Pronađite granicu prema definiciji na internetu. Ograničenja

Prilikom rješavanja problema nalaženja granica, trebali biste zapamtiti neke granice kako ih ne biste svaki put ponovno izračunavali. Kombinirajući ove poznate granice, pronaći ćemo nove granice koristeći svojstva navedena u § 4. Radi praktičnosti, predstavljamo granice koje se najčešće susreću: Granice 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -o X 6 lim f(x) = f(a), ako je f (x) neprekidna x a Ako je poznato da je funkcija neprekidna, tada umjesto nalaženja limesa računamo vrijednost funkcije. Primjer 1. Nađi lim (x*-6l:+ 8). Budući da ih je mnogo - X->2

funkcija članica je kontinuirana, tada je lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 Primjer 2. Nađi lim -r. . Prvo, nalazimo granicu nazivnika: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; nije jednako X-Y1 nuli, što znači da možemo primijeniti svojstvo 4 § 4, tada x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. Granica od nazivnik X X je jednak nuli, stoga se ne može primijeniti svojstvo 4 iz § 4. Budući da je brojnik konstantan broj, a nazivnik [x2x) -> -0 za x - - 1, tada cijeli razlomak raste neograničeno. u apsolutnoj vrijednosti, tj. lim " 1 X - * - - 1 x* + x Primjer 4. Pronađite lim\-ll*"!"" "Granica nazivnika je nula: lim (xr-6lg+ 8) = 2* -6-2 + 8 = 0, tako da X svojstvo 4 § 4 nije primjenjivo. Ali granica brojnika također je jednaka nuli: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Dakle, granice brojnika i nazivnika su istovremeno jednake nuli. Međutim, broj 2 je korijen i brojnika i nazivnika, pa se razlomak može smanjiti za razliku x-2 (prema Bezoutovom teoremu). U stvari, x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" dakle, xr- - f- 6 g x-3 -1 1 Primjer 5. Nađi lim xn (n cijeli broj, pozitivan). X s Imamo xn = X* X . . X, n puta Kako svaki faktor raste bez ograničenja, produkt također raste bez ograničenja, tj. lim xn=oo. x oo Primjer 6. Nađi lim xn(n cijeli broj, pozitivan). X -> - CO Imamo xn = x x... x. Budući da svaki faktor raste u apsolutnoj vrijednosti dok ostaje negativan, tada će u slučaju parnog stupnja umnožak neograničeno rasti dok ostaje pozitivan, tj. lim *n = + oo (za parni n). *-* -o U slučaju neparnog stupnja, apsolutna vrijednost umnoška raste, ali ostaje negativna, tj. lim xn = - oo (za n neparno). p -- 00 Primjer 7. Nađi lim . x x-*- co * Ako je m>pu tada možemo napisati: m = n + kt gdje je k>0. Prema tome xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x -x> A x yu Došli smo do primjera 6. Ako ti uTL xm I lim lim lim X - O x-* yu L X ->co Ovdje brojnik ostaje konstantan, a nazivnik raste u apsolutnoj vrijednosti, prema tome lim -ʹ = 0. H-*oo X* Preporuča se zapamtiti rezultat ovog primjera u sljedećem obliku: Funkcija potencije raste brže što je veći eksponent. $hv_Zhg + 7

Primjeri

Primjer 8. Nađi lim g L -g-=. U ovom primjeru x-*® "J* "G bX -ox-o i brojnik i nazivnik se povećavaju bez ograničenja od x, tj. na xb, tada je 3 7_ Primjer 9. Nađimo lira Provodeći transformacije, dobivamo lira ^ = lim X CO + 3 7 3 Kako je lim -5 = 0, lim -, = 0, onda je granica nazivnika. .rad-*® X X-+-CD X je nula, dok je granica brojnika 1. Prema tome, cijeli razlomak raste bez ograničenja, tj. t 7x hm X-+ ω. Primjer 10. Nađi lim Izračunajmo granicu S nazivnik, imajući na umu da je cos*-funkcija kontinuirana: lira (2 + cos x) = 2 + cosy =2 Tada je x->- S lim (l-fsin*) Primjer 15. Pronađite lim *.<*-e>2 i lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO press (l: - a)2 = z; budući da (Λ;-a)2 uvijek raste nenegativno i neograničeno s x, tada za x - ±oo nova varijabla z-*oc. Stoga dobivamo qt £<*-«)* = X ->± 00 s=lim npr. = oo (vidi napomenu uz §5). g -*■ co Slično lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, budući da x ± oo g m - (x- a)z opada bez ograničenja kao x ->±oo (vidi napomenu uz §

Prilikom izračunavanja limita treba voditi računa sljedeća osnovna pravila:

1. Limes zbroja (razlike) funkcija jednak je zbroju (razlici) limesa članova:

2. Limes umnoška funkcija jednak je umnošku limesa faktora:

3. Limes omjera dviju funkcija jednak je omjeru limesa ovih funkcija:

4. Konstantni faktor može se uzeti izvan graničnog znaka:

5. Granica konstante jednaka je samoj konstanti:

6. Za kontinuirane funkcije, granični i funkcijski simboli mogu se zamijeniti:

Pronalaženje limita funkcije treba započeti zamjenom vrijednosti u izraz za funkciju. Štoviše, ako se dobije brojčana vrijednost 0 ili ¥, tada je željena granica pronađena.

Primjer 2.1. Izračunajte granicu.

Riješenje.

Izrazi oblika , , , , , nazivaju se neizvjesnosti.

Ako dobijete nesigurnost oblika , tada da biste pronašli granicu trebate transformirati funkciju tako da otkrije tu nesigurnost.

Nesigurnost oblika obično se dobiva kada je dana granica omjera dvaju polinoma. U ovom slučaju, za izračun granice, preporuča se faktorizirati polinome i smanjiti ih zajedničkim faktorom. Ovaj množitelj je nula na graničnoj vrijednosti x .

Primjer 2.2. Izračunajte granicu.

Riješenje.

Zamjenom , dobivamo nesigurnost:

Rastavimo brojnik i nazivnik na faktore:

;

Smanjimo zajedničkim faktorom i dobijemo

Nesigurnost oblika dobiva se kada je granica omjera dvaju polinoma dana na . U ovom slučaju, da biste ga izračunali, preporuča se podijeliti oba polinoma s x u višem stupnju.

Primjer 2.3. Izračunajte granicu.

Riješenje. Zamjenom ∞ dobivamo nesigurnost oblika , pa sve članove izraza dijelimo s x 3.

Ovdje se uzima u obzir da .

Prilikom izračunavanja limesa funkcije koja sadrži korijene, preporučuje se množenje i dijeljenje funkcije s njezinim konjugatom.

Primjer 2.4. Izračunajte granicu

Riješenje.

Kada se izračunavaju granice za otkrivanje nesigurnosti oblika ili (1) ∞, često se koriste prva i druga izvanredna granica:

Mnogi problemi povezani s kontinuiranim rastom neke količine dovode do druge značajne granice.

Razmotrimo primjer Ya. I. Perelmana, dajući tumačenje broja e u problemu složenih kamata. U štedionicama se kamate godišnje dodaju osnovnom kapitalu. Ako se pristupanje vrši češće, tada kapital brže raste, budući da je veći iznos uključen u formiranje kamata. Uzmimo čisto teoretski, vrlo pojednostavljen primjer.

Neka 100 deniera bude položeno u banku. jedinice na bazi 100% godišnje. Ako se novac od kamata pridoda osnovnom kapitalu tek nakon godinu dana, onda do tog roka 100 den. jedinice pretvorit će se u 200 novčanih jedinica.

Sada da vidimo u što će se pretvoriti 100 denizea. jedinica, ako se novac od kamata dodaje stalnom kapitalu svakih šest mjeseci. Nakon šest mjeseci, 100 den. jedinice će narasti za 100 × 1,5 = 150, a nakon još šest mjeseci - za 150 × 1,5 = 225 (den. jedinica). Ako se pristupanje vrši svake 1/3 godine, onda nakon godinu dana 100 den. jedinice pretvorit će se u 100 × (1 +1/3) 3 "237 (den. jedinice).

Povećat ćemo uvjete za dodavanje kamata na 0,1 godinu, na 0,01 godinu, na 0,001 godinu itd. Zatim od 100 den. jedinice nakon godinu dana bit će:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. jedinice),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. jedinice),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. jedinice).

S neograničenim smanjenjem uvjeta za dodavanje kamata, akumulirani kapital ne raste beskonačno, već se približava određenoj granici jednakoj približno 271. Kapital položen uz 100% godišnje ne može se povećati za više od 2,71 puta, čak i ako obračunate kamate dodavali su se kapitalu svake sekunde jer

Primjer 2.5. Izračunajte limit funkcije

Riješenje.

Primjer 2.6. Izračunajte limit funkcije .

Riješenje. Zamjenom dobivamo nesigurnost:

Pomoću trigonometrijske formule pretvaramo brojnik u umnožak:

Kao rezultat dobivamo

Ovdje se uzima u obzir drugo značajno ograničenje.

Primjer 2.7. Izračunajte limit funkcije

Riješenje.

Da biste otkrili nesigurnost oblika ili, možete koristiti L'Hopitalovo pravilo koje se temelji na sljedećem teoremu.

Teorema. Granica omjera dviju infinitezimalnih ili beskonačno velikih funkcija jednaka je granici omjera njihovih izvodnica

Imajte na umu da se ovo pravilo može primijeniti nekoliko puta zaredom.

Primjer 2.8. Pronaći

Riješenje. Kod zamjene imamo nesigurnost oblika . Primjenom L'Hopitalovog pravila dobivamo

Kontinuitet funkcije

Važno svojstvo funkcije je neprekidnost.

Definicija. Razmatra se funkcija stalan, ako mala promjena u vrijednosti argumenta povlači za sobom malu promjenu u vrijednosti funkcije.

Matematički se to piše na sljedeći način: kada

Pod i podrazumijeva se prirast varijabli, odnosno razlika između sljedeće i prethodne vrijednosti: , (slika 2.3)

Slika 2.3 – Prirast varijabli

Iz definicije funkcije kontinuirane u točki slijedi da . Ova jednakost znači da su ispunjena tri uvjeta:

Riješenje. Za funkciju točka je sumnjiva za diskontinuitet, provjerimo ovo i pronađimo jednostrana ograničenja

Stoga, , Sredstva - prijelomna točka

Derivacija funkcije

Ograničenje funkcije- broj a bit će granica neke varijabilne veličine ako se u procesu svoje promjene ta varijabilna veličina neograničeno približava a.

Ili drugim riječima, broj A je granica funkcije y = f(x) u točki x 0, ako za bilo koji niz točaka iz domene definicije funkcije , nisu jednaki x 0, a koji konvergira do točke x 0 (lim x n = x0), niz odgovarajućih vrijednosti funkcije konvergira u broj A.

Graf funkcije čija je granica, s obzirom na argument koji teži beskonačnosti, jednaka L:

Značenje A je granica (granična vrijednost) funkcije f(x) u točki x 0 u slučaju za bilo koji niz točaka , koji konvergira u x 0, ali koji ne sadrži x 0 kao jedan od njegovih elemenata (tj. u probušenoj blizini x 0), niz vrijednosti funkcije konvergira u A.

Limit Cauchyjeve funkcije.

Značenje A bit će granica funkcije f(x) u točki x 0 ako za bilo koji unaprijed uzet nenegativan broj ε pronaći će se odgovarajući nenegativan broj δ = δ(ε) tako da za svaki argument x, zadovoljavajući uvjet 0 < | x - x0 | < δ , nejednakost će biti zadovoljena | f(x)A |< ε .

Bit će vrlo jednostavno ako razumijete bit granice i osnovna pravila za njezino pronalaženje. Kolika je granica funkcije f (x) na x težeći za a jednaki A, piše se ovako:

Štoviše, vrijednost kojoj varijabla teži x, može biti ne samo broj, već i beskonačnost (∞), ponekad +∞ ili -∞, ili možda uopće ne postoji ograničenje.

Da shvatim kako pronaći limite funkcije, najbolje je pogledati primjere rješenja.

Potrebno je pronaći limite funkcije f (x) = 1/x na:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Pronađimo rješenje prve granice. Da biste to učinili, možete jednostavno zamijeniti x broj kojem teži, tj. 2, dobivamo:

Nađimo drugu granicu funkcije. Ovdje umjesto toga zamijenite čistu 0 x to je nemoguće, jer Ne možete dijeliti s 0. Ali možemo uzeti vrijednosti blizu nule, na primjer, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 i tako dalje, te vrijednost funkcije f (x) povećat će se: 100; 1000; 10000; 100 000 i tako dalje. Dakle, može se razumjeti da kada x→ 0 vrijednost funkcije koja je ispod granice raste neograničeno, tj. stremi ka beskonačnosti. Što znači:

Što se tiče treće granice. Ista situacija kao u prethodnom slučaju, nemoguće je zamijeniti ∞ u svom najčišćem obliku. Moramo razmotriti slučaj neograničenog povećanja x. Zamjenjujemo 1000 jedan po jedan; 10000; 100 000 i tako dalje, imamo tu vrijednost funkcije f (x) = 1/x smanjit će se: 0,001; 0,0001; 0,00001; i tako dalje, težeći nuli. Zato:

Potrebno je izračunati limit funkcije

Počinjući rješavati drugi primjer, vidimo nesigurnost. Odavde nalazimo najviši stupanj brojnika i nazivnika - ovo je x 3, izvadimo ga iz zagrada u brojniku i nazivniku i zatim smanjimo za:

Odgovor

Prvi korak u pronalaženje ove granice, umjesto toga zamijenite vrijednost 1 x, što dovodi do neizvjesnosti. Da bismo ga riješili, faktorizirajmo brojnik i učinimo to pomoću metode pronalaženja korijena kvadratne jednadžbe x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Dakle, brojnik će biti:

Odgovor

Ovo je definicija njezine specifične vrijednosti ili određenog područja u koje funkcija spada, a koje je ograničeno limitom.

Za rješavanje ograničenja slijedite pravila:

Shvativši bit i glavno pravila za rješavanje granice, dobit ćete osnovno razumijevanje kako ih riješiti.

Riješenje

2. Izračunajte granicu niza brojeva:

3. Izračunajte granicu niza brojeva:

4. Izračunajte granicu niza brojeva:

5. Izračunajte granicu niza brojeva:

6. Izračunajte granicu niza brojeva:

7. Izračunajte granicu niza brojeva:

8. Izračunajte granicu niza brojeva:

9. Izračunajte granicu niza brojeva:

10. Izračunajte granicu niza brojeva:

11. Izračunajte granicu niza brojeva:

1) Iz brojnika i nazivnika odaberite faktor koji daje najveći doprinos i smanjite za njega

2) U ovom tipu primjera morate ukloniti faktor u najvećoj mjeri ispod korijena u nazivniku

3) Potrebno je proširiti na najveći zajednički faktorijel

4) U ovom primjeru raste puno brže, pa ga izdvajamo kao najveći faktor

5) Količine i teže nuli pri . Na temelju toga izračunavamo granicu

Rješenje većine ovih primjera je pronaći dominantni faktor. Ako je u brojniku, tada granica ide u beskonačnost, u nazivniku - na nulu. I samo kada i ovdje i tamo možete smanjiti razlomak za ovaj faktor i dobiti granicu u obliku konstante.

Vježba:

1. Analizirajte rješenja razmatranih primjera

2. Izračunajte sljedeće granice:

Odjeljak 2. Počeci matematičke analize

(Samostalan rad 48 sati.)

2.1. Izvod implicitne funkcije (4 sata).

Primjer 1. Naći derivaciju implicitne funkcije

Riješenje. Budući da je y funkcija od x, onda ćemo razmotriti y 2 kao složena funkcija x. Stoga, . Razlikovanje po x obje strane ove jednadžbe, dobivamo, tj.

Primjer 2. Naći derivaciju implicitne funkcije

Riješenje. Razlikovanje po x

Primjer 3. Naći derivaciju implicitne funkcije

Riješenje. Razlikovanje po x obje strane ove jednadžbe, dobivamo

1. Nađite derivaciju f ’(x).

2. Naći stacionarne točke ove funkcije, t.j. točke na kojima

3. Nađite drugu derivaciju f ’’(x).

4. Istražite predznak druge derivacije u svakoj stacionarnoj točki. Ako se druga derivacija pokaže negativnom, tada funkcija u takvoj točki ima maksimum, a ako je pozitivna, tada ima minimum. Ako je druga derivacija jednaka nuli, tada se ekstrem funkcije mora tražiti pomoću prve derivacije.

5. Izračunajte vrijednosti funkcije u točkama ekstrema.

Primjer. Ispitajte ekstremum koristeći drugu derivaciju funkcije: f(x) = x 2 – 2x - 3.
Rješenje: Nađite derivaciju: f ‘(x) = 2x - 2.
Rješavajući jednadžbu f ’(x) = 0, dobivamo stacionarnu točku x =1. Nađimo sada drugu derivaciju: f ’’(x) = 2.
Kako je druga derivacija pri) = x 2 – 2x - 3. u stacionarnoj točki pozitivna, f''(1) = 2 > 0, tada pri x = 1 funkcija ima minimum: f min = f(1) = -4.
Odgovor: Najmanja točka ima koordinate (1; -4).

Zadaci.

1. Pregledati i analizirati razmatrana rješenja primjera na ove teme.

2. Istražite ekstremum koristeći drugu derivaciju funkcije:

a) f(x) = 1 – x 4;

b) f(x) = x 3 - 1;

2.3. Primjena derivata na rješavanje fizikalnih problema (11 sati).

2.4. Sastavljanje križnih brojeva na temu "Određeni integral"

2.5 Izračun volumena tijela i duljine luka krivulje (12 sati)

Iz gornjeg članka možete saznati koja je granica i s čime se jede - ovo je JAKO važno. Zašto? Možda ne razumijete što su determinante i uspješno ih riješite; možda uopće ne razumijete što je derivat i nađete ih s "A". Ali ako ne razumijete što je granica, tada će rješavanje praktičnih zadataka biti teško. Također bi bilo dobro da se upoznate s primjerima rješenja i mojim preporukama za dizajn. Sve informacije prikazane su u jednostavnom i pristupačnom obliku.

A za potrebe ove lekcije trebat će nam sljedeći nastavni materijali: Divna ograničenja I Trigonometrijske formule. Mogu se pronaći na stranici. Najbolje je ispisati priručnike - mnogo je praktičnije, a osim toga, često ćete ih morati pregledavati izvan mreže.

Što je tako posebno u izuzetnim granicama? Značajnost ovih granica je da su ih dokazali najveći umovi slavnih matematičara, a zahvalni potomci ne moraju patiti od strašnih granica s hrpom trigonometrijskih funkcija, logaritama, potencija. Odnosno, pri pronalaženju granica koristit ćemo gotove rezultate koji su teoretski dokazani.

Postoji nekoliko divnih ograničenja, ali u praksi, u 95% slučajeva, izvanredni studenti imaju dva divna ograničenja: Prva divna granica, Druga divna granica. Valja napomenuti da su to povijesno utvrđena imena, a kada se, primjerice, govori o "prvoj izvanrednoj granici", misli se na vrlo specifičnu stvar, a ne na neki slučajni limit skinut sa stropa.

Prva divna granica

Razmislite o sljedećem ograničenju: (umjesto izvornog slova "he" koristit ću grčko slovo "alfa", to je prikladnije sa stajališta prezentiranja materijala).

Prema našem pravilu za pronalaženje ograničenja (vidi članak Ograničenja. Primjeri rješenja) pokušavamo zamijeniti nulu u funkciju: u brojniku dobivamo nulu (sinus nule je nula), au nazivniku je, očito, također nula. Dakle, suočeni smo s neizvjesnošću forme koju, srećom, ne treba iznositi. Tijekom matematičke analize dokazano je da:

Ova matematička činjenica se zove Prva divna granica. Neću dati analitički dokaz limita, ali ćemo pogledati njegovo geometrijsko značenje u lekciji o infinitezimalne funkcije.

Često se u praktičnim zadacima funkcije mogu drugačije rasporediti, to ništa ne mijenja:

- ista prva divna granica.

Ali ne možete sami presložiti brojnik i nazivnik! Ako je ograničenje zadano u obliku , tada se mora riješiti u istom obliku, bez preuređivanja ičega.

U praksi, ne samo varijabla, već i elementarna funkcija ili složena funkcija može djelovati kao parametar. Važno je samo da teži nuli.

Primjeri:
, , ,

ovdje,,,, , i sve je dobro - primjenjivo je prvo divno ograničenje.

Ali sljedeći unos je hereza:

Zašto? Budući da polinom ne teži nuli, teži petici.

Usput, kratko pitanje: koja je granica? ? Odgovor se nalazi na kraju lekcije.

U praksi nije sve tako glatko; gotovo nikada studentu nije ponuđeno da riješi besplatni limit i dobije lak prolaz. Hmmm... dok pišem ove retke, pala mi je na pamet jedna vrlo važna misao - ipak je bolje zapamtiti "slobodne" matematičke definicije i formule napamet, to može pružiti neprocjenjivu pomoć u testu, kada će pitanje odlučiti između “dvojke” i “trojke”, a učitelj odluči postaviti učeniku neko jednostavno pitanje ili ponuditi da riješi jednostavan primjer (“možda on/ona još zna što?!”).

Prijeđimo na praktične primjere:

Primjer 1

Pronađite granicu

Ako primijetimo sinus u granici, to bi nas odmah trebalo navesti na razmišljanje o mogućnosti primjene prve značajne granice.

Prvo pokušavamo zamijeniti 0 u izraz ispod znaka granice (činimo to mentalno ili u nacrtu):

Dakle, imamo neizvjesnost forme obavezno naznačiti u donošenju odluke. Izraz pod znakom granice sličan je prvoj divnoj granici, ali nije to baš to, nalazi se ispod sinusa, ali u nazivniku.

U takvim slučajevima moramo sami organizirati prvu značajnu granicu, koristeći umjetnu tehniku. Rezoniranje bi moglo biti sljedeće: "ispod sinusa imamo , što znači da trebamo unijeti i nazivnik."
A to se radi vrlo jednostavno:

Odnosno, nazivnik se u ovom slučaju umjetno množi sa 7 i dijeli s istim sedam. Sada je naša snimka poprimila poznati oblik.
Kada se zadatak sastavlja rukom, preporučljivo je označiti prvu značajnu granicu jednostavnom olovkom:

Što se dogodilo? Zapravo, naš zaokruženi izraz pretvorio se u jedinicu i nestao u djelu:

Sada sve što preostaje je riješiti se trokatnice:

Tko je zaboravio pojednostavljenje razlomaka na više razina, osvježite materijal u priručniku Vruće formule za školski tečaj matematike .

Spreman. Konačan odgovor:

Ako ne želite koristiti oznake olovkom, tada se rješenje može napisati ovako:

“

Iskoristimo prvu divnu granicu

“

Primjer 2

Pronađite granicu

Opet vidimo razlomak i sinus u granici. Pokušajmo zamijeniti nulu u brojniku i nazivniku:

Doista, imamo neizvjesnost i, stoga, moramo pokušati organizirati prvu divnu granicu. Na lekciji Ograničenja. Primjeri rješenja razmotrili smo pravilo da kad imamo nesigurnost, trebamo faktorizirati brojnik i nazivnik. Ovdje je to ista stvar, predstavit ćemo stupnjeve kao umnožak (množitelje):

Slično prethodnom primjeru, olovkom povlačimo značajne granice (ovdje su ih dvije) i označavamo da teže jedinstvu:

Zapravo, odgovor je spreman:

U sljedećim primjerima neću raditi umjetnost u Paintu, razmišljam kako pravilno nacrtati rješenje u bilježnici - već razumijete.

Primjer 3

Pronađite granicu

Zamjenjujemo nulu u izraz ispod znaka granice:

Dobivena je nesigurnost koju je potrebno otkriti. Ako postoji tangens u granici, onda se gotovo uvijek pretvara u sinus i kosinus pomoću poznate trigonometrijske formule (usput, rade približno istu stvar s kotangensom, pogledajte metodološki materijal Vruće trigonometrijske formule Na stranici Matematičke formule, tablice i referentni materijali).

U ovom slučaju:

Kosinus nule jednak je jedan i lako ga se riješiti (ne zaboravite označiti da teži jedinici):

Dakle, ako je u limitu kosinus MNOŽITELJ, tada ga, grubo govoreći, treba pretvoriti u jedinicu, koja nestaje u umnošku.

Ovdje je sve ispalo jednostavnije, bez množenja i dijeljenja. Prvo značajno ograničenje također se pretvara u jedno i nestaje u proizvodu:

Kao rezultat toga, dobiva se beskonačnost, a to se događa.

Primjer 4

Pronađite granicu

Pokušajmo zamijeniti nulu u brojniku i nazivniku:

Neodređenost je dobivena (kosinus nule, kao što se sjećamo, jednak je jedan)

Koristimo trigonometrijsku formulu. Uzeti na znanje! Iz nekog razloga, ograničenja koja koriste ovu formulu vrlo su česta.

Premjestimo konstantne faktore izvan ikone ograničenja:

Organizirajmo prvu prekrasnu granicu:

Ovdje imamo samo jedno izvanredno ograničenje, koje se pretvara u jedno i nestaje u proizvodu:

Riješimo se trokatnice:

Granica je zapravo riješena, označavamo da preostali sinus teži nuli:

Primjer 5

Pronađite granicu

Ovaj primjer je kompliciraniji, pokušajte sami shvatiti:

Neka ograničenja mogu se smanjiti na 1. izvanrednu granicu promjenom varijable, o tome možete pročitati malo kasnije u članku Metode rješavanja granica.

Druga divna granica

U teoriji matematičke analize je dokazano da:

Ova činjenica se zove druga divna granica.

Referenca: je iracionalan broj.

Parametar može biti ne samo varijabla, već i složena funkcija. Važno je samo da teži beskonačnosti.

Primjer 6

Pronađite granicu

Kada je izraz ispod znaka granice u stupnju, to je prvi znak da morate pokušati primijeniti drugu divnu granicu.

Ali prvo, kao i uvijek, pokušavamo zamijeniti beskonačno veliki broj u izraz, princip po kojem se to radi raspravlja se u lekciji Ograničenja. Primjeri rješenja.

Lako je primijetiti da kada osnovica stupnja je , a eksponent je , odnosno postoji nesigurnost oblika:

Ova neizvjesnost se upravo otkriva uz pomoć druge izvanredne granice. Ali, kao što se često događa, druga divna granica ne leži na srebrnom pladnju i treba je umjetno organizirati. Možete razmišljati na sljedeći način: u ovom primjeru parametar je , što znači da se također trebamo organizirati u indikatoru. Da bismo to učinili, podižemo bazu na potenciju, a kako se izraz ne bi promijenio, podižemo je na potenciju:

Kada je zadatak izvršen rukom, olovkom označavamo:

Gotovo je sve spremno, užasna diploma pretvorila se u lijepo pismo:

U ovom slučaju, samu ikonu ograničenja pomičemo na indikator:

Primjer 7

Pronađite granicu

Pažnja! Ova vrsta ograničenja pojavljuje se vrlo često, pažljivo proučite ovaj primjer.

Pokušajmo zamijeniti beskonačno veliki broj u izraz ispod znaka granice:

Rezultat je neizvjesnost. Ali drugo značajno ograničenje odnosi se na nesigurnost oblika. Što uraditi? Moramo pretvoriti bazu stupnja. Rezoniramo ovako: u nazivniku imamo , što znači da u brojniku također trebamo organizirati .