeće derivacije jednake nuli:
,
u .

Izvedeni primjeri

Primjer

Pronađite izvod funkcije:
.

Riješenje

Pretvorimo korijene u potencije:
;
.
Tada izvorna funkcija ima oblik:
.

Nalazimo izvode stupnjeva:
;
.
Derivacija konstante je nula:
.